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よろしくお願いします【中3】 / こう
図のように1辺が1cmのタイルがある。この4種類のタイルを組み合わせて、図2のようにタイルの組を3種類作り、縦3cm、横210cmの長方形の壁に図3のように左側からすきまなく貼り付ける。ただし、横には同じタイルの組を繰り返し貼り付けるものとする。

図3のように、2、3、5列目は、無地のタイルだけが縦に並んでいる。このように無地のタイルだけが縦に並んでいる列は、全部で何列あるか。

No.86193 - 2023/08/13(Sun) 12:43:15

Re: よろしくお願いします【中3】 / らすかる
1列目を0、2列目を1、…、n列目をn-1、…、209とすると
「+」があるのは0,3,6,…,207すなわち3の倍数の列 (0を含む、以下同じ)
「●」があるのは0,5,10,…,205すなわち5の倍数の列
「◆」があるのは0,7,14,…,203すなわち7の倍数の列
0〜209のうち
3の倍数は 210÷3=70個
5の倍数は 210÷5=42個
7の倍数は 210÷7=30個
3×5=15の倍数は 210÷15=14個
3×7=21の倍数は 210÷21=10個
5×7=35の倍数は 210÷35=6個
3×5×7=105の倍数は 210÷105=2個
よって
15の倍数であり7の倍数でないものは 14-2=12個
21の倍数であり5の倍数でないものは 10-2=8個
35の倍数であり3の倍数でないものは 6-2=4個
3の倍数であり5の倍数でも7の倍数でもないものは 70-12-8-2=48個
5の倍数であり3の倍数でも7の倍数でもないものは 42-12-4-2=24個
7の倍数であり3の倍数でも5の倍数でもないものは 30-8-4-2=16個
従って3の倍数でも5の倍数でも7の倍数でもないものは
210-48-24-16-12-8-4-2=96個
なので、無地のタイルが縦に並んでいる列は96列です。

No.86202 - 2023/08/13(Sun) 18:18:29
斜線部分の面積について / ふゆ@中3生
【問】
半径10cmの円が3つある。斜線の部分の面積を求めよ。ただし、点O,P,Qはそれぞれの円の中心である。

この問題はどのように求めればよいのでしょうか?
答えは、100πー50です。

No.86188 - 2023/08/11(Fri) 11:34:35

Re: 斜線部分の面積について / らすかる
円Oと円Pの交点のうちQでない方をA、
円Pと円Qの交点のうちOでない方をB、
円Qと円Oの交点のうちPでない方をCとすると
図形PBQは図形QCOと合同なので
図形PBQの斜線を図形QCOに移動すれば、
求める面積は(円Oの面積)-(図形OAPの面積)となります。
そして図形OAPは、
線分OPを引いて出来る弓型OPを
Oを中心に60°右回転して弧OAにくっつけるように移動すると、
円Oの内部で斜線が引かれていないのは
扇形OAPすなわち円の1/6となり、
求める面積は円の面積の5/6ですから
100π×(5/6)=250π/3となります。
100π-50という答えは正しくありません。

No.86189 - 2023/08/11(Fri) 12:13:08

Re: 斜線部分の面積について / ふゆ@中3生
すみません!
ノートがごちゃごちゃしていて、自分で書いた答えと、正答がよくわかりませんでした(汗)
よく見たら、端の方に250π/3と書いてありました
お手数おかけしました。
返信、ありがとうございました。

No.86190 - 2023/08/11(Fri) 12:21:38

Re: 斜線部分の面積について / ふゆ@中3生
今、実際に求めてみたら、わかりました!
少し、図形を移動させるだけでこんなに簡単に求められるとは……。びっくりしました。
丁寧に説明していただき、本当にありがとうございました。

No.86191 - 2023/08/11(Fri) 12:26:40
中3 空間図形(三平方?) / ゆ
正三角錐の体積を求める問題の途中です。

△DMCで、
DM²=3²+(2/3)²
 =45/4
DM=√45/4
 =3√5/2
 →2:1なので、DH=√5 になるかと考えたのですが、解説にはDH=√3とありました。

解説のDH:HM=2:1 までは理解できるのですが、DHが√3になる理由が分かりません。

計算の間違いや解法など、教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

No.86185 - 2023/08/11(Fri) 00:48:09

Re: 中3 空間図形(三平方?) / らすかる
DM^2=3^2+(3/2)^2 は間違いです。
DM^2=3^2(3/2)^2 です。

No.86186 - 2023/08/11(Fri) 01:08:45

Re: 中3 空間図形(三平方?) / ゆ
らすかるさん、返信ありがとうございます。

90度の角をDCMだと勘違いしていました、、DMCですね。
無事正答に辿り着くことができました。夜遅くにありがとうございます!

No.86187 - 2023/08/11(Fri) 01:23:39
(高3)この問題の解答と解法を知りたいです / 横山
空間内の2点A(t, 0, t),B(-2t, t,1)について,次の各問に答えよ
(1) |AB|をtを用いて表せ。
(2) 2点A,Bを直径の両端とする球面の方程式を求めよ。
(3) (2) で求めた球面が yz 平面と交わる部分は円である。|AB|が最小となるとき、その円の中心の座標と半径を求めよ



この問題の解答と解法を知りたいです
お願いします

No.86183 - 2023/08/10(Thu) 21:19:57

Re: (高3)この問題の解答と解法を知りたいです / X
(1)
>>|AB|
を|↑AB|のタイプミスと見て回答を。
条件から
|↑AB|^2=9t^2+t^2+(t-1)^2
=11t^2-2t+1
∴|↑AB|=√(11t^2-2t+1)

(2)
条件から問題の球面の中心の座標は
(-t/2,t/2,(t+1)/2)
又、(1)の結果から、問題の球面の半径は
(1/2)√(11t^2-2t+1)
∴求める方程式は
(x+t/2)^2+(y-t/2)^2+{z-(t+1)/2}^2=(1/4)(11t^2-2t+1)

(3)
(1)の結果から
|↑AB|=√{11(t-1/11)^2+10/11}
∴|↑AB|はt=1/11のときに最小になります。
このとき、(2)の球面の方程式は
(x+1/22)^2+(y-1/22)^2+(z-6/11)^2=5/22
これにx=0を代入して、問題の円の方程式は
x=0,(1/22)^2+(y-1/22)^2+(z-6/11)^2=5/22
整理をして
x=0,(y-1/22)^2+(z-6/11)^2=109/22^2
∴円の中心の座標は(0,1/22,6/11)、半径は(1/22)√109

No.86184 - 2023/08/10(Thu) 22:15:59
ディオールコピーパーカー / Ursula
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No.86182 - 2023/08/10(Thu) 18:21:47
(No Subject) / 七
文字化けと画像が反転しているので、再送します。

大問810(3)についてです。
まず8個あるので、前もってその中からA,B,Cに一つずつ渡す。よって8P3とおり。
次に残った5個について、一つずつA,B,Cのいずれかに渡す。3^5とおり。
よって8P3×3^5=81268となり、前問よりも答えの数が大きくなり、明らかに答えは間違っているのですが、どの部分の考え方が間違っているのかわかりません。
教えていただければ嬉しいです。

No.86178 - 2023/08/10(Thu) 05:49:27

Re: / らすかる
品物をa,b,c,d,e,f,g,hとしたとき、
「前もってA,B,Cにa,b,cを渡して残りの5個をdとg→A、eとh→B、f→Cに渡す」のと
「前もってA,B,Cにd,e,fを渡して残りの5個をaとg→A、bとh→B、c→Cに渡す」のでは
結果が同じで、重複して数えていますね。

No.86179 - 2023/08/10(Thu) 09:31:36

Re: / 七
本当だ。こんな初歩的なことに気がついていませんでした。恥ずかしい。
ありがとうございました。スッキリしました。

No.86180 - 2023/08/10(Thu) 10:18:36
順列と組合せ / 七
大問810(3)についてです。
?@8個あるので、前もってその中からA,B,Cに一つずつ渡す。よって8P3とおり。
?A残った5個について、一つずつA,B,Cのいずれかに渡す。3^5とおり。
?@×?A=81268となり、前問よりも答えの数が大きくなり、明らかに答えは間違っているのですが、どの部分の考え方が間違っているのかわかりません。
教えていただければ嬉しいです。

No.86177 - 2023/08/10(Thu) 05:37:31
整数の組数 / 大西
1≦a<b<c<d≦n-1を満たす整数について、nが12の倍数の時、a+b+c+d=nを満たす(a,b,c,d)の組数を求めよという問題なのですが、


まずa,b,c,dの大小関係がないものとして、
a+b+c+d=nを満たす組数Aを求め、
a,b,c,dのうちどれか2個が等しい組数B、
a,b,c,dのうちどれか3個が等しい組数C、
a,b,c,dがすべて等しい組数D
とすると、
(A-B-C-D)/4!が答えになるはずだと思います。

・Aについて
(n-1)(n-2)(n-3)/3!

・Bについて
a=bとして考えて、
2a+c+d=nを満たすすべての組数B1を求め、
a,c,dのうちどれか2個が等しい組数B2、
a,c,dがすべて等しい組数B3
として、
B1は
a=k(1≦k≦n/2-1)として、
(c,d)=(1,n-2k-1),(2,n-2k-2),・・・,(n-2k-1,1)のn-2k-1組あるので、(1≦k≦n/2-1)で和を取って
B1=Σ(n-2k-1)=(n-2)^2/4
B2は
a=cのときを考えて、3a+d=nとなり、
(a,d)=(1,n-3),(2,n-6),・・・,(n/3-1,3)から(n/4,n/4)を除いた(n/3-2)組が考えられ、a=dのときも同様なので2(n/3-2)組、
c=dのときを考えて2a+2c=nとなり、
(a,c)=(1,n/2-1),(2,n/2-2),・・・,(n/2-1,1)から(n/4,n/4)を除いた(n/2-2)組が考えられ、
B2=2(n/3-2)+(n/2-2)=7n/6-6
B3は1
a=c,a=d,b=c,b=d,c=dのときも同じなので
B=6(B1-B2-B3)=3n^2/2-13n+36

・Cについて
a=b=cとして、3a+d=nを満たす組は
(a,d)=(1,n-3),(2,n-6),・・・,(n/3-1,3)から(n/4,n/4)を除いた
(n/3-2)組が考えられ、a=b=d,a=c=d,b=c=dも同様であるので
Cは4(n/3-2)

・Dについて
a=b=c=d=n/4のみであるので1

だと思うのですが

(A-B-C-D)/24に代入してn=12のときを計算すると整数にならないのでA,B,C,Dのうちどれかが間違っているのだと思います。

解き方を教えてください。

No.86168 - 2023/08/09(Wed) 14:47:11

Re: 整数の組数 / IT
ざっと見ただけですが a=b<c=d などの場合が考慮されてないのでは?
No.86169 - 2023/08/09(Wed) 16:01:30

Re: 整数の組数 / 大西
ITさん返信ありがとうございます。
一旦、a,b,c,dの大小関係は考えないところからスタートしていて、
a=b≠c=dのときは、B2に含めているつもりです。

Bの前提条件がa=bのときをまず考えて、その中でB2がc=dのときを考えているのですが、何がおかしいでしょうか?

あと、a=b<c=d“など”ということは他に何が考慮されていないのでしょうか?

No.86170 - 2023/08/09(Wed) 16:54:41

Re: 整数の組数 / IT
> あと、a=b<c=d“など”ということは他に何が考慮されていないのでしょうか?
まずa,b,c,dの大小関係がないものとして、なので
a=b>c=d や a=c ≠ b=d などのことです。

なお、
a,b,c,dのうちどれか2個が等しい組、
a,b,c,dのうちどれか3個が等しい組
a,b,c,dがすべて等しい組

これらには包含関係があるのでしょうか?ないのでしょうか?

No.86173 - 2023/08/09(Wed) 19:11:49

Re: 整数の組数 / 大西
ITさん返信ありがとうございます。

包含関係はないです。

イメージとしては、4枚のポーカーを考えた時に
a,b,c,dのうちどれか2個が等しい組=ワンペアorツーペア

a,b,c,dのうちどれか3個が等しい組=スリーカード

a,b,c,dがすべて等しい組=フォーカード

の意味です。
なので、a=b>c=d や a=c ≠ b=d などはワンペアとツーペアにあたります。

a+b+c+d=nを満たすすべての組からこの3つを引けばa,b,c,dがすべて異なる場合の組数が出て、それを4!で割ればa<b<c<dの場合の答えが出ると考えました。

No.86170で書かせていただいたように2ペアが2組できる部分は、B2に含めているつもりです。

No.86174 - 2023/08/09(Wed) 19:55:14

Re: 整数の組数 / らすかる
とりあえず正解を
a,b,c,dが任意:(n-1)C3=(n-1)(n-2)(n-3)/6

a=b<c<d:Σ[a=1〜n/4-1]{(n-4a-1)-1}/2=(n-4)^2/16

a<b=c<d:Σ[b=2〜n/4](b-1)+Σ[b=n/4+1〜n/3-1](n-3b-1)=(n^2-8n+24)/24

a<b<c=d:Σ[c=n/4+1〜n/3-1]{(4c-n)/2-1}+Σ[c=n/3〜n/2-2]{(n-2c-1)-1}/2=(n^2-12n+48)/48
よってa,b,c,dのうち二つが等しく他が異なるものは
{(n-4)^2/16+(n^2-8n+24)/24+(n^2-12n+48)/48}×4P2=(3n^2-26n+72)/2

a=b<c=d:aは最小1最大n/4-1なのでn/4-1
よってa,b,c,dのうち二つずつ等しい2組になるのは
(n/4-1)×4C2=(3/2)(n-4)

a=b=c<d:aは最小1最大n/4-1なのでn/4-1

a<b=c=d:bは最小n/4+1最大n/3-1なので(n/3-1)-(n/4+1)+1=n/12-1
よってa,b,c,dのうち三つが等しく残りの1個が異なるものは
{(n/4-1)+(n/12-1)}×4=(4/3)(n-6)

a=b=c=dは1通り

従って
(n-1)(n-2)(n-3)/6-(3n^2-26n+72)/2-(3/2)(n-4)-(4/3)(n-6)-1
=(n^3-15n^2+72n-144)/6
なので、a<b<c<dとなるのは
(n^3-15n^2+72n-144)/144通り

No.86175 - 2023/08/09(Wed) 23:07:26

Re: 整数の組数 / 大西
らすかるさん返信ありがとうございます。

> よってa,b,c,dのうち二つずつ等しい2組になるのは
> (n/4-1)×4C2=(3/2)(n-4)


この部分の計算が抜けていました。
ITさんにもご指摘していただいてたのですが、B2に含まれると
思ってしまっていました。
それ以外は合っていることが分かりました。

場合分けの仕方がややこしいですね。
漏れなくダブりなくというのが苦手です。

ありがとうございました。

No.86176 - 2023/08/09(Wed) 23:23:06
微分方程式 / ユミ
【問】放物線:y=x^2 (0≦x≦1) を y 軸の周りに回転してできる容器を水で満杯にする。この容器の底に排水口があり、時刻 t=0 に排水口を開けて排水を開始する。時刻 t において容器に残っている水の深さを h、体積を V とする。
V の変化率?儼/?冲=−√h とする。このとき、容器内の水を完全に排水するのにかかる時間 T を求めなさい。

この問題なのですが、微分方程式を解いて、T=4π/3 で答えはあっていますか?
分かる方、宜しくお願いします。

No.86164 - 2023/08/08(Tue) 23:41:50

Re: 微分方程式 / ユミ
すみません、↑文字化けしたようで、Vの変化率はdV/dtです。
No.86165 - 2023/08/08(Tue) 23:43:39

Re: 微分方程式 / ast
あってないのでは.
No.86166 - 2023/08/09(Wed) 02:52:04

Re: 微分方程式 / X
条件から
V=π∫[y:0→h](x^2)dy
=π∫[x:0→√h](x^2)・2xdx
=2π[(1/4)x^4][x:0→√h]
=(π/2)h^2
これを
dV/dt=-√h
に代入すると
πhdh/dt=-√h
これより
(2/3)h^(3/2)=-t/π+C (A)
(Cは任意定数)
ここで
t=0のときh=1
ゆえ、(A)より
C=2/3
∴(A)は
(2/3)h^(3/2)=-t/π+2/3
となるので
-T/π+2/3=0
∴T=2π/3

ユミさんの答えは合ってないですね。

No.86172 - 2023/08/09(Wed) 18:55:39

Re: 微分方程式 / ユミ
あっ、最初の体積の出し方で間違えていた事に気づきました。
 有難う御座います。

No.86181 - 2023/08/10(Thu) 16:15:50
モジュラ逆数と単位元 / 加賀
ax≡1mod7
aを0~6としたときのそれぞれのモジュラ逆数は以下の通りでいいですか?


0は逆数を持たない。なぜなら、0を掛けた数は1ではなく0だからである。
1 * 1 ≡ 1 (mod 7)なので、1はそれ自身の逆数である。
2 * 4 ≡ 8 ≡ 1 (mod 7)であるから、2の逆数は4である。
3 * 5 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7)であるから、3の逆数は5である。
4 * 2 ≡ 8 ≡ 1 (mod 7)なので、4の逆数は2。
5 * 3 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7)なので、5の逆数は3。
6 * 6 ≡ 36 ≡ 1 (mod 7)であるから、6はそれ自身の逆数である。

であっていますか?

補足
また、この時の単位元は1でいいですか?

No.86162 - 2023/08/08(Tue) 21:50:09

Re: モジュラ逆数と単位元 / ast
特に問題は無いと思います.
No.86167 - 2023/08/09(Wed) 03:04:43
中学数学 相似 / ささ
図において、四角形 ABCDが平行四辺形であるとき、次の各問に答えなさい。
 
問 △DQRの面積は、平行四辺形ABCDの何倍か求めなさい。
答 1/9倍
 
 
自分で計算を進めて、cf=4cm、BQ:QD=2:1、BP:PD=3:2まで求めました。
 
それぞれの図形の面積比を出すのかと思ったんですけどうまくできなくて、平行四辺形の面積がわからないのにどうやって出すんだろうって詰まってしまっています。
どこから始めたらいいのかよくわからないです。中学範囲でよろしくお願いします。

No.86159 - 2023/08/08(Tue) 17:50:08

Re: 中学数学 相似 / X
>>平行四辺形の面積がわからないのにどうやって出すんだろう
分からないなら適当にTとでも置きましょう。
ということで方針を。
(以下、例えば△ABCの面積をS[△ABC]と表します。)

まず
BQ:QD=2:1、BP:PD=3:2
から
PQ:QD=… (A)
次に条件から
S[△BCD]=(1/2)T (B)
S[△CPD]=(PD/BD)S[△BCD]
=(2/5)S[△BCD] (C)
S[△PRD]=(DR/CD)S[△CPD]
=(2/3)S[△BCD] (D)
S[△QRD]=(DQ/PD)S[△PRD] (E)
(B)(C)(D)(E)から
S[△QRD]=(DQ/PD)(2/3)(2/5)(1/2)T
これと(A)から…

No.86160 - 2023/08/08(Tue) 18:04:15

Re: 中学数学 相似 / ささ
Xさん、ありがとうございます。
文字でおいて、一回で求めようとするんじゃなくて、△QRDを含まないものを削っていって、少しずつ小さくしていくんですね!
方針のおかげで無事解けて1/9になりました。

No.86171 - 2023/08/09(Wed) 18:24:59
最小二乗推定量の分散 / 奮闘中のFラン大生
度々申し訳ございません。
入門統計解析(倉田、星野、新世社)のp286がわかりませんでした。
最小二乗推定量の分散の証明ですが、
マーカーで囲んだ部分の式変形がどうしてこのようになるのかがわかりませんでした。
恐れ入りますが、ご教示お願いいたします。

No.86156 - 2023/08/08(Tue) 01:46:20

Re: 最小二乗推定量の分散 / ast
# 便宜のため, (項数 n はともかく, ほかの) 文字変数は画像の本文とは別に改めることにしますが:
項数を減らした n=2,3,4 のとき:
 (x+y)^2 = x^2+y^2 + 2xy
 (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2xy+2yz+2zx
 (x+y+z+w)^2 = x^2+y^2+z^2+w^2 + 2xy+2xz+2xw+2yz+2yw+2zw
くらいは自力で計算して確認したうえで, それでももし
 (Σ_i x_i)^2 = Σ_i (x_i)^2 + 2 Σ_{i<j} x_i x_j
が自明だと思えないようなら, (以前からの質問も踏まえると) まず勉強すべき本を間違えているのではないか, と応答したほうが親切になるような気がします.
# 分散や期待値の計算途中であるとはいえ, その部分自体は期待値を計算する以前の段階の
# 引数部分の代数的計算でしかない (あまり極端な言い方すると, 語弊あるとは思うが,
# やはり中学の代数の簡単な延長線にある話な) ので.
# まあ, 「じゃあどの本読めばいいのか」と問われても, 専門家でもないし知りませんけれども.
## 本問に限って言えば, 二項定理の一般化である「多項展開」が書いてあるようなものを探してみたら
## よいのではないかと. (とはいえ本問に対して多項定理までは必要ない牛刀だとは思いますが.)

No.86157 - 2023/08/08(Tue) 02:47:52

Re: 最小二乗推定量の分散 / 奮闘中のFラン大生
ast様
今回もわかりやすくご解説頂きありがとうございました。具体例をみることで理解することができました。仰る通り、基礎数学力の不足が深刻なので、そちらの向上に取り組みます。一方で、こちらが教科書指定されているため、何とか基礎数学力の向上と並行せねばならない状況です(多くの友人もついていけてないのですが)。今後ともよろしくお願いいたします。

No.86161 - 2023/08/08(Tue) 21:02:43
アベール群 / gf
自然数の掛け算はアベール群ではないのでしょうか?
なぜなら、正整数の集合において、任意の正整数 a の乗法逆元は存在しない。a×x=1 となるような正の整数 x は存在しない。ということでいいですか?

No.86154 - 2023/08/07(Mon) 20:54:56

Re: アベール群 / ast
書いてあることを文字通り読むといろいろとおかしいので「いいです」とはさすがに言えないんだけどなあ…… (もろもろ好意的に考えると「思っていることや述べたい主張と実際に書いてることが一致してな」くて, それらを全部修正できたあとだともしかしたら「いい」のかもしれない可能性はでてくるかもしれないけど), ってあたりで答えづらい……

> 自然数の掛け算はアベール群ではないのでしょうか?
(日常会話で使うような) ふつうの日本語として受け取ると「〜ではないのでしょうか?」は「〜ですよね (「〜ではない」に対して疑義がある)」という意味だと思うので, そのあとに「アーベル(≠アベール)群ではない」ことを示そうという文がくるとなんだか面食らいます.
また, きちんとした数学的な主張のつもりなのであれば, たとえば「『アーベル群ではない』でよい (合っている) でしょうか」のような感じに述べるべき (命題そのものとそれに対する自分の真偽の判断ははっきり分けるべき) ではないでしょうか.
# あとこれは個人的には枝葉末節だと考えますが
# 「群」は「'集合’とその上の'演算’の組」に対する概念なので
# > 自然数の掛け算は
# ではなく「'自然数全体の成す集合’は'自然数の掛け算’に関して」と述べるべきです.

続き,
> 正整数の集合において、任意の正整数 a の乗法逆元は存在しない。
を文字通り読むと, a=1 は乗法逆元 x=1 を持つのでこの主張は偽です (もちろん「この命題が偽」であることは「アーベル群である」を意味しません, そもそもこの命題の主張がそれとは全然別の話になってしまっているからです).
あるいはもし, アーベル群の (というか群の) 条件 (公理) の一つである「(*) 任意の元 a が逆元を持つ」を挙げて, この (*) に反することを「アーベル群ではない」ことの根拠としたいという意図で書いたのであれば
 「正整数の集合において、'任意の正整数 a の乗法逆元が存在’ が成立しない」ということで〜
のような感じの記述にするべきでしょう. さらにいえば, そうである場合, このような全称命題 ('任意の〜’の形の命題)に「反する」ことを述べたいということですから, そのようなときふつうは「反例を具体的に一つ提示する」 (容易にたくさん思いつくこともあるだろうけれど, 挙げるのは一個あればそれでよい) のであって, 実際重要なのはその挙げられた反例が「事実, 反例である」のか (「どういう理由で反例と言えるのか」) のほうです (根拠の妥当性で「いい/わるい」を判断します).

# あと, これも枝葉末節ですが, 最初に「自然数」と述べているのに途中から (確かに意味は同じですが)
#「正整数」「正の整数」と言葉を変えているのは何故ですか?
## 長い文章で表記ゆれが出ることはままあるとは思いますが, いまは短い文ですし
## それぞれを別人が書いたのではないかといったような印象を与えかねません.
## (そうでなくとも, そもそも No.86154 は全体的に「どこかに落ちていた意味が解ってないものを
## なんだかわからないままコピペしたかのような文」という印象を受けるので……, というあたりで
## 本投稿の冒頭にまた戻る感じ (無限ループ……))

No.86158 - 2023/08/08(Tue) 07:13:38
余り / セーラーマーキュリー
自然数 n に対して、3^n を 2^n で割った余りを a[n] とする。
数列 {a[n]} (n=1,2,3,...) は有界か。

という問題を以下のように考えてみたのですが、合っているでしょうか?


もし有界であると仮定すると、ある自然数mがあって、すべてのnに対して a[n] ≤ m となる。
3^n を 2^n で割った商の整数部分を q[n], 小数部分を d[n] とおくと
(3/2)^n = q[n] + d[n] そして 3^n = q[n] 2^n + a[n] だから d[n] = a[n]/2^n 。
a[n] ≤ m だから n→∞ のとき d[n] ≤ m/2^n → 0。
したがってある自然数 N があって n ≥ N であるすべての n に対して d[n] < 1/3 が成り立つ。

ここで s を奇数として q[N] = (2^k)s と表したとき、すべての i ≥ 0 に対して、i ≤ k ならば
q[N+i] = (3/2)^i q[N]
d[N+i] = (3/2)^i d[N]
が成り立つことを帰納法で示す。
i = 0 のときは明らか。
i < k のときは、帰納法の仮定から
(3/2)^{N+i} = q[N+i] + d[N+i] = (3/2)^i q[N] + (3/2)^i d[N]
だから
(3/2)^{N+i+1} = (3/2)^{i+1} q[N] + (3/2)^{i+1} d[N]
だが、i+1 ≤ k だから (3/2)^{i+1} q[N] は整数、そして
(3/2)^{i+1} d[N] = (3/2) d[N+i] < (3/2)(1/3) = 1/2 < 1 だから
q[N+i+1] = (3/2)^{i+1} q[N]
d[N+i+1] = (3/2)^{i+1} d[N]
となって帰納法完了。

このことから
q[N+k] = (3/2)^k q[N] = (3/2)^k (2^k)s = (3^k)s
(3/2)^{N+k} = q[N+k] + d[N+k] = (3^k)s + d[N+k]
だけど (3^k)s は奇数だから
(3/2)^{N+k+1} = (3/2)((3^k)s - 1) + 1 +
1/2 + (3/2) d[N+k]
において (3/2)((3^k)s - 1) + 1 は整数、そして
1/2 + (3/2) d[N+k] < 1/2 + (3/2)(1/3) = 1
だから
q[N+k+1] = (3/2)((3^k)s - 1) + 1
d[N+k+1] = 1/2 + (3/2) d[N+k]
となる。ところが 1/2 + (3/2) d[N+k] > 1/3 だから
d[N+k+1] > 1/3 となってこれは矛盾。
したがって {a[n]} は有界ではない。

No.86153 - 2023/08/06(Sun) 16:45:57

Re: 余り / 黄桃
書き方がわかりにくいですが、内容自体は合っていると思います。
Nを決めた後、

n>N において、
q[n]が偶数の時、q[n+1]=(3/2)*q[n], d[n+1]=(3/2)d[n]
q[n]が奇数の時 q[n+1]=q[n]+(q[n]-1)/2, d[n+1]=1/2+(3/2)d[n] (>1/3)
であるから、すべてのn>Nに対して、q[n]は偶数、でなければならない。
したがって、n>Nならばq[n+1]=(3/2)q[n], d[n+1]=(3/2)d[n] を満たすがこれは矛盾
(d[n]≠0よりd[n]→∞といってもいいし、q[n]は全ての2^kで割り切れるからq[n]=0といってもいい)

くらいの方がわかりやすいかと。

#素朴な疑問として、このレベルの問題に挑戦するのに、解答が
#正しいかどうかを人に聞かねばわからぬのが不思議です。
##あっちにも投稿しているので回答を控えようと思いましたが、
##あっちの回答がちょっと変なので仕方なくコメントしました。

No.86163 - 2023/08/08(Tue) 22:42:49
(No Subject) / あ
大学受験の複素数で、複素数の極形式の指数表示は記述する際許されていますか?
No.86146 - 2023/08/06(Sun) 00:28:17
解き方がわかりません。 / 中1です
100C50を101で割った余りを求める問題です。
答えは1みたいですが、どうやって解くかわかりません。
教えてください。

No.86145 - 2023/08/05(Sat) 22:31:23

Re: 解き方がわかりません。 / 中1です
modをつかうらしいです
No.86150 - 2023/08/06(Sun) 09:25:32

Re: 解き方がわかりません。 / 黄桃
想定される解き方は
100≡-1 mod 101
99≡-2 mod 101
...
51≡-50 mod 101
を使うのでしょう。

No.86151 - 2023/08/06(Sun) 10:35:22
微分 / ユミ
【問】x^2y-sin⁡y=1 の関係式から、dy/dxを求めよ。

この問題の答えの確認なのですが、「2xy/cosy-x^2」
であっていますか?

 分かる方、宜しくお願いします。

No.86141 - 2023/08/05(Sat) 20:43:11

Re: 微分 / X
それで問題ありません。
No.86147 - 2023/08/06(Sun) 00:39:50
高校3年数I二次関数 / アルゴリズム
問題番号ヌとネが全くわかりません。
よろしくお願いします!
答えはヌ:-2-√10 ネ-2+√10 です!

No.86139 - 2023/08/05(Sat) 19:36:25

Re: 高校3年数I二次関数 / IT
a,bはどうなりましたか? 出来たとこまで書かれた方が回答が付きやすいと思います。
No.86140 - 2023/08/05(Sat) 20:16:44
楕円での領域における最大最小 / 高3の数V
例題の(3)の解?Tについての質問です。
2点あります。

・1つ目
(3)6行目の判別式についてです。
?@?Aの式からy1を消去してkを求めていくのは分かるのですが、判別式が≧0なのが分かりません。
問題設定より、直線はPにおける接線なのだから、判別式=0ではないのでしょうか?
また、判別式=0でk=±2√2とだして、後の条件2<kと合わせて、k=2√2として答えを出すのは間違いなのでしょうか?

・2つ目
そもそも、(3)はSの最大値を求める問題なのに、(1)のx1+2y1=kを前提に解いている点が不明です。
なぜ傾きが-1/2の直線のときに最大を取る前提で問題を解いているのでしょうか?
面積Sの問題設定上であれば、Pの位置によって傾きが-1/2以外の直線と作られたときに最大を取る可能性もあるのではないでしょうか?

上記2点がわかりません。
もともと数?Uの領域あたりが苦手なので、意味不明な質問をしているかもしれませんが、答えていただけると幸いです。
よろしくお願いいたします。

No.86138 - 2023/08/05(Sat) 16:48:19

Re: 楕円での領域における最大最小 / 黄桃
>・2つ目
>そもそも、(3)はSの最大値を求める問題なのに、(1)のx1+2y1=kを前提に解いている点が不明です。


これがこの解法のミソ(うまいところ)です。Sを表す式にx1,y1と変数が2つあると扱いが難しいですが、これを1つの変数kだけであらわすことができれば簡単になります。
(2)の答から、Sを最大にするには、kを最大にすればいい、と分かったのです。なので、

>なぜ傾きが-1/2の直線のときに最大を取る前提で問題を解いているのでしょうか?

ではなくて、x1+2y1が取りうる値がわかれば、Sの最大がわかるのです。

#なぜ傾きが-1/2の直線を考えたのか、というのであれば、
#こうするとSをkだけの式で表せるからです。

残った問題は、x1+2y1 はどんな値を取りうるのか?を決めることです。

例えば、x1+2y1=0 となりうるか? これは無理、なぜなら、x1>0,y1>0だから、x1+2y1>0だから。
では、x1+2y1=10 となりうるか?
これは y1=(10-x1)/2 だから、だ円の式に代入して(x1)^2/4+(10-x1)^2/4=1 となるx1があるか?となって、これは x1^2-10x1+48=0 という2次方程式になります。
これがx1>0の解をもつかどうかですが、そもそも判別式が D/4=5^2-48=-23<0 だから解をもちません。
それでは x1+2y1=3 となるのかどうか…とかんがえていくとキリがないので、「じゃあ、この値を仮にkと置いて、まとめて考えよう」ということです。

以上を踏まえて、1つめ
>Aの式からy1を消去してkを求めていくのは分かる
は誤解です。
kを与えて、それを満たす x1,y1があるかどうか考えているのです。もし見つかれば、そのkは取りうる値だし、見つからなければ、取りえない値です。

y1を消去したのだから、残ったのはx1で、そのx1を変数とする2次方程式が出てきたので、その判別式Dの D/4 を考えているのです。

もちろん、おっしゃるように、(3)はkの最大値を求めれば十分なので、図形的考察より、kが最大になるのは、だ円に接する時だから、D=0 より k=2√2 の時、といってもいいです。この解答がそうなってないだけで、きちんと説明すればそれも正解です。

このような遠回りに見える解答例にしたのは、おそらく、このkの範囲を求める考え方は、軌跡を求める問題などにも使われるのでその練習も兼ねているのでしょう。

No.86144 - 2023/08/05(Sat) 22:08:13
(No Subject) / ぴーたろ
こんにちは。ファイルに置いて、θの象限の求め方だけわかりません。教えてください。
No.86130 - 2023/08/05(Sat) 11:05:28

Re: / IT
sinθcosθの値は、どうやってもとめていくらになりましたか?
No.86131 - 2023/08/05(Sat) 11:26:47

Re: / ぴーたろ
全体を2乗して移項して-3/8です!
No.86132 - 2023/08/05(Sat) 13:30:06

Re: / IT
2次方程式の解の公式でsinθとcosθを求めると良いのでは。

sinθcosθ<0とsinθとcosθについての対称性からスッキリ決められるかも知れません。
(答えは2象限と4象限ですよね)

No.86133 - 2023/08/05(Sat) 14:30:22

Re: / ぴーたろ
和が-1/2 積が-3/8 である2次方程式を作ります
8x^2+4x-3=0

解いてx=(-1±√7)/4

となりましたが、そこから求まるものですか??

No.86135 - 2023/08/05(Sat) 14:49:35

Re: / IT
sinθ=(-1+√7)/4 正、cosθ=(-1-√7)/4 負
または、
sinθ=(-1-√7)/4 負、cosθ=(-1+√7)/4 正
ですから、それぞれθが第何象限かわかります。

(解の公式で値まで求めなくても良さそうですね)

No.86136 - 2023/08/05(Sat) 14:59:19
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