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★ 線形代数、一次結合の問題 / えすやま

大学の講義の開始が遅れているので予習をしているのですが、わからないところがありました。解答には結論しか書かれておらず、どのように導いたのかわかりません。導出過程をよろしくお願いします。問題と答えは画像に書きました。 No.64224 - 2020/04/08(Wed) 23:17:52 ☆ Re: 線形代数、一次結合の問題 / ヨッシー ベクトルを行ベクトルで表します。 　(0,a,b)＝m(1,-1,1)＋n(2,1,3) と書けるということなので、ｘ成分の計算より 　0＝m＋2n よって、m＝-2n。これを代入して 　(0,a,b)＝-2n(1,-1,1)＋n(2,1,3) ｙ、ｚ成分の計算より 　a＝2n＋n＝3n 　b＝-2n＋3n＝n よって、 　ａ＝３ｂ No.64225 - 2020/04/09(Thu) 00:31:29 ☆ Re: 線形代数、一次結合の問題 / えすやま ありがとうございます。理解しました。 No.64227 - 2020/04/09(Thu) 01:13:14

★ (No Subject) / カオリ
↓の問題の写真です No.64215 - 2020/04/08(Wed) 09:19:37 ☆ Re: / ヨッシー 元の記事の、［返信］ボタンを押して、同じ記事に続けて投稿して下さい。 回答は、元の記事の方に書きました。 No.64217 - 2020/04/08(Wed) 09:33:25

★ 答えを見てもわかりません。 / カオリ
春休みの宿題で解答を見ても、何故そうなるのか理解出来ない問題があります。 問28の（1）です。 問題の中の4は何処に行きましたか？ No.64214 - 2020/04/08(Wed) 09:18:14 ☆ Re: 答えを見てもわかりません。 / ヨッシー (x^2−3x＋4)(x−1) の 4 は x−1 を掛けられて、4x−4 になりますが、 これは、x^2 に関係ないので、書かれていません。 もし、納得いかないなら、実際に全部展開してみればわかると思います。 No.64216 - 2020/04/08(Wed) 09:32:06

★ 説明の解釈 / 集合

集合についての質問です。 この写真の場合、 U = {{1, 2, ...}, {2, 3, ...}, {3, 4, ...}, ...} と解釈しても大丈夫でしょうか。 No.64211 - 2020/04/08(Wed) 06:26:25 ☆ Re: 説明の解釈 / 集合 もし僕の解釈が正しければ, 自然数を最小値に割り当てればUが加算集合であることを証明することができると思うのですが、間違ってたら訂正をお願いします No.64212 - 2020/04/08(Wed) 06:32:25 ☆ Re: 説明の解釈 / 黄桃 ダメです。そのUは the set of upward-closed sets の１つですが、the set of upward-closed sets はそれだけではありません。 ＃他の例としては、U={N}とか、U={{2,3,...},{13,14,...}}とかがあります。 もちろん、この場合に証明すれば十分ということを証明してからなら大丈夫でしょう。 考え方は、述べられている通りでいいと思います。 ＃Nは0を含むのか、とか、空集合も upward-closed set だ、とかの些末な問題はありますが、それらは本質的ではありません。 No.64213 - 2020/04/08(Wed) 09:07:54 ☆ Re: 説明の解釈 / 集合 ありがとうございます。配点が微妙な問題だったので引っ掛け等があるのかと悩んでましたが、とりあえず素直にUは空集合以外の0を含まないすべてのupward-closed setとした上で進めようと思います No.64218 - 2020/04/08(Wed) 09:47:02

★ 三角形の面積の期待値 / 確率統計
三角形の期待値の問題です。 答えが３番の1/πになります。 僕の答えは1/2πになってしまいました。 どなたか解説お願いします！ No.64209 - 2020/04/08(Wed) 02:56:00 ☆ Re: 三角形の面積の期待値 / らすかる ∠POQ=θのとき面積はsinθ/2なので 半周分積分してπで割れば {∫[0〜π]sinθ/2 dθ}/π=1/π No.64210 - 2020/04/08(Wed) 03:13:57 ☆ Re: 三角形の面積の期待値 / 確率統計 ありがとうございます！ No.64220 - 2020/04/08(Wed) 12:14:02

★ 等比数列の和 / 漸化式

写真の部分はなぜ答えのような式になるのでしょうか？ 解説お願いいたします No.64201 - 2020/04/07(Tue) 19:17:24 ☆ Re: 等比数列の和 / 漸化式 この部分が分かりません。 No.64202 - 2020/04/07(Tue) 19:18:43 ☆ Re: 等比数列の和 / ast 初項 1, 公比 r の n-項数列 1, r, …, r^(n-1) の和は (1-r^n)/(1-r) というのが等比数列の和の公式です. r の右肩の n が項数 n に一致することに注目してください. (どうして同じ n になるのか分からなければ, 公式の導出をしている教科書の該当部分に戻って, どんな和の取り方をしたか確認してください) 翻って, 写真の和は (n-1)-項の和なんだから r の右肩は n-1 です. (何をどこまで足しているかピンとこない場合は, 和の部分をシグマではなく + を使って書いてみてください) (どのあたりに注目して さらに -1 すべきとお考えになったか, できればより詳しく提示して頂ければ, もしかしたらさらに補足できるかもしれません) No.64203 - 2020/04/07(Tue) 19:31:18

★ 関連の写真２ / フジ

関連の写真２枚目です。 No.64200 - 2020/04/07(Tue) 19:00:04 ☆ Re: 関連の写真２ / IT 自信がないですが その条件を満たす点Dの位置は、いろいろありますが どういう場合でも、BCの共役弧上の点Eで、△EBCが△DBCが内部になるようなものをとるためには、 弦BC上の（B,Cを除く）任意の点Mと点Dを結んだ線分と円γの交点をEとすると 点Dの位置による場合分けなしに点Eが取れるからだと思います。 逆に言うと、BCの共役弧上に直接点Eを取ろうとすると、点Dの位置によって場合分け＃が必要となるが、弦BC上の（B,Cを除く）の点MをとってEを決めると場合分けの必要がないから。 （＃　線分DB、DCがそれぞれ円γとB,C以外の交点を持つか持たないか） No.64205 - 2020/04/07(Tue) 20:56:07 ☆ Re: 関連の写真２ / フジ IT様 大変わかりやすい説明を、有り難うございました。 複数の写真を一つにまとめる方法を、また試行錯誤してみようと思います。アドバイスまでいただきまして、感謝申し上げます。 No.64207 - 2020/04/07(Tue) 22:18:29 ☆ Re: 関連の写真２ / IT > 複数の写真を一つにまとめる方法 複数の投稿でもいいですから、元の質問の「返信」として続けて投稿されると、一連の質問になります。 No.64208 - 2020/04/07(Tue) 22:29:54

★ 関連の写真１ / フジ
図形問題の関連写真１枚目 No.64199 - 2020/04/07(Tue) 18:59:15

★ (No Subject) / フジ
通信制の大学生で、教員免許取得を目指しています。 図形の問題で、添付写真のうち、 「幾何学１　PF2030」の、点Mを持ち出さなければならない理由、を教えていただきたいです。 他の２枚の写真は、その問題に関連する内容です。 No.64198 - 2020/04/07(Tue) 18:57:53 ☆ Re: / IT 2枚目の写真の方に回答しました。 ３つをまとめられたほうがいいですよ。 No.64206 - 2020/04/07(Tue) 21:33:21

★ (No Subject) / ヒカリ

現在、数学Aの確率の計算を勉強しております。 範囲は、高校1年〜2年？だと思います。 そこで次のような問題が出ました。 10円の硬貨1枚と50円の硬貨1枚を同時に投げるとき、次の確率を求めなさい。 (1)2枚とも裏が出る確率 (2)表と裏が1枚ずつ出る確率 (1)は10円の硬貨が裏になる確率が1/2 50円の硬貨が裏になる確率も1/2なので 1/2×1/2で答えは1/4というのはわかります。 (2)も裏表もパターンを表にすれば、答えは1/2である事はわかりますし、直感的にも1/2である事はわかります。 しかし、どのような考えで、計算式を導き出せばいいのかがわからず困っています。 回答の方お待ちしております。 No.64191 - 2020/04/07(Tue) 18:27:20 ☆ 確率の計算式 / ヒカリ すいません件名を入れ忘れました。 以下誤字です。 誤：(2)も裏表もパターンを表にすれば、 正：(2)もパターンを表にすれば No.64193 - 2020/04/07(Tue) 18:32:48 ☆ Re: / ヨッシー 式で書くなら 　2×1/2×1/2＝1/2 です。 最初の２は、表と裏が１枚ずつ出る場合の数です。 両方表の場合の場合の数は１、両方裏も１です。よって、いずれも 　1×1/2×1/2＝1/4 と考えれば、同じ基準で考えることが出来ます。 No.64195 - 2020/04/07(Tue) 18:38:45 ☆ Re: / ヒカリ 回答ありがとうございます！ なるほど、とても納得しました。 また機会がありましたら、回答よろしくお願いいたします。 No.64197 - 2020/04/07(Tue) 18:55:04

★ (No Subject) / あ

続きです。 No.64177 - 2020/04/07(Tue) 15:56:54 ☆ Re: / ヨッシー 左上 １つ目の□　因数分解（分配法則の逆）です。 ２つ目の□　cos(2x) 倍角の公式そのままです。 右上 １つ目と２つ目の□　和積の公式の和を積に直す方の式を使います。 ３つ目と４つ目の□　約分です。 ５つ目の□　　sinθ/cosθ＝・・・　の公式です。 左中 １つ目の□　　　　　tan の加法定理そのままです。 ２つ目と３つ目の□　倍角の公式を使ってと書いてありますね。 右中　回答済み 下の方の３題　全部和積の公式そのままです。 No.64187 - 2020/04/07(Tue) 17:35:37 ☆ Re: / a ありがとうございます。 解説毎回わかりやすいです。 返信できなくてすみませんでした。 No.64188 - 2020/04/07(Tue) 17:38:54

★ 球面上の円の重なっている部分の面積 / あ

下記教えていただきたいです。 半径Rの球面上に半径r1、半径r2の円があり、球の中心からそれぞれの円の中心に線を下ろしたときの角度をθとするとき、それぞれの円の重なっている部分の（球面上の）面積S。 ※それぞれの円は2点で交わっているとする。 No.64176 - 2020/04/07(Tue) 15:40:50 ☆ Re: 球面上の円の重なっている部分の面積 / 関数電卓 （回答ではありません） 左図の着色部の面積が求められ（定式化され）ればこの先なんとかなるのでしょうが，これって簡単ではないでしょう！ 平面上の２円の交わりに関する超有名問題の右図の面積も，難問の部類ですから… No.64219 - 2020/04/08(Wed) 11:36:23 ☆ Re: 球面上の円の重なっている部分の面積 / らすかる （回答ではありませんが回答に若干近いです） 関数電卓さんの図に従って具体例で計算してみると、例えば 球面：x^2+y^2+z^2=1 小円：平面z=3/5で切ったとして x^2+y^2=16/25,z=3/5 大円：平面x=zで切ったとして 2x^2+y^2=1,z=x とした場合 平面 xsinα=ycosα で切ると 小円との交点(の一つ)は (4cosα/5,4sinα/5,3/5) 大円との交点(の一つ)は (cosα/√{(cosα)^2+1},sinα/√{(cosα)^2+1},cosα/√{(cosα)^2+1}) 小円と大円が交わる時のαの値は cosα/√{(cosα)^2+1}=3/5を解いてcosα=±3/4 求める面積は球に外接する円筒に投影した領域の面積なので 2∫[0〜arccos(3/4)]cosα/√{(cosα)^2+1}-3/5 dα =2∫[0〜arccos(3/4)]cosα/√{2-(sinα)^2}-3/5 dα =2∫[0〜√7/4]1/√(2-t^2)-3/5 dt　（sinα=tとおいた） =2[arcsin(t/√2)-3t/5][0〜√7/4] =2arcsin(√14/8)-3√7/10 関数電卓さんの右の図も逆三角関数が出てくる答えなので、 少なくとも同レベルの難しさはありますね。 しかも元の問題は各パラメータが変数ですから、 同じように答えが出せるかどうかはわかりません。 No.64221 - 2020/04/08(Wed) 16:11:06 ☆ Re: 球面上の円の重なっている部分の面積 / 関数電卓 > 求める面積は球に外接する円筒に投影した領域の面積なので これ，巧みですね！ いつもながら脱帽です。 No.64222 - 2020/04/08(Wed) 17:38:04

★ (No Subject) / a
大学の問題 No.64174 - 2020/04/07(Tue) 15:18:37 ☆ Re: / ヨッシー １つ目の□ 　tan の加法定理そのままです。ただし逆数。 ２つ目の□ 　分母を cot(x)cot(y) にして通分したいみたいなので、 　□の中も、それに合わせるにはどうしたら良いかを考えます。 No.64179 - 2020/04/07(Tue) 16:30:56 ☆ Re: / a > 大学の問題 ありがとうございます。 毎回返信できてなくてすみませんでした。 No.64184 - 2020/04/07(Tue) 17:23:45

★ (No Subject) / あ
前のやつが重複していました。 No.64173 - 2020/04/07(Tue) 15:13:37 ☆ Re: / ヨッシー tan の加法定理そのままです。 No.64178 - 2020/04/07(Tue) 16:04:02 ☆ Re: / a ありがとうございました。 毎回解説ありがとうございます。 とてもわかりやすいです。 返信できなくてすみませんでした。 自分の注意ミスだったので、これから気をつけます。 No.64185 - 2020/04/07(Tue) 17:24:55

★ (No Subject) / れ

大学の問題です。 この答えになる途中式がわかりません。 No.64171 - 2020/04/07(Tue) 14:58:14 ☆ Re: / ヨッシー 1) 分子分母に (1＋cosα) を掛けて、 　(与式)＝(1−cos^2α)/sinα(1−cosα) 　　　　＝sin^2α/sinα(1−cosα)＝sinα/(1−cosα) 2) 分子分母に sinｘcosｘ を掛けて、 　(分母)＝sinｘcosｘ(1/cosｘ＋1/sinｘ)＝sinｘ＋cosｘ よって、 　(与式)＝sinｘcosｘ(sinｘ＋cosｘ)/(sinｘ＋cosｘ)＝sinｘcosｘ 3) 分子分母に cosθ を掛けて、 　(与式)＝cos^2θ/cosθ(1−sinθ)＝(1−sin^2θ)/(cosθ−sinθcosθ) 分子分母をsinθで割って 　(与式)＝(1／sinθ−sinθ)/(cosθ/sinθ−cosθ)＝(sinθ−cscθ)/(cosθ−cotθ) 4) 　(分母)＝(tanθ−cotθ)(tanθ＋cotθ) より 　(与式)＝1/(tanθ＋cosθ)＝1/(sinθ/cosθ＋cosθ/sinθ) 　　　　＝1/{(sin^2θ＋cos^2θ)/sinθcosθ}＝sinθcosθ 5) 分子分母 (1−sinｘ) を掛けて 　(与式)＝(1−sinｘ)^2/(1−sin^2ｘ)＝(1−sinｘ)^2/cos^2ｘ 　　　　＝{(1−sinｘ)/cosｘ}^2 　　　　＝{1/cosｘ−sinｘ/cosｘ}^2 　　　　＝(secｘ−tanｘ)^2 No.64175 - 2020/04/07(Tue) 15:29:42 ☆ Re: / a 回答ありがとうございます。 返信できなくてすみませんでした。 No.64183 - 2020/04/07(Tue) 17:15:59

★ 絶対値 / ゆ

数1の範囲で質問です。 「|A|＝|B|」<=>「A＝±B」という同値変形について AとBがxを変数にもつ変数だとすると、絶対値を外す時、「Aが正かつBが正」または「Aが負かつBが負」を満たすようなxの範囲においてA＝B（A＝−Bの時も同様）というようにxの範囲も一緒に考えると僕は思ったのですが上の同値変形ではどうしてxの範囲を考えないで良いのですか？ A＝BまたはA＝−Bという等式だけでは上記のようなxの範囲を満たさないようなxが出てくる可能性は無いのでしょうか 伝わりにくかったらごめんなさい。教えていただけると幸いです 例）自分のやり方 |2x+2|=|3x-3|を満たすxを求めよ x<ー1または1<xの時2x +2＝3x−3よって x＝5、これは範囲を満たす −1≦x≦1の時2x +2＝−（3x−3）　よってx＝1/5これは範囲を満たす よってx＝5または1/5 模範解答では2x +2＝±（3x−3）を解くだけです No.64170 - 2020/04/07(Tue) 12:44:10 ☆ Re: 絶対値 / ヨッシー なかなか悩ましいですが、 >上記のようなxの範囲を満たさないようなxが出てくる可能性は無いのでしょうか 可能性はありません。 例えば、|2x+2|=|3x-3| の場合、 x＜−1 または 1＜x というのは、 　2x+2＞０ かつ 3x-3＞０　または 　2x+2＜０ かつ 3x-3＜０ となるｘの範囲ですね？でもって、 　2x+2＝3x-3 とおいて解いたのに、x＜−1 または 1＜x に当てはまらない すなわち −1＜ｘ＜1 だとすると、（等号は別途考えるとしてここでは省略します） 　2x+2＞０ かつ 3x-3＜０　または 　2x+2＜０ かつ 3x-3＞０ であることを意味します。つまり 2x+2 と 3x-3 は異符号なのですが、 異符号なのに 2x+2＝3x-3 となることはありえないので、 上記のようなことは起こらないのです。 その代わり異符号のときは、 　2x+2＝−(3x-3) として、符号を揃えて＝で結ぶのですね。 結果として、 >2x +2＝±（3x−3）を解くだけ で良いのです。 No.64181 - 2020/04/07(Tue) 17:10:41 ☆ Re: 絶対値 / ゆ 回答していただきありがとうございます！ とても納得できました　 No.64189 - 2020/04/07(Tue) 17:49:48

★ (No Subject) / フジ

初めて投稿致します。 lim(x→∞):(e^x-1-x)/x^2 どなたか、上の極限の解き方を教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。 No.64169 - 2020/04/07(Tue) 12:37:56 ☆ Re: / ヨッシー ｘ→0 ではなく ｘ→∞　で正しいですか？ また、対象学年は？ No.64190 - 2020/04/07(Tue) 17:56:53 ☆ Re: / フジ 大変失礼いたしました。 x→0です。 通信制の大学生です。 教員免許取得を目指しています。 No.64192 - 2020/04/07(Tue) 18:28:30 ☆ Re: / ヨッシー e^x のマクローリン展開 　e^x＝1＋x/1!＋x^2/2!＋x^3/3!＋x^4/4!＋・・・ を使うと、 　(与式)＝lim[x→0](1/2!＋x/3!＋x^2/4!＋・・・)＝1/2 となります。 No.64194 - 2020/04/07(Tue) 18:34:49 ☆ Re: / フジ ありがとうございました。 マクローリン展開の利用ですね。 大変参考になりました。 No.64196 - 2020/04/07(Tue) 18:45:26 ☆ Re: / 通りすがり > 初めて投稿致します。 > > lim(x→0):(e^x-1-x)/x^2 > > どなたか、上の極限の解き方を教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。 分母分子ともに二回微分をすれば 求める値は １/２ ではないかと推理できますね。 No.64450 - 2020/04/19(Sun) 23:22:07

★ 漸化式と極限 / 修業中
漸化式と極限の問題です。 数列anが a1＝1/4 ２an-an+1-３anan+1＝0 (n＝1,2,3･･･)を満たしている。この数列の一般項は、an「 」で与えられる。 答えは１/{(１/２)}n-1+3です。 回答の解き方では、両辺をanan+1(≠0)で割る方法が書いてあり、理解できるのですが、別の問題ではan+1＝Pan+Q の形で解いています。この問題でもan+1＝Pan+Q の形に変形して解くことは可能でしょうか。やってみたのですが上手くいきませんでした･･･。個人的興味で申し訳ありませんが、教えてくださると幸いです。 No.64165 - 2020/04/06(Mon) 23:34:00 ☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる 「an+1＝Pan+Q の形」にはならないので、不可能です。 No.64166 - 2020/04/07(Tue) 00:22:54

★ 円の半径 / たろう

PとQの半径が求まりません。 半円Oの半径は２です。 方針等ご教授いただけると助かります。 No.64163 - 2020/04/06(Mon) 19:06:00 ☆ Re: 円の半径 / らすかる Pから半円の直径に垂線PHを下します。 円O'の半径は1なので、円Pの半径をrとすると O'P=1+r、OP=2-r、PH=rです。 OH=√(OP^2-PH^2)=2√(1-r) O'H=OO'+OH=1+2√(1-r) これをO'H^2+PH^2=O'P^2に代入すると {1+2√(1-r)}^2+r^2=(1+r)^2 これを解いてr=8/9 Qから半円の直径に垂線QIを下します。 円Qの半径をsとすると O'Q=1+s, OQ=2-s, PQ=8/9+sとなります。 OI^2+QI^2=OQ^2 と O'I^2+QI^2=O'Q^2 から OI^2-O'I^2=OQ^2-O'Q^2=(2-s)^2-(1+s)^2=3-6s OI+O'I=OO'=1とOI^2-O'I^2=(OI+O'I)(OI-O'I)から OI-O'I=3-6s 従ってOI=2-3s,O'I=-1+3sとわかり、 QI=√(OQ^2-OI^2)=√((2-s)^2-(2-3s)^2)=2√{2s(1-s)} もわかります。 PからQIに垂線PJを下すと QJ=QI-IJ=QI-PH=2√{2s(1-s)}-8/9 PJ=HI=OH+OI=8/3-3s これらを QJ^2+PJ^2=PQ^2に代入すると {2√{2s(1-s)}-8/9}^2+(8/3-3s)^2=(8/9+s)^2 これを解いてs=8/17 従って円Pの半径は8/9、円Qの半径は8/17となります。 No.64164 - 2020/04/06(Mon) 19:06:21

★ 数?T青チャート　練習106　(2) / 岩波太郎

問題：以下の不等式を解け。ただし、aは定数とする。 (2)ax^2>x 解答： a>0のときx<0,1/a<x a=0のときx<0 1/a<x<0 とあります。 導出過程で、x(ax-1)>0と因数分解するまでは分かるのですが、そこからx=0,x=1/aを基準にして、0<1/a,1/a=0,1/a<0と場合分けするのではなく、aの正、0、負で場合分けする理由が分かりません。 前者(1/aを基準にする)で場合分けすると、1/a=0の時も考えないといけなく、少し違和感はあったのですが、それでもaの正、0、負での場合分けする理由が分かりません。 何故このやり方を使うのか、分かる方がいましたら回答宜しくお願いします。 No.64158 - 2020/04/06(Mon) 06:55:03 ☆ Re: 数?T青チャート　練習106　(2) / ヨッシー ａ≠０ においては、０＜ａ　と　０＜1/a 、０＞ａ　と　０＞1/a はそれぞれ同値です。 同値というからにはどちらを用いても良いわけですが、 　ａ＝０　のとき　・・・ 　ａ≠０　かつ　０＜1/a のとき　・・・ 　ａ≠０　かつ　０＞1/a のとき　・・・ と書くより、 　ａ＝０　のとき　・・・ 　ａ＞０　のとき　・・・ 　ａ＜０　のとき　・・・ と書いたほうが明快なので、そのようにしています。 ０＜1/a と書いただけで、ａ≠０ を前提としているのはわかりますが、読み手にそういう気を使わせるより ０＜ａ と書いたほうが良いです。 また、ａ＜０、ａ＞０ で分けることは、０と1/a の大小関係だけでなく、 答えが、　ｘ＜ａ　または　ｂ＜ｘ のパターンか、 ａ＜ｘ＜ｂ　のパターンかを分ける境界となりますので、 その意味合いの方が強いと思います。 No.64159 - 2020/04/06(Mon) 09:08:39 ☆ Re: 数?T青チャート　練習106　(2) / 岩波太郎 >>ａ≠０ においては、０＜ａ　と　０＜1/a 、０＞ａ　と　０＞1/a はそれぞれ同値です。 これは気づきませんでした。 確かに計算したら同じ不等式になります。 丁寧な回答ありがとうございました。 おかげで助かりました。 No.64167 - 2020/04/07(Tue) 00:29:03

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