画像の(2)の解き方を教えてください。空白部分は0なのですが、数が果てしなすぎて、掛け算の方法がわかりません、
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No.64889 - 2020/05/02(Sat) 20:13:07
| ☆ Re: 行列のn乗 / へいけ | | | 答えはこれです。
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No.64890 - 2020/05/02(Sat) 20:13:41 |
| ☆ Re: 行列のn乗 / IT | | | A(i,i+1)=a (i=1,n-1), 他は0
(A^k)(i,i+k)=a^k (i=1,n-k), 他は0
としてA^(k+1)の成分毎に計算するのだと思います。
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No.64891 - 2020/05/02(Sat) 20:50:20 |
| ☆ Re: 行列のn乗 / ast | | | 厳密にやるのはやや面倒ではなりますが, ひとまず
[i] 復習として, 行列 A=(a_[i,j]), B=(b_[i,j]) の積 AB=(c_[i,j]) は c_[i,j] = ∑[μ=1,…,n] a_[i,μ]*b_[μ,j] で与えられることに注意します.
[ii] 以下の説明において, "クロネッカーのデルタ" δ[x,y] = {1 (x=yのとき), 0 (x≠y のとき)} を用います.
さて, 本問における A の (i,j)-成分 a_[i,j] は "クロネッカーのデルタ" を用いて a_[i,j] = a*δ[i+1,j] (i=1,…,n) と書けるので, 行列の積の定義に基づいて計算するとき, A^2の (i,j)-成分 b_[i,j] は
b_[i,j] = ∑[μ=1,…,n] a_[i,μ]*a_[μ,j]
= ∑[μ=1,…,n] a^2*δ[i+1,μ]*δ[μ+1,j]
= a^2 (j=i+2 のとき), 0 (それ以外)
と計算できます. 最後のイコールは, 上の和は i+1=μ かつ μ+1=j の項以外は 0 になるが, たまたま j=i+2 のときそのような μ がただひとつだけあるので, うまいこと残るということを言っているとみることができます.
A^3 以降も同様ですが, ちゃんと示せということなら帰納法でしょうかね…… (うん, めんどい)
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No.64892 - 2020/05/02(Sat) 21:01:31 |
| ☆ Re: 行列のn乗 / 黄桃 | | | 個人的にはAは「１つシフト」する1次変換ということを意識したいです。
面倒なのでa=1 とします（a=1の場合の行列をA’とすれば、A=aA’だからこの場合に帰着）。
e[i] を第i成分だけが1であるような単位ベクトルとします。
すると、A=[O,e[1],e[2],...,e[n-1]] という形をしているから、
A*e[1]=O
A*e[i]=e[i-1] (i=2,3,...,n)
です。だから、例えば、
A^2*e[3]=A(A*e[3])=A*e[2]=e[1]
となります。これと同様に、一般では（厳密には数学的帰納法で）
A^m*e[i]=e[i-m] (i>m の時), =O (i≦m の時）
となります。
よって、m=n であれば、すべてのe[i]の行く先が0になるので零行列です。
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No.64912 - 2020/05/03(Sun) 16:18:21 |
| ☆ Re: 行列のn乗 / へいけ | | | 黄桃さん
帰納法で証明する場合、どのように証明すれば良いでしょうか。
n×n行列のため、n=k+1のとき、どのように証明すれば良いかわかりません。
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No.64951 - 2020/05/04(Mon) 14:59:15 |
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