この問題で、それぞれの文字に対する認識として、以下の認識は正しいでしょうか？
nは、不等式を満たす正の整数nが存在する。
aは、ある範囲のaにて不等式が成立する。
mは、全ての整数mにて不等式が成立する。
とそれぞれ言える。
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No.63758 - 2020/03/10(Tue) 09:48:28
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | 何を以て「認識」というのかは不明ですが、
ｎ：好き勝手な正の整数。不等式が（すべての整数ｍについて：以下同じ）成り立つかどうかはａによって決まる。
ａ：ｎで表されたある範囲について、不等式が成り立つ。
ｍ：好き勝手な整数。不等式が成り立たなかったら、ａの範囲がダメだということ。
制限を受けるのは、ａだけだということです。
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No.63759 - 2020/03/10(Tue) 12:24:49 |
| ☆ Re: / め | | | No.63760 - 2020/03/10(Tue) 13:02:49 |
| ☆ Re: / ヨッシー | | | 取りうるのはすべての正の整数ですが、扱いとしては、定数です。
その時々について、不等式が成り立つようにａの範囲を決めるのです。
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No.63761 - 2020/03/10(Tue) 14:19:09 |
| ☆ Re: / め | | | ありがとうございます。
例えばなのですが、aを正の実数とし、a+b=100にて、aが存在する様なbの範囲を求めよ、と言うことを考える時、別に「全ての」正の実数aという訳ではなく、、0<a≦0.0001の範囲のaしか存在しない様なbの範囲でもも答えに含める訳であって、、、この様に1つでも正の実数aが存在すれば良い、となると思っているのですが、、単に「正の実数a」と与えられている時、、「全ての正の実数a」ではなく、「正の実数a」が1つでもあれば良い、と一律で考えるのは間違いなのでしょうか？
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No.63765 - 2020/03/10(Tue) 19:36:13 |
| ☆ Re: / 黄桃 | | | この問題は設問の書き方が分かりにくいですね。とにかく、問題文を分析していきましょう。
まず、正の整数n, 実数a, 整数m に関する条件P(n,a,m)を
「m^2-(a-1)m+n^2/(2n+1)*a>0」
と置きます。n,a,m を決めるとこの条件の真偽が決まります。次に
Q:「すべての整数mに対して、P(n,a,m)」
を考えます。Pは n,a,m に関する条件でしたが、Qでは「すべての整数mに対して」というmについての束縛がついているので、n,aを決めると真偽が決まる条件です。
なので改めて
Q(n,a):「すべての整数mに対して、P(n,a,m)」
と書くことにします。
最後に
R:「Q(n,a)が成り立つようなaの範囲」
を考えます。
条件Q(n,a)の真偽は n,a を決めると決まるのでした。だから、例えばx方向に正の整数n, y方向に実数aをとると、xy平面上で Q(n,a)が真となる(n,a)のとりうる範囲Sが決まります。
このSは2次元的な広がりを持つのに、a(だけ)の範囲と書かれていて、おかしい、と感じます。
強いて解釈すれば、Sのうち、aが満たすべき範囲（正確には「Q(n,a)が成り立つようなnが存在するaの範囲」）という意味かな？となりますが、しっくりきません。
問題文は、「Rをnを用いて表せ」と続いてます。上記解釈であれば、Rはnの値に依存することなく決まるはずです。
そこで、この問題が求めているのは、どうやらnに依存して決まるもの、つまり、実はR(n):「（正の整数nを１つ決めた時、そのnに応じて決まる）Q(n,a)が成り立つようなaの範囲」を求めよ、という意味だと思うわけです。
そして、こう解釈すれば答はnを用いて表すことができて、辻褄があうので、これを求める問題だ、と思うのです。
このような疑問を抱くのは、最初の解釈の違和感に気づいていない（だから別の解釈を思いつかない）ことが原因ではないでしょうか。
＃解答者にここまでの解釈を要求するのは出題の仕方が悪いように思います。
＃最初の部分は、ヨッシーさんのおっしゃるように「nを自然数の定数、aを実数とする」と書いた方がよかったと思います。
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No.63775 - 2020/03/11(Wed) 07:49:31 |
| ☆ Re: / め | | | ありがとうございます。解説の理解に少し時間がかかりそうなのですが…nはここでは「全ての自然数」というわけではないということですか？この様なnの与えられかたの場合、nが1つでも存在さえすれば、その時のaは答えに含まれる、と盲目的に考えてしまうのですが…
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No.63776 - 2020/03/11(Wed) 08:17:55 |
| ☆ Re: / め | | | 例えばこの答えは、0<a<2n+1なのですが、この答えの中には0<a<3が含まれていて、、この時、nは「全ての自然数」とはならずに、いくつか存在するくらいになると思うのですが…
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No.63777 - 2020/03/11(Wed) 08:22:08 |
| ☆ Re: / ヨッシー | | | 「0＜a＜3が含まれていて」と「いくつか存在するくらい」がよくわかりませんが、
ｎは瞬間的には定数なので、（たぶん）イメージされているような
「すべての自然数を動く」ということはありませんが、
ｎ＝１ のとき、0＜ａ＜3 であれば、不等式はすべての整数ｍについて成り立つ。
ｎ＝２ のとき、0＜ａ＜5 であれば、 （以下同文）
ｎ＝３ のとき、0＜ａ＜7 であれば、・・・
・・・・・
ｎ＝10000 のとき、0＜ａ＜20001 であれば、・・・
・・・・・
のように、「すべての自然数」ｎについて、ａの範囲は
0＜ａ＜2n+1
で表現されます。
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No.63780 - 2020/03/11(Wed) 14:27:14 |
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