ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 極限の良難問 / 数学愛好家

高校数学の数学?V～基礎的な大学数学の範囲内で「極限」に関する難問を教えてください！
大学入試レベルを（多少）超えていても構いません。
もし出典等があれば、併せて教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

No.62987 - 2020/01/08(Wed) 02:15:17

☆ Re: 極限の良難問 / GandB

「数学　大学入試　極限の難問」
で検索すればいろいろ出てくるのでは。
　たとえば
　　https://gould2007.hatenadiary.org/entry/20071121/1195653864
　超難問だそうな。
　なお、そこの(2)の解説に出てくる

　　lim[n→∞]a[n] = α ⇒ lim[n→∞] (a[1] + a[2] + …… + a[n])/n = α

は高校数学スタイルの極限の定義では証明が難しいことで有名。というか数学者が書いた微積の参考書にはたいてい載っていると思う。証明がくどいほど丁寧なのは
　　イプシロン－デルタ（田島一郎共立出版）

No.62989 - 2020/01/08(Wed) 20:03:19

☆ Re: 極限の良難問 / IT

青空学園数学科の問題研究↓の微積 (東大、京大（特に特色や後期）,東工大などに難問が多いと思います。)
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/kakomon.htm

下記などは難問とまでは言えませんがやや難ですね。
（京大理系後期1993年第4問）
aは正の定数とする。不等式a^x≧axがすべての正の数xについて成り立つという。
このときaはどのようなものか。

No.62992 - 2020/01/08(Wed) 20:33:58

☆ Re: 極限の良難問 / 数学愛好家

お三方ともご回答ありがとうございます！
ご紹介いただいた問題にじっくり取り組んでみたいと思います。

No.63001 - 2020/01/10(Fri) 01:05:11

★ (No Subject) / アブドゥル

この問題では、軸で場合わけしてないのに、次レスの画像の問題では軸で場合わけしてるのはなんでですか？

前者ではaを定数としていて、後者のaは変数(定数とはいってないから)ですか？

No.62985 - 2020/01/08(Wed) 00:58:07

☆ Re: / アブドゥル

こちらです。

特定の定義域内で少なくとも一つ実数解をもつ条件を求めるという点では同じだと思うのですが。。

No.62986 - 2020/01/08(Wed) 00:59:16

☆ Re: / アブドゥル

すみません。後者でも軸で場合わけしてましたm(_ _)m

No.62997 - 2020/01/09(Thu) 19:14:56

☆ Re: / アブドゥル

すみません。後者でも軸で場合わけしてましたm(_ _)m
無かったことにしてくださいm(_ _)m

No.62998 - 2020/01/09(Thu) 19:15:45

★ (No Subject) / たけ

下線を引いたところのしきになる理由がわかりません。お願いします教えていただきたいです

No.62981 - 2020/01/07(Tue) 23:00:11

☆ Re: / らすかる

△BADにおいてsin∠BAD=BD/ABだからです。

# 直角三角形の直角でないある角の角度をθとすると
# sinθ=(θの対辺)/(斜辺)ですね。

No.62982 - 2020/01/07(Tue) 23:52:25

★ 展開したとき、項の係数を求める問題。 / YUKI

n：自然数ㅤk≦mとする

(１＋ｘ＋ｘ²＋ｘ³＋…＋ｘᵐ)ⁿを展開したとき、ｘ^kの係数を求めよ。

という問題です。

答えは (n+k-1)!/k!(n-1)! です。

ㅤ
しかし問題集の解説が分かりにくく、理解できず困っています。

詳しい方おられましたら、答えにたどり着くまでの過程をご教授いただけないでしょうか？

何卒よろしくお願いいたします。

No.62976 - 2020/01/07(Tue) 03:05:22

☆ Re: 展開したとき、項の係数を求める問題。 / ＩＴ

> ㅤ
> しかし問題集の解説が分かりにくく、理解できず困っています。
>
その解説がどんなものでどこまで分かってどこが分からないかわからないと、より分かり易い解説は無理かと思います。

（具体的なn,kで考えると分かってくる場合もあります。）

No.62978 - 2020/01/07(Tue) 18:02:14

☆ Re: 展開したとき、項の係数を求める問題。 / ＣＯＲＮＯ

>しかし問題集の解説が分かりにくく、
もしかして，解説に「重複組み合わせ」の語がありますか？

解説に「重複組み合わせ」の語があるか否かは置くとして，
YUKI さんは「重複組み合わせ」の問題は解いたことがありますか？

No.62980 - 2020/01/07(Tue) 18:14:15

☆ Re: 展開したとき、項の係数を求める問題。 / YUKI

ありがとうございます！もう一度自分で考えてみます。

No.62983 - 2020/01/08(Wed) 00:29:17

★ 大学数学　重積分 / ウィニー

次のDを図示し、重積分の値を求めよ。
(1) ∫ ∫D (x+y)^2 dxdy
(Dは(1,0)、(0,2)、(-3,-3)を頂点とする3角形の周及び内部)

(2) ∫ ∫D (x-y)cos(3x+5y) dxdy
(D={(x,y)|0≦3x+5y≦π,0≦x-y≦π})

(3) ∫ ∫D (x^2-y^2+2) dxdy
(D={(x,y)|(x^2+y^2)^2≦x^2-y^2,x≧0})

(4) ∫ ∫D √(x^2+y^2) dxdy
(D={(x,y)|-6x≦x^2+y^2≦9})

よろしくお願いいたします。

No.62975 - 2020/01/06(Mon) 23:03:08

☆ Re: 大学数学　重積分 / ウィニー

すみません、間違えて大学数学の質問を書いてしまいました。
無視していただいて構いません。

No.62977 - 2020/01/07(Tue) 12:53:07

★ (No Subject) / アブドゥル

この問題の(2)において、「点Oは直径をABとした円周上にある」と書いてあるのですがなぜですか？

No.62973 - 2020/01/06(Mon) 20:31:18

☆ Re: / ＣＯＲＮＯ

問題に
　　「∠ＡＯＢ＝９０°の直角三角形ＡＯＢが～」
とあるからです．
直径の上に立つ円周角は90°である，ということです．

No.62979 - 2020/01/07(Tue) 18:06:33

☆ Re: / アブドゥル

ありがとうございましたm(__)m

No.62984 - 2020/01/08(Wed) 00:54:59

★ 二項定理 / 耐水性

画像の問題の解き方を教えていただきたいです。
宜しくお願い致します。

No.62969 - 2020/01/06(Mon) 17:17:03

☆ Re: 二項定理 / X

(2)だけ解きますので参考にして(1)(3)はご自分でどうぞ。

(2)
二項定理により
(x^2-3y)^4=Σ[k=1～4](4Ck){(x^2)^k}(3y)^(4-k)
=Σ[k=1～4]{(4Ck)・3^(4-k)}{x^(2k)}y^(4-k)
∴(x^2)(y^3)の項についてxの指数に注目すると
2k=2
これより
k=1
よって求める係数は
(4C1)・3^(4-1)=4・3^3=108

No.62970 - 2020/01/06(Mon) 18:38:30

★ (No Subject) / アブドゥル

この問題の(2)の最初の等式が成り立つことを証明しました。あっていますか？(次レスに私の答案をのせます)

No.62957 - 2020/01/05(Sun) 21:02:52

☆ Re: / アブドゥル

こちらが私の証明です。このようなやり方はあっていますか？
(1枚目の画像の鉛筆で書き込まれた数字は答えです。)

ご回答よろしくお願いしますm(_ _)m

No.62958 - 2020/01/05(Sun) 21:04:02

☆ Re: / ヨッシー

x1＋x2＋・・・＋x10＝55,
y1＋y2＋・・・＋y10＝75
　・・・
x1y1＋x2y2＋・・・＝445
のときに限り、
　x1^2＋・・・＝10{sx^2＋(x~)^2}
が成り立つことを示せ
という問題ならそれで良いかもしれませんが、
一般に(どんな場合にも)
　x1^2＋・・・＝10{sx^2＋(x~)^2}
が成り立つことを示せ
という問題なので、分散の公式から導き出さないといけません。

No.62963 - 2020/01/06(Mon) 04:33:48

☆ Re: / アブドゥル

なるほど、よくわかりました。
丁寧に教えていただき感謝します。
ありがとうございましたm(_ _)m

No.62968 - 2020/01/06(Mon) 17:02:44

★ 確率について / aufchan

70%の確率でランダムに1を生成する機械が２台あると、
二つが同時に1を出す確率は何%になるでしょうか

0.7*0.7*100でいいのでしょうか。
またこれをn回続けた時、全体としての一致率の期待値はどうなるでしょうか。

No.62955 - 2020/01/05(Sun) 12:23:18

☆ Re: 確率について / らすかる

0.7*0.7*100でOKです。
一致率が「両方1または両方0」ならば
0.7*0.7*100+0.3*0.3*100=58(%)
です。

No.62956 - 2020/01/05(Sun) 16:39:01

☆ Re: 確率について / aufchan

> 0.7*0.7*100+0.3*0.3*100=58(%)
> です。

質問する前に確率論があまりよくわからなかったのでパソコンに5000回試させたところ本当にほぼ58%になってそのメモが残っていてびっくりしました。大変助かりました。ありがとうございました！

No.62966 - 2020/01/06(Mon) 13:10:39

★ 四角形の性質 / ぱー

四角形の対角線が等しいという情報から得られることってあるのでしょうか？台形になるのでしょうか。。？

宜しくお願い致します。

No.62952 - 2020/01/05(Sun) 04:39:23

☆ Re: 四角形の性質 / らすかる

2本の対角線の長さが等しい、という意味ならば
（一般には）少なくとも「台形」のような有名な名称のついた
四角形にはなりませんので、単に
「2本の対角線の長さが等しい四角形」
というだけだと思います。

No.62953 - 2020/01/05(Sun) 05:21:52

★ 高校入試問題です / 健児

どちらも（３）の問題の解き方がわかりません。ご指導ください。

No.62951 - 2020/01/05(Sun) 04:30:41

☆ Re: 高校入試問題です / ヨッシー

上の問題

図のように球Ｑに外接する正四面体（元の正四面体と３面を共有する）を
考えると、２つの正四面体の相似比（＝ＰとＱの半径比）から球の体積比を出すことが出来ます。

下の問題
ＢＣの中点をＭとし、△ＡＭＨと、球の関係を考えます。

図において、Ｉは、正四面体に内接する球の中心、ＯはＡＨの中点です。
Ｉから面ＡＢＣに下ろした垂線の長さは、ＩＨに等しいです。
Ｏから面ＡＢＣに下ろした垂線の長さはＡＩ：ＡＯから求められます。
すると、面ＡＢＣによって、球を切ったときの断面の半径ＰＡが出ます。
図の右のように、半径ＰＡの円と正三角形の共通部分が求める面積となります。
ただし、正三角形の１つの頂点は円周上にあり、そこから引いた中線は円の直径上にあるものとします。

No.62954 - 2020/01/05(Sun) 07:48:20

★ (No Subject) / アブドゥル

この問題の解説に疑問あります。

No.62946 - 2020/01/04(Sat) 23:32:20

☆ Re: / アブドゥル

赤線のところです。

「平面AMBと底面BCDが垂直であるから外接球の中心Oは平面AMB上にあり」

とありますが、

確かに点Oが平面AMB上にあれば、OHとMBは垂直に交わりますが、点Oが平面AMB上にないのにMBと垂直に交わる可能性があるような気がします。

解説のように「平面同士が垂直→点Oは平面AMB上にある」と言い切ってるのはなぜですか？

No.62947 - 2020/01/04(Sat) 23:37:13

☆ Re: / アブドゥル

図を書いてみました。明らかにおかしいですが、こういう可能性はないのですか？

No.62948 - 2020/01/04(Sat) 23:41:48

☆ Re: / ヨッシー

そういう可能性はありません。
２点Ｃ，Ｄから等距離にある点は、線分ＣＤの垂直二等分面、
すなわち平面ＡＭＢ上にあるためです。

ＣＰ＝ＤＰ　である点Ｐを取ると、
△ＣＭＰと△ＤＭＰにおいて、
　ＣＰ＝ＤＰ、ＣＭ＝ＤＭ、ＭＰは共通
より
　△ＣＭＰ≡△ＤＭＰ
となり、
　∠ＰＭＣ＝∠ＰＭＤ＝９０°
となるためです。

No.62949 - 2020/01/05(Sun) 01:29:45

☆ Re: / アブドゥル

納得できました。よく理解しました。
ありがとうございましたm(__)m

No.62950 - 2020/01/05(Sun) 02:47:39

★ 収束する無限級数のグラフを描く問題です。 / YUKI

このf(x)のグラフを描け。という問題です。

初項＝０ (cosx)^2＝0の場合と

初項≠０ (cosx)^2≠0を場合分けして描かなければならないのか

それとも初項＝０は考慮しなくてもいいのか、教えていただきたいです。

もし初項＝０ (cosx)^2＝0を考えるならπ/2と3π/2で不連続になりますが、そこがどちらにしてよいのかはっきり分かりません。