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★ 証明方法と恒等式について / あめ
画像をご覧下さい。2つ質問があります。

1つ目は
例題(画像の上部)の問題なのですが、見た時に恐らく有理数等を利用して証明するのだろうな、と思いましたが、思いつかなかったので自分なりに証明してみました(画像の下部)。
本番で問題の意図と違う証明方法をした場合どのくらい減点されるでしょうか。そもそも✕になってしまうのでしょうか。

2つ目は
私は恒等式を利用して考えましたが、そもそも恒等式はXの様な変数がある場合のみ成り立つ考えなのでしょうか？

(ともすれば私はそもそも恒等式の扱い方を間違えてるのでこの場合0点になるでしょうが)

稚拙な文章で分かりにくいかもしれませんので改めて質問内容を記載させてもらうと、
1.問題の意図とは違う証明方法を取った場合、減点はどれほどされるのか。それとも意図と違ければ必ず0点になるのか。
2.恒等式は変数X等がある場合のみ扱えるものなのか。

解答宜しくお願いします。
No.63938 - 2020/03/22(Sun) 20:55:59
☆ Re: 証明方法と恒等式について / IT
1.問題の意図とは違う証明方法を取った場合、減点はどれほどされるのか。それとも意図と違ければ必ず0点になるのか。

出題者の意図と異なる証明でも正しければ、満点だと思います。
＃証明方法を指定されている場合は除きます。
＃高校数学で既出でない定理や公式など使う場合は、その証明が必要となることがあるかもしれません。

あなたの証明は、正しくないので×（0点）だと思います。
No.63939 - 2020/03/22(Sun) 21:08:35
☆ Re: 証明方法と恒等式について / IT
2つ目

恒等式を誤解しておられるようです。中途半端な回答は控えた方が良いと思いますので、
教科書（高校数学　数学２）か下記などで確認してください。

https://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/kotosiki/kotosiki.htm
No.63940 - 2020/03/22(Sun) 21:18:25
☆ Re: 証明方法と恒等式について / あめ
解答して下さりありがとうございます！
1つ目に関しては注意事項も教えて頂き非常に為になりました！
2つ目に関しては間違った証明でお目汚ししてすみません、恒等式勉強し直します！
No.63942 - 2020/03/22(Sun) 22:09:03
★ (No Subject) / りか
丸投げですみません。全く解き方が分からなかったので教えて頂けないでしょうか。

次の最大値、最小値を求めよ。
y = 4^x - 2^(x+3) + 13

で解答が最小値 x=2 , 最大値なし

宜しくお願いします。
No.63936 - 2020/03/22(Sun) 18:07:30
☆ Re: / IT
t=2^x とおくと　
　y= 4^x - 2^(x+3) + 13はどう書けますか？
(tの2次関数になります。t＞0なのでt＞0におけるyの値域を調べます。）
No.63937 - 2020/03/22(Sun) 18:15:45
☆ Re: / りか
IT様

返信有難う御座います。

Xに1から順に一つずつ代入していくということでしょうか？
その場合、2^x=tと置くのは何故でしょうか？
1つずつ代入するならば2^x=tと置かなくても同じ答えが出ると思うのですが、、、
No.63941 - 2020/03/22(Sun) 21:56:17
☆ Re: / IT
> Xに1から順に一つずつ代入していくということでしょうか？

違います。

ところで、
私のいう置き換えをするとどうなりましたか？

y=2^x のグラフの概形が描けますか？　

ｙ= t^2-8t+13 の　最大値、最小値は求められますか？
tは任意の実数のとき、t＞0のときそれぞれ考えてみてください。
No.63944 - 2020/03/22(Sun) 22:48:29
☆ Re: / りか
IT様

有難う御座います。
何となく分かりました。
つまり
y=4^x-2^(x+3)+13
=(2^x)^2-8・2^x+13

t=2^xとおく

t^2-8t+13

平方完成して
=(t-4)^2-3

a>0なので下に凸となり
t^2-8t+13の最小値は(t,y)=(4,-3)

ここでt=2^xを戻すと

4=2^x
log[2]4=x
log[2]2^2=x
2log[2]2=x
x=2
よってy=4^x-2^(x+3)+13の最小値は(x,y)=(2,-3)

ということでしょうか？
No.63945 - 2020/03/22(Sun) 23:31:03
☆ Re: / IT
おおむね良いと思いますが、
> a>0なので下に凸となり
a は出てこないので　「a>0なので」は書かないほうが良いと思います。　


> 4=2^x
>log[2]4=x
>log[2]2^2=x
> 2log[2]2=x
> x=2

log を使わなくても
4＝2^2=2^x になるのは　x=2 であることは直ぐ分かります。
No.63946 - 2020/03/22(Sun) 23:47:04
★ 図形と計量より内接円の半径について / いかりんぐ
高校一年生 IAの問題です。

解答にある、BF=BDとAF=AEが言える根拠は何ですか？これが成り立つ証明を教えて頂きたいです。

また一番下のポイントにもある、c=a+b-2rというのは〇〇の公式等名前が無いですよね。つまり記述の時に｢〇〇の公式より｣とは書けないですよね。
ということはこの関係式を使う時はいつも、解答にあるような図を描いて｢図よりc=a+b-2rが成り立つため｣と言うふうに言葉を添えて使用しなければなりませんか？
No.63931 - 2020/03/22(Sun) 12:08:56
☆ Re: 図形と計量より内接円の半径について / IT
> 解答にある、BF=BDとAF=AEが言える根拠は何ですか？これが成り立つ証明を教えて頂きたいです。

BF=BDが言える根拠

直角三角形で斜辺同士と他の１辺同士が等しいので、ピタゴラスの定理を使えばBF=BDです。
（そして△BFI≡△BDIとなります。）

ピタゴラスの定理を使わない証明。
２辺と１対角が等しい　かつ　その対角（∠F=∠D）=直角　よって△BFI≡△BDI
したがって　BF=BD。
No.63932 - 2020/03/22(Sun) 12:38:29
☆ Re: 図形と計量より内接円の半径について / いかりんぐ
解答ありがとうございます。
成程！どちらも補助線BIを引いて二つの三角形として考えれば良いわけですね。大変よく分かりました！

またc=a+b-2rの質問についても良ければ教えて頂けませんか？
No.63933 - 2020/03/22(Sun) 13:14:12
☆ Re: 図形と計量より内接円の半径について / IT
＞この関係式を使う時はいつも、解答にあるような図を描いて｢図よりc=a+b-2rが成り立つため｣と言うふうに言葉を添えて使用しなければなりませんか？

必ずそのように書かないといけないというわけではないと思います。

式を覚えるより　図（補助線）を描いて、確認しながら、その式を使うのが良いとは思います。
No.63934 - 2020/03/22(Sun) 14:05:24
☆ Re: 図形と計量より内接円の半径について / いかりんぐ
了解しました！どちらの質問も丁寧に御教授下さりありがとうございます。
No.63935 - 2020/03/22(Sun) 14:22:54
★ 三角関数を含む漸化式での極限 / め
a[n+1]=a[n]+sin(a[n])という漸化式を満たす数列{a[n]}の極限値を、グラフで視覚化して考えたとき、初項a1を無限に変える時、奇数×πが極限値なのではと考えたのですが、代数的な証明が出来ません。大学の範囲でしょうか？
No.63925 - 2020/03/21(Sat) 17:10:50
☆ Re: 三角関数を含む漸化式での極限 / IT
>'初項a1を無限に変える'

とはどういうことですか？
No.63926 - 2020/03/21(Sat) 18:00:34
☆ Re: 三角関数を含む漸化式での極限 / め
例えば、0<a[1]<2πならば、極限値はπに。
2π<a[1]<4πならば、極限値は3πに。
4π<a[1]<6πならば、極限値は5πに。といった具合です。
No.63928 - 2020/03/21(Sat) 18:07:11
☆ Re: 三角関数を含む漸化式での極限 / め
a1を色々変えていくとき、そのそれぞれにて、数列{a[n]}が定義されると思うのですが、それら全ての、数列{a[n]}にて極限を考えると、全部(奇数)×πになるのではないかということです！
No.63929 - 2020/03/21(Sat) 18:14:17
☆ Re: 三角関数を含む漸化式での極限 / 関数電卓
（考察の流れのみ）
(?T)
まず 0≦a[1]＜2π の場合を考察。
　f(x)＝x＋sin(x) は f’(x)≧0 で f(x) は単調増加だから，
(?@) 0＜a[1)＜π のとき，a[n] は増加数列で，a[n]≦π。
(?A) π＜a[1]＜2π のとき，a[n] は減少数列で，a[n]≧π。
『有界な単調数列は収束する』…(#) から，このとき a[n]→π (n→∞)
(?B) a[1]＝0 のとき，a[n]≡0
(?C) a[1]＝π のとき，a[n]≡π
(#)は証明を要する大学数学。

(?U)
　a[1]＝2kπ＋α (k＝±1,±2,…; 0≦α＜2π)
としたとき
　a[2,k]＝a[1,k]＋sin(a[1,k])＝2kπ＋α＋sin(α)
だから
　a[n,k]≡a[n,0]＋2kπ
よって，a[n,k]→ (2k＋1)π
No.63930 - 2020/03/21(Sat) 19:24:04
☆ Re: 三角関数を含む漸化式での極限 / め
ありがとうございます！
No.63943 - 2020/03/22(Sun) 22:14:32
★ 放物線 / ひろ
放物線　y=-2x^2+4x-4 y軸　対象移動　x軸+8　y軸に-4平行移動したときの式お願いします。
No.63923 - 2020/03/21(Sat) 12:02:31
☆ Re: 放物線 / ヨッシー
ｙ軸に対象対称移動　：　ｘを−ｘに変える
ｘ軸方向に８移動　：　ｘをｘ−８に変える
ｙ軸方向に−４移動　：　ｙをｙ＋４に変える

元の式が
　ｙ＝２ｘ^2＋４ｘ＋４
だとすると、
ｙ軸に対称移動　：　ｘを−ｘに変える
　ｙ＝２(−ｘ)^2＋４(−ｘ)＋４
　ｙ＝２ｘ^2−４ｘ＋４
ｘ軸方向に８移動　：　ｘをｘ−８に変える
　ｙ＝２(ｘ−８)^2−４(ｘ−８)＋４
　ｙ＝２ｘ^2−３２ｘ＋１２８−４ｘ＋３２＋４
　ｙ＝２ｘ^2−３６ｘ＋１６４
ｙ軸方向に−４移動　：　ｙをｙ＋４に変える
　ｙ＋４＝２ｘ^2−３６ｘ＋１６４
　ｙ＝２ｘ^2−３６ｘ＋１６０
となります。

ｙ＝−２ｘ^2＋４ｘ−４
の場合は、自分でやってみてください。
No.63924 - 2020/03/21(Sat) 12:24:41
★ (No Subject) / うい
20の倍数で、正の約数の個数が15個である自然数nをすべて求めよ。

なぜ、正の約数が15個なら
n=a^14 か
n=a^2×b^4
と導けるのですか？
No.63920 - 2020/03/21(Sat) 05:55:01
☆ Re: / らすかる
aが素数のとき
a^iの約数の個数はi+1個です。
a,bが素数のとき
a^i・b^jの約数の個数は(i+1)(j+1)個です。
a,b,cが素数のとき
a^i・b^j・c^kの約数の個数は(i+1)(j+1)(k+1)個です。
同様に素因数がいくつであっても、
約数の個数は指数+1の積となります。

a^14ならば約数はa^0,a^1,a^2,a^3,…,a^14の15個
a^2×b^4ならば約数は
a^0×b^0, a^0×b^1, a^0×b^2, a^0×b^3, a^0×b^4
a^1×b^0, a^1×b^1, a^1×b^2, a^1×b^3, a^1×b^4
a^2×b^0, a^2×b^1, a^2×b^2, a^2×b^3, a^2×b^4
の15個ですね。
つまりaの指数が0〜2の3種類、bの指数が0〜4の5種類なので
全部で3×5=15個になるということです。

15を2以上の自然数の積で表す方法は3×5しかありませんので、
n=a^14とn=a^2×b^4の他にはありません。
No.63921 - 2020/03/21(Sat) 07:07:53
★ 三角比と単位円について / あめ
高校一年 図形と計量

角度をθとするとsinθ=y,cosθ=x となりますよね (tanθは省きます)
でもこれって半径が1の円(単位円)の場合のみ成り立つ定義ですよね？

もし半径が1では無かったらこの事は成り立たないと認識して大丈夫でしょうか？
No.63911 - 2020/03/20(Fri) 14:10:12
☆ Re: 三角比と単位円について / あめ
追加で質問です。

三角比の相互関係も単位円を利用して導き出されたものですよね、これも単位円でなければ成り立たなくなりますか？
No.63912 - 2020/03/20(Fri) 14:16:34
☆ Re: 三角比と単位円について / ヨッシー

三角比の定義としては、図において
　sinθ＝BC/AB
　cosθ＝AC/AB
　tanθ＝BC/AC
といったようなものです。ここで、AB=1 だと、
　sinθ＝BC, cosθ＝AC
で決めることができるので、ＡＢ＝１を保ちながら、
θをいろいろ変えたものとして、単位円で表すことになり、
その延長で、０＜θ＜π/2 以外の角度についても決めることができるようになり、
というふうに拡張していったものと思われます。

よって、半径ｒの円上の点(x,y) は
　ｘ＝ｒcosθ
　ｙ＝ｒsinθ
となります。また、
　tanθ＝sinθ/cosθ　や
　sin^2θ＋cos^2θ＝1
なども、上の定義から導かれます。

単位円は、sinθ、cosθの値をわかりやすく表現するための道具であり、
三角関数の起源というわけではありません。
No.63918 - 2020/03/20(Fri) 18:54:12
☆ Re: 三角比と単位円について / あめ
返信遅くなってしまい申し訳ありません！
大変よく分かりました、ありがとうございます！
No.63927 - 2020/03/21(Sat) 18:03:57
★ (No Subject) / p
解答をお願いします。
No.63910 - 2020/03/20(Fri) 11:44:45
☆ Re: / IT
何年生か分からないので、x,yなどを使わずに書きました。

(1)青球の数と白球の数の合計-すべての赤球の数＝11
＝2+5+4＝青球の余り数+白球の余り数+赤球の不足数

よって、青球の数と白球の数の合計-（2+5)=すべての赤球の数+4　なので

最後の箱以外の箱に入った青球と白球の合計数＝最後の箱以外の箱に入った赤球の合計数
よって、１つの箱に入れた白球と青球の合計＝12

よって、最後の箱に入った３色の球の合計数＝12+12-4＝20

(2)残った白球の数-残った青球の数＝3なので
入れた白球の数-入れた青球の数＝101-3＝98＝2*7*7…（ア）

１つの箱に入れた白球の数-１つの箱に入れた青球の数
は、青球の数が1,2,3,4,5のとき、それぞれ10、8、6、4、2だが

（ア）より１つの箱に入れた青球の数＝5、１つの箱に入れた白球の数＝7。
よって、箱の数＝98/(7-5)＝49
No.63913 - 2020/03/20(Fri) 14:30:21
☆ Re: / p
(2)がよく分かりません。さらに解説をお願いします。
No.63914 - 2020/03/20(Fri) 14:44:36
☆ Re: / IT
入れた白球の数-入れた青球の数＝101-3＝98…（ア）なので、
１つの箱に入れた白球の数-１つの箱に入れた青球の数は
98(＝2*7*7)の約数でなければならない。

青球の数を１,2,3,4,5とき
１つの箱に入れた白球の数-１つの箱に入れた青球の数はそれぞれ10,8,6,4,2だが,
このうち98の約数は2だけなので、・・・
No.63915 - 2020/03/20(Fri) 14:51:27
☆ Re: / p
１つの箱に入れた白球の数-１つの箱に入れた青球の数は
98＝2*7*7の約数でなければならない。

ここがよく分かりません。
No.63916 - 2020/03/20(Fri) 15:24:29
☆ Re: / IT
98＝入れた白球の数-入れた青球の数＝(１つの箱に入れた白球の数-１つの箱に入れた青球の数)×箱の数

ですから、(１つの箱に入れた白球の数-１つの箱に入れた青球の数)は、98の約数です。
No.63917 - 2020/03/20(Fri) 15:30:32
☆ Re: / p
よく分かりました。
ありがとうございます。
No.63919 - 2020/03/20(Fri) 23:59:41
★ (No Subject) / め
代数的に言われる「対称性」とは結局はなんなのでしょう？三角形の辺abcにて、
a²(a²+c²)=b²(b²+c²)が成り立つ時、「対称的「だから」」a=bだと速攻で断定できると言う人がいたのですが、私は「だから」の部分が一切理解できません。
それを言うならば、x+y=y+xという式は、対称的「だから」x=yなのですか？一切意味が分かりません。

あと、対称式についても、x²+y²という式は、xとyが「対称的」だから、基本対称式x+yと、xyで表せるとは言いますが、だからなんなのかといつも考えてしまいます。

感覚的には、前者の例で言われる「対称」と、後者の対称式の例で言われる「対称」では、違う意味が込められている気がします。
No.63895 - 2020/03/19(Thu) 14:40:31
☆ Re: / め
前者の例で言われる「対称」が以下の画像の説明にて使われている様な気がするのですが、同じ様な考えなのでしょうか？

式Cを対称化して得られた式Lは、xとx0、そしてyとy0が対称的だから「対称化した」と言い、x=x0 y=y0も成り立ってると思うのですが…
No.63896 - 2020/03/19(Thu) 14:44:35
☆ Re: / め
グラフなどで使われる「対称」であれば、例えばf(x)=f(-x)ならy軸対称、f(x)=-f(-x)なら原点対称、そして、f(x)とf(2a-x)は、x=aに関して対称。
また、g(x y)にて、g(x y)=g(x -y)ならx軸対称、g(x y)=g(y x)なら、g(x y)はy=xというグラフに関して対称、など、グラフ的に言われる「対称」は意識できるのですが、代数的に言われる対称は、正直全くイメージ出来ません。
No.63897 - 2020/03/19(Thu) 14:53:33
☆ Re: / め
もう少し簡潔な質問としますと、「xとyが対称だからx=y」という使われ方が出来る「対称」という日本語と、
そういった使い方の出来ない「対称」と言う日本語の、2種類の「対称」という言葉がある気がするのですが、どうなのでしょう…？
No.63898 - 2020/03/19(Thu) 15:01:29
☆ Re: / らすかる
前者も後者と同様に「文字を入れ替えても全く同じ式になる」という意味で
「対称的」と言っているのだと思いますが、
前者は
f(x)=x^2(x^2+c^2)とすれば左辺はf(a)、右辺はf(b)で式の形が同じである等式
という意味、後者は
複数文字間の入れ替えによって変わらない式
という意味ですから、意味合いは少し違いますね。
※前者は、普通「対称的」とは言わないと思います。

もちろん、前者は「対称的だから」という理由だけではa=bにはなりませんが、
左辺はf(a)、右辺はf(b)でありf(x)が(x≧0として)狭義増加関数であることも
考慮に入れれば、a=bと言えますね。
No.63899 - 2020/03/19(Thu) 15:02:08
☆ Re: / め
ありがとうございます。前者はf(a)-f(b)=0と左辺に集めると、この左辺は交代式ではありませんでしょうか？
No.63900 - 2020/03/19(Thu) 16:26:45
☆ Re: / め
対称式よりかは、むしろ↓の考え方な気がしてきました…
No.63901 - 2020/03/19(Thu) 16:33:04
☆ Re: / らすかる
f(a)-f(b)=0とすれば交代式にはなりますが、
交代式だからといってa=bが言えるわけではありません。
わかるのはa=bが解の一つということだけです。
ですから「f(a)=f(b)からa=b」が言えるためには、
上に書いたように狭義増加関数(または狭義減少関数)である必要があります。

# 厳密には、「狭義増加関数(または狭義減少関数)」ではなく
# 「単射の関数(逆関数を持つ関数)」です。
No.63903 - 2020/03/19(Thu) 19:21:59
☆ Re: / め
ありがとうございます。よくよく考えてみましたがno63896は的外れな質問でしたね…失礼しました、単射の写像とは「f(x)=f(y)ならばx=y」という命題を真にする時の写像のことだという認識で行きますが、、、単射の関数が逆関数を持つという所に疑問を感じるのですが、全単射でなければf(x)の値域が終域(全実数)そのものとならないため逆関数は存在しなくないでしょうか…？
No.63904 - 2020/03/19(Thu) 19:43:13
☆ Re: / らすかる
全射でなければ、逆関数の定義域が実数全体にならないだけで、逆関数は存在します。
例えばy=e^xの逆関数はy=logx(定義域はx＞0)ですね。
No.63905 - 2020/03/19(Thu) 21:12:50
☆ Re: / め
ありがとうございます。例えばなのですが、y=1/xでは、x≠0より、yはxの関数でない、とどこかでみたのですが、「xの関数である」為には、xは実数全体で定義されなければいけないということなのではないのでしょうか？
No.63906 - 2020/03/19(Thu) 21:27:31
☆ Re: / らすかる
そんなことはありません。定義域は自由です。
y=√xやy=logxやy=tanxを関数ではないと思っているのなら、それは大間違いです。
例えばy=√(2-x)+√(x-2)は定義域がx=2だけですが、これでも関数です。
No.63908 - 2020/03/19(Thu) 22:11:35
☆ Re: / め
ありがとうございます！理解しました！
No.63909 - 2020/03/20(Fri) 06:03:26
★ 3次方程式の解 / なつ
早稲田の問題です
(4)が分からず、解答を見ると、
(3)より、2cosθ、2cos2θ、2cos3θはf(x)=0の異なる３つの解である。。また2cos4θも解であり、これが2cos3θなので、
4θ＝3θ+2nπ(n:整数)…
のように話が進められていたのですが、この2cos4θが解というのはどこから来ているのですか？
どなたか解説頂けると嬉しいです。
No.63891 - 2020/03/19(Thu) 02:21:46
☆ Re: 3次方程式の解 / IT
(3) を使えば、f(x)=0の解、2cos(2θ) に対して、
2cos(2(2θ))もf(x)=0の解となります。
No.63892 - 2020/03/19(Thu) 07:25:27
★ 確率 / 瑛
シャーペンで指している、2C1はどういうことですか？
No.63887 - 2020/03/18(Wed) 23:55:19
☆ Re: 確率 / ヨッシー
×3 の 3 は
　グーとチョキ、チョキとパー、パーとグー
の出し方の数です。そのうちのグーとチョキについて、
　片方（Ａさんとします）がグーを出して、他方（Ｂさん）がチョキを出す場合と、
　Ａさんがチョキを出して、Ｂさんがグーを出す場合があるので、２を掛けています。
　グーとチョキ、２つのものから１つを選んでＡさんが出す
と考えると、2Ｃ1 となります。
No.63889 - 2020/03/19(Thu) 00:48:11
☆ Re: 確率 / 瑛
なるほど！
ありがとうございました！！
No.63894 - 2020/03/19(Thu) 11:33:37
★ 平行四辺形の中の面積 / dai
△AEGの面積が6、△AOGの面積が4のとき、
△EGDの面積がいくつであるか、求め方がわかりません。
答えは14らしいのですが、理由がわかりません、教えていただくことはできますでしょうか。
No.63883 - 2020/03/18(Wed) 23:33:53
☆ Re: 平行四辺形の中の面積 / dai
ファイルを追加します。
No.63884 - 2020/03/18(Wed) 23:35:38
☆ Re: 平行四辺形の中の面積 / dai
すみません、中２です。
No.63885 - 2020/03/18(Wed) 23:36:52
☆ Re: 平行四辺形の中の面積 / ヨッシー
ＥＧ：ＧＯ：ＯＨ＝３：２：２　より
ＥＡ：ＡＢ＝ＥＧ：ＧＨ＝３：４
よって、
ＡＧ：ＢＨ＝ＥＡ：ＥＢ＝３：７
ＢＨ＝ＧＤ　より
ＡＧ：ＧＤ＝３：７
なので、
　△ＥＧＤ＝△ＡＥＧ×7/3＝１４
です。
No.63886 - 2020/03/18(Wed) 23:45:28
☆ Re: 平行四辺形の中の面積 / dai
比をたくさん使うんですね。
ありがとうございました！
No.63907 - 2020/03/19(Thu) 21:50:24
★ (No Subject) / め
無限級数で、部分和の形が違えば、そのそれぞれの形について極限を考えなければならない、というのに疑問があります。
「部分和の形が違えば」と言いますが、n項目まで足し合わせた部分和S[n]と、n+1項目まで足し合わせた部分和S[n+1]なんて必ず違う形になりませんでしょうか？
No.63879 - 2020/03/18(Wed) 20:40:51
☆ Re: / X
その「違う形」ではありません。

例えば
S[n]=2^n (A)
S[n+1]=2^(n+1) (B)
の場合、(A)(B)は見かけ上は確かに
「違う形」ですが、(A)のnの代わりに
n+1を代入したものが(B)になっていますよね。
ご質問の
>>部分和の形が違えば、
とは、(A)(B)のようにはならない、
つまりS[n+1]がS[n]のnの代わりに
n+1を代入した式にはならない場合
を指しています。
No.63880 - 2020/03/18(Wed) 21:06:03
☆ Re: / め
ありがとうございます！
No.63893 - 2020/03/19(Thu) 08:17:26
☆ Re: / め
すいません、その考え方ですと、↓の場合はどうすればいいのですか？この問題は部分和で場合分けをして解くものだと思うのですが…
No.63902 - 2020/03/19(Thu) 17:22:33
☆ Re: / X
S[n]がnに関して同じ式となることと
S[n]の極限を求めるときに、
nの偶奇による場合分けが必要か
否かは別の問題です。
ご質問の問題は場合分けが必要な例ですね。
No.64054 - 2020/03/29(Sun) 19:19:52
★ 三角比の相互関係 / ヒカリ
範囲は高校1年です。
現在、三角比を使って面積を求めるという所を学んでいます。
画像の三角形の面積を公式に当てはめると次のようになると思います。

sin60°= √3/2
(1/2) * (7) * (4) * (√3/2) = 7√3

ここまではわかるのですが、sin60°の部分を三角比の相互関係の公式を用いて、導き出そうとしても、同じ答えにならなくて困っています。

sin2乗A + cos2乗A = 1
sin2乗A + (4/7)2乗 = 1
sin2乗A = 49/49 - 16/49
sin2乗A = 33/49
sinA = √33/7

教科書にはsin60°= √3/2と書いてあるのに、何度計算しても違う答えになってしまいます。
これは何故でしょうか？
No.63877 - 2020/03/18(Wed) 19:51:30
☆ Re: 三角比の相互関係 / ヨッシー
∠Ｂは直角ではないので、
　cosＡ＝4/7
ではありません。

ＢからＡＢに垂線を伸ばして、ＡＣとの交点をＤとします。
このとき、△ＡＢＤは 30°、60°、90°の直角三角形で、
ＡＢ＝４、ＡＤ＝８ となります。
このとき、cosＡ＝4/8＝1/2 なので、
　sin^2Ａ＋cos^2Ａ＝1
　sin^2Ａ＋(1/2)^2＝1
　sin^2Ａ＝1−1/4＝3/4
0°＜Ａ＜180°より
　sinＡ＝√(3/4)＝√3/2
となります。
No.63878 - 2020/03/18(Wed) 20:02:57
☆ Re: 三角比の相互関係 / ヒカリ
返信ありがとうございます。
なるほど、底辺/斜辺などは直角三角形のみに使える式だったんですね。

>ＢからＡＢに垂線を伸ばして、ＡＣとの交点をＤとします。
線の引き方が理解しきれていません...
Bから書き始めてAB対して垂直になるように線を引くという事ですか？
No.63881 - 2020/03/18(Wed) 22:09:42
☆ Re: 三角比の相互関係 / ヒカリ
かなり考えてたんですが、もしかしたらわかったかもしれないです。

以下のような画像のように線を引いて
後は 底辺 = 1 斜辺 = 2 対辺 = √3
の法則に当てはめれば
AD=8

という感じという事で合ってますかね？
お陰様でスッキリしました。
また機会がありましたら、回答よろしくお願いいたします。
No.63882 - 2020/03/18(Wed) 22:17:30
☆ Re: 三角比の相互関係 / ヨッシー
はい、その図で正しいです。
No.63890 - 2020/03/19(Thu) 00:49:48
★ 媒介変数表示の同値性 / yuki
問題:パラメータ表示x=cosθかつy=sinθはどのような図形を描くか(θは実数)
同値の観点(パラメータの存在条件)で
x=cosθかつy=sinθとなる実数θが存在
⇔x^2+y^2=1
はどう説明されますか？
三角関数の幾何学的な定義であることはもちろん分かっていますが
代数的に説明できませんか？
旺文社の分野別問題精巧軌跡領域では定義で片付けられていました。
よく教科書にある相互関係(sin^2θ+cos^2θ=1)に代入は完全に必要条件を求めているにすぎないので納得できないのです。
No.63873 - 2020/03/17(Tue) 21:26:24
☆ Re: 媒介変数表示の同値性 / 黄桃
必要性（上から下）はいいですね。十分性も次のように、図からの証明を代数的に翻訳するだけです。

実数x,yが x^2+y^2=1 と満たすとします。
仮定より、x^2=1-y^2≦1, よって -1≦x≦1 なので、x=cos(t) となる実数tが存在します。
すると、y^2=1-x^2=sin^2(t) だから、y=sin(t) または -sin(t) です。
y=sin(t)であれば、θ=t とすれば、x=cosθかつy=sinθ　です。
y=-sin(t)であれば、θ=-t とすれば、x=cos(t)=cos(-t)=cos(θ), y=-sin(t)=sin(-t)=sin(θ)です。
以上より、x=cosθかつy=sinθとなる実数θが存在することがわかりました。
No.63888 - 2020/03/19(Thu) 00:06:22
★ logx<√xの証明 / へいけ
画像のような式を証明するにはどうしたらよいですか。
No.63870 - 2020/03/17(Tue) 20:37:25
☆ Re: logx<√xの証明 / へいけ
証明する際、画像のような条件は使いますか？
No.63871 - 2020/03/17(Tue) 20:38:09
☆ Re: logx<√xの証明 / らすかる
f(x)=√x-logxとおくとf'(x)=(√x-2)/(2x)なので
f'(x)は0＜x＜4で負、4＜xで正
よってf(x)は0＜x＜4で減少、4＜xで増加なのでx=4で最小値をとる。
最小値f(4)=2-log4＞0なので、任意のx＞0に対してf(x)＞0すなわちlogx＜√x

# (x^2-1)/x^3≧1/x^2は使いませんでしたが、
# (x^2-1)/x^3≧1/x^2を使う証明が他にあるかも知れませんので
# 上の証明から「(x^2-1)/x^3≧1/x^2は使わない」とは言えません。
No.63875 - 2020/03/18(Wed) 01:49:14
★ 三角形の頂点から伸びる線分 / yui
三角形の頂点から伸びる線分について質問です。
角度が不明で辺の長さがそれぞれa,b,cである三角形△ABCにおいて、頂点Aからx、頂点Bから(10-x)の線分をとり、それが交点を持つときそのうち頂点Cに近い交点を点Pとします。
このとき、aがとりうる最大の長さと線分CPの長さを教えてください。
No.63864 - 2020/03/17(Tue) 19:14:38
☆ Re: 三角形の頂点から伸びる線分 / ヨッシー
ａってＢＣの長さですよね？
点Ｃは
>頂点Aからx、頂点Bから(10-x)の線分をとり、
に関係ないので、好きなように取れ、ａもいくらでも長く出来ると思います。
No.63865 - 2020/03/17(Tue) 19:32:06
☆ Re: 三角形の頂点から伸びる線分 / yui
ヨッシーさんへ
aの長さは辺ABになります。説明不足ですみませんでした。
No.63867 - 2020/03/17(Tue) 19:36:17
☆ Re: 三角形の頂点から伸びる線分 / ヨッシー
ＡＰ＋ＢＰ＝１０なので、ｘを変化させると、
点ＰはＡＢを焦点とする楕円上を動きます。
特にＡＢ＝１０のときは、線分ＡＢ上(両端を除く)を動きます。
ＡＢの長さは10を超えることは出来ませんので、最大は１０です。
No.63868 - 2020/03/17(Tue) 19:47:59
☆ Re: 三角形の頂点から伸びる線分 / yui
ヨッシーさんへ
回答ありがとうございます。線分CPの長さは何になりますでしょうか？
No.63869 - 2020/03/17(Tue) 19:51:04
☆ Re: 三角形の頂点から伸びる線分 / ヨッシー
ＡＢ＝ａ、ＡＣ＝ｂ、ＢＣ＝ｃ、ＡＰ＝ｘ、ＢＰ＝１０−ｘ
が与えられていて、ＣＰを求める問題とします。

△ＡＢＰにおける余弦定理より
　cos∠PAB＝{x^2＋a^2−(10-x)^2}/2ax
　　＝(a^2＋20x−100)/2ax
よって、
　sin∠PAB＝√(4a^2x^2＋200a^2＋4000x−a^4−40a^2x−400x^2−10000)/2ax
△ＡＢＣにおける余弦定理より
　cos∠BAC＝(a^2＋b^2−c^2)/2ab
よって、
　sin∠BAC＝√(2a^2b^2＋2b^2c^2＋2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)/2ab
以上より
　cos∠PAC＝cos∠PABcos∠BAC−sin∠PABsin∠BAC
　　＝[(a^2＋20x−100)(a^2＋b^2−c^2)−√{(4a^2x^2＋200a^2＋4000x−a^4−40a^2x−400x^2−10000)(2a^2b^2＋2b^2c^2＋2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)}]/4a^2bx
△ＰＡＣにおける余弦定理より
　ＰＣ^2＝b^2＋x^2−2bxcos∠PAC
値としてはこれで求められますが、式変形の結果より簡単になるかは試していません。
No.63876 - 2020/03/18(Wed) 09:22:07
★ 漸化式 / sato
この漸化式の解き方の方針がわかりません。項が2の倍数なので幾つか求めてみましたが、3項ごとに７で割り切れる事と
lim(i->無限) L(i) - L(i-1) = 4　ってことしか分かりませんでした。何か良い解き方の手順ってありませんか？
No.63859 - 2020/03/17(Tue) 06:13:46
☆ Re: 漸化式 / sato
L(i) / L(i-1) = 4 でした。すみません
No.63860 - 2020/03/17(Tue) 06:15:02
☆ Re: 漸化式 / sato
3項ごとに７で割り切れないです。またまたすみません
No.63861 - 2020/03/17(Tue) 06:21:14
☆ Re: 漸化式 / IT
wolfram で求めると下記のようになります。参考までに。

a(k)=L(2^k) とおくと　a(k)=(1/3)(2^k-1)(2^(k+1)-1)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=a%28n%29%3D7a%28n-1%29-14a%28n-2%29%2B8a%28n-3%29%2Ca%281%29%3D1%2Ca%282%29%3D7%2Ca%283%29%3D35&lang=ja
No.63862 - 2020/03/17(Tue) 07:54:38
☆ Re: 漸化式 / m
// 添字を a[n] で表します

結局、4項間漸化式
a[n+3] = 7a[n+2] - 14a[n+1] + 8a[n],
a[0]=L[1]=1, a[1]=L[2]=7, a[2]=L[4]=35
を解けばいいです。
特性方程式 t^3-7t^2+14t-8 = 0 を解くと、t=1, 2, 4 となるので
a[n]は1, 2^n, 4^nの線形結合でかけます。（∵下の★）
a[n] = α + β2^n + γ4^n
とおいて、n=0, 1, 2で連立してとけば
α = 1/3
β = -2
γ = 8/3
となってa[n]が求まります。
整理すれば
a[n] = (1/3) (4*(2^n)-1)(2*(2^n)-1)
k=n-1とすればITさんの結果と一致します。
（わざわざずらしたのは、0から始めたほうが計算がラクだから）


★
4項漸化式の特性方程式の複素数解a, b, cが互いに異なるとき、
数列の一般項はa^n, b^n, c^nの線形結合でかけます。
証明は行列の固有値と対角化から。（もし、気になるなら、聞いてください）

また、重解を持つときはこのやり方ではできません。
No.63863 - 2020/03/17(Tue) 09:49:58
★ 空間と面積 / aiko
座標空間において、円柱面C={(x,y,z) | x^2+y^2=1}を考える。

⑴C上の点P(1,0,0) Q(x,y,0) R(x,y,z) ただしz≧0を考える。
PR=2のとき、zをOP→(OPベクトル )からOQ→(OQベクトル)に向かう角度θ (つまりOPベクトルを反時計回りにθ回転するとOQと同じ向きに並行になる、ということ) の関数であらわせ。ただしOは原点とする。

⑵中心(1,0,0),半径2の球Sの内部にあるCの部分の面積を求めよ。


という問題が⑴からわかりません！
⑴だけでもいいので教えてほしいです。
No.63848 - 2020/03/16(Mon) 00:28:19
☆ Re: 空間と面積 / 関数電卓
(1)
R(cosθ, sinθ, z)
PR^2＝(cosθ−1)^2＋(sinθ)^2＋z^2＝4 ∴ z＝√(2＋2cosθ)
(2)
対称性から，求める面積 S は
　S＝4∫[0,π]√(2＋2cosθ)dθ＝8∫[0,π]cos(θ/2)dθ＝16
(z≧0 の部分だけ図示しました)
No.63849 - 2020/03/16(Mon) 10:49:00
☆ Re: 空間と面積 / ヨッシー
(1)
Ｑの座標は (cosθ, sinθ, 0)、Ｒの座標は (cosθ, sinθ, z) と書けるので、
　ＰＲ^2＝(x-1)^2＋y^2＋z^2
に、ＰＲ＝２、x＝cosθ、y＝sinθ を代入して、
　(cosθ−1)^2＋sin^2θ＋z^2＝4
　cos^2θ−2cosθ＋1＋sin^2θ＋z^2＝4
cos^2θ＋sin^2θ＝1 を適用し、移項して整理すると、　
　z^2＝2＋2cosθ
−1≦cosθ より 2＋2cosθ≧0 であるので、
　z＝√(2＋2cosθ)

(2)
まず、z≧0 の部分の面積を求めて、対称性から２倍すれば求める面積となります。
側面を展開して、横軸にθ、縦軸にｚを取ると、
　z＝√(2＋2cosθ)
のグラフとなります。
これを、θ＝０〜２πで積分します。
ｘ軸からの角度θのときのＰからのこの長さは　ｒθ＝θ　であるので、
この積分値がそのまま面積となります。（半径が１以外のときは、半径を掛ける必要があります）
　∫[0〜2π]√(2＋2cosθ)dθ
ここで、
　cos(2θ)＝2cos^2θ−1 より　1＋cosθ＝2cos^2(θ/2) であり、
　√(2＋2cosθ)＝√{4cos^2(θ/2)}
　　　＝2cos(θ/2)　　(0≦θ≦π)
　　　＝−2cos(θ/2)　　(π≦θ≦2π)
ですが、対称性から θ＝0〜π で積分して２倍することにします。
　２∫[0〜π]√(2＋2cosθ)dθ＝２∫[0〜2π]2cos(θ/2)dθ
　　＝8[sin(θ/2)][0〜π]＝8
よって求める面積は　１６。
No.63850 - 2020/03/16(Mon) 11:39:23
☆ Re: 空間と面積 / aiko
とってもわかりやすいです！
ありがとうございました！
No.63851 - 2020/03/16(Mon) 15:51:41
★ (No Subject) / Ran
この問題がわかりません！

答えを教えてほしいです！
No.63847 - 2020/03/16(Mon) 00:15:33
☆ Re: / m
(1)で微分方程式（⇔積分方程式）
S(x) = (x/4) S'(x) , S(1)=1
を解く必要がありそうです。
高校では習わないよね。どの（いつの）問題集に載ってる問題ですか？

もしくは別の解法があるかも？

とりあえず、答えだけ書きます。

(1)
S(x) = 1/x^4
f(x)-2f(2x) = 4/x^5

(2)
積分=0

(3)
f(x) = (64/15)/x^5
No.63852 - 2020/03/16(Mon) 16:20:36
☆ Re: / 関数電卓
1991年東大理系第６問 ですね。
数?Vで微分方程式をやっていた頃の終期かも？
No.63853 - 2020/03/16(Mon) 18:41:40
☆ Re: / m
関数電卓さん ありがとうございます。
No.63854 - 2020/03/16(Mon) 19:29:31
☆ Re: / 関数電卓
(3)が詰め切れなかったのですが…
　f(x)−2f(2x)＝4/x^5
から ｆ(x)＝C/x^5 を仮定し，代入して C＝64/15 は，得点になるでしょうか？
(2)を利用していないからだめか？ 部分点は？
No.63855 - 2020/03/16(Mon) 19:40:48
☆ Re: / m
> ｆ(x)＝C/x^5 を仮定し，

これはだめだと思います。
たとえばf(x) = C/x^5 + D xの形もありえます。
（でもこれは単調減少性とf(x)>0から除外できるけど。でもでも、他にないことが言えたわけではない。）

仮定できるためには「その形にしかなりえない」or「一意性（存在すれば唯一つ）」を言う必要があります。
この問題の場合は難しいかもしれません。

仮定する場合は、「仮定できる理由」がなければ、点はないと思います。
No.63856 - 2020/03/16(Mon) 20:47:22
☆ Re: / 関数電卓
> これは単調減少性とf(x)>0から除外できるけど。でもでも、他にないことが言えたわけではない。
そうですね。
それにしても，さすが東大！ 難問ですね。
有り難うございました。
No.63857 - 2020/03/16(Mon) 21:41:15
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