（問）〇または×を適当に合計８個並べるとき、５回以上〇が連続する並べ方は何通りあるか。
という問題についてですが、私は地道に場合分けして、
（ア）〇が８回連続するとき、１通り。
（イ）〇が７回連続するとき、２通り。
（ウ）〇が６回連続するとき、５通り。
（エ）〇が５回連続するとき、１２通り。
よって、全部で２０通り。
と、答えは合っていたのですが、
同じクラスの男子が、下のような解答をして、高校の先生から「よくこんな発想ができたね。」と褒められていました。
「合計n個の〇または×を並べたとき、５個以上の〇が連続しない並べ方をX(n)とすると、
X(1)＝２、X(2)＝４、X(3)＝８、X(4)＝１６、X(5)＝31
であるから、
X(6)＝２＋４＋８＋１６＋３１＝６１、
X(7)＝４＋８＋１６＋３１＋６１＝１２０、
X(8)＝８＋１６＋３１＋６１＋１２０＝２３６
よって、合計８回投げて５回以上連続する並べ方は、
２５６−２３６＝２０通り。」
おそらく、
漸化式 X(n+5)＝X(n)＋X(n+1)＋X(n+2)＋X(n+3)＋X(n+4)
を見出して計算していると思うのですが、私にはこの漸化式みたいなのがどう考えたのか、さっぱり分かりませんでした。
でも、なんか応用性がありそうなので、理解したいと思い、質問させていただきます。
考え方が分かる方、御教授頂けると嬉しいです。
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No.86885 - 2023/12/06(Wed) 16:44:21
| ☆ Re: 数学A（場合の数） / ヨッシー  | | | X(n) の内訳を、右端に○がいくつ並んでいるかで
X(n)→(x0, x1, x2, x3, x4) と書くことにします。
x0：右端が×、x1：１個○がある・・・x4：４個○がある。
X(1)→(1, 1, 0, 0, 0)，X(1)=2
X(2)→(2, 1, 1, 0, 0)，X(2)＝4
X(3)→(4, 2, 1, 1, 0)，X(3)＝8
X(4)→(8, 4, 2, 1, 1)，X(4)＝16
X(5)→(16, 8, 4, 2, 1)，X(5)＝31
X(6)→(31, 16, 8, 4, 2)，X(6)＝61
のように、伝播していきます。
X(n) のすべての場合は、×を右につけることにより X(n+1) の中の x0 になり、
X(n) の中の x0 は、○を右に付けることにより X(n+1) の中の x1 になり
x1 は x2 になり、x2 は x3 になり、x3 は x4 になり、x4 は外れていきます。
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No.86886 - 2023/12/06(Wed) 17:46:35 |
| ☆ Re: 数学A（場合の数） / ユミ | | | ヨッシー様、御回答有難うございます。
隣に〇が何個あるか、という観点で5つの状態からの推移を考えたということですね。私には難しいですが、腑に落ちるまでもう一度考えてみたいと思います。
有難う御座いました。
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No.86887 - 2023/12/08(Fri) 00:53:34 |
| ☆ Re: 数学A（場合の数） / ヨッシー | | | 隣に、というより右端に○が何個連続しているか。
その右にさらに○か×を１つ加えたときの状態を考えています。
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No.86888 - 2023/12/08(Fri) 06:30:48 |
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