恒等式の逆の確認について質問です。
整式x^100をx^2-1で割った余りを求めよ。
[解答]
x^100＝（x^2-1）Q(x)＋ａｘ＋ｂ……?@
?@にｘ＝−１，１を代入
１＝a+b
1=-a+b
よってa=0,ｂ＝１
求める余りは1
?@は恒等式でｘ＝−１、１を代入したから逆にa=0,ｂ＝１の
とき、?@が恒等式になるかを調べなくていいのですか。
実際にQ(x)がわからないので、?@の右辺が本当にx^100になるのかを調べるのはできないと思いました。
どの参考書も逆が成り立つのを書いていません。
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No.62786 - 2019/12/25(Wed) 02:12:02
| ☆ Re: 恒等式の逆の確認 / らすかる | | | x^100をx^2-1で割った商をQ(x)、余りをax+bとしたので
x^100=(x^2-1)Q(x)+ax+bは恒等式であり、
必ずこの式を満たすa,bがただ一組だけ存在します。
（x^100をx^2-1で割れば商と余りは必ず一つに決まるから）
そしてx=-1,1を代入したときにこの式が成り立つのは
a=0,b=1の場合のみですから、
x^100=(x^2-1)Q(x)+1は確実に恒等式になります。
# a=0,b=1以外のときはx=-1,1を代入して成り立ちませんので
# 恒等式ではありません。そして、x^100=(x^2-1)Q(x)+ax+bの
# 形の恒等式が必ず一つ存在しますので、a=0,b=1のときに
# 恒等式にならないとおかしいです。
ちなみに、Q(x)は簡単に求められます。
x^100=(x^100-x^98)+x^98
=(x^100-x^98)+(x^98-x^96)+x^96
=…
=(x^100-x^98)+(x^98-x^96)+(x^96-x^94)+…+(x^2-1)+1
=(x^2-1)(x^98+x^96+x^94+…+1)+1
ですから、Q(x)=x^98+x^96+x^94+…+1です。
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No.62787 - 2019/12/25(Wed) 04:23:03 |
| ☆ Re: 恒等式の逆の確認 / イブ | | | 必ずこの式を満たすa,bがただ一組だけ存在します。
（x^100をx^2-1で割れば商と余りは必ず一つに決まるから）
↑
なぜですか。
そしてx=-1,1を代入したときにこの式が成り立つのは
a=0,b=1の場合のみですから、
↑
なぜですか。
x^100=(x^2-1)Q(x)+1は確実に恒等式になります。
↑
なぜですか。
# a=0,b=1以外のときはx=-1,1を代入して成り立ちませんので
# 恒等式ではありません。
↑
なぜですか。
そして、x^100=(x^2-1)Q(x)+ax+bの
# 形の恒等式が必ず一つ存在しますので、a=0,b=1のときに
# 恒等式にならないとおかしいです。
↑
なぜですか。
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No.62789 - 2019/12/25(Wed) 10:05:01 |
| ☆ Re: 恒等式の逆の確認 / らすかる | | | > 必ずこの式を満たすa,bがただ一組だけ存在します。
> （x^100をx^2-1で割れば商と余りは必ず一つに決まるから）
> ↑
> なぜですか。
(自然数)÷(自然数)の商と余りが一意的に決まるのと同様、
多項式の除算の商と余りも一意的に決まるからです。
具体的にx^100=(x^2-1)Q(x)+ax+bの場合について書くと、
・まずQ(x)は98次式です。
なぜなら99次式以上だと(x^2-1)を掛けて101次式以上となり、
98次式未満だと100次式未満になるからです。
・98次の係数は(x^100の係数)÷(x^2の係数)なので1と決まります。
・Q(x)-x^98に関して同じことを考えれば97次の係数は0、96次の係数は1と決まります。
・同じことを2次の項まで繰り返せば、Q(x)とax+bはただ一通りに決まります。
(実際に除算を行った答えは上に書いた通りです。)
> そしてx=-1,1を代入したときにこの式が成り立つのは
> a=0,b=1の場合のみですから、
> ↑
> なぜですか。
代入すれば1=a+bかつ1=-a+bとなるからです。
> x^100=(x^2-1)Q(x)+1は確実に恒等式になります。
> ↑
> なぜですか。
その下のコメントで書いた理由からです。
> # a=0,b=1以外のときはx=-1,1を代入して成り立ちませんので
> # 恒等式ではありません。
> ↑
> なぜですか。
恒等式とは「xに何を代入しても成り立つ式」のことです。
例えば「x=1を代入して成り立たない式」は恒等式ではありません。
> そして、x^100=(x^2-1)Q(x)+ax+bの
> # 形の恒等式が必ず一つ存在しますので、a=0,b=1のときに
> # 恒等式にならないとおかしいです。
> ↑
> なぜですか。
もしa=0,b=1のときに恒等式にならないとすると、
・a=0,b=1で恒等式でない
・a=0,b=1以外では恒等式でない(x=-1,1のとき左辺と右辺が一致しないから)
により
「Q(x)がどんな式でa,bがどんな値であっても恒等式にならない」
という結論になってしまいますが、これは
・「x^100=(x^2-1)Q(x)+ax+bを満たすQ(x),a,bが存在する」すなわち
「多項式の除算は除数が0でない限り常に可能である」と矛盾するからです。
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No.62791 - 2019/12/25(Wed) 13:41:01 |
| ☆ Re: 恒等式の逆の確認 / イブ | | | らすかるさんの丁寧な説明でよくわかりました。
ちなみに、余りは
x^100-5（x^2-1）Q(x)は１次式だから
x^100-5（x^2-1）Q(x)=ax+b……?@とおくと、
?@の左辺はx^100-5（x^2-1）Q(x)は１次式、右辺も1次式だから
?@でxに2個以上の値を代入して成り立ったので、
?@はxについての恒等式と考えたましたがこれで正しいですか。
以下の私の解答のように考えてもいいですか。
[解答]
整式x^100をx^2-1で割った商をQ(x)とすると、余りは１次式だから
x^100-5（x^2-1）Q(x)は１次式となる。
余りをax+bとおくと
x^100-5（x^2-1）Q(x)=ax+b……?@
?@式は必ずｘについての恒等式になる。
?@にｘ＝−１，１を代入して
1＝a+b
1=-a+b
よってa=0,ｂ＝１
?@の左辺はx^100-5（x^2-1）Q(x)は１次式、右辺も1次式だから
?@でxに2個以上の値を代入して成り立ったので、
?@はxについての恒等式である。
よって、求める余りは1
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No.62826 - 2019/12/29(Sun) 16:33:31 |
| ☆ Re: 恒等式の逆の確認 / らすかる | | | x^100をx^2-1で割った商をQ(x)としたのなら、
x^100-(x^2-1)Q(x)は1次式となりますが
x^100-5(x^2-1)Q(x)は1次式にならないと思います。
この(x^2-1)の前にある「5」はどういう意味ですか？
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No.62829 - 2019/12/29(Sun) 17:37:35 |
| ☆ Re: 恒等式の逆の確認 / イブ | | | すみません。
x^100-5(x^2-1)Q(x)は間違いでした。
x^100-(x^2-1)Q(x)が正しいです。
以下の形で正しいですか。
[解答]
整式x^100をx^2-1で割った商をQ(x)とすると、余りは１次式だから
x^100-（x^2-1）Q(x)は１次式となる。
余りをax+bとおくと
x^100-（x^2-1）Q(x)=ax+b……?@
?@式は必ずｘについての恒等式になる。
?@にｘ＝−１，１を代入して
1＝a+b
1=-a+b
よってa=0,ｂ＝１
?@の左辺はx^100-（x^2-1）Q(x)は１次式、右辺も1次式だから
?@でxに2個以上の値を代入して成り立ったので、
?@はxについての恒等式である。
よって、求める余りは1
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No.62832 - 2019/12/29(Sun) 18:20:14 |
| ☆ Re: 恒等式の逆の確認 / らすかる | | | 間違いではないですが、以下の3行は不要です。
> ?@の左辺はx^100-（x^2-1）Q(x)は１次式、右辺も1次式だから
> ?@でxに2個以上の値を代入して成り立ったので、
> ?@はxについての恒等式である。
# ただし、間違いではありませんので、書いても減点はされないと思います。
上で「?@式は必ずｘについての恒等式になる。」と書いていますし、
最初から恒等式を立てているのですから、わざわざ断らなくても恒等式です。
「よってa=0,ｂ＝１」からただちに余りは1と確定します。
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No.62838 - 2019/12/29(Sun) 21:37:54 |
| ☆ Re: 恒等式の逆の確認 / イブ | | | 確かに３行は不要ですね。よくわかりました。
たくさん答えていただきありがとうございました。
勉強になりました。
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No.62841 - 2019/12/29(Sun) 21:54:50 |
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