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★ 三平方の定理 / erica
中３です
点Dから辺ABまでの距離をどうやって求めたらいいのか全然わかりません。なるべく1からわかりやすく説明していただけると助かります。おねがいします
No.64736 - 2020/04/28(Tue) 23:58:38
☆ Re: 三平方の定理 / らすかる
△ABCはBCを底辺とすると高さは√(5^2-3^2)=4cmなので
ABを底辺とすると高さは4×(6/5)=24/5cm
(AB：BC=5：6なので(底辺ABに対する高さ)：(底辺BCに対する高さ)=6：5)
よってDからABまでの距離は(DB/CB)(24/5)=16/5cm
No.64737 - 2020/04/29(Wed) 00:04:35
★ 整数問題 / taka
２回目が回答になります。
No.64734 - 2020/04/28(Tue) 23:13:06
☆ Re: 整数問題 / らすかる
バラバラに書き込むとつながりがわからなくなります。
最初の記事の「返信」から書き込んで下さい。
No.64739 - 2020/04/29(Wed) 05:13:33
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
下に回答しました。
No.64747 - 2020/04/29(Wed) 08:18:35
★ 整数問題 / taka
最後の部分がわかりません。
a^Aはｐで２（α＋γ）＋１回　つまり奇数回割り切れ
ｂはｐで２β回、つまり偶数回割り切れることになる。

と本文に書かれていますが、ｂ＾２はｐで２β回、つまり偶数回割り切れることになる。が正解ではないかと思い
メールしました。
至急回答をお願いいたします。ファイルを２回送りますので
２回目が回答になります。
No.64733 - 2020/04/28(Tue) 23:12:03
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
はい。
誤植ですね。
No.64746 - 2020/04/29(Wed) 08:18:08
★ 中学受験　算数 / てち
2つの大きさの異なる正方形があり
一辺の長さの和が30cm、面積の和が981/2 cm^2
2つの正方形の一辺の長さをそれぞれ求める問題

もちろん、2元2次連立方程式を使えば解けますが、中学受験の知識で解けますか？
ちなみに答えは21/2cm,39/2cmです
No.64723 - 2020/04/28(Tue) 19:38:35
☆ Re: 中学受験　算数 / ヨッシー
中学入試なので有理数の範囲で考えます。
面積が981/2 であることから、１辺の長さを a/2, b/2 とします。
(a, b は整数とは限りません)

図の長方形の部分は、
　(30×30−981/2)÷2＝819/4
よって、a, b は、和が60、積が819 の２数となります。
　819＝3×3×7×13
より、積が819となる組は
　(1, 819), (3, 273), (7, 117), (9, 91), (13, 63), (21, 39)
このうち和が60のものは 21 と 39 なので、２辺は
　21/2 cm と 39/2 cm
No.64729 - 2020/04/28(Tue) 21:27:33
☆ Re: 中学受験　算数 / てち
なるほど…、ありがとうございます！！
積にもっていければ約数でなんとか、って感じですね。
No.64731 - 2020/04/28(Tue) 22:02:05
☆ Re: 中学受験　算数 / らすかる
他サイトで回答しましたが、
一辺が15cmの正方形と面積が819/4の長方形を一つの頂点を合わせて重ねると
角に出来る小正方形の面積が15^2-819/4=81/4となり
81/4=(9/2)^2であることから
819/4の長方形の辺は15-9/2=21/2,15+9/2=39/2と求まります。
No.64732 - 2020/04/28(Tue) 22:47:04
★ 整数問題の件 / タカ
4/27に掲載しました整数問題の件ですが、
又、ご回答いただければ幸いです。
宜しくお願い致します。
No.64721 - 2020/04/28(Tue) 17:56:23
★ (No Subject) / うい
ここで、1/2*CE*AF
となるのがどうしてかわかりません。
教えてください
No.64719 - 2020/04/28(Tue) 15:40:00
☆ Re: / ヨッシー
ＣＥとＡＦが垂直なので、
と言えば分かる人には分かるのですが、どうでしょう？

ひし形の面積が、なぜ　対角線×対角線÷２　なのかを
考えれば分かるでしょうか？
あれ、実はひし形でなくても良いんですよね。
No.64720 - 2020/04/28(Tue) 16:20:42
★ 直交条件 / 直交条件
法線に直交する式がなぜ矢印のように式変形されるのかが分かりません。

二直線：a1x+b1y+c1=0 と a2x+b2y+c2=0 が直交する ⟺a1a2+b1b2=0　

を使っているのでしょうか？

解説よろしくお願いいたします。
No.64717 - 2020/04/28(Tue) 13:31:15
☆ Re: 直交条件 / ヨッシー
ａｘ＋ｂｙ＝ｃ　・・・(i)　と
ｂｘ−ａｙ＝ｄ　・・・(ii)　が垂直であることを理解する方法。

方法１
ｂ＝０ のとき、(i) はｙ軸に平行な直線、(ii) はｘ軸に平行な直線となるので、(i)(ii)は垂直。
ａ＝０のときも同様。
ａｂ≠０ のとき、(i)(ii)の傾きは、それぞれ、
　a/b, −b/a
であり、積が−１になるので、垂直。

方法２
ベクトルの内積を知っているなら、(i) の法線ベクトル (a,b) と
(ii) の法線ベクトル (b, -a) の内積
　(a,b)・(b,-a)＝ab−ba＝０
より、両者は垂直。

など。
No.64718 - 2020/04/28(Tue) 13:51:36
★ (No Subject) / あみ
(1)の問題で、なぜCH•AH=0で解こうとするとダメなのでしょうか？
No.64715 - 2020/04/28(Tue) 13:03:38
☆ Re: / ヨッシー
ＡＢ＝(2, 1, -1)、ＣＨ＝(2k-5, k-4, -k-2) から
　ＡＢ・ＣＨ＝2(2k-5)＋(k-4)−(-k-2)＝０
とするのが、模範解答ですね？これを、
ＡＨ＝(2k, k, -k) を使って、
　ＡＨ・ＣＨ＝2k(2k-5)＋k(k-4)−k(-k-2)
　　＝k(6k−12)＝0
として、k=0, 2。
ｋ＝０ は、|ＡＨ|＝０ であるので、内積が０になっているだけで、
ＡＢ⊥ＣＨ を示す根拠になっていません。
よって、有効なｋの値はｋ＝２のみです。
ここまでの考察を加えるなら、ＡＨ・ＣＨ＝０ でも解けます。
でも、かなりムダな労力ですよね。
No.64716 - 2020/04/28(Tue) 13:24:12
★ 素数 / Ran
この問題の解答で理解できないところがあります。

私が蛍光ペンを引いているところなのですが、m.nは互いに素だから、mがpという約数をもつんじゃないですか？？

mとpの大小関係もわかっていないのに、pはmの倍数と決まる理由がわかりません。

よろしくお願いします
No.64710 - 2020/04/28(Tue) 11:14:36
☆ Re: 素数 / Ran
解答です
No.64711 - 2020/04/28(Tue) 11:14:59
☆ Re: 素数 / らすかる
m,nが互いに素なのでn^2とmも互いに素です。
pn^2=m(p-6n)という式から
pn^2はmで割り切れることがわかりますが、
n^2はmと互いに素なので
pがmで割り切れなければなりません。
よってpはmの倍数です。

ちなみに、「mがpという約数を持つ」とは言えません。
m(p-6n)はpで割り切れますが、もしp-6nがpで割り切れないのであれば
mがpで割り切れることになり、「mがpという約数を持つ」と言えますが、
p-6nがpで割り切れる可能性がありますのでそれは言えません。
No.64712 - 2020/04/28(Tue) 11:31:04
☆ Re: 素数 / Ran
なるほど！
理解できました！ありがとうございました(*´ω｀*)
No.64713 - 2020/04/28(Tue) 11:49:40
★ (No Subject) / うい
この、AIの直線がBCを二等分するというのは
どこから読み取れますか？
No.64704 - 2020/04/28(Tue) 07:30:39
☆ Re: / ヨッシー

図において、
　△ＡＤＩ≡△ＡＥＩ　（直角三角形の斜辺と１辺の相等）
を示して、
　∠ＤＡＩ＝∠ＥＡＩ
を言ったあと、
　△ＡＢＦ≡△ＡＣＦ　（２辺挟角相等）
から
　ＢＦ＝ＣＦ
が言えます。

点Ｉは内心なので、
　∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＦ
は自明。
から始めてもいいでしょう。
No.64705 - 2020/04/28(Tue) 08:17:25
☆ Re: / うい
ありがとうございます！
No.64706 - 2020/04/28(Tue) 10:10:38
★ 球の表面積と体積 / hana
球の体積を画像の上の式で、https://mathtrain.jp/ballsvで紹介されているように求めました。
表面積も同様に求めたかったのですが、画像の下の式で同じように計算すると結果が正しくないです。なぜ表面積はこの方法だと失敗するのでしょうか、、
No.64696 - 2020/04/27(Mon) 23:38:00
☆ Re: 球の表面積と体積 / らすかる
面積を求めるための曲線が、積分方向に真っすぐに進んでいないからです。
円が大きくなるときは積分方向であるx軸から離れる方向に、小さくなるときは
近づく方向に向かっていますね。これでは正しく積分できません。
真っすぐに進む円柱の側面ならばその方法で積分できますが、
円錐の側面も同じようにやると正しく出ません。
円柱と円錐で「幅Δxぶんの面積」を考えてみてください。
円柱ではΔx進めばそのぶんの面積はΔx×円周ですが、
円錐では斜めになっているぶんΔx×円周より大きくなりますよね。
よってこの「斜めであることによって大きくなるぶん」も式の中に入れれば、
正しく積分できます。
斜めであることによって大きくなる比率はr/√(r^2-x^2)ですから
それを掛けると
∫[-r〜r]2π√(r^2-x^2)・r/√(r^2-x^2)dx
=∫[-r〜r]2πrdx
=4πr^2
のように正しく計算されます。
No.64697 - 2020/04/28(Tue) 00:43:56
☆ Re: 球の表面積と体積 / ヨッシー
他人様のページですが、
こちら や こちら に記事があります。
No.64703 - 2020/04/28(Tue) 07:11:04
☆ Re: 球の表面積と体積 / hana
ありがとうございます！
No.64726 - 2020/04/28(Tue) 21:01:17
★ 大学の問題です / 関数
-がつくとどう言う風になるかわかりません。
No.64691 - 2020/04/27(Mon) 19:52:50
☆ Re: 大学の問題です / X
(a)
(与式)=csc(-arctan(5/12))
=1/sin(-arctan(5/12))
=-1/sin(arctan(5/12))
=…

(b)
(与式)=cos{-arcsin(3/5)-(π-arccos(5/13))}
=cos{arccos(5/13)-arcsin(3/5)-π}
=-cos{arccos(5/13)-arcsin(3/5)}
=… (加法定理を使って展開します)

(c)
加法定理を使って展開します。
No.64693 - 2020/04/27(Mon) 20:25:35
☆ Re: 大学の問題です / 関数
ありがとうございます！！
No.64699 - 2020/04/28(Tue) 01:06:25
★ 整数問題 / タカ
資料の赤枠の赤のﾗｲﾝの部分について
さっぱり分かりません。
詳しい説明をお願い致します。
No.64689 - 2020/04/27(Mon) 18:20:15
☆ Re: 整数問題 / IT
１ステップずつ　改行して書き写して、どこまではわかるが、どこが分からないかを確認される必要があります。

1 ＣがＢの倍数でない。　
　よって、
　ある素数Ｐについて
（１）　　ＣがＰで割れる回数をｋ。　すなわち　Ｃ＝(P^k)Q（ＱはＰと互いに素な整数）
（２）　　ＢがＰで割れる回数をＬ。　すなわち Ｂ＝(P^L)R（ＲはＰと互いに素な整数）
　としたとき、　k＜Ｌを満たすと仮定することができる。　

２　k＜Ｌより、Ｌ−ｋ≧１　

３　ＡＣはＢの倍数なので、ＡＣ＝ＢＭとなる整数Ｍが存在する。

４　（２）よりＢＭ（＝ＡＣ）は素数ＰでＬ回以上割れる。


５　４と（１）より　Ａは素数Ｐで少なくともＬ-ｋ回（１回以上）割れる。


どの部分が分かりませんか？
No.64690 - 2020/04/27(Mon) 18:51:26
☆ Re: 整数問題 / タカ
1ｽﾃｯﾌﾟの部分ですが、最後の結論部分でk＜Ｌを満たすと仮定することができる。とありますが、これはつまりはCがB
の倍数ではないとしているのでC/Bの値が整数にならなく
分数になってしまうという意味からK＜Lという結論
なのでしょうか？
そしてQとRを使って表す意味が分かりません。
回答をよろしくお願い致します。　
No.64709 - 2020/04/28(Tue) 10:58:20
☆ Re: 整数問題 / IT
> 1ｽﾃｯﾌﾟの部分ですが、最後の結論部分でk＜Ｌを満たすと仮定することができる。とありますが、これはつまりはCがB
> の倍数ではないとしているのでC/Bの値が整数にならなく
> 分数になってしまうという意味からK＜Lという結論
> なのでしょうか？
趣旨がはっきりとは分かりませんので
確実ではないですが、おそらく違うと思います。

ＣとＢを素因数分解して各素数の指数について大小比較しているのです。

ＣがＢの倍数のとき、
ＣとＢを素因数分解して各素数の指数について大小比較するとどうなるかを考えると分かりやすいかも知れません。

> そしてQとRを使って表す意味が分かりません。
「すなわち」以下は、説明のために書いたので分からなければ取りあえず無視してもらっても結構です。

素因数分解については既習ですか？
No.64725 - 2020/04/28(Tue) 20:49:18
☆ Re: 整数問題 / taka
素因数分解は既習です。
No.64735 - 2020/04/28(Tue) 23:21:23
★ 一次不等式 / とら
この答えは1<xなのですが何故そうなるのでしょうか。2は図を見る限り含まれていないようなのですが…
No.64685 - 2020/04/27(Mon) 16:42:57
☆ Re: 一次不等式 / ヨッシー
それは、場合分けにｘ＝２の場合を入れていないからです。
[3] として、ｘ＝２ のとき　とするか、
[1] を ｘ≦２　とするか、
[2] を ｘ≧２　とすれば、解決します。
No.64686 - 2020/04/27(Mon) 16:50:53
☆ Re: 一次不等式 / とら
なるほど、ありがとうございます😊
No.64687 - 2020/04/27(Mon) 17:02:47
★ (No Subject) / 関数
この手の問題がとても苦手です。
No.64684 - 2020/04/27(Mon) 16:31:57
☆ Re: / X
(a)
問題の方程式から
1/cos4θ-2=0
∴cos4θ=1/2
∴4θ=±π/3+2nπ
(nは任意の整数)
よって
θ=±π/12+nπ/2
(nは任意の整数)

(b)
問題の方程式から
4sinθcosθ-3sinθ=0
(4cosθ-3)sinθ=0
∴cosθ=3/4又はsinθ=0
となるので
θ=±arccos(3/4)+2nπ,nπ
(nは任意の整数)
No.64692 - 2020/04/27(Mon) 20:19:27
☆ Re: / 関数
ありがとうございます！！
No.64698 - 2020/04/28(Tue) 01:06:04
★ 大学の問題です / お豆
この問題がとても苦手です。
No.64683 - 2020/04/27(Mon) 16:24:16
☆ Re: 大学の問題です / ヨッシー
(1)と(2) はそれぞれ
　tanθ−2＝0
　9sin^2θ−1＝0
　tan^2θ−4＝0
　2cosθ＋1＝0
を解くだけです。

(3)
　sin^2θ/cos^2θ−8/cosθ＝8
両辺 cos^2θ を掛けて
　sin^2θ−8cosθ＝8
　1−cos^2θ−8cosθ＝8
　cos^2θ＋8cosθ＋7＝0
(cosθ＋7)(cosθ＋1)＝0
-1≦cosθ≦1 より
　cosθ＝−1
　θ＝(2n+1)π　(n は任意の整数)

(4) はのちほど。
No.64707 - 2020/04/28(Tue) 10:21:06
☆ Re: 大学の問題です / 関数
ありがとうございます！！
とてもわかりやすいです
No.64714 - 2020/04/28(Tue) 12:13:37
★ 質問 / タカ
資料の赤枠の赤のﾗｲﾝの部分について
さっぱり分かりません。
詳しい説明をお願い致します。
No.64681 - 2020/04/27(Mon) 16:11:21
☆ Re: 質問 / IT
該当部分（赤枠部分）をもう少し大きくアップできませんか？
No.64688 - 2020/04/27(Mon) 18:02:48
★ 解析学 / とら
問題5が方針も立たないです…
お願いします
No.64673 - 2020/04/27(Mon) 01:18:05
☆ Re: 解析学 / IT
(1) も分かりませんか？
a＝p＝0 の場合で考えてみてください。
No.64674 - 2020/04/27(Mon) 02:04:57
☆ Re: 解析学 / とら
a=p=0で思いついたのがXn=1/nなのですがそのような単純なやつで大丈夫ですかね？
(2)は問題の条件においてa＜pと仮定しても次何を書けばいいのか検討がつきません…
No.64676 - 2020/04/27(Mon) 09:07:46
☆ Re: 解析学 / IT
> a=p=0で思いついたのがXn=1/nなのですがそのような単純なやつで大丈夫ですかね？
いいです。

> (2)は問題の条件においてa＜pと仮定しても次何を書けばいいのか検討がつきません
ε＝p-a とおくとε＞0で
p＝a+εです。
すべてのnでx[n] ＞p＝a+εとなり・・・・　
No.64678 - 2020/04/27(Mon) 12:38:44
☆ Re: 解析学 / とら
ありがとうございます
教えていただいた内容で解答を作ってみたのですがもしおかしい点や間違っているところがあればご指摘頂けると幸いです
No.64694 - 2020/04/27(Mon) 22:01:23
☆ Re: 解析学 / IT
(1)　a＝p≠0のときを含んで　示す必要があります。

(2) ｐ＜a はどこから来ましたか?

lim[n→∞]x[n]＝a が使われてないのはおかしいです。
これをεＮ方式で書くとどうなりますか？
No.64695 - 2020/04/27(Mon) 22:27:34
☆ Re: 解析学 / とら
> (1)　a＝p≠0のときを含んで　示す必要があります。
> Xn=(1/n)+a(aは実数)などで良いのでしょうか？
> (2) ｐ＜a はどこから来ましたか?
> 背理法なので示せとのことなのでa≧pを否定してa＜pとしました
> lim[n→∞]x[n]＝a が使われてないのはおかしいです。
> これをεＮ方式で書くとどうなりますか？
εN方式とは∀や∃を用いる条件？みたいなものでしょうか？
すみません大学入ってコロナの影響で授業もなく簡素な資料しか渡されてないのでほぼ解析学については分かってないです
お手数かけますがどうかお願いします
No.64700 - 2020/04/28(Tue) 01:08:57
☆ Re: 解析学 / IT
> Xn=(1/n)+a(aは実数)などで良いのでしょうか？
良いです。「(aは実数)」は、書かなくても良いです。


lim[n→∞]x[n]＝a の定義を書いたテキストなしに問題を解けというのはおかしいですね。　どこかに書いてあるのでは？探してみてください。

その資料に書いてないとすれば、別に（推奨の）テキストを購入していることを前提とした資料ではないですか？

１冊はしっかりしたテキスト（大学から推奨されたものがあるのでは？）を入手され
それを基に学習されることをお勧めします。

下記に　オンライン上に公開されている（いた）テキストがあります。
（一部リンク切れや、外部からのアクセス制限されているものもあります）
https://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20140509/UniversityCalculusPDFNoteLinks

下記に筑波大での講義動画があります。
4. 微積分I (2012) (4) 数列の極限 (Calculus I (2012), Lecture 4)
など参考になると思います。　
https://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140508/p1

（解答は、夕方帰ってから書きますが、できるだけ御自分でやってみてください。
問題４の解答も少し見えますが、おかしい気がします。全部載せてみてください）
No.64701 - 2020/04/28(Tue) 04:29:19
☆ Re: 解析学 / IT
下記「青空学園数学科」の「解析基礎」も参考になります。
掲示板で質問もできます。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/
「解析基礎、実数の構成、数列の収束」
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node11.html
No.64702 - 2020/04/28(Tue) 04:47:20
☆ Re: 解析学 / とら
ありがとうございます お手数おかけして申し訳ございません
頂いたURLも活用して頑張りたいと思います
教科書的なものも一応あるにはあるのですがざっとしか書いてないので困ってます
問題4もお願いします
No.64708 - 2020/04/28(Tue) 10:31:26
☆ Re: 解析学 / IT
問題４　主旨は合っていると思いますが記述がよくないと思います。

> 任意のε＞0に対してａ＜ｂ+εならばａ＞ｂと仮定する
「・・・ならば・・・」という記述はおかしいです。

任意のε＞0に対してａ＜ｂ+ε　…?@であり、
ａ＞ｂと仮定する。

> ａ＜ｂ+εより　ε＞ａ−ｂ＞0で　ε＞0は任意より
この行は不要です。

> ε＝(ａ−ｂ)/2 とおく
（これは活かして）
ａ＞ｂよりε＞0　

?@よりａ＜ｂ+ε＝ｂ+(ａ−ｂ)/2 ＝(ａ+ｂ)/2
∴ａ＜(ａ+ｂ)/2
∴２ａ＜ａ+ｂ
∴ａ＜ｂ　これはａ＞ｂに矛盾する。
よってａ≦ｂである（終）　
No.64724 - 2020/04/28(Tue) 19:45:33
☆ Re: 解析学 / IT
問題５
（２）a＜ｐであると仮定する。

ε＝ｐ−aとおくと　ε＞0でｐ＝a+ε
すべてのｎでx[n]＞ｐなので　
すべてのｎでx[n]＞a+ε …?@

一方lim[n→∞]x[n]=a より　
　ある自然数Mがあって
　　n≧Mなる任意のｎについて
　|x[n]-a|＜ε　∴x[n]-a＜ε ∴x[n]＜a+ε
これは?@と矛盾する。

したがってa≧p　（証明終了）
No.64727 - 2020/04/28(Tue) 21:26:28
☆ Re: 解析学 / とら
ありがとうございます
もう少し言葉の意味や意図を考えて証明を書くように気をつけます
No.64728 - 2020/04/28(Tue) 21:26:40
☆ Re: 解析学 / とら
問題5もありがとうございます
たくさんの事を教えていただいて本当に感謝しております
また分からないことがあれば立てると思うのでもしご都合宜しければ教えていただけると幸いです
No.64730 - 2020/04/28(Tue) 21:29:38
★ 微分 / 瑛
下から3行目からの三次方程式の解がa=3だけになるのはどうしてですか？ 複素数は考えないのですか？
No.64668 - 2020/04/26(Sun) 23:58:19
☆ Re: 微分 / らすかる
複素数は大小関係がありませんので、極大値や極小値を持つためには実数関数でないといけません。
No.64669 - 2020/04/27(Mon) 00:50:44
☆ Re: 微分 / 瑛
そうなんですね…！
最後に最後の行の平方完成している理由を教えてください;
No.64671 - 2020/04/27(Mon) 00:56:38
☆ Re: 微分 / IT
任意の実数ａについて　a^2-6a+18≠0を示すためです。
判別式＜0を示しても良いですが、平方完成すれば直接示せて書く量が少ないので平方完成したのでは？
（判別式も平方完成を使っています。）
No.64675 - 2020/04/27(Mon) 02:49:40
☆ Re: 微分 / 瑛
助かりました…！
お二人共、ありがとうございます！！
No.64679 - 2020/04/27(Mon) 14:18:08
★ 等号成立について / あめ
画像の⑵および⑶についての質問です。
解答の最後にある注に書いてあるとおり、⑶の(ii)の様に最小値を示すために、等号はa=bのとき成立と言うのは分かるのですが、⑵や⑶の(i)の様に証明する際に(等号はa=bのとき成立)と言わなければ行けない理由は何でしょうか？
証明するためには特に必要ないと思うのですが…。
No.64665 - 2020/04/26(Sun) 22:43:14
☆ Re: 等号成立について / IT
書かなくても良いと思います。
No.64672 - 2020/04/27(Mon) 00:57:06
☆ Re: 等号成立について / あめ
ありがとうございます！
No.64680 - 2020/04/27(Mon) 15:00:22
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