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★ (No Subject) / サクラ
ある組立工場ではどの作業者にも同数の未完成品が渡され各作業者はこれに3種類の部品A,B,Cを一つずつ取り付けて完成品にしている。

部品はどの順で取り付けても品質には影響しないのだが部品の取り付け順は作業者ごとに定められておりどの取り付け順にも同数の作業者が割り当てられている。また各作業者が一回の作業で取り付けできるのは一個の部品だけであり失敗した場合はすでに取り付けてある部品を含めて全部の部品を取り外し最初からやり直さなければならない。部品A,B,Cの取り付けを失敗する確率は取り付け順や作業者によらずそれぞれ1/5,3/10,1/2である。一回の未完成品が最も少ない作業回数である3回の作業で完成品になる確率をpとする。なお失敗した作業も作業回数に含めるが失敗した後で部品を取り外す作業は作業回数に含めないものとする

?@部品Aの取り付けに成功する確率は(4/5)またpの値は(7/25)
?A1個の未完成品について考える。部品Cを最初に取り付ける手順の作業者にこの未完成品が渡されかつちょうど4回の作業で完成品になる確率は(p/6)又一個の未完成品がちょうど4回の作業で完成品になる確率は(p/4)
?BA,B,Cの順に取り付けを行っている作業者について一個の未完成品をちょうど5回の作業で完成させる確率は(7p/25）
?C技能に差がないにも関わらず製品を完成させるまでの効率は作業者の部品の取り付け順によって異なる。確率を計算すると例えば1個の未完成品が4日以内の作業で完成品になっているとき部品ｃが最初に取り付けられいる条件付き確率は（３/8)である。これは部品Aが最初に取り付けられていつ条件付き確率,部品Bが最初に取り付けられられている条件付確率のいずれよりも大きいことから部品Cを最初に取り付けると効率が一番よさそうと推測できる

（ ）の中の分数は答えです

?@のpの値を求めよっていう所から模範解答の答えと合わない…
最短で未完成品を完成させるには取り付け順序が(A,B,C)(A,C,B)(B,A,C)(B,C,A)(C,A,B)(C,B,A)となりなおかつ3回とも取り付けに成功する時の確率の総和だから(これら6つの事象は互いに排反事象だから）
(4/5)×(7/10)×(1/2)×6=42/25>1
明らかにおかしい…1超えてるじゃん…。答え見るとp＝7/25って書いてるからp＝7/25として?Aを解いてみると条件を満たす場合は
(i)1回目のCの取り付けに失敗かつ2回目のCの取り付け成功,3回目のAの取り付け成功,4回目のBの取り付け成功
(i)1回目のCの取り付けに失敗かつ2回目のCの取り付け成功,3回目のAの取り付け成功,4回目のBの取り付け成功
(ii)1回目のCの取り付けに失敗かつ2回目のCの取り付け成功,3回目のBの取り付け成功,4回目のAの取り付け成功

の2パターンが考えられ
(i)1×(1/2)×1×(1/2)×(1/2)×(4/5)×1×(7/10)=p/4=1回目に部品Cを取り付ける確率×Cの取り付け失敗する確率×2回目に部品Cと取り付ける確率×Cの取り付け成功する確率×3回目に部品Aと取り付ける確率×Aの取り付け成功する確率×４回目に部品Bと取り付ける確率×Bの取り付け成功する確率

(ii)も（i)と同様に計算するとp/4
(i)(ii)は互いに排反事象だからｃから作業を始めて4回目で作業終了になる確率はp/2…

?B(i)一回目のAの取り付け成功,2回目のBの取り付け失敗,3回から5回目のA,B,Cの取り付け成功
(4/5)×(3/10)×(4/5)×(7/10)×（１/2)=6p/25

(ii)1回目のAの取り付け失敗,2回目のAの取り付け失敗,3回目から5枚目のA,B,Cの取り付け成功
(1/5)×(1/5)×(4/5)×(7/10)×（１/2)=p/25
(i)(ii)は互いに排反事象だから7p/25

なんかこれだけ答えと一致するなぁ…
模範解答よろしくお願いします
No.64016 - 2020/03/28(Sat) 00:44:18
☆ Re: / IT
＞最短で未完成品を完成させるには取り付け順序が(A,B,C)(A,C,B)(B,A,C)(B,C,A)(C,A,B)(C,B,A)となりなおかつ3回とも取り付けに成功する時の確率の総和だから(これら6つの事象は互いに排反事象だから）
(4/5)×(7/10)×(1/2)×6=42/25

取り付け順序が(A,B,C)である確率は1/6ですから
(1/6)×(4/5)×(7/10)×(1/2)×6 となると思います｡
No.64022 - 2020/03/28(Sat) 07:49:18
★ (No Subject) / うい
3n+16と4n+18の最大公約数が5となるような50以下の自然数nをすべて求めよ。

4n＋18＝1*(3n＋16)＋n＋2
2n＋16＝3*(n＋2)＋10
まではわかりました。
そのあと、3n+16と4n+18の最大公約数がn＋2と10の最大公約数に等しい
というのが理解できずすすみません。
解説して頂きたいです。
No.64014 - 2020/03/27(Fri) 22:55:11
☆ Re: / ast
原理としては "a, b をともに割り切る d は a-b も割り切る" ということが分かっていれば理解できると思いますが, とりあえずは「ユークリッドの互除法」で調べてみてはいかがでしょう, そうすれば
> 4n＋18＝1*(3n＋16)＋n＋2
> 2n＋16＝3*(n＋2)＋10
> まではわかりました。
の部分も「なぜそういう計算をさせられたのか」ということまで含めてちゃんと「わかる」と思います.
# わけも分からず計算して式が成り立つことだけ分かってもあまり意味がない部分だと思います.
No.64015 - 2020/03/28(Sat) 00:17:20
☆ Re: / うい
ユークリッドの互除法は完璧に説明できるとは言いがたいですが
簡単なものなら解けます…。
No.64017 - 2020/03/28(Sat) 00:53:46
☆ Re: / らすかる
「aとbの最大公約数」＝「a-bとbの最大公約数」を知っているとすれば
「3n+16と4n+18の最大公約数」
=「3n+16と(4n+18)-(3n+16)の最大公約数」
=「3n+16とn+2の最大公約数」
=「(3n+16)-(n+2)とn+2の最大公約数」
=「2n+14とn+2の最大公約数」
=「(2n+14)-(n+2)とn+2の最大公約数」
=「n+12とn+2の最大公約数」
=「(n+12)-(n+2)とn+2の最大公約数」
=「10とn+2の最大公約数」
のようになり、これをまとまった式にしたものが
ういさんが書かれた式です。
No.64019 - 2020/03/28(Sat) 01:28:03
☆ Re: / ast
> 簡単なものなら解けます…。
どういうものを簡単とか難しいとかおっしゃっているかは測りきれないので置いておきますが, その解ける問題で構わないので「なぜユークリッドの互除法で最大公約数が求められるのか」をぜひ一度じっくり考えてみてください, その理由はこの問題でもそのまま通用するので.
No.64020 - 2020/03/28(Sat) 01:49:51
☆ Re: / うい
ありがとうございます
No.64021 - 2020/03/28(Sat) 01:59:51
★ 絶対値の数列 / へいけ
(1)の問題の解き方を教えてください。
No.64011 - 2020/03/27(Fri) 21:02:38
☆ Re: 絶対値の数列 / へいけ
問題の条件に数列があるのですが、画像のように考えてもよいですか？
No.64012 - 2020/03/27(Fri) 21:03:43
☆ Re: 絶対値の数列 / m
> 画像のように考えてもよいですか？

画像の式は成り立ちます。というか表記の違いだけ。意図は何ですか？


もとの問題は、
「?納n=1, ∞] |a[n]| < ∞ ならば ?納n=1, ∞] |a[n]|^2 < ∞」
を示せばいいですね。
まず、
?納k=1, n] |a[k]|^2 ≦ (?納k=1, n] |a[k]|)^2
を示しましょう。
すると、、、
No.64013 - 2020/03/27(Fri) 22:27:47
★ mod / 3
modについて質問です。

modを使って２乗、３乗を表し簡単にしていきますが、
こういう数字なら何乗まで求めるといい、と見極めるポイントはありますか？
No.64005 - 2020/03/27(Fri) 12:58:10
☆ Re: mod / らすかる
漠然としすぎていてよくわかりませんが、
おそらく問題によって変わると思います。
どんな問題に関する質問ですか？
No.64009 - 2020/03/27(Fri) 17:12:56
★ 中3　二次関数 / banana
高校入学前の宿題からです。

関数y=2x²において、xの変域が-2≦x≦t（ただし、t＞-2）であるとき、次の問いに答えなさい。
tの値が次の範囲であるとき、yの変域を求めなさい。（tを用いてもよい。）
?@ -2＜t＜0
?A 0≦t＜2
?B t≧2

<解答>
?@ 2t²≦y≦8　（私の回答：0＜y＜8）
?A 0≦y≦8　　（私の回答：0≦y＜8）
?B 0≦y≦2t²　（私の回答：y≧8）

tを使って回答する理由が分かりません。?Aの「≦8」や、?Bの「0≦」も分かりません。
解説をしていただけたら嬉しいです。
よろしくお願いいたします。
No.64003 - 2020/03/27(Fri) 11:05:48
☆ Re: 中3　二次関数 / ヨッシー

グラフの矢印で示した範囲がｙの変域です。
ｘ＝ｔに対応する点が範囲の端に来ると、ｔを含む範囲になります。
No.64007 - 2020/03/27(Fri) 15:26:58
☆ Re: 中3　二次関数 / banana
ありがとうございました。
解説グラフから、tの意味をいつの間にか勘違いしていたことに気づきました。
すっきりしました。
No.64008 - 2020/03/27(Fri) 16:42:24
★ 数列 / なつ
数列の問題です。
a[1]=p a[n+1]=a[n]+[(√a[n])](外側の[ ]はガウス記号です。)(=1,2,3...)
である数列a[n]について、pがどのような0以上の整数であっても、a[n]が平方数となるようなnが存在することを示せ。
解説いただけると嬉しいです。
No.63999 - 2020/03/27(Fri) 01:18:29
☆ Re: 数列 / m
関数fを自然数xに対して、f(x) = x + [√x] で定める。
（そうすれば、a[n+1] = f(a[n])とかける。）

証明は結構長いです。次のStepを順に示してみてください。
わからないことがあれば聞いてください。
もっと簡単になる、とかも教えて下さい。

（以下出てくる変数は1以上の整数）

Step 1.
k≧2 に対し、(k-1)^2 < k(k-1)+1 < k^2

Step 2.
k≧2 に対し、f(k(k-1)+1) = k^2

Step 3-A.
k≧2 に対し、x が、(k-1)^2 < x < k(k-1)+1 を満たすなら
k(k-1)+1 ≦ f(x) < k^2

Step 3-B.
k≧2 に対し、x が、k(k-1)+1 < x < k^2 を満たすなら
k^2 < f(x) < (k+1)k+1


ここから本題の証明。
pによって、次の3つの場合分けをする。

Case 4-A: k(k-1)+1 < p < k^2 なる k≧2 が存在するとき。

Case 4-B: (k-1)^2 < p < k(k-1)+1 なる k≧2 が存在するとき。
このとき、Step 3-Bよりf(p)をpとおき直すことでCase 4-Aに帰着される。

Case 4-C: 4-A, 4-Bでないとき。
このとき、p = 0, (k-1)^2 もしくは p = k(k-1)+1 となる k≧2 が存在する。
前者は a[1] = p 自身が、後者はStep 2よりa[2] = f(p)が平方数となる。

よってCase 4-Aのときを示せばいい。


背理法で「a[n]が平方数となるようなnが存在する」を示す。
a[n]が平方数となるようなnが存在しないと仮定する。

Step 5-A.
(k+n-1)(k+n-2)+1 ≦ a[2n-1] < (k+n-1)^2
（証明は帰納法とStep 3-A, 3-Bと背理法の仮定）

数列b[n]を b[n] = a[2n-1] - ((k+n-1)(k+n-2)+1) と定める。
Step 5-Aより b[n]≧0 である。

Step 6-A.
b[n+1] = b[n]-1
（証明は背理法の仮定とStep 5-A）

ここで、Step 6-Aより十分大きなnについて、b[n]<0 となる。
これは b[n]≧0 に矛盾。
よって「a[n]が平方数となるようなnが存在する」。

よって、示された。
No.64004 - 2020/03/27(Fri) 12:53:10
☆ Re: 数列 / m
14時過ぎにちょっとだけ修正しました。

14時半にさらに修正しました。
重大なミスなので太字で変更箇所を書いてます。
No.64006 - 2020/03/27(Fri) 14:10:02
☆ Re: 数列 / m
別に、背理法を使わなくても証明できます。
しかも、実際に平方数になるnが見つかる。
// 存在だけでいいなら背理法のほうが簡単だけど。

p = (k-1)^2 + q (0≦q<k)と表せたなら
a[2q+1]が平方数に、
p = k(k-1)+1 + q (0≦q<k-1)と表せたなら
a[2(q+1)]が平方数になる。

証明の方針は一緒。簡単に説明を。
前半は、c[n]を
c[n] = a[2n-1] - (k+n-2)^2
で定める（直感的にはc[n]はa[2n-1]と平方数とのズレの大きさ）。すると
c[1] = q
c[n+1] = c[n]-1 (0<n≦q)
が言えて（ここが背理法のときより大変。たぶん）、
c[q+1]=0 つまり a[2q+1] = (k+q-1)^2

後半も、
b[q+1]=0 （b[n]の定義は背理法のと同じ）を示して、
a[2q+1] = (k+q)(k+q-1)+1
となって
a[2q+2] = f(a[2q+1]) = (k+q)^2
No.64010 - 2020/03/27(Fri) 20:23:36
☆ Re: 数列 / IT
実験とｍさんの解答を参考に考えてみました。

b[n]＝[√a[n]],r[n]＝a[n]-b[n]^2 とおくと
a[n]＝b[n]^2+r[n],0≦r[n]＜2b[n]+1

r[1]＝0 のとき　a[1]＝b[1]^2 となりOK。
r[1]＝b[1]+1のとき　a[2]＝b[1]^2+b[1]+1+b[1]＝(b[1]+1)^2となりOK。
1≦r[1]＜b[1]+1のとき
　a[2]＝b[1]^2+r[1]+b[1]
　a[3]＝b[1]^2+r[1]+b[1]+b[1]＝(b[1]+1)^2+(r[1]-1)＝b[3]^2+r[3]
　ここでb[3]=b[1]+1,r[3]＝r[1]-1で､r[3]＜b[3]+1 も満たすので、
　この調子でr[1],r[3],r[5],...,は、(＝0になるまでは）１づつ減少する数列となり、q＝r[1]とするとr[2q+1]＝0になる。

b[1]+1＜r[1]＜2b[1]+1のとき
　a[2]＝b[1]^2+r[1]+b[1] ＝(b[1]+1)^2+(r[1]-b[1]-1)＝b[2]^2+r[2]
このとき0≦r[2]＜b[2]+1 なので､１項ずらして考えれば上記とおなじ議論でOK｡
No.64018 - 2020/03/28(Sat) 01:03:54
☆ Re: 数列 / m
ITさん
洗練された、わかりやすい証明ありがとうございます。
勉強になりました。
No.64026 - 2020/03/28(Sat) 09:19:10
★ 三角比 / 瑛
tanθの値を求める問題ですが、階の吟味はどうすればいいですか？
答えはtanθ=-1です
No.63994 - 2020/03/26(Thu) 23:06:43
☆ Re: 三角比 / ヨッシー
0°＜θ＜180°の範囲では、
tanθ＝−１ に対して
　cosθ＝−1/√2、sinθ＝1/√2
より、
　4cosθ＋2sinθ＝−√2

tanθ＝−７ に対して
　cosθ＝−1/√50、sinθ＝7/√50
より、
　4cosθ＋2sinθ＝10/√50＝√2

なので、tanθ＝-7 の方が解なのでは？
No.63995 - 2020/03/26(Thu) 23:22:52
☆ Re: 三角比 / 瑛
そうです-7でした！
とても助かりました、ありがとうございました！
No.63996 - 2020/03/26(Thu) 23:37:16
★ (No Subject) / 眞李
色々考えたけど、わかりませんでした。
答えは28√21でした。
よろしくお願いします。
No.63991 - 2020/03/26(Thu) 22:31:39
☆ Re: / ヨッシー
図のように、△ＡＢＣと合同な三角形６個で、１辺15cmの正六角形を作ります。

△ＨＧＢは正六角形の1/6で、△ＡＢＣはその 7/15×8/15 倍なので、
正六角形の 1/6×7/15×8/15 倍。
内側にできるＡＣを１辺とした正六角形は、大きい正六角形の
　1−7/15×8/15＝169/225(倍)
169/255＝(13/15)^2 なので、ＡＣ＝１３
ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ＝ｘ とおくと、
　ＢＤ^2＝49＋ｘ^2
　ＢＦ^2＝64＋ｘ^2
また、∠ＤＢＦ＝90°より
　ＤＥ^2＝ＢＤ^2＋ＢＦ^2＝(49＋ｘ^2)＋(64＋ｘ^2)
　　　＝113＋2ｘ^2＝169
よって、ｘ^2＝28、　ｘ＝2√7

一方、１辺が15の正六角形の面積は　(3√3/2)×15^2
よって、△ＡＢＣの面積は
　(3√3/2)×15^2×1/6×7/15×8/15＝14√3
以上より、求める体積は、
　14√3×2√7＝28√21
となります。
No.63992 - 2020/03/26(Thu) 22:42:40
☆ Re: / らすかる
別解
Cから直線ABに垂線CHを下すと
∠CBH=60°、∠BHC=90°、∠HCB=30°なので
BH=(1/2)BC=4、CH=(√3)BH=4√3
AH=AB+BH=11、DF=AC=√(AH^2+CH^2)=√(121+48)=13
△ABC=AB×CH÷2=14√3
∠DBF=90°から
BD^2+BF^2=DF^2
(AB^2+AD^2)+(BC^2+CF^2)=DF^2
AB=7,BC=8,DF=13,CF=ADを代入して
49+64+2AD^2=169
AD^2=28
AD=2√7
よって体積は14√3×2√7=28√21
No.63997 - 2020/03/27(Fri) 00:53:33
★ おそらく中3の図形問題 / 伽奈
答えは3です
よろしくお願いします
No.63987 - 2020/03/26(Thu) 22:02:45
☆ Re: おそらく中3の図形問題 / ヨッシー
図のように変形すると、三角形の１辺と、その半分の長さになります。
答え　3cm


No.63988 - 2020/03/26(Thu) 22:23:20
★ 中2数学　角度問題 / もにさん
角度MANの大きさを求める問題です。
正解はは105°となっています。
よろしくお願いします。
No.63983 - 2020/03/26(Thu) 20:54:53
☆ Re: 中2数学　角度問題 / X
まず条件から劣弧BCに対する中心角は
円周角により
30°×2=60°
よって優弧BCに対する中心角は
360°-60°=300° (A)
次に条件である
劣弧AM=劣弧MB (B)
劣弧AN=劣弧NC (C)
から
(B)をx,(C)をyと置くと
劣弧MN=x+y
優弧BC=劣弧MB+劣弧AM+劣弧AN+劣弧NC
=x+x+y+y
=2(x+y)
となるので
劣弧MNの長さは優弧BCの長さの半分

よって(A)から劣弧MNの中心角は
300°×(1/2)=150°
となるので優弧MNの中心角は
360°-150°=210°
従って円周角により
∠MAN=210°×(1/2)=105°

注)
優弧、劣弧という言葉は中学数学では
学習しないと思いますが、解答の際の
記述がしやすいので、敢えて使わせて
いただきました。
意味については例えば以下のURLを
参照してみて下さい。
https://kotobank.jp/word/%E5%8A%A3%E5%BC%A7-661715
No.63985 - 2020/03/26(Thu) 21:43:40
☆ Re: 中2数学　角度問題 / 関数電卓
図です。等長弧の上に立つ円周角は等しい。
No.63989 - 2020/03/26(Thu) 22:27:47
☆ Re: 中2数学　角度問題 / もにさん
わかりやすい図＆解説ありがとうございました。
助かりました。
No.63990 - 2020/03/26(Thu) 22:29:48
★ 連続整数の積 / 棚田
整数の問題を解いててある式が30の倍数であることを示す問題でした
そこで連続5整数の積が式変形で出てきて、｢連続5整数の積は30の倍数｣と書きました
ですが本当はは連続5整数の積は120の倍数ですよね？30・4なので30の倍数でもあると思うのですがカギカッコ内の様に120の倍数ということには触れずにいきなり30の倍数である事はいっていいのでしょうか？
No.63978 - 2020/03/26(Thu) 18:06:15
☆ Re: 連続整数の積 / ヨッシー
求められていることが３０の倍数であれば、120については触れる必要はありません。
｢連続５整数の積は30の倍数｣であることが論理的に示されていることが大前提ですが。
No.63980 - 2020/03/26(Thu) 18:29:55
☆ Re: 連続整数の積 / 棚田
私の答案を見る限り論理的に示されてるとは思えないのですが、どう言ったことを言えば良いのでしょうか…
｢ここで｣以降の文章を
｢連続5整数の積は120の倍数,且つ120=30・4より連続5整数の積は30の倍数がいえる.｣
という文章に書き換えたら良いのでしょうか？
然しながらそう書くとヨッシーさんの｢120については触れる必要はない｣という事を無視してしまいます。
120に触れることなく｢連続5整数が30の倍数｣である事の論理的説明はなんと言えば良いのでしょうか？
No.63984 - 2020/03/26(Thu) 21:18:16
☆ Re: 連続整数の積 / ヨッシー
120が出てしまったら、別に避ける必要はありません。

私の想定していたのは、５連続の整数のなかには
　最低１個の２の倍数
　最低１個の３の倍数
　最低１個の５の倍数
が存在し、２，３，５はいずれも素数なので、
　２×３×５＝３０
より、５連続の整数の積は３０の倍数となる。
でした。
No.63986 - 2020/03/26(Thu) 21:58:36
☆ Re: 連続整数の積 / 棚田
成程！そういう言い方も有りますね
ありがとうございます！
No.64002 - 2020/03/27(Fri) 09:55:57
★ 中３相似の問題について / 凛胡
点Fから辺BCに平行になるように線を引いて考えましたが、上手く行きませんでした。
No.63977 - 2020/03/26(Thu) 17:40:51
☆ Re: 中３相似の問題について / ヨッシー
ＣとＥを結びます。
△ＢＥＤ＝［６］　とおくと、
ＡＥ：ＥＤ＝５：２　より
　△ＡＢＥ＝［１５］
ＢＤ：ＤＣ＝３：４　より
　△ＣＤＥ＝［８］　　←最初９になっていたのを修正しました
　△ＡＥＣ＝［２０］
よって、ＢＥ：ＥＦ＝四角形ＡＢＣＥ：△ＡＥＣ　より
　ＢＥ：ＥＦ＝２９：２０
No.63979 - 2020/03/26(Thu) 18:14:04
☆ Re: 中３相似の問題について / 関数電卓
> 点 F から辺 BC に平行になるように線を引いて考え
ても，もちろん出来ます。

図のように，BC‖GF とします。
DE：EG＝2：x とすると，△BDE∽△FGE より，GF＝(3/2)x
△AGF∽△ADC より，5−x：(3/2)x＝7：4　∴ 4(5−x)＝(3/2)x･7　∴ x＝40/29
BE：EF＝DE：EG＝2：40/29＝29：20
No.63982 - 2020/03/26(Thu) 20:10:22
☆ Re: 中３相似の問題について / らすかる
別解
Dを通りBFに平行な直線とACとの交点をGとすると
△DCG∽△BCFからDG：BF=DC：BC=4：7なのでBF=(7/4)DG
△AEF∽△ADGからDG：EF=AD：AE=7：5なのでEF=(5/7)DG
よってBF：EF=(7/4)DG：(5/7)DG=49：20なので
BE：EF=29：20
No.63998 - 2020/03/27(Fri) 01:08:08
★ 相似を使った証明？について / 璃衣
適当に数を代入してやってみたら、AP二乗＝PQ×PRが成り立つことは分かりましたが、それ以外の方法で証明のやり方を教えていただきたいです。
No.63974 - 2020/03/26(Thu) 16:31:48
☆ Re: 相似を使った証明？について / 璃衣
書き忘れてしまいましたが、中３範囲です！
No.63975 - 2020/03/26(Thu) 16:34:50
☆ Re: 相似を使った証明？について / らすかる
図からAP：BP=PR：PDすなわち
AP/PR=BP/PDです。
AP^2=PQ×PRが成り立つならば
AP/PR=PQ/APですから、
BP/PD=PQ/APが言えれば証明できます。
これはBP：PQ=PD：APと同じことであり、
この比も図からすぐにわかります。
これを証明の形に整理すれば証明になりますね。
No.63976 - 2020/03/26(Thu) 16:41:16
★ 連立方程式 / kennji
工夫してやる方法はないですか？
No.63972 - 2020/03/26(Thu) 01:52:19
☆ Re: 連立方程式 / らすかる
分母を払って
(99^2)x-y=9792
(100^2)x-y=9991
第2式から第1式を引いて
(100^2-99^2)x=9991-9792
(100+99)(100-99)x=199
199x=199
x=1
第2式に代入して
10000-y=9991
y=9
No.63973 - 2020/03/26(Thu) 02:57:49
☆ Re: 連立方程式 / kennji
置き換えとかは無理ですか？
No.64000 - 2020/03/27(Fri) 02:23:11
☆ Re: 連立方程式 / らすかる
例えば100をaとすると
(a-1)x-y/(a-1)=(11a-12)/{(a-1)/9}
ax-y/a=(a^2-9)/a
分母を払って
(a-1)^2x-y=9(11a-12)=99a-108=(a-1)a-a-8=a^2-2a-8
a^2x-y=a^2-9
第2式から第1式を引いて
{a^2-(a-1)^2}x=2a-1
(2a-1)x=2a-1
x=1
y=a^2x-(a^2-9)=9

# この置き換えなら、置き換えない方がわかりやすい気がします。
No.64001 - 2020/03/27(Fri) 09:47:42
★ 教科書の文の意図？ / はひひひほ
複素数の実数倍について 教科書に「複素数α=a+biは0でないとし、複素数平面上の点0と点αを結ぶ直線をlとする。kを実数とすると
kα=ka+(kb)i であるから、点kαは直線l上にある。逆に、直線l上の任意の点は、kαの形の複素数を表す。したがって、α≠0のとき、次の方が成り立つ。 3点0,α,βが一直線上にある⇿β=kαとなる実数kがある」これの、(点kαは直線l上にある。逆に、直線l上の任意の点は、kαの形の複素数を表す。)について、ここで同値性を調べるのは何故でしょうか？なぜここだけこんなにくどく表現しているのでしょうか？他の単元でも点を表すようなところでは、大体慎重な記述がされているような気がします。どういう意図があるのでしょうか教えてください。
No.63970 - 2020/03/25(Wed) 19:01:02
★ (No Subject) / め
x²−ny²=±4型のペル方程式はどのように解くのでしょうか？どこを探しても、=±1型のペル方程式の解法しか載っていなくて困ってます…
No.63967 - 2020/03/25(Wed) 14:32:44
☆ Re: / らすかる
探したら↓ここにありました。
https://leo.aichi-u.ac.jp/~keisoken/research/books/book51/book51.pdf
No.63968 - 2020/03/25(Wed) 16:33:20
☆ Re: / め
ありがとうございます！
No.63971 - 2020/03/26(Thu) 00:34:26
★ 二項定理 / ライリー
画像の赤線について
どう式変換が行われたのかよく分かりません
2^(n-3)は何故2^(n-4)になったのでしょうか？
No.63964 - 2020/03/24(Tue) 22:13:57
☆ Re: 二項定理 / IT
分母の3!=3*2 ですから
No.63965 - 2020/03/24(Tue) 22:51:59
☆ Re: 二項定理 / ライリー
あ！本当だ！
階乗なのを見落としてました…下らない質問をしてすみません
ありがとうございました
No.63966 - 2020/03/24(Tue) 23:30:19
★ (No Subject) / Ran
この問題を見てください。
私が赤で矢印→をしているところの変形がわかりません！

急に内積から-1/2になってませんかこれ？


よろしくお願いします！
No.63957 - 2020/03/23(Mon) 23:38:12
☆ Re: / Ran
わからないところの写真はこれです！
No.63958 - 2020/03/23(Mon) 23:38:44
☆ Re: / らすかる
(x0,y0)は放物線上の点なのでx0^2=4ky0が成り立ちます。
よって分子の内積は
-x0^2-2k^2+2ky0=-x0^2-2k^2+(x0^2/2)
=-x0^2/2-2k^2
=-(1/2)(x0^2+4k^2)
(分母)=x0^2+4k^2なので
分子分母をx0^2+4k^2で割れば-1/2となります。
No.63959 - 2020/03/24(Tue) 00:10:58
☆ Re: / Ran
わかりやすい解答ありがとうございます〜
助かりました！
No.63963 - 2020/03/24(Tue) 11:34:16
★ 整数 / あめ
問題
a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cについて,次の問に答えよ
自然数a,b,cのうち,少なくとも1つは偶数であることを示せ.

解答にはもっと簡潔な良い証明方法が載ってたのですが、私のこの解答も正しいと思うのですが、如何でしょうか。
ご指導下さい。
No.63949 - 2020/03/23(Mon) 19:00:28
☆ Re: 整数 / あめ
すみません、追加で質問です。
kを整数と置くと自然数a,b,cが破綻してしまうと思ったので、kを自然数と置いたのですがこれは正しい選択だったでしょうか？
No.63950 - 2020/03/23(Mon) 19:02:09
☆ Re: 整数 / IT
なぜ a=2k+1,b=2k+3,c=2k+5 と言えるのですか？
a=2k+1,b=2k+7,c=2k+11 とかの可能性もあるのでは?
No.63951 - 2020/03/23(Mon) 19:19:34
☆ Re: 整数 / あめ
すみません、そう指摘された意図が汲み取れません。
2k+7や2k+11等がある中で、こうしたのは、途中で行われる計算がラクになるよう余りが小さい1,3,5を選びました。
こうすることで起こる弊害が今の所思いつきません…すみません
No.63952 - 2020/03/23(Mon) 20:10:47
☆ Re: 整数 / IT
> こうすることで起こる弊害が今の所思いつきません…すみません

a=2k+1,b=2k+3,c=2k+5 だと一部の場合しか表していませんので間違った証明になっています｡

a=2k+1,b=2L+1,c=2m+1 (k,L,m は０以上の整数）
あるいは
a=2k-1,b=2L-1,c=2m-1 (k,L,m は自然数）

などとしなければならないと思います。
No.63953 - 2020/03/23(Mon) 20:17:15
☆ Re: 整数 / ast
ITさんのご指摘と本質的に同じことですが, あめさんが示したのは「a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cは連続する3つの奇数ではない」ことでしかなく, 連続しない奇数の場合に成立する可能性がその議論ではまだ否定できていないので, 偶数が含まれなければならないかどうかの決め手になりません.
No.63955 - 2020/03/23(Mon) 20:35:17
☆ Re: 整数 / あめ
成程！確かに私は勝手にa,b,cを連続する3つの奇数として考えてこの問題に取り組んでいました…。問題を正しく読み取れていませんでした。
ITさん,astさん 御教授下さりありがとうございます
No.63956 - 2020/03/23(Mon) 20:52:23
★ 整数問題 / kitano
kitano です、ご無沙汰しておりました。

問題

https://imgur.com/a/vVs6Atz

何卒宜しく御願い致します。

kitano
No.63947 - 2020/03/23(Mon) 12:41:18
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
あまり式をいっぱい書くよりも

x^3-3ax^2+2a^2x＜0 を解くと
　x＜0 または a＜x＜2a
よって、a＜x＜2a の範囲に整数が３個あるようなａの範囲を考えます。
　5/2＜ａ＜3 の範囲で、ｘ＝３，４，５
　3＜ａ≦7/2 の範囲で　ｘ＝４，５，６
　ａ＝４　で　　ｘ＝５，６，７
この程度で良いと思います。

あとは、数直線とａ＜ｘ＜２ａ の範囲を図示するくらい。
No.63948 - 2020/03/23(Mon) 16:05:15
☆ Re: 整数問題 / kitano
ヨッシー さん

お久しぶりです、ご回答有難うございます。

早速ですが質問させて下さい。

>5/2＜ａ＜3 の範囲で、ｘ＝３，４，５

これはどのように求めたのですか。

教えて下さい

何卒宜しく御願い致します。

kitano
No.63960 - 2020/03/24(Tue) 02:41:26
☆ Re: 整数問題 / kitano
ヨッシー　さんから頂いた回答は

以下

よって、a＜x＜2a の範囲に整数が３個あるようなａの範囲を考えます。
　5/2＜ａ＜3 の範囲で、ｘ＝３，４，５
　3＜ａ≦7/2 の範囲で　ｘ＝４，５，６
　ａ＝４　で　　ｘ＝５，６，７
この程度で良いと思います。

これは、答案ではなく答ですね、

端折りすぎと感じます。

というのが私の感想です。

宜しく御願い致します。

kitano
No.63961 - 2020/03/24(Tue) 03:39:49
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
引用が端折られていますが、
>あとは、数直線とａ＜ｘ＜２ａ の範囲を図示するくらい
これが重要です。

ａ＝2/5 のときの数直線
ａ＝2/5 をちょっと超えた辺りの数直線
ａ＝３ のときの数直線
ａ＝３ をちょっと超えた辺りの数直線
ａ＝7/2 のときの数直線
ａ＝7/2 をちょっと超えた辺りの数直線
ａ＝４ のときの数直線
ａ＝４ をちょっと超えた辺りの数直線
これだけ引いておけば、式をだらだら書くより説得力はあると思います。
No.63962 - 2020/03/24(Tue) 08:37:48
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