この問題がどうとっかかれば良いのか分からなくて、どなたか詳しい解説を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
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No.85658 - 2023/06/29(Thu) 13:45:07
| ☆ Re: 逆三角関数 / ast | | | θ∈(π/2,3π/2) が与えられたとき, g(x)=θ であることは tan(θ)=x, すなわち直角を挟んで底辺の長さ 1 および高さ x (したがって斜辺の長さ √(1+x^2)) であるような直角三角形の一つの角の角度 (ただし角度は (π/2,3π/2) の範囲にとる) が θ であることを意味するので, この θ に対して sin(θ)=x/√(1+x^2), したがってまた sin(θ-π)=x/√(1+x^2)(ここで, tan(θ-π)=x, θ-π∈(-π/2,π/2) に注意), これに f を施せばすなわち (g(x)=)θ = π + f(x/√(1+x^2)).
# 前半は (証明の述べ方は他にもいろいろとあるだろうが) 結局のところは
# ひとこと「sin(g(x))=x/√(1+x^2) が成り立つ」と言っているに過ぎないのだが,
# 後半では f や g のとりかた (逆函数が定まるために sin や tan の定義域をどう制限したか) が関係してくるので,
# この等式から即座に結論を得るとするにはやや早計かとは思う.
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まあそもそもの考え方として, (-1,1) と R=(-∞,∞) の間の一対一対応になるような函数を挟んで, 一方のグラフをいい感じにぐにょーんと引き伸ばして他方のグラフにできるか考えるべきではある. そういういい函数があればよくて今の場合は x/√(1+x^2): R→(-1,1) (あるいは x/√(1-x^2): (-1,1)→R) が実際それに適しているという話と思えばよい.
# 実際, -1 < x/√(1+x^2) < 1, x/√(1+x^2)→±1 (as x→±∞) などは容易に認められるはず.
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No.85659 - 2023/06/29(Thu) 15:01:16 |
| ☆ Re: 逆三角関数 / 頑張りたい | | | すみません、自分の理解不足で理解が追い付かないのですが、まずθを定めるのはなぜなのでしょうか？
あと模範解答的なものがあると、とても助かります。
すみませんよろしくお願いいたします。
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No.85665 - 2023/06/30(Fri) 08:03:48 |
| ☆ Re: 逆三角関数 / ast | | | > まずθを定めるのはなぜなのでしょうか？
まずもなにもそこでは何も定めていません. g(x)(これを "=:θ" と書いただけ) が x に対してどういう意味のある値なのかという話をしているだけです.
問題自体が (三角函数のがわに立って読めば)「tan の値が x だとわかっている角 g(x) を sin の値が適当な y=φ(x) なるように与えられる角 f(y) (との簡単な関係式) として書け」ということを要求しているのですから, 答案が本質的に「(実質的に) 同じ角 θ に対する tan(θ) と sin(θ) の間の関係を述べよ (x:=tan(θ) を基準に)」という話に終始するのは個人的には当然の成り行きに思えます.
> あと模範解答的なものがあると
意図がよくわからない (私にしては珍しく答案をまるまる提示する手抜き回答に近い回答をしたつもりだった) が, No.85659 がとうてい模範解答と呼べる代物ではないということであれば少しでも何か理由を (余計なことを書きすぎているという意味?).
余計なものを省いて骨子だけ抜き出せば:
g の定め方から x=tan(g(x))=tan(g(x)-π) で, このとき sin および tan の定義から sin(g(x)-π)=x/√(1+x^2). ゆえに f の定め方から g(x)-π=f(x/√(1+x^2)). 従って g(x) = π + f(x/√(1+x^2)).
(個人的にはあまり変わらないと思いますが.)
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No.85673 - 2023/06/30(Fri) 16:23:58 |
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