ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 積分についての質問です / せき

添付している問題で、AやBの値を求める場合、正しくはまずsin(x-t)を加法定理で展開してf(x)をAやBを用いて表す。

そして、A=…、B=…を計算してAとBの連立方程式を解くという流れだと思います。
しかし、与えられているf(x)の式にｘ＝ｔを代入するとf(t)＝ｔとなるので、これをAやBの式に代入して求めていくと答えが違ってきてしまいます。
勝手に、x=tとしてはいけない理由はなぜでしょうか。
例えば、

関数f(x)は、すべての実数x,yについてf(x+y)=f(x)+f(y)を満たすとき、f(-x)=-f(x)であることを示せ。

という問題に対して、「y=-xとすると」導けますよね？これと上の「x=t」とする違いがよくわかりません。

No.63571 - 2020/02/23(Sun) 10:55:33

☆ Re: 積分についての質問です / ヨッシー

添付がないので想像に過ぎませんが、
ｙ＝－ｘの件が、ｘ、ｙともに変数なのに対して、
ｘ＝ｔはある決まった値ｔに対してのみ成り立つ式だから
ではないでしょうか？

現物を見ないと何とも言えませんが。

No.63576 - 2020/02/23(Sun) 12:34:06

★ 算数の中学受験問題です。 / ノグチクルミ

1,4,16,64,256 のカードが3枚ずつあります。
何枚かのカードを使ってカードの和で色々な数をつくります。
1, 作ることのできる最大の数を求めなさい
2, 1から50までの数を作った時　4, のカードはのべ何回使いますか。

解き方がわかりません。

答えは
1.1023
2.72回

No.63558 - 2020/02/22(Sat) 16:06:36

☆ Re: 算数の中学受験問題です。 / IT

４進法の問題ですが、小学校で習うのでしょうか？　もちろん４進法を知ってなくても解けますが、知っていると見通しよく解けます。

(1)各カードの枚数の組み合わせは　４×４×４×４×４＝1024通りです.(１枚も使わない場合も入れて）

(2)１、４、１６、６４、２５６のカードを各０から３枚までの何枚か使って合計すると０から１０２３までの（1024個の）整数をすべて作れます。

(3)各数のカードの枚数の組み合わせが異なると出来る数は異なります。

問１番　単に掛け算と足し算の問題です。問題をよく読んでもういちど考えて見てください。

なお、先に足し算をして３を掛ける方が速いですね。
また、求める最大の数に１加えると（４進数で）１桁繰り上がることが分かっていると計算ミスが防げます。

問２番
50＝(16×3)+(4×0)+(1×2)
49＝(16×3)+(4×0)+(1×1)
48＝(16×3)+(4×0)+(1×0)
47＝(16×2)+(4×3)+(1×3)

50、49、48は4を使わないので,１から47までについて考えます。
16のカードは2枚以下。４、１のカードはそれぞれ３枚以下です。
４のカードが１枚の場合　
　１６のカードは0、1、２枚の3通り、１のカードは0、1、２、３枚の４通りなので計12通り

４のカードが、２枚、３枚の場合も同じ

よって求める４のカードののべ使用枚数は　（１+２+３）×12＝72枚

No.63561 - 2020/02/22(Sat) 17:01:07

☆ Re: 算数の中学受験問題です。 / IT

問２番
具体的に調べて規則性を見つけるのも有力な方法です。
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,... を作るのに使う4の枚数は
0,0,0,1,1,1,1,2,2,02,02,03,03,03,03,00,00,..

No.63581 - 2020/02/23(Sun) 21:50:47

★ (No Subject) / め

この問題の(2)についてなのですが、ここでは媒介変数であるaを消去しているように見えますが、、答えにaの範囲を一切反映させてなくないでしょうか？
例えば一般的に、「軌跡の方程式を求めよ」などと言われれば範囲は答えずにすみ、「軌跡を求めよ」と言われれば範囲ごと答える、ということはわかるのですが、、この問題ではどちらかというと後者のように範囲ごと答えるのが適切なのではないのでしょうか？

No.63554 - 2020/02/22(Sat) 14:10:23

☆ Re: / め

「どの様な曲線上を動く」かを問われているわけであり、「どの様な曲線を描く」かを問われているわけではない。後者を問われるのであれば範囲ごと答える必要があるが、、、前者は後者の必要条件であり、範囲は答える必要はない、、。こんな感じでしょうか…？

仮にそうであるとして、、ではもし(2)の設問が、「どの様な曲線を描くか」であった場合、答えはどうなるのでしょうか？

No.63557 - 2020/02/22(Sat) 16:01:55

☆ Re: / ヨッシー

> 「どの様な曲線上を動く」かを問われているわけであり、「どの様な曲線を描く」かを問われているわけではない。後者を問われるのであれば範囲ごと答える必要があるが、、、前者は後者の必要条件であり、範囲は答える必要はない、、。こんな感じでしょうか…？
そんな感じでしょうね。
> 仮にそうであるとして、、ではもし(2)の設問が、「どの様な曲線を描くか」であった場合、答えはどうなるのでしょうか？
ｘ≧０かつｙ≧０を付ければ良いと思います。

No.63577 - 2020/02/23(Sun) 12:44:17

★ 約数 / た

正の整数と3以上の奇数の最大公約数の個数の求め方を教えてください。

No.63550 - 2020/02/22(Sat) 13:41:47

☆ Re: 約数 / ヨッシー

「最大」公約数の個数はどんな場合でも１個です。

No.63551 - 2020/02/22(Sat) 13:44:43

☆ Re: 約数 / た

それでは、3以上の奇数個あるということですか？

No.63552 - 2020/02/22(Sat) 13:59:17

☆ Re: 約数 / らすかる

「正の整数と3以上の“ある”奇数」の最大公約数ならば
2数の最大公約数なので1個です。
「正の整数と3以上の“すべての”奇数」の最大公約数ならば
無限個の数の最大公約数になりますが、
それでも「最大公約数」は1個です。
「3以上の奇数個」は意味がわかりません。

No.63555 - 2020/02/22(Sat) 14:31:53

☆ Re: 約数 / た

正の整数はx個あるとしたら、どうなりますか？

No.63556 - 2020/02/22(Sat) 14:57:28

☆ Re: 約数 / らすかる

そのx個の整数と3以上の奇数の「全体の最大公約数」のことを言っているのですよね？
数が何個あろうと、最大公約数は「すべての数を割り切る最大の自然数」ですから
必ず1個です。

No.63560 - 2020/02/22(Sat) 16:58:42

☆ Re: 約数 / た

正の整数xを動かしたとしても、1個しかないのでしょうか？

No.63562 - 2020/02/22(Sat) 17:12:37

☆ Re: 約数 / らすかる

xが動くのに従って最大公約数の値が変わるだけであり、
常に1個であることは変わりません。

No.63563 - 2020/02/22(Sat) 17:23:16

☆ Re: 約数 / た

yを3以上の奇数とし、yの正の約数の個数と、正の整数xを動かしたときの最大公約数の個数は、xとyとで、場合分けするんじゃないかと思うのですが？

No.63564 - 2020/02/22(Sat) 17:34:22

☆ Re: 約数 / らすかる

どういう場合分けですか？
「最大公約数」はどんな場合でも常に1個ですから、場合分けは不要です。

# 質疑応答がちぐはぐになっている（互いに言いたいことが伝わっていない）だけかも
# 知れません。元の問題があるのなら、それを書いてもらった方が早いと思います。

No.63565 - 2020/02/22(Sat) 17:39:16

☆ Re: 約数 / ast

また宇宙人がどうたらいう例のセリフが出てくるだけのような気がしますが, みなさん懲りないですね……, 頭が下がります.

No.63567 - 2020/02/22(Sat) 18:00:53

★ (No Subject) / め

集合と命題の分野の考え方を言葉にしてまとめてみたのですが、間違っているところがあればご指摘お願いしたいです。

ある条件Aに対して、十分条件B、必要条件C、必要十分条件Dがあるとする。
包含関係を考えると、十分条件Bは、必要十分条件Dの中にあり、
必要十分条件Dは、必要条件Cの中にあるので、
即ち、十分条件Bの全ては、必要条件Cの中にあることになり、
ただ闇雲に十分条件Bを探すよりは、まず必要条件Cを考え、その中から探していくのが賢明ということになる。C⊃A(=D)⊃Bなので、C⊃Bということ。

No.63542 - 2020/02/22(Sat) 05:55:43

☆ Re: / ヨッシー

C⊃A(=D)⊃B という概念は正しいと思いますが、
「・・・より・・・が賢明」というのはケースバイケースだと思います。

No.63545 - 2020/02/22(Sat) 06:52:26

☆ Re: / め

ありがとうございます！

No.63553 - 2020/02/22(Sat) 14:00:28

★ へんてこな極限の公式 / YUKI

コンピューターで遊んでいたら、こんな公式を見つけたのですが、これは高校数学の知識で証明できるのでしょうか…？

No.63541 - 2020/02/22(Sat) 04:38:46

☆ Re: へんてこな極限の公式 / X

適当な置き換えで見やすくすれば容易です。

e^{e^(e^e)}=a
π^(π^π)=b
と置くと
(左辺)=lim[n→∞](1+a/x^b)^(x^b)
=lim[n→∞]{(1+a/x^b)^{(x^b)/a}}^a
=e^a
=(右辺)

No.63543 - 2020/02/22(Sat) 06:23:30

☆ Re: へんてこな極限の公式 / YUKI

ありがとうございます！めっちゃ簡単なんですね。

ちなみにxの肩のπを４つにすると成り立たないみたいです。

No.63546 - 2020/02/22(Sat) 06:53:20

☆ Re: へんてこな極限の公式 / らすかる

> ちなみにxの肩のπを４つにすると成り立たないみたいです
二つあるうちの一つだけを4つにすれば当然成り立ちませんが、
両方とも4つにすれば成り立つはずです。

No.63547 - 2020/02/22(Sat) 07:22:38

☆ Re: へんてこな極限の公式 / YUKI

らすかる　様

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%28lim%5Bx%E2%86%92%E2%88%9E%5D%281%2B1%2Fx%5E%CF%80%5E%CF%80%5E%CF%80%5E%CF%80%29%5Ex%5E%CF%80%5E%CF%80%5E%CF%80%5E%CF%80%29%EF%BC%9De

これはWolframAlphaがまだ不完全ということでしょうか？

No.63548 - 2020/02/22(Sat) 07:36:42

☆ Re: へんてこな極限の公式 / らすかる

考え方によっては不完全とも言えますが、
「人間が考えることはすべて解ける」ようにするのは
不可能ですから、
「WolframAlphaの仕様上の限界を超えている」
と考えるのが普通だと思います。
lim[x→∞]f(x^π^π^π^π^π^π^π^π^…^π^π)
=lim[x→∞]f(x)
なのですから、元の式はπがいくつあっても成り立ちます。

# WolframAlphaは、この式に限らず複雑な式を与えると
# 間違った答えを返すことがありますので、盲信は禁物です。

No.63549 - 2020/02/22(Sat) 10:15:04

☆ Re: へんてこな極限の公式 / YUKI

大変勉強になりました。ありがとうございます。

No.63559 - 2020/02/22(Sat) 16:07:14

★ (No Subject) / p

http://www.vimagic.co.jp/sansu4/zukei/121016/10-16.html

上記問題ですが、斜線部分の三角形の高さがどうしてそうなるのか、また、平行四辺形の面積の何倍か問われていますが、この場合、平行四辺形の面積を1と置いて考えているのでしょうか？よろしくお願いします。

No.63539 - 2020/02/22(Sat) 04:01:13

☆ Re: / ヨッシー

平行四辺形ＡＢＣＤの面積を１と置いたときの、△ＰＥＤの面積を考えることで、
△ＰＥＤが平行四辺形ＡＢＣＤの何倍かを答えようとしている。
というのは事実ですし、「何倍」というのはそういうものです。

ただ、常に面積＝１を意識しているかというと、それは人それぞれです。
下の図で、Ｄ、ＥがＢＣの３等分点であるとき、△ＡＢＤの面積は、△ＡＢＣの面積の何倍か、という問題のとき、
△ＡＢＣの面積を１として、ＢＣ＝ａとおくと、高さは２／ａであり、
ＢＤ＝a/3 なので、△ＡＢＤの面積は
　a/3×2/a÷2＝1/3
なので、答えは 1/3倍。
と考えるタイプの人なら、「考えている」といえますし、
面積比は底辺比なので、1/3倍。と考える人は、そうではないと言えます。

No.63544 - 2020/02/22(Sat) 06:46:49

☆ Re: / p

その三角形で、高さが2/aになる理由がわかりません。
また、この平行四辺形の問題で、面積比だけを使う場合、どのような解法になるでしょうか？

No.63566 - 2020/02/22(Sat) 17:55:01

☆ Re: / ヨッシー

高さ＝面積÷底辺×２　より　２／ａ　です。

△ＡＩＤ　は平行四辺形ＡＢＣＤの１／２倍
△ＥＩＤ　は△ＡＩＤの３／４倍
△ＥＰＤ　は△ＥＩＤの９／１１倍
以上より
　1/2×3/4×9/11＝27/81
です。
解説にすでに書かれていることをなぞっただけですが。

No.63574 - 2020/02/23(Sun) 11:20:12

☆ Re: / p

本問題で、

相似比は９：２になります。

斜線部分の三角形の底辺は９/１２＝３/４

高さは９/(９＋２）＝９/１１なので、

面積は平行四辺形の→３/４×９/１１÷２＝２７/８８倍です。

とありますが、高さがどうしてそうなるのかわかりません。

No.63578 - 2020/02/23(Sun) 17:54:48

☆ Re: / ヨッシー

私の
>△ＥＰＤ　は△ＥＩＤの９／１１倍
は、ＩＰ：ＰＤ＝２：９から導いているので、高さを言っているわけではありませんが、
どうしても高さを表したいのであれば、

図のように、ＰからＢＣ，ＡＤに垂線ＰＭ，ＰＮを引いて、
　△ＰＮＤ∽△ＰＭＩ　相似比９：２
から、
　ＰＮ：ＰＭ＝９：２
となります。

No.63579 - 2020/02/23(Sun) 18:07:32

☆ Re: / p

ありがとうございました。

No.63636 - 2020/02/28(Fri) 01:13:04

★ 青チャート数?T　EX75 / 岩波

問題
xの方程式x^2-(k-3)x+5k=0,x^2+(k-2)x-5k=0が共通の解をもつように定数kの値を定めて,その共通の解を求めよ。

という問題なんですが。
解答では最初に
「x=αとおいて方程式にそれぞれ代入すると…」
とxにαを代入しています。
こうするとα=0,-1/2が求められて、上の式に代入するとk=0,5/22が求められて、その値を上の式に代入してx=0,-1/2を求めています。

ただ、この時にx=αを行わなくても、でそのまま計算して、x=0,-1/2を求めてからk=0,5/22を求めては駄目なんでしょうか。

このやり方だと、問題文には「定数kの値を定めて、その共通の解を求めよ」とありますが、先に共通の解を求めてから定数kの値を求めてしまう事になります。

このx=αと置かないやり方は正しいのでしょうか。またこの解答を模試や試験で書いた場合減点されてしまうんでしょうか。

回答宜しくお願いします。

No.63532 - 2020/02/21(Fri) 23:02:41

☆ Re: 青チャート数?T　EX75 / X

岩波さんの方針でも問題ありません。
この問題は
x^2-(k-3)x+5k=0
x^2+(k-2)x-5k=0
をx,kについての連立方程式として解く
ことと同義ですので。

No.63534 - 2020/02/21(Fri) 23:14:58

☆ Re: 青チャート数?T　EX75 / 岩波

回答ありがとうございます。

減点はされないでしょうか

もしもそういう意味も含まれていたら二度手間ですいません<(_ _;)>

No.63535 - 2020/02/21(Fri) 23:26:55

☆ Re: 青チャート数?T　EX75 / X

減点はされないと思います。

No.63537 - 2020/02/21(Fri) 23:50:38

☆ Re: 青チャート数?T　EX75 / 岩波

気になっていたので助かりました。
回答ありがとうございました。

No.63538 - 2020/02/22(Sat) 00:46:49

★ 行列の多項式 / かるね

(3)の解き方についてどなたかご教授頂けないでしょうか。
よろしくお願いします。

No.63530 - 2020/02/21(Fri) 01:47:36

☆ Re: 行列の多項式 / ast

(2) で固有多項式 (に A を代入して O になる事実) が出てきているので, 固有多項式を φ(x) と書くことにすれば, g として f を φ で割った余りがとれるのでは?

# h(A)=O となる低次の h(x) があれば, その h を使って f の次数を下げればよい, という話なので固有多項式に拘る必要があるわけではありません.

No.63531 - 2020/02/21(Fri) 14:46:50

☆ Re: 行列の多項式 / かるね

ありがとうございます。その場合、題意のf(A)≠Oという条件はどう絡んでくるのでしょうか。

No.63533 - 2020/02/21(Fri) 23:02:44

☆ Re: 行列の多項式 / ast

別に無理に絡める必要ないのでは…?
# f(A)=O なら自明な g(x)=0 をとればよいので, f(A)=Oの場合を除かなくても話は成立すると思います.
# まあ多項式としての0の次数について言及を避けたいということかもしれませんが.

No.63536 - 2020/02/21(Fri) 23:31:51

☆ Re: 行列の多項式 / かるね

ありがとうございます。

ちなみに、f=φ(x)+g, φ(x):固有多項式
はなぜ成り立つのでしょうか。

お手数をおかけしますが、また返信頂けますと助かります。

No.63568 - 2020/02/22(Sat) 18:08:51

☆ Re: 行列の多項式 / ast

> f=φ(x)+g, φ(x):固有多項式
> はなぜ成り立つのでしょうか。

そこまで強い主張は問題の解答に必要ないですし, さすがにそんな都合よく割った商 Q(x) が Q(x)=1 になったりしないと思いますが……,

　f(x) = Q(x)φ(x) + g(x) 　 (deg(g) < n=deg(φ))
のとき
　f(A) = Q(A)O + g(A) = g(A)

ではどこか足りないとお考えでしょうか……?

No.63569 - 2020/02/22(Sat) 18:30:10

☆ Re: 行列の多項式 / かるね

申し訳ございません。
誤:　f=φ(x)+g, φ(x):固有多項式
正: f(x)=Q(x)φ(x)+g(x), φ(x):固有多項式，Q(x):商
正の式が何故成り立つかお聞きしたかったですが、解決しました。

要は、φ(x)の次数よりQ(x)とg(x)の次数は低くく、
x=Aに代入することで、Q(A)=0となって、f(x)=g(x)が成り立つということですよね。

ありがとうございました。

No.63570 - 2020/02/22(Sat) 19:42:17

☆ Re: 行列の多項式 / ast

解決されたとのことなので必要ないとは思いますが多少の補足を.

> 正の式が何故成り立つか
これは既に書いた通り割り算をしてという話なので, なぜ成り立つかではなくて成り立つような多項式の組 Q, g をとったというべきです. それがなぜ存在するかは (それが f, φ に対してちょうど一通りに決まることと合わせて) 高校数学で履修したはずと思いますので, もしまだあやふやにおもわれるのでしたら多項式の割り算について復習されるとよいでしょう.

後は細かい点ですが (まあ, 多くは単純な打ち間違いだろうとは思いますが)
> φ(x)の次数よりQ(x)とg(x)の次数は低くく、
これも割り算の話ですが, Q の次数は φ の次数より低いとは限りません. 実際, f の次数 m が 2n より大きければ Q の次数は φ の次数より高いです. また Q について
> x=Aに代入することで、Q(A)=0となって
は成り立つとは限りませんし, x=A を代入した Q(A) がどんな行列でもこの話には寄与しません. 重要なのは φ(A)=O という (2) の結果だけです.

念のため書いておきますが, ここで (A の) 固有多項式 φ と言っているものは, (2) に出てきた行列 (A-α[1]E)…(A-α[n]E) に (3) の設定で対応する多項式です. つまり φ(x) := (x-α[1])…(x-α[n]); もちろん φ(A) = (A-α[1]E)…(A-α[n]E) = O ((2) の結果) です.
# 言うまでもなく, この意味での固有多項式 φ(x) は線型代数学で通常いう意味での行列 A の固有多項式に他なりません (それは (1) の形に帰着できることから容易に確認できると思います) が, (2) の結果を使うだけならべつに φ が何者かを知る必要はないともいえるでしょう.

> f(x)=g(x)が成り立つ
成り立つのは正しくは f(A)=g(A) ですね. m=deg(f) > n が仮定ですから f(x)≠g(x) という前提で考えていることになります.

No.63580 - 2020/02/23(Sun) 19:26:37

★ (No Subject) / かける

この問題の⑵は公式から与式の右辺のθにxを代入するだけではダメなのですか？

No.63509 - 2020/02/19(Wed) 17:55:48

☆ Re: / かける

公式です

No.63510 - 2020/02/19(Wed) 17:56:20

☆ Re: / IT

被積分関数の中にｘがあるので分離する必要があると思います。
(x-θ) の x

No.63511 - 2020/02/19(Wed) 18:11:09

☆ Re: / かける

> 被積分関数の中にｘがあるので分離する必要があると思います。
> (x-θ) の x

なぜ分離する必要があるのでしょうか？
理解ができていなくて申し訳ありません

No.63524 - 2020/02/20(Thu) 21:35:28

☆ Re: / IT

公式のfの中にxがある場合はダメです。（なぜその公式が正しいかを考えると分かると思います。）

簡単な例でダメであること確認してください。

∫[0,x](xt)dt
∫[0,x](x-t)dt
を　x で微分すると　それぞれどうなりますか?
かけるさんの考えておられる方法と、定積分を計算してから微分する方法で比べてみてください。

No.63528 - 2020/02/20(Thu) 22:15:36

★ (No Subject) / め

q²-2xq+y²=0
このqが0以外の実数を動くとき、xとyの存在範囲を図示するという問題なのですが、、q≠0を考えたいので、、
q=0ならばy=0、そしてy=0ならばq=0も成立してしまうので、まずyが0になってはいけないと考えy=0、即ちx軸を除外したのですが、間違っていました。
これは、q=0ならばy=0は確かに成り立つがy=0ならばq=0は、反例q=2xがあるから、ということでしょうか？
出来るだけ「集合と論理」的な考え方で解説をお願いしたいです。

No.63502 - 2020/02/19(Wed) 11:28:12

☆ Re: / らすかる

> q=0ならばy=0、そしてy=0ならばq=0も成立してしまう
「y=0ならばq=0も成立してしまう」は間違いです。
y=0でも例えばq=2,x=1ならば式を満たしますので
「y=0ならばq=0」は成り立ちません。

No.63503 - 2020/02/19(Wed) 11:51:43

☆ Re: / め

y=0であれば、確かにq=0は1つの解だが、q=2xも解なので、x≠0であればqはまだ0以外の実数を動ける。よってy=0を除外すると、qの実数解(0以外の)の一部まで除外してしまう。という考え方はあっていますか？

No.63504 - 2020/02/19(Wed) 12:06:03

☆ Re: / らすかる

合っていますが、普通は（論理的な考え方では）
「q=0ならばy=0だが、逆が成り立たないのでy=0を除外することはできない」
と考えると思います。
また反例は一つあれば十分なので、反例を挙げる場合は
「q=2xうんぬん」と説明するよりも「q=2,x=1」のように
具体値を挙げた方が明確で良いと思います。

No.63505 - 2020/02/19(Wed) 12:24:16

☆ Re: / め

ありがとうございます！

No.63506 - 2020/02/19(Wed) 12:38:46