こんにちは
a、ｂは実数のとき、a+bi=0⇔a＝b=0の証明で
以下ように考えましたが正しいですか。
a+bi=0⇒a＝b=0の証明
a+bi=0より a＝−bi
a^2＝ｂ^2×i^2
a^2＝−ｂ^2
a^2＋ｂ^2＝0
aとbは実数だからa=b=0
a＝b=0⇒a+bi=0の証明
a＝b=0よりa+bi=0+0i＝0
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No.62759 - 2019/12/23(Mon) 19:28:19
| ☆ Re: a+bi=0⇔a＝b=0の証明 / ルル | | | 追加して質問します。
「a、ｂは実数のとき、a+bi=0⇔a＝b=0」は定義と書いてある書物がありますが、これは本当に定義ですか。
それとも、私が「a+bi=0⇒a＝b=0の証明」「a＝b=0⇒a+bi=0の証明」と書いてように証明できたものなので、
定義ではなく定理のような感じがしますが、実際、「a、ｂは実数のとき、a+bi=0⇔a＝b=0」は定義と定理のどちらですか。
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No.62766 - 2019/12/23(Mon) 22:16:08 |
| ☆ Re: a+bi=0⇔a＝b=0の証明 / ＩＴ | | | 「複素関数論の要諦」堀川えいじ著 日本評論社では、
二つの実数a,b に対して,a+ibを複素数と呼ぶ.ここで,iは虚数単位と呼ばれる"新しい数"で,i^2＝-1を満たすものである.
・・・・（中略）
新しい対象を作ったときには,同じかたちの対象が二つあったとき,それらが同じであるとはどういうことか,を明確にすることがまず必要である(同等の定義)
・・・ a,b,a',b' が実数であるとき,
a+ib＝a'+ib' ⇔ a＝a',b＝b'
と定める.
・・・・
とくに,0は0+i0のことであるので,a+ib＝0はa＝b＝0 という意味になる.
とあります。
このように複素数が定義（構成）されているとすると、ルルさんの証明はおかしい(あるいは「無用な証明」）ということになると思います。
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No.62768 - 2019/12/24(Tue) 00:09:41 |
| ☆ Re: a+bi=0⇔a＝b=0の証明 / ルル | | | すみません。なぜ私の理解が不十分です。私の証明がなぜ「無用な証明」なのかわかりません。
その理由を教えてください。
FOCUS GOLD という参考書に、「a、ｂは実数のとき、a+bi=0⇔a＝b=0」の証明で、
「a+bi=0⇒a＝b=0の証明（ｂ≠0として背理法を利用）」「a＝b=0⇒a+bi=0の証明」が
書いてありました。
「定義は証明する必要がないもの。証明できないもの」と思っているのですが、
「a、ｂは実数のとき、a+bi=0⇔a＝b=0」は証明できてしまうので、定義ではなくて定理ではないですか？
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No.62769 - 2019/12/24(Tue) 01:06:36 |
| ☆ Re: a+bi=0⇔a＝b=0の証明 / ＩＴ | | | >このように複素数が定義（構成）されているとすると、ルルさんの証明はおかしい(あるいは「無用な証明」）ということになると思います。
「このように複素数が定義（構成）されているとすると、」という前提条件つきで 「無用な証明」と書きました。
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No.62770 - 2019/12/24(Tue) 01:10:55 |
| ☆ Re: a+bi=0⇔a＝b=0の証明 / ルル | | | まだ、わかっていないのですが、
Q1 「定義されたのだから証明の必要はない」ということですか？
Q2 「a、ｂは実数のとき、a+bi=0⇔a＝b=0」は定義と定理のどちらですか。
また、どのように定義か定理と判断したのですか。
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No.62771 - 2019/12/24(Tue) 01:40:33 |
| ☆ Re: a+bi=0⇔a＝b=0の証明 / ルル | | | 複素数の定義で以下のことを書いてあるものがありました。
複素数は実数aとbの対(a,b)であって、その相等、加法、乗法
が次のように定義されたものである。
1相等 (a,b)=(c,d)とはa=c,b=dが成り立つことである。
2加法 (a,b)+(c,d)＝(a+c,b+d)
3乗法 (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
Q３ 「１相等 2加法 3乗法」が先に書いてあるのですが、計算のしやすさを考ると、
「1加法 2乗法 3相等」と思うのですが、なぜ「１相等 2加法 3乗法」なのですか。
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No.62772 - 2019/12/24(Tue) 03:07:58 |
| ☆ Re: a+bi=0⇔a＝b=0の証明 / 黄桃 | | | Q1,Q2 について：
そもそも複素数をどのように定義したのか、ということがわからないと答えられない、ということです。
高校数学の教科書では、
x^2=-1 となる数は実数の範囲には存在しないけれども、そのような数を仮想的に考えてそれ（の１つ）をiとする、
というような書き方になっていると思います。
これは、あたかも、xの実数係数多項式と同じように計算し、ただ、i^2が出てきたら-1に置き換える、という約束をすれば、今までの多項式の計算と同じような数の体系ができ、しかもi^2=-1 ということになっている、といるわけです。
この定義では、a,b,c,d が実数であるとき、a+bi = c+di ⇔ a=c, b=d は証明しなければならない定理です。
**** 余談 ****
ただし、厳密には、i^2=-1 をいつ、どこで使うかによって、加減乗除の結果が変わらない、ということをいわないといけません。
つまり、例えば、(i+i^2)(1+i)の計算は、先にi^2=-1を代入して展開して、(i-1)(1+i)=-2 と計算できますが、
先に展開してからi^2=-1を代入して (i+i^2+i^2+i^3)=i-1-1-i=-2 と計算しても同じ、
ということを保証をしないと加減乗除の意味がありません。この保証を教科書は述べてませんが、以下のように考えればOKです：
x=1-√5 の時、x^3-2x+1 の値を求めよ、などという問題を解くときに、いきなりxに代入するのではなく、
xは、2次方程式 x^2-2x-4=0 の解であり、x^3-2x+1=(x^2-2x-4)(x+2)+6x+9 より、
求める値は 6x+9=6(1-√5)+9=15-6√5
と計算する方法があります。
これと同じで、x^2=-1 として計算する複素数とは、結局、xの実数係数多項式を(x^2+1)で割った余り、
で考えるのと同じで、どこでどうx^2=-1を代入しても、答はただ１つのxの1次式になり、これが複素数の演算に他ならないわけです。
なお、これでも厳密には、除法が入ると分数式になるので微妙なのですが、そこはスルーしてます。
**** 余談おしまい ****
これに対して、今までとは違う新しい数である a+bi に既に a と bi の和、bとiの積が定義されているのはおかしい（まだ新しい数同士の和や積が定義される前に和や積が使われている;教科書流の説明ならxに得体のしれない数iを本当に代入できるのか？）という批判があります。
そこで、このような批判に答えるためにITさんやご本人が述べているように(a,b)(2つの実数の組）に対して和や積を定義する流儀があります。
この流儀では2つの複素数(a,b),(c,d)が等しいことは a=c かつ b=d と定義しますので、定理ではありません。
Q3については、この３つを定義するだけなら、確かに順番はどうでもいいです。
ただし、相等を最後に定義するのであれば、（まだ等号が定義されていない状態における）加法や乗法の定義には=は使えませんので、加法は例えば、
2数(a,b),(c,d)の和 (a,b)+(c,d)は (a+c,b+d)で定義する
と=を使わずに書く必要があります。
そういうわけで、いずれの流儀で複素数をとらえるかによって、元の質問の答はかわります（教科書流なら、最初の証明でいいでしょうし、上記の流儀なら証明不要）。
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No.62802 - 2019/12/26(Thu) 08:57:00 |
| ☆ Re: a+bi=0⇔a＝b=0の証明 / ルル | | | 「いずれの流儀で複素数をとらえるかによって、元の質問の答はかわります（教科書流なら、最初の証明でいいでしょうし、上記の流儀なら証明不要）」
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納得しました！！
ありがとうございました。
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No.62815 - 2019/12/28(Sat) 18:31:02 |
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