63595です。
n 次方程式について、n個の解が正n角形の n 頂点になることは,
f(x) = 0 が (n - 1) 重解をもつ
ことと同値であることを示せ。
明日入試です。
どなたか教えてください
お願いします
の質問が今年の京都大学に第1問で役立ちました
ITさん ありがとうございました。
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No.63724 - 2020/03/06(Fri) 12:16:34
| ☆ Re: / IT | | | たしかに核になる部分が似ていますね。お役に立てて良かったです。
2020年京都大学理系第1問
（問題）
a,bは実数で、a＞0とする。ｚに関する方程式
z^3+3az^2+bz+1=0 …（*）は3つの相異なる解を持ち、
それらは複素数平面上で１辺の長さ(√3)aの正三角形の頂点となっているとする。
このとき,a,bと（*）の3つの解を求めよ。
（略解）
z^3=a^3 の解は、z=a,(-1+(√3)i)a/2,(-1-(√3)i)a/2で,
原点を外心とする正三角形(△ABCと書く)の頂点となる。
△ABCの辺の長さは(√3)aである。
（*）の3つの解をα,β,γとおく。
△αβγは△ABCと合同なので,平行移動し、さらに原点中心に回転し一致させることができる。
したがって複素数s、t（｜t｜＝１）があって、α,β,γは(z-s)^3=(ta)^3の解となる。
展開して整理するとz^3-3sz^2+(3s^2)z-s^3-(ta)^3=0…（**）
（*）と（**）は一致するので、係数を比較して
s=-a,3s^2=b,(a^3)(1-t^3)=1
t^3は実数で|t|=1なのでt=-1
∴a^3=1/2､aは実数なのでa=(1/2)^(1/3)
（以下略）
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No.63738 - 2020/03/06(Fri) 18:11:52 |
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