座標空間において、円柱面C={(x,y,z) | x^2+y^2=1}を考える。
⑴C上の点P(1,0,0) Q(x,y,0) R(x,y,z) ただしz≧0を考える。
PR=2のとき、zをOP→(OPベクトル )からOQ→(OQベクトル)に向かう角度θ (つまりOPベクトルを反時計回りにθ回転するとOQと同じ向きに並行になる、ということ) の関数であらわせ。ただしOは原点とする。
⑵中心(1,0,0),半径2の球Sの内部にあるCの部分の面積を求めよ。
という問題が⑴からわかりません！
⑴だけでもいいので教えてほしいです。
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No.63848 - 2020/03/16(Mon) 00:28:19
| ☆ Re: 空間と面積 / 関数電卓 | | | (1)
R(cosθ, sinθ, z)
PR^2＝(cosθ−1)^2＋(sinθ)^2＋z^2＝4 ∴ z＝√(2＋2cosθ)
(2)
対称性から，求める面積 S は
S＝4∫[0,π]√(2＋2cosθ)dθ＝8∫[0,π]cos(θ/2)dθ＝16
(z≧0 の部分だけ図示しました)
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No.63849 - 2020/03/16(Mon) 10:49:00 |
| ☆ Re: 空間と面積 / ヨッシー  | | | (1)
Ｑの座標は (cosθ, sinθ, 0)、Ｒの座標は (cosθ, sinθ, z) と書けるので、
ＰＲ^2＝(x-1)^2＋y^2＋z^2
に、ＰＲ＝２、x＝cosθ、y＝sinθ を代入して、
(cosθ−1)^2＋sin^2θ＋z^2＝4
cos^2θ−2cosθ＋1＋sin^2θ＋z^2＝4
cos^2θ＋sin^2θ＝1 を適用し、移項して整理すると、
z^2＝2＋2cosθ
−1≦cosθ より 2＋2cosθ≧0 であるので、
z＝√(2＋2cosθ)
(2)
まず、z≧0 の部分の面積を求めて、対称性から２倍すれば求める面積となります。
側面を展開して、横軸にθ、縦軸にｚを取ると、
z＝√(2＋2cosθ)
のグラフとなります。
これを、θ＝０〜２πで積分します。
ｘ軸からの角度θのときのＰからのこの長さは ｒθ＝θ であるので、
この積分値がそのまま面積となります。（半径が１以外のときは、半径を掛ける必要があります）
∫[0〜2π]√(2＋2cosθ)dθ
ここで、
cos(2θ)＝2cos^2θ−1 より 1＋cosθ＝2cos^2(θ/2) であり、
√(2＋2cosθ)＝√{4cos^2(θ/2)}
＝2cos(θ/2) (0≦θ≦π)
＝−2cos(θ/2) (π≦θ≦2π)
ですが、対称性から θ＝0〜π で積分して２倍することにします。
２∫[0〜π]√(2＋2cosθ)dθ＝２∫[0〜2π]2cos(θ/2)dθ
＝8[sin(θ/2)][0〜π]＝8
よって求める面積は １６。
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No.63850 - 2020/03/16(Mon) 11:39:23 |
| ☆ Re: 空間と面積 / aiko | | | とってもわかりやすいです！
ありがとうございました！
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No.63851 - 2020/03/16(Mon) 15:51:41 |
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