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★ (No Subject) / ゴンタ
こちらの問題について、xにyを代入して、(定積分の箇所)=0として、f(y)=2y^2+y+5/3 とできないのは何故でしょうか？よろしくお願いします。
No.86446 - 2023/09/19(Tue) 09:15:37
☆ Re: / ゴンタ
すみません、問題の画像を貼り忘れていました。
No.86447 - 2023/09/19(Tue) 09:16:18
☆ Re: / けんけんぱ
xとyはそれぞれ独立した変数です。
一時的にx=yとなる場合もあるでしょうが、常にx=yとなっているわけではありません。
積分の式では、積分区間は-1から1まで、つまりyは-1から1までの値しかとりません。
対して、xはそういう制限はなく、いくつでも値は取れます。
そういう違いのあるxとyをイコールにするのは無理があると思いませんか？
No.86448 - 2023/09/19(Tue) 12:24:42
☆ Re: / ast
類題として, 画像の問を離散化した
「n の整式 f(n) が恒等式
　 　f(n) + Σ_[k=-1,0,1] (n-k)^2 f(k) = 2n^2 + n + 5/3
　を満たすとき f(n) を求めよ.」
を考えてみてはどうでしょうか.
もしこれについても「n に k を代入して (シグマの箇所)=0 として」としようと考えるのであれば, Σ-記法を使わずに "+" 記号だけで書けば, 恒等式の実態は
　"f(n) + (n+1)^2 f(-1)+n^2 f(0)+ (n-1)^2 f(1) = 2n^2 + n + 5/3"
なので, この場合そもそも「n に k を代入する」っていうのが意味不明だとわかるはずです.
まあでも無理矢理に, たとえば「"n=-1" または "n=0" または "n=1" のときを考える」という意味で "k を代入する" と言っているのだと解釈してもいいかもしれませんが, そこから何が分かるのか, 少なくとも「3 つある (n-k)^2 f(k) の形の項のうち k=n となる一つの項だけは 0 と分かるが残りの二つはそうではないので "(シグマの箇所)=0" と結論付けることは望めない」ということは言えます.

これと同様の意味で, もとの質問でも
> xにyを代入して、(定積分の箇所)=0として
はダメ, ということになります.
# これも上と同様に "-1≤x≤1 のときには, y=x となる一瞬だけ (x-y)^2 f(y) = 0 になる" というだけは言えるが
# "それ以外の -1≤y≤1 に対する (x-y)^2 f(y)" は 0 かどうかわからないので, "(定積分)=0" も結論できない.
No.86449 - 2023/09/19(Tue) 19:57:24
★ (No Subject) / 存在条件
放物線y=x^2上にx座標がt,t+1である2点P,Qをとる。
tが-1≦t≦0を満たしながら動くとき、線分PQが通る領域を求めよ。

解説お願いします。
No.86438 - 2023/09/16(Sat) 19:43:30
☆ Re: / X
方針を。

条件から、直線PQの方程式は
y=(2t+1)(x-t)+t^2
これより
y=(2t+1)x-t^2-t
t^2-(2x-1)t+y-x=0 (A)
∴求める条件は
tの二次方程式(A)が
-1≦t≦0 (B)
なる実数解を少なくとも一つ持つ
条件ということになります。

そこで
f(t)=t^2-(2x-1)t+y-x (C)
と置き、横軸にt、縦軸にf(t)
を取った(C)のグラフが
t軸と(B)の範囲で少なくとも一つ
交点を持つ条件を求めます。

ということで
(C)のグラフの軸と(B)との位置関係
について3つに場合分けをします。
No.86439 - 2023/09/16(Sat) 20:04:29
☆ Re: / 存在条件
何故(B)となるのでしょうか。
No.86440 - 2023/09/16(Sat) 20:41:56
☆ Re: / X
ごめんなさい。(B)が誤っていましたので
No.86440を直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.86441 - 2023/09/17(Sun) 04:08:41
☆ Re: / 黄桃
Xさん:
問題は線分PQとなっているので、もう少し条件が必要です。(B)だけでは、直線y=x全体も求める領域に含まれてしまいます（t=0, y=x は(A)も(B)も満たす）。
線分PQなので、(B)に加えて t≦x≦t+1 (B')も必要です。

xの正負に応じて(B)かつ(B')の範囲を決定し、その後にf(t)のグラフの対称軸の位置でさらに場合分けすることになると思います。

マルチポストなので、詳細は控えておきます。
No.86442 - 2023/09/17(Sun) 14:48:06
☆ Re: / X
＞＞黄桃さんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞存在条件さんへ
ごめんなさい。黄桃さんの仰る通り、線分PQの条件から
t≦x≦t+1
つまり
x-1≦t≦x (B)'
が必要になります。
No.86443 - 2023/09/17(Sun) 17:24:50
☆ Re: / X
もう一点訂正を。
(A)(C)が間違っていましたので、No.86439を
直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.86444 - 2023/09/17(Sun) 17:50:10
☆ Re: / X
＞＞存在条件さんへ
ごめんなさい。
No.86444のアップした後に改めてNo.86439の方針の続きを
計算してみたところ、かなり計算が煩雑になることが
分かりました。

もうかなり時間が経っていますが、(B)'を条件に加えた上で
No.86439の方針の続きで、ある程度煩雑さを減らしたものを
アップしておきます。

(B)、(B)'のtの値の幅が共に1であることに注意すると
(B),(B)'から
(I)-1≦x-1≦0、つまり0≦x≦1
(II)-1≦x≦0
の場合分けが必要になり、この(I)(II)それぞれに対し、
f(t)のグラフの対称軸との位置関係から
更に3通りの場合分けが必要になります。
(つまり、まともに計算するなら合計6通りの場合分けが必要)

但し、直線PQの方程式が
y=(2t+1)x-t^2-t
もう少し変形して
y=2(t+1/2)x-(t+1/2)^2+1/4
となることと
-1≦t≦0
から、求める領域はy軸に関して対称になります
(詳細は省きます)ので、実際は(I)の場合の3通りの場合分け
のみ計算し、得られた領域(Eとします)と、Eをy軸に関し、
対称移動させた領域(E'とします)を合わせた領域
E∪E'
を求める領域とすれば良いことになります。

ここでf(t)のグラフの対称軸の方程式が
t=x-1/2 (D)
であることに注意しておきます。
又(A)の解の判別式をとしておきます。

ということで
(I)の場合について。
tの値の範囲は
x-1≦t≦0
ですので
(i)x-1/2＜x-1のとき
これは-1/2＜-1となるので不適。

(ii)x-1≦x-1/2≦0、つまり0≦x≦1/2のとき
求める条件は
{f(x-1)=(x-1)^2-(2x-1)(x-1)+y-x≧0 (F)
又は
f(0)=y-x≧0 (G)}
かつ
D=(2x-1)^2-4(y-x)≧0 (H)
(F)より
(x^2-2x+1)-(2x^2-3x+1)+y-x≧0
∴y≧x^2
(G)より
y≧x
ここで
{(x,y)|0≦x≦1/2,y≧x^2}⊃{(x,y)|0≦x≦1/2,y≧x}
ですので、(G)又は(H)は
y≧x^2
にまとめることができます。
更に(H)より
y≦x^2+1/4

(iii)0＜x-1/2、つまり1/2＜x≦1のとき
求める条件は
f(x-1)=(x-1)^2-(2x-1)(x-1)+y-x≧0 (I)
f(0)=y-x≦0 (J)
(I)より
y≧x^2
(J)より
y≦x

以上から
E={(x,y)|0≦x≦1/2,x^2≦y≦x^2+1/4}
∪{(x,y)|1/2＜x≦1,x^2≦y≦x}
∴
E'={(x,y)|-1/2≦x≦0,x^2≦y≦x^2+1/4}
∪{(x,y)|-1≦x＜-1/2,x^2≦y≦-x}
となるので求める領域は
E∪E'={(x,y)|-1/2≦x≦1/2,x^2≦y≦x^2+1/4}
∪{(x,y)|1/2＜x≦1,x^2≦y≦x}
∪{(x,y)|-1≦x＜-1/2,x^2≦y≦-x}
となります。
No.86450 - 2023/09/20(Wed) 16:45:34
★ 不等式 / フック
(2)の解き方がわかりません
答えはk=√2です
No.86432 - 2023/09/16(Sat) 10:48:59
☆ Re: 不等式 / IT
相加平均≧相乗平均　は既習ですか？
No.86433 - 2023/09/16(Sat) 11:29:04
☆ Re: 不等式 / IT
a+b > 0 なので
（√a+√b)/√(a+b) ≦k と変形できますから
（√a+√b)/√(a+b) の最大値を求めることに帰着します。
２乗して整理してみてください。
No.86434 - 2023/09/16(Sat) 11:32:01
☆ Re: 不等式 / フック
有難うございます
No.86435 - 2023/09/16(Sat) 11:55:08
★ 正四面体 / √
よろしくお願い致します。

正四面体の重心は
各頂点から底面に向かって垂線を降ろした時の
交点で合ってますでしょうか？

また、この交点が
この正四面体の内接球の中心と外接球の中心
と一致していると考えて良いでしょうか？

一般に、
平面図形でも、立体でも
「正」という字が付いたら
重心＝内心＝外心
重心＝内接球の中心＝外接球の中心
と考えて良いでしょうか？
No.86426 - 2023/09/16(Sat) 00:59:29
☆ Re: 正四面体 / らすかる
最初の二つの質問の答えは「YES」ですが、最後の
＞ 「正」という字が付いたら
は正しくありません。正n角形や正n面体では正しいですが、
例えば正五角錘などでは成り立たないと思いますし、
正n角柱では一般に「内接球」が存在しません。
（ただし、正n角柱で内接球が存在する場合に関しては正しいと思います。）
No.86428 - 2023/09/16(Sat) 04:42:22
☆ Re: 正四面体 / √
らすかるさん
有難うございました。

> 「正」という字が付いたら
> は正しくありません。正n角形や正n面体では正しいです

スミマセン。
私の書き方が良くなかったです。
平面図形において「正多角形」
立体において「正多面体」
と表現すべきでした。


> 例えば正五角錘などでは成り立たないと思いますし、
> 正n角柱では一般に「内接球」が存在しません。
> （ただし、正n角柱で内接球が存在する場合に関しては正しいと思います。）

ここまで思いつきませんでした。

有難うございました。
No.86431 - 2023/09/16(Sat) 10:28:57
★ 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / 大西
半径1の球面が存在する。この球面の中心が4点O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3)を頂点とする四面体の表面およびその内部を自由に動くとき、球面が通過しうる部分の体積を求めよ。

という問題が分からなくて困っています。

まず四面体OABCの内部は確実に含まれていて、四面体の面に三角柱が存在していて、四面体の辺に円柱の一部分が存在していて、四面体の頂点に球の一部分が存在しているような図形になると思うのですが、
分割すると、

四面体OABC
球の1/8の体積のものが1個
球の9/32のものが3個
高さ3・半径1の円柱の1/4のものが3個、
高さ3√2・半径1の円柱の1/4のものが3個、
3×3×1の三角柱が3個
1辺の長さが3√2の三角形で高さが1の三角柱が1個
のような気がするのですが、
おそらく円柱の部分がうまく把握できていなくて計算が合わないです。

積分を使わずに求められそうですが分かりません。
No.86422 - 2023/09/15(Fri) 14:36:21
☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / X
積分を使う方針を使うのであれば
以下のようになります。

問題の立体を
平面α:z=0(xy平面)
平面β:z=3
で3分割し、
αから下の部分、αとβの間、βより上の部分
の体積をそれぞれV[1],V[2],V[3]
と置きます。

(i)V[1]について
これは
(I)半径3の半球
(II)半径3、高さ3の半円柱
(III)半径3、高さ3√2の1/4円柱
(IV)底面が辺の長さ3の直角二等辺三角形である
高さ3の三角柱
を組み合わせた立体の体積ですので
V[1]=(1/2)(4π/3)・3^3+(1/2)(π・3^2)・3+(1/4)(π・3^2)・3√2
=18π+27π/2+(27π/4)√2
={63/2+(27/4)√2}π

(ii)V[3]について
これは半径3の半球の体積となり
V[3]=(1/2)(4π/3)・3^3=18π

(iii)V[2]について
これに対応する立体の平面z=t(0≦t≦3)による
断面は
(I)辺の長さが3-tの二等辺三角形
(II)半径3の円
(III)縦3、横3-tの長方形2つ
(IV)縦(3-t)√2,横3の長方形
を組み合わせた図形となるので、断面積S(t)は
S(t)=(1/2)(3-t)^2+9π+6(3-t)+3(3-t)√2
=(1/2)(3-t)^2+9π+(6+3√2)(3-t)
∴V[2]=∫[0→3]S(t)dt
=∫[0→3]{(1/2)(3-t)^2+9π+(6+3√2)(3-t)}dt
=[-(1/6)(3-t)^3+9πt-(1/2)(6+3√2)(3-t)^2][0→3]
=(1/6)・3^3+27π+(1/2)(6+3√2)・3^2
=9/2+27π+(27/2)(2+√2)
=27π+(63+27√2)/2

以上から求める体積をVとすると
V=V[1]+V[2]+V[3]
={63/2+(27/4)√2}π+{27π+(63+27√2)/2}+18π
={153/2+(27/4)√2}π+(63+27√2)/2
(計算間違いがあるかもしれません。間違っていたらごめんなさい。)


注)
V[2]についてですが、対応する立体を適当な形に
分解すれば、等積変形により
積分を使わなくても計算できるようです(形の上では、ですが)。
只、その等積変形の裏付けが、積分に基づくものですので
積分を使っていないことにはなりませんが。
No.86423 - 2023/09/15(Fri) 21:18:46
☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / 大西
Xさんご返信＆ご回答ありがとうございます。

積分を使う方が機械的に求められますね。

この1つ前に
半径1の球面の中心が三角形OABの周とその内部を自由に動くとき、球面が通過しうる部分の体積を求めるときは、

3×3×2の三角柱が1個
半径1の球の1/4のものが1個
半径1の球の3/8のものが2個
底面の半径が1で高さが3の半円柱が2個
底面の半径が1で高さが3√2の半円柱が1個

に分けられたので、同じような感じで分けられると考えました。

四面体になると角の部分のイメージがなかなかできませんでした。
No.86424 - 2023/09/15(Fri) 22:20:21
☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / 大西
半径3の半球の部分は半径1の半球でしょうか？
No.86425 - 2023/09/16(Sat) 00:24:51
☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / X
ごめんなさい。球の半径を3と間違えていました。
改めて回答をアップしておきます。

問題の立体を
平面α:z=0(xy平面)
平面β:z=3
で3分割し、
αから下の部分、αとβの間、βより上の部分
の体積をそれぞれV[1],V[2],V[3]
と置きます。

(i)V[1]について
これは
(I)半径1の半球
(II)半径1、高さ3の半円柱
(III)半径1、高さ3√2の1/4円柱
(IV)底面が辺の長さ3の直角二等辺三角形である
高さ1の三角柱
を組み合わせた立体の体積ですので
V[1]=(1/2)(4π/3)+(1/2)π・3+(1/4)π・3√2+(1/2)・3^2
=2π/3+3π/2+(3π/4)√2+9/2
={13/6+(3/4)√2}π+9/2

(ii)V[3]について
これは半径1の半球の体積となり
V[3]=(1/2)(4π/3)=2π/3

(iii)V[2]について
これに対応する立体の平面z=t(0≦t≦3)による
断面は
(I)辺の長さが3-tの二等辺三角形
(II)半径1の円
(III)縦1、横3-tの長方形2つ
(IV)縦(3-t)√2,横1の長方形
を組み合わせた図形となるので、断面積S(t)は
S(t)=(1/2)(3-t)^2+π+2(3-t)+(3-t)√2
=(1/2)(3-t)^2+π+(2+√2)(3-t)
∴V[2]=∫[0→3]S(t)dt
=∫[0→3]{(1/2)(3-t)^2+π+(2+√2)(3-t)}dt
=[-(1/6)(3-t)^3+πt-(1/2)(2+√2)(3-t)^2][0→3]
=(1/6)・3^3+3π+(1/2)(2+√2)・3^2
=9/2+3π+(9/2)(2+√2)
=3π+(27+9√2)/2

以上から求める体積をVとすると
V=V[1]+V[2]+V[3]
={13/6+(3/4)√2}π+9/2+{3π+(27+9√2)/2}+2π/3
={35/6+(3/4)√2}π+(36+9√2)/2
(計算間違いがあるかもしれません。間違っていたらごめんなさい。)
No.86429 - 2023/09/16(Sat) 05:41:03
☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / 大西
Xさんご返信＆ご修正していただきありがとうございます。

私もV[3]が半径1の球面の半分の体積だと思ったのですが、
下手な図で申し訳ございませんが、
xy平面で切った図を描いた時に赤色の部分が存在するような気がします。
私が何か勘違いしているのでしょうか？
No.86430 - 2023/09/16(Sat) 08:57:08
☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / X
その図において
P(0,3),Q(3,0)
D(-1,3),E(-1,0),F(0,-1),G(3,-1)
H(3+1/√2,1/√2),I(1/√2,3+1/√2)
とすると、私のV[3]の計算の方針では
この図形を
△OPQ,長方形DEOP,長方形OFGQ,長方形QHIP
に分割して角柱と考えた上で、残った扇形を組み合わせて
半径1の円として半球と考え、V[3]を計算しています。

従って、大西さんの言う赤い領域は
長方形QHIP
に含まれています。
No.86436 - 2023/09/16(Sat) 12:56:58
☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / 大西
Xさんご返信＆ご回答ありがとうございます。

3/16の球2個と1/8の球1個で1/2の球1個分ということですね。

体積はもう少し大きな値になりそうな気がしていたのですが、
思っていたよりも小さな値でした。

ありがとうございます。
No.86437 - 2023/09/16(Sat) 13:47:17
★ 確率の問題 / ぐっち
次の問題がわからないです。ご教授よろしくお願いいたします。
サトシ君とコサックダンス吉村君は，以下の移動を繰り返し，12 離れた位置にある目的地まで競走を行う．
[移動] 最初にサトシ君が偏りのないさいころを振り，出目の距離だけ進む．
次にコサックダンス吉村君もさいころを振り，出目にサトシ君との距離の逆数をかけた距離だけ進む．ここまでを 1 回目の移動とする．
n 回目の移動では二人とも，サトシ君を先攻として，さいころの出目にその時点での二者間の距離の逆数をかけた距離だけ進む．ただし，二者間の距離が 0 の場合はそこで競走を中止する．
（1）n 回目の移動でどちらかが中止する確率 p_n を求めよ．
（2）この競走にコサックダンス吉村君が勝つ確率 q を求めよ．
No.86421 - 2023/09/15(Fri) 09:53:25
★ (No Subject) / ときのさん
次の式を因数分解してください。
　x^6 -10x^4 -6x^3 +10x^2 -1
よろしくお願いしますm(__)m
No.86418 - 2023/09/14(Thu) 16:08:31
☆ Re: / X
(与式)=(x^3)(x^3-10x-6+10/x-1/x^3)
=(x^3){x^3-1/x^3-10(x-1/x)-6}
=(x^3){(x-1/x)^3-7(x-1/x)-6}
=(x^3){(x-1/x)+1}{(x-1/x)^2-(x-1/x)-6}
(∵)x-1/x=tと置き、因数定理を使います)
=(x^3){(x-1/x)+1}{(x-1/x)-3}{(x-1/x)+2}
=(x^2+x-1)(x^2-3x-1)(x^2+2x-1)
No.86419 - 2023/09/14(Thu) 16:55:51
☆ Re: / ときのさん
すごい！
ありがとうございましたm(><)m
No.86420 - 2023/09/14(Thu) 19:38:03
★ (No Subject) / ネコ丸
関数を小学一年生でも理解できるよう砕いて説明してくだい。
　またその例。
　関数の関係ではない例をXとYを使って示していただけると有り難いです。
No.86411 - 2023/09/13(Wed) 12:07:58
☆ Re: / IT
普通の小学一年生が対象なら、何時間掛けていいのか分かりませんが、ここへの投稿を基に正しく説明するのは無理だと思います。

算数の指導要領によると
・「伴って変わる二つの数量」は４年生から
・「文字を用いた式」は６年生になってから
登場します。（教育関係の方ならお分かりかと思いますが）
No.86414 - 2023/09/13(Wed) 21:31:56
☆ Re: / ネコ丸
　問が不適切でしたね。すみません。
ｘの値が決まると、ｙの値が１つに決まる関係
　を砕いて説明してください。
No.86415 - 2023/09/14(Thu) 09:18:35
☆ Re: / ヨッシー
ｙの値が１つに決まる関係の例
　ｙはｘより１大きい数
　　ｘが１　のとき　ｙは２　のみ
　　ｘが２　のとき　ｙは３　のみ
　　　・・・
　　ｘが100 のとき　ｙは101 のみ
　　　・・・
ｙの値が１つに決まらない関係の例
　ｙはｘとのちがいが１の数
　　ｘが１　のとき　ｙは０と２　の２つ
　　ｘが２　のとき　ｙは１と３　の２つ
　　　・・・
　　ｘが100 のとき　ｙは99と101 の２つ
　　　・・・
No.86416 - 2023/09/14(Thu) 09:27:34
☆ Re: / ネコ丸
　わかりました。
　ありがとうございました。
No.86417 - 2023/09/14(Thu) 10:17:42
★ (No Subject) / らりるれろ
この問題なのですが、正四面体の二点とその対辺の中点を通る平面で切ったあとの考え方が分かりません。教えてください。
No.86410 - 2023/09/12(Tue) 23:07:26
☆ Re: / ヨッシー
球Ｓの中心Ｈ、球Ｓと辺ＡＢの接点Ｆ、球Ｓと面ＢＣＤの接点Ｇ
２頂点Ａ，Ｂが、△ＡＢＥ（ＥはＣＤの中点）上にあるので、
△ＡＢＥを抜き出して考えます。

右の図で、∠ＡＢＥの２等分線とＡＧの交点が、球Ｓの中心となります。
No.86413 - 2023/09/13(Wed) 17:36:53
★ 標準偏差の考え方について / とおる
標準偏差の標準偏差？を求める様な問題についての質問です。
標準偏差というものは、偏差を二乗して平均し、それに平方根をつけたものと理解していました。
平均することで、誤差を分散しているのだと理解しておりました。

今回のような問題の場合、各辺長の標準偏差を求めるまでは分かるのですが、全長の標準偏差を求めるという所で、平均を求めず、各辺長の標準偏差を二乗したものの和に平方根をつけるだけで全長の標準偏差が求められるという事がいまいち理解できません。

どうか詳しい説明をお願いいたします。
No.86404 - 2023/09/11(Mon) 22:33:08
☆ Re: 標準偏差の考え方について / ヨッシー
分散の加法性で検索すると、
証明も含め、色々出てきます。

つまり、分散がＡ，Ｂ，Ｃである確率変数ａ，ｂ，ｃの
和ａ＋ｂ＋ｃの分散Ｘは
　Ｘ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ
であり、これを標準偏差で表すと
　σx2＝σa2＋σb2＋σc2
となるので、
　σx＝√(σa2＋σb2＋σc2)
となります。
No.86406 - 2023/09/12(Tue) 09:46:08
☆ Re: 標準偏差の考え方について / とおる
ありがとうございます。
助かりました。
No.86408 - 2023/09/12(Tue) 21:07:07
★ 答えがまったくわかりません… / まる
よければ教えて頂きたいです。
No.86401 - 2023/09/10(Sun) 20:36:59
☆ Re: 答えがまったくわかりません… / X
(1)
辺の数は12だから
y=12x

(2)
面の数は6なので
y=6x^2

(3)
y=x^3
No.86402 - 2023/09/10(Sun) 22:42:26
☆ Re: 答えがまったくわかりません… / まる
> (1)
> 辺の数は12だから
> y=12x
>
> (2)
> 面の数は6なので
> y=6x^2
>
> (3)
> y=x^3


ありがとうございます、、本当に助かりました！！
No.86403 - 2023/09/10(Sun) 22:52:16
★ 組み合わせの式の変形について / 彩
数学で組み合わせについて勉強していて、参考書の箇所で以下のような部分がありました。

「2nCn−1=(2n)!/(n−1)!(n+1)!」
左辺から右辺ですが、どのような過程でこうなるのかがわからないです。
教えていただけると大変助かります。
No.86398 - 2023/09/10(Sun) 15:52:42
☆ Re: 組み合わせの式の変形について / X
定義により
(2n)C(n-1)=(2n)!/{(n-1)!{2n-(n-1)}!}
=(2n)!/{(n-1)!(n+1)!}
No.86399 - 2023/09/10(Sun) 16:16:26
☆ Re: 組み合わせの式の変形について / 彩
分かりました！

ご回答いただきありがとうございます。
No.86400 - 2023/09/10(Sun) 17:19:25
★ (No Subject) / あ
この問題の（４）の解き方が分かりません。教えてください。
No.86396 - 2023/09/09(Sat) 19:57:02
☆ Re: / ast
p=11 (p^2=121) に対して f(1)=11, f'(1)=35 は (2) の条件を満たすから, (2) に示される k であればどれでもよいが例えば k=5 をとれば, (3) から m=5*11+1 は期する所のものである.
No.86397 - 2023/09/09(Sat) 22:02:11
★ テイラー展開 / Eラン大学生
(問)次の関数を指示された点まわりに、2次の項までテイラー展開しなさい。　　　e^2x、x=1 まわり

(質問) f(x)＝e^2xとおくと、
f'(x)＝2e^2x、f''(x)＝4e^2x より、
これを2次の項までテイラー展開すると、
　f(x)＝f(1)＋f'(x)(x-1)＋f''(x)∙(x-1)^2/2!
　　 ∴ f(x)＝e^2＋2e^2 (x-1)＋2e^2(x-1)^2

　という答え方でいいのでしょうか？答え方が自信なくて。
　全体をe^2でくくるとか、＝を≒にしなくていいものでしょうか。
No.86392 - 2023/09/09(Sat) 00:34:42
☆ Re: テイラー展開 / ast
# f(x)=e^(2x) なのか……
# e^2x じゃ e^2 と x の積にしかみえん……

まず一般論としてですが,
> という答え方でいいのでしょうか？
> しなくていいものでしょうか。
あなたがその問題を解くに至った文脈や環境 (例えば何らかの講義を受けている中で出た問題なのであればその講義) 内のローカルルールに従ってくださいという以上のことは外の人間には言えません. まあ,
> 全体をe^2でくくるとか、
はあきらかに不要だと思いますが.

あと少なくともハッキリ言っておくべきことは, "もとの函数 f(x)" と"もとの函数から作ったテイラー級数 (あるいはそれを途中で打ち切ったテイラー多項式)" は別のものですから, それらが実際に一致するか否かというのは常に気を付けるべき重要な命題ということです.

だから (少なくとも本問において)
> f(x)＝f(1)＋f'(x)(x-1)＋f''(x)∙(x-1)^2/2!
あるいは
>　　 ∴ f(x)＝e^2＋2e^2 (x-1)＋2e^2(x-1)^2
の右辺は実際に左辺と一致してないので "=" はダメです. さりとて, 普通は (少なくとも純粋数学での話であれば) "≒" は使用しません.

ローカルルール次第ではありますが, 左辺と右辺の誤差にあたる項 (剰余項), たとえばランダウの O-記法で O(x^3) あるいは o-記法で o(x^2) と書けるような項を右辺に付け加えておくべきなのではありませんか?
# 参考: e^(2x) の x=1 の周りでの order 2 のテイラー展開
ローカルルール次第では, もっと具体的な何らかの形 (代表的なものとしてはラグランジュ形やコーシー形など) で剰余項を記述しないと正解にならない出題意図である場合も, 十分あり得る話です.
No.86393 - 2023/09/09(Sat) 02:04:55
☆ Re: テイラー展開 / Eラン大学生
回答頂き有難うございます。
ひとまず、f(x)＝という表記はしないでおこうと思います。
No.86405 - 2023/09/12(Tue) 00:20:28
☆ Re: テイラー展開 / ast
えっと, まあ最終的には質問者さんのご判断に従えばよいとは思うのですが, ただ私個人としては, 端的に言えば「問題の要求 ("2-次のテイラー展開") は "f(x)=(2-次のテイラー多項式)+(剰余項)" の形で解答することである」という認識をNo.86393で回答したつもりです.

# (もしかすると明確に "テイラー級数" や "テイラー多項式" と呼ばないテキストの可能性もありますが)
# 質問者のNo.86392で "f(x)=(2-次のテイラー多項式)" としていることについて,
# 一般には「剰余項を書かなければ "=" は誤り」である (展開と級数を混同しない) と指摘しました.
## 「一般には」というのは成り立つ場合 (実際に剰余項が函数として0に等しい場合) があるという意味です.
# ここで, "テイラー多項式" の形は一意的ですが, 剰余項の記述の仕方は様々なのでそのあたりが
#「ローカルルール」の話になります. (万が一そのローカルルールが「剰余項を無視する」ような扱いを
# しているならまた話が別になってくるのかもしれませんが, それはまず考えにくいことなので).
No.86407 - 2023/09/12(Tue) 19:25:41
★ (No Subject) / 花
実数を初項、公比とする等比数列は、初項から10項までの和が2、初項から30項までの和が42である。このとき初項から50項までの和を求めよ。
No.86389 - 2023/09/08(Fri) 08:31:01
☆ Re: / X
問題の等比数列の初項をa、公比をrとすると
条件から初項から第n項までの和はnに比例しないので
r≠1
よって条件から
a(1-r^10)/(1-r)=2 (A)
a(1-r^30)/(1-r)=42 (B)
(B)÷(A)より
r^20+r^10+1=21
r^20+r^10-20=0
(r^10+5)(r^10-4)=0
rは実数ゆえ
r^10=4 (C)
(C)を(A)に代入すると
a/(1-r)=-2/3 (D)
(C)(D)より、求める和をSとすると
S=a(1-r^50)/(1-r)
=(1-4^5)・(-2/3)
=341・2
=682
No.86390 - 2023/09/08(Fri) 11:32:29
☆ Re: / 花
(A)と(B)を割ると言う発想が出ませんでした。

ありがとうございました。
No.86394 - 2023/09/09(Sat) 11:38:11
★ (No Subject) / やべ
XがYに比例するとはYが増えるとXが増えるという意味ですか？
No.86380 - 2023/09/06(Wed) 19:51:14
☆ Re: / ヨッシー
日常で使われる場合は知りませんが、数学では、
Ｙがｎ倍になると、Ｘもｎ倍になる
これが、任意の実数ｎについて言えるとき、ＸがＹに比例すると言います。

通常は、ｙがｘに比例する場合が多いので、それにならうと、
　ｙ＝−２ｘ
はｙはｘに比例しますが、ｘが増えてもｙは増えません。
　ｙ＝−１／ｘ
はｘが増えるとｙも増えますが、比例ではありません。
No.86387 - 2023/09/07(Thu) 08:58:55
☆ Re: / WIZ
数学用語かどうかは分かりませんが、
「yが増えるとxが増える」と言う関係は「(増減に関する)共変性」と言います。
共変性とは「互いに関係する複数のものの変化の方向が同じ」という意味です。
なので、正確にはxとyの一方が増えれば他方も増え、一方が減れば他方も減るという場合を「xとyは増減に関する共変性を持つ」と言う訳です。
例としては「x > 0 かつ y = x^2」のような比例でない場合も含みます。
因みに、変化の方向が逆になる場合を反変性と言います。
例としては「x > 0 かつ y = 1/x」のような場合を「xとyは増減に関する反変性を持つ」と言います。
No.86388 - 2023/09/08(Fri) 00:00:56
★ 三角関数の逆計算 / toto
三角関数の逆計算を日本語で説明するならば、『長さ（辺の比）を使って正弦定理や余弦定理などからその長さ（辺の比）に対応する正弦や余弦などを求めること』という説明であっていますか？
No.86377 - 2023/09/06(Wed) 14:06:23
☆ Re: 三角関数の逆計算 / らすかる
正弦や余弦を求めるのは「三角関数」ですから、逆計算になっていないと思います。
No.86378 - 2023/09/06(Wed) 14:30:47
★ ルートの連立方程式 / ふゆ＠中3生
いつもお世話になっています。
この問題が全くとけなくて…

√2ｘー2ｙ＝3　…1
2ｘ＋√2ｙ＝3　…2

加減法と代入法でとけということなのですが、解説に途中式もなくよくわかりませんでした。
解説をお願いしたいです。よろしくお願いします。
No.86375 - 2023/09/06(Wed) 06:24:19
☆ Re: ルートの連立方程式 / ヨッシー
加減法
(1) の両辺に√2を掛けて
　2x−2√2y＝3√2　　・・・(3)
　2x＋√2y＝3　　　　　・・(2)
(2)−(3) より
　3√2y＝3−3√2
　y＝(3−3√2)/3√2＝(√2−2)/2
(2) より
　x＝3/2−(√2/2)y
　　＝3/2−(√2/2)(√2−2)/2
　　＝3/2−(1−√2)/2
　　＝√2/2＋1
(x,y)＝(√2/2＋1, √2/2−1)

代入法
　√2ｘ−2ｙ＝3　　・・・(1)
より
　√2x＝2y＋3　　・・・(3)
　2ｘ＋√2ｙ＝3　　・・・(2)
より
　√2(√2ｘ)＋√2ｙ＝3
これに(3)を代入して、
　√2(2y＋3)＋√2ｙ＝3
展開して整理すると
　3√2y＝3−3√2
　y＝(3−3√2)/3√2＝(√2−2)/2
(3) より
　x＝√2y＋3√2/2
　　＝√2(√2−2)/2＋3√2/2
　　＝1＋√2/2
(x,y)＝(√2/2＋1, √2/2−1)

代入法は、
　x＝√2y＋3/√2
としてでも解けます。
No.86376 - 2023/09/06(Wed) 08:37:35
★ 合同式の質問 / あきら
(すみません。先ほど送りましたが、誤って送信されて文字が読めなかったので、書き直してもう一度質問させていただきます）

こんばんは。
合同式の方程式で[解答1]と[解答2]のどちらも正しい計算をしていると思っているですが、
(1)と(6)のどちらが正しいですか。その理由を教えてください。よろしくお願いします。

11x≡１　(mod4)……(1)を解け。

どちらが正解ですか。

[解答1]
(1)より、　　 3x≡１　(mod4)……(2)
(2)×3より、 　 9x≡3　(mod4)……(3)
(1)-(3)より、　 2x≡-2　　(mod4)……(4)
(2)ー(4)より、　　x≡3　(mod4)……(5)　（答え）

[解答2]

［解答１］で
2x≡-2　　(mod4)……（４）
(4)の両辺を2で割ると、割る数2とmod4の最大公約gは2
だから、
x≡-1　　(mod4/ｇ)
x≡-１　　(mod4/2)
x≡-１　　(mod2)（答え）……(6)
No.86373 - 2023/09/05(Tue) 23:06:30
☆ Re: 合同式の質問 / らすかる
「(1)と(6)のどちらが正しいですか」が「(5)と(6)のどちらが正しいですか」ならば
正しいのは(5)です。(4)は必要条件でしかありません。
どちらが正しいかは、具体値を代入してみればわかります。
(6)はx≡1(mod2)つまり奇数ということですが、
例えばx=1は(6)は満たしますが(1)を満たしませんね。
No.86374 - 2023/09/06(Wed) 00:51:10
☆ Re: 合同式の質問 / あきら

すみません。「(5)と(6)のどちらが正しいですか」でした。



「(4)は必要条件でしかありません。」で、私は必要十分と思ってしまうのですが、なぜ必要条件なのですか。

2x≡-2　　(mod4)　　　　⇒　x≡-１　　(mod2)

　x≡-１　　(mod2)　　　⇒　2x≡-2　　(mod4)

で同値変形ですよね。



(1) から(4)の変形は同値変形で、

(4)から(6)の変形も同値変形なので、

すべての変形は同値変形なので

11x≡１　(mod4)の解はx≡-１　　(mod2)

と考えてしまうのですが、どこが誤りですか？


No.86379 - 2023/09/06(Wed) 14:36:34
☆ Re: 合同式の質問 / らすかる
(1)-(3)=(4)が同値変形ではありません。
(1)⇔x≡3(mod4)
(3)⇔x≡3(mod4)
ですが
(4)⇔x≡1,3(mod4)
です。
極端な話、(1)-(1)を計算すると0≡0(mod4)となり
任意のxで成り立つ式になりますので、
和・差が常に同値変形になるわけではないですね。
No.86381 - 2023/09/06(Wed) 20:22:04
☆ Re: 合同式の質問 / ast
話の内容に直接関係ないですが, No.86373[解答1] は実質的に (1)×2 で (4) が, (1)×3 で (5) が出ると述べているだけですね (そして後者だけ書けば十分).
# まあ, そう要約すれば, "×2" が法 4 と互いに素ではないことが (1) と同値かどうかの判断材料になる,
# くらいのことはいえるか.
No.86382 - 2023/09/06(Wed) 21:10:33
☆ Re: 合同式の質問 / あきら
すみません。
astさんの解説がわかりません。
もう少しわかりやすくしていただけるか、別の方法を教えて下さい。
No.86383 - 2023/09/06(Wed) 22:49:37
☆ Re: 合同式の質問 / 黄桃
(1)と(2)は同じ式。
(2)を A=B と書けば
(3) は 3A=3B
(1)-(3)は A-3A=B-3B つまり -2A=-2B -2≡2 mod 4 だから、結局 (4)は、2A=2B, つまり (2)x2 としただけ。
mod 4では2の逆元はないから、(4)は必要条件にすぎない、ということです。

＃個人的には解法1は(4)を経由して（それを使って(5)を出して）いる時点で
＃このままではアウトだと思います。
＃(5)ならば(1)を言えば、解法1でもOKだと思います。
No.86385 - 2023/09/06(Wed) 23:06:22
☆ Re: 合同式の質問 / ast
> astさんの解説がわかりません。
前置き通り, 私は何も解説していません. 単に要約した結果が「(1) 11x≡1 (mod 4) ならば, その両辺 3-倍した (x≡)33x≡3 (mod 4) は (あるいは (3) はと言っても同じことだが) (5) にほかならない」ということになるというだけです.
# そして, 掛けた 3 と法 4 は互いに素だから逆も辿れるので,
# もとの問題を解きたいだけならこれだけで十分なのになぁ……, と.
No.86386 - 2023/09/07(Thu) 00:23:06
☆ Re: 合同式の質問 / あきら
私は基本的なことがわかっていないのかもしれません。
方程式から合同式を使って解くと、x≡　の形（必要条件）は正解になるとは限らないので逆（十分条件）を考える必要があると思うのですが、
なぜ[解答1]はx≡3(mond4）で逆を確認しないのですか。（逆を確認しないで正解に
なっているのはなぜですか）

もっと基本的な方程式で考えてみました。

＜＜問題１＞＞
5ｘ＝15　……(7)　を解け

（解答）
両辺を5で割って
x＝3　……(8)　……（答え）

(別解）
5ｘ＝15　……(7)　
x≡3　（　mod　4　）……(9)　
よって、　ｘ＝4k＋3（kは整数）……(10)　（答え。誤り）

この方法で解く場合は、逆に　ｘ＝4k＋3（kは整数）の時、
(7)を満たすxはx=3のように逆を考えてないといけないですよね。
No.86391 - 2023/09/08(Fri) 12:39:52
☆ Re: 合同式の質問 / IT
> 別の方法を教えて下さい。
元の問題を解くだけなら　（mod 4の4は比較的小さいので）
X≡0,1,2,3 (mod 4) について調べて
答え）X≡3 (mod 4) 　

途中）11X＝8X+3X ≡3X(mod 4) ≡-X (mod 4)
ぐらいは使っても良いかも知れません。途中で変形が多いとまちがいが入り込む可能性がそれだけ高くなります。

もちろん、一般的な解法は、ユークリッドの互除法などでXの係数を１にする方法だと思いますし、みなさんの解説を理解されるのは意味があると思います。
No.86395 - 2023/09/09(Sat) 14:19:50
☆ Re: 合同式の質問 / あきら
すみません。
皆さんのコメントをいただいたのですが、やはり基礎がわかっていなくて、
どうしても理解できませんでした。
もう少し調べて皆さんのコメントを理解できるようにします。
丁寧に応えてくださったのに理解できずすみませんでした。
No.86409 - 2023/09/12(Tue) 22:11:11
★ 線対称な直線の方程式の考え方について / りお
文字化けしているので再登校します。
問題
『直線L1：x-y-2=0 と 直線L2：ax+by-8=0 が 直線L：x+2y+1=0に関して対称であるとき、
　a,bの値を求めよ』

以下のように考えました。

L1とLは平行ではないのでL1とL2は平行ではなく、よってL上で交わる。
この交点をAとし、Aの座標はLとL1を連立して(1, -1)である。
L1上に点B(3, 1)をとる。点BとLに対称なL2上の点をC(s, t)をとる。
すると線分BCの中点M((3+s)/2, (1+t)/2)はL上にある。
だから x=(3+s)/2, y=(1+t)/2 をL：x+2y+1=0 に代入する。s=-2t-7となる。（☆）
一方で点C, 点Aの2点を通る直線の方程式は、(t+1)(x-1)-(s-1)(y+1)=0 と置ける。
これを変形すると (t+1)x+(2t+8)y+t+7=0 である。
点C,点Aをの2点を通るのはL?Aなので、ax+by-8=0 である。

この2つの式は同じ直線を表しているので係数を比較して、t,a,bを出していったのですが、答えは全く違っていました。
?@と?Aを比較するときは、係数を比で比較せず、ただの等式で考えたことが間違いの原因なのかな、と思っています。
それ以外にも考え方のおかしいところがあるでしょうか？
（解答を見ると☆のところまでは考え方があっていました。
しかしなぜ自分の考え方だと答えが間違っているのかがわかりません）
No.86369 - 2023/09/05(Tue) 20:59:05
☆ Re: 線対称な直線の方程式の考え方について / ast
少なくとも, 点B が未知数を含まない定点, 直線L が未知係数を含まない定直線なのに, 点B の対称点C に未知数が残っていることがおかしい.
(対称点は, 線分BCの中点がL上にあるような無数の点C の中で, ただひとつ線分BCと直線Lが直交するもの.)
No.86370 - 2023/09/05(Tue) 22:43:53
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