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★ 数列 / 高校理系
(2)についてなのですが問題にnは自然数とあるのにjやiは0からになるとういのが理解できません…どういう理由なのか教えて欲しいです。
No.65123 - 2020/05/10(Sun) 14:10:50
☆ Re: 数列 / IT
例えば､１＝12^0 は12＝12^1の正の約数です。
No.65124 - 2020/05/10(Sun) 14:22:34
☆ Re: 数列 / 高校理系
わかりました！ありがとうございます😊
No.65125 - 2020/05/10(Sun) 14:34:33
★ 因数分解 / たまお
こちらを因数分解して頂けませんか。途中式書いてくださるとありがたいです。
No.65121 - 2020/05/10(Sun) 13:35:40
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
因数分解より、展開の方が格段に易しいので、右辺を
　(ｘ−ｙ)(ｘ＋ａｙ)
として展開し、
　ｘ^2＋(ａ−１)ｘｙ−ａｙ^2
これと、
　ｘ^2＋ｘｙ−２ｙ^2
を比較してａを決める、という方が楽です。

右辺が与えられずに、いきなり
　ｘ^2＋ｘｙ−２ｙ^2
を因数分解せよ。という問題なら、
　掛けて −２ｙ^2、足して ｙ となる２数を探し
−ｙと２ｙを見つける、というのが一般的です。
No.65122 - 2020/05/10(Sun) 13:44:32
☆ Re: 因数分解 / たまお
返事遅くなりました！
申し訳ないのですが全く分かりません。記入しわすれていましたが答えは分かっています。もう一度教えていただけませんか？
No.65130 - 2020/05/10(Sun) 15:08:51
☆ Re: 因数分解 / たまお
答えは2です
No.65131 - 2020/05/10(Sun) 15:20:15
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
であれば、出題のされ方からして、前半の解き方の方がオススメです。

ａとか書くと混乱しそうなので、[ケ]のままで行きますね。
　ｘ^2＋ｘｙ−２ｙ^2＝(ｘ−ｙ)(ｘ＋[ケ]ｙ)
これの右辺を計算すると、
　(ｘ−ｙ)(ｘ＋[ケ]ｙ)＝ｘ^2＋([ケ]−１)ｘｙ−[ケ]ｙ^2
この
　ｘ^2＋([ケ]−１)ｘｙ−[ケ]ｙ^2
が
　ｘ^2＋ｘｙ−２ｙ^2
と一致するには、[ケ] には何を入れれば良いですか？
というわけで、答えは、上に書かれているとおり、
　[ケ]＝２
です。
No.65132 - 2020/05/10(Sun) 16:29:20
★ 中1図形です / 鉛
写真の図形です。この図形で、三角形を動かして沢山の展開図を考えるという問題なのですが、全然わかりません…考え方の基本となるような物を教えて頂きたいです。回答よろしくお願いします。
No.65117 - 2020/05/10(Sun) 10:40:24
☆ Re: 中1図形です / X
問題文をアップして下さい。
No.65118 - 2020/05/10(Sun) 12:25:40
☆ Re: 中1図形です / ヨッシー
組み立てて立体にしたときに、辺となる部分は、
　１．展開図のときからくっついている
　２．組み立てる時にくっつける
の２通りです。そこで図のように、元からくっついている部分を離して、
くっつける予定の部分を、最初からくっつくようにすれば、別の展開図になります。

三角形を動かすだけの変更なら、元の図も含めて、４５通りの展開図が出来ます。
探してみてください。
No.65119 - 2020/05/10(Sun) 12:50:04
☆ Re: 中1図形です / 鉛
ありがとうございます！！やってみます！
No.65120 - 2020/05/10(Sun) 13:24:44
★ 図形と方程式 / 高校理系
(3)番のこの囲った部分の確認はなぜしなければいけないのですか？？
No.65115 - 2020/05/10(Sun) 09:27:22
☆ Re: 図形と方程式 / ヨッシー
ｙ−２＝ｍ(ｘ−１) では、ｘ＝１ が表現できていないからです。
No.65116 - 2020/05/10(Sun) 09:32:36
★ 数学?UB・図形と式 / はる
問）点（1, 5）を中心とし、直線4x-3y+1＝0に接する円の方程式を求めよ。

という問に対し、写真の通りに計算をしたところ、円の半径の2乗が負の数という変な結果になってしまい、間違ってそうな箇所や計算ミスを探したのですが、なぜこのような答えになってしまったのかが未だに理解できておりません。
点と直線の距離の公式を用いれば簡単に答えが求まることは理解しておりますが、それを踏まえたうえで私の考え方のどこが間違っているのかをお教えいただけると幸いです。

問題の答え自体は、(x-1)^2+(y-5)^2=4 です。よろしくお願いします。
No.65105 - 2020/05/09(Sat) 17:42:46
☆ Re: 数学?UB・図形と式 / らすかる
接線の公式がpx+qy=r^2となるのは、円の中心が原点の場合です。
円の中心が(1,5)の場合は(p-1)(x-1)+(q-5)(y-5)=r^2ですから
4x-3y+1=0
4(x-1)-3(y-5)=10
(2/5)r^2(x-1)-(3/10)r^2(y-5)=r^2
これより
(2/5)r^2=13/5-1, -(3/10)r^2=19/5-5
となって正しい答えが得られます。
しかしそんなややこしいことをする必要はありません。
接点が(13/5,19/5)と求まったら、
円の方程式に代入すればrが求まります。
No.65106 - 2020/05/09(Sat) 18:22:57
☆ Re: 数学?UB・図形と式 / はる
ご回答ありがとうございます。
px+qy＝r＾2が原点の時の公式であるということをすっかり失念しておりました。
非常に納得できました。

また、円の方程式に入れれば求まるということも言われて気づきました。ありがとうございます。
精進します。
No.65109 - 2020/05/09(Sat) 19:09:34
★ (No Subject) / 高校理系
最後のb2n−1ってどこからきたのですか？
No.65096 - 2020/05/09(Sat) 13:48:39
☆ Re: / らすかる
そこまでの議論でb[1],b[3],b[5],…がa[n]に含まれ、
b[2],b[4],b[6],…がa[n]に含まれないことがわかりましたので
c[1]=b[1],c[2]=b[3],c[3]=b[5],…つまりc[n]=b[2n-1]となります。
No.65098 - 2020/05/09(Sat) 14:29:00
★ 大学二年、広義積分 / haruka
次の広義積分が収束する場合は収束することを示し、発散する場合は発散することを示すという問題が分からないため、教えて頂きたいです。

(１)∫[0→π]1/(1-cosx)dx
(２)∫[0→∞]x/((e^x)-1)dx

その直前の問題でcosxとe^xについてのマクローリン展開を求める問題が出ていたので(そちらは大丈夫でした)、それを利用するのかとも思いましたが全く分かりません…

ぜひよろしくお願い致します。
No.65095 - 2020/05/09(Sat) 12:50:42
☆ Re: 大学二年、広義積分 / 関数電卓
(2)
　1/(e^x−1)＝e^(−x)/(1−e^(−x))＝Σ[1,∞]e^(−nx)
より
　与式＝∫[0,∞]xΣ[1,∞]e^(−nx)dx
Σ と ∫ を交換して，
　　　＝Σ∫xe^(−nx)dx＝Σ{−∂/∂n∫e^(−nx)dx}＝Σ{−∂/∂n(1/n)}
　　　＝Σ[1,∞](1/n^2)
　　　＝π^2/6
No.65102 - 2020/05/09(Sat) 15:34:01
☆ Re: 大学二年、広義積分 / らすかる
(1)
x＞0のときcosx＞1-x^2/2から1/(1-cosx)＞2/x^2となり
∫[0〜π](2/x^2)dxが発散するので、発散。

(2)
x＞0のときe^x＞1+x+x^2/2+x^3/6からx/(e^x-1)＜1/(1+x/2+x^2/6)となり
∫[0〜∞]{1/(1+x/2+x^2/6)}dxが収束するので、収束。
No.65103 - 2020/05/09(Sat) 15:43:28
☆ Re: 大学二年、広義積分 / 通りすがり
> (2)
> Σ と ∫ を交換して，
広義積分の収束すらわかってない状態で、このような交換が出来るのはなぜですか？
No.65104 - 2020/05/09(Sat) 17:40:25
☆ Re: 大学二年、広義積分 / 関数電卓
　fk(x)＝Σ[1,k]xe^(−nx)
とおくと，lim[k→∞]fk(x) は x≧0 で f(x)＝x/(e^x−1) に一様収束するので，Σ と ∫ の交換が出来ます。そのことに触れなかったのは不手際でした。
No.65112 - 2020/05/09(Sat) 22:46:16
☆ Re: 大学二年、広義積分 / 通りすがり
非有界区間での積分で、一様収束するなら極限と交換が出来るという定理はないと思います。
No.65113 - 2020/05/09(Sat) 23:13:42
★ 通過領域 / Ran
円　x^2+y^2-2ax-4ay+10a-10=0で、aが1≦a≦2の範囲を通過するときの領域をDとする。

⑴この面積をもとめよ。
⑵C(3.6)として、P(s,t)がD内を動くとき、OP^2+CP^2の最小値と最大値をもとめよ。

と言う問題がわかりません
よろしかお願いします
No.65092 - 2020/05/09(Sat) 10:07:14
☆ Re: 通過領域 / らすかる
(1)
図を描くと、円はaによらず(3,1)と(-1,3)を通ることがわかる
よって求める領域の面積は
(a) 円(x-1)^2+(y-2)^2=5の内部かつ円(x-2)^2+(y-4)^2=10の外部
(b) 円(x-1)^2+(y-2)^2=5の外部かつ円(x-2)^2+(y-4)^2=10の内部
の二つを合わせたもの、つまり
(円(x-1)^2+(y-2)^2≦5の面積)+(円(x-2)^2+(y-4)^2≦10の面積)
-2(2円の共通部分の面積)です。
円(x-1)^2+(y-2)^2≦5の面積は5π
円(x-2)^2+(y-4)^2≦10の面積は10π
2円の共通部分は(3,1)と(-1,3)を結ぶ線分で二つの領域に分けると
上側は円(x-1)^2+(y-2)^2≦5のちょうど半分なので5π/2
下側は円(x-2)^2+(y-4)^2≦10の中心角90°の弧と弦ではさまれる部分なので
10π÷4-(√10)^2/2=5π/2-5
よって求める面積は
5π+10π-2(5π/2+5π/2-5)=5π+10
となります。

(2)
OP^2+CP^2=kとおくと
OP^2=s^2+t^2
CP^2=(s-3)^2+(t-6)^2なので
2s^2-6s+9+2t^2-12t+36=k
整理して
(s-3/2)^2+(t-3)^2=(2k-45)/4
つまり中心(3/2,3)半径√(2k-45)/2の円
最小は円(x-1)^2+(y-2)^2=5の内側に内接するときなので、
すべての円の中心がy=2x上にあるからy=2xと(x-1)^2+(y-2)^2=5の
交点を求めることで接点は(2,4)、半径は√5/2とわかり
√(2k-45)/2=√5/2からk=25
最大は円(x-2)^2+(y-4)^2=10の外側に内接するときで、
同様にy=2xと(x-2)^2+(y-4)^2=10の交点を求めることで
接点は(2+√2,4+2√2)、半径は√5/2+√10とわかり
√(2k-45)/2=√5/2+√10からk=45+10√2
従って
OP^2+CP^2の最小値はP(2,4)のときで25
OP^2+CP^2の最大値はP(2+√2,4+√2)のときで45+10√2
No.65100 - 2020/05/09(Sat) 15:17:08
★ 不等式と領域 / Qちゃん
実数x、yが

(x⌒2)/2-1/2≦y≦(x⌒2)/4

を満たしながら変化する。負でない定数mをとるとき、mx+yの最小値をmを用いて表せ。

z=mx+yとおきます。zが最小になるのは(-√2,1/2)を通るときか、y=(x⌒2)/2-1/2と接するときであると考えました。前者の場合、z=1/2-√2m、後者の場合、z=-(m⌒2)/2-1/2です。

-(m⌒2)/2-1/2≦1/2-√2mを計算すると、(m-√2)⌒2≧0となりますので、常に-(m⌒2)/2-1/2の方が最小値になると思ったのですが、答えは0≦m≦√2のとき-(m⌒2)/2-1/2で、m≧√2のときは1/2-√2mとなってます。答えの方が間違えているように思えるのですが、私はどこを考え違いしているのでしょうか？
No.65087 - 2020/05/09(Sat) 08:19:49
☆ Re: 不等式と領域 / ヨッシー
>zが最小になるのは(-√2,1/2)を通るとき
これが誤りで、
zが最小になるのは(＋√2,1/2)を通るとき
です。
No.65088 - 2020/05/09(Sat) 08:35:49
☆ Re: 不等式と領域 / らすかる
例えばm=2のとき、確かに-m^2/2-1/2の方が小さいですが、
それは点(-2,3/2)でy=x^2/2-1/2に接するときの値です。
でも(-2,3/2)は条件の不等式を満たしませんので不適です。
つまり「-m^2/2-1/2と1/2-(√2)mの小さい方」という考え方ではダメで、
接点が(-√2,1/2)より左になる場合は1/2-(√2)m、
そうでないとき-m^2/2-1/2としなければいけないということです。
No.65089 - 2020/05/09(Sat) 08:37:53
☆ Re: 不等式と領域 / らすかる
＞ヨッシーさん
そこは間違っていないと思います。
m＞0のとき(-√2)m+(1/2)＜(√2)m+(1/2)ですから
+√2の方は最小値になりませんね。
No.65090 - 2020/05/09(Sat) 08:46:51
☆ Re: 不等式と領域 / Qちゃん
回答してくださりありがとうございます。

x、yが不等式を満たすことから、xは-√2≦x≦√2でなければならないことから、z=mx+yとy=-(x⌒2)/2-1/2からyを消去したxの二次方程式は-√2≦x≦√2で重解を持たなければならないという理解でよろしいでしょうか？
No.65110 - 2020/05/09(Sat) 20:33:25
☆ Re: 不等式と領域 / らすかる
はい、それでOKです。
No.65111 - 2020/05/09(Sat) 21:48:47
☆ Re: 不等式と領域 / ヨッシー
傾きは　−ｍ　でしたね。
失礼しました。
No.65114 - 2020/05/09(Sat) 23:27:22
☆ Re: 不等式と領域 / Qちゃん
ありがとうございました。今回も助かりました。
No.65167 - 2020/05/11(Mon) 13:02:30
★ (No Subject) / ハレ
4枚のカードA,B,C,Dを並べて文字列を作る。はじめA,B,C,Dがこの順に並んでいる。この最初の文字列から無作為にいずれか2枚を選んで位置を入れ替え異なる文字列を作る層さえお行う


?@操作を2回行うとき異なる文字列の並べ方は何通りか
?A操作を3回行うとき異なる文字列の並べ方は何通りか

解説
?@操作を2回行うとき異なる文字列はABCD,CABD,DACB,BCAD,BDCA,BADC,DBAC,CDAB,CBDA,DCBA,ADBC,ACDBの12通りである

?A操作を3回行うとき異なる文字列は?@より少なくとも12通りある。?@の12通りをグループＡとすると1回の操作でグループＡの文字列がグループＡの文字列になるものは存在しない
したがって操作を3回行った時異なる文字列の並び方は12通り



?Aの解説がよくわかりません…
疑問?@
なんで?@の12通りをグループＡとすると1回の操作でグループＡの文字列がグループＡの文字列になるものは存在しないと言い切れるのでしょうか。確かにすべての場合を書き出せば確実にこれが正しいかどうか言い切れますが12×4Ｃ2通りの場合を書き出すって絶対無理…。

疑問?A
したがって操作を3回行った時異なる文字列の並び方は12通り
って4枚のカードの並べ方の総数-グループＡに含まれるカードの並び方の総数＝24−12＝12通りって意味なのでしょうか？
No.65084 - 2020/05/09(Sat) 03:49:26
☆ Re: / IT
疑問?@について
大学で群論を習っておられるのなら置換群の性質として
置換が偶置換と奇置換に分かれることから言えることですが
高校数学（大学入試まで）であれば、おっしゃるとおり、そんなに簡単に言えない気がします。

（４つの要素の置換の場合、うまくグループ分けして説明すれば、一般的な場合よりは簡単に説明できるかも知れませんが）

出典は何ですか？


下記などが参考になります。
https://mathtrain.jp/permutation
No.65085 - 2020/05/09(Sat) 05:40:21
☆ Re: / ハレ
この問題2017年の立命館大学の入試問題(文系）なんですが赤本の解説にはこう書いてありました。?@の疑問は大学の数学の知識がないと無理っていうならこの問題どう解けばいいのでしょうか。あと疑問?Aに関しての私の解釈はあっているのでしょうか？間違っているのでしょうか？
No.65091 - 2020/05/09(Sat) 09:58:37
☆ Re: / IT
疑問?A
>したがって操作を3回行った時異なる文字列の並び方は12通り
って
>4枚のカードの並べ方の総数-グループＡに含まれるカードの並び方の総数＝24−12＝12通りって意味なのでしょうか？

もう少し丁寧に書くと、
4枚のカードの並べ方の総数≧グループＡに含まれるカードの並び方の総数+操作を3回行った時異なる文字列の並び方の総数
∴　24-12≧操作を3回行った時異なる文字列の並び方の総数

一方、　操作を3回行った時異なる文字列の並び方の総数≧12
よって、操作を3回行った時異なる文字列の並び方の総数＝12
No.65094 - 2020/05/09(Sat) 11:22:17
☆ Re: / 黄桃
その解答は無理があるように思います。
（?@より少なくとも12通り、の根拠も曖昧。3回目の操作によって数が減る可能性がないことはそれほど明らかではないし、おっしゃるように2回目と3回目は全部異なるというのを根拠なく断定している）
文系の数学なら、きちんと（上手に）数えられるか、がポイントなのでしょう。
答だけ要求される問題なら、この解答のように「多分こう」でも合ってればそれでいいかもしれませんが、模範解答としてはまずそうです。

12x4C2通りの場合をチェックするのが確実です。例えば、次のように考えてはどうでしょうか。

?@で、最初がABCDの場合に2回操作したらどうなるかのリストが
ABCD,CABD,DACB,BCAD,BDCA,BADC,DBAC,CDAB,CBDA,DCBA,ADBC,ACDB　(*)
と分かっている

では、最初がABCDでなく、例えば、BACD だったら、同じように2回操作すると（Aと思ってたのをB, Bと思ってたのをAとみればいいので）、(*)でA,Bを入れ替えたものにすればいい。
つまり、BACD から2回操作したものは(*)でA,Bを入れ替えたものだから、
BACD, CBAD, DBCA, ACBD, ADCB, ABDC, DABC, CDBA, CADB, DCBA, BDAC, BCDA
になる。これをアルファベット順に並べ替えると
ABDC, ACBD, ADCB, BACD, BCDA, BDAC, CADB, CBAD, CDBA, DABC, DBCA, DCBA (**)
となる。 (**)はABCDから最初にA,Bを入れかえ、その後2回の操作をした合計3回の操作をした結果のすべてである。

同じことを4個から2個取る残りの組合せの場合について調べればいい。新しいのがでてくるかどうかだけ調べればいいので、A,Cを入れ替える場合は (*)でA,Cを入れ替えたもの、
CBAD, ACBD,...　
を順に見ていって新しいリスト(**)にあるかどうかチェックするだけで済む（チェックしやすいように(**)は辞書順に並べた）。

最終的には新しいものは出てこず、(**)だけなので、答は12通り。

＃答だけ書く形式なら、２つか３つやった段階でもう新しいのはでてこないので、これで全部と推測し、12通りとしてしまうでしょう。
No.65097 - 2020/05/09(Sat) 13:59:50
★ 数3の極限 / s
a<0でlim[n→∞](1/n!)a^n=0を示したいです。
証明）
(iii)a<0のとき

　(1/n!)a^n=(1/n!)×(-a)^n×(-1)^n
　ここで0<-aであるから(i)(a>0の時は示せました)より
lim[n→∞](1/n!)×(-a)^n=0
よってlim[n→∞](1/n!)×(-a)^n×(-1)^n
　　　　=lim[n→∞](1/n!)a^n=0

最後のよって以下が怪しいです。
(-1)^nは振動してしまうので無視できない気がするのですが
どのようにしたら0に収束することを言えるのでしょうか？
回答よろしくお願いします。
No.65078 - 2020/05/09(Sat) 01:25:38
☆ Re: 数3の極限 / らすかる
怪しくはないですが、

> よってlim[n→∞](1/n!)×(-a)^n×(-1)^n
> 　　　　=lim[n→∞](1/n!)a^n=0
は
> よってlim[n→∞](1/n!)a^n
> 　　　　=lim[n→∞](1/n!)×(-a)^n×(-1)^n=0
とすべきでしょう。

0×1も0×-1も0ですから問題ありません。
No.65081 - 2020/05/09(Sat) 02:27:27
☆ Re: 数3の極限 / s
返信ありがとうございます。
そうすると、nが整数の時は0に収束するのですね。
もし、nが任意の実数をとる時は虚数単位iが出てくると思うのですがその場合の極限はどうなるのでしょうか？
No.65082 - 2020/05/09(Sat) 02:38:20
☆ Re: 数3の極限 / らすかる
絶対値が0に収束すれば元の値も0に収束しますので、同じです。
No.65083 - 2020/05/09(Sat) 03:05:38
☆ Re: 数3の極限 / s
ありがとうございます
納得しました
No.65101 - 2020/05/09(Sat) 15:23:23
★ (No Subject) / めい
波線を引いたところの質問です。
?@を満たすための条件はと書いてありますが、なぜ、この不等式が出てくるかわかりません。
よろしくお願いします。
No.65077 - 2020/05/09(Sat) 00:28:12
☆ Re: / ヨッシー
ｙ＝f(x)＝ｘ^3−3ａ^2ｘ＋16
のｘ≧０ の部分のグラフを考えてみてください。
ｘ＝０ のとき ｙ＝１６
そこから　ｘ＝ａ まで減っていって、そのあと増えます。
（ａ＞０ の場合)
このとき、ｘ＝ａ のときに、極小かつ最小値になるのがわかりますか？
その最小値が−２ａ^3＋１６ ですが、これが０以上であれば、
ｘ≧０ の全域にわたって、ｙは０以上と言えるでしょう。
No.65079 - 2020/05/09(Sat) 01:47:22
☆ Re: / めい
理解できました。ありがとうございます！
No.65093 - 2020/05/09(Sat) 10:41:17
★ 大学1年 / 餅
2.3.4番の解き方を教えて欲しいです！
No.65074 - 2020/05/09(Sat) 00:01:53
☆ Re: 大学1年 / 関数電卓
４．
二項定理より，
　(1＋0.01)^100＝1^100＋100C11^99･0.01^1＋100C21^98･0.01^2＋…
　　　　＞1＋1＝2
No.65075 - 2020/05/09(Sat) 00:17:27
★ 場合の数 / とら
(1)はこのやり方で合っていたのですが(2)はこのやり方ではできなかったのはなぜでしょうか。ちなみに答えは156個です。
No.65067 - 2020/05/08(Fri) 22:11:14
☆ Re: 場合の数 / とら
貼れなかったので貼りなおします。
No.65068 - 2020/05/08(Fri) 22:12:48
☆ Re: 場合の数 / IT
どういう手順で数え上げておられるか明記されてないので確実ではないですが、

0を下１桁に置く場合とそうでない場合に分ける必要があるからでは？
No.65071 - 2020/05/08(Fri) 22:39:26
☆ Re: 場合の数 / とら
なるほど。
説明不足ですみませんでした💦
No.65086 - 2020/05/09(Sat) 06:19:08
★ 楕円 / su
xyz空間で、平面 4 x＋4y−z−85＝0 と 円筒 x2＋y2−15x−6y−14＝0 とが交わってできる楕円の

長半径 (長軸の長さの1/2) は？ また、長軸の端点の座標は？

{{x,3-Sqrt[23+15 x-x^2],-73+4 x-4 Sqrt[23+15 x-x^2]},{x,3+Sqrt[23+15 x-x^2],-73+4 x+4 Sqrt[23+15 x-x^2]}
　　　　　　　　　から　考えて下さい；
No.65066 - 2020/05/08(Fri) 21:47:32
☆ Re: 楕円 / ヨッシー


図は、xy平面（z＝0）と、平面および円筒との交線を示したものです。
平面 4x＋4y−z−85＝0 との交線は
　4x＋4y−85＝0 ・・・(i)
であり、円柱の中心 (7.5, 3) を通り、(i) に垂直な直線の式は
　ｙ＝ｘ−4.5　・・・(ii)
(ii) と円
　x^2＋y^2−15x−6y−14＝0　・・・(iii)
との交点のｘ座標を ｘ1, ｘ2　（ｘ1＜ｘ2）とすると、図より
　(ｘ1, 3−√(23＋15ｘ1−ｘ1^2), −73＋4ｘ1−4√(23＋15ｘ1−ｘ1^2)）
　(ｘ2, 3＋√(23＋15ｘ2−ｘ2^2), −73＋4ｘ2＋4√(23＋15ｘ2−ｘ2^2)）
が長軸の両端となります。
No.65073 - 2020/05/08(Fri) 23:31:24
★ 複素数範囲での共通解 / あめ
画像をご覧下さい。
右ページの ] で示している部分でaを?@と?Aに代入して因数分解した後、どちらも｢他の解は…｣と(x-1)が既に共通解だと分かっているような書き方がとても気になります。
普通は?@?Aそれぞれ因数分解した結果を照らし合わせて｢共通解は〜で他の解は…｣と行くのが自然では無いでしょうか？
そこで疑問に思い、解答を眺めていると(α-1)であることに気付きました。（左ページの←部分）
(x-1)と(α-1)は何か関係があるのでしょうか、それとも偶然の一致でしょうか？
御教授下さい。
No.65063 - 2020/05/08(Fri) 19:44:38
☆ Re: 複素数範囲での共通解 / IT
α＝１の導出過程から　x＝α（＝１）が?@の解であれば、?Aの解でもある（?@?Aの共通解である）ことが分かります。
No.65064 - 2020/05/08(Fri) 20:03:04
☆ Re: 複素数範囲での共通解 / あめ
ああ！そうでした！
すみません、ありがとうございます！
No.65065 - 2020/05/08(Fri) 20:31:44
★ 独立性と相関関係 / ドンキー
2つのつぼA、Bに3つのボールを投げ入れる。
つぼAに入ったボールの数をX、ボールの入っているつぼの数をYとする。このとき、X、Yの同時確率分布関数を求めよ。またX、Yの独立性と相関関係はどうなっているか？

答　同時分布略　独立でないが、無関係である


略解にはX=0,Y=1について載っていて
P(X=0,Y=1)=1/8
P(X=0)=1/8
P(Y=1)=1/4
とあります。
しかしいくら計算してもこれになりません。
起こる事象としては(A,B)でAに入ったボールの数とBに入ったボールの数を表すことにすると
(0.0)
(0.1)
(1.0)
(1.1)
(2,0)
(0,2)
(1.2)
(2.1)
(3.0)
(0.3)
の10通りなので
P(X=0,Y=1)=6/10
P(X=0)=4/10
P(Y=1)=6/10
となると思うのですが、計算が合いません。
ちなみにこれで共分散を計算すると0にならないので無関係であることも言えません。
ご指摘お願いします。
No.65059 - 2020/05/08(Fri) 15:54:39
☆ Re: 独立性と相関関係 / IT
３つのボールはそれぞれAまたはBのつぼのどちらかに入る。
その確率は、等しいという前提だと思います。
P(X=0,Y=1)　は、３つともBに入る確率なので　(1/2)^3=1/8 です。
No.65062 - 2020/05/08(Fri) 18:58:55
☆ Re: 独立性と相関関係 / ドンキー
返信ありがとうございます。

どうも腑に落ちませんね。

> ３つのボールはそれぞれAまたはBのつぼのどちらかに入る。
> その確率は、等しいという前提だと思います。

両方外れる（つまり、(0,0)になる）ことはないということですね。
その考えで行くと最終的状態は
(3.0)(2.1)(1.2)(0.3)
であるが、(2.1)は
(1.0)→(2.0)→(2,1)
(1,0)→(2,0)→(2,1)
(0,1)→(1,1)→(2,1)
となるから3通りある、ということですかね？
確率は式で書くと　3_C_1*(1/2)^3=3/8


これだと
P(X=0,Y=1)=#{(3,0)}/8=1/8
P(X=0)=#{(3,0)}/8=1/8
P(Y=1)=#{(3,0),(0,3)}/8=1/4
ということですか。

正直全く腑に落ちないので、同種の問題が出ても解ける気がしません。
No.65072 - 2020/05/08(Fri) 22:42:20
☆ Re: 独立性と相関関係 / 通りすがり
確率の問題なのに、確率を考えないで場合分けをすることが良くないですね。
〜通りだからといって確率が計算できるのは、すべての場合分けが同じ確率でないといけません。
問題文も誤解を招くような記述なのは、良くないと思いますが。


確率1/2でAに入る。確率1/2でBにはいるとしましょう。

(a.b)はAにa個、Bにb個入った状態とすると、
1回目投げ終わったところで
(1,0): 確率1/2
(0,1): 確率1/2
です。
2回目を投げると、
(1,0)→(2,0): 確率1/4
(1,0)→(1,1): 確率1/4
(0,1)→(1,1): 確率1/4
(0,1)→(0,2): 確率1/4
です。つまり、2回投げた結果け考えると、
(2,0): 確率1/4
(1,1): 確率1/2
(0,2): 確率1/4
を意味します。（3通りに場合分けされているからといって、確率が1/3ずつにはなっていません。）
3回目を投げると、
(2,0)→(3,0): 確率1/8
(2,0)→(2,1): 確率1/8
(1,1)→(2,1): 確率1/4
(1,1)→(1,2): 確率1/4
(0,2)→(1,2): 確率1/8
(0,2)→(0,3): 確率1/8
となるので、3回投げ終わった状態だと
(3,0): 確率1/8
(2,1): 確率3/8
(1,2): 確率3/8
(0,3): 確率1/8
です。

この場合は、Aに入る確率とBに入る確率が同じなので、全部列挙すれば、
(1,0)→(2,0)→(3,0)
(1,0)→(2,0)→(2,1)
(1,0)→(1,1)→(2,1)
(1,0)→(1,1)→(1,2)
(0,1)→(1,1)→(2,1)
(0,1)→(1,1)→(1,2)
(0,1)→(0,2)→(1,2)
(0,1)→(0,2)→(0,3)
全て確率は1/8となって、例えば(2,1)になる確率は3/8などと数えて計算できます。
No.65076 - 2020/05/09(Sat) 00:26:52
☆ Re: 独立性と相関関係 / ドンキー
返信ありがとうございます。

> 問題文も誤解を招くような記述なのは、良くないと思いますが。

問題文は原文となります。


今回の場合は「投げ入れる」だったので、
（1）つぼAに入る
（2）つぼBに入る
（3）どちらのつぼにも入らない
というのがあると考えたのですが、略解では（3）の場合は怒らないとしているのですね。

確かに私の誤解が招いたミスではありますが、それでも腑に落ちないですね・・・
問題文に「ボールはどちらかのつぼに入るものとする」などと書いておいてほしいものです。


問題に文句を言っても仕方ないので、この問題はこれで解決できたということにします。

ご指摘の通りに計算して同時分布を求めて計算した結果は、答えと同じになりました。
No.65099 - 2020/05/09(Sat) 14:40:45
☆ Re: 独立性と相関関係 / IT
> 今回の場合は「投げ入れる」だったので、
> （1）つぼAに入る
> （2）つぼBに入る
> （3）どちらのつぼにも入らない
> というのがあると考えたのですが、略解では（3）の場合は怒らないとしているのですね。
>
> 確かに私の誤解が招いたミスではありますが、それでも腑に落ちないですね・・・
> 問題文に「ボールはどちらかのつぼに入るものとする」などと書いておいてほしいものです。

おっしゃるとおりだと思います。
私も最初（略解を見る前）は、つぼに入らない場合もあると考えました。
いずれにしても、それぞれのつぼに入る確率・どちらにも入らない確率を明記しないとダメですね。
No.65107 - 2020/05/09(Sat) 18:49:53
★ (No Subject) / 高校２年性
このr＝1の時って公式に代入すると分母が0になってしまうと思うのですがこれはどうやってこの形ができるのですか？
No.65054 - 2020/05/08(Fri) 14:09:29
☆ Re: / らすかる
r=1の時の公式はS[n]=naですから「分母」はありません。
No.65056 - 2020/05/08(Fri) 14:29:00
★ (No Subject) / よびりん
この解答の上の方で、整数として、とありますが、nは自然数なのにこのような表記でよいのですか？
No.65049 - 2020/05/08(Fri) 12:40:16
☆ Re: / IT
最初の時点ではx,y,z は0の可能性もありますから、自然数ではなく整数とすべきです。

仮に　x,y,z が１以上の整数（自然数）だってとしても「整数」と書いてもまちがいではありません。
No.65050 - 2020/05/08(Fri) 12:46:01
★ (No Subject) / あい
この問題の答えを教えてください。
No.65047 - 2020/05/08(Fri) 12:29:45
☆ Re: / あい
これです
No.65048 - 2020/05/08(Fri) 12:30:18
☆ Re: / X
(1)
Cの方程式から
y'=3x^2+a (A)
∴C上の点(t,t^3+at)における接線の方程式は
y=(3t^2+a)(x-t)+t^3+at
∴これが点Pを通るとすると
-3p=(3t^2+a)(p-t)+t^3+at
整理して
2t^3-3pt^2-(a+3)p=0 (B)
よって題意を満たすためには
任意のp＞0に対し、tの3次方程式(B)が
実数解を二つのみ持てばよい
ことが分かります。
ここで
f(t)=2t^3-3pt^2-(a+3)p
と置くと
f'(t)=6t^2-6pt
=6t(t-p)
∴f(t)は
t=0で極大、t=pで極小
となるので題意を満たすためには
f(0)=0又はf(p)=0
つまり
-(a+3)p=0 (C)
又は
2p^3-3p^3-(a+3)p=0 (D)
(C)のとき
a=-3
(D)のとき
p^3+(a+3)p=0
p(p^2+a+3)=0
∴題意を満たすaの値は存在しません。
以上から求めるaの値は
a=-3

(2)
(1)の結果から問題の二本の接線の
Cとの接点のx座標をtとすると
2t^3-3pt^2=0
∴t=0,3p/2
∴(A)より題意を満たすためには
-3{3(3p/2)^2-3}=-1
これより
(3p/2)^2-1=1/9
(3p/2)^2=10/9
∴p=(2/9)√10
No.65051 - 2020/05/08(Fri) 12:47:30
☆ Re: / あい
p^3+(a+3)p=0
p(p^2+a+3)=0
∴題意を満たすaの値は存在しません。

をみたすaはどうして存在しないのですか？
a=-p^2-3はダメなのでしょうか？
No.65055 - 2020/05/08(Fri) 14:28:12
☆ Re: / X
条件からaはpによらない値でなければいけません。
ですので
a=-p^2-3
は不適です。
No.65058 - 2020/05/08(Fri) 14:59:49
☆ Re: / あい
なるほど！ありがとうございました！
No.65061 - 2020/05/08(Fri) 16:55:26
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