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★ 素数 / Ran
この問題の解答で理解できないところがあります。

私が蛍光ペンを引いているところなのですが、m.nは互いに素だから、mがpという約数をもつんじゃないですか？？

mとpの大小関係もわかっていないのに、pはmの倍数と決まる理由がわかりません。

よろしくお願いします
No.64710 - 2020/04/28(Tue) 11:14:36
☆ Re: 素数 / Ran
解答です
No.64711 - 2020/04/28(Tue) 11:14:59
☆ Re: 素数 / らすかる
m,nが互いに素なのでn^2とmも互いに素です。
pn^2=m(p-6n)という式から
pn^2はmで割り切れることがわかりますが、
n^2はmと互いに素なので
pがmで割り切れなければなりません。
よってpはmの倍数です。

ちなみに、「mがpという約数を持つ」とは言えません。
m(p-6n)はpで割り切れますが、もしp-6nがpで割り切れないのであれば
mがpで割り切れることになり、「mがpという約数を持つ」と言えますが、
p-6nがpで割り切れる可能性がありますのでそれは言えません。
No.64712 - 2020/04/28(Tue) 11:31:04
☆ Re: 素数 / Ran
なるほど！
理解できました！ありがとうございました(*´ω｀*)
No.64713 - 2020/04/28(Tue) 11:49:40
★ (No Subject) / うい
この、AIの直線がBCを二等分するというのは
どこから読み取れますか？
No.64704 - 2020/04/28(Tue) 07:30:39
☆ Re: / ヨッシー

図において、
　△ＡＤＩ≡△ＡＥＩ　（直角三角形の斜辺と１辺の相等）
を示して、
　∠ＤＡＩ＝∠ＥＡＩ
を言ったあと、
　△ＡＢＦ≡△ＡＣＦ　（２辺挟角相等）
から
　ＢＦ＝ＣＦ
が言えます。

点Ｉは内心なので、
　∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＦ
は自明。
から始めてもいいでしょう。
No.64705 - 2020/04/28(Tue) 08:17:25
☆ Re: / うい
ありがとうございます！
No.64706 - 2020/04/28(Tue) 10:10:38
★ 球の表面積と体積 / hana
球の体積を画像の上の式で、https://mathtrain.jp/ballsvで紹介されているように求めました。
表面積も同様に求めたかったのですが、画像の下の式で同じように計算すると結果が正しくないです。なぜ表面積はこの方法だと失敗するのでしょうか、、
No.64696 - 2020/04/27(Mon) 23:38:00
☆ Re: 球の表面積と体積 / らすかる
面積を求めるための曲線が、積分方向に真っすぐに進んでいないからです。
円が大きくなるときは積分方向であるx軸から離れる方向に、小さくなるときは
近づく方向に向かっていますね。これでは正しく積分できません。
真っすぐに進む円柱の側面ならばその方法で積分できますが、
円錐の側面も同じようにやると正しく出ません。
円柱と円錐で「幅Δxぶんの面積」を考えてみてください。
円柱ではΔx進めばそのぶんの面積はΔx×円周ですが、
円錐では斜めになっているぶんΔx×円周より大きくなりますよね。
よってこの「斜めであることによって大きくなるぶん」も式の中に入れれば、
正しく積分できます。
斜めであることによって大きくなる比率はr/√(r^2-x^2)ですから
それを掛けると
∫[-r〜r]2π√(r^2-x^2)・r/√(r^2-x^2)dx
=∫[-r〜r]2πrdx
=4πr^2
のように正しく計算されます。
No.64697 - 2020/04/28(Tue) 00:43:56
☆ Re: 球の表面積と体積 / ヨッシー
他人様のページですが、
こちら や こちら に記事があります。
No.64703 - 2020/04/28(Tue) 07:11:04
☆ Re: 球の表面積と体積 / hana
ありがとうございます！
No.64726 - 2020/04/28(Tue) 21:01:17
★ 大学の問題です / 関数
-がつくとどう言う風になるかわかりません。
No.64691 - 2020/04/27(Mon) 19:52:50
☆ Re: 大学の問題です / X
(a)
(与式)=csc(-arctan(5/12))
=1/sin(-arctan(5/12))
=-1/sin(arctan(5/12))
=…

(b)
(与式)=cos{-arcsin(3/5)-(π-arccos(5/13))}
=cos{arccos(5/13)-arcsin(3/5)-π}
=-cos{arccos(5/13)-arcsin(3/5)}
=… (加法定理を使って展開します)

(c)
加法定理を使って展開します。
No.64693 - 2020/04/27(Mon) 20:25:35
☆ Re: 大学の問題です / 関数
ありがとうございます！！
No.64699 - 2020/04/28(Tue) 01:06:25
★ 整数問題 / タカ
資料の赤枠の赤のﾗｲﾝの部分について
さっぱり分かりません。
詳しい説明をお願い致します。
No.64689 - 2020/04/27(Mon) 18:20:15
☆ Re: 整数問題 / IT
１ステップずつ　改行して書き写して、どこまではわかるが、どこが分からないかを確認される必要があります。

1 ＣがＢの倍数でない。　
　よって、
　ある素数Ｐについて
（１）　　ＣがＰで割れる回数をｋ。　すなわち　Ｃ＝(P^k)Q（ＱはＰと互いに素な整数）
（２）　　ＢがＰで割れる回数をＬ。　すなわち Ｂ＝(P^L)R（ＲはＰと互いに素な整数）
　としたとき、　k＜Ｌを満たすと仮定することができる。　

２　k＜Ｌより、Ｌ−ｋ≧１　

３　ＡＣはＢの倍数なので、ＡＣ＝ＢＭとなる整数Ｍが存在する。

４　（２）よりＢＭ（＝ＡＣ）は素数ＰでＬ回以上割れる。


５　４と（１）より　Ａは素数Ｐで少なくともＬ-ｋ回（１回以上）割れる。


どの部分が分かりませんか？
No.64690 - 2020/04/27(Mon) 18:51:26
☆ Re: 整数問題 / タカ
1ｽﾃｯﾌﾟの部分ですが、最後の結論部分でk＜Ｌを満たすと仮定することができる。とありますが、これはつまりはCがB
の倍数ではないとしているのでC/Bの値が整数にならなく
分数になってしまうという意味からK＜Lという結論
なのでしょうか？
そしてQとRを使って表す意味が分かりません。
回答をよろしくお願い致します。　
No.64709 - 2020/04/28(Tue) 10:58:20
☆ Re: 整数問題 / IT
> 1ｽﾃｯﾌﾟの部分ですが、最後の結論部分でk＜Ｌを満たすと仮定することができる。とありますが、これはつまりはCがB
> の倍数ではないとしているのでC/Bの値が整数にならなく
> 分数になってしまうという意味からK＜Lという結論
> なのでしょうか？
趣旨がはっきりとは分かりませんので
確実ではないですが、おそらく違うと思います。

ＣとＢを素因数分解して各素数の指数について大小比較しているのです。

ＣがＢの倍数のとき、
ＣとＢを素因数分解して各素数の指数について大小比較するとどうなるかを考えると分かりやすいかも知れません。

> そしてQとRを使って表す意味が分かりません。
「すなわち」以下は、説明のために書いたので分からなければ取りあえず無視してもらっても結構です。

素因数分解については既習ですか？
No.64725 - 2020/04/28(Tue) 20:49:18
☆ Re: 整数問題 / taka
素因数分解は既習です。
No.64735 - 2020/04/28(Tue) 23:21:23
★ 一次不等式 / とら
この答えは1<xなのですが何故そうなるのでしょうか。2は図を見る限り含まれていないようなのですが…
No.64685 - 2020/04/27(Mon) 16:42:57
☆ Re: 一次不等式 / ヨッシー
それは、場合分けにｘ＝２の場合を入れていないからです。
[3] として、ｘ＝２ のとき　とするか、
[1] を ｘ≦２　とするか、
[2] を ｘ≧２　とすれば、解決します。
No.64686 - 2020/04/27(Mon) 16:50:53
☆ Re: 一次不等式 / とら
なるほど、ありがとうございます😊
No.64687 - 2020/04/27(Mon) 17:02:47
★ (No Subject) / 関数
この手の問題がとても苦手です。
No.64684 - 2020/04/27(Mon) 16:31:57
☆ Re: / X
(a)
問題の方程式から
1/cos4θ-2=0
∴cos4θ=1/2
∴4θ=±π/3+2nπ
(nは任意の整数)
よって
θ=±π/12+nπ/2
(nは任意の整数)

(b)
問題の方程式から
4sinθcosθ-3sinθ=0
(4cosθ-3)sinθ=0
∴cosθ=3/4又はsinθ=0
となるので
θ=±arccos(3/4)+2nπ,nπ
(nは任意の整数)
No.64692 - 2020/04/27(Mon) 20:19:27
☆ Re: / 関数
ありがとうございます！！
No.64698 - 2020/04/28(Tue) 01:06:04
★ 大学の問題です / お豆
この問題がとても苦手です。
No.64683 - 2020/04/27(Mon) 16:24:16
☆ Re: 大学の問題です / ヨッシー
(1)と(2) はそれぞれ
　tanθ−2＝0
　9sin^2θ−1＝0
　tan^2θ−4＝0
　2cosθ＋1＝0
を解くだけです。

(3)
　sin^2θ/cos^2θ−8/cosθ＝8
両辺 cos^2θ を掛けて
　sin^2θ−8cosθ＝8
　1−cos^2θ−8cosθ＝8
　cos^2θ＋8cosθ＋7＝0
(cosθ＋7)(cosθ＋1)＝0
-1≦cosθ≦1 より
　cosθ＝−1
　θ＝(2n+1)π　(n は任意の整数)

(4) はのちほど。
No.64707 - 2020/04/28(Tue) 10:21:06
☆ Re: 大学の問題です / 関数
ありがとうございます！！
とてもわかりやすいです
No.64714 - 2020/04/28(Tue) 12:13:37
★ 質問 / タカ
資料の赤枠の赤のﾗｲﾝの部分について
さっぱり分かりません。
詳しい説明をお願い致します。
No.64681 - 2020/04/27(Mon) 16:11:21
☆ Re: 質問 / IT
該当部分（赤枠部分）をもう少し大きくアップできませんか？
No.64688 - 2020/04/27(Mon) 18:02:48
★ 解析学 / とら
問題5が方針も立たないです…
お願いします
No.64673 - 2020/04/27(Mon) 01:18:05
☆ Re: 解析学 / IT
(1) も分かりませんか？
a＝p＝0 の場合で考えてみてください。
No.64674 - 2020/04/27(Mon) 02:04:57
☆ Re: 解析学 / とら
a=p=0で思いついたのがXn=1/nなのですがそのような単純なやつで大丈夫ですかね？
(2)は問題の条件においてa＜pと仮定しても次何を書けばいいのか検討がつきません…
No.64676 - 2020/04/27(Mon) 09:07:46
☆ Re: 解析学 / IT
> a=p=0で思いついたのがXn=1/nなのですがそのような単純なやつで大丈夫ですかね？
いいです。

> (2)は問題の条件においてa＜pと仮定しても次何を書けばいいのか検討がつきません
ε＝p-a とおくとε＞0で
p＝a+εです。
すべてのnでx[n] ＞p＝a+εとなり・・・・　
No.64678 - 2020/04/27(Mon) 12:38:44
☆ Re: 解析学 / とら
ありがとうございます
教えていただいた内容で解答を作ってみたのですがもしおかしい点や間違っているところがあればご指摘頂けると幸いです
No.64694 - 2020/04/27(Mon) 22:01:23
☆ Re: 解析学 / IT
(1)　a＝p≠0のときを含んで　示す必要があります。

(2) ｐ＜a はどこから来ましたか?

lim[n→∞]x[n]＝a が使われてないのはおかしいです。
これをεＮ方式で書くとどうなりますか？
No.64695 - 2020/04/27(Mon) 22:27:34
☆ Re: 解析学 / とら
> (1)　a＝p≠0のときを含んで　示す必要があります。
> Xn=(1/n)+a(aは実数)などで良いのでしょうか？
> (2) ｐ＜a はどこから来ましたか?
> 背理法なので示せとのことなのでa≧pを否定してa＜pとしました
> lim[n→∞]x[n]＝a が使われてないのはおかしいです。
> これをεＮ方式で書くとどうなりますか？
εN方式とは∀や∃を用いる条件？みたいなものでしょうか？
すみません大学入ってコロナの影響で授業もなく簡素な資料しか渡されてないのでほぼ解析学については分かってないです
お手数かけますがどうかお願いします
No.64700 - 2020/04/28(Tue) 01:08:57
☆ Re: 解析学 / IT
> Xn=(1/n)+a(aは実数)などで良いのでしょうか？
良いです。「(aは実数)」は、書かなくても良いです。


lim[n→∞]x[n]＝a の定義を書いたテキストなしに問題を解けというのはおかしいですね。　どこかに書いてあるのでは？探してみてください。

その資料に書いてないとすれば、別に（推奨の）テキストを購入していることを前提とした資料ではないですか？

１冊はしっかりしたテキスト（大学から推奨されたものがあるのでは？）を入手され
それを基に学習されることをお勧めします。

下記に　オンライン上に公開されている（いた）テキストがあります。
（一部リンク切れや、外部からのアクセス制限されているものもあります）
https://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20140509/UniversityCalculusPDFNoteLinks

下記に筑波大での講義動画があります。
4. 微積分I (2012) (4) 数列の極限 (Calculus I (2012), Lecture 4)
など参考になると思います。　
https://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140508/p1

（解答は、夕方帰ってから書きますが、できるだけ御自分でやってみてください。
問題４の解答も少し見えますが、おかしい気がします。全部載せてみてください）
No.64701 - 2020/04/28(Tue) 04:29:19
☆ Re: 解析学 / IT
下記「青空学園数学科」の「解析基礎」も参考になります。
掲示板で質問もできます。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/
「解析基礎、実数の構成、数列の収束」
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node11.html
No.64702 - 2020/04/28(Tue) 04:47:20
☆ Re: 解析学 / とら
ありがとうございます お手数おかけして申し訳ございません
頂いたURLも活用して頑張りたいと思います
教科書的なものも一応あるにはあるのですがざっとしか書いてないので困ってます
問題4もお願いします
No.64708 - 2020/04/28(Tue) 10:31:26
☆ Re: 解析学 / IT
問題４　主旨は合っていると思いますが記述がよくないと思います。

> 任意のε＞0に対してａ＜ｂ+εならばａ＞ｂと仮定する
「・・・ならば・・・」という記述はおかしいです。

任意のε＞0に対してａ＜ｂ+ε　…?@であり、
ａ＞ｂと仮定する。

> ａ＜ｂ+εより　ε＞ａ−ｂ＞0で　ε＞0は任意より
この行は不要です。

> ε＝(ａ−ｂ)/2 とおく
（これは活かして）
ａ＞ｂよりε＞0　

?@よりａ＜ｂ+ε＝ｂ+(ａ−ｂ)/2 ＝(ａ+ｂ)/2
∴ａ＜(ａ+ｂ)/2
∴２ａ＜ａ+ｂ
∴ａ＜ｂ　これはａ＞ｂに矛盾する。
よってａ≦ｂである（終）　
No.64724 - 2020/04/28(Tue) 19:45:33
☆ Re: 解析学 / IT
問題５
（２）a＜ｐであると仮定する。

ε＝ｐ−aとおくと　ε＞0でｐ＝a+ε
すべてのｎでx[n]＞ｐなので　
すべてのｎでx[n]＞a+ε …?@

一方lim[n→∞]x[n]=a より　
　ある自然数Mがあって
　　n≧Mなる任意のｎについて
　|x[n]-a|＜ε　∴x[n]-a＜ε ∴x[n]＜a+ε
これは?@と矛盾する。

したがってa≧p　（証明終了）
No.64727 - 2020/04/28(Tue) 21:26:28
☆ Re: 解析学 / とら
ありがとうございます
もう少し言葉の意味や意図を考えて証明を書くように気をつけます
No.64728 - 2020/04/28(Tue) 21:26:40
☆ Re: 解析学 / とら
問題5もありがとうございます
たくさんの事を教えていただいて本当に感謝しております
また分からないことがあれば立てると思うのでもしご都合宜しければ教えていただけると幸いです
No.64730 - 2020/04/28(Tue) 21:29:38
★ 微分 / 瑛
下から3行目からの三次方程式の解がa=3だけになるのはどうしてですか？ 複素数は考えないのですか？
No.64668 - 2020/04/26(Sun) 23:58:19
☆ Re: 微分 / らすかる
複素数は大小関係がありませんので、極大値や極小値を持つためには実数関数でないといけません。
No.64669 - 2020/04/27(Mon) 00:50:44
☆ Re: 微分 / 瑛
そうなんですね…！
最後に最後の行の平方完成している理由を教えてください;
No.64671 - 2020/04/27(Mon) 00:56:38
☆ Re: 微分 / IT
任意の実数ａについて　a^2-6a+18≠0を示すためです。
判別式＜0を示しても良いですが、平方完成すれば直接示せて書く量が少ないので平方完成したのでは？
（判別式も平方完成を使っています。）
No.64675 - 2020/04/27(Mon) 02:49:40
☆ Re: 微分 / 瑛
助かりました…！
お二人共、ありがとうございます！！
No.64679 - 2020/04/27(Mon) 14:18:08
★ 等号成立について / あめ
画像の⑵および⑶についての質問です。
解答の最後にある注に書いてあるとおり、⑶の(ii)の様に最小値を示すために、等号はa=bのとき成立と言うのは分かるのですが、⑵や⑶の(i)の様に証明する際に(等号はa=bのとき成立)と言わなければ行けない理由は何でしょうか？
証明するためには特に必要ないと思うのですが…。
No.64665 - 2020/04/26(Sun) 22:43:14
☆ Re: 等号成立について / IT
書かなくても良いと思います。
No.64672 - 2020/04/27(Mon) 00:57:06
☆ Re: 等号成立について / あめ
ありがとうございます！
No.64680 - 2020/04/27(Mon) 15:00:22
★ 大学の問題です / 関数
この手の問題はどうしても苦手です。
No.64662 - 2020/04/26(Sun) 21:50:16
☆ Re: 大学の問題です / X
(a)
分母を因数分解して約分すると
(左辺)=1/(cotθ-tanθ)
=1/{(cosθ)/sinθ-(sinθ)/cosθ}
=(sinθcosθ)/{(cosθ)^2-(sinθ)^2}
=(右辺)

(b)
分母分子に和積の公式を使うと
(左辺)=(2cosxsiny)/(2cosxcosy)
=(siny)/cosy
=(右辺)
No.64664 - 2020/04/26(Sun) 22:02:37
☆ Re: 大学の問題です / 関数
ありがとうございます！！
No.64677 - 2020/04/27(Mon) 10:24:43
★ 整数 / はる
aを正の奇数とする。次の条件(1)(2)をみたす整数b,cの組がちょうど3つ存在するような最小のaを求めよ。
(1)a,b,cは直角三角形の3辺
(2)a<b<c
答えはa=15なのですが、解答をみるとa=1,3,5…と代入していき、a=15のとき満たすから15、となっています。これだとaが大きな値になったりするとかなり面倒だと思うのですが、他の解法はないでしょうか？
No.64655 - 2020/04/26(Sun) 19:26:11
☆ Re: 整数 / IT
（略解）
条件(1)より　a^2+b^2=c^2 ∴ a^2=(c+b)(c-b)
(c+b,c-b) と(c,b) は１対１に対応する。

aの素因数分解のパターンで分類する。

a=p (pは奇素数）のとき　(c+b,c-b)=(p^2,1) の１組しかないので不適。

a=p^2(pは奇素数）のとき
(c+b,c-b)=(p^4,1),(p^3,p)の2組しかないので不適。

a=pq (p,qは奇素数でp<q）のとき
(c+b,c-b)=((p^2)q^2,1),(pq^2,p),((p^2)q,q) の３組がある。＃

最も小さいのは　a=3*5=15 のときで
　このとき　(b,c)=(112,113),(36,39),(20,25)の３組が条件を満たす。

＃こう言い切るには条件(2) を満たすためのc+b,c-bの条件確認が必要だと思います。
a=pqのパターンに絞るだけなら、a=3*5=15が条件を満たすことを示せば十分です。
No.64657 - 2020/04/26(Sun) 20:04:14
★ (No Subject) / たまご
radの計算が計算機を使うと合いません。
計算機でのradの計算方法が知りたいです。
No.64652 - 2020/04/26(Sun) 16:58:51
☆ Re: / 関数電卓
↓の展開式で計算しています。
No.64653 - 2020/04/26(Sun) 18:35:50
☆ Re: / 関数電卓
x＝-0.3 としてエクセルで計算すると
No.64654 - 2020/04/26(Sun) 18:50:02
☆ Re: / らすかる
arcsinの展開式は扱いにくそうですが、実際に使われているのでしょうか？
私が以前電卓プログラムを作った時は、cosxを求めてarctanで計算しました。
No.64658 - 2020/04/26(Sun) 21:01:58
☆ Re: / たまご
丁寧なお返事ありがとうございます。
No.64661 - 2020/04/26(Sun) 21:49:17
☆ Re: / 関数電卓
> 実際に使われているのでしょうか？
いろいろ検索してみましたが，エクセルとか win 添付の電卓でどのような内部ルーチンを用いているかは，知ることが出来ませんでした。未確認での書き込み，失礼しました。
> cosxを求めてarctanで計算しました。
よく知られた方法だと思います。
arcsin(x) は |x|≦1 で収束が速く項数も少なくてすむため (求める精度にもよりますが)，上の展開によるルーチンを作っても良いと思います。
No.64667 - 2020/04/26(Sun) 23:14:08
☆ Re: / らすかる
> arcsin(x) は |x|≦1 で収束が速く項数も少なくてすむため (求める精度にもよりますが)，
> 上の展開によるルーチンを作っても良いと思います。

「|x|≦1 で収束が速く」は言い過ぎでしょう。
例えば上の展開式でx=0.99とすると100項計算しても3〜4桁の精度しかありません。
xが1に近い場合は何かしら工夫が必要ですね。
まあ、その「何かしらの工夫」をしたとして、必要な精度が少ない項数の計算で
求まる程度であれば、専用のルーチンを用意しても良いと思います。

以下、多倍長の電卓を作った時の経験談です。
よくある展開式の形を整理すると、以下のものは形がそっくりで
共通ルーチンで処理できます。
(1) 階乗型・奇関数・符号一定
　　x + x^3/3! + x^5/5! + x^7/7! + … = sinhx = (e^x - e^-x)/2
(2) 階乗型・奇関数・符号交互
　　x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + … = sinx
(3) 階乗型・偶関数・符号一定
　　1 + x^2/2! + x^4/4! + x^6/6! + … = coshx = (e^x + e^-x)/2
(4) 階乗型・偶関数・符号交互
　　1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + … = cosx
(5) 非階乗型・奇関数・符号一定
　　x + x^3/3 + x^5/5 + x^7/7 + … = atanhx = log((1+x)/(1-x))/2
(6) 非階乗型・奇関数・符号交互
　　x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + … = atanx
(7) 非階乗型・偶関数・符号一定
　　1 + x^2/2 + x^4/4 + x^6/6 + … = 1 - log(1-x^2)/2
(8) 非階乗型・偶関数・符号交互
　　1 - x^2/2 + x^4/4 - x^6/6 + … = 1 - log(1+x^2)/2
このうち(7)(8)は特殊なので使っていません。(3)も使っていません。
上記の他に「平方根」は必要ですが、これはニュートン法など使えますので
多倍長でも収束が速いです。
上記のルーチンを作っておくと、初等関数が以下のように計算できます。

sinx,cosx
　　(2)と(4)を使う(sinxで(2)、cosxで(4)を使うとは限らない)
　　※級数計算に使う値は0〜π/4の範囲になるように工夫する
tanx
　　値により(2)か(4)を使ってsinxかcosxを求め、(sinx)^2+(cosx)^2=1により
　　他方を求めてsinx/cosxを計算する
arcsinx
　　|cosy|=√(1-x^2)で|cosy|を求めて(6)を使って求める(符号に要注意)
arccosx
　　|siny|=√(1-x^2)で|siny|を求めて(6)を使って求める(符号に要注意)
arctanx
　　(6)を使う
　　※級数計算に使う値は0〜tan(π/16)≒0.2の範囲になるように工夫する
sinhx
　　e^xを求めて(e^x-e^(-x))/2を計算する(e^xの求め方は後述)
　　※xが大きい場合を考えると、そのまま(1)を使うことはできない
coshx
　　e^xを求めて(e^x+e^(-x))/2を計算する
　　※xが大きい場合を考えると、そのまま(3)を使うことはできない
tanhx
　　e^(2x)を求めて(e^(2x)-1)/(e^(2x)+1)を計算する
arcsinhx
　　log(x+√(x^2+1))により計算(x＜0のとき誤差に注意する)
arccoshx
　　log(x+√(x^2-1))により計算
arctanhx
　　log((1+x)/(1-x))/2により計算
　　※xが大きい場合を考えると、そのまま(5)を使うことはできない
e^x
　　e^x=e^y×2^n（|y|≦log2/2,nは整数）により指数を小さくして
　　(1)でsinhyを求め、coshy=√((sinhy)^2+1)でcoshyを求め、
　　e^y=sinhy+coshyで求める
　　※sinhxの式はe^xの式より半分の項で求まるためこの方が速い
　　※しかもe^xの専用処理を作る必要がない
logx
　　logx=logy+nlog2（1/√2≦y≦√2,nは整数）により真数を小さくし、
　　z=(y-1)/(y+1)として(5)を使って計算する
　　|z|≦3-2√2≒0.17なのでこうすると収束が速い
　　※log2の定数だけ別に計算が必要

以上のように、「上記の共通ルーチン」と「平方根計算」だけあれば
初等関数が全て片付きますので、この状況ではarcsinxの専用ルーチンを
作ろうとは思わないですね。

# 上記はまだ高速化の余地がありますが、上記の処理で目的には十分でした。
# 「sin1を1億桁求めたい」のような場合は上記では不十分です。
No.64682 - 2020/04/27(Mon) 16:17:13
★ 新高1課題(続き) / Nynsmk
画像の問題を解説してください！
No.64648 - 2020/04/26(Sun) 11:24:07
☆ Re: 新高1課題(続き) / X
a^2+(√3)b=√5 (A)
b^2+(√3)a=√5 (B)

とします。
(17-1)
(A)-(B)より
(a+b-√3)(a-b)=0
∴
a+b=√3 (C)
又は
a=b (D)
(D)のとき
(A)より
a^2+(√3)a-√5=0
∴a={-√3±√(3+4√5)}/2
∴a+b=2a=-√3±√(3+4√5)
以上から
a+b=-√3±√(3+4√5),√3

(17-2)
(A)+(B)から
a^2+b^2=2√5-(a+b)√3
これに(17-1)の結果を代入します。

(17-3)
まずは前準備。
(17-2)の結果をXとすると
X=(a+b)^2-2ab
∴
ab={(a+b)^2-X}/2 (E)
一方
b/a+a/b=(a^2+b^2)/(ab) (F)
(F)に(17-2)の結果と(E)を代入します。



注)
(17-1)で(D)の場合を
除く条件がないため
(17-2)(17-3)の
計算はどうしても煩雑になります。
No.64649 - 2020/04/26(Sun) 11:46:41
☆ Re: 新高1課題(続き) / Nynsmk
ありがとうございました！
No.64650 - 2020/04/26(Sun) 12:34:31
★ (No Subject) / もんじゃ
線形計画問題が解けなくて困っています。
化粧品メーカーが最大利益を得られるようにという問題で
女性用香水　製造時間（4時間　調合時間2時間　利益1?s28
男性用香水　製造時間（3時間　調合時間1時間　利益1kg16
そして制限があって
製造時間は1日24時間まで
調合時間は10時間まで

このときの最大利益が得られるような計画を立てろという問題です。
1日の最大女性用香水を__kg男性用香水を__kg作ればよいか
1週間以上頑張ってみたのですができませんでした
どうかよろしくお願いします。
No.64644 - 2020/04/26(Sun) 01:53:31
☆ Re: / ヨッシー
最大女性用香水をｘkg男性用香水をｙkg作るとします。
ただし、ｘ≧０、ｙ≧０。
このとき、
製造時間は　４ｘ＋３ｙ≦２４
調合時間は　２ｘ＋ｙ≦１０
この条件を満たす（ｘ、ｙ）の組み合わせは、下図の網掛け部分となります。

この条件下で、ｋ＝２８ｘ＋１６ｙ　が最大になるｘ、ｙは、グラフより、
（ｘ，ｙ）＝（３，４）
のとき。
No.64646 - 2020/04/26(Sun) 07:01:01
☆ Re: / もんじゃ
とてもわかりやすい解説ありがとうございました！
グラフ、式、説明などすべて丁寧で数学が苦手な私にも理解できました！
本当にありがとうございます！勉強頑張ります！
No.64656 - 2020/04/26(Sun) 19:41:04
★ 因数分解 / あんと
X2乗+xy-4x-y+3を因数分解
よろしくお願いいたします
No.64643 - 2020/04/26(Sun) 01:06:58
☆ Re: 因数分解 / らすかる
x^2+xy-4x-y+3
=x^2+(y-4)x-(y-3)
=(x+y-3)(x-1)
となります。
（掛けて-(y-3)、足してy-4になる2数はy-3と-1だから）
No.64645 - 2020/04/26(Sun) 04:11:51
☆ Re: 因数分解 / ast
xについて2次, yについて1次なので, yの一次式と見なして共通因数を探すほうがよいのでは
# 一般に次数が高いほど複雑になるので, 次数が低い文字について整理するのは定石みたいなものです
# 一次式だと共通因数で括る以外に検討すべきこともまず無いですし

y について整理すると (x-1)y+(x-1)(x-3) なので x-1 で括れます
No.64663 - 2020/04/26(Sun) 21:58:08
☆ Re: 因数分解 / らすかる
ああなるほど、その方がいいですね。
No.64670 - 2020/04/27(Mon) 00:53:39
★ 指数方程式 / ヒカリ
現在数学?Uの指数関数・指数法則について学んでいます。
そこで指数方程式を解く問題が出てきたのですが、
解き方がわかりません。

4^x = 8
答えは3/2です。

方程式の解き方は、底を揃える方法のみ学びました。
回答よろしくお願いいたします
No.64636 - 2020/04/25(Sat) 22:28:30
☆ Re: 指数方程式 / ヒカリ
すいません。今考えてたら解けました。
4^x = 8
2^(2x) = 2^3
2x = 3
x = 3/2
No.64637 - 2020/04/25(Sat) 22:32:49
★ 三角関数の値を求めるための単位円の半径の変化 / a
三角関数の値を求めるという所でつまずいて、解説の「円と動径の交点Pのx座標、y座標が簡単な値になるようにrの値を定める」がよくわかりません。例えば、4π/3のsin,cos,tanθの値を求めるとき、何故、r=1やr=2が導けるのかわかりません(交点の座標わからないのに)。
No.64635 - 2020/04/25(Sat) 21:59:49
☆ Re: 三角関数の値を求めるための単位円の半径の変化 / ヨッシー
「簡単な値になるようにrの値を定める」とは
「簡単な値になるようにrの値を自分の意志で決める」ということで
どこかから湧いてくるものではありません。
さらに、sin, cos, tan の値は角度で決まるので、円の半径には左右されないと言うこと、
裏返せば、半径は自分で好きなように決められると言うことです。
下図のように、どんな半径でも sin, cos, tan の値は同じです。
では、半径をいくつにすれば、計算がしやすいですか？
結果が同じなら、楽に計算できるように半径を決めるべきではないですか？
というのが、その解説の意味です。

上からわかるように、半径２は計算しやすいです。
一方、半径１は、座標がそのまま cos, sin の値になるので、使い勝手は良いです。
そのほかの半径は、そうする意味がありません。

ちなみに、半径１の円を単位円というので、「単位円の半径の変化 」は正しい表現ではありません。
No.64647 - 2020/04/26(Sun) 07:59:18
☆ Re: 三角関数の値を求めるための単位円の半径の変化 / a
結論、単位円と動径の交点Pの座標は覚えないといけないのですか？
No.64659 - 2020/04/26(Sun) 21:22:57
☆ Re: 三角関数の値を求めるための単位円の半径の変化 / ast
小学校の算数セットに入ってた三角定規の辺の比くらいは, 小学生に訊いても答え返ってくる程度には, 皆覚えてるんじゃないですかね……
(今回の4π/3も4π/3=π+π/3なので, x-軸の負の部分に細長いほうの三角定規を貼り付けて頂点がどこにあるか, という話ですし)
No.64660 - 2020/04/26(Sun) 21:47:35
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