ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 空間図形の問題 / えむ

中学数学を勉強しています。
下線部の部分がなぜこう表すことができるのかわかりません。
初歩的な問題でお恥ずかしいですが、よろしくお願い致します。

No.63486 - 2020/02/18(Tue) 21:48:07

☆ Re: 空間図形の問題 / ヨッシー

この画像が続きということで良いですか？

No.63491 - 2020/02/18(Tue) 22:23:36

☆ Re: 空間図形の問題 / ヨッシー

単位の cm は省略します。

まず、△ＡＢＣと△ＡＯＣは、ＡＣが共通で、残りの２辺がいずれも６なので、両者は合同です。
よって、ＨＡ＝ＨＣ＝ＨＯであり、これを２ｒ（円の直径）と置くと、
　ＡＣ＝ＡＨ＋ＨＣ＝４ｒ
です。

一方、△ＯＡＣの面積はＯＡを底辺とするとＯＣが高さになるので、
　ＯＡ＝ＯＣ＝６
より
　△ＯＡＣ＝６×６÷２＝１８
です。

No.63492 - 2020/02/18(Tue) 22:27:59

☆ Re: 空間図形の問題 / えむ

ありがとうございました。
納得しました。
またお願い致します。

No.63517 - 2020/02/20(Thu) 14:52:03

★ 最大化問題 / かるね

画像のような最大化問題の解き方を教えてほしいです。

No.63485 - 2020/02/18(Tue) 20:44:11

☆ Re: 最大化問題 / m

問題文は正しいですか？
一行目のy_2, ..., y_nに二乗が付いていそうだし、
三行目はその省略の仕方だと
λ_1 > λ_2 * λ_3 * ... * λ_n >0
という意味になってしまいます。
（不等号を省略しているのか、掛け算を省略しているのか、わかりません。）
なんとなく問題設定に違和感があるので聞いてみました。元のであっているなら、あってると教えてください。お手間をおかけします。

あと、学年（学部）等も教えていただけると、何を前提として説明すればいいのか分かって回答しやすいです。

No.63489 - 2020/02/18(Tue) 22:06:57

☆ Re: 最大化問題 / かるね

•y_2,y_nに二重のつけ忘れをしてしまいました。申し訳ございません。
•三行目に関しては、不等号の省略ですね。申し訳ございません。
正しくは
λ1>λ2>•••>λn>0
です。

元々は画像の問題(2)を考える際に、考察した最大化問題です。
学年は情報学部の大学2年です、
よろしくお願いします。

No.63493 - 2020/02/18(Tue) 22:34:56

☆ Re: 最大化問題 / かるね

連投になってすいません。
正しい最大化問題はこのようになります。

No.63494 - 2020/02/18(Tue) 22:46:36

☆ Re: 最大化問題 / m

（添え字をy[1]のように書きます。）

λ[1] > ... > λ[n]とする。

方針は良さそうなので、
Max y[1]^2λ[1]^2 + ... + y[n]^2λ[n]^2
　s.t. y[1]^2 + ... + y[n]^2 = 1
がλ[1]^2になることを示します。

最大値を求める方法はいくつかありますが、この場合は次の二つを示せばよさそうです。
(1) あるy[1], ..., y[n] s.t. y[1]^2 + ... + y[n]^2 = 1
　が存在してy[1]^2λ[1]^2 + ... + y[n]^2λ[n]^2 = λ[1]^2

(2) すべてのy[1], ..., y[n] s.t. y[1]^2 + ... + y[n]^2 = 1
　に対してy[1]^2λ[1]^2 + ... + y[n]^2λ[n]^2 ≦ λ[1]^2

(1), (2)が言えれば、λ[1]^2が最大値になることが言えます。

証明：
(1)は
y[1] = 1, y[2] = ... = y[n] = 0とおくと成り立ちます。

(2)は
y[1]^2 + y[2]^2 ... + y[n]^2 = 1とする。
各i = 2, ... nにたいして
λ[i] < λ[1]より
y[i]^2λ[i]^2 ≦ y[i]^2λ[1]^2
が成り立つ。iについて足すと
y[1]^2λ[1]^2 + y[2]^2λ[2]^2 + ... + y[n]^2λ[n]^2
≦ y[1]^2λ[1]^2 + y[2]^2λ[1]^2 + ... + y[n]^2λ[1]^2
　= (y[1]^2 + y[2]^2 ... + y[n]^2)λ[1]^2
　= λ[1]^2
となり言えました。

No.63495 - 2020/02/18(Tue) 23:03:55

☆ Re: 最大化問題 / かるね

ありがとうございます。
一点気になることがあります。

λ[i] < λ[1]より
y[i]^2λ[i]^2 ≦ y[i]^2λ[1]^2

上のように、<から≦に変化する理由を教えていただきたいです。

No.63497 - 2020/02/18(Tue) 23:42:36

☆ Re: 最大化問題 / m

y[i]^2>0のときは"<"でいいのですが、
y[i]^2=0のときは両辺とも0となって"="となるからです。

No.63499 - 2020/02/19(Wed) 00:16:37

☆ Re: 最大化問題 / かるね

ありがとうございました！

No.63500 - 2020/02/19(Wed) 00:19:58

★ n次導関数の導出方法 / かるね

画像の(3)を解く際、f(x)のn次導関数を導出したいのですが、導出方法を教えてほしいです。
よろしくお願いします。

No.63465 - 2020/02/16(Sun) 19:32:14

☆ Re: n次導関数の導出方法 / m

求めるのは難しいと思います。
そして、(3)を示すためには求める必要はありません。

f(x)のx > 0におけるn階導関数は
ある多項式関数P_nを使って
P_n(1/x) e^(-1/x)
と書けることが（帰納法により）言えます。

あとは任せます。厳密にやると結構長いです。
わからなければ聞いてください。

No.63466 - 2020/02/16(Sun) 20:20:38

☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね

mさん
ご返信ありがとうございます。
帰納法を使ったn階導関数の導出法がわかりません。
ご教授お願いできないでしょうか。

No.63467 - 2020/02/16(Sun) 20:37:15

☆ Re: n次導関数の導出方法 / m

添え字が多いので画像で。
（ちょっとだけ修正）

No.63468 - 2020/02/16(Sun) 21:10:22

☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね

ありがとうございます。
ちなみに、P1(x)は
P1(x)=x^2
でよろしいですか？

No.63469 - 2020/02/16(Sun) 21:32:39

☆ Re: n次導関数の導出方法 / m

はい。

No.63471 - 2020/02/16(Sun) 21:41:41

☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね

了解致しました。

画像のように、n階導関数の極限を使って、c^∞を証明したいのですが、この極限を導出法のご教授お願いできますか。

No.63474 - 2020/02/16(Sun) 23:02:29

☆ Re: n次導関数の導出方法 / m

それはカンタン。
y=1/xと置き換えて、P_nは多項式だから
lim[y to ∞] P_n(y)/e^y = 0

No.63475 - 2020/02/17(Mon) 00:10:05

☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね

P_n(y)は一定値と考え、y→∞のとき
(P_n)/∞ = 0
という感じで、極限は0になるっていうことですか？

自分の考えでは、P_n(y)はyの関数なので、y→∞のとき
∞/∞
になるのかと考えました。

No.63476 - 2020/02/17(Mon) 00:30:10

☆ Re: n次導関数の導出方法 / らすかる

多項式よりもe^xの方が発散速度が速いので、(多項式)/e^xは0に収束します。

(証明)
(多項式)/e^xの分子の次数がm次のとき、分子分母をx^mで割れば
分子は定数(m次の係数)に収束しますので、分母をx^mで割ったe^x/x^mが
+∞に発散することを示せば十分です。
f(x)=√x-logxとおくとf'(x)=(√x-2)/2xなのでx＞4のときf(x)は増加
f(4)=2-log4=2(1-log2)＞0なのでx≧4でf(x)＞0
よってx≧4で√x＞logxなので
lim[x→∞]x-mlogx＞lim[x→∞]x-m√x=lim[x→∞](√x)(√x-m)=+∞
lim[x→∞]e^(x-mlogx)=+∞
∴lim[x→∞]e^x/x^m=+∞

No.63478 - 2020/02/17(Mon) 05:31:18

☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね

皆さんありがとうございます。
解決しました。

No.63484 - 2020/02/18(Tue) 20:41:33

★ (No Subject) / うい

サイコロをｎ回投げる時、１の目が偶数回出る確率をPｎとする
Pn+1をPnを使って表せ

という問題で、「ｎ回目までに偶数回１が出ていて、ｎ+1回目に２～６の目が出る」のと「n回目までに奇数回出て、n+1回目で1」を合わせた確率になることまではわかったのですが、
前者の方を (5/6)P[n] で表せる理由がわかりません。
なぜ、２～６の目が出る確率にp(n)をかけているのですか？

No.63460 - 2020/02/16(Sun) 17:34:45

☆ Re: / らすかる

「n回目までに偶数回1が出る確率」がP[n]
「n+1回目に2～6の目が出る確率」が5/6ですから
n回目までに偶数回1が出て、かつn+1回目に2～6の目が出る確率は
（n回目までの結果とn+1回目の結果は独立なので）P[n]と5/6の積になります。

No.63462 - 2020/02/16(Sun) 18:03:46

☆ Re: / うい

そうなんですね……
奥が深いです。
また質問するかもしれません、よろしくお願いします。

No.63464 - 2020/02/16(Sun) 18:34:32

★ 特性方程式 / うい

a(1)=６、a(n＋１)＝４a(n)－９

b(n＋1)＝4b(n)
となるのが理解できないので教えてください
お願いします

No.63459 - 2020/02/16(Sun) 16:57:58

☆ Re: 特性方程式 / らすかる

b[n]=a[n]-3とおくというのは
b[1]=a[1]-3, b[2]=a[2]-3, b[3]=a[3]-3,…のように
すべての自然数nに対してb[n]=a[n]-3とおくという意味ですから
b[n+1]=a[n+1]-3でもあり、
前の行で
a[n+1]-3=4(a[n]-3)
となっていて
(左辺)=a[n+1]-3=b[n+1]、(右辺)=4(a[n]-3)=4b[n]ですから
b[n+1]=4b[n]となります。

No.63461 - 2020/02/16(Sun) 18:01:50

☆ Re: 特性方程式 / うい

解説ありがとうございます

理解できました！嬉しいです。

No.63463 - 2020/02/16(Sun) 18:30:20

★ 複素平面 / Ran

この問題を見てください。

解答で、z=0のとき |ω|=1が成り立つから…
とあるのですが、どうしてz=0のときに限られるんですか？？
z≠0のときにたまたま |ω|=1になることはないんでしょうか？

No.63453 - 2020/02/16(Sun) 10:42:10

☆ Re: 複素平面 / Ran

解答です

No.63454 - 2020/02/16(Sun) 10:43:37

☆ Re: 複素平面 / m

その文は、「|w|=1がz=0の場合に限る。」という意味ではありません。
「z=0を代入すると|w|=1が成り立つ」という意味です。
より日本語的には「z=0としても|w|=1が成り立つ」ということ。

（計算、議論を簡単にするためにz=0という特別な場合を考えたのです。）

No.63456 - 2020/02/16(Sun) 11:06:44

☆ Re: 複素平面 / Ran

ではどうして、z=0のとき |ω|=1が成り立つとわかるのですか？？
まだaしか値は出ていないのに……

何度も質問すいません

No.63457 - 2020/02/16(Sun) 12:40:32

☆ Re: 複素平面 / らすかる

単位円は原点中心半径1の円ですから
単位円上の点の絶対値は1です。
ですから、条件からzが虚軸上の点であれば
|ω|=1となります。

No.63458 - 2020/02/16(Sun) 13:17:26

☆ Re: 複素平面 / Ran

全然わからんくて泣き

いつもすいません((

No.63470 - 2020/02/16(Sun) 21:34:15

☆ Re: 複素平面 / らすかる

与えられた条件から
・zが虚軸全体を動くとき、ωの軌跡をCとする
　→ zが虚軸上にあればωはC上にある
・Cは単位円の周に含まれる
　→ C上の点は原点からの距離が1である
　→ ωがC上にあれば|ω|=1である
よって
zが虚軸上にある⇒ωはC上にある⇒|ω|=1である
となり、z=0は虚軸上の点ですから|ω|=1となります。

これでわからない箇所がある場合は、わからない箇所を具体的に書いて頂ければ
その箇所をさらに詳しく説明します。

No.63477 - 2020/02/17(Mon) 01:05:38

★ 高校数学 / ろっし

画像の問題の解答と解説を教えてください

No.63448 - 2020/02/15(Sat) 13:48:22

☆ Re: 高校数学 / m

(i)
g(x) = x^3+x^2+x+1とおく。多項式の割り算の原理より
(x+1)^(2020) = q(x)g(x) + (ax^2+bx+c)
と表せる。ただしq(x)は多項式。
（実数a, b, cを求めればよい。）
上の式にx= -1, i, -iを代入すれば
g(-1), g(i), g(-i) = 0よりa, b, cの満たす連立方程式が出てくる。
（左辺はドモアブルを使う。a, b, cは実数なことに注意）
解くと、
b = 0, c = 2^1009, a = - 2^1009

解説
g(x)=(x^4-1)/(x-1)となるので、x = -1, i, -i（1の4乗根の内1でないもの）が解となる。
これを使いたい。

(ii)は画像

解説
絶対値を処理するには
kπ/n (k=0, 1, 2, ..., n^2-1)ごとに積分するしかない。
kについて偶奇で分ければできる。
（誘導なしはしんどいね。）

No.63450 - 2020/02/15(Sat) 16:10:22

☆ Re: 高校数学 / m

(ii)
補足
e^(-x)sin(nx)の原始関数の求め方について
これはよくあるやり方で
原始関数が
Ae^(-x)sin(nx) + Be^(-x)cos(nx)
の形になると予想して、A, Bを求めている。
いきなり出てくる4-5行目は、e^(-x)cos(nx)の項を消すように足しただけです。

あと7行目、積分定数書き忘れてます。すいません。

No.63451 - 2020/02/15(Sat) 16:31:04

☆ Re: 高校数学 / らすかる

＞ mさん

(i)の答えは
b = 0, c = 2^1009, a = - 2^1009 でなく
b = 0, c = - 2^1009, a = 2^1009 になりませんか？

No.63452 - 2020/02/16(Sun) 09:49:37

☆ Re: 高校数学 / m

らすかるさん
ご指摘ありがとうございます。その通りです。

(1+i)^2020 = (√2)^2020 * (cos(π/4) + i sin(π/4))^2020
　= 2^1010 * (cos(505π) + i sin(505π))
　= - 2^1010
を間違えていました。

No.63455 - 2020/02/16(Sun) 10:49:13

☆ Re: 高校数学 / ろっし

mさん

(2)に関しては2/π が答えということでよろしいでしょうか

No.63481 - 2020/02/17(Mon) 17:11:30

☆ Re: 高校数学 / m

はい、よろしいです。

No.63482 - 2020/02/17(Mon) 20:10:32

★ 阪大 / まうゆ

1972年の阪大第7問
y=x^2+4x上に直線OPに関して対象となる相異なる2点が取れるようなPの範囲を図示せよ
いい方法が見つからないので方針を教えてください.

No.63439 - 2020/02/14(Fri) 12:55:43

☆ Re: 阪大 / らすかる

「いい方法」かどうかはわかりません。

直線OPに関して対称となる相異なる2点が取れるということは
その放物線を直線OPに関して線対称移動したものと元の放物線が
直線OP上以外のどこかで交わるということですから、
直線OPがx軸やy軸である場合は明らかに条件を満たしません。
従って直線OPはy=mx（m≠0）と置けます。
y=x^2+4x上の異なる2点P(p,p^2+4p),Q(q,q^2+4q)が
y=mxに関して対称の位置にあるためには
直線PQがy=mxと直交する
→ mと直線PQの傾きを掛けると-1になる
→ m・(q^2+4q-p^2-4p)/(q-p)=-1
→ m(p+q+4)=-1 … (1)
PとQの中点がy=mx上にある
→ (p^2+4p+q^2+4q)/(p+q)=m … (2)
(1)(2)からmを消去すると
(p^2+4p+q^2+4q)(p+q+4)+p+q=0
p+q=u,pq=vとおいてvについて整理すると
v=(u^3+8u^2+17u)/(2u+8) … (3)
p,qはt^2-ut+v=0の解なので
条件を満たすような実数p,qが存在するためには
u^2-4v＞0
これに(3)を代入して整理すると
(u^2+12u+34)(2u+8)u＜0
これより
-6-√2＜u＜-6+√2, -4＜u＜0
(1)からm=-1/(u+4)なので
m＜-1/4, (2-√2)/2＜m＜(2+√2)/2
これが条件を満たす直線OPの傾きの範囲です。

No.63444 - 2020/02/14(Fri) 18:41:35

★ 対数 / 美雪

失礼します。よろしくお願いします。

10進法表示で2のn乗の最高位の数字が7となる正の整数nを一つ求めなさい。

ただし0.3010<log10底の2<0.3011、0.8450<log10底の7<0.8451とする。

7・10のm乗<2のn乗<8・10のmの乗…☆

☆を満たす整数nが存在するような整数mを求めることから始めました。

☆を変形して、

(log10底の7/log10底の2)+(m/log10底の2)<n<3+(m/log10底の2)

左側の不等式を与えられた近似値で評価して、

2.8063+(m/log10底の2)<n<3+m/(log10底の2)…☆☆

☆☆を満たす整数nが存在するためには(m/log10底の2)の小数部分が0.2未満であればよくて、整数Nを用いて、N<m/(log10底の2)<N+0.2となるN、mを見つけようとしたのですが、一向に見つかりません。

方針が悪いのだと思いますが、他にどうしたらよいかわからないです。

わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

No.63437 - 2020/02/14(Fri) 12:13:30

☆ Re: 対数 / 美雪

訂正です。「0.2未満であればよくて」の部分は「0.1937未満であればよくて」でした。

No.63438 - 2020/02/14(Fri) 12:20:05

☆ Re: 対数 / らすかる

log[10]2を何倍すれば小数点以下が0.8450～0.9029になるかを求めればよいですが
0.3011を2倍、3倍、…とすると
0.6022
0.9033
のようになることからわかるように
小数第二位に影響するのは0.0011の部分であり、
これを何倍かして0.0450以上にならなければいけませんので
0.0450÷0.0011≒40.9から
少なくとも41倍しないと小数第二位以下が450以上になりません。
0.3010×41=12.3410
0.3011×41=12.3451
12.3に0.3を5回加えれば13.8となり小数第一位が8になります。
従って求めるnは41+5=46です。
（実際、0.3010×46=13.846、0.3011×46=13.8506なので条件を満たします）

No.63442 - 2020/02/14(Fri) 17:48:00

☆ Re: 対数 / 美雪

鮮やかですね！ありがとうございました！

No.63483 - 2020/02/17(Mon) 21:25:47

★ n→∞の時のanが分かりません / のぼるん

次の問題の解き方を教えてください。お願いします。

一般項がan=(1+2^2+3^3+...+n^n)/(n+1)^n
(n=1,2,3,...)で表される数列｛an｝について
lim n→∞ anを求めよ

誘導で、an<1 (n=1,2,3,...)は分かっています。

No.63430 - 2020/02/13(Thu) 17:34:14

☆ Re: n→∞の時のanが分かりません / IT

適当な評価 1+2^2+3^3+...+(n-1)^(n-1)<(n-1)+(n-1)^2+(n-1)^3+...+(n-1)^(n-1)で押さえると

　(1+2^2+3^3+...+(n-1)^(n-1))/(n+1)^n →0 （n→∞）　がいえるので

a[n]→(n^n)/(n+1)^n →1/e （n→∞）

0<an<1 を使えば
0<(1+2^2+3^3+...+(n-1)^(n-1))/(n+1)^n＝a[n-1]*(n^(n-1))/(n+1)^n<1/(n+1) →0　（n→∞）　と出来ますネ。

No.63431 - 2020/02/13(Thu) 20:56:31

☆ Re: n→∞の時のanが分かりません / のぼるん

なるほど!!
助かりました。
ありがとうございます

No.63432 - 2020/02/13(Thu) 21:42:20

★ ある方向余弦の直交座標に変換したい / tk

原点を(0,0,0)とするXYZの直交座標を以下の方向余弦の直交座標に変換するには元の座標のX,Y,Z軸をそれぞれ何度回転させればよいのか計算したい。(具体的な軸の対応は、変換前後でX→1、Y→2、Z→3)

方向余弦：

１、（0.645, 0.675, 0.358）

２、（0.050, -0.505, 0.862）

３、（0.762, -0.538, -0.360）

No.63421 - 2020/02/13(Thu) 08:08:39

☆ Re: ある方向余弦の直交座標に変換したい / らすかる

どちらの方向の回転を希望しているのかわかりませんので、
与えられた方向余弦を軸に合わせるための回転角度を計算することにします。

# 元の値が近似値なので「≒」はすべて「=」と書きます。

arctan(0.675/0.645)=46.302°なのでZ軸に関して-46.302°回転
3×3行列
(0.69086 0.72299 0)
(-0.72299 0.69086 0)
(0 0 1)
をそれぞれに掛けて
1→(0.93362,0,0.358)
2→(-0.33057,-0.38503,0.862)
3→(0.13747,-0.92260,-0.360)
arctan(0.358/0.93362)=20.980°なのでY軸に関して-20.980°回転
3×3行列
(0.93371,0,0.35804)
(0 1 0)
(-0.35804,0,0.93371)
をそれぞれに掛けて
1→(1,0,0)
2→(0,-0.38503,0,92322)
3→(0,-0.92260,-0.38536)
arctan(0.92322/(-0.38503))+180°=112.639°
180°-arctan((-0.92260)/(-0.38536))=112.670°
なので間をとってX軸に関して-112.654°回転
3×3行列
(1 0 0)
(0 -0.38517 0.92285)
(0 -0.92285 -0.38517)
をそれぞれに掛けて
1→(1,0,0)
2→(0,1,0)
3→(0,0,1)

従って3つのベクトルを
Z軸に関して-46.302°回転、Y軸に関して-20.980°回転、X軸に関して-112.654°回転
とすればXYZ軸に合います。
※回す順番を変えると角度も変わります。

No.63424 - 2020/02/13(Thu) 13:02:28

★ 角度αを求めたいです / TK

この問題解ける方お願いします。
条件はこれで足りると思うのですが、自分だと解けそうなところで詰まりました。
二枚目は検算用です。

BC ZC AZは与えられる
赤い線はBCに直交する
α=2βである

この時のαを求めよ

No.63416 - 2020/02/12(Wed) 12:58:40

☆ Re: 角度αを求めたいです / らすかる

二つの方法で求めてみましたが、いずれにしても三次方程式を解くことになりそうです。
AからBCに下した垂線の足をHとすると
4CH^3-(2BC)CH^2-(3AC^2)CH+BCAC^2=0
という三次方程式が導出できますので、
a=-BC/2
b=-3AC^2/4
c=BC・AC^2/4
p=4(9ab-2a^3-27c)
q=4(a^2-3b)
p^2＞q^3ならば
u={p+√(p^2-q^3)}^(1/3)
v={p-√(p^2-q^3)}^(1/3)
CH=(u+v-2a)/6
p^2≦q^3ならば
u=√q
v=arccos(p/u^3)/3
CH=(ucos(v)-a)/3 または
CH=(ucos(v+2π/3)-a)/3 または
CH=(ucos(v+4π/3)-a)/3
でCHが求まり、βは
β=arcsin(CH/AC)
により求めることができます。

検算用の図では
AC=60√2
BC=100
ですから
a=-BC/2=-50
b=-3AC^2/4=-5400
c=BC・AC^2/4=180000
p=4(9ab-2a^3-27c)=-8720000
q=4(a^2-3b)=74800
p^2=76038400000000
q^3=418508992000000
からp^2＜q^3なので
u=√q=20√187
v=arccos(p/u^3)/3=arccos(-1090√187/34969)/3
となり
(ucos(v)-a)/3={(20√187)cos(arccos(-1090√187/34969)/3)+50}/3≒88.1025
(ucos(v+2π/3)-a)/3={(20√187)cos(arccos(-1090√187/34969)/3+2π/3)+50}/3≒-68.1025
(ucos(v+4π/3)-a)/3={(20√187)cos(arccos(-1090√187/34969)/3+4π/3)+50}/3=30
3つ目の30が適解ですから
β=arcsin(CH/AC)=arcsin(30/60√2)=arcsin(√2/4)≒20.704811°
のように求められます。

No.63418 - 2020/02/12(Wed) 14:41:56

☆ Re: 角度αを求めたいです / TK

らすかる様
ありがとうございました。参考にさせていただきます。

No.63433 - 2020/02/14(Fri) 00:10:47

★ 整数問題 / 粉きなこ

n!がn^2の倍数となるような自然数nをすべて求めよ

東工大の問題です。
回答がないのでどなたか教えてくださいませんか

No.63408 - 2020/02/11(Tue) 22:43:31

☆ Re: 整数問題 / らすかる

nがm≠√nかつ1＜m＜nであるようなmを約数に持てば
n!の積の中にnとmとn/mを含み、
n×m×(n/m)=n^2ですからn!はn^2で割り切れます。
「nがm≠√nかつ1＜m＜nであるようなmを約数に持つ」
⇔「nが異なる2つ以上の素因数を持つか、nが素数の3乗以上」
⇔「n≠pかつn≠p^2（pは素数）」
です。
n=p^2（pは3以上の素数）のとき、n!の積の中に
nとpと2pを含み、n×p×2p=2n^2ですからn!はn^2で割り切れます。
n=2^2=4のとき、n!=24はn^2=16で割り切れません。
n=pのとき、n!の積の中にpは1回しか出てきませんので
n!はn^2=p^2で割り切れません。
n=1のときは明らかにn!はn^2で割り切れます。
従ってn!がn^2で割り切れないのはnが素数または4の場合ですから、
n!がn^2の倍数となるのはnが素数でも4でもない場合です。

No.63411 - 2020/02/11(Tue) 23:08:31

☆ Re: 整数問題 / IT

(n-1)!がnの倍数ということなのでnが素数でなければいいような気がしますが、確認中です。

らすかるさんの回答にあるように４は駄目でしたね。

No.63412 - 2020/02/11(Tue) 23:10:39

☆ Re: 整数問題 / IT

2番煎じですが、少し表現の違う解答です。

n=1 は条件を満たす。
n>1のとき
　n!がn^2の倍数であることと　(n-1)!がnの倍数であることは同値。

　nが素数のとき　n-1以下の自然数は素数nで割り切れないので(n-1)!はnで割り切れない。

　nが合成数のとき　nの最小の素因数をpとし　n=pm とおくと、mはp以上の自然数。
　　p=m、すなわちn=p^2のとき
　　　(n-1)!がn(＝p^2)の倍数であるための必要十分条件は　n-1≧2p　
　　　すなわち　p^2-2p-1≧0　⇔　pは3以上の素数
　　p<m のとき
　　　　p<m<n よって　(n-1)!はn(=pm) の倍数。

以上から　nは1および,4を除く合成数｡

No.63419 - 2020/02/12(Wed) 19:26:35

★ (No Subject) / あ

この問題の書き出しってなぜ-1以上1以下ではダメなのでしょうか？
もし可能であれば、解説をお願いします

No.63402 - 2020/02/11(Tue) 20:41:54

☆ Re: / IT

それでも良いと思いますが、絶対値を評価した方が　少しすっきり書けるからでは？

No.63404 - 2020/02/11(Tue) 20:54:21

☆ Re: / あ

> それでも良いと思いますが、絶対値を評価した方が　少しすっきり書けるからでは？

もし-1以上1以下でやるならどのように出来ますか？

No.63406 - 2020/02/11(Tue) 21:24:43

☆ Re: / ヨッシー

No.63413 - 2020/02/11(Tue) 23:48:29

☆ Re: / IT

> もし-1以上1以下でやるならどのように出来ますか？
絶対値記号を使わないなら、こんな感じでしょうか？

-1≦sin(1/x)≦1 であるから
　x＞0のとき　-x≦xsin(1/x)≦x
　x＜0のとき　x≦xsin(1/x)≦-x

ここでlim(x→0)x＝lim(x→0)(-x)＝0 であるから、挟み撃ちの原理により、

　lim(x→0)xsin(1/x)＝0

No.63420 - 2020/02/12(Wed) 20:36:52