[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 球面上の円の重なっている部分の面積 / あ
下記教えていただきたいです。
半径Rの球面上に半径r1、半径r2の円があり、球の中心からそれぞれの円の中心に線を下ろしたときの角度をθとするとき、それぞれの円の重なっている部分の（球面上の）面積S。
※それぞれの円は2点で交わっているとする。
No.64176 - 2020/04/07(Tue) 15:40:50
☆ Re: 球面上の円の重なっている部分の面積 / 関数電卓
（回答ではありません）
左図の着色部の面積が求められ（定式化され）ればこの先なんとかなるのでしょうが，これって簡単ではないでしょう！
平面上の２円の交わりに関する超有名問題の右図の面積も，難問の部類ですから…
No.64219 - 2020/04/08(Wed) 11:36:23
☆ Re: 球面上の円の重なっている部分の面積 / らすかる
（回答ではありませんが回答に若干近いです）
関数電卓さんの図に従って具体例で計算してみると、例えば
球面：x^2+y^2+z^2=1
小円：平面z=3/5で切ったとして x^2+y^2=16/25,z=3/5
大円：平面x=zで切ったとして 2x^2+y^2=1,z=x
とした場合
平面 xsinα=ycosα で切ると
小円との交点(の一つ)は (4cosα/5,4sinα/5,3/5)
大円との交点(の一つ)は
(cosα/√{(cosα)^2+1},sinα/√{(cosα)^2+1},cosα/√{(cosα)^2+1})
小円と大円が交わる時のαの値は
cosα/√{(cosα)^2+1}=3/5を解いてcosα=±3/4
求める面積は球に外接する円筒に投影した領域の面積なので
2∫[0〜arccos(3/4)]cosα/√{(cosα)^2+1}-3/5 dα
=2∫[0〜arccos(3/4)]cosα/√{2-(sinα)^2}-3/5 dα
=2∫[0〜√7/4]1/√(2-t^2)-3/5 dt　（sinα=tとおいた）
=2[arcsin(t/√2)-3t/5][0〜√7/4]
=2arcsin(√14/8)-3√7/10
関数電卓さんの右の図も逆三角関数が出てくる答えなので、
少なくとも同レベルの難しさはありますね。
しかも元の問題は各パラメータが変数ですから、
同じように答えが出せるかどうかはわかりません。
No.64221 - 2020/04/08(Wed) 16:11:06
☆ Re: 球面上の円の重なっている部分の面積 / 関数電卓
> 求める面積は球に外接する円筒に投影した領域の面積なので
これ，巧みですね！ いつもながら脱帽です。
No.64222 - 2020/04/08(Wed) 17:38:04
★ (No Subject) / a
大学の問題
No.64174 - 2020/04/07(Tue) 15:18:37
☆ Re: / ヨッシー
１つ目の□
　tan の加法定理そのままです。ただし逆数。
２つ目の□
　分母を cot(x)cot(y) にして通分したいみたいなので、
　□の中も、それに合わせるにはどうしたら良いかを考えます。
No.64179 - 2020/04/07(Tue) 16:30:56
☆ Re: / a
> 大学の問題

ありがとうございます。
毎回返信できてなくてすみませんでした。
No.64184 - 2020/04/07(Tue) 17:23:45
★ (No Subject) / あ
前のやつが重複していました。
No.64173 - 2020/04/07(Tue) 15:13:37
☆ Re: / ヨッシー
tan の加法定理そのままです。
No.64178 - 2020/04/07(Tue) 16:04:02
☆ Re: / a
ありがとうございました。
毎回解説ありがとうございます。
とてもわかりやすいです。
返信できなくてすみませんでした。
自分の注意ミスだったので、これから気をつけます。
No.64185 - 2020/04/07(Tue) 17:24:55
★ (No Subject) / れ
大学の問題です。
この答えになる途中式がわかりません。
No.64171 - 2020/04/07(Tue) 14:58:14
☆ Re: / ヨッシー
1)
分子分母に (1＋cosα) を掛けて、
　(与式)＝(1−cos^2α)/sinα(1−cosα)
　　　　＝sin^2α/sinα(1−cosα)＝sinα/(1−cosα)
2)
分子分母に sinｘcosｘ を掛けて、
　(分母)＝sinｘcosｘ(1/cosｘ＋1/sinｘ)＝sinｘ＋cosｘ
よって、
　(与式)＝sinｘcosｘ(sinｘ＋cosｘ)/(sinｘ＋cosｘ)＝sinｘcosｘ
3)
分子分母に cosθ を掛けて、
　(与式)＝cos^2θ/cosθ(1−sinθ)＝(1−sin^2θ)/(cosθ−sinθcosθ)
分子分母をsinθで割って
　(与式)＝(1／sinθ−sinθ)/(cosθ/sinθ−cosθ)＝(sinθ−cscθ)/(cosθ−cotθ)
4)
　(分母)＝(tanθ−cotθ)(tanθ＋cotθ)
より
　(与式)＝1/(tanθ＋cosθ)＝1/(sinθ/cosθ＋cosθ/sinθ)
　　　　＝1/{(sin^2θ＋cos^2θ)/sinθcosθ}＝sinθcosθ
5)
分子分母 (1−sinｘ) を掛けて
　(与式)＝(1−sinｘ)^2/(1−sin^2ｘ)＝(1−sinｘ)^2/cos^2ｘ
　　　　＝{(1−sinｘ)/cosｘ}^2
　　　　＝{1/cosｘ−sinｘ/cosｘ}^2
　　　　＝(secｘ−tanｘ)^2
No.64175 - 2020/04/07(Tue) 15:29:42
☆ Re: / a
回答ありがとうございます。
返信できなくてすみませんでした。
No.64183 - 2020/04/07(Tue) 17:15:59
★ 絶対値 / ゆ
数1の範囲で質問です。
「|A|＝|B|」<=>「A＝±B」という同値変形について
AとBがxを変数にもつ変数だとすると、絶対値を外す時、「Aが正かつBが正」または「Aが負かつBが負」を満たすようなxの範囲においてA＝B（A＝−Bの時も同様）というようにxの範囲も一緒に考えると僕は思ったのですが上の同値変形ではどうしてxの範囲を考えないで良いのですか？
A＝BまたはA＝−Bという等式だけでは上記のようなxの範囲を満たさないようなxが出てくる可能性は無いのでしょうか
伝わりにくかったらごめんなさい。教えていただけると幸いです
例）自分のやり方
|2x+2|=|3x-3|を満たすxを求めよ
x<ー1または1<xの時2x +2＝3x−3よって
x＝5、これは範囲を満たす
−1≦x≦1の時2x +2＝−（3x−3）　よってx＝1/5これは範囲を満たす
よってx＝5または1/5
模範解答では2x +2＝±（3x−3）を解くだけです
No.64170 - 2020/04/07(Tue) 12:44:10
☆ Re: 絶対値 / ヨッシー
なかなか悩ましいですが、
>上記のようなxの範囲を満たさないようなxが出てくる可能性は無いのでしょうか
可能性はありません。

例えば、|2x+2|=|3x-3| の場合、
x＜−1 または 1＜x というのは、
　2x+2＞０ かつ 3x-3＞０　または
　2x+2＜０ かつ 3x-3＜０
となるｘの範囲ですね？でもって、
　2x+2＝3x-3
とおいて解いたのに、x＜−1 または 1＜x に当てはまらない
すなわち −1＜ｘ＜1 だとすると、（等号は別途考えるとしてここでは省略します）
　2x+2＞０ かつ 3x-3＜０　または
　2x+2＜０ かつ 3x-3＞０
であることを意味します。つまり 2x+2 と 3x-3 は異符号なのですが、
異符号なのに 2x+2＝3x-3 となることはありえないので、
上記のようなことは起こらないのです。

その代わり異符号のときは、
　2x+2＝−(3x-3)
として、符号を揃えて＝で結ぶのですね。

結果として、
>2x +2＝±（3x−3）を解くだけ
で良いのです。
No.64181 - 2020/04/07(Tue) 17:10:41
☆ Re: 絶対値 / ゆ
回答していただきありがとうございます！
とても納得できました　
No.64189 - 2020/04/07(Tue) 17:49:48
★ (No Subject) / フジ
初めて投稿致します。

lim(x→∞):(e^x-1-x)/x^2

どなたか、上の極限の解き方を教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。
No.64169 - 2020/04/07(Tue) 12:37:56
☆ Re: / ヨッシー
ｘ→0 ではなく ｘ→∞　で正しいですか？

また、対象学年は？
No.64190 - 2020/04/07(Tue) 17:56:53
☆ Re: / フジ
大変失礼いたしました。
x→0です。

通信制の大学生です。
教員免許取得を目指しています。
No.64192 - 2020/04/07(Tue) 18:28:30
☆ Re: / ヨッシー
e^x のマクローリン展開
　e^x＝1＋x/1!＋x^2/2!＋x^3/3!＋x^4/4!＋・・・
を使うと、
　(与式)＝lim[x→0](1/2!＋x/3!＋x^2/4!＋・・・)＝1/2
となります。
No.64194 - 2020/04/07(Tue) 18:34:49
☆ Re: / フジ
ありがとうございました。

マクローリン展開の利用ですね。

大変参考になりました。
No.64196 - 2020/04/07(Tue) 18:45:26
☆ Re: / 通りすがり
> 初めて投稿致します。
>
> lim(x→0):(e^x-1-x)/x^2
>
> どなたか、上の極限の解き方を教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。


分母分子ともに二回微分をすれば 求める値は １/２ ではないかと推理できますね。
No.64450 - 2020/04/19(Sun) 23:22:07
★ 漸化式と極限 / 修業中
漸化式と極限の問題です。
数列anが
a1＝1/4 ２an-an+1-３anan+1＝0 (n＝1,2,3･･･)を満たしている。この数列の一般項は、an「 」で与えられる。

答えは１/{(１/２)}n-1+3です。
回答の解き方では、両辺をanan+1(≠0)で割る方法が書いてあり、理解できるのですが、別の問題ではan+1＝Pan+Q の形で解いています。この問題でもan+1＝Pan+Q の形に変形して解くことは可能でしょうか。やってみたのですが上手くいきませんでした･･･。個人的興味で申し訳ありませんが、教えてくださると幸いです。
No.64165 - 2020/04/06(Mon) 23:34:00
☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる
「an+1＝Pan+Q の形」にはならないので、不可能です。
No.64166 - 2020/04/07(Tue) 00:22:54
★ 円の半径 / たろう
PとQの半径が求まりません。
半円Oの半径は２です。
方針等ご教授いただけると助かります。
No.64163 - 2020/04/06(Mon) 19:06:00
☆ Re: 円の半径 / らすかる
Pから半円の直径に垂線PHを下します。
円O'の半径は1なので、円Pの半径をrとすると
O'P=1+r、OP=2-r、PH=rです。
OH=√(OP^2-PH^2)=2√(1-r)
O'H=OO'+OH=1+2√(1-r)
これをO'H^2+PH^2=O'P^2に代入すると
{1+2√(1-r)}^2+r^2=(1+r)^2
これを解いてr=8/9

Qから半円の直径に垂線QIを下します。
円Qの半径をsとすると
O'Q=1+s, OQ=2-s, PQ=8/9+sとなります。
OI^2+QI^2=OQ^2 と
O'I^2+QI^2=O'Q^2 から
OI^2-O'I^2=OQ^2-O'Q^2=(2-s)^2-(1+s)^2=3-6s
OI+O'I=OO'=1とOI^2-O'I^2=(OI+O'I)(OI-O'I)から
OI-O'I=3-6s
従ってOI=2-3s,O'I=-1+3sとわかり、
QI=√(OQ^2-OI^2)=√((2-s)^2-(2-3s)^2)=2√{2s(1-s)}
もわかります。
PからQIに垂線PJを下すと
QJ=QI-IJ=QI-PH=2√{2s(1-s)}-8/9
PJ=HI=OH+OI=8/3-3s
これらを
QJ^2+PJ^2=PQ^2に代入すると
{2√{2s(1-s)}-8/9}^2+(8/3-3s)^2=(8/9+s)^2
これを解いてs=8/17

従って円Pの半径は8/9、円Qの半径は8/17となります。
No.64164 - 2020/04/06(Mon) 19:06:21
★ 数?T青チャート　練習106　(2) / 岩波太郎
問題：以下の不等式を解け。ただし、aは定数とする。
(2)ax^2>x

解答：
a>0のときx<0,1/a<x
a=0のときx<0
1/a<x<0

とあります。
導出過程で、x(ax-1)>0と因数分解するまでは分かるのですが、そこからx=0,x=1/aを基準にして、0<1/a,1/a=0,1/a<0と場合分けするのではなく、aの正、0、負で場合分けする理由が分かりません。

前者(1/aを基準にする)で場合分けすると、1/a=0の時も考えないといけなく、少し違和感はあったのですが、それでもaの正、0、負での場合分けする理由が分かりません。

何故このやり方を使うのか、分かる方がいましたら回答宜しくお願いします。
No.64158 - 2020/04/06(Mon) 06:55:03
☆ Re: 数?T青チャート　練習106　(2) / ヨッシー
ａ≠０ においては、０＜ａ　と　０＜1/a 、０＞ａ　と　０＞1/a はそれぞれ同値です。
同値というからにはどちらを用いても良いわけですが、
　ａ＝０　のとき　・・・
　ａ≠０　かつ　０＜1/a のとき　・・・
　ａ≠０　かつ　０＞1/a のとき　・・・
と書くより、
　ａ＝０　のとき　・・・
　ａ＞０　のとき　・・・
　ａ＜０　のとき　・・・
と書いたほうが明快なので、そのようにしています。

０＜1/a と書いただけで、ａ≠０ を前提としているのはわかりますが、読み手にそういう気を使わせるより
０＜ａ と書いたほうが良いです。

また、ａ＜０、ａ＞０ で分けることは、０と1/a の大小関係だけでなく、
答えが、　ｘ＜ａ　または　ｂ＜ｘ のパターンか、
ａ＜ｘ＜ｂ　のパターンかを分ける境界となりますので、
その意味合いの方が強いと思います。
No.64159 - 2020/04/06(Mon) 09:08:39
☆ Re: 数?T青チャート　練習106　(2) / 岩波太郎
>>ａ≠０ においては、０＜ａ　と　０＜1/a 、０＞ａ　と　０＞1/a はそれぞれ同値です。
これは気づきませんでした。
確かに計算したら同じ不等式になります。

丁寧な回答ありがとうございました。
おかげで助かりました。
No.64167 - 2020/04/07(Tue) 00:29:03
★ (No Subject) / 日和
次に示す6個の自然数のデーターがある
4,7,3,9,5,4
このデーターに1≦a≦ｂ≦19を満たす２つの奇数a,bを追加したところ以下のような変化が見られた
?@平均値が0.5だけ大きくなった
?A四分位範囲が1.5だけ大きくなった

模範回答よろしくお願いします
という問題を4/4に質問したものですが

4,7,3,9,5,4→4,7,3,9,5,14の間違いでした
模範回答よろしくお願いします
No.64157 - 2020/04/06(Mon) 00:58:09
☆ Re: / ヨッシー
追加した２数ａ，ｂを求めよ。
という問題だとします。

追加前の
　合計：４２　データ数：６　平均：７
これが、追加後には
　データ数：８　平均：７．５
になるので、合計は　7.5×8＝60 であり、
　ａ＋ｂ＝60−42＝18
となり、a, b は、
　(a,b)＝(1,17),(3,15),(5,13),(7,11),(9,9)　・・・(i)
のいずれかとなります。

追加前（3,4,5,7,9,14）の四分位範囲は
第３四分位数が９，第１四分位数が４なので、
　９−４＝５
これが ６．５ になる場合を (i) から選びます。
　1,3,4,5,7,9,14,17　：　11.5−3.5＝8
　3,3,4,5,7,9,14,15　：　11.5−3.5＝8
　3,4,5,5,7,9,13,14　：　11−4.5＝6.5
　3,4,5,7,7,9,11,14　：　10−4.5＝5.5
　3,4,5,7,9,9,9,14　 ：　9−4.5＝4.5
以上より、加えた２数は、　ａ＝５，ｂ＝１３
No.64160 - 2020/04/06(Mon) 09:36:17
★ (No Subject) / りか
すみません。この問題の解き方を教えて頂けないでしょうか。


6×[3]√32×[3]√-2


答えが-24になるのですが
[3]√-2をどのように扱えばよいのでしょうか？
No.64153 - 2020/04/05(Sun) 17:55:32
☆ Re: / ヨッシー
そのまま
　[3]√{32×(-2)}＝[3]√(-64)
で良いです。
３乗して -64 になる数は？　であれば、考えやすいですよね？
No.64154 - 2020/04/05(Sun) 17:59:38
★ 陰関数の微分 / め
f(x y)=0のとき、yはxの陰的？関数となると思うのですが、例えば
x²+5xy²+8y=0となるとき、両辺をxで微分するなら、2x+5y²+10xyy’+8y’=0となり、yの部分の微分は、いわゆる偏微分の様にはならず、合成関数の微分の様になると思っていて、xとyが独立？にそれぞれ動けるわけでもない限り、yをxで偏微分する事はできずに合成関数の微分をしないといけないという認識でいるのですが、、以下のサイトで、四角くかこった部分の2行目から3、4行目に移る部分で、先頭の項の3xyをxで偏微分している所で、yをただの定数扱いしている気がするのですが、これはどういうことなのでしょうか…？
No.64146 - 2020/04/05(Sun) 13:54:28
☆ Re: 陰関数の微分 / m
偏微分と微分は違います。

他の変数を定数と思ってxで微分することを「xで偏微分する」といいます。
No.64147 - 2020/04/05(Sun) 14:48:39
☆ Re: 陰関数の微分 / め
ありがとうございます。例えばxの関数である、文字yも、xで微分するならば定数扱いされるということですか？
No.64149 - 2020/04/05(Sun) 14:59:18
☆ Re: 陰関数の微分 / m
いいえ。その場合はyはy'になります。


口頭で説明する場合はもっとややこしいです。
例えば、f(x, y) = x^2 + y^2について、
「f(x, y)をxで微分する。」といえば、xで偏微分する（つまりyは定数扱い）ことを言い、
「f(x, y)=1を両辺xで微分する。」といえば、yをxの関数と思ってxで微分することを言います。
２つ目は暗に、yがxの関数で表せることを使っています。

どちらも間違いとまでは言わないけど不適切で、正式（文字で書くとき）には
「f(x, y)をxで偏微分する。」
「f(x, y)=1をyをxの関数とみて両辺xで微分する。」
のように書きます。
No.64150 - 2020/04/05(Sun) 15:34:51
☆ Re: 陰関数の微分 / め
ありがとうございます。つまり、変数xとyが、互いに完全に独立しあっている場合でない限り(つまり、yが一つ決まればxも１つ以上決まるなどという関係性の時)、偏微分は不可能ということですね？
No.64151 - 2020/04/05(Sun) 15:40:19
☆ Re: 陰関数の微分 / m
それは微妙です。
「xの関数をxで「偏微分する」」を許す派と許さない派があるので。
偏微分は多変数関数に対して定義されるもので、
許さない派は、多変数といったら2変数以上
許す派は、多変数は1変数以上
の違いです。

// 16:49
// 後半部分は勘違いしてたので消しました。
No.64152 - 2020/04/05(Sun) 16:45:51
☆ Re: 陰関数の微分 / め
ありがとうございました！
No.64155 - 2020/04/05(Sun) 18:10:00
★ 確率 / ジョン
大学の課題で、確率の問題です。
模範解答をお願いします。

f(x)= (-k(x-1) ^ (0≦x≦3)
( 0 (その他)


確率密度になるように定数kを求め、その確率分布の期待値(平均)を求めよ。

よろしくお願いします。
No.64145 - 2020/04/05(Sun) 13:29:49
☆ Re: 確率 / m
> f(x)= (-k(x-1) ^ (0≦x≦3)

この部分、うまく入力できてない気がします。

方針としては
∫[0, 3] f(x) dx = 1
となるようにkを定め、期待値は
∫[0, 3] x f(x) dx
で求まります。
No.64148 - 2020/04/05(Sun) 14:52:19
☆ Re: 確率 / ジョン
ご教授ありがとうございます。
No.64156 - 2020/04/05(Sun) 22:01:40
★ (No Subject) / りか
すみません。
2^(4/3) = 2×[3]√2 となると思うのですが
どうやれば2^(4/3)が2×[3]√2に式変形出来るのでしょうか？
No.64138 - 2020/04/05(Sun) 02:42:20
☆ Re: / らすかる
2^(4/3)=2^(1+1/3)=2^1×2^(1/3)=2[3]√2
となります。
No.64139 - 2020/04/05(Sun) 03:50:46
☆ Re: / りか
らすかる様

有難う御座います。
理解出来ました。
No.64143 - 2020/04/05(Sun) 10:50:49
★ 平方完成＆立法完成する意味 / ジョルダン
新高校3年生です！　
・平方完成する本質はなんでしょうか？
・カルダノの公式を証明するときには立法完成しますが、２次の係数を消したいからするのだ！と私は認識しています。
この認識はあっていますか？
ならび、皆さんはどん認識をしていますか？
No.64134 - 2020/04/04(Sat) 17:46:11
☆ Re: 平方完成＆立法完成する意味 / 受験生
変数を集約できるところです。三角関数の合成も同様に。要するに変化が捉えられやすくなるということです。(変数が散らばっていないので)
No.64140 - 2020/04/05(Sun) 06:17:13
☆ Re: 平方完成＆立法完成する意味 / 受験生
変数を集約できるところです。三角関数の合成も同様に。要するに変化が捉えられやすくなるということです。(変数が散らばっていないので)
No.64141 - 2020/04/05(Sun) 06:17:24
☆ Re: 平方完成＆立法完成する意味 / 受験生
すみません。初めての返信だったせいか、操作に慣れていなく、2度送信してしまいました。本当にすみません。
No.64142 - 2020/04/05(Sun) 06:18:25
☆ Re: 平方完成＆立法完成する意味 / X
>>受験生さんへ
アップ時にパスワードが設定してあるのであれば、
この掲示板の最下部のボックスにそのパスワードを
入力すれば、アップしたレスの再編集、削除が
できます。
No.64144 - 2020/04/05(Sun) 11:06:45
★ (No Subject) / 日和
次に示す6個の自然数のデーターがある
4,7,3,9,5,4
このデーターに1≦a≦ｂ≦19を満たす２つの奇数a,bを追加したところ以下のような変化が見られた
?@平均値が0.5だけ大きくなった
?A四分位範囲が1.5だけ大きくなった

模範回答よろしくお願いします
No.64133 - 2020/04/04(Sat) 14:55:22
☆ Re: / ヨッシー
変更前の
　データの合計：３２　平均：５．３３
これが平均５．８３になったとして、合計は
　5.83×8＝46.64
と、近似値でもきれいな整数になりません。
問題が、というより、６つのデータがおかしくありませんか？

２つある４のどちらかが１４だと、きれいに行くのですが。
No.64136 - 2020/04/04(Sat) 21:16:04
★ (No Subject) / 123
2次方程式Ｘ^2＋2mx＋3nx＋6mn=0とx^2＋2kx＋2k−1＝０(k＞1の実数とする)の解が一致するときm＝ｋ-(１/2)

模範回答よろしくお願いします
No.64125 - 2020/04/04(Sat) 01:52:52
☆ Re: / らすかる
例えばm=1/2,n=1,k=2のとき方程式が両方ともx^2+4x+3=0となり
解が一致します。よって「m=k-(1/2)」という解答にはなりません。
問題は正しいですか？
No.64128 - 2020/04/04(Sat) 07:47:26
★ (No Subject) / サクラ
ＡＳＡＭＩＮＡＭＩという単語の9個の文字全部を使ってできる文字列は15120通り
またこの9文字から異なる4文字を選んでできる文字列のうち先頭の文字がＩまたはＡであるものは181通り

181通りの出し方教えてください。よろしくお願いします
No.64124 - 2020/04/04(Sat) 01:48:22
☆ Re: / らすかる
先頭がIのとき、残りの3文字はA,M,N,Sから3つ選ぶ順列なので4P3=24通り
先頭がAのとき、残りの3文字はI,M,N,Sから3つ選ぶ順列なので4P3=24通り
よって条件を満たす文字列は全部で24+24=48通り
となり、181通りにはなりません。問題は正しいですか？
No.64127 - 2020/04/04(Sat) 07:39:37
★ 積分 / ヴィヴィアン
0<x<π/2のとき
∫[0,x]sin(nt)/sin(t)dt>x
の証明を教えて下さい。
nは自然数です。
No.64113 - 2020/04/03(Fri) 16:13:51
☆ Re: 積分 / 関数電卓
いま見たところなので自分ではやっていませんが，チェビシェフの多項式
sin(nx)＝sin(x)･Un(cos(x))
が鍵を握ると思います。やってみます。
No.64114 - 2020/04/03(Fri) 19:44:35
☆ Re: 積分 / ヴィヴィアン
ありがとうございます。
nは2以上の自然数でお願いします。
No.64115 - 2020/04/03(Fri) 20:48:49
☆ Re: 積分 / IT
途中まで、（これで最後までいけるか分かりませんが）
{sin(nt)-sin((n-2)t)}/sin(t)=2cos((n-1)t) なので

nが奇数のとき
　sin(nt)/sin(t)=2cos((n-1)t)+2cos((n-3)t)+...+2cos(2t)+(sin(t))/sin(t)
　=2cos((n-1)t)+2cos((n-3)t)+...+2cos(2t)+1
　よって∫[0,x]{cos((n-1)t)+cos((n-3)t)+...+cos(2t)}dt > 0 を示せばよい。
すなわち　(sin(n-1)x)/(n-1)+(sin(n-3)x)/(n-3)...+sin2x/2 > 0 を示せばよい。

nが偶数のとき
　sin(nt)/sin(t)=2cos((n-1)t)+2cos((n-3)t)+...+2cos(3t)+sin(2t)/sin(t)
　＝2cos((n-1)t)+2cos((n-3)t)+...+2cos(3t)+2cos(t)　
　よって　2∫[t=0,x]{cos((n-1)t)+cos((n-3)t)+...+cos(3t)+cos(t)}dt ＞x を示せばよい。　・・
No.64116 - 2020/04/03(Fri) 22:40:09
☆ Re: 積分 / IT
似た感じの問題が下記にありますが、私の上記の方法は、方向が逆でかえって難しくしているのかも知れません。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2020/20tohokuAO01a.htm
No.64117 - 2020/04/03(Fri) 23:14:08
☆ Re: 積分 / IT
f[n](x)=∫[0,x]sin(nt)/sin(t)dt - x とおくと
f'[n](x)=sin(nx)/sin(x) - 1
0≦x≦π/2で考えたとき
f[n](x)が最小となるのは、両端か　f'[n](x)=0　となるxである。
x=π/2とsin(nx)=sinxとなるxについてf[n](x)を調べればよい。 ・・・続きが出来てません。
・・・・
　
No.64118 - 2020/04/03(Fri) 23:44:10
☆ Re: 積分 / 関数電卓
取りあえずいくつかの n について計算してみると，n＝4 が成り立たないような… ？！？
明日，ゆっくりやってみます。
No.64119 - 2020/04/04(Sat) 00:19:47
☆ Re: 積分 / ヴィヴィアン
ありがとうございます。
nが奇数なら成り立つのですね。
不思議です。
No.64121 - 2020/04/04(Sat) 00:32:28
☆ Re: 積分 / m
{n, ∫[0,π/2] sin(nt)/sin(t) dt}の数値計算のリスト。

{1, 1.5708}, {2, 2.}, {3, 1.5708}, {4, 1.33333},
{5, 1.5708}, {6, 1.73333}, {7, 1.5708}, {8, 1.44762},
{9, 1.5708}, {10, 1.66984},{11, 1.5708}, {12, 1.48802},
{13, 1.5708}, {14, 1.64187}, {15, 1.5708}, {16, 1.50854},
{17, 1.5708}, {18, 1.62618}, {19, 1.5708}, {20, 1.52092},
{21, 1.5708}, {22, 1.61616}, {23, 1.5708}, {24, 1.5292}

// π/2 = 1.5708
No.64123 - 2020/04/04(Sat) 01:36:55
☆ Re: 積分 / IT
nが奇数のとき
f[n](x)＝∫[0,x]{cos((n-1)t)+cos((n-3)t)+...+cos(2t)}dt から

f[n](π/2)=0ですね。
No.64129 - 2020/04/04(Sat) 07:48:13
☆ Re: 積分 / ヴィヴィアン
4の倍数でない偶数なら成り立つのでしょうか？
No.64130 - 2020/04/04(Sat) 10:21:06
☆ Re: 積分 / IT
ｎが偶数のとき
∫[t=0,π/2]{cos(t)+cos(3t)+cos(5t)+....+cos((n-3)t)+cos((n-1)t)}dt
＝1-1/3+1/5-.... →π／4（n→∞）　ですので。

nが４の倍数のとき　f(π/2)＜0、
nが４の倍数でない偶数のときf(π/2)＞0
は正しいそうですね。
No.64131 - 2020/04/04(Sat) 14:46:28
☆ Re: 積分 / 関数電卓
> 4の倍数でない偶数なら成り立つのでしょうか？
そのようですね。
n が偶数のとき，f[n](x)＝∫[0,x]sin(nt)/sin(t)dt−x として
　f[2m](π/2)＝2[1−1/3＋1/5−…−(−1)^m･{1/(2m−1)}−π/4]
と，よく知られたライプニッツの級数とその収束先が現れます。当然ながら結びつきがあるのでしょうが，私にはこれ以上追跡できません。
No.64132 - 2020/04/04(Sat) 14:54:58
★ 不等式や数列など / YUKI
なぜ1行目から2行目が正しいと言えるのかが分かりません。

不等式や数列など分かってるつもりでも細かい論理が理解できていないんだと思います。
No.64109 - 2020/04/03(Fri) 10:36:52
☆ Re: 不等式や数列など / らすかる
0＜θ[n]＜π/2 (n=1,2,…) というのは
0＜θ[1]＜π/2, 0＜θ[2]＜π/2, 0＜θ[3]＜π/2,… がすべて成り立つ … (1)
という意味です。
0＜θ[n+1]＜π/2 は
0＜θ[2]＜π/2, 0＜θ[3]＜π/2, 0＜θ[4]＜π/2,… がすべて成り立つ … (2)
という意味ですから、
(1)が成り立てば(2)が成り立つのは当然ですね。
No.64110 - 2020/04/03(Fri) 11:09:16
☆ Re: 不等式や数列など / YUKI
ありがとうございます！
No.64122 - 2020/04/04(Sat) 01:12:39
全22635件 [ ページ : << 1 ... 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 ... 1132 >> ]