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★ 過程の計算を知りたいです。 / rada
dy/dz
=(dy/dx)(dx/dz)
={(x-1)^(-1)}^(n+1)･1
=(-1)^(n+1)*(n+1)!/(x-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)*(n+1)!/(z-1)^(n+2)

よりdy/dz=(-1)^(n+1)*(n+1)!/(z-1)^(n+2)
の式のyにy={(x-1)^(-1)}^(n) (※x=z)を代入して整理したら

(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)と導けるでしょうか？

仮に導ける場合は導くまでの過程の計算をわかりやすく教えて下さい。
No.86572 - 2023/10/16(Mon) 14:09:19
☆ Re: 過程の計算を知りたいです。 / GandB
86542
と同じようにわけのわからん文章だな。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13626498.html
　マルチポスト先の回答者も困惑しているので

> (d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)と導けるでしょうか？

に対する落書きを書く。回答ではなく、落書きであるwww

　上の式の左辺は 1/(z-1) を (n+1)回微分したものであろう。つまり

　　( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)

である。この微分は 1/(z^2-1) を z = -1 の回りに 0 < |z+1| < 2 という条件でローラン展開するとき、普通の二項級数による方法ではなく、留数を利用して展開係数を求めるとき出てくる。たぶん、その '筋' からきたものだろうwwwwww

　　((z-1)^(-1) )^(1) = ((z-1)^(-1) )'　　 = -1(z-1)^(-2)
　　((z-1)^(-1) )^(2) = (-(z-1)^(-2) )'　　=　2(z-1)^(-3)
　　((z-1)^(-1) )^(3) = (2(z-1)^(-3) )'　　= -3!(z-1)^(-4)
　　((z-1)^(-1) )^(4) = (-3!(z-1)^(-4) )'　=　4!(z-1)^(-5)
　これくらいやれば、
　　( (z-1)^(-1) )^(n+1) = (-1)^(n+1)(n+1)!(z-1)^(-(n+2))
　　　　　　　　　　　　 = (-1)^(n+1)(n+1)!/(z-1)^(n+2)
が推定できる。
No.86575 - 2023/10/16(Mon) 18:33:48
☆ Re: 過程の計算を知りたいです。 / rada
ありがとうございます。
あのすいません。

(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)の左辺は1/(z-1) を (n+1)回微分したものであろう。
つまり、正しくは(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)ではなく、
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)
という事でしょうか？


また、
>>((z-1)^(-1) )^(1) = ((z-1)^(-1) )'　　 = -1(z-1)^(-2)
　　((z-1)^(-1) )^(2) = (-(z-1)^(-2) )'　　=　2(z-1)^(-3)
　　((z-1)^(-1) )^(3) = (2(z-1)^(-3) )'　　= -3!(z-1)^(-4)
　　((z-1)^(-1) )^(4) = (-3!(z-1)^(-4) )'　=　4!(z-1)^(-5)
　これくらいやれば、
　　( (z-1)^(-1) )^(n+1) = (-1)^(n+1)(n+1)!(z-1)^(-(n+2))
　　　　　　　　　　　　 = (-1)^(n+1)(n+1)!/(z-1)^(n+2)
が推定できる。


の部分は( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)の右辺に関しての話だと思いますが、私の質問と何の関係があるのでしょうか？
多分、何かしら勘違いな推定をされて書かれたのだと思っています。
No.86577 - 2023/10/16(Mon) 23:30:23
☆ Re: 過程の計算を知りたいです。 / GandB
> つまり、正しくは(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)ではなく、
> ( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)
> という事でしょうか？
　どっちでもよい。ただ、テキスト形式だとより誤解のない表記がいいのでは。

> ( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)
> の右辺に関しての話だと思いますが
　へ？
　左辺と右辺はまったく同じなのだが・・・
No.86579 - 2023/10/17(Tue) 00:47:32
☆ Re: 過程の計算を知りたいです。 / rada
GandB様、ありがとうございます。

頂いた画像の式に関してはf(z)=1/(z-1)の指数がn+1の時、
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)の右辺と左辺が当たり前ではありますが等しい事を表すために作って頂いた式だとわかりました。


あの申し訳ありません。
>>正しくは(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)ではなく、
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)
という事でしょうか？

について、
(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)の式と
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)の式が等しい事を証明していただけないでしょうか。
No.86588 - 2023/10/17(Tue) 12:44:55
☆ Re: 過程の計算を知りたいです。 / rada
編集です。

GandB様、ありがとうございます。

頂いた画像の式に関してはg(z)=1/(z-1)の指数がn+1の時、
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)の右辺と左辺が当たり前ではありますが等しい事を表すために作って頂いた式だとわかりました。


あの申し訳ありません。
>>正しくは(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)ではなく、
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)
という事でしょうか？

について、
(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)の式と
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)の式が等しい事を証明していただけないでしょうか。
No.86589 - 2023/10/17(Tue) 13:06:02
★ 直角三角形 / えっとうくん
なぜ直角三角形の斜辺の長さは3辺の中で必ず一番長いのか教えていただきたいです。
経緯:グラフ上の2点(a,b) (c,d)間の距離を求めるときに三平方の定理より
=√{(c-a)^2+(d-b)^2}
によりだせると学校で習いました。しかし位置関係によっては、3辺の大小関係は変化するのではないかとおもい疑問に思いました。学校の先生に聞いたところ直角三角形の斜辺がもっとも長くなる、そういうものなの！といわれてしまい、とてもモヤモヤします。
こういう経緯のため、三平方、三角関数はなるべく使わずにユークリット幾何学の公理を用いての証明をお願いします。
要求が多くてすみません。お願いします。
No.86568 - 2023/10/15(Sun) 14:06:32
☆ Re: 直角三角形 / IT
直角三角形の図を載せます。
No.86569 - 2023/10/15(Sun) 16:19:07
☆ Re: 直角三角形 / IT
Aを中心に半径bの円を描き、この円と直線ABとのB側の交点をDとする。
二等辺三角形ACDにおいて、0＜∠ACD＜直角　を使えば、
AC=AD＜ABが言えるのでは？
No.86570 - 2023/10/15(Sun) 16:25:40
☆ Re: 直角三角形 / 黄桃
三角形においては、
*大きい角に対する辺は長い
*(長い辺に対する角は大きい）
ということが言えます。
これより、直角三角形では直角が最大角ですから斜辺が一番長くなります。

この事実は、直観的には、三角形ABCの外接円を書き、中心をOとすれば、辺の長さABは∠AOBの大きさで決まり（逆に辺＝弦が決まれば対応する中心角の大きさも決まる）、中心角の大きさは0と180度の間で角が大きいほど弦も長いから、といえます。

ですが、念のため、以下の図で∠A>∠B を仮定してBC>ACを導いてみましょう。

x=(∠A+∠B)/2, y=(∠A-∠B)/2 とし、Aから∠BAD=y となるように直線を引き、線分BCとの交点をDとします。
仮定から∠A>∠Bなので、DはBC上（両端を含まず）にあります。
このとき、∠CAD=x です。
さらに、∠ADC=∠B+∠y=(∠A+∠B)/2=x だから三角形CADはAC=DCとなる二等辺三角形です。
したがって、CD=ACであり、DはBC上にあるから、BC=BD+DC>DC=ACとなります。
No.86571 - 2023/10/15(Sun) 17:46:17
★ 領域の体積 / 大西
p,q,r,sが0≦p,q,r,s≦1の範囲を自由に動くとき、点(p-q,q-r,r-s)が動きうる領域の体積を求めよ。という問題が分かりません。

点(p-q,q-r)が動きうる領域の面積は1辺の長さが1の正方形の中心が、(-1/2,1/2)から(1/2,-1/2)の線分を動くときの正方形の周とその内部が通過する部分の図形なので、3だと思うのですが、立体になると分からないです。教えてください。
No.86564 - 2023/10/14(Sat) 01:12:45
☆ Re: 領域の体積 / らすかる
z=0つまりr-s=0のとき→0≦r≦1
q=1ならば-1≦p-q≦0,0≦q-r≦1の正方形
q=1/2ならば-1/2≦p-q≦1/2,-1/2≦q-r≦1/2の正方形
q=0ならば0≦p-q≦1,-1≦q-r≦0の正方形
のようになり面積は3（これは(p-q,q-r)の場合と同じ）
z=1/2つまりr-s=1/2のとき→1/2≦r≦1
q=1ならば-1≦p-q≦0,0≦q-r≦1/2の長方形
q=1/2ならば-1/2≦p-q≦1/2,-1/2≦q-r≦0の長方形
q=0ならば0≦p-q≦1,-1≦q-r≦-1/2の長方形
のようになり面積は2
（z=0のときの正方形の上半分がなくなった形）
z=1つまりr-s=1のとき→r=1
q=1ならば-1≦p-q≦0,q-r=0の線分
q=1/2ならば-1/2≦p-q≦1/2,q-r=-1/2の線分
q=0ならば0≦p-q≦1,q-r=-1の線分
のようになり面積は1
よってz=0〜1で面積は3〜1に直線的に変化するので、z≧0の体積は2
対称性からz≦0の体積はz≧0の体積と同じなので、求める体積は4
No.86566 - 2023/10/14(Sat) 07:55:36
☆ Re: 領域の体積 / 大西
Xさんご返信ありがとうございます。
らすかるさんご回答ありがとうございます。

z=tで切って、2次元の時と同じように考えれば良いのですね。
zに具体的な値を代入すれば立体もイメージすることができますね。
ありがとうございました。

3次元のグラフを描くソフトがあればもう少し立体をイメージすることができそうですね。
No.86567 - 2023/10/14(Sat) 08:39:25
★ 数列について。 / りーちむ
(2)からが分かりません💦
No.86561 - 2023/10/13(Fri) 20:55:35
☆ Re: 数列について。 / りーちむ
高2の数列です！
No.86562 - 2023/10/13(Fri) 20:56:17
☆ Re: 数列について。 / ヨッシー
５ａ＋１０ｄ＝２５　より
　ａ＋２ｄ＝５
　a[3]＝25÷5＝5, a[1]＋a[3]＋a[5]＝3a[3]＝15

(1)
　a[3]＋a[4]＋a[5]＋a[6]＋a[7]＋a[8]＝6a[3]＋15d＝０
　a[3]＝5 より　ｄ＝−２
　ａ＝a[3]−２ｄ＝９

(2)
　(左辺)＝(5-2d)^2＋(5-d)^2＋5^2＋(5+d)^2＋(5+2d)^2
　　＝10d^2＋125＝175
　ｄ＝±√5

この次、何行か欠けているようですが、
　a[1]a[2]a[3]a[4]a[5]＝5(5-2d)(5+2d)(5-d)(5+d)
　　＝5(25−4d^2)(5−d^2)
　から積を求める問題かと思います。

(3)
ａ＋２ｄ＝５　と　ａ＋ｄ＝３　から
　ａ＝１、ｄ＝２

1/a[k]a[k+1]＝1/{a+(k-1)d}(a+kd)
　＝(1/d)[1/{a+(k-1)d}−/(a+kd)]
であるので、
　Σ[k=1〜99]1/a[k]a[k+1]＝(1/d)[{1/a−1/(a+d)}＋{1/(a+d)−1/(a+2d)}＋・・・＋{1/(a+98d)−1/(a+99d)}]
　　＝(1/d){1/a−1/(a+99d)}
これに　ａ＝１、ｄ＝２　を代入すると
　(1/2)(1−1/199)＝99/199
No.86563 - 2023/10/13(Fri) 22:43:50
★ 高校１年生の範囲 / 金ちゃん
ファイルの問題の（１）は解けたのですが（２）以下が分かりません。解答は添付しておきました。（１）は相似で解けたので中学生から高校１年生の範囲内で解けるはずなんですが。宜しければお助けを。
No.86557 - 2023/10/09(Mon) 12:56:29
☆ Re: 高校１年生の範囲 / ヨッシー
(1)
方べきの定理より
　ＰＢ・ＰＡ＝ＰＣ・ＰＤ
ＰＣ＝ｘ とすると、
　４・６＝ｘ(ｘ＋５)
　ｘ^2＋５ｘ−２４＝０
これを解いて
　ｘ＝３，−８
よって、
　ＰＣ＝３

(2)
チェバの定理より
　(ＡＳ/ＳＤ)(ＤＣ/ＣＰ)(ＰＢ/ＢＡ)＝１
　ＡＳ/ＳＤ＝(ＣＰ/ＤＣ)(ＢＡ/ＰＢ)＝(3/5)(2/4)＝3/10
よって
　ＡＳ：ＳＤ＝３：１０

(3)
メネラウスの定理より
　(ＰＱ/ＱＳ)(ＳＡ/ＡＤ)(ＤＣ/ＣＰ)＝１
　ＰＱ/ＱＳ＝(ＡＤ/ＳＡ)(ＣＰ/ＤＣ)＝(13/3)(3/5)＝13/5
よって
　ＰＱ：ＱＳ＝１３：５

(4)
△ＡＰＤにおける余弦定理からでも出来ますが、ここでは２次方程式で。
　ＰＧ＝ｘ　とすると　ＧＤ＝８−ｘ
ＡＧ^2 を△ＡＰＧ、△ＡＤＧ における三平方の定理で表すと、
　ＡＧ^2＝36−ｘ^2
　ＡＧ^2＝76−(８−ｘ)^2
よって
　36−ｘ^2＝76−(８−ｘ)^2
　36−ｘ^2＝12＋16x−ｘ^2
　２４＝１６ｘ
　ｘ＝3/2
よって、
　PG=3/2

(5)
(4)の結果より
　cos∠ＡＰＤ＝ＰＧ/ＡＰ＝1/4
△ＡＰＣにおける余弦定理より
　ＡＣ^2＝ＡＰ^2＋ＰＣ^2−２ＡＰ・ＰＣcos∠ＡＰＤ
　　＝36＋9−2・6・3・(1/4)
　　＝36＋9−9＝36
よって、
　ＡＣ＝６

(6)
　sin∠ＡＰＤ＝√(1−1/16)＝√15/4
よって
　△ＡＰＤ＝(1/2)ＡＰ・ＰＤsin∠ＡＰＤ＝(1/2)・６・８・√15/4
　　　＝6√15
また
　△ＡＰＤ＝(1/2)ＡＰ・ＡＤsin∠ＰＡＤ
より
　sin∠ＰＡＤ＝２△ＡＰＤ/(ＡＰ・ＡＤ)
　　＝12√15/6√76＝2√15/√76
よって
　cos∠ＰＡＤ＝√(1−60/76)＝√(4/19)
△ＡＢＤにおける余弦定理より
　ＢＤ^2＝ＡＢ^2＋ＡＤ^2−２ＡＢ・ＡＤcos∠ＰＡＤ
　　＝4＋76−2・2・√76・√(4/19)
　　＝4＋76−16＝６４
よって、
　ＢＤ＝８

解答にＢＣ＝８　とあるのは、ＢＤ＝８　の誤りですね。
頑張れ、先生。
No.86558 - 2023/10/09(Mon) 22:06:52
☆ Re: 高校１年生の範囲 / 金ちゃん
どうもありがとうございました。私は「先生」と呼ばれるほどの者ではないですよ(笑)。
No.86559 - 2023/10/12(Thu) 12:45:24
☆ Re: 高校１年生の範囲 / IT
横から失礼します。
ヨッシーさんの＞頑張れ、先生。
は、解答を間違えた　金ちゃんの先生への"カツ"と読むのが自然だと思います。
No.86560 - 2023/10/12(Thu) 13:37:21
★ 微分について / みや
中高一貫校の中3です。
y＝x（Ｘ＋１）（Ｘ＋２）の微分はなぜ分解不可なのでしょうか？必ず展開してから求めなければならないと言われました。理解が不十分なのでよろしくお願いします。
No.86554 - 2023/10/08(Sun) 20:41:39
☆ Re: 微分について / らすかる
「分解」の意味が何のことを指しているのかよくわかりませんが、
{f(x)g(x)h(x)}'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)
ですから、先に展開しなくても微分は求められます。
「必ず展開してから求めなければならない」というのは、上記のような公式を学習していないから、などの理由ではないでしょうか。
No.86555 - 2023/10/08(Sun) 20:46:04
★ 最小二乗法に関する証明 / りん
この問題の(1)のαまではまとめられましたが、それ以降がどうしても求まりません。
どうぞよろしくお願いいたします。
No.86545 - 2023/10/07(Sat) 12:31:48
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / りん
αを求めた自分の解答です。
No.86546 - 2023/10/07(Sat) 12:32:46
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / りん
(2)の途中でわからなくなった部分です。
No.86547 - 2023/10/07(Sat) 12:36:30
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / X
まず、αを求めている計算ですが、添付写真2枚目の
＞＞○1、○2から
(○1、○2はそれぞれ、○の中に1、○の中に2の意味です。)
の行から3行下の行で両辺を
X[t]-1
で割っている計算が誤りです。
(Σの外にX[t]-1を係数として出すことはできませんので。)

ちなみに○3を導く計算ですが、○2を使わなくても
○1の両辺をnで割って整理すれば求められます。
(ということで、○3を○1に代入することは全く意味がありません。)


次にβの計算ですが、○3に○2を代入した上で
条件である
x[t]=X[t]-X_
y[t]=Y[t]-Y_
(X_,Y_はそれぞれX,Yの上にバーの意味です)
から
Σ[t=1〜n]x[t]=0
Σ[t=1〜n]y[t]=0
となることを使い、整理をします。
No.86550 - 2023/10/07(Sat) 14:25:35
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / X
最後に(2)について。

添付写真３枚目の４行目に
Σ[t=1〜n]x[t]=0
Σ[t=1〜n]y[t]=0
であることを使います。
No.86551 - 2023/10/07(Sat) 14:31:05
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / りん
(1)ベータについてです。
ここまで式変形できたのですが、どのように
Σ[t=1〜n]x[t]=0
Σ[t=1〜n]y[t]=0
を組み込んでゆくのか、わかりません。
お忙しいところ大変恐縮ですが、解説いただけませんでしょうか。
No.86552 - 2023/10/07(Sat) 15:59:25
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / X
添付写真の最終行の左辺から、更にX[t]を消去すると
Σ[t=1〜n](x[t]+X_)(βx[t]-y[t])=0
これより
Σ[t=1〜n]{βx[t]^2+βx[t]X_-x[t]y[t]-y[t]X_}=0 (A)
ここで
Σ[t=1〜n]x[t]=0
Σ[t=1〜n]y[t]=0
により、(A)の左辺のΣの中の第2項,第4項が消えて
Σ[t=1〜n]{βx[t]^2-x[t]y[t]}=0
∴β=(Σ[t=1〜n]x[t]y[t])/Σ[t=1〜n]x[t]^2
No.86553 - 2023/10/07(Sat) 21:42:08
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / りん
お忙しいところ、ありがとうございました。理解できました。本当にありがとうございます。
No.86556 - 2023/10/08(Sun) 23:17:22
★ テイラー展開についての質問です。 / rada
テイラー展開において疑問があります。

画像の赤い下線部の式はz=0の周りでz=0.001としてテイラー展開してf(0.001)の時の値を導いているのですが、
仮にz=0.001の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(0.001)の値はどうなるのでしょうか？...?@
また、
出来れば、z=1の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(0.001)の値はどうなるのでしょうか？...?A

この2点について、
どうか、画像にある赤い下線部の式(z=0の周りでz=0.001としてテイラー展開した式)からf(0.001)の値を導くまでの過程の計算のように?@,?Aにおいて、f(0.001)の値を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。


ちなみに、?Aに関しては、
ある方から
「f(z)=1/(z^2-1)
でz=1を基準に展開すると
z=1、Δz=-0.999 なら
f(0.001)=f(1-0.999)=f(1)+Σa_n(-0.999)^n
a_n=fのz=1でのn階微分係数/n!
ですか、f(1)やa_1が計算出来ないのは明白ですよね。」
と言われたのですが、これはf(1)やa_1に関してはテイラー展開に含まれる f(a), f’(a), f’’(a)を求めるために使ったf(a)=1/(a^2-1)の分母が0になり数式として成り立たないためf(1)やa_1の時は計算が出来ないという事でしょうか？

仮にそうならば、z=2の周りでz=0.001とした場合はf(0.001)の値が求められるわけでしょうか？...?B

もし求まるなら?Bにおいて、f(0.001)の値を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。
No.86542 - 2023/10/05(Thu) 16:10:27
☆ Re: テイラー展開についての質問です。 / rada
z=2の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合で考えた際にネットから

「z=2を基準にテーラー展開してf(2-1.999)
=f(2)+?蚤_n(-1.999)^n
で求めるという話なら無理。

収束半径内に特異点は存在出来ません。」

と出てきましたが、なぜ無理なのでしょうか？
また、テイラー展開に特異点は関係あるのでしょうか？

「収束半径内に特異点は存在出来ません」と書かれた理由がいまいちわかりません。
どうか理由を教えて頂きたいです。
No.86543 - 2023/10/05(Thu) 18:02:04
☆ Re: テイラー展開についての質問です。 / ポテトフライ
もう何が何やら訳がわからない。


> 赤い下線部の式はz=0の周りでz=0.001として
前者のzと後者ので記号が混同しています。

そもそもaを中心としたテイラー展開の一般的式がどう記述できるかわかっていますか？
f(a+h)=…

収束半径とかの話はそれから考える方が良さそうです。
No.86544 - 2023/10/07(Sat) 12:29:53
★ 微分 / fff
x = a+ b*c
y = a-b
のとき、dx/dyを求めることはできますか？
No.86538 - 2023/10/04(Wed) 03:11:41
☆ Re: 微分 / WIZ
a, b, cがどのような定義かが分からないのですが、
例えば同一の1つのパラメタを用いて、a = a(t), b = b(t), c = c(t)と表せるのなら、
dx/dy = (dx/dt)/(dy/dt) = {da/dt+(db/dt)c+b(dc/dt)}/{da/dt-db/dt}となります。
No.86539 - 2023/10/04(Wed) 11:42:55
☆ Re: 微分 / fff
> a, b, cがどのような定義かが分からないのですが、
> 例えば同一の1つのパラメタを用いて、a = a(t), b = b(t), c = c(t)と表せるのなら、
> dx/dy = (dx/dt)/(dy/dt) = {da/dt+(db/dt)c+b(dc/dt)}/{da/dt-db/dt}となります。　

ご返信ありがとうございます。　勉強になります。
こちらの展開された式（da/dt+...の式）は名前のある公式などがありますか？
No.86540 - 2023/10/04(Wed) 14:17:26
☆ Re: 微分 / WIZ
「合成関数の微分」や「関数の積の微分」を計算に使用していますが、
全体として特に名前の付いた公式ではないと思います。

あと、もう一度言っておきますが、あくまで「a = a(t), b = b(t), c = c(t)」であり、
先程は書きませんでしたが「x = x(t), y = y(t)」と全て同一のパラメタtの1変数関数の場合の例に過ぎません。

a, b, cの依存関係などが異なる場合、私の示した式が必ずしも適切とは言えない場合があるかも知れません。
No.86541 - 2023/10/04(Wed) 16:01:02
★ 追加で失礼いたします… / ふゆ＠中3生
追加での質問です。
何度も何度もすみません。。。

【問】
A=-3x-4y+3,B=5x+3y-1,C=-x-y+3のとき、
3B-5A-2{2C-2(A-B)}の値を求めよ。

解答は、2x+5y-12になっているのですが、何回やってもこの答えにならず……私の計算の仕方が悪いのだとは思いますが…。

こちらも説明していただけるとありがたいですが、無理しなくて大丈夫です。
よろしければ、お願い致します。
No.86531 - 2023/10/03(Tue) 17:55:44
☆ Re: 追加で失礼いたします… / X
値を求める式はできるだけ簡単にしてから、代入をします。

(与式)=3B-5A-4C+4(A-B)
=-B-A-4C
=-(A+B+4C)
=-(2x-y+2-4x-4y+12)
=-(-2x-5y+14)
=2x+5y-14

解答と違いますね。
問題文か、解答のタイプミスはありませんか。
No.86532 - 2023/10/03(Tue) 18:11:56
☆ Re: 追加で失礼いたします… / ふゆ＠中3生
私も、2x+5y-14になるんですけど……
解答が間違っているのでしょうか？(こんなことってありますか？？？)
No.86533 - 2023/10/03(Tue) 18:51:01
☆ Re: 追加で失礼いたします… / ast
> A=-3x-4y+3,B=5x+3y-1,C=-x-y+3のとき、
が例えば
　A=-3x-4y+1,B=5x+3y-1,C=-x-y+3のとき、
や
　A=-3x-4y+3,B=5x+3y-3,C=-x-y+3のとき、
などであれば 2x+5y-12 になるはず.
# A,B,C の定数項をそれぞれ a,b,c とすれば, 求める式の定数項は 3b-5a-2(2c-2(a-b)) (=-(a+b+4c)).

> (こんなことってありますか？？？)
めったにないので質の悪い問題集にでもあたったのでしょう. が, 逆に言えば稀にありますから驚く話でもないと思います.
No.86535 - 2023/10/03(Tue) 19:12:46
☆ Re: 追加で失礼いたします… / ふゆ＠中3生
> > (こんなことってありますか？？？)
> めったにないので質の悪い問題集にでもあたったのでしょう. が, 逆に言えば稀にありますから驚く話でもないと思います.

そうなんですか。
今までこういう問題集を見たことがなかったので、驚きました。次回からは驚かなくなると思いますが。。。
そうですね、わざわざ返事をしてくださってありがとうございます。
No.86537 - 2023/10/03(Tue) 20:29:17
★ 式の計算 / ふゆ＠中3生
何度も質問、すみません💦
本当に初歩的な質問で申し訳ないのですが、教えてくださるとありがたいですm(_ _)m

例えば、(8)の()の中に、a²とb³があって、それを2乗するって書いてあるじゃないですか。
これって、a²だったら、a⁴、b³だったら、b⁵という解釈でいいのでしょうか？

多分、習っているとは思うのですが、どうしても思い出せなくて……本当に申し訳ありません、よろしくお願い致します。
No.86527 - 2023/10/03(Tue) 17:33:57
☆ Re: 式の計算 / ヨッシー
係数は省略すると、
　(ａ^2ｂ^3)^2＝(ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ)^2
　　＝(ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ)×(ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ)
　　＝ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ×ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ
です。
ａがいくつで、ｂがいくつですか？
No.86528 - 2023/10/03(Tue) 17:47:26
☆ Re: 式の計算 / ふゆ＠中3生
> 係数は省略すると、
> 　(ａ^2ｂ^3)^2＝(ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ)^2
> 　　＝(ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ)×(ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ)
> 　　＝ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ×ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ
> です。
> ａがいくつで、ｂがいくつですか？

式の計算？なので、具体的な数字はないです。
ですが、考え方はわかりました！
ありがとうございます！
単純な計算ではないのですね…汗
全く違う計算の仕方をしていました。
No.86530 - 2023/10/03(Tue) 17:54:13
☆ Re: 式の計算 / ast
> > ａがいくつで、ｂがいくつですか？
> 式の計算？なので、具体的な数字はないです。

> 　　＝ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ×ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ
のなかに a が何個 b が何個掛け合わされているか数えるように言われた返答がそれというのはおかしくないですか?

> 単純な計算ではないのですね…汗
x^m×x^n=x^(m+n) や (x^m)^n=x^(m×n) あたりは "単純な計算" ではないですか?
No.86534 - 2023/10/03(Tue) 18:58:11
☆ Re: 式の計算 / ふゆ＠中3生


> > 　　＝ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ×ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ
> のなかに a が何個 b が何個掛け合わされているか数えるように言われた返答がそれというのはおかしくないですか?
そういうことだったんですね…理解力がなくてすみません。。。
aが4個で、bが6個です。
失礼いたしました。

> > 単純な計算ではないのですね…汗
> x^m×x^n=x^(m+n) や (x^m)^n=x^(m×n) あたりは "単純な計算" ではないですか?

そうですね
理解力が本当になくてすみません。。。
No.86536 - 2023/10/03(Tue) 20:26:20
★ (No Subject) / 名
この関数をシグマを使わず表してください。
No.86522 - 2023/10/02(Mon) 22:55:04
☆ Re: / 名
訂正
誤　n=1
正　n=0
でした
No.86523 - 2023/10/02(Mon) 22:56:26
☆ Re: / らすかる
y=1/(1-x) （定義域 |x|＜1）
です。
No.86524 - 2023/10/03(Tue) 03:57:43
★ 濃度の問題 / ふゆ＠中3生
この問題がわかりません。教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。
(写真をとるのが下手で、問題が読みづらくてすみません)
No.86513 - 2023/10/01(Sun) 14:58:06
☆ Re: 濃度の問題 / ふゆ＠中3生
ちなみに、x＝210が正解です。
どうやって求めればいいのかわからないので、式なども一緒に説明していただけると助かります。
いつもすみませんが、よろしくお願いします。
No.86514 - 2023/10/01(Sun) 15:00:31
☆ Re: 濃度の問題 / X
条件から、溶液を入れ替えた後のA,Bの濃度について
100{10(300-x)/100+5x/100}/300=100{5(700-x)/100+10x/100}/700
これを解いてxを求めます。
No.86517 - 2023/10/01(Sun) 19:40:00
☆ Re: 濃度の問題 / ふゆ＠中3生
説明していただき、ありがとうございます。
それなのに、また質問してしまいすみません。
説明していただいた式の数字のそれぞれがよくわからないのですが、どうしてこの式で求められるのでしょうか？

> 100{10(300-x)/100+5x/100}/300=100{5(700-x)/100+10x/100}/700

あと、左辺の式の {} の中は、10(300-x)÷100+5x÷100をする、という解釈でいいのでしょうか？？

式の見方すらわかっていなくてすみません。
No.86519 - 2023/10/02(Mon) 05:36:08
☆ Re: 濃度の問題 / X
では少しヒントを。

まず、食塩水を入れ替えた後の
(1)Aに含まれる食塩の重さ
(2)Bに含まれるの食塩の重さ
をそれぞれxで表します。
(問題の方程式の左辺の{}の中は(1)、
右辺の{}の中は(2)に当たります。)

食塩水を入れ替えても、A,Bの食塩水としての
重さはそれぞれ変わりませんので、A,Bの
濃度をxで表すと、どうなりますか？
No.86520 - 2023/10/02(Mon) 07:06:09
☆ Re: 濃度の問題 / X
全く返信がないようなので、食塩水を入れ替えた後の
Aの食塩水の中の食塩の重さ(つまり(1))
について、アップしておきます。

食塩水を入れ替えるためにAからx[g]取り出したとき
Aに残っている食塩水の重さは
300-x[g]
従ってAに残っている食塩水の中の食塩の重さは
10(300-x)/100[g]
一方、Bから取り出したx[g]の食塩水の中の
食塩の重さは
5x/100[g]
従って、食塩水を入れ替えた後のAの食塩水の中の
食塩の重さは
10(300-x)/100+5x/100

(2)についても同じように考えます。
No.86525 - 2023/10/03(Tue) 16:36:31
☆ Re: 濃度の問題 / ふゆ＠中3生
答えてくださっていたのに、返信できなくてすみません！
そういうことなんですね！
丁寧に説明していただき、ありがとうございました！
(次回からはきちんと返信できるよう、頑張ります！)
No.86526 - 2023/10/03(Tue) 17:29:33
★ 材料力学について / らぴす
材料力学の問題です。
（３）のεxまでは理解できるのですが、λの積分の計算がなぜこうなるのかを回答を見ても解りませんでした。
初歩的ですがご教示いただけますと幸いです。
よろしくお願いいたします。
No.86512 - 2023/10/01(Sun) 12:43:24
☆ Re: 材料力学について / X
右下の添付写真では、λの計算式が3行並んでいる
ようですが、１行目から分からない
ということですか？
No.86515 - 2023/10/01(Sun) 18:04:45
☆ Re: 材料力学について / X
それとも、問題文で前提として使ってもよいとしている
dλ=(ε_x)dx
が成立する理由が分からない、ということですか？
No.86516 - 2023/10/01(Sun) 18:07:10
☆ Re: 材料力学について / らぴす
説明不足ですみません。
λの計算式2行目から分からない状態です。
計算式がより詳細に書かれていたら理解できるかも知れませんが、1行目から3行目の答えになる過程が理解出来てません。
すみません。
No.86518 - 2023/10/01(Sun) 22:34:04
☆ Re: 材料力学について / X
頭についた係数は脇に置くと、問題の積分は
∫[0→t]dx/(Ax+B)^2
(A,Bは定数)
の形になっています。

一般にf(x)の不定積分をF(x)とすると
∫f(Ax+B)dx=(1/A)F(Ax+B)+C
(Cは積分定数)
(∵)Ax+B=uと置いて置換積分

後はよろしいですね。
No.86521 - 2023/10/02(Mon) 07:11:25
★ どうやってこの形になりますか / 彩美
数学資料です。
画像の下の左側に
「四角形PBCR＝△PBQ＝△ABM」という箇所があります。

こちらですが、なぜ「四角形PBCR＝△PBQ」が成り立つのかがわからないです。
教えていただけると大変助かります。
No.86504 - 2023/09/30(Sat) 14:21:53
☆ Re: どうやってこの形になりますか / 彩美

数学資料です。
画像の下の左側に
「四角形PBCR＝△PBQ＝△ABM」という箇所があります。

こちらですが、なぜ「四角形PBCR＝△PBQ」が成り立つのかがわからないです。
教えていただけると大変助かります。
No.86505 - 2023/09/30(Sat) 14:23:19
☆ Re: どうやってこの形になりますか / IT
Rは、どういう点ですか？
問題文と図を載せられた方が早いと思います。
No.86506 - 2023/09/30(Sat) 15:38:37
☆ Re: どうやってこの形になりますか / 彩美
申し訳ございません。
うまく図のファイルを添付できませんでした。

Rについて特に指定がありませんが、任意の点か、BCとPRが平行の可能性があります。
No.86507 - 2023/09/30(Sat) 15:55:42
☆ Re: どうやってこの形になりますか / IT
同じような点線で描いてあることや、結果から、PNとBRが平行のつもりのようですね。

不親切な問題集ですね。
No.86509 - 2023/09/30(Sat) 20:51:00
☆ Re: どうやってこの形になりますか / IT
PNとBRが平行ならば、△PBR＝△NBRですね。
残りの△RBCは共通なので、四角形PBCR＝△ABMです。

△ABM＝△PBQの方は、分かるのですよね？
No.86510 - 2023/09/30(Sat) 21:24:41
☆ Re: どうやってこの形になりますか / 彩美
ご回答ありがとうございます。
△ABM＝△PBQの方は分かります。

△PBR＝△NBRから、△NBC＝四角形PBCRとなる。
よって四角形PBCRは△ABCの半分となり、△ABMと等しくなる。

まとめると、四角形PBCR＝△PBQ＝△ABMになることが理解できました。
No.86511 - 2023/10/01(Sun) 10:29:21
★ (No Subject) / 領域
実数aが、xの2次方程式x^2+(a+1)x+a^2+a-1=0が実数解を持つようなaの範囲を動くとき、解xの取りうる値の範囲を求めよ。
No.86498 - 2023/09/25(Mon) 15:52:24
☆ Re: / X
方針を。

x^2+(a+1)x+a^2+a-1=0
をaについて(xについて、ではありません)の二次方程式
と見たときの解の判別式をDとすると
D≧0
これをxについての不等式として解きます。
No.86501 - 2023/09/26(Tue) 06:00:21
★ (No Subject) / 領域
原点と点(2,4)を通り、中心のx座標がaである円をCとする。Cと放物線y=x^2の共有点がちょうど2個あるようなaの値と、その時のCの通る領域を求めよ。

解説よろしくお願いします。
No.86497 - 2023/09/25(Mon) 15:48:43
☆ Re: / X
前半)
条件から、Cの中心の座標を(a,b)と置くと
Cの半径について
a^2+b^2=(a-2)^2+(b-4)^2
これより
b=(5-a)/2
∴Cの中心の座標は(a,(5-a)/2)
このこととCが原点を通ることから
Cの方程式は
x^2-2ax+y^2-2・{(5-a)/2}y=0
整理して
x^2-2ax+y^2-(5-a)y=0 (A)
よって求める条件は(A)と
y=x^2 (B)
をx,yの連立方程式としたときの
実数解の組が
(x,y)=(0,0),(2,4)
のみとなる条件、ということになります。
ここで(A)に(B)を代入すると
x^2-2ax+x^4-(5-a)x^2=0
これより
x{x^3-(4-a)x-2a}=0
x{x(x^2-4)+a(x-2)}=0
x(x-2)(x^2+2x+a)=0
∴求める条件はxの二次方程式
x^2+2x+a=0 (C)
が
(i)x=0のみを実数解に持つ
(ii)x=2のみを実数解に持つ
(iii)x=0,2を解に持つ
(iv)実数解を持たない
のいずれかとなります。
(i)のとき
(C)より
a=0
このとき(C)より
x=0,-2∴不適。
(ii)のとき
(C)より
a=-8
このとき(C)より
x=2,-4∴不適。
(iii)のとき
(C)は
x^2-2x=0
と等価でなくてはならないので不適。
(iv)のとき
(C)の解の判別式をDとすると
D/4=1-a＜0

以上から求めるaの値の範囲は
1＜a (D)

後半)
(A)より
x^2-2ax+y^2-(5-a)y=0
(y-2x)a=-(x^2+y^2-5y) (A)'
ここで(A)'の右辺は(A)でa=1のときに当たるので
(A)'≠0
よって
(i)y-2x＞0のとき
(D)(A)'より
-(x^2+y^2-5y)＞y-2x
∴x^2+y^2-2x-4y＜0
(ii)y-2x＜0のとき
(D)(A)'より
-(x^2+y^2-5y)＜y-2x
∴x^2+y^2-2x-4y＞0

(i)(ii)をもう少し整理して、求める領域は
(x-1)^2+(y-2)^2＜5,y＞2x
又は
(x-1)^2+(y-2)^2＞5,y＜2x
No.86500 - 2023/09/25(Mon) 19:08:49
☆ Re: / X
＞＞領域さんへ
No.86500の後半は、もう少し厳密な方針がありましたので
修正しました。再度ご覧下さい。
No.86503 - 2023/09/26(Tue) 19:13:49
★ シグマの計算 / ぴーたろ
Σの展開で２分の…になる部分の途中経過を教えてください。
よろしくお願いします！
No.86494 - 2023/09/25(Mon) 14:13:41
☆ Re: シグマの計算 / らすかる
(2+1)^15 = Σ[k=0〜15]15Ck・2^(15-k)
から
(2+1)^15 = Σ[k=0〜14]15Ck・2^(15-k) + 15C15・2^(15-15)
= Σ[k=0〜14]15Ck・2^(15-k) + 1
Σ[k=0〜14]15Ck・2^(15-k) = (2+1)^15-1
Σ[k=0〜14]15Ck・2^(15-k-1) = {(2+1)^15-1}/2
1+Σ[k=0〜14]15Ck・2^(15-k-1) = 1+{(2+1)^15-1}/2
No.86495 - 2023/09/25(Mon) 15:03:36
☆ Re: シグマの計算 / ぴーたろ
ありがとうございました！Σから二項定理に気づけよってことですね。
No.86496 - 2023/09/25(Mon) 15:43:44
★ 積分 / Eラン大学生
【問題】曲線C：ｘ＝cost、ｙ＝sint、ｚ＝√3t　(0≦t≦2π)
　とする。次の式を求めなさい。ただし、ｓは曲線の長さを表す。　∫[C](xy＋z)ds　　（[C]は右下の添え字です。）

この問題なのですが、何を積分させようとしているのかが分かりません。曲線Cは一巻きのらせんになることは分かるのですが。ひとまず積分して、s＝4πは出せました。
このあとを御教示頂けると幸いです。
No.86490 - 2023/09/25(Mon) 01:28:08
☆ Re: 積分 / ast
> ひとまず積分して、s＝4πは出せました。
まずそもそも問題の
> ただし、ｓは曲線の長さを表す。
はそういう意味ではなくて, 曲線上の各点 (x,y,z) を始点から C に沿ってその点へ辿った弧長 s をパラメータとして表す: e.g. (x,y,z)=(f(s),g(s),h(s)) (各座標 x,y,z は弧長 s の函数) という意味 (したがって "ds" は "この s を積分変数として積分する" という意味) です.

それで, あなたが計算したそれは, この "弧長に関する線積分" で書けば ∫[C]ds です (本問ではこれは問われてないのでその計算はそもそも無用です). これが, ひとつ前の質問のとおり ∫[C]ds=∫[0,2π](ds/dt)dt =4π と計算できたということであるのならば, 本問も
> 何を積分させようとしているのかが分かりません。
について説明すべきことはもうとくに残ってないと思います.
No.86491 - 2023/09/25(Mon) 09:32:08
☆ Re: 積分 / GandB
> ひとまず積分して、s＝4πは出せました。
　？？？

> この問題なのですが、何を積分させようとしているのかが分かりません。
　　∫[C](xy＋z)ds
は、被積分関数 xy + z を曲線C（円柱螺旋）に沿って線積分すると考えるのが普通。

※tで表示した被積分関数の表示ミスがあったので再投稿。
No.86493 - 2023/09/25(Mon) 11:23:57
☆ Re: 積分 / Eラン大学生
御返答ありがとうございます。
線積分が分かっていなかったので、再勉強したいと思います。
No.86502 - 2023/09/26(Tue) 15:09:43
★ 1次方程式 / ふゆ＠中3生
1次方程式の問題です。
これも多分、中1ぐらいの問題だと思います。(正確じゃなくてすみません)

【問題】
マグネットを原価の100%増しで定価をつけた。売れすぎてサービスのため定価の250円引きで売ったがそれでも定価50%の利益がある。この商品の原価を求めなさい。

答えは500円です。
どうやって求めればよいのか教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。
No.86480 - 2023/09/24(Sun) 21:23:37
☆ Re: 1次方程式 / X
条件から
定価で売った場合の利益は原価と同じ。
一方、
定価の250円引きで売った場合の利益は
定価で売ったときの50%
よって
定価の250円引きで売った場合の利益は
原価の50%
後はよろしいですね。
No.86483 - 2023/09/24(Sun) 21:44:17
☆ Re: 1次方程式 / ふゆ＠中3生
解けました！
ありがとうございます！
計算間違いをしていました。
教えていただき、ありがとうございました。
No.86484 - 2023/09/24(Sun) 21:48:03
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