ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学?U 定積分と図形の面積 / ぽすてむ

白チャートの放物線とx軸の間の面積という内容なのですが、例題194 (2)にあります「-2≦x≦1 では y≦0 であるから」の文章に注目してください。

僕の考えだと y=-2x^2-1 に -2≦x≦1 間の xを代入しても(x=-2,x=-1,x=0,x=1 それぞれ代入) y=0 になる値が見つからないので、グラフから見ても、y≦0 ではなく y<0 ではないかと思うのですが、なぜ「-2≦x≦1 では y≦0」と言えるのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.64247 - 2020/04/09(Thu) 19:40:59

☆ Re: 数学?U 定積分と図形の面積 / 関数電卓

　y≦0 は，y＜0 または y＝0
ですから，どちらかが成立していれば何ら問題はありません。
何れにしても，その後の積分値には影響を及ぼしません。大らかに。

No.64248 - 2020/04/09(Thu) 20:00:28

☆ Re: 数学?U 定積分と図形の面積 / ぽすてむ

理解できました。ありがとうございます。

No.64250 - 2020/04/09(Thu) 20:43:46

★ 条件付き確立 / 高校数学

条件付き確立の問題です。

答えは4番の2/3になります。
僕の答えはどうしても5番の3/4になってしまいます

よろしくお願いします！

No.64245 - 2020/04/09(Thu) 18:43:34

☆ Re: 条件付き確立 / らすかる

白白白の場合：最初が白の確率は1、2連続白の確率は1
白白黒の場合：最初が白の確率は2/3、2連続白の確率は1/3
白黒黒の場合：最初が白の確率は1/3、2連続白の確率は0
黒黒黒の場合：最初が白の確率は0、2連続白の確率は0
よって求める確率は
(1+1/3)/(1+2/3+1/3)=2/3

No.64246 - 2020/04/09(Thu) 19:00:59

☆ Re: 条件付き確立 / 高校数学

なるほど！
ありがとうございます！

No.64249 - 2020/04/09(Thu) 20:08:35

★ 数学 / うりちゃん

この問題教えてください！

No.64235 - 2020/04/09(Thu) 13:35:26

☆ Re: 数学 / ヨッシー

ln(x) は自然対数のことでいいですね？
ここでは log(x) と書くことにします。
　g(x)＝f^2(x)－f(x)－2＝(f(x)－2)(f(x)＋1)
　　　＝(log(x)/x－m－2)(log(x)/x－m＋1)
であり、h(x)＝log(x)/x は x＞0 で定義され、
　h'(x)＝(1－log(x))/x^2
であるので、h(x) はｘ＝ｅで極大かつ最大値 1/e を取ります。
ｘ＝ｅの前後で、単調増加、単調減少し
　０＜ｘ＜１のとき　h(x)＜０
　ｘ＝１のとき　h(x)＝０
　１＜ｘのとき　h(x)＞０（ｘ軸に漸近）です。

　g(x)＝(h(x)－m－2)(h(x)－m＋1)＝０
が異なる２実解を持つには、
i) ｍ＋２＞1/e かつ　０＜ｍ－１＜1/e
ii) ｍ＋２＝1/e かつｍ－１≦０

i) より　1＜ｍ＜1/e＋1
ii) より　ｍ＝1/e－2

以上より、求める範囲は　1＜ｍ＜1/e＋1　または　ｍ＝1/e－2

No.64236 - 2020/04/09(Thu) 14:06:48

★ 錐体 / √

錐体について教えてください。

三角錐や四角錐は、
トンガリが底面の重心の真上ではなくても良いが、

円錐だけは、トンガリが底面の円の中心の真上でなくては
いけないと初めて知りました。

円の中心の真上でなくても高さは変わらないのに、
何故、中心の真上でないといけないのですか？

宜しくお願い致します。

No.64233 - 2020/04/09(Thu) 12:27:02

☆ Re: 錐体 / ヨッシー

斜円錐という言葉があるので、そうとは限らないと思いますが。

No.64234 - 2020/04/09(Thu) 13:04:47

☆ Re: 錐体 / √

ヨッシーさん　ありがとうございます。

家のマークをクリックしてください。
このサイトに書いてありました。

No.64241 - 2020/04/09(Thu) 16:20:00

☆ Re: 錐体 / 元中3

横からで申し訳ありませんが、リンク先を拝見した限り｢中学数学で(問題として)登場することがない｣と記されているだけで、円錐が必ずしも直円錐である必要はないとおもします。
出会う(=中学数学の問題で目にする)円錐は必ず直円錐であるという文意で｢必ず｣が使われているのかと思われます。

No.64242 - 2020/04/09(Thu) 16:20:27

☆ Re: 錐体 / ヨッシー

そうですね。

Wikipedia には、直円錐を単に円錐と呼ぶ、というくだりがありますが、
ここでは、たぶんそういうことを言っているのではなくて、
中学数学から締め出したいという意図かと思います。

この先、展開図を描いて側面積を求める、というテーマが控えていますので、
それを見越して、直円錐のみ扱う、としているものと思われます。

No.64243 - 2020/04/09(Thu) 16:25:02

☆ Re: 錐体 / √

元中３さん　ヨッシーさん
有難うございます。

私は「家のマーク」のサイトに書かれている内容を
読んでビックリしてしまいました。

私の、早とちり　だったのですね。安心しました。

トンガリは、どこにあっても、
たとえ底面から飛び出した位置に
あっても良いのですね。

No.64244 - 2020/04/09(Thu) 16:37:35

☆ Re: 錐体 / √

ホームページって、全てを読むわけではなく、
自分の必要な所だけを読むから、
一部を読んだだけでは誤解してしまうような書き方
がしてあると怖いですね。

つくづく実感しました。

No.64251 - 2020/04/09(Thu) 20:54:45

★ 整数問題 / Ran

この問題を見てください！

解説部分の、a=b+1としたところまではわかるんですが、そこから、赤のところの式変形がわかりません。

(b+1)^p -b^pにはならない気がしてしまいます。

どうしてなのか教えてください。

No.64229 - 2020/04/09(Thu) 10:13:57

☆ Re: 整数問題 / Ran

解説です

No.64230 - 2020/04/09(Thu) 10:14:55

☆ Re: 整数問題 / らすかる

問題の条件からd=a^p-b^pであり
「したがって」の上で「a=b+1」とわかったのですから
d=a^p-b^pのaにb+1を代入すれば
d=(b+1)^p-b^pですね。

No.64231 - 2020/04/09(Thu) 10:35:11

☆ Re: 整数問題 / Ran

そっちか(((
ありがとうございました！

No.64257 - 2020/04/10(Fri) 09:20:07

★ (No Subject) / ハレ

三目並べとは3×3の形で並べられた9個のマスに2人のプレイヤーが交互に〇,×を記入するゲームである。先手が〇，後手が×を空いているマスに記入する。縦,横,斜めいずれかで〇または×を先にそろえた方が勝ちでそこでゲームは終了する。もし双方３つ揃えられなければ引き分けとなる。マスの場所をわかりやすくするため図1のように行をそれぞれＡ,B,C列をそれぞれ1,2,3としそれぞれのマスをA1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3と呼ぶ

図1
一番上の行がＡ,一番下の行がＣ,真ん中の行がＢ
左の列が1,右側が3,真ん中の行が2になっている3×3の９のマスメが書かれています

この3目並べを先手が今コンピュータP,後手がコンピュータＱで行う。コンピュータPおよびＱは相互に双方が一度選択したマス以外の空いているマスのいずれかを等しい確率で選択する

コンピュータＰが3回,コンピュータＱが2回選択」した結果を示したものが図2である

図2に関して
×のマークがついているもの…A1,C1,
〇のマークがついているもの…B1,B2,C3

?@図2で示された状況の後にコンピュータＱがＢ３を選択した時このゲームでコンピュータＰが勝つ確率は

ＰがA2,C2のマス目を選び時だから
(2/3)×(1/3)=2/9=(QがB3を選んだあとＰがＡ2またはC2を選ぶ確率)×(ＱがＡ3を選ぶ確率)

?A図2で示された状況の後でこのゲームでコンピュータＱが勝つ確率は

ＱがA2,A3のマス目を選ぶ時(ただしＰがＢ３を選ぶ場合は除く)

(2/4)×(1/3)×(1/2)=1/12=(?@QがA2またはA3を選ぶ確率×ＰがＣ２を選ぶ確率×?@の時Ｑが選ばなかったA2またはＡ3を選ぶ確率)

?B図2で示された状況の後でこのゲームでコンピュータＰが勝つ確率は

（i)QがB3以外のマス目を選んだあとにＰがB3を選ぶ
(3/4)×(１/3)=1/4

(ii)A2,B2,C2のマス目が〇になりＰが勝つ
(2/4)×(2/3)×(1/2)=1/6

(i)(ii)は互いに排反事象より(1/4)＋(1/6)=5/12

あってますか？答えがなくて困ってます

No.64226 - 2020/04/09(Thu) 00:52:08

☆ Re: / らすかる

?@
> (2/3)×(1/3)=2/9=(QがB3を選んだあとＰがＡ2またはC2を選ぶ確率)×(ＱがＡ3を選ぶ確率)
QがA3を選ぶとき、空きマスは2つですから1/3でなく1/2です。

?A
正しいと思います。

?B
「QがA2、PがA3、QがC2、PがB3」
「QがA3、PがA2、QがC2、PがB3」
「QがC2、PがA2、QがA3、PがB3」
「QがC2、PがA3、QがA2、PがB3」
というパターンが抜けています。

No.64228 - 2020/04/09(Thu) 03:14:26

☆ Re: / ハレ

一応確認のためにもう一回?Bの問題について

9回目にとうとうＰが勝つ場合が抜けていて
「QがA2、PがA3、QがC2、PがB3」→(1/4)×(1/3)×(1/2)=1/24

QがA3、PがA2、QがC2、PがB3
→(1/4)×(1/3)×(1/2)=1/24

QがC2、PがA3、QがA2、PがB3
→(1/4)×(1/3)×(1/2)=1/24

QがC2、PがA2、QがA3、PがB3」
→(1/4)×(1/3)×(1/2)=1/24

だから
(1/4)＋(1/6)＋(1/24)×4=(1/4)＋(1/3)=7/12

でいいんですかね

No.64232 - 2020/04/09(Thu) 10:39:17

☆ Re: / らすかる

最終的に引き分けになるパターンは
×○○　　××○
○○×　　○○×
××○　　×○○
の2通りで、それぞれの○と×の順番が2通りずつなので
(1/24)×2×2×2=1/3です。
これを?Aと?Bの結果に加えると
1/12+7/12+1/3=1
となりますので、7/12で正しいことになりますね。

No.64237 - 2020/04/09(Thu) 15:00:10

★ 線形代数、一次結合の問題 / えすやま

大学の講義の開始が遅れているので予習をしているのですが、わからないところがありました。解答には結論しか書かれておらず、どのように導いたのかわかりません。導出過程をよろしくお願いします。問題と答えは画像に書きました。

No.64224 - 2020/04/08(Wed) 23:17:52

☆ Re: 線形代数、一次結合の問題 / ヨッシー

ベクトルを行ベクトルで表します。
　(0,a,b)＝m(1,-1,1)＋n(2,1,3)
と書けるということなので、ｘ成分の計算より
　0＝m＋2n
よって、m＝-2n。これを代入して
　(0,a,b)＝-2n(1,-1,1)＋n(2,1,3)
ｙ、ｚ成分の計算より
　a＝2n＋n＝3n
　b＝-2n＋3n＝n
よって、
　ａ＝３ｂ

No.64225 - 2020/04/09(Thu) 00:31:29

☆ Re: 線形代数、一次結合の問題 / えすやま

ありがとうございます。理解しました。

No.64227 - 2020/04/09(Thu) 01:13:14

★ 説明の解釈 / 集合

集合についての質問です。

この写真の場合、
U = {{1, 2, ...}, {2, 3, ...}, {3, 4, ...}, ...}
と解釈しても大丈夫でしょうか。

No.64211 - 2020/04/08(Wed) 06:26:25

☆ Re: 説明の解釈 / 集合

もし僕の解釈が正しければ, 自然数を最小値に割り当てればUが加算集合であることを証明することができると思うのですが、間違ってたら訂正をお願いします

No.64212 - 2020/04/08(Wed) 06:32:25

☆ Re: 説明の解釈 / 黄桃

ダメです。そのUは the set of upward-closed sets の１つですが、the set of upward-closed sets はそれだけではありません。

＃他の例としては、U={N}とか、U={{2,3,...},{13,14,...}}とかがあります。

もちろん、この場合に証明すれば十分ということを証明してからなら大丈夫でしょう。

考え方は、述べられている通りでいいと思います。

＃Nは0を含むのか、とか、空集合も upward-closed set だ、とかの些末な問題はありますが、それらは本質的ではありません。

No.64213 - 2020/04/08(Wed) 09:07:54

☆ Re: 説明の解釈 / 集合

ありがとうございます。配点が微妙な問題だったので引っ掛け等があるのかと悩んでましたが、とりあえず素直にUは空集合以外の0を含まないすべてのupward-closed setとした上で進めようと思います

No.64218 - 2020/04/08(Wed) 09:47:02

★ 等比数列の和 / 漸化式

写真の部分はなぜ答えのような式になるのでしょうか？

解説お願いいたします

No.64201 - 2020/04/07(Tue) 19:17:24

☆ Re: 等比数列の和 / 漸化式

この部分が分かりません。

No.64202 - 2020/04/07(Tue) 19:18:43

☆ Re: 等比数列の和 / ast

初項 1, 公比 r の n-項数列 1, r, …, r^(n-1) の和は (1-r^n)/(1-r) というのが等比数列の和の公式です. r の右肩の n が項数 n に一致することに注目してください.
(どうして同じ n になるのか分からなければ, 公式の導出をしている教科書の該当部分に戻って, どんな和の取り方をしたか確認してください)

翻って, 写真の和は (n-1)-項の和なんだから r の右肩は n-1 です. (何をどこまで足しているかピンとこない場合は, 和の部分をシグマではなく + を使って書いてみてください)

(どのあたりに注目してさらに -1 すべきとお考えになったか, できればより詳しく提示して頂ければ, もしかしたらさらに補足できるかもしれません)

No.64203 - 2020/04/07(Tue) 19:31:18

★ 関連の写真２ / フジ

関連の写真２枚目です。

No.64200 - 2020/04/07(Tue) 19:00:04

☆ Re: 関連の写真２ / IT

自信がないですが

その条件を満たす点Dの位置は、いろいろありますが
どういう場合でも、BCの共役弧上の点Eで、△EBCが△DBCが内部になるようなものをとるためには、

弦BC上の（B,Cを除く）任意の点Mと点Dを結んだ線分と円γの交点をEとすると
点Dの位置による場合分けなしに点Eが取れるからだと思います。

逆に言うと、BCの共役弧上に直接点Eを取ろうとすると、点Dの位置によって場合分け＃が必要となるが、弦BC上の（B,Cを除く）の点MをとってEを決めると場合分けの必要がないから。
（＃　線分DB、DCがそれぞれ円γとB,C以外の交点を持つか持たないか）

No.64205 - 2020/04/07(Tue) 20:56:07

☆ Re: 関連の写真２ / フジ

IT様
大変わかりやすい説明を、有り難うございました。

複数の写真を一つにまとめる方法を、また試行錯誤してみようと思います。アドバイスまでいただきまして、感謝申し上げます。

No.64207 - 2020/04/07(Tue) 22:18:29

☆ Re: 関連の写真２ / IT

> 複数の写真を一つにまとめる方法

複数の投稿でもいいですから、元の質問の「返信」として続けて投稿されると、一連の質問になります。

No.64208 - 2020/04/07(Tue) 22:29:54

★ (No Subject) / ヒカリ

現在、数学Aの確率の計算を勉強しております。
範囲は、高校1年～2年？だと思います。

そこで次のような問題が出ました。

10円の硬貨1枚と50円の硬貨1枚を同時に投げるとき、次の確率を求めなさい。
(1)2枚とも裏が出る確率
(2)表と裏が1枚ずつ出る確率

(1)は10円の硬貨が裏になる確率が1/2
50円の硬貨が裏になる確率も1/2なので
1/2×1/2で答えは1/4というのはわかります。

(2)も裏表もパターンを表にすれば、答えは1/2である事はわかりますし、直感的にも1/2である事はわかります。
しかし、どのような考えで、計算式を導き出せばいいのかがわからず困っています。

回答の方お待ちしております。

No.64191 - 2020/04/07(Tue) 18:27:20

☆ 確率の計算式 / ヒカリ

すいません件名を入れ忘れました。
以下誤字です。

誤：(2)も裏表もパターンを表にすれば、
正：(2)もパターンを表にすれば

No.64193 - 2020/04/07(Tue) 18:32:48

☆ Re: / ヨッシー

式で書くなら
　2×1/2×1/2＝1/2
です。
最初の２は、表と裏が１枚ずつ出る場合の数です。

両方表の場合の場合の数は１、両方裏も１です。よって、いずれも
　1×1/2×1/2＝1/4
と考えれば、同じ基準で考えることが出来ます。

No.64195 - 2020/04/07(Tue) 18:38:45

☆ Re: / ヒカリ

回答ありがとうございます！
なるほど、とても納得しました。
また機会がありましたら、回答よろしくお願いいたします。

No.64197 - 2020/04/07(Tue) 18:55:04

★ (No Subject) / あ

続きです。

No.64177 - 2020/04/07(Tue) 15:56:54

☆ Re: / ヨッシー

左上
１つ目の□　因数分解（分配法則の逆）です。
２つ目の□　cos(2x) 倍角の公式そのままです。

右上
１つ目と２つ目の□　和積の公式の和を積に直す方の式を使います。
３つ目と４つ目の□　約分です。
５つ目の□　　sinθ/cosθ＝・・・　の公式です。

左中
１つ目の□　　　　　tan の加法定理そのままです。
２つ目と３つ目の□　倍角の公式を使ってと書いてありますね。

右中　回答済み

下の方の３題　全部和積の公式そのままです。

No.64187 - 2020/04/07(Tue) 17:35:37

☆ Re: / a

ありがとうございます。
解説毎回わかりやすいです。

返信できなくてすみませんでした。

No.64188 - 2020/04/07(Tue) 17:38:54

★ 球面上の円の重なっている部分の面積 / あ

下記教えていただきたいです。
半径Rの球面上に半径r1、半径r2の円があり、球の中心からそれぞれの円の中心に線を下ろしたときの角度をθとするとき、それぞれの円の重なっている部分の（球面上の）面積S。
※それぞれの円は2点で交わっているとする。

No.64176 - 2020/04/07(Tue) 15:40:50

☆ Re: 球面上の円の重なっている部分の面積 / 関数電卓

（回答ではありません）
左図の着色部の面積が求められ（定式化され）ればこの先なんとかなるのでしょうが，これって簡単ではないでしょう！
平面上の２円の交わりに関する超有名問題の右図の面積も，難問の部類ですから…

No.64219 - 2020/04/08(Wed) 11:36:23

☆ Re: 球面上の円の重なっている部分の面積 / らすかる

（回答ではありませんが回答に若干近いです）
関数電卓さんの図に従って具体例で計算してみると、例えば
球面：x^2+y^2+z^2=1
小円：平面z=3/5で切ったとして x^2+y^2=16/25,z=3/5
大円：平面x=zで切ったとして 2x^2+y^2=1,z=x
とした場合
平面 xsinα=ycosα で切ると
小円との交点(の一つ)は (4cosα/5,4sinα/5,3/5)
大円との交点(の一つ)は
(cosα/√{(cosα)^2+1},sinα/√{(cosα)^2+1},cosα/√{(cosα)^2+1})
小円と大円が交わる時のαの値は
cosα/√{(cosα)^2+1}=3/5を解いてcosα=±3/4
求める面積は球に外接する円筒に投影した領域の面積なので
2∫[0～arccos(3/4)]cosα/√{(cosα)^2+1}-3/5 dα
=2∫[0～arccos(3/4)]cosα/√{2-(sinα)^2}-3/5 dα
=2∫[0～√7/4]1/√(2-t^2)-3/5 dt　（sinα=tとおいた）
=2[arcsin(t/√2)-3t/5][0～√7/4]
=2arcsin(√14/8)-3√7/10
関数電卓さんの右の図も逆三角関数が出てくる答えなので、
少なくとも同レベルの難しさはありますね。
しかも元の問題は各パラメータが変数ですから、
同じように答えが出せるかどうかはわかりません。

No.64221 - 2020/04/08(Wed) 16:11:06

☆ Re: 球面上の円の重なっている部分の面積 / 関数電卓

> 求める面積は球に外接する円筒に投影した領域の面積なので
これ，巧みですね！いつもながら脱帽です。

No.64222 - 2020/04/08(Wed) 17:38:04