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★ 図形の問題です。 / w
次の問題を教えて下さい。

kは1ではない正の定数とする。
AC=kABを満たす三角形ABCにおいて、∠CABの二等分線と直線BCの交点をDとし、∠CABの外角の二等分線と直線BCの交点をEとする。DE>2BCのとき、kの取り得る値の範囲を求めよ。

内角の二等分線なので、AB:AC=BD:CD
外角の二等分線なので、AB:AC=BE:CE
となることは分かりました。

そこから先へ進めなくて困っています…
No.84315 - 2022/12/24(Sat) 16:58:00
☆ Re: 図形の問題です。 / ヨッシー
ｋ＝１ はあり得ませんので、
ｋ＞１ と ｋ＜１ に分けて考えます。

AB:AC=BD:CD および AB:AC=BE:CE は書かれたとおりですので、
それを踏まえて、辺の比をｋで表すと下の図のようになります。



ｋ＞１のとき（図左）
ＢＥ＝１ とすると　ＣＥ＝ｋ、ＢＣ＝ｋ−１ であり
　ＢＤ＝(ｋ−１)/(ｋ＋１)
　ＣＤ＝ｋ(ｋ−１)/(ｋ＋１)
より
　ＤＥ＝ＢＤ＋ＢＥ＝２ｋ/(ｋ＋１)
となるので、ＤＥ＞２ＢＣ に当てはめると
　２ｋ/(ｋ＋１)＞２(ｋ−１)
ｋ＋１(＞０) を両辺に掛けて
　２ｋ＞２(ｋ^2−１)
　ｋ^2−ｋ−１＜０
これを ｋ＞１ の条件下で解いて
　１＜ｋ＜(1＋√5)/2

ｋ＜１のとき（図右）
ＢＥ＝１ とすると　ＣＥ＝ｋ、ＢＣ＝１−ｋ であり
　ＢＤ＝(１−ｋ)/(ｋ＋１)
　ＣＤ＝ｋ(１−ｋ)/(ｋ＋１)
より
　ＤＥ＝ＣＤ＋ＣＥ＝２ｋ/(ｋ＋１)
となるので、ＤＥ＞２ＢＣ に当てはめると
　２ｋ/(ｋ＋１)＞２(１−ｋ)
ｋ＋１(＞０) を両辺に掛けて
　２ｋ＞２(１−ｋ^2)
　ｋ^2＋ｋ−１＞０
これを ｋ＜１ の条件下で解いて
　(√5−1)/2＜ｋ＜１

以上より
　(√5−1)/2＜ｋ＜１、１＜ｋ＜(1＋√5)/2
No.84323 - 2022/12/25(Sun) 06:37:07
☆ Re: 図形の問題です。 / w
とてもよく分かりました！
図までつけて下さりありがとうございました！
No.84350 - 2022/12/25(Sun) 22:49:36
★ 座標 / なみかわ
次の問題を教えて下さい。

座標平面において、放物線y=x^2上の3点A(a,a^2)、B(b,b^2)、C(c,c^2)（ただし、a<b<cとする）を頂点とする三角形の 重心は(1,3)である。
(1)cの取り得る値の範囲を求めよ。
(2)△ABCの面積Sをcの式で表せ。さらに、cが(1)で求めた範囲を動くとき、Sの最大値およびSが最大となるときのa,b,cの値を求めよ。

よろしくお願いします。
No.84313 - 2022/12/24(Sat) 15:06:47
☆ Re: 座標 / X
(1)
条件から△ABCの重心の座標について
(a+b+c)/3=1 (A)
(a^2+b^2+c^2)/3=3 (B)
(A)より
a+b+c=3 (A)'
これと(B)から
9-2(ab+bc+ca)=9
∴ab+bc+ca=0 (C)
(A)'(C)と三次方程式の解と係数の関係により
a,b,cはxの三次方程式
x^3-3x^2+t=0
(tは定数)
の解。
ここで
f(x)=x^3-3x^2+t
と置くと
f'(x)=3x^2-6x
=3x(x-2)
∴f(x)は
極大値 f(0)=t
極小値 f(2)=t-4
を持ちます。
∴y=f(x)のグラフとx軸との交点を考えることにより
題意を満たすためには
t(t-4)＜0
∴0＜t＜4 (D)
そこでa＜b＜cから、(D)の値の範囲でy=f(x)のグラフを動かして
x軸との交点のうち最も右端にあるもののx座標の値の範囲を
考えることにより(実際にグラフを描きましょう)、
求めるcの値の範囲は
2＜c＜3

(2)
前半)
条件から
↑AB=(b-a,b^2-a^2)
↑AC=(c-a,c^2-a^2)
ここで
↑x=(A,B)
↑y=(C,D)
で張られた三角形の面積Tが
T=(1/2)|AD-BC|
となることを使ってもよいとすると
S=(1/2)|(b-a)(c^2-a^2)-(b^2-a^2)(c-a)|
a＜b＜cに注意してこれを整理すると
S=(1/2)(b-a)(c-a)(c-b)
=(1/2)(b-a){c^2-(a+b)c+ab} (E)
ここで(A)'より
a+b=3-c (A)"
∴(C)より
ab=-(a+b)c
=(c-3)c (C)'
(A)"(C)'から
(b-a)^2=(a+b)^2-4ab
=(c-3)^2-4(c-3)c
=-3(c-3)(c+1)
∴b-a=√{-3(c-3)(c+1)} (F)
(A)"(C)'(F)を(E)に代入して
S=(1/2){c^2-(3-c)c+(c-3)c}√{-3(c-3)(c+1)}
=(3/2)(c-2)c√{-3(c-3)(c+1)}

後半)
前半の結果を使い、(1)の結果の範囲で
cに関するSの増減表を書くのが
基本的な方針となるのですが
前半の結果を見れば分かる通り、かなり煩雑です。
そこで少し置き換えをしてみます。

前半の結果をもう少し変形すると
S=(3/2)(c^2-2c)√{-3(c^2-2c-3)}
=(3/2){(c-1)^2-1}√{-3{(c-1)^2-4}}
∴(c-1)^2=uと置くと
S=(3/2)(u-1)√{-3(u-4)} (G)
で(1)の結果から
1＜u＜4 (H)
(G)の範囲で(H)の増減表を書くことを考えて
dS/duを求めることにすれば
いくらか計算は簡単になります。

注)
ちなみに
u=√{-3{(c-1)^2-4}}
と置き換えればSをuの三次関数で表すことができますが
Sを最大とするcの値の計算が煩雑になるので
お勧めはしません。
No.84314 - 2022/12/24(Sat) 16:16:59
☆ Re: 座標 / なみかわ
こんなに分かりやすく、そして丁寧に教えて下さり、本当にありがとうございました！
No.84319 - 2022/12/24(Sat) 21:21:53
★ x=0,y=0 どっちがどっち / 前進
お久しぶりです。
数 IIIの分数関数をしている時に件名で混乱しました。
考えた結果y=0のほうはわかったのですがx=0のほうの導き方がわかりません。

宜しくお願い致します
No.84310 - 2022/12/24(Sat) 12:02:20
☆ Re: x=0,y=0 どっちがどっち / らすかる
問題を書いてくれないと、何のことかわかりません。
No.84311 - 2022/12/24(Sat) 13:02:15
★ 小5の速さの問題 / ち
（問題）
兄はA地点を出発し、一定の速さでB地点まで、弟は兄と同時にB地点を出発し、一定の速さでA地点まで行きました。兄がABの真ん中の地点を通過したとき、兄と弟の間の距離は、AB間の6分の１でした。（兄の歩く速さのほうが早い）

（１）兄と弟の歩く速さの比は？
（２）２人がすれ違った地点をCとする。弟がB地点を出発して８分45秒後に兄がA地点を出発すると、２人はC地点から252ｍ離れた地点ですれ違います。兄の速さは分速何ｍか。

（１）はなんとか解けました。
兄が中間点（1/2）まで進んだ時、弟はBから1/2ー1/6＝1/3の距離にいる。
同じ時間進んだとき、距離の比は速さの比と同じなので　兄：弟＝1/2：1/3＝３：２
であってますでしょうか？

（２）がわかりません。（１）の比を使って解くのだと思うのですが、どのようにすればよいか教えてもらえますでしょうか。
No.84309 - 2022/12/24(Sat) 10:36:11
☆ Re: 小5の速さの問題 / ヨッシー
(1) は合っています。


上図は兄と弟の動きをグラフにしたものです。
網掛けの部分を拡大したのが右の図ですが、
252m を進むのに、
　兄は8分45秒×2/5＝3分30秒
　弟は8分45秒×3/5＝5分15秒
で進みます。
兄の速度は
　252÷3.5＝72(m/分)
となります。
No.84316 - 2022/12/24(Sat) 17:41:11
☆ Re: 小5の速さの問題 / ち
とてもわかりやすく図まで入れていただきありがとうございます。
こちらのwebサイト、算数、数学の学習にとても有効ですね。
No.84325 - 2022/12/25(Sun) 08:19:15
★ 極限値 / ともや
limΣ{(n-1)!(n-1)!/(2n)!}の極限値の求め方を教えてください。
Σはn=1から∞までの和

（高校３年）
No.84308 - 2022/12/24(Sat) 09:37:08
☆ Re: 極限値 / ともや
Σは和を表していて、例えば
Σ(2n-1)と書くとΣ(2n-1)＝1+3+5+7+・・・を表します

n!は階乗を表していて、例えば
7!＝7×6×5×4×3×2×1
を表します

他に説明が足りていない点があれば記載します
No.84391 - 2022/12/27(Tue) 21:16:33
☆ Re: 極限値 / ともや
ひょっとするとローカルでしか見れずに外部に公開されていないのかな。
No.84426 - 2022/12/29(Thu) 19:56:10
☆ Re: 極限値 / ヨッシー
いえ、ちゃんと見えております。

>Σはn=1から∞までの和
だとして、lim は何ですか？
No.84493 - 2023/01/06(Fri) 09:46:27
☆ Re: 極限値 / ともや
見えていて良かったです。

誰からも返信が無かったのは、私の書き方がまずかったからですね。

Σ{(n-1)!(n-1)!/(2n)!}（Σはn=1から∞までの和）
か
limΣ{(k-1)!(k-1)!/(2k)!}（Σはk=1からnまでの和）（limはn⇒∞）

と書くべきでした。

解き方を教えてください。
手計算で代入すると0.55ぐらいになりそうです。
No.84504 - 2023/01/07(Sat) 11:35:27
☆ Re: 極限値 / GM
ベータ関数
x^m(1-x)^nの0から1までの定積分がm!n!/(m+n+1)!に等しい
というのがあるようなのですが
この場合mとnをn-1に変えても分母が(2n-1)!になってしまいうまくいきませんでした
ご参考までに
No.84514 - 2023/01/08(Sun) 18:41:31
☆ Re: 極限値 / ともや
類題で

Σ{n!n!/(2n)!}（Σはn=1から∞までの和）

を先に解いたのですが、これだとβ関数が使えて答えが(9+2√3π)/27という答えが出ました。

こちらは数値を入れて計算していくとπ^2/18に近いので、
おそらくΣ1/n^2（Σはn=1から∞までの和）に関係していると思っています。

これが何かヒントになればいいのですが。
No.84516 - 2023/01/08(Sun) 19:57:45
☆ Re: 極限値 / ともや
コメントいただいた方ありがとうございました。
解決しなさそうですね。

他の質問をしたいので、申し訳ありませんがこの質問は締め切ります。
でないと複数質問になってしまうので。
No.84553 - 2023/01/13(Fri) 13:51:00
☆ Re: 極限値 / ast
求め方は全く分からんが, WolframAlpha に訊いたら |x| ≤ 4 として
　Σ_[n=1,2,…] (n-1)!^2 x^n/(2n)! = 2 arcsin(√x/2)^2
という閉じた式で書けるみたいですね (2 arcsin(1/2)^2 = π^2/18).

# 結果から見ると arcsin のマクローリン展開を確認するだけ, というのでは味気ない話になってしまうが…….
No.84756 - 2023/01/29(Sun) 19:29:44
★ 整数問題です / sai
a、bをa<bを満たす正の整数とする。3a+1がbの倍数であり、かつ、3b+1がaの倍数であるような組(a,b)をすべて求めよ。

どなたかご教授下さい。よろしくお願いします。
No.84305 - 2022/12/24(Sat) 00:35:23
☆ Re: 整数問題です / らすかる
3a+1がbの倍数なので 3a+1=kb（kは正の整数） … (1)
3b+1がaの倍数なので 3b+1=ma（mは正の整数） … (2)
(1)とa＜bから
kb=3a+1＜3b+1
(k-3)b＜1
∴k≦3
(1)の左辺は3で割り切れないのでkも3で割り切れない。よってk=1,2
(1)(2)からbを消去して整理すると
(km-9)a=k+3
k=1のとき
(m-9)a=4
∴(a,m)=(1,13),(2,11),(4,10)
これと(2)から
(a,b)=(1,4),(2,7),(4,13)
k=2のとき
(2m-9)a=5
∴(a,m)=(1,7),(5,5)
これと(2)から
(a,b)=(1,2),(5,8)
従って求める解は
(a,b)=(1,2),(1,4),(2,7),(4,13),(5,8)
No.84306 - 2022/12/24(Sat) 08:34:15
☆ Re: 整数問題です / sai
どうもありがとうございました！
No.84337 - 2022/12/25(Sun) 17:23:44
★ 複素数平面 / 彩
以下の問題を教えて下さい．

絶対値の等しい2つの複素数z,wが，zw=iを満たしている．このとき，z+wを表す点P(z+w)の表す範囲を複素数平面上に図示せよ．ただし，iは虚数単位とする．

よろしくお願いします．
No.84304 - 2022/12/23(Fri) 21:44:04
☆ Re: 複素数平面 / らすかる
|zw|=|i|=1かつ|z|=|w|から|z|=|w|=1
よって
z=e^(iθ)=cosθ+isinθ
w=e^(i(π/2-θ))=cos(π/2-θ)+isin(π/2-θ)=sinθ+icosθ
とおける。
すると
z+w=(sinθ+cosθ)+i(sinθ+cosθ)
となり-√2≦sinθ+cosθ≦√2
（θ=5π/4のとき-√2、θ=π/4のとき√2）
なので、求める図形は-(1+i)√2と(1+i)√2を結んだ線分。
No.84307 - 2022/12/24(Sat) 09:19:58
☆ Re: 複素数平面 / 彩
らすかるさん，丁寧な解説ありがとうございました！
No.84312 - 2022/12/24(Sat) 14:32:31
★ 解いていただきたいです / あああ
１２個の色、形、大きさ等外見上全く同一のボールがある。このうち、11
個はすべて同じ重さで、１個だけ他のボールと重さが異なるものがある。このと
き、天秤を 3 回だけ利用して、この重さの異なるボールを見つけ、他の 11 個に
比しより重いか軽いかも判明するには、12 個のボールをどのように載せてはか
ればよいか。１回目、２回目、３回目に分け、さらに場合に応じて場合分けする
などして解答しなさい。
ただし、解答は、解答用紙に解答を読む側が分かりやすいように工夫して解答
してください。例 12 個のボールを?@?A?B?C?D?E?F?G?H?I?J?Kとして説明する。
あるいは〇を釣り合った重さの正常なボール、●を下がったほうのグループの
ボール、◎を上がったほうのグループのボールとするなど。
No.84302 - 2022/12/22(Thu) 16:02:16
☆ Re: 解いていただきたいです / ヨッシー
こちらをどうぞ。
No.84303 - 2022/12/22(Thu) 16:42:38
★ 対数・指数 / 18歳
こちらの2問の解き方と解答を教えていただきたいです。
No.84297 - 2022/12/20(Tue) 15:47:55
☆ Re: 対数・指数 / ヨッシー
(1)
ａ^x−ａ^(-x)＝５^0.5　を２乗する
ａ^x＋ａ^(-x)＝Ｓ　とおいて、やはり２乗する

(2)
２^(x+y)＝２^x・２^y なので、
この問題は２次方程式の解と係数の関係の問題に置き換えられます。
No.84298 - 2022/12/20(Tue) 16:10:55
☆ Re: 対数・指数 / 18歳
ありがとうございます！
(1)は理解できたのですが、(2)の解と係数の関係を具体的にどのように用いるのかが分かりませんでした。
No.84299 - 2022/12/20(Tue) 22:28:53
☆ Re: 対数・指数 / 18歳
すみません。
もう一度考え直してみたところ、できた気がします。
x=5,y=7になりました。
間違っていたら指摘お願いします。
No.84300 - 2022/12/21(Wed) 00:00:31
☆ Re: 対数・指数 / ヨッシー
合ってます。

Ｘ＝２^x、Ｙ＝２^y とおくと、
Ｘ＋Ｙ＝１６０、ＸＹ＝４０９６　より、解と係数の関係より
Ｘ，Ｙは２次方程式
　ｘ^2−160ｘ＋4096＝０
の２解となります。これを解いて
　(ｘ−３２)(ｘ−１２８)＝０
Ｘ＜Ｙより
　Ｘ＝２^x＝３２　Ｙ＝２^y＝１２８
よって、ｘ＝５，ｙ＝７
No.84301 - 2022/12/21(Wed) 08:15:54
★ 中学受験の入試問題 / yuka
解答と解法教えていただけますでしょうか。
No.84296 - 2022/12/20(Tue) 08:33:29
★ 高校相当 / あぽ
R＝tan^2(θ1-θ2)/tan^2(θ1+θ2)
T＝sin2θ1sin2θ2/{sin^2(θ1+θ2)cos^2(θ1-θ2)}
どうしたらR+T＝1となるか教えてください
No.84293 - 2022/12/19(Mon) 11:17:37
☆ Re: 高校相当 / ヨッシー
添字が面倒なので、α＝θ1, β＝θ2 と置きます。

tanθ＝sinθ/cosθ を利用すると
R＝tan^2(α-β)/tan^2(α+β)
＝sin^2(α-β)cos^2(α+β)/{sin^2(α+β)cos^2(α-β)}
よって、
R＋T＝{sin^2(α-β)cos^2(α+β)＋sin(2α)sin(2β)}/{sin^2(α+β)cos^2(α-β)}
(分子)＝{1−cos^2(α-β)}{1−sin^2(α+β)}＋4sinα・sinβ・cosα・cosβ
　　＝1−cos^2(α-β)−sin^2(α+β)＋sin^2(α+β)cos^2(α-β)＋4sinα・sinβ・cosα・cosβ
sin^2(α+β)cos^2(α-β)　を除いた部分をＳとすると、
Ｓ＝1−cos^2(α-β)−sin^2(α+β)＋4sinα・sinβ・cosα・cosβ
　＝sin^2(α-β)−sin^2(α+β)＋4sinα・sinβ・cosα・cosβ
　＝{sin(α-β)−sin(α+β)}{sin(α-β)＋sin(α+β)}＋4sinα・sinβ・cosα・cosβ
sin(α-β)−sin(α+β)＝sinαcosβ−cosαsinβ−sinαcosβ−cosαsinβ＝−2cosαsinβ
sin(α-β)＋sin(α+β)＝sinαcosβ−cosαsinβ＋sinαcosβ＋cosαsinβ＝2sinαcosβ
よって、
Ｓ＝−4sinα・sinβ・cosα・cosβ＋4sinα・sinβ・cosα・cosβ＝0
以上より
　Ｒ＋Ｔ＝sin^2(α+β)cos^2(α-β)/{sin^2(α+β)cos^2(α-β)}＝1
No.84294 - 2022/12/19(Mon) 11:51:48
★ (No Subject) / みのけん
中2です。今中1の素因数分解の問題解いているのですが、「84nの値が、ある自然数の2乗となるような自然数nのうち、最も小さいものを求めなさい」という問題で、分からなかったから写真の解説と回答を見たのですがどうしてそうなるのかわかりません。理由を教えてください！
No.84290 - 2022/12/18(Sun) 18:41:44
☆ Re: / X
84=(2^2)×3×7
はよろしいですか？
ここで3,7はいずれも自然数の2乗で表せません。
従って84に自然数をかけて、ある自然数の２乗
とするためには、最低でも3と7をかける必要があります。
No.84291 - 2022/12/18(Sun) 19:35:00
★ 高校入試 / 空
解き方教えてください！
No.84284 - 2022/12/18(Sun) 02:03:18
☆ Re: 高校入試 / ヨッシー
△ＤＱＦと△ＡＢＱは相似であり、面積比が４：９なので、
相似比は ２：３ です。
つまり　ＤＦ＝(2/3)ＡＢ＝(2/3)ＤＣ　なので、
　ＤＦ：ＦＣ＝２：１　　・・・答え(1)

△ＡＰＤと△ＢＰＥは相似であり、相似比は２：１ であるので、
　ＢＰ：ＢＤ＝１：３
よって、△ＢＰＥは平行四辺形ＡＢＣＤに対して、
底辺 1/2 倍、高さ 1/3 倍であるので、面積は
　1/2×1/3×1/2＝1/12(倍)　・・・答え(2)

ＢＰ：ＰＤ＝１：２＝５：１０
ＢＱ：ＱＤ＝３：２＝９：６
より　ＢＰ：ＰＱ：ＱＤ＝５：４：６　・・・答え(3)

△ＡＰＱの面積は△ＡＢＤの面積の 4/15 倍なので、
平行四辺形ＡＢＣＤの面積の　2/15 倍　・・・答え(4)
No.84288 - 2022/12/18(Sun) 17:52:23
☆ Re: 高校入試 / 空
とてもわかりやすいです！ありがとうございます🙏
No.84292 - 2022/12/19(Mon) 07:52:57
★ 不等式 / せい
数学の質問です！
aを定数とする。xについての不等式
?@5x-72＜-2x+33
?Aax+a^2+a≧0を同時に満たす整数xがちょうど20個の時、aの満たすべき範囲を求めよ。
?@の範囲を出した後にどうすればいいか分からず困っています。?Aの不等式で調整するという感覚なのでしょうか。
解説いただけると嬉しいです。
No.84278 - 2022/12/17(Sat) 22:15:12
☆ Re: 不等式 / せい
上の不等式が1
下の不等式が2です。文字化けしてすみません。
No.84279 - 2022/12/17(Sat) 22:16:08
☆ Re: 不等式 / IT
まず、それぞれの不等式を解いてみたらどうですか？
２の方は、a の正負で場合分けすると良さそうですね
No.84280 - 2022/12/17(Sat) 23:44:50
☆ Re: 不等式 / せい
1を解くとx＜15になりました。
2はaがゼロは不適で、0未満だとどちらもマイナスに伸びていく不等式だから０より大きくないといけないということでしょうか?
No.84281 - 2022/12/18(Sun) 00:00:19
☆ Re: 不等式 / IT
「どちらもマイナスに伸びていく不等式だから」
表現は、？　ですが、言おうとしておられることは合ってると思います。

単に２も解いてその結果を書かれた方が早いです。
No.84282 - 2022/12/18(Sun) 00:06:51
☆ Re: 不等式 / せい
a＞0から不等号の向きはそのままでaで割って整理するとx≧-a-1になりました。
1の不等式がこのままだと14以下の全ての整数を解に持ってしまうので、14、13、12、…-5の20の解になればいいと考えて、-a-1が-6より大きくて-5以下ならOKと考えてみました。
4≦a＜5となったのですがどうでしょうか。

またa＜0であるとき、x≦-a-1かつx＜15を同時に満たすxがちょうど20個になることはないことは、数直線を書いて、どちらも制限がなければ無数の解を持ってしまうことを示せばいいという意味でした。
No.84283 - 2022/12/18(Sun) 00:29:35
☆ Re: 不等式 / IT
合っていると思います。
No.84285 - 2022/12/18(Sun) 06:42:40
★ (No Subject) / あう
高３で数学のベクトルに関する質問です。

次の2直線が垂直であるように、定数kの値を定めよ

x - 1/k = y + 2 = z - 1/k
x = 3 + (k - 1)t, y = 1 + 2kt, z = (k + 1)t (t ∈ R)

解説お願いしたいです。
No.84273 - 2022/12/17(Sat) 19:53:59
☆ Re: / X
＞＞x - 1/k = y + 2 = z - 1/k
を
(x-1)/k=y+2=(z-1)/k
と解釈して、回答を。

問題の二つの直線の方程式を順に
一つ目は(A)
二つ目は３式をまとめて(B)
とします。
(A)(B)の方向ベクトルをそれぞれ
↑a,↑b
とすると、
↑a=(k,1,k)
↑b=(k-1,2k,k+1)
条件から
↑a・↑b=0
∴k(k-1)+2k+(k+1)k=0
これより
k(k+2)=0
ここで(A)から
k≠0
∴k=-2
逆にこのとき、(A)(B)は
-(x-1)/2=y+2=-(z-1)/2 (A)'
x=3-3t,y=1-4t,z=-t (B)'
(B)'を用いて(A)'からx,y,zを消去すると
(3t-2)/2=3-4t=(t+1)/2
3t-2=6-8t=t+1
これを満たすtは存在しないので(A)'(B)'は交点を持ちません。
よって題意を満たすkは存在しません。
No.84274 - 2022/12/17(Sat) 20:36:05
☆ Re: / あう
その解釈で合ってます。

とても分かりやすかったです。

ありがとうございました！
No.84276 - 2022/12/17(Sat) 21:19:40
☆ Re: / IT
「2直線が直交」なら交点を持ちますが「2直線が垂直」の場合は、必ずしも２直線は交点を持たなくても良いのでは？
No.84277 - 2022/12/17(Sat) 21:45:35
☆ Re: / X
>>ITさんへ
空間上で2直線が垂直であるとは、交わっていることが
前提だと考えて回答しました。
No.84286 - 2022/12/18(Sun) 09:59:47
☆ Re: / IT
空間上の２直線のなす角度について高校数学Aの教科書によると、「空間上で2直線が垂直である」とは、ねじれの位置にある場合も含みます。

あうさん
　高校数学Aの「空間図形」、「２直線の位置関係」などのところに「２直線のなす角」などとして定義が書いてあると思いますので確認してください。
No.84287 - 2022/12/18(Sun) 11:17:56
★ (No Subject) / こう
(2)　b=56の長方形の紙に対して【操作】を行ったところ、３種類の大きさの異なる正方形が５枚できた。このとき、考えられるaをすべて求めよ。

　（２）はよく分かりませんでした。答えは、a=21、32、40でした。よかったら詳しく教えていただけると嬉しいです。

これに対して、ヨッシーさんが下のように以前、解答してくれているのですが、ずっと考えているのですが、答えが、a=21、32、40になりません。どなたか教えてくれませんか。まじで悩んでいます。


☆ Re: 教えてください。 / ヨッシー 引用
図を一番小さい正方形で埋めてみましょう。
問題に書かれている図ならば、↓こうです。
これでもし、長手方向の長さが4cm ではなく 56cm だったら、
小さい正方形の１辺は14cm、ａは42cm となりますね。
No.84266 - 2022/12/16(Fri) 23:20:23
☆ Re: / IT
> 答えが、a=21、32、40になりません。
どうやって、答えはどうなりましたか？
No.84267 - 2022/12/17(Sat) 11:29:42
☆ Re: / こう
模範解答は、21.32.40なんですが、その解き方が分かりません！解説を教えて下さい！
No.84268 - 2022/12/17(Sat) 13:50:10
☆ Re: / IT
aが11以下のとき　ダメなのは分かりますか？
（これが分からないということは、問題の意味が分からないということになると思います。）
何年生の問題ですか？
No.84269 - 2022/12/17(Sat) 14:15:55
☆ Re: / IT
「３種類の大きさの異なる正方形が５枚」

大、中、小の　正方形の個数で考えられる組み合わせは、そんなに多くないので順に調べれば良いと思います。
No.84270 - 2022/12/17(Sat) 14:25:59
☆ Re: / こう
　中三男子です！ここまでは、ヨッシーさんからヒントをもらってるんですが、なぜ答えになるのか、分りません！あんまり賢い方ではないので！
No.84271 - 2022/12/17(Sat) 15:33:51
☆ Re: / IT
上記の図の３つの場合だけ、条件を満たす可能性があることまでは分かりますか？

分かった場合は、一番小さな正方形の辺の長さをxcmとして
全体の長方形の長辺の長さと短辺の長さをx で表してください。
（まず、中正方形、大正方形の辺の長さをそれぞれｘで表します。）
No.84272 - 2022/12/17(Sat) 17:30:07
☆ Re: / ヨッシー
＞図を一番小さい正方形で埋めてみましょう。
に真面目に取り組んだかどうかです。

１つやってみると、一番小さい正方形で埋めるとは、
左の図を、右のようにすることです。

このとき、縦が56cmだとすると、横は何cmですか？
これで１つは出来ましたね。
No.84289 - 2022/12/18(Sun) 18:07:49
★ 微積 大学数学 / Sa
円柱面: x^2＋y^2＝1
平面: z＝0
曲面: z＝5x^2＋7y^2
で囲まれた部分の体積の求め方を
途中式も一緒に教えて頂きたいです。

三重積分を使うと思うのですが全くわかりません。宜しくお願い致します。
No.84262 - 2022/12/15(Thu) 17:26:22
☆ Re: 微積 大学数学 / X
二重積分で十分計算できます。

求める体積をVとすると
V=∫∫[D](5x^2+7y^2)dxdy
(但し、D={(x,y)|x^2+y^2≦1})
ここで極座標に変換すると
V=∫[θ:0→2π]∫[r:0→1]{5(cosθ)^2+7(sinθ)^2}(r^3)drdθ
=…
No.84263 - 2022/12/15(Thu) 18:40:41
☆ Re: 微積 大学数学 / Sa
ご丁寧にありがとうございます！
計算したところ答えは3πになりました！
本当にありがとうございます！
No.84265 - 2022/12/16(Fri) 15:47:38
★ 二重積分 局座標変換 / Sa
この問題の答えを途中式も一緒に教えて頂きたいです！よろしくお願い致します
No.84260 - 2022/12/14(Wed) 23:29:30
☆ Re: 二重積分 局座標変換 / ポテトフライ
広義積分ではありますが、本質的には変数変換の問題だと思います。
とりあえず「極座標変換」で調べましょう。
もしくは過去質問のNo. 84096が同様の話なのでそちらを参考に計算して下さい。

(1)
極座標変換して適切にヤコビアンを計算して、積分領域を求めた上で積分を実行すれば2π(3-1/n)になると思います。

(2)
極座標変換を少し工夫すれば、ほとんど(1)と同じ。


※質問者は大学1年生だと思うが、他者に回答を丸投げするような勉強のやり方は直ちに止めるべき。今後研究室に入って「君は勉強のやり方も知らないのか」と呆れられる。
しっかりと講義内容を理解し、体得するできるように勉強すべき。

どうしても行間がわからないのなら、穴埋めだけで回答でkいる演習用の書籍があるので、それで同じ問題を探しましょう。(数値の違いは自分で補完)
No.84261 - 2022/12/15(Thu) 16:25:47
★ (No Subject) / Sa
写真の二重下線部分の順序交換をしてほしいです。よろしくお願い致します
No.84257 - 2022/12/14(Wed) 21:05:19
☆ Re: / X
順序交換は重積分に対する操作です。
問題の下線部部分は重積分ではありません。
No.84258 - 2022/12/14(Wed) 21:24:32
☆ Re: / Sa
お返事ありがとうございます
もともとはこの問題でどうやら順序交換を
用いて解くそうなのでもし答えがわかるようでしたら途中式と一緒にご教示願いたいです。
No.84259 - 2022/12/14(Wed) 21:30:42
☆ Re: / X
問題のDは
D={(x,y)|0≦y≦1,y^7≦x≦y^3}
と書き直すことができます。よって…
No.84264 - 2022/12/15(Thu) 18:45:52
★ 積分（２） / yuki（高校１年）
（問１）　(4+x)/(3+2x^2)の不定積分を計算しなさい。
（問２）　√(2-8x^2)の不定積分を計算しなさい。

（問１）ですが、x=√(3/2)tanθとおいて、
（2√2/3）θ+(1/2)log｜cosθ｜+C

（問２）ですが、x=(1/2)sinθとおいて、
(√2/4)θ+√2/8sin2θ+C
（Cは積分定数）

上で合っているでしょうか？

Xさん、θを使った解答をしてもいいかどうかの先ほどのご回答、ありがとうございました。
宜しくお願い致します。
No.84255 - 2022/12/14(Wed) 18:45:21
☆ Re: 積分（２） / GandB
高校数学の不定積分でこんな問題出るのかね？

(1)については普通は以下のように解く。θだけで表すわけにはいかない。

（追記）
　いや、表せないこともないか（笑）。しかし、そんな解答を求めているとしたら、やはり変な問題だな。
No.84256 - 2022/12/14(Wed) 20:14:02
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