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★ 数列の極限 / aiko
⑴極限値 lim[n→∞] Σ[k=n→k=2n] =1/k を求めよ。

⑵任意の正値aに対して、lim[n→∞] Σ[k=n→k=2n] 1/(a+n) は⑴と同じ極限値を持つことを示せ。

という問題がわかりません！

よろしくお願いします！
No.63136 - 2020/01/19(Sun) 20:49:48
☆ Re: 数列の極限 / IT
(1) 1/x の定積分で挟んで評価すれば良いのでは？

∫[x=n→2n](1/x)dx＜Σ[k=n→2n](1/k)＜1/(n-1)+∫[x=n→2n](1/x)dx
No.63138 - 2020/01/19(Sun) 21:48:47
☆ Re: 数列の極限 / aiko
> (1) 1/x の定積分で挟んで評価すれば良いのでは？
>
> ∫[x=n→2n](1/x)dx＜Σ[k=n→2n](1/k)＜1/(n-1)+∫[x=n→2n](1/x)dx



⑵のほうがわかりません！

ちなみに⑴は区分級積ですね！
No.63147 - 2020/01/20(Mon) 10:35:48
☆ Re: 数列の極限 / X
>>(2)のほうがわかりません！

問題文の
>>lim[n→∞] Σ[k=n→k=2n] 1/(a+n)
が
lim[n→∞] Σ[k=n→k=2n] 1/(a+k)
のタイプミスとみて回答を。

ITさんの(1)の方針と同じ方針を使えば解けます。
つまり
∫[x=n→2n]{(1/(x+a)}dx＜Σ[k=n→2n]{1/(a+k)}＜1/{(n-1)+a}+∫[x=n→2n]{1/(x+a)}dx
でn→∞を考え、はさみうちします。

>>ちなみに(1)は区分級積ですね！
違います。
もう一度区分求積法での定義式を復習しましょう。
No.63148 - 2020/01/20(Mon) 14:30:29
☆ Re: 数列の極限 / m
S(n) = Σ[k=n, 2n] 1/k
　　= Σ[k=0, n] 1/(n+k)
　　= 1/n + 1/n Σ[k=1, n] 1/(1+k/n)
とすれば区分求積がつかえますね。

本題の(2)は誘導に従う？なら
T(n) = Σ[k=0, n] 1/(a+n+k)
とおいて、S(n)の不等式ではさんではさみうちの原理を使いたいところです。
T(n)<S(n)はすぐ言えます。略。
S(n)/(1+a/n)<T(n)も言えます。
各n, k (0≦k≦n)に対し
1/(n+k) * 1/(1+a/n) = 1/(n+k+a+ak/n) < 1/(n+k+a)
よりkについて足せばいえた。
1/(1+a/n)→1とはさみうちの原理より
T(n)とS(n)は同じ極限を持つことがいえた。
No.63149 - 2020/01/20(Mon) 16:17:44
★ 高校 不等式が表す領域 / 工業生
数学の課題なのですが、さっぱりわかりません。
なぜ？と聞かれてもそういうものだからとしか言い様がない気がします。
どうかよろしくお願いします。

y>2x-3やx²+y²<1などの不等式は、なぜ領域を表すのか？その理由を丁寧に説明せよ。
No.63135 - 2020/01/19(Sun) 20:38:05
☆ Re: 高校 不等式が表す領域 / IT
授業で「領域」の定義は、どうなっていますか？
No.63137 - 2020/01/19(Sun) 21:39:35
★ (No Subject) / Ran
この問題の⑵からがわかりません、

教えてください。
No.63134 - 2020/01/19(Sun) 20:37:29
☆ Re: / IT
(2)
a[n]sin(a[n])-cos(a[n])=0 からsin(a[n])=cos(a[n])/a[n]
0≦sin(a[n])=cos(a[n])/a[n]≦1/a[n] →0（n→∞)を使えばいいのでは？
No.63143 - 2020/01/19(Sun) 23:45:12
★ 大学数学 / N
大学数学です、この問題分かる方いらっしゃいましたら教えてください…
No.63133 - 2020/01/19(Sun) 20:17:23
☆ Re: 大学数学 / IT
「実数、デデキント」で検索するといろいろ出てきます。
下記など参考にどうぞ。（記法が少し違っているので参考まで）

https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/2009/haya09-01b.pdf
No.63142 - 2020/01/19(Sun) 22:57:42
★ マクロリーン問題 / つけ汁
マクロリーン問題についての問題がわかりません！この解答を教えてください！！(できれば途中式も教えてください。)
1. cos zに対するマクローリンの式をかいてくだはい

2. cos zに対するマクローリンの式の剰余項が0に収束することを示せ

3. e ^x のマクローリン展開を利用して、lim(x→∞) x^n /e^x = 0示してください。

4. lim (x→∞) logx / x = 0を示してください。

5. lim (x→+0) x * log xを求めてください。
No.63126 - 2020/01/19(Sun) 09:54:56
★ ダイヤグラム / 数学不得意中３
答え（１）１１：５０　（２）　１０：４０　よく解りません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.63118 - 2020/01/19(Sun) 06:18:35
☆ Re: ダイヤグラム / ヨッシー

図で、青は先にＡに行った場合、赤は先にＣに行った場合です。
(一部重なっているところがあります)
グラフより、
(1)青のグラフで、11時50分　
(2)赤のグラフで、10時40分

例えば、(1) の青の場合、
9:00 にバス停について、9:10 にＡ町に着き、9:40 には用事を済ませますが、
10:00 のバスまで待たないといけません。
10:30にＣ町に着いて、11:10 に用事を済ませますが、11:20 のバスまで待ちます。
その辺をグラフでたどります。
(2) は 14:00 から逆にたどります。
No.63121 - 2020/01/19(Sun) 09:07:17
★ (No Subject) / ほう
すいません。先程投稿したのですが定義が書いておらず、文字化けしてしまったので再投稿します。
教えていただける幸いです。
よろしくお願いします。
No.63117 - 2020/01/19(Sun) 04:10:04
★ 高校入試問題です / 健児
４の（２）、（３）と５の（４）のやり方をお教えください。
No.63116 - 2020/01/19(Sun) 01:34:24
☆ Re: 高校入試問題です / IT
４の（２）
　方程式を解きます。(xをa,b で表す）
　６×６の表を書いて　xが自然数となる場合の数を数えます。

４の（３）
　６×６の表を書いてa(a-b)/3 が自然数となる場合の数を数えます。
　（a＞b　の部分だけ　升目の中にa-bの値 を書きます｡）
No.63119 - 2020/01/19(Sun) 08:21:22
☆ Re: 高校入試問題です / 健児
理解力がないのでもう少し詳しく教えてもらえませんか？　また、５の（４）も詳しくお願いします。
No.63120 - 2020/01/19(Sun) 09:05:40
☆ Re: 高校入試問題です / IT
４の（２）
　方程式を解くとどうなりましたか？

　６×６の表　とは、問題５に書いてあるような表のことです。
出来るところまでやって掲載してみてください。

　「場合の数」と書きましたが、この問題の場合は「升目の数」を数えればいいです。
　。
No.63123 - 2020/01/19(Sun) 09:32:48
☆ Re: 高校入試問題です / 健児
答えは、いくらなんですか？５の（４）もおねがいします。
No.63124 - 2020/01/19(Sun) 09:44:57
☆ Re: 高校入試問題です / ヨッシー
４(2)
まずは、方程式
　ax＋3＝−x＋b
を解きましょう。話はそれから。

４(3)

図は、6×6の表に、a×bの値を書いて、４の倍数に○を付けたものです。
この場合、「積が４の倍数になる確率」は
　12/36＝1/3
です。
同じように、a(a-b)/3 の値を書いて、自然数に○を付けましょう。

５(4)

図のＡの位置の数を求め、その前後（太線で囲った部分）を埋めましょう。
その上で、
　N(1,40)−N(1,39)、N(2,40)−N(2,39)、N(3,40)−N(3,39)、・・・
を調べていけば、法則とともに、ａで表した式が見つかるでしょう。
No.63125 - 2020/01/19(Sun) 09:45:39
☆ Re: 高校入試問題です / 健児
(a＋１）ｘ＝ｂ−３でｘ＝のしきをつくったのですが、答えの４分の１にならないのです。
No.63127 - 2020/01/19(Sun) 10:02:00
☆ Re: 高校入試問題です / IT
>答えの４分の１にならないのです.

どうやって求めて健児さんの答えはいくらになりましたか？
（正解は９／３６＝１／４で　その答えの４分の１で合っています。）

縦にa+1,(2〜7）,横にb-3,(-2〜3） を書いても良いかも知れません｡
(表）
No.63131 - 2020/01/19(Sun) 10:51:42
☆ Re: 高校入試問題です / 健児
すいませんでした。自然数とばかり思い込んでいました。
No.63144 - 2020/01/20(Mon) 00:53:06
★ (No Subject) / のぼる
すみません画像送れませんでした…
No.63115 - 2020/01/19(Sun) 00:59:00
☆ Re: / ヨッシー

(4) については、２次関数は関係ありません。
底辺はともに直線ＤＥ上にあり、高さは共通なので、
　ＡＢ：ＤＥ＝１：３
となれば良いことになります。
これは、点(2, 0) をＦとしたとき、
　ＣＦ：ＯＤ＝１：３
と同値です。
Ａ(2, 2)、Ｂ(t, 4/t)、Ｄ(s, 0) とすると、
　(s-t)：(t-2)＝4/t：(2−4/t)
これを整理して
　ｓ＝ｔ＋２
このとき
　ＣＦ＝ｔ−２、ＯＤ＝ｔ＋２
より
　3(t-2)＝t+2
ｔ＝４
Ｂ(4, 1)　･･･答え
No.63128 - 2020/01/19(Sun) 10:22:41
☆ Re: / X
横から失礼します。
>>ヨッシーさんへ
直線y=x(つまり直線OA)に関して曲線y=4/xは対称
ですので
点(1,4)
も答えとなるのでは？
No.63130 - 2020/01/19(Sun) 10:44:53
☆ Re: / ヨッシー
失礼しました。

グラフの対称性から、Ｂ(1, 4) も条件を満たす。

が必要ですね。
No.63132 - 2020/01/19(Sun) 12:49:36
★ (No Subject) / のぼる
すみません、この問題の(4)が分からないのですが途中式や解説をお願い致します。元々数学は得意な方なのですが二次関数は苦手で…どうかよろしくお願いします
No.63114 - 2020/01/19(Sun) 00:56:45
★ (No Subject) / ほう
すいません先程文字化けしてしまいましたので再び投稿させたいただきます。よろしくお願いします。
No.63112 - 2020/01/18(Sat) 23:18:15
★ 助けてください / あき
この中の問題のどれでもいいので、解ける方、回答を教えていただけませんか？
No.63109 - 2020/01/18(Sat) 20:26:22
☆ Re: 助けてください / IT
問題２の１　共役写像ｈが与えられているのですから定義に従って　計算して、「位相共役」であることを確認すればよいのでは？

問題２の２　不動点も容易に見つかるのでは？
No.63111 - 2020/01/18(Sat) 20:58:04
★ (No Subject) / ほう
大学数学について教えて欲しいです。

演算: 2つの実数(A1,A2)と(B1,B2)の和
(A1,A2)+(B1,B2)=(C1,C2)をつ
ぎのように定義する:

C2={x+y｜􏰇􏰇x∈A2,y∈B2}, C1=Q\C2
def def

(A1, A2) 􏰆 0, (B1, B2) 􏰆 0 の場合に積 (A1, A2) · (B1, B2) = (D1, D2) を次のよう
に定義する:

D2={xy􏰇􏰇｜x∈A2,y∈B2}, D1=Q\D2
def def

問、　上の演算が well-defined であり, Q の演算の拡張であ　　　
　　　ることを示せ.
No.63108 - 2020/01/18(Sat) 15:27:10
☆ Re: / IT
私のPCでは、文字化けしているのか判読不能です。

できるだけ画像を貼るか、機種依存文字（？）を避けて記載されると良いかと思います。
No.63110 - 2020/01/18(Sat) 20:33:06
★ (No Subject) / たけ
この問題の(x−a)^2を因数にもつってかいてあるんですけど、(x−a)ではないのですか？
No.63101 - 2020/01/17(Fri) 09:59:57
☆ Re: / らすかる
(a,f(a))を通る場合は(x-a)を因数に持ちますが
(a,f(a))で接する場合は(x-a)^2を因数に持ちます。
No.63103 - 2020/01/17(Fri) 10:31:58
★ 連立微分方程式の解き方 / かずき
連立微分方程式のf,g,f0,g0の条件を求める問題です。

文字式のために固有値や固有ベクトルが複雑になります。

どのようにして解けばいいのでしょうか？
教えていただけると助かります。

よろしくお願いいたします。
No.63098 - 2020/01/16(Thu) 21:27:09
★ マクロリーン問題 / みそ
マクロリーンについての問題がわかりません！この解答を教えてください！！(できれば途中式も教えてください。)
No.63096 - 2020/01/16(Thu) 14:39:16
★ 極限計算 / みそ
極限についての問題がわかりません！この解答を教えてください！！(できれば途中式も教えてください。)
ひとつ目と二つめの問題です。
No.63095 - 2020/01/16(Thu) 14:37:57
☆ Re: 極限計算 / X
一問目)
(与式)=lim[x→0]{(1+ax)^{(1/(ax)}}^a
=e^a
(∵)極限によるeの定義式による

二問目)
(与式)=lim[x→0](1-cosx)(1+cosx)/{xsinx(1+cosx)}
=lim[x→0]{1-(cosx)^2}/{xsinx(1+cosx)}
=lim[x→0]{(sinx)^2}/{xsinx(1+cosx)}
=lim[x→0]{(sinx)/x}{1/(1+cosx)}
=1/2
No.63097 - 2020/01/16(Thu) 17:53:09
☆ Re: 極限計算 / 関数電卓
３問目)
数値計算をしてみると 1/√e に収束するようで，それは
　(1−x^2/2)^(1/x^2)→1/√e (１問目)
と関わるようですが，私にはきちんと評価できません。
どなたか，私にも教えて下さい。
No.63099 - 2020/01/16(Thu) 22:39:24
☆ Re: 極限計算 / らすかる
3問目は
lim[x→0](cosx)^{1/(xsinx)}
=lim[x→0]{1-2(sin(x/2))^2}^{1/(xsinx)}
=lim[x→0]{1-2(sin(x/2))^2}^{1/(-2(sin(x/2))^2)・-2(sin(x/2))^2/(xsinx)}
=lim[x→0]{{1-2(sin(x/2))^2}^{1/(-2(sin(x/2))^2)}}^{-2(sin(x/2))^2/(xsinx)}
=lim[x→0]{{1-2(sin(x/2))^2}^{1/(-2(sin(x/2))^2)}}^{-2(sin(x/2))^2/(-2(x/2)^2)・(x/sinx)・(-1/2)}
=e^(-1/2)
=1/√e
No.63100 - 2020/01/17(Fri) 01:26:26
☆ Re: 極限計算 / 関数電卓
ふ〜む。示されてみると意外とアッサリ行くものですね。いつもながら脱帽です。私は，
　1−x^2/2＜cos(x)
からうまく評価できないかと，いろいろいじったのですが，行き詰まっていました。
No.63104 - 2020/01/17(Fri) 12:30:56
☆ Re: 極限計算 / IT
lim[x→0]log[(cosx)^{1/(xsinx)}]
=lim[x→0]{log(cosx)}/(xsinx)
ロピタルの定理により
=lim[x→0](-sinx/cosx)/(sinx+xcosx)
=lim[x→0]-1/{cosx+(x/sinx)(cosx)^2}
=-1/2　なので

lim[x→0](cosx)^{1/(xsinx)}＝e^(-1/2)
No.63105 - 2020/01/17(Fri) 22:21:50
☆ Re: 極限計算 / IT
x=0の近傍では cosx ＞0なので cosx=(1-(sinx)^2)^(1/2)

lim[x→0](cosx)^{1/(xsinx)}
=lim[x→0](1-(sinx)^2)^{1/(2xsinx)}
=lim[x→0](1-(sinx)^2)^{sinx/(2x(sinx)^2}
=lim[x→0][(1-(sinx)^2)^{1/(sinx)^2}]^(sinx/2x)
=(e^-1)^(1/2)
No.63106 - 2020/01/17(Fri) 22:51:55
☆ Re: 極限計算 / IT
(cosx)^(1/(xsinx))
=(cosx)^{((1-cosx)/(xsinx))/(1-cosx)}
={(cosx)^(1/(1-cosx))}^{(1-cosx)/(xsinx)}
=[{1-(1-cosx)}^(1/(1-cosx))]^{(1-cosx)/(xsinx)}

として問１、２の結果を使う.　
No.63107 - 2020/01/17(Fri) 23:25:10
★ (No Subject) / たけ
これの、ベクトルbとベクトルdの内積の解説がわかりません。
全くわからないので、必要な条件とかを記載出来ていないかもしれませんが教えて欲しいです
No.63086 - 2020/01/15(Wed) 18:51:07
☆ Re: / X
元の問題文などをアップしてください。
↑dの定義が分からないので、回答の
しようがありません。
No.63089 - 2020/01/15(Wed) 20:05:20
☆ Re: / たけ
全体はこのような感じです
No.63091 - 2020/01/15(Wed) 21:30:24
☆ Re: / ヨッシー
ＯＣ＝2＋√13、ＯＤ＝2 より
　ｄ＝{2/(2+√13)}ｃ
よって、
　ｂ・ｄ＝{2/(2+√13)}ｂ・ｃ
(1) で
　ｂ・ｃ＝4＋2√13
は求めているので、
　ｂ・ｄ＝{2/(2+√13)}(4＋2√13)＝４
となります。
No.63092 - 2020/01/15(Wed) 22:49:06
☆ Re: / たけ
ありがとうございます！
No.63102 - 2020/01/17(Fri) 10:00:34
★ 兄からの難題 / はな
こんばんは。よろしくお願いします。
兄からこれを解いてみ？と渡されましたが全くわかりません。
台形の面積を求めよとのことですが、どんな定理を使うのかわかりません。
お分かりになる方教えてください。。
No.63074 - 2020/01/14(Tue) 22:36:01
☆ Re: 兄からの難題 / ヨッシー
左端の20°と書かれている点はＥであるとします。（Ａが２つあるので）

∠ＯＣＦ＝30°に気付くと、
　∠ＤＣＯ＝∠ＣＤＯ＝40°
から、
　∠ＤＯＡ＝20°
より
　ＥＤ＝ＯＤ、ＧＥ＝ＧＢ
が言えます。

ここから先は、学年によりますが、三角関数はＯＫでしょうか？
また、答えはわかっているのでしょうか？
No.63076 - 2020/01/14(Tue) 23:11:27
☆ Re: 兄からの難題 / 兄からの難題
ヨッシーさん回答ありがとうございます！
三角関数okです！高校2年生です

答えはまだわかりません、、
No.63077 - 2020/01/14(Tue) 23:47:32
☆ Re: 兄からの難題 / ヨッシー

点ＤからＢＥに下ろした垂線の足をＨとします。
ＯＤ＝２ であり、∠ＤＥＨ＝∠ＤＯＨ＝20°より
　ＤＨ＝2sin20°、ＥＨ＝ＯＨ＝2cos20°
よって、
　△ＤＥＯ＝4sin20°cos20°
△ＤＥＯ∽△ＧＥＢ　であり、相似比は　ＥＯ：ＥＢ＝4cos20°：2＋4cos20°より
　△ＧＥＢ＝△ＤＥＯ×{(2＋4cos20°)/4cos20°}^2
　台形ＤＧＢＯ＝△ＧＥＢ−△ＤＥＯ
これを計算すると、
　台形ＤＧＢＯ＝4sin20°＋tan20°
となります。
No.63078 - 2020/01/15(Wed) 00:10:59
☆ Re: 兄からの難題 / IT
途中からの別計算

Ｄを通りＥＢに平行な直線で台形ＤＧＢＯを三角形と平行四辺形に分けて計算すると少し簡単かも知れませんね。

Ｄを通りＥＢに平行な直線がＧＢと交わる点をＩとすると
△ＧＤＩは二等辺三角形でＤＩ＝2、∠ＧＤＩ＝20°なので
ＤＩを底辺と考えたときの高さ＝tan20°
よって△ＧＤＩ＝tan20°

平行四辺形ＤＯＢＩ＝ＯＢ×ＤＨ＝４sin20°
(ひし形）

よって台形ＤＧＢＯ＝４sin20°+tan20°
No.63079 - 2020/01/15(Wed) 00:43:07
☆ Re: 兄からの難題 / ast
横からですが, (この問題は全く解いていませんが) wolfram alpha に 4*sin(20°)+tan(20°) をぶち込んでみたところ √3 になるっぽい (厳密一致か近似かは考えてない) のですが, 図形を切り貼りするなど適当に変形して √3 かどうか確認できる形になるでしょうか?
No.63080 - 2020/01/15(Wed) 05:05:55
☆ Re: 兄からの難題 / らすかる
CFはOBの垂直二等分線だからBC=OC=OBとなり
△OBCは正三角形、よって∠OCF=∠BCF=30°
∠FCD=70°から∠OCD=40°、∠BCG=100°なので
△OCDと△CGBは頂角100°底角40°斜辺の長さ2の
合同な二等辺三角形とわかる。
従ってOCとBGの交点をPとすると
△CGBと△OCDの共通部分が△PCGであることから
四角形OPGD=△PBCなので、(斜線の部分の面積)=△OBC=√3
No.63081 - 2020/01/15(Wed) 06:38:08
☆ Re: 兄からの難題 / IT
らすかるさんの二番煎じですが

Ｏから垂線を立てて長方形ＯＦＣＫを考えて　過不足を埋めていくと

(斜線の部分の面積)=長方形ＯＦＣＫ=√3　と言えますね。

△ＫＣＬ≡△ＦＢＭ
また、△ＯＬＤ≡△ＭＣＧなので台形ＯＰＧＤ＝台形ＭＣＬＰ

よって台形ＯＢＧＤ＝長方形ＯＦＣＫ＝√3
No.63084 - 2020/01/15(Wed) 07:46:41
☆ Re: 兄からの難題 / ヨッシー
結局こういうことですね。

No.63087 - 2020/01/15(Wed) 18:56:28
☆ Re: 兄からの難題 / IT
おっ！すごく分かり易いですね。

私の図でもＯＭを結んで平行四辺形ＯＭＧＤ＝平行四辺形ＯＭＣＬと考えた方が分かり易かったですね。

４sin20°+tan20°＝√3　というのも言えてるわけですね。
下記に式での証明があります。
https://brainly.in/question/107725
No.63088 - 2020/01/15(Wed) 19:07:49
☆ Re: 兄からの難題 / 兄からの難題
こんばんは！みなさんありがとうございます！！
めちゃくちゃよく理解できました！！！

兄にもドヤれました！
本当にありがとうございます！これからも勉強頑張ります！！
No.63090 - 2020/01/15(Wed) 21:24:54
☆ Re: 兄からの難題 / IT
４sin20°+tan20°＝√3　は図では
CF＝CM+MF＝√3
＝2GMsin20°+FBtan20°
＝2ODsin20°+tan20°
＝4sin20°+tan20°
などからも言えますね。
No.63093 - 2020/01/15(Wed) 22:49:25
★ 図形の問題(数学 ?T) / 専門受験
失礼します。よろしくお願い致します。
答えもなく、色々調べても全然見かけない問題で、困ってしまったのでこちらで質問させてください。
No.63071 - 2020/01/14(Tue) 19:58:05
☆ Re: 図形の問題(数学 ?T) / らすかる
長方形GHCFが長方形ABCDと相似なのでGH：GF=AB：AD=5：7
EG=GHだからEG：GF=5：7
よってEG=(5/12)EF=(5/12)AD=35/12
EB=EGなのでEB=35/12
No.63072 - 2020/01/14(Tue) 20:06:30
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