0<x<π/2のとき
∫[0,x]sin(nt)/sin(t)dt>x
の証明を教えて下さい。
nは自然数です。
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No.64113 - 2020/04/03(Fri) 16:13:51
| ☆ Re: 積分 / 関数電卓 | | | いま見たところなので自分ではやっていませんが，チェビシェフの多項式
sin(nx)＝sin(x)･Un(cos(x))
が鍵を握ると思います。やってみます。
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No.64114 - 2020/04/03(Fri) 19:44:35 |
| ☆ Re: 積分 / ヴィヴィアン | | | ありがとうございます。
nは2以上の自然数でお願いします。
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No.64115 - 2020/04/03(Fri) 20:48:49 |
| ☆ Re: 積分 / IT | | | 途中まで、（これで最後までいけるか分かりませんが）
{sin(nt)-sin((n-2)t)}/sin(t)=2cos((n-1)t) なので
nが奇数のとき
sin(nt)/sin(t)=2cos((n-1)t)+2cos((n-3)t)+...+2cos(2t)+(sin(t))/sin(t)
=2cos((n-1)t)+2cos((n-3)t)+...+2cos(2t)+1
よって∫[0,x]{cos((n-1)t)+cos((n-3)t)+...+cos(2t)}dt > 0 を示せばよい。
すなわち (sin(n-1)x)/(n-1)+(sin(n-3)x)/(n-3)...+sin2x/2 > 0 を示せばよい。
nが偶数のとき
sin(nt)/sin(t)=2cos((n-1)t)+2cos((n-3)t)+...+2cos(3t)+sin(2t)/sin(t)
＝2cos((n-1)t)+2cos((n-3)t)+...+2cos(3t)+2cos(t)
よって 2∫[t=0,x]{cos((n-1)t)+cos((n-3)t)+...+cos(3t)+cos(t)}dt ＞x を示せばよい。 ・・
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No.64116 - 2020/04/03(Fri) 22:40:09 |
| ☆ Re: 積分 / IT | | | 似た感じの問題が下記にありますが、私の上記の方法は、方向が逆でかえって難しくしているのかも知れません。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2020/20tohokuAO01a.htm
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No.64117 - 2020/04/03(Fri) 23:14:08 |
| ☆ Re: 積分 / IT | | | f[n](x)=∫[0,x]sin(nt)/sin(t)dt - x とおくと
f'[n](x)=sin(nx)/sin(x) - 1
0≦x≦π/2で考えたとき
f[n](x)が最小となるのは、両端か f'[n](x)=0 となるxである。
x=π/2とsin(nx)=sinxとなるxについてf[n](x)を調べればよい。 ・・・続きが出来てません。
・・・・
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No.64118 - 2020/04/03(Fri) 23:44:10 |
| ☆ Re: 積分 / 関数電卓 | | | 取りあえずいくつかの n について計算してみると，n＝4 が成り立たないような… ？！？
明日，ゆっくりやってみます。
![]() |
No.64119 - 2020/04/04(Sat) 00:19:47 |
| ☆ Re: 積分 / ヴィヴィアン | | | ありがとうございます。
nが奇数なら成り立つのですね。
不思議です。
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No.64121 - 2020/04/04(Sat) 00:32:28 |
| ☆ Re: 積分 / m | | | {n, ∫[0,π/2] sin(nt)/sin(t) dt}の数値計算のリスト。
{1, 1.5708}, {2, 2.}, {3, 1.5708}, {4, 1.33333},
{5, 1.5708}, {6, 1.73333}, {7, 1.5708}, {8, 1.44762},
{9, 1.5708}, {10, 1.66984},{11, 1.5708}, {12, 1.48802},
{13, 1.5708}, {14, 1.64187}, {15, 1.5708}, {16, 1.50854},
{17, 1.5708}, {18, 1.62618}, {19, 1.5708}, {20, 1.52092},
{21, 1.5708}, {22, 1.61616}, {23, 1.5708}, {24, 1.5292}
// π/2 = 1.5708
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No.64123 - 2020/04/04(Sat) 01:36:55 |
| ☆ Re: 積分 / IT | | | nが奇数のとき
f[n](x)＝∫[0,x]{cos((n-1)t)+cos((n-3)t)+...+cos(2t)}dt から
f[n](π/2)=0ですね。
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No.64129 - 2020/04/04(Sat) 07:48:13 |
| ☆ Re: 積分 / ヴィヴィアン | | | No.64130 - 2020/04/04(Sat) 10:21:06 |
| ☆ Re: 積分 / IT | | | ｎが偶数のとき
∫[t=0,π/2]{cos(t)+cos(3t)+cos(5t)+....+cos((n-3)t)+cos((n-1)t)}dt
＝1-1/3+1/5-.... →π／4（n→∞） ですので。
nが４の倍数のとき f(π/2)＜0、
nが４の倍数でない偶数のときf(π/2)＞0
は正しいそうですね。
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No.64131 - 2020/04/04(Sat) 14:46:28 |
| ☆ Re: 積分 / 関数電卓 | | | > 4の倍数でない偶数なら成り立つのでしょうか？
そのようですね。
n が偶数のとき，f[n](x)＝∫[0,x]sin(nt)/sin(t)dt−x として
f[2m](π/2)＝2[1−1/3＋1/5−…−(−1)^m･{1/(2m−1)}−π/4]
と，よく知られたライプニッツの級数とその収束先が現れます。当然ながら結びつきがあるのでしょうが，私にはこれ以上追跡できません。
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No.64132 - 2020/04/04(Sat) 14:54:58 |
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