ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / サンドイッチ

1から6までの整数が書かれた6枚のカードがある。これらをよくかき混ぜて以下の要領で?@から?Bで引きならべて整数を作る。なお一度引いたカードは元に戻さない
?@最初に引いた1枚のカードが1の時さらに1枚のカードを引き一桁の整数とする
?A最初に引いた1枚のカードが2または3の時さらに2枚のカードを引き左から並べて2桁の整数とする
?B最初に引いた1枚のカードが4まは5または6の時さらに3枚のカードを引き左から並べて3桁の整数とする

?@上記の要領でカードを引いて出来る2桁の整数は28通り
?Aカードを引いて出来る整数は全部で147通りありその中で最も大きい整数は653
?B40以下の整数はできる確率は3/10でその整数は18通りある
?C40以下の整数ができたときその整数が2桁である条件付き確率は4/9
?Dカードを引いて出来る整数のうち小さい方から数えて50番目の整数は162である

?@から?Cまでの答えは一致したのですが?Dの答えが一致しなくて困っています

?@最初に1のカードを引いて結果出来る整数→2,3,4,5,6の5通り

?A最初に引いたカードが2または3の時
→最初に引いたのが3のカードの時考えられる整数は5P2=20通り

さらに2を引いた時考えられる整数は2桁の整数に3を含む数字の13,31,34,43,35,53,36,63の8通りがさらに考えられるので2桁の整数は全部で28通り考えられる

?B4,5,6を引いて3桁の整数を作る

123,124,125,126→4つ
132,134,135,136→4つ
142,143,145,146→４つ
152,153,154,156→4つ
162,163,164,165→4つ
…165になる…

No.64046 - 2020/03/29(Sun) 06:54:31

☆ Re: / IT

最後の行（答え）だけが間違ってます。
5+28+20＝53 ですから。

No.64047 - 2020/03/29(Sun) 07:59:35

★ (No Subject) / サンドイッチ

kを自然数とする2つの自然数A,Bの素因数分解はA=2^8×3＾k×5,B=2^k×3＾2である。またAとBの最小公倍数Lの素因数分解はL=2＾8×3＾k×5である。このようなA,Bの組のうち最も小さい最大公約数を持つ組の最大公約数は36である
やり方がわかりません。模範回答よろしくお願いしますb

No.64045 - 2020/03/29(Sun) 06:02:06

☆ Re: / X

A,B,Lの2,3の指数を比較して、条件を満たすためには
8≧k
かつ
k≧2
つまり
2≦k≦8 (A)
一方このときA,Bの最大公約数は
Bと一致する
(2^k)×3^2 (B)
ですので
(2^k)×3^2=36 (C)
(C)より
2^k=4
k=2 (D)
(D)は(A)を満たし、かつ
(D)は
(B)が(A)の範囲で最小値となるk
となっています。
よって
k=2

No.64050 - 2020/03/29(Sun) 08:22:35

☆ Re: / ヨッシー

Ａ＝２^8×３^k×５
Ｂ＝２^k×３^2
において、
　ｋと８のうち小さくない方をｍ
　ｋと２のうち小さくない方をｎ
とすると、ＡとＢの最小公倍数Ｌは
　Ｌ＝２^m×３^n×５
と書けます。条件より　ｍ＝８、ｎ＝ｋであるので、ｋは
　２≦ｋ≦８
の範囲にあることがわかります。一方、
　ｋと８のうち大きくない方をｐ
　ｋと２のうち大きくない方をｑ
とすると、ＡとＢの最大公約数Ｇは
　Ｇ＝２^p×３^q
と書けます。ｐ、ｑが最小となるのは、ｋ＝２のときで、このとき
　ｐ＝２，ｑ＝２
より
　Ｇ＝２^2×３^2＝３６
となります。

No.64051 - 2020/03/29(Sun) 08:27:15

★ 連立不等式の解 / kitano

kitano です。宜しく御願い致します。

問題

https://imgur.com/a/tMeMoD9

何卒宜しく御願い致します。

kitano

No.64023 - 2020/03/28(Sat) 08:47:41

☆ Re: 連立不等式の解 / らすかる

変数はa,nのどちらですか？
nは自然数ですか、整数ですか、それとも実数ですか？
aは実数ですか？

No.64024 - 2020/03/28(Sat) 08:51:51

☆ Re: 連立不等式の解 / kitano

らすかる様

お久しぶりです。宜しく御願いします。

変数はn です。a についての不等式です。
n は　整数です。
a>0 の実数です。

何卒宜しく御願い致します。

kitano

No.64025 - 2020/03/28(Sat) 09:11:02

☆ Re: 連立不等式の解 / らすかる

変数はnです → nについて解く問題
aについての不等式 → aについて解く問題
と解釈されると思うのですが、
これはnについて解く問題ですか、それともaについて解く問題ですか？
つまり
(1) nが…のとき、aは…
と
(2) aが…のとき、nは…
のどちらを答えとする問題ですか？

No.64027 - 2020/03/28(Sat) 10:01:14

☆ Re: 連立不等式の解 / kitano

もうしわけありません。

>(2) aが…のとき、nは…

だと思うのですが、解答は　不等式が解をもつのは、

2<n<=5 となっています。

宜しくお願いいたします。

kitano

No.64028 - 2020/03/28(Sat) 10:11:50

☆ Re: 連立不等式の解 / らすかる

「不等式が解をもつのは、2＜n≦5」
と書いてあるのなら、aが変数で、
aについて解く問題だと思います。
それならば
(n+3)/2＜n-1を解くとn＞5なので
n＞5のときa≦(n+3)/2＜n-1≦aとなり解なし。
n≦(n+2)/2を解くとn≦2なので
n≦2のときa＜n≦(n+2)/2＜aとなり解なし。
2＜n≦5の場合
n-1＜(n+2)/2 ⇔ n＜4
n-1＝(n+2)/2 ⇔ n＝4
n-1＞(n+2)/2 ⇔ n＞4
n＜(n+3)/2 ⇔ n＜3
n＝(n+3)/2 ⇔ n＝3
n＞(n+3)/2 ⇔ n＞3
なので
2＜n≦3のとき
n-1＜(n+2)/2, n≦(n+3)/2から
(n+2)/2＜a＜n
3＜n≦4のとき
n-1≦(n+2)/2, n＞(n+3)/2から
(n+2)/2＜a≦(n+3)/2
4＜n≦5のとき
n-1＞(n+2)/2, n＞(n+3)/2から
n-1≦a≦(n+3)/2
よってnが整数であることを考慮してまとめると
n=3のとき 5/2＜a＜3
n=4のとき 3＜a≦7/2
n=5のとき a=4
nがそれ以外の値のとき解なし
となります。

No.64029 - 2020/03/28(Sat) 10:47:20

☆ Re: 連立不等式の解 / 関数電卓

「連立不等式を解け」という問題文もどこか変ですよね。問題の出典は何でしょう？
余計なお世話ですが…，図です。

No.64030 - 2020/03/28(Sat) 11:40:08

☆ Re: 連立不等式の解 / kitano

らすかる様、関数電卓様。

今回もご解答頂き有難うございました。

今後も宜しく御願い致します。

kitano

No.64060 - 2020/03/30(Mon) 06:40:09

★ (No Subject) / サクラ

ある組立工場ではどの作業者にも同数の未完成品が渡され各作業者はこれに3種類の部品A,B,Cを一つずつ取り付けて完成品にしている。

部品はどの順で取り付けても品質には影響しないのだが部品の取り付け順は作業者ごとに定められておりどの取り付け順にも同数の作業者が割り当てられている。また各作業者が一回の作業で取り付けできるのは一個の部品だけであり失敗した場合はすでに取り付けてある部品を含めて全部の部品を取り外し最初からやり直さなければならない。部品A,B,Cの取り付けを失敗する確率は取り付け順や作業者によらずそれぞれ1/5,3/10,1/2である。一回の未完成品が最も少ない作業回数である3回の作業で完成品になる確率をpとする。なお失敗した作業も作業回数に含めるが失敗した後で部品を取り外す作業は作業回数に含めないものとする

?@部品Aの取り付けに成功する確率は(4/5)またpの値は(7/25)
?A1個の未完成品について考える。部品Cを最初に取り付ける手順の作業者にこの未完成品が渡されかつちょうど4回の作業で完成品になる確率は(p/6)又一個の未完成品がちょうど4回の作業で完成品になる確率は(p/4)
?BA,B,Cの順に取り付けを行っている作業者について一個の未完成品をちょうど5回の作業で完成させる確率は(7p/25）
?C技能に差がないにも関わらず製品を完成させるまでの効率は作業者の部品の取り付け順によって異なる。確率を計算すると例えば1個の未完成品が4日以内の作業で完成品になっているとき部品ｃが最初に取り付けられいる条件付き確率は（３/8)である。これは部品Aが最初に取り付けられていつ条件付き確率,部品Bが最初に取り付けられられている条件付確率のいずれよりも大きいことから部品Cを最初に取り付けると効率が一番よさそうと推測できる

（）の中の分数は答えです

?@のpの値を求めよっていう所から模範解答の答えと合わない…
最短で未完成品を完成させるには取り付け順序が(A,B,C)(A,C,B)(B,A,C)(B,C,A)(C,A,B)(C,B,A)となりなおかつ3回とも取り付けに成功する時の確率の総和だから(これら6つの事象は互いに排反事象だから）
(4/5)×(7/10)×(1/2)×6=42/25>1
明らかにおかしい…1超えてるじゃん…。答え見るとp＝7/25って書いてるからp＝7/25として?Aを解いてみると条件を満たす場合は
(i)1回目のCの取り付けに失敗かつ2回目のCの取り付け成功,3回目のAの取り付け成功,4回目のBの取り付け成功
(i)1回目のCの取り付けに失敗かつ2回目のCの取り付け成功,3回目のAの取り付け成功,4回目のBの取り付け成功
(ii)1回目のCの取り付けに失敗かつ2回目のCの取り付け成功,3回目のBの取り付け成功,4回目のAの取り付け成功

の2パターンが考えられ
(i)1×(1/2)×1×(1/2)×(1/2)×(4/5)×1×(7/10)=p/4=1回目に部品Cを取り付ける確率×Cの取り付け失敗する確率×2回目に部品Cと取り付ける確率×Cの取り付け成功する確率×3回目に部品Aと取り付ける確率×Aの取り付け成功する確率×４回目に部品Bと取り付ける確率×Bの取り付け成功する確率

(ii)も（i)と同様に計算するとp/4
(i)(ii)は互いに排反事象だからｃから作業を始めて4回目で作業終了になる確率はp/2…

?B(i)一回目のAの取り付け成功,2回目のBの取り付け失敗,3回から5回目のA,B,Cの取り付け成功
(4/5)×(3/10)×(4/5)×(7/10)×（１/2)=6p/25

(ii)1回目のAの取り付け失敗,2回目のAの取り付け失敗,3回目から5枚目のA,B,Cの取り付け成功
(1/5)×(1/5)×(4/5)×(7/10)×（１/2)=p/25
(i)(ii)は互いに排反事象だから7p/25

なんかこれだけ答えと一致するなぁ…
模範解答よろしくお願いします

No.64016 - 2020/03/28(Sat) 00:44:18

☆ Re: / IT

＞最短で未完成品を完成させるには取り付け順序が(A,B,C)(A,C,B)(B,A,C)(B,C,A)(C,A,B)(C,B,A)となりなおかつ3回とも取り付けに成功する時の確率の総和だから(これら6つの事象は互いに排反事象だから）
(4/5)×(7/10)×(1/2)×6=42/25

取り付け順序が(A,B,C)である確率は1/6ですから
(1/6)×(4/5)×(7/10)×(1/2)×6 となると思います｡

No.64022 - 2020/03/28(Sat) 07:49:18

★ (No Subject) / うい

3n+16と4n+18の最大公約数が5となるような50以下の自然数nをすべて求めよ。

4n＋18＝1*(3n＋16)＋n＋2
2n＋16＝3*(n＋2)＋10
まではわかりました。
そのあと、3n+16と4n+18の最大公約数がn＋2と10の最大公約数に等しい
というのが理解できずすすみません。
解説して頂きたいです。

No.64014 - 2020/03/27(Fri) 22:55:11

☆ Re: / ast

原理としては "a, b をともに割り切る d は a-b も割り切る" ということが分かっていれば理解できると思いますが, とりあえずは「ユークリッドの互除法」で調べてみてはいかがでしょう, そうすれば
> 4n＋18＝1*(3n＋16)＋n＋2
> 2n＋16＝3*(n＋2)＋10
> まではわかりました。
の部分も「なぜそういう計算をさせられたのか」ということまで含めてちゃんと「わかる」と思います.
# わけも分からず計算して式が成り立つことだけ分かってもあまり意味がない部分だと思います.

No.64015 - 2020/03/28(Sat) 00:17:20

☆ Re: / うい

ユークリッドの互除法は完璧に説明できるとは言いがたいですが
簡単なものなら解けます…。

No.64017 - 2020/03/28(Sat) 00:53:46

☆ Re: / らすかる

「aとbの最大公約数」＝「a-bとbの最大公約数」を知っているとすれば
「3n+16と4n+18の最大公約数」
=「3n+16と(4n+18)-(3n+16)の最大公約数」
=「3n+16とn+2の最大公約数」
=「(3n+16)-(n+2)とn+2の最大公約数」
=「2n+14とn+2の最大公約数」
=「(2n+14)-(n+2)とn+2の最大公約数」
=「n+12とn+2の最大公約数」
=「(n+12)-(n+2)とn+2の最大公約数」
=「10とn+2の最大公約数」
のようになり、これをまとまった式にしたものが
ういさんが書かれた式です。

No.64019 - 2020/03/28(Sat) 01:28:03

☆ Re: / ast

> 簡単なものなら解けます…。
どういうものを簡単とか難しいとかおっしゃっているかは測りきれないので置いておきますが, その解ける問題で構わないので「なぜユークリッドの互除法で最大公約数が求められるのか」をぜひ一度じっくり考えてみてください, その理由はこの問題でもそのまま通用するので.

No.64020 - 2020/03/28(Sat) 01:49:51

☆ Re: / うい

ありがとうございます

No.64021 - 2020/03/28(Sat) 01:59:51

★ 中3　二次関数 / banana

高校入学前の宿題からです。

関数y=2x²において、xの変域が-2≦x≦t（ただし、t＞-2）であるとき、次の問いに答えなさい。
tの値が次の範囲であるとき、yの変域を求めなさい。（tを用いてもよい。）
?@ -2＜t＜0
?A 0≦t＜2
?B t≧2

<解答>
?@ 2t²≦y≦8　（私の回答：0＜y＜8）
?A 0≦y≦8　　（私の回答：0≦y＜8）
?B 0≦y≦2t²　（私の回答：y≧8）

tを使って回答する理由が分かりません。?Aの「≦8」や、?Bの「0≦」も分かりません。
解説をしていただけたら嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

No.64003 - 2020/03/27(Fri) 11:05:48

☆ Re: 中3　二次関数 / ヨッシー

グラフの矢印で示した範囲がｙの変域です。
ｘ＝ｔに対応する点が範囲の端に来ると、ｔを含む範囲になります。

No.64007 - 2020/03/27(Fri) 15:26:58

☆ Re: 中3　二次関数 / banana

ありがとうございました。
解説グラフから、tの意味をいつの間にか勘違いしていたことに気づきました。
すっきりしました。

No.64008 - 2020/03/27(Fri) 16:42:24

★ 数列 / なつ

数列の問題です。
a[1]=p a[n+1]=a[n]+[(√a[n])](外側の[ ]はガウス記号です。)(=1,2,3...)
である数列a[n]について、pがどのような0以上の整数であっても、a[n]が平方数となるようなnが存在することを示せ。
解説いただけると嬉しいです。

No.63999 - 2020/03/27(Fri) 01:18:29

☆ Re: 数列 / m

関数fを自然数xに対して、f(x) = x + [√x] で定める。
（そうすれば、a[n+1] = f(a[n])とかける。）

証明は結構長いです。次のStepを順に示してみてください。
わからないことがあれば聞いてください。
もっと簡単になる、とかも教えて下さい。

（以下出てくる変数は1以上の整数）

Step 1.
k≧2 に対し、(k-1)^2 < k(k-1)+1 < k^2

Step 2.
k≧2 に対し、f(k(k-1)+1) = k^2

Step 3-A.
k≧2 に対し、x が、(k-1)^2 < x < k(k-1)+1 を満たすなら
k(k-1)+1 ≦ f(x) < k^2

Step 3-B.
k≧2 に対し、x が、k(k-1)+1 < x < k^2 を満たすなら
k^2 < f(x) < (k+1)k+1

ここから本題の証明。
pによって、次の3つの場合分けをする。

Case 4-A: k(k-1)+1 < p < k^2 なる k≧2 が存在するとき。

Case 4-B: (k-1)^2 < p < k(k-1)+1 なる k≧2 が存在するとき。
このとき、Step 3-Bよりf(p)をpとおき直すことでCase 4-Aに帰着される。

Case 4-C: 4-A, 4-Bでないとき。
このとき、p = 0, (k-1)^2 もしくは p = k(k-1)+1 となる k≧2 が存在する。
前者は a[1] = p 自身が、後者はStep 2よりa[2] = f(p)が平方数となる。

よってCase 4-Aのときを示せばいい。

背理法で「a[n]が平方数となるようなnが存在する」を示す。
a[n]が平方数となるようなnが存在しないと仮定する。

Step 5-A.
(k+n-1)(k+n-2)+1 ≦ a[2n-1] < (k+n-1)^2
（証明は帰納法とStep 3-A, 3-Bと背理法の仮定）

数列b[n]を b[n] = a[2n-1] - ((k+n-1)(k+n-2)+1) と定める。
Step 5-Aより b[n]≧0 である。

Step 6-A.
b[n+1] = b[n]-1
（証明は背理法の仮定とStep 5-A）

ここで、Step 6-Aより十分大きなnについて、b[n]<0 となる。
これは b[n]≧0 に矛盾。
よって「a[n]が平方数となるようなnが存在する」。

よって、示された。

No.64004 - 2020/03/27(Fri) 12:53:10

☆ Re: 数列 / m

14時過ぎにちょっとだけ修正しました。

14時半にさらに修正しました。
重大なミスなので太字で変更箇所を書いてます。

No.64006 - 2020/03/27(Fri) 14:10:02

☆ Re: 数列 / m

別に、背理法を使わなくても証明できます。
しかも、実際に平方数になるnが見つかる。
// 存在だけでいいなら背理法のほうが簡単だけど。

p = (k-1)^2 + q (0≦q<k)と表せたなら
a[2q+1]が平方数に、
p = k(k-1)+1 + q (0≦q<k-1)と表せたなら
a[2(q+1)]が平方数になる。

証明の方針は一緒。簡単に説明を。
前半は、c[n]を
c[n] = a[2n-1] - (k+n-2)^2
で定める（直感的にはc[n]はa[2n-1]と平方数とのズレの大きさ）。すると
c[1] = q
c[n+1] = c[n]-1 (0<n≦q)
が言えて（ここが背理法のときより大変。たぶん）、
c[q+1]=0 つまり a[2q+1] = (k+q-1)^2

後半も、
b[q+1]=0 （b[n]の定義は背理法のと同じ）を示して、
a[2q+1] = (k+q)(k+q-1)+1
となって
a[2q+2] = f(a[2q+1]) = (k+q)^2

No.64010 - 2020/03/27(Fri) 20:23:36

☆ Re: 数列 / IT

実験とｍさんの解答を参考に考えてみました。

b[n]＝[√a[n]],r[n]＝a[n]-b[n]^2 とおくと
a[n]＝b[n]^2+r[n],0≦r[n]＜2b[n]+1

r[1]＝0 のとき　a[1]＝b[1]^2 となりOK。
r[1]＝b[1]+1のとき　a[2]＝b[1]^2+b[1]+1+b[1]＝(b[1]+1)^2となりOK。
1≦r[1]＜b[1]+1のとき
　a[2]＝b[1]^2+r[1]+b[1]
　a[3]＝b[1]^2+r[1]+b[1]+b[1]＝(b[1]+1)^2+(r[1]-1)＝b[3]^2+r[3]
　ここでb[3]=b[1]+1,r[3]＝r[1]-1で､r[3]＜b[3]+1 も満たすので、
　この調子でr[1],r[3],r[5],...,は、(＝0になるまでは）１づつ減少する数列となり、q＝r[1]とするとr[2q+1]＝0になる。

b[1]+1＜r[1]＜2b[1]+1のとき
　a[2]＝b[1]^2+r[1]+b[1] ＝(b[1]+1)^2+(r[1]-b[1]-1)＝b[2]^2+r[2]
このとき0≦r[2]＜b[2]+1 なので､１項ずらして考えれば上記とおなじ議論でOK｡

No.64018 - 2020/03/28(Sat) 01:03:54

☆ Re: 数列 / m

ITさん
洗練された、わかりやすい証明ありがとうございます。
勉強になりました。

No.64026 - 2020/03/28(Sat) 09:19:10

★ (No Subject) / 眞李

色々考えたけど、わかりませんでした。
答えは28√21でした。
よろしくお願いします。

No.63991 - 2020/03/26(Thu) 22:31:39

☆ Re: / ヨッシー

図のように、△ＡＢＣと合同な三角形６個で、１辺15cmの正六角形を作ります。

△ＨＧＢは正六角形の1/6で、△ＡＢＣはその 7/15×8/15 倍なので、
正六角形の 1/6×7/15×8/15 倍。
内側にできるＡＣを１辺とした正六角形は、大きい正六角形の
　1－7/15×8/15＝169/225(倍)
169/255＝(13/15)^2 なので、ＡＣ＝１３
ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ＝ｘとおくと、
　ＢＤ^2＝49＋ｘ^2
　ＢＦ^2＝64＋ｘ^2
また、∠ＤＢＦ＝90°より
　ＤＥ^2＝ＢＤ^2＋ＢＦ^2＝(49＋ｘ^2)＋(64＋ｘ^2)
　　　＝113＋2ｘ^2＝169
よって、ｘ^2＝28、　ｘ＝2√7

一方、１辺が15の正六角形の面積は　(3√3/2)×15^2
よって、△ＡＢＣの面積は
　(3√3/2)×15^2×1/6×7/15×8/15＝14√3
以上より、求める体積は、
　14√3×2√7＝28√21
となります。

No.63992 - 2020/03/26(Thu) 22:42:40

☆ Re: / らすかる

別解
Cから直線ABに垂線CHを下すと
∠CBH=60°、∠BHC=90°、∠HCB=30°なので
BH=(1/2)BC=4、CH=(√3)BH=4√3
AH=AB+BH=11、DF=AC=√(AH^2+CH^2)=√(121+48)=13
△ABC=AB×CH÷2=14√3
∠DBF=90°から
BD^2+BF^2=DF^2
(AB^2+AD^2)+(BC^2+CF^2)=DF^2
AB=7,BC=8,DF=13,CF=ADを代入して
49+64+2AD^2=169
AD^2=28
AD=2√7
よって体積は14√3×2√7=28√21

No.63997 - 2020/03/27(Fri) 00:53:33

★ 中2数学　角度問題 / もにさん

角度MANの大きさを求める問題です。
正解はは105°となっています。
よろしくお願いします。

No.63983 - 2020/03/26(Thu) 20:54:53

☆ Re: 中2数学　角度問題 / X

まず条件から劣弧BCに対する中心角は
円周角により
30°×2=60°
よって優弧BCに対する中心角は
360°-60°=300° (A)
次に条件である
劣弧AM=劣弧MB (B)
劣弧AN=劣弧NC (C)
から
(B)をx,(C)をyと置くと
劣弧MN=x+y
優弧BC=劣弧MB+劣弧AM+劣弧AN+劣弧NC
=x+x+y+y
=2(x+y)
となるので
劣弧MNの長さは優弧BCの長さの半分

よって(A)から劣弧MNの中心角は
300°×(1/2)=150°
となるので優弧MNの中心角は
360°-150°=210°
従って円周角により
∠MAN=210°×(1/2)=105°

注)
優弧、劣弧という言葉は中学数学では
学習しないと思いますが、解答の際の
記述がしやすいので、敢えて使わせて
いただきました。
意味については例えば以下のURLを
参照してみて下さい。
https://kotobank.jp/word/%E5%8A%A3%E5%BC%A7-661715

No.63985 - 2020/03/26(Thu) 21:43:40

☆ Re: 中2数学　角度問題 / 関数電卓

図です。等長弧の上に立つ円周角は等しい。

No.63989 - 2020/03/26(Thu) 22:27:47

☆ Re: 中2数学　角度問題 / もにさん

わかりやすい図＆解説ありがとうございました。
助かりました。

No.63990 - 2020/03/26(Thu) 22:29:48