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★ 直線と曲線について / ありさ
この四角8の問題ですが、線分PQが点A,Bを含む場合は考えなくて良いのですか？
No.64435 - 2020/04/19(Sun) 13:14:36
☆ Re: 直線と曲線について / ヨッシー
点Ａ、点Ｂの少なくともどちらかを含めば、条件は満たすので、
まずは、別々に調べます。
その結果、点Ａを含むｔの範囲と、点Ｂを含むｔの範囲が重なって、
　ａ≦ｔ≦ｂ
の形になることもありますが、それは結果であって、点Ａ，点Ｂの
両方を含む場合を、わざわざ調べる必要はありません。
No.64438 - 2020/04/19(Sun) 13:50:24
☆ Re: 直線と曲線について / ありさ
それでは、このtの範囲に点A,Bどちらも含む場合が含まれてるということですか？
No.64460 - 2020/04/20(Mon) 10:30:57
☆ Re: 直線と曲線について / ヨッシー
この問題の場合は、
>その結果、点Ａを含むｔの範囲と、点Ｂを含むｔの範囲が重なって
に当たりませんので、
>点Ａ，点Ｂの両方を含む場合
は起こりません。
No.64461 - 2020/04/20(Mon) 10:50:48
★ (No Subject) / みなみ
上が問題で下が回答なのですが、私はこのような方法ではなく、恒等式として解いたのですが、この解答のようなやり方はどういうものなのですか？
No.64431 - 2020/04/19(Sun) 12:54:59
☆ Re: / ヨッシー
常に成り立つということは、ｘ＋ｙ＝１ を満たす
どんなｘ、ｙについても成り立つので、ａ，ｂ，ｃの
見当を付けるために、ｘ＋ｙ＝１ を満たす３組の（ｘ、ｙ）について、
　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝１
が成り立つものとして、ａ，ｂ，ｃを求め、求めたａ，ｂ，ｃについて、
ｘ＋ｙ＝１ を満たすどんなｘ、ｙについても
　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝１
が成り立つことを最後に言って、抜き出した３組だけではなく、
すべてについて成り立つことを示して完了です。

最後の、「逆に、・・・?@は成り立つ」の部分は、
　−ｘ^2＋(１−ｘ)^2＋２ｘ
　　＝−ｘ^2＋ｘ^2−２ｘ＋１＋２ｘ＝１
より、?@は成り立つ
というのが省略されています。

個人的には、恒等式として解く方が好みですね。
No.64437 - 2020/04/19(Sun) 13:36:22
☆ Re: / IT
恒等式の解法には「係数比較法」と「数値代入法」があります。ご質問の解法は「数値代入法」ですね。

検索すると解説があります。
No.64439 - 2020/04/19(Sun) 14:30:46
★ (No Subject) / あらし
(2)について解き方がわかりません。整数が苦手なので、詳しく教えてください😭
No.64430 - 2020/04/19(Sun) 12:28:49
☆ Re: / らすかる
(1)から3平方数の和を8で割った余りは
0+0+0≡0
1+0+0≡1
1+1+0≡2
1+1+1≡3
4+0+0≡4
4+1+0≡5
4+1+1≡6
4+4+0≡0
4+4+1≡1
4+4+4≡4
(すべてmod8)
により8n+7型の自然数は作れないことがわかります。
従って7,15,23は作れませんので、22以下で作れない数があるかどうかを
調べます。
順に試していくと
1=1^2+0^2+0^2
2=1^2+1^2+0^2
3=1^2+1^2+1^2
4=2^2+0^2+0^2
5=2^2+1^2+0^2
6=2^2+1^2+1^2
7は作れない
8=2^2+2^2+0^2
9=3^2+0^2+0^2
10=3^2+1^2+0^2
11=3^2+1^2+1^2
12=2^2+2^2+2^2
13=3^2+2^2+0^2
14=3^2+2^2+1^2
15は作れない
16=4^2+0^2+0^2
17=4^2+1^2+0^2
18=4^2+1^2+1^2
19=3^2+3^2+1^2
20=4^2+2^2+0^2
21=4^2+2^2+1^2
22=3^2+3^2+2^2
従って22以下は7,15を除いてすべて作れましたので、
答えは23になります。
No.64433 - 2020/04/19(Sun) 13:13:29
☆ Re: / ありさ
22以下で作れるかどうかは、作れる場合がある問題も存在しますか？
No.64459 - 2020/04/20(Mon) 10:26:04
☆ Re: / らすかる
「7,15のようにわかっているもの以外で作れないものがあるような問題」
という意味ですか？
もしそうならわかりませんが、存在する可能性はあると思います。
8n+7は作れないから7,15,23は作れず、答えは23
と答えると×になると思います。
No.64470 - 2020/04/20(Mon) 14:20:24
☆ Re: / ありさ
それでは、22以下で作れないものがないかを確かめる解答は必要ということでしょうか？
No.64492 - 2020/04/21(Tue) 12:26:09
☆ Re: / らすかる
はい、そうです。
No.64497 - 2020/04/21(Tue) 14:28:45
★ ベクトル / 高校生
赤線の箇所の意味がわかりません。
よろしくお願いします。
No.64426 - 2020/04/19(Sun) 08:21:19
☆ Re: ベクトル / X
条件から↑OHは
向きが↑aと同じで
大きさがOBcosθ
であることはよろしいでしょうか?
ここで↑aと向きが同じな単位ベクトルは
↑a/|↑a|
∴↑OH=(OBcosθ)(↑a/|↑a|)
={(|↑b|cosθ)/|↑a|}↑a
これを元にしてもう一度考えてみて下さい。
No.64427 - 2020/04/19(Sun) 09:31:28
★ (No Subject) / ハレ
赤色1個,青色1個,緑色2個,黄色4個の色だけが違い同じ大きさの8個のビーズをを用いてブレスレッドを作る時作り方はアイ通り。そのうち同じ色のビーズがどれも隣合わないものはウ通りある

答えがなくてこまっています。模範回答よろしくお願いします,
No.64418 - 2020/04/19(Sun) 01:07:43
☆ Re: / らすかる
「模範解答」とのことですが、模範解答は学習状況によりますので
以下は模範解答にならない可能性があります。

赤青○○○○○○のとき、残り6箇所中緑を入れる2箇所を選べばよいので6C2=15通り
赤○青○○○○○のときも
赤○○青○○○○のときも同じ計算で15通りずつ
赤○○○青○○○のときは単純計算では15通りだが
そのうち
赤○緑○青○緑○
赤○○○青緑○緑
赤緑○緑青○○○
の3通り以外の12通りは裏返しパターンが重複しているので3+12÷2=9通り
（例えば赤緑緑○青○○○と赤○○○青○緑緑は裏返して同じになる）
従って全部で 15+15+15+9=54通り

同じ色が隣り合わないのは
黄○黄○黄○黄○の○に赤と青を入れれば決まり、
黄赤黄青黄○黄○と
黄赤黄○黄青黄○の2通りしかないので、2通り。
No.64419 - 2020/04/19(Sun) 01:36:39
☆ Re: / ハレ
一応数II,Bまで一通り知っているんですが…これって円順列ですよね。解説見たのですが予想してたのと違うんですが…円順列でよく使う(n-1)!は使用しないのでしょうか
No.64432 - 2020/04/19(Sun) 13:05:13
☆ Re: / らすかる
この問題は円順列ではなく数珠順列ですが、
いずれにしても異なるものを並べる場合の公式ですから、使用できません。
（ただし、同じものが少なければ使用できる可能性はあります）
No.64436 - 2020/04/19(Sun) 13:20:51
★ 電離度 / うい
電離度を求める質問をさせていただいてもいいでしょうか…。


酢酸CH3COOH 1.2gを水に溶かして200mlとした水溶液のpHは3であった。この水溶液の、電離度aをもとめよ。CH3COOH＝60

この問題で
0.020molの酢酸を200mLにしたモル濃度は、
= 0.020mol × (1000mL ÷ 200mL)
= 0.10 mol/L

となるらしいのですが 1000mL ÷ 200mL がどこから出来た式かがわかりません。

教えて欲しいです。
No.64417 - 2020/04/19(Sun) 00:51:13
☆ Re: 電離度 / ヨッシー
0.020mol ÷ (200mL ÷ 1000mL/L)
または
0.020mol ÷ 200mL × 1000mL/L
と書くべきでしょうね。
1000 は mL から L への単位変換です。
No.64425 - 2020/04/19(Sun) 07:15:38
☆ Re: 電離度 / うい
簡略化されていたのですね…

ありがとうございます！
No.64429 - 2020/04/19(Sun) 11:43:51
★ (No Subject) / まむ
この(2)の傍線部の問題を教えてください！
No.64414 - 2020/04/18(Sat) 22:23:02
☆ Re: / ヨッシー
［９］の (2) ですよね？
(1) は出来たのですか？

もちろん「出来た」「出来ない」を聞いているのではなく、
そのやり方と、答えを書いてください。

(1) が出来たのなら、(2) も（少なくとも途中までは）出来ている
はずという思いがあります。
No.64424 - 2020/04/19(Sun) 07:12:32
☆ Re: / まむ
このように(2)は解き方がわからなくなってしまいました。
No.64428 - 2020/04/19(Sun) 09:55:37
☆ Re: / ヨッシー
なるほど。

そういうふうに、b[n] の項を並べ立てて解こうとすると難しいかもしれませんね。

(1)
a[n+1]＝(n+1)^2＋(n+1)＝n^2＋3n＋2
a[n]＝n^2＋n
より
b[n]＝a[n+1]−a[n]＝(n^2＋3n＋2)−(n^2＋n)＝2n＋2
(2)
a[n+1]＝(n+1)2^(n+1)＝2(n+1)2^n
a[n]＝n・2^n
より
b[n]＝2(n+1)2^n−n・2^n＝(n+2)2^n
のように、一般項のみの計算でやると簡単です。
No.64434 - 2020/04/19(Sun) 13:14:13
★ (No Subject) / ひとつん
この傍線部分の解説をお願いします！
No.64412 - 2020/04/18(Sat) 22:02:51
☆ Re: / らすかる
一般項はk・(31-k)　（k=1〜30）ですから
Σ[k=1〜30]k(31-k)を計算すればいいですね。
＜３＞が解けるのならこれは計算できますよね？
No.64416 - 2020/04/19(Sun) 00:43:57
★ 命題の同値性について。 / マ√
命題同士の同値性、必要性、十分性の関係性が分かりません。
条件同士、であれば、真理集合の包含関係で考えられますが、命題同士であれば、考え方がわかりません。

画像にて、命題pが偽、命題qが真の時、なぜか、
p⇨qが真、とされており、

「「命題pが偽の時、命題qが真」という命題が真である」

と、日本語にして見ても全く意味がわかりません。
どう考えるのでしょうか？
No.64406 - 2020/04/18(Sat) 18:21:55
☆ Re: 命題の同値性について。 / マ√
簡単な例を考えて見たのですが、やはり意味不明です
No.64407 - 2020/04/18(Sat) 18:23:10
☆ Re: 命題の同値性について。 / らすかる
よくある日本語的解釈の例
命題P：雨が降る
命題Q：傘を持っていく
P⇒Q：「雨が降るならば、傘を持っていく」
雨が降り、傘を持っていく→P⇒Qに従っているので真
雨が降り、傘を持っていかない→P⇒Qに反しているので偽
雨が降らず、傘を持っていく
雨が降らず、傘を持っていかない
→P⇒Qは雨が降る場合のことだけを言っているので、
　雨が降らないときは傘を持っていこうがいくまいが、
　P⇒Qには反していないのでP⇒Qは真
よってP⇒Qが偽になるのはPが真でQが偽である場合のみなので、
Pが偽でQが真である場合は真。

「論理包含」で検索するとこれについての説明がいろいろ
見つかりますので、検索してみてはいかがでしょうか。
No.64409 - 2020/04/18(Sat) 18:55:38
☆ Re: 命題の同値性について。 / マ√
ありがとうございます。色々調べて見たのですが、「雨が降る」や「傘を持っていく」は、命題ではなく「条件」ではないのでしょうか…？
それぞれ、実際に雨が降ってれば真。実際は降ってなければ偽。
実際に傘を持っていけば真。実際は持っていかなかったなら偽。などと、実際の状況になって見ないと真偽の判定が出来ないように感じるので「条件」だと思ってしまうのですが…
No.64410 - 2020/04/18(Sat) 19:57:26
☆ Re: 命題の同値性について。 / らすかる
「条件」と「命題」をどう区別されているかわからないのですが、
「x=1ならばx^2=1」の「x=1」は命題ですか、条件ですか？
まあどちらにしても、私の例ではあまり納得されていないようですので、
他のサイトで調べられてはいかがでしょうか。
私にはそれ以上にわかりやすく説明できそうにありません。
No.64411 - 2020/04/18(Sat) 21:57:27
☆ Re: 命題の同値性について。 / マ√
ありがとうございます。もう少し調べて見ます。
ちなみに「x=1」は、実際にxの値を1と決めれば真と判断され、xの値を-100などと決めれば偽と判断される。即ち、自由変数xに具体値を代入しないと真偽の判定が出来ない為、、「
x=1」は条件だと考えています。
No.64413 - 2020/04/18(Sat) 22:06:31
☆ Re: 命題の同値性について。 / らすかる
少し考えてみたのですが、こういうのはどうでしょう。
命題P：外出時マスクをするならば、コロナが予防できる
命題Q：外出するならば、マスクをする
もしマスクがコロナ予防にならないとしても、外出時にマスクをするのはOKですから
命題Pが偽で命題Qが真のときもP⇒Qは真になります。
つまり「P⇒Q」はPが成立する場合のことだけを言っていて
Pが成立しない場合は「P⇒Q」と関係ありませんので真になるということです。
上の例も同じで、
「y=1ならばy=-1」⇒「x=1ならばx=1」
というのは
「y=1ならばy=-1」がもし成り立つのならば「x=1ならばx=1」も成り立たなければいけない
ということで、「y=1ならばy=-1」は成り立たないので「x=1ならばx=1」は関係なく
真ということです。
No.64415 - 2020/04/19(Sun) 00:41:29
☆ Re: 命題の同値性について。 / IT
マ√さんは、「命題」、「条件」について、高校数学１の教科書の記述に基づいておられるようですので、数研出版「高等学校　数学１」の命題と条件を引用してみます。

「命題」
　一般に、正しいか正しくないか定まる文や式を"命題"という。また、
命題が正しいとき、その命題は"真"であるといい、正しくないとき、
その命題は"偽"であるという。

「条件」
　命題の中には、「どんな実数ｘについてもｘ^2≧0である」のように
文字を含むものもある。
　一方、文字ｘを含む文や式でも、「ｘは素数である」、「ｘ≧2」などは、
ｘに値を代入しないと正しいか正しくないかが定まらないから、命題ではない。
しかし、たとえばｘを自然数全体の集合Uの要素と指定し、ｘに1,2,3などを代入すると、
代入した文や式はそれぞれが真偽の定まる命題になる。
　このような文字ｘを含んだ文や式を、ｘに関する"条件"という。
　条件を考える場合には、条件に含まれる文字がどんな集合の要素かをはっきりさせておく。この集合を、その条件の"全体集合"という。
　
したがって、
らすかるさんが例にあげられた
命題P：外出時マスクをするならば、コロナが予防できる
命題Q：外出するならば、マスクをする
は、これだけでは、真偽が定まらないので、この教科書のいう"命題"にはなってないようです。
No.64420 - 2020/04/19(Sun) 01:53:05
☆ Re: 命題の同値性について。 / マ√
ありがとうございます。
例えば、命題R「P⇨Q」があるとき、Rの真偽は別として、Rが意味するのは
「Pが真ならば、Qは自動で真にされる」というもので、、
この時、Pが本当に真だったなら、Qの真偽でRの真偽が決まる。
そもそものPが偽なら、Rの真偽は不定？の様な感じだが、無条件で真とすると都合がいい。こんな感じでしょうか？
「P⇨Q」という命題では、そもそものPが偽の場合については一切言及してない感じがします…

>IT様　ありがとうございます。やはりそうですよね、
No.64421 - 2020/04/19(Sun) 01:58:55
☆ Re: 命題の同値性について。 / らすかる
> そもそものPが偽なら、Rの真偽は不定？の様な感じだが、無条件で真とすると都合がいい。こんな感じでしょうか？
>「P⇒Q」という命題では、そもそものPが偽の場合については一切言及してない感じがします…

命題は「反例がなければ真」です。
例えば「現在火星に住んでいる人間は全員50歳以上である」は真ですね。
ですからPが成り立たなければ「Pが成り立っているのにQが成り立たない」という
反例がありませんので、真となります。
No.64422 - 2020/04/19(Sun) 02:35:57
☆ Re: 命題の同値性について。 / マ√
ありがとうございます、
>命題は反例がなければ真　
なるほど、、これは理解しやすいです…！
長くなり申し訳ないです、お二方ありがとうございました！
No.64423 - 2020/04/19(Sun) 02:41:25
★ (No Subject) / Ook
X[n]=1/3{X[n-1]+√(X[n-1]^2-1)}

の極限値ってどうやっても求めることができるのでしょうか？
No.64403 - 2020/04/18(Sat) 16:25:41
☆ Re: / IT
(1/3){X[n-1]+√(X[n-1]^2-1)} ですか？　1/[3{X[n-1]+√(X[n-1]^2-1)}] ですか？

式は合っていますか？　
x[1]はいくらですか？

何かの問題を解く途中で出てきたのなら、その問題と
その式の導出過程も書いてみてください。
No.64405 - 2020/04/18(Sat) 17:10:20
☆ Re: / らすかる
X[n]=(1/3){X[n-1]+√(X[n-1]^2-1)} と解釈すると
|X[n]|=(1/3)|X[n-1]+√(X[n-1]^2-1)|
≦(1/3)|X[n-1]|+(1/3)√(X[n-1]^2-1)
＜(1/3)|X[n-1]|+(1/3)√(X[n-1]^2)
＝(1/3)|X[n-1]|+(1/3)|X[n-1]|
＝(2/3)|X[n-1]|
なので、初期値によらず0に近づいていきますが
|X[k]|＜1となったときに次のX[k+1]を求めようとすると
√(X[k]^2-1)のルートの中身が負になって不都合です。

X[n]=1/{3{X[n-1]+√(X[n-1]^2-1)}} と解釈した場合は
変形して X[n]=(1/3){X[n-1]-√(X[n-1]^2-1)} となりますが、
この場合も上と全く同じ理由で不都合が発生します。

従って、書かれた式では有限項しか定義されず「収束」しようが
ありませんので、式が正しくないのではないかと思います。
No.64408 - 2020/04/18(Sat) 18:31:02
★ 数1 2次不等式の応用 / health-p
模範解答と少し違うのですがこれでも大丈夫ですか？
No.64398 - 2020/04/18(Sat) 09:50:30
☆ Re: 数1 2次不等式の応用 / health-p
私が書いた解答です。
No.64399 - 2020/04/18(Sat) 09:51:52
☆ Re: 数1 2次不等式の応用 / IT
計算はしていませんが、書き方としては概ね良いと思いますが、
・x は、整数　とは限らないのでは？
・各不等式が　どの不等式から来たのか明記した方が良いと思います。

・各条件が「または」なのか「かつ」なのか明記した方が良いと思います。

・できるだけ要所の途中式も書いたほうが良いと思います。
No.64401 - 2020/04/18(Sat) 14:03:09
☆ Re: 数1 2次不等式の応用 / health-p
ありがとうございます！ 改善させていただきます。
No.64442 - 2020/04/19(Sun) 18:14:59
★ (No Subject) / 分数不等式
1+2/(x-1)+2/(x-1)(x-2)≦0
の先の答えって幾つになりますか？
No.64393 - 2020/04/17(Fri) 19:47:32
☆ Re: / らすかる
1+2/(x-1)+2/{(x-1)(x-2)}≦0
この式からx≠1,x≠2
x＜1または2＜xのとき(x-1)(x-2)は正なので、両辺に掛けて
(x-1)(x-2)+2(x-2)+2≦0
x(x-1)≦0
0≦x＜1　（∵x≠1）
1＜x＜2のとき(x-1)(x-2)は負なので、両辺に掛けて
(x-1)(x-2)+2(x-2)+2≧0
x(x-1)≧0
x≦0または1≦x
1＜x＜2と合わせて
1＜x＜2
従って答えは
0≦x＜1, 1＜x＜2
No.64394 - 2020/04/17(Fri) 21:12:17
☆ Re: / 関数電卓
らすかるさんの回答と同じことですが，私は以下のように形式的に。
与式両辺に (x−1)^2･(x−2)^2＞0 を掛けて
　与式 ⇔ (x−1)^2･(x−2)^2＋2(x−1)(x−2)^2＋2(x−1)(x−2)≦0 and x≠1, x≠2
　⇔ x(x−1)^2･(x−2)≦0, x≠1, x≠2
　⇔ 0≦x＜1, 1＜x＜2
No.64396 - 2020/04/17(Fri) 21:33:57
☆ Re: / IT
通分でやると。
1+2/(x-1)+2/(x-1)(x-2)≦0
((x-1)(x-2)+(x-2)+2)/((x-1)(x-2))≦0
x(x-1)/((x-1)(x-2))≦0
x/(x-2)≦0かつx-1≠0
0≦x＜2かつx≠1
No.64397 - 2020/04/18(Sat) 07:58:07
☆ Re: / 分数不等式
らすかるさん、関数電卓さん、ITさん、丁寧な解説ありがとうございます。
場合分けをしようとしてごちゃごちゃになってしまっていたので、助かりました！！
No.64400 - 2020/04/18(Sat) 14:01:09
★ (No Subject) / Σ計算
(1)Σ[k=3~n+2]1/(k^3-3k^2+2k)

(2)Σ[k=0~n](2k+1)x^(n+1)

(3) Σ[k=0~3n-1]{cos2kπ/3}/2^k

この3題の解き方をどなたか教えてください。
お願いします
No.64392 - 2020/04/17(Fri) 19:41:59
☆ Re: / X
(1)
1/(k^3-3k^2+2k)=1/{k(k+1)(k+2)}
=1/(2k)-1/(k+1)+1/{2(k+2)}
=(1/2)[{1/k-1/(k+1)}+{1/(k+2)-1/(k+1)}] (A)
∴a[k]=(1/2){1/(k+1)-1/k}
と置くと
(A)=a[k+1]-a[k]
となるから
(与式)=Σ[k=3〜n+2]a[k+1]-Σ[k=3〜n+2]a[k]
=Σ[k=4〜n+3]a[k]-Σ[k=3〜n+2]a[k]
((∵)第一項でk+1の代わりにkを代入)
=a[n+3]-a[3]
=…

(2)
与式が
Σ[k=0〜n](2k+1)x^(k+1)
のタイプミスでないなら
x^(n+1)
はkに対して単なる定数ですので
シグマの公式を使えば容易です。
もし、タイプミスであるなら
その旨をアップして下さい。

(3)
cos(2kπ/3)=a[k]
と置くと、lを自然数として
a[3l-2]=cos(-4π/3)=-1/2
a[3l-1]=cos(-2π/3)=-1/2
a[3l]=1
∴(与式)=1+Σ[l=1〜n]a[3l-1]/2^(3l-1)
+Σ[l=1〜n]a[3l-2]/2^(3l-2)+Σ[l=1〜n-1]a[3l]/2^(3l)
=1-Σ[l=1〜n]1/2^(3l)
-Σ[l=1〜n]1/2^(3l-1)+Σ[l=1〜n-1]1/2^(3l)
=1-1/2^(3n)-Σ[l=1〜n]1/2^(3l-1)
=1-1/8^n-(1/4)Σ[l=1〜n]1/8^(l-1)
=…
No.64395 - 2020/04/17(Fri) 21:15:23
☆ Re: / Σ計算
Xさんありがとうございます！

(2)はタイプミスでしたが、もう一度自分で解き直してみたらできたので、大丈夫です！
No.64404 - 2020/04/18(Sat) 17:07:42
★ (No Subject) / ひとつん
この四角でかこってある問題がわかりません。教えてください！
No.64386 - 2020/04/17(Fri) 13:06:41
☆ Re: / ヨッシー
ａに垂直な１つのベクトルとして
　ｂ＝(1, 2)
を考え、
　ｕ＝ｓａ
　ｖ＝ｔｂ
と置きます。
　ｘ＝ｕ＋ｖ
　　　＝ｓａ＋ｔｂ
成分表示すると
　(7, 4)＝(2s+t, -s+2t)
これを解いて、
　ｓ＝２、ｔ＝３
以上より
　ｕ＝２ａ＝(4, -2)
　ｖ＝３ｂ＝(3, 6)
No.64387 - 2020/04/17(Fri) 13:50:25
★ 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
a bを実数とするとき、画像の同値変形は成立するのでしょうか？
No.64371 - 2020/04/16(Thu) 21:22:22
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
二つの方程式の連立方程式や、2つの不等式の連立不等式の同値変形ならわかるのですが、片方が等式でもう片方が不等式となる本題の様な場合、どのように同値変形すれば良いのかがわかりません…
No.64372 - 2020/04/16(Thu) 21:25:53
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / IT
左右ともに　「真」　ですから、左右は同値だと思います。

もとの問題はどう書いてありますか？
No.64373 - 2020/04/16(Thu) 21:48:44
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
ありがとうございます。↓の画像の(1)です。よくよくみて見たら「連立」ではない気がしてきました…
No.64374 - 2020/04/16(Thu) 22:08:32
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / IT
ご質問の右の不等式を証明して、a+b=1 を代入すると左の不等式が証明できます。（左は右の特別な場合）

b=1-a をa^2+b^2-1/2 に代入して、a^2+b^2≧1/2 を示す方法もあります。
No.64375 - 2020/04/16(Thu) 22:27:36
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
ありがとうございます。
かなり遠回りして、両辺を斉次化して証明して見たのですが、この方法は使えるのでしょうか？
No.64376 - 2020/04/16(Thu) 22:51:32
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / らすかる
a/bは-1になりませんので、全実数を表していません。
No.64377 - 2020/04/16(Thu) 23:04:49
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
ありがとうございます。
https://examist.jp/mathematics/tahensu-maxmin/doujisiki2/　
を参考に「比の置換」をして見たのですが、この操作ができるのは、「比」が「全ての実数」を表せる時のみという認識は正しいでしょうか？
要するに、例えばリンク先の1番上の(1)では、4x²-8xy+10y²=1のとき、x/yが全実数を表せるから、この比をtと置換し、tの存在条件でkの範囲を考えているという事であっているでしょうか？
No.64379 - 2020/04/16(Thu) 23:20:46
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
今気付いたのですが、先ほどの画像で、2行目の不等式に式変形した時点で、以降はaとbがそれぞれが独立して任意の実数値を取るものとしてもよくないですか？
No.64380 - 2020/04/16(Thu) 23:39:50
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / らすかる
> この操作ができるのは、「比」が「全ての実数」を表せる時のみという認識は正しいでしょうか？
正しくないと思います。
表される範囲が限定されていても、それに注意して解き進めれば特に問題ありません。

> 今気付いたのですが、先ほどの画像で、2行目の不等式に式変形した時点で、
> 以降はaとbがそれぞれが独立して任意の実数値を取るものとしてもよくないですか？
同値ではなくするということですね？
それは別に構いませんが、そのことがわかるように文を入れる必要がありますね。

でも、最終的にt^2+1≧(t^2+2t+1)/2を(t-1)^2≧0と変形して示すなら
a^2+b^2≧(a^2+2ab+b^2)/2を(a-b)^2≧0に変形した方が素直で良いと思います。
No.64382 - 2020/04/17(Fri) 01:06:14
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
ありがとうございます。
>>同値ではなくするということですね？
というのはどういうことでしょうか？

「a+b=1の時a²+b²≧1/2が成立する」と、「任意の実数aとbにてa²+b²≧(a+b)²/2が成立する」は同値ではないのですか？
No.64383 - 2020/04/17(Fri) 01:41:36
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / らすかる
証明した後では両方とも真なので同値ですが、
証明する前には同値かどうかがわかっておらず、
一般に「a+b=1のときf(a,b)=0が成立する」と
「任意の実数a,bについてf(a,b)=0が成立する」
は同値ではありませんので、証明中では
同値でない変形をしていることになります。
No.64384 - 2020/04/17(Fri) 01:54:21
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / 黄桃
議論がかみ合ってないように感じるので、ちょっと失礼します。
64376　に対するコメントです。

a+b=1 の場合に帰着したい、つまり、a+b で標準化（a,bを割る）したい、のですから、
a+b=0 の場合と a+b≠0 の場合　で場合分けしなければなりません。

a+b=0 であれば、左辺は0以上で、右辺(a+b)^2/2=0 だからOK。
そうでなければ A=a/(a+b), B=b/(a+b) とおけば、A+B=1　であり、示すべき不等式は
A^2+B^2≧1/2 となるから、結局
すべての実数A,Bについて、A+B=1の時A^2+B^2≧1/2を示せばよい、
となります。
No.64385 - 2020/04/17(Fri) 11:07:53
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
ありがとうございます、よく読んでみましたが、ようやく理解出来ました！
No.64391 - 2020/04/17(Fri) 18:28:26
★ 関数をスリムにしたい / たま
上の図のような関数（無限遠で収束）を想定します。
これを下の図のようにxが小さい領域に集まるよう変形させたいです。
どうすれば良いでしょうか？
No.64367 - 2020/04/16(Thu) 18:20:45
☆ Re: 関数をスリムにしたい / ヨッシー
どんな関数かわかりませんが、
　ｘを２倍、３倍などにする
ではダメですか？
　ｙ＝sinｘ　→　ｙ＝sin(3x)
など。
No.64368 - 2020/04/16(Thu) 18:26:21
☆ Re: 関数をスリムにしたい / たま
ありがとうございます。
最初の質問からは逸れるのですがもう一点失礼します。
図の曲線は座標のわかっている30点のデータを繋ぎ合わせたものです。この場合、関数として表す方法はありますか？
No.64369 - 2020/04/16(Thu) 19:07:10
☆ Re: 関数をスリムにしたい / らすかる
どんなデータでも通用するようなうまい方法はないと思います。
具体的にデータを書いて頂ければ方法が見つかるかも知れません。
No.64370 - 2020/04/16(Thu) 20:17:58
☆ Re: 関数をスリムにしたい / GandB
＞ 図の曲線は座標のわかっている30点のデータを繋ぎ合わせたもの
　たとえば毎日気温を測定した30日分の値を「直線」でつなぎ合わせた曲線の場合、点と点の間の値は無意味だから、関数に表すこと自体が無意味だけど、曲線のグラフを表す関数を求めることはできる。ただし、関数は全然スリムにはならない（笑）。
No.64381 - 2020/04/17(Fri) 00:08:43
★ (No Subject) / aiko
この問題がわかりません！

答えがなくて困ってます。よろしくお願いします！
No.64364 - 2020/04/16(Thu) 16:08:22
☆ Re: / ヨッシー
(1)
p=0 のときは、x=q を解に持ちますので、
p≠0のときについて考えます。
展開して
　px^2＋(ap+1)x＋bp−q＝0
判別式を取って、
　(ap+1)^2−4p(bp−q)
　＝(a^2−4b)p^2＋(2a＋4q)p＋1≧0　・・・(i)
がｐの値に関わらず常に成り立つには
　y＝(a^2−4b)p^2＋(2a＋4q)p＋1
のグラフが下に凸である場合　→　(a^2−4b)＞０　と
　(a^2−4b)p^2＋(2a＋4q)p＝0
がｐの恒等式であるとき　→(a^2−4b)＝(2a＋4q)＝０　・・・(ii)
よって、a^2−4b≧0 が必要条件となります。
（十分性は (2) で示すことになります）

(2)
a^2−4b＞0 のとき (i) の判別式を取って、
　(2a＋4q)^2−4(a^2−4b)＝4a^2＋16aq＋16q^2−4a^2＋16b
　　＝16q^2＋16aq＋16b≦0
２次不等式　q^2＋aq＋b≦0　の解がｑの範囲となります。
a^2−4b＞0 より
　{−a−√(a^2−4b)}/2≦ｑ≦{−a＋√(a^2−4b)}/2　・・・(iii)

a^2−4b＝０ のとき (ii) より
　2a＋4q＝０
　q＝−a/2
これは (iii) に含まれます。

以上より、
　{−a−√(a^2−4b)}/2≦ｑ≦{−a＋√(a^2−4b)}/2
No.64366 - 2020/04/16(Thu) 17:54:21
☆ Re: / aiko
理解できました！

ご親切にありがとうございました！
No.64388 - 2020/04/17(Fri) 14:26:38
★ 確率 / 高校生
この2はどういう意味ですか？
よろしくお願いします！
No.64359 - 2020/04/16(Thu) 13:49:27
☆ Re: 確率 / ヨッシー
{0, 1, 2} のとき４個
{0, 2, 4} のとき４個
{1, 2, 3} のとき６個
{2, 3, 4} のとき６個
と書けばわかるでしょうか？
No.64360 - 2020/04/16(Thu) 14:05:30
★ 中学2年生の問題です。 / シュガー
お世話になっております。解いてみたのですが、全く解りませんでした。よろしくお願い致します。

（問題)
右の図において、点A,B,C,D,Eが円Oの周上の点であるとき、
＜xの大きさを求めなさい。
No.64358 - 2020/04/16(Thu) 13:04:15
☆ Re: 中学2年生の問題です。 / ヨッシー
円に内接する四角形の向かい合う角の和は180°であるから、
　∠ＢＤＥ＝180°−105°＝75°
　∠ＢＥＤ＝180°−100°＝80°
△ＢＤＥにおいて、
　∠ＤＢＥ＝180°−75°−80°＝25°
円周角の性質より
　ｘ＝2×∠ＤＢＥ＝50°　・・・答え
No.64361 - 2020/04/16(Thu) 14:15:24
☆ Re: 中学2年生の問題です。 / シュガー
理解できました‼図形の性質をしっかり復習します‼ありがとうございました‼
No.64362 - 2020/04/16(Thu) 15:15:35
★ 連続する５つの整数の積 / ワニ
５つの連続する自然数、整数の積は何の倍数になりますか。※可能性のある倍数は全て提示して、出来るだけ簡単に教えて頂けると嬉しいです。自分的には例として奇数と偶数の和は奇数になるということを2(m+n)+1(m,nは整数とする)のように5つの連続する整数の積を数式に落とし込めて説明していただけると嬉しいです。
No.64354 - 2020/04/16(Thu) 12:30:25
☆ Re: 連続する５つの整数の積 / ヨッシー
必ず何の倍数になるか？ではなく、可能性があるか？
ということであれば、好きな数を含む５つの連続する数を
持ってくればいいので、何の倍数にでもなります。

また、自然数、整数と言い直しているところは、なにか意味がありますか？

さらに、数式に落としこもうとすると、ことのほか煩雑になるので、言葉で理解するほうがいいと思います。
No.64356 - 2020/04/16(Thu) 12:42:23
☆ Re: 連続する５つの整数の積 / らすかる
5つの連続する整数には4の倍数が一つ以上、それと別に2の倍数が一つ以上あります。
また3の倍数が一つ以上、5の倍数が一つありますので、
結局、必ず2×3×4×5=120の倍数になります。
数式で示すと結構長くなりますので省略します。
(5m,5m+1,5m+2,5m+3,5m+4で場合分けしたりする)
「可能性のある倍数は全て提示」は上記のことでしょうか。
文字通り「可能性」を考えると、以下のようになります。
例えば5つの連続する整数のうち最小のものが4の倍数ならば
真ん中が2の倍数、最大のものが4の倍数となり、しかもそのとき最小のものと
最大のもののうち一つは8の倍数になります。
また最小のものかそれより一つ大きいものが3の倍数ならば、最大のものか
それより一つ小さいものも3の倍数になりますので、これをまとめると
最小のものが12の倍数または12で割って8余る数の場合、
2×3×3×4×5×8=2880の倍数になります。
例
8×9×10×11×12=2880×33
12×13×14×15×16=2880×182
20×21×22×23×24=2880×1771
また、本当の意味の「可能性」で言うと、
5つの連続する整数にNを含めばNの倍数になりますので、
何の倍数にでもなる「可能性」があります。
No.64357 - 2020/04/16(Thu) 12:46:35
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