ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ tanxの積分 / はむはむ

tanxの積分をしたのですが、おかしくなりました。
どこが間違っているか教えてください。
I（アイ）は、求める積分である?鍍anx dxをさします。

No.62580 - 2019/12/08(Sun) 13:32:11

☆ Re: tanxの積分 / らすかる

積分定数を忘れています。
最後の行は
I=-1+I+C　（Cは積分定数）
となりますので、何もおかしくありません。

# 同じ式の積分でも、積分の仕方によって
# 定数分異なる結果になることはよくあることです。
# 例えば、logx+C になったり log2x+C になったり、とか。

No.62581 - 2019/12/08(Sun) 13:38:03

☆ Re: tanxの積分 / はむはむ

ありがとうございます。
忘れてました．．．

No.62585 - 2019/12/08(Sun) 17:10:49

★ modじゃないんですかね… / 太郎次郎

(1)2018の2018乗の一の位を求めよ。
(2) (2018の2018乗)の2018乗の一の位を求めよ。
(3)2018の(2018の2018乗)乗の一の位を求めよ。

上の問題の(3)が解けません。

No.62575 - 2019/12/07(Sat) 18:45:39

☆ Re: modじゃないんですかね… / 太郎次郎

(1)2018^2018
(2)(2018^2018)^2018
(3)2018^2018^2018

いざ投稿してみたら見にくかったので、それぞれ、^を使って表しました。私は高校数学までの内容であれば全て習熟している(と思う)ので、多少難解な解法であっても提示してくださると幸いです。

No.62576 - 2019/12/07(Sat) 19:00:47

☆ Re: modじゃないんですかね… / らすかる

2018^(2018^2018)=2018^(2018^2・2018^2016)
=2018^{(2×1009)^2・2018^2016}
=2018^(4・1009^2・2018^2016)
=(2018^4)^(1009^2・2018^2016)
2018^4の一の位は8^4=4096の一の位と同じだから6
6×6=36から一の位が6の数字を何乗しても一の位は6
∴一の位は6

modを使うなら
2018≡2 (mod4)から
2018^2018≡2^2018≡0 (mod4)
よって2018^2018=4kと書ける。
2018^(2018^2018)≡8^(2018^2018)
=8^(4k)=(8^4)^k=4096^k≡6^k≡6 (mod10)
∴一の位は6

No.62577 - 2019/12/07(Sat) 19:10:26

☆ Re: modじゃないんですかね… / 太郎次郎

ありがとうございました。理解できました。思っていたよりも簡単な解法だったので良かったです。

No.62578 - 2019/12/07(Sat) 19:13:21

★ (No Subject) / アブドゥル

画像のような図が与えられており、「3秒後に点Pが頂点Bにある確率を答えよ」という問題を数え上げて解きました。

数え上げないやり方はどうすればいいですか？詳しく教えてくださいm(__)m

答えは7/27です。

No.62560 - 2019/12/06(Fri) 23:37:14

☆ Re: / ＩＴ

なんらか数え上げるしかないのでは？

数え易いのは、下記の方法かなと思います。

奇数秒後にＰはＢ，Ｄ，Ｅ,Ｇのいずれかにある。
Ｂ，Ｄ，Ｅにある確率は互いに等しい。

３秒後にＰがＧにあるのは
ＡからＧへの経路が６通りなので　確率は６／２７

３秒後にＰがＢ，Ｄ，Ｅのいずれかにある確率は
１-（６／２７）＝21/27

３秒後にＰがＢにある確率は　その1/3なので　7/27

No.62562 - 2019/12/07(Sat) 00:13:13

☆ Re: / らすかる

別解
Aから出発すると
1秒後は必ずBかDかE
2秒後はCかFかHに移る確率が2/3、Aに移る確率が1/3
3秒後は、CかFかHにいる場合は2/3の確率でBかDかEに移り、
Aにいる場合は必ず(確率1で)BかDかEに移る。
よって3秒後にBかDかEにいる確率は(2/3)(2/3)+(1/3)=7/9となり、
Bにいる確率はその1/3なので7/27

No.62564 - 2019/12/07(Sat) 00:20:52

☆ Re: / アブドゥル

皆さんありがとうございます。とても勉強になりました！
いろんなやり方で解けるように頑張ります。

No.62565 - 2019/12/07(Sat) 00:57:17

★ サイコロで勝つ確率 / haddy

はじめまして

確率の出し方について質問があります。
数学全然できなくて、解き方を教えていただけると助かります。

<問題>------------------------------------------------
サイコロを3つ同時に投げて出した目を競うゲームを行う
投げる順番は相手→自分の順で投げる

相手の出した目が10の時に自分が11以上出す確率を求めよ
サイコロの目の和の範囲は3<=x<=18とする
-------------------------------------------------------

No.62559 - 2019/12/06(Fri) 23:15:17

☆ Re: サイコロで勝つ確率 / らすかる

相手の出した目と自分が出す目は関係ありませんので、
単に「自分が11以上出す確率」と同じです。
そして
「和が3になる確率(全部1)」＝「和が18になる確率(全部6)」
「和が4になる確率(1,1,2)」＝「和が17になる確率(6,6,5)」
・・・
「和が10になる確率」＝「和が11になる確率」
なので、確率は1/2となります。

No.62561 - 2019/12/07(Sat) 00:13:09

★ 連立方程式の解の吟味 / AKIRA

こんばんは。連立方程式の解の吟味で質問があります。

１次のｘとｙの文字が入った2つの連立方程式の以下の問題の解答で
ｘ＝300、y=500の後に「求めたｘとｙは問題の答えとしてよい」（解の吟味）と書いてありますが、
（解答用紙に書かなくても）実際に確認A,確認B、確認Cのどれまで確認するべきですか。
よろしくお願いします。

＜問題＞
美術館の入場料で、子供5人と大人2人で合計2500円である。また、子供4人と大人3人で合計2700円である。
子供と大人の入場料を求めよ。

＜解答＞
子供と大人の入場料をそれぞれｘ円、ｙ円とする。
子供5人と大人2人で合計2500円より、5ｘ＋2ｙ＝2500
子供4人と大人3人で合計2700円より、4ｘ＋3ｙ＝2700
これらを解いて、x=300、y=500　　
求めたｘとｙは問題の答えとしてよい。
答え：子供300円、大人500円

[確認A]

連立方程式を解いて求めたｘとｙが、（解答用紙に書かなくてもいいが）以下のことを満たしている
を確認するだけ。

　　分数、小数、マイナスなど常識の範囲になっている。
　　または
　　問題文の条件（例えば問題文で「子供の料金は〇〇〇円以上」などと書いてあれば、ｘがそれを満たしているかなど）を

［確認B]

確認Aだけは不十分で、本当に子供5人と大人2人で合計2500円、子供4人と大人3人で合計2700円になることまで（解答用紙に書かなくてもいいが）確認する。

［確認C]

確認A、確認Bだけは不十分で、本当にｘ＝300、y=500になることまで（解答用紙に書かなくてもいいが）確認する。

No.62558 - 2019/12/06(Fri) 21:05:40

☆ Re: 連立方程式の解の吟味 / らすかる

一般的なことはわかりませんので私の個人的考えを書きます。
[確認A]：必須
[確認B]：必須ではないが時間が許す限り確認する
[確認C]：不要(確認Bまでやっていれば、これは時間の無駄使いです)

No.62563 - 2019/12/07(Sat) 00:16:40

☆ Re: 連立方程式の解の吟味 / AKIRA

解答する生徒は
[確認A]か[確認B]から「求めたｘとｙは問題の答えとしてよい」かもしれませんが、実際に教科書などを作った人は[確認A]［確認B]［確認C]のどれから「求めたｘとｙは問題の答えとしてよい」を意味しているのですか。

No.62566 - 2019/12/07(Sat) 09:56:47

☆ Re: 連立方程式の解の吟味 / らすかる

[確認A]だと思います。
[確認B]と[確認C]は単なる検算ですから解答の内容とは関係ありません。
（つまり100%の自信があれば[確認A]だけで十分ということです）

No.62567 - 2019/12/07(Sat) 12:23:58

☆ Re: 連立方程式の解の吟味 / AKIRA

解の吟味とは確認Aのように、「方程式で求めたｘ、ｙなどが問題の条件に当てはまるかだけを解釈すること」（式を立ててからｘ、ｙを求めるまでの解釈はいらない）ということですか。

No.62568 - 2019/12/07(Sat) 13:51:13

☆ Re: 連立方程式の解の吟味 / らすかる

この問題のように同値変形で解を導いた場合はそうですが、
途中に非同値変形がある場合は確認Bも解の吟味に含まれます。

No.62569 - 2019/12/07(Sat) 13:59:35

☆ Re: 連立方程式の解の吟味 / AKIRA

らすかるさんの説明で解の吟味がよくわかりました。
ありがとうございました。

No.62570 - 2019/12/07(Sat) 14:42:07

★ (1)の答えは 2*(2k+1)であっていますか？また、これはどのように示せばよいのですか？もしよければ(2)~も教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。 / 大学受験生

集合E={2,4,6,8,10,12...}
において、2以上の偶数を2以上の偶数の積に分解するとき、分解できない数を偶数世界の* 素数’ *
と表す。

(1)Eの素数’ はどのように表されるか。ただし必要ならば自然数kを用いてよい。

(2) 2012 の約数’ の個数を求めよ。
(ただし、約数’∈Eをみたす。)

(3)Eに、属する数で、素因数’分解が2通りできるもののうち7番目に大きい数を求めよ。

(4)Eに、属する数で、素因数’分解が3通り以上できる数はあるか。

No.62556 - 2019/12/06(Fri) 20:07:47

☆ Re: (1)の答えは 2*(2k+1)であっていますか？また、これはどのように示せばよいのですか？もしよければ(2)~も教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。 / らすかる

(1)
自然数kは(高校範囲では)1以上ですから、2*(2k+1)だと2が素数’にならず不適です。
2*(2k-1)とするべきですね。

(2)
2012=2^2×503で503は素数なので、約数’は2と2×503の2個です。

(3)
「2通り」は「ちょうど2通り」、「7番目に大きい」は「7番目に小さい」と
解釈します。
2^kの分解は2×2×…×2の1通りです。
(2^k)p（pは奇素数）の分解は
2×2×…×2×2pの1通りです。
(2^k)pq（p,qは奇素数でk≧2）という数は
2×2×…×2×2pq と 2×2×…×2×2p×2qの2通りに分解できます。
これはp=qの場合も同じです。
(2^k)pqr（p,q,rは奇素数）という数も同様に
p,q,rの分け方で決まりますから、k=2のとき4通り、k≧3のとき5通りです。
ただしp,q,rのうち二つが同じである場合は3通り/4通り、三つとも
同じである場合は2通り/3通りです。
以降奇素数が増えれば分解の仕方も増えていきます。
従って「素因数’分解がちょうど2通り」であるものは
(2^k)p^2（k≧2）, (2^k)pq（k≧2）, (2^2)p^3
これに該当する数は小さい順に
4*3*3=36=2×18=6×6
4*3*5=60=2×30=6×10
8*3*3=72=2×2×18=2×6×6
4*3*7=84=2×42=6×14
4*5*5=100=2×50=10×10
4*3*3*3=108=2×54=6×18
8*3*5=120=2×2×30=2×6×10
となりますので、7番目に小さい数は120です。

(4)
例えば(2^2)p^(2k-1)（pは奇素数）はk通りに分解できますので、何通りでもあり得ます。

# よく考えたつもりですが、全体的に考え落としがありそうで自信がありません。

No.62557 - 2019/12/06(Fri) 21:02:20

☆ Re: (1)の答えは 2*(2k+1)であっていますか？また、これはどのように示せばよいのですか？もしよければ(2)~も教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。 / 大学受験生

らすかるさん解答ありがとうございます。

(4)ですが、たしかに360などは 3通りに素因数分解できました。

素因数分解の一意性が成り立たないのは面白いですね

No.62586 - 2019/12/08(Sun) 20:41:29

★ (No Subject) / aiko

　
Dを半径1の円盤、Cをxy平面の原点を中心とする半径1の円周とする。Dが次の条件a b を満たしながらxyz平面を動くとき、Dが通過する部分の体積を求めよ。
a: Dの中心はCにある。
b: Dが乗っている平面は常にベクトル(0,1,0)と直行する。

という問題がわかりません！よろしくお願いします。

No.62541 - 2019/12/04(Wed) 17:18:33

☆ Re: / aiko

補足ですが、

何年度かはわかりませんが、多分東京工業大学の過去問です。

No.62542 - 2019/12/04(Wed) 17:19:53

☆ Re: / X

方針を。

条件から、問題の立体を
平面y=sinθ(-π/2≦θ≦π/2) (A)
で切った断面は
中心間の距離が2cosθ
である
半径1の円を２つ重ねてできる図形
となります。
後はこの図形の面積S(θ)を求め、
(図を書きましょう)
yについて
-1≦y≦1
の範囲でS(θ)を積分します。
積分の計算ですが、(A)より
dy=cosθdθ
(θ:-π/2→π/2)
となりますので、θについての
積分として計算できます。

注:
bからDが乗っている平面はzx平面に平行になります。

No.62544 - 2019/12/04(Wed) 18:35:58

★ 体積 / Ran

xyz空間において、次の6個の不等式で表される立体の体積を求めよ。
x≧0 y≧0 z≧0 x+y+z≦3 x+2z≦4 y-z≦1

多分積分するのかな……?と思いましたが求めかたが全然わかりません！よろしくお願いします。

No.62540 - 2019/12/04(Wed) 17:15:25

☆ Re: 体積 / らすかる

x≧0, y≧0, z≧0, x+y+z≦3 は
(0,0,0)(3,0,0)(0,3,0)(0,0,3)を4頂点とする
側面が直角二等辺三角形3個、底面が正三角形である正三角錐ですね。
これと他の2式との交わりを調べると
x+2z=4は(0,y,2)(2,y,1)を通りますので
(0,0,2)(0,1,2)(0,0,3)(2,0,1)を4頂点とする三角錐を削り取ることになり、
y-z=1は(x,1,0)(x,2,1)を通りますので
(0,1,0)(0,3,0)(0,2,1)(2,1,0)を4頂点とする三角錐を削り取ることになります。
削り取る二つの三角錐は互いに重なりませんので、求める体積は
(3×3×3-1×1×2-2×1×2)÷2÷3=7/2
となります。

# 積は(底面の底辺)×(底面の高さ)×(三角錐の高さ)で、
# 「÷2」は底面(三角形)の面積の÷2、「÷3」は三角錐の体積の÷3です。

No.62543 - 2019/12/04(Wed) 18:22:12

★ 高校入試問題 / ミー

この問題がわからなくて、てこずっています。
解き方を教えて下さい。

No.62536 - 2019/12/03(Tue) 20:24:28

☆ Re: 高校入試問題 / ヨッシー

(1) は△ＯＡＱの辺の比から、∠ＡＯＱ＝60°が得られるので、
　∠ＡＯＢ＝120°
です。
(2)
ＡＢの中点をＭとすると、ＯＭ＝ＭＣ＝10cm であり、
　ＡＢ：ＳＴ＝ＭＱ：ＣＱ＝３：２
およびＡＢ＝20√3 より　ＳＴ＝40√3/3(cm)
また、△ＱＰＯと△ＱＲＣは相似で、相似比は２：１
よって、ＣＲ＝25cm
以上より
　△ＲＳＴ＝40√3/3×25÷2＝500√3/3(cm^2)
(3)
光の当たらない側面を展開すると、半径10√29、中心角
　120°×20/10√29＝240/√29°
の扇形。よって求める面積は
　π(10√29)^2×(240/√29)/360＝2900π×(2/3√29)＝200√29π/3(cm^2)
（πは円周率）

No.62539 - 2019/12/04(Wed) 13:50:42

★ 指数の方程式 / ま

追加でこの方程式もお願い致します

No.62531 - 2019/12/03(Tue) 15:00:05

☆ Re: 指数の方程式 / ま

答えはr=0.25となります

No.62533 - 2019/12/03(Tue) 15:04:39

☆ Re: 指数の方程式 / らすかる

e^(-1.822r){0.223+0.223e^r+0.223e^(2r)+0.331e^(3r)}=1
0.223e^(-1.822r)+0.223e^(-0.822r)+0.223e^(0.178r)+0.331e^(1.178r)=1
f(r)=0.223e^(-1.822r)+0.223e^(-0.822r)+0.223e^(0.178r)+0.331e^(1.178r)とおくと
f'(r)=-0.406306e^(-1.822r)-0.183306e^(-0.822r)+0.039694e^(0.178r)+0.389918e^(1.178r)
f'(0)=-0.16
f(r)は下に凸でf(0)=1,f(1)≒1.5なので
0＜r＜1の範囲にr=0以外の解がある。
a[0]=1
a[n+1]=a[n]-{0.223e^(-1.822a[n])+0.223e^(-0.822a[n])+0.223e^(0.178a[n])+0.331e^(1.178a[n])-1}
　/{-0.406306e^(-1.822a[n])-0.183306e^(-0.822a[n])+0.039694e^(0.178a[n])+0.389918e^(1.178a[n])}
としてニュートン法で計算すると
a[1]=0.5926787635…
a[2]=0.3745976647…
a[3]=0.2787742875…
a[4]=0.2500774128…
a[5]=0.2469209086…
a[6]=0.2468816358…
a[7]=0.2468816298…
a[8]=0.2468816298…
従って与方程式の解はr≒0,0.2468816298

No.62535 - 2019/12/03(Tue) 19:08:17

★ 指数を含む方程式 / ま

この方程式の解き方を教えてください

No.62530 - 2019/12/03(Tue) 14:59:24

☆ Re: 指数を含む方程式 / ま

答えはr=1.79となります。

No.62532 - 2019/12/03(Tue) 15:04:05

☆ Re: 指数を含む方程式 / らすかる

1+r=(e^r-1)/r
r+r^2=e^r-1
e^r=r^2+r+1
f(x)=e^x-x^2-x-1とおくと
f'(x)=e^x-2x-1
f''(x)=e^x-2
f''(x)はx＜log2で負、x＞log2で正なので
f'(x)はx＜log2で減少、x＞log2で増加
f'(0)=0,f'(1)=e-3＜0,f'(2)=e^2-5＞0なので
αをf'(α)=0,1＜α＜2を満たす値とすると
f'(x)はx＜0で正、x=0で0、0＜x＜αで負、α＜xで正
よってf(x)はx＜0で増加、0＜x＜αで減少、α＜xで増加
f(0)=0、f(1)=e-3＜0,f(2)=e^2-7＞0なので
βをf(β)=0,1＜β＜2を満たす値とすると
f(x)はx＜0で負、x=0で0、0＜x＜βで負、β＜xで正
従ってf(x)=0の解はx=0,βの二つ
e^2≒7.4からf(2)≒0.4なのでβは2より少し小さい値
a[0]=2として
a[n+1]=a[n]-(e^a[n]-a[n]^2-a[n]-1)/(e^a[n]-2a[n]-1)
={(a[n]-1)e^a[n]-a[n]^2+1}/(e^a[n]-2a[n]-1)
によりニュートン法で計算すると
a[1]=1.8371507060
a[2]=1.7957938603
a[3]=1.7932909822
a[4]=1.7932821330
a[5]=1.7932821329
a[6]=1.7932821329
a[7]=1.7932821329
従ってf(x)=0の解はx≒0,1.7932821329なので
1+r=(e^r-1)/rの解はr≒1.7932821329

No.62534 - 2019/12/03(Tue) 18:46:22

☆ Re: 指数を含む方程式 / GandB

　解答を見たらなるほどだけど、ニュートン法に持ち込むまではけっこう大変ですな。おもしろかったです。

No.62547 - 2019/12/04(Wed) 20:56:53