数学２Bまでの範囲だと思うのですが。
放物線y=x^2 上の異なる３点A(a,a^2) B(b,b^^2) O(0,0)を考える。ただしa>b
∠AOBが直角のときab=-1 ←これは前の小問で分かった。
この時、四角形AOBCが長方形になるように点Cを定める。Cの軌跡を図示せよ。
解
点C(X,Y)とす
四角形AOBCが長方形になるとき対角線OCと対角線ABの中点は一致するから
(0+X)i/2=(a+b)1/2 , (0+Y)1/2=(a^2+b^2)1/2
よって X=a+b , Y=a^2+b^2
これらよりY=X^2+2
(ここからがわからない)
a,bを2解とする２次方程式は t^2-Xt-1=0
この式の判別式Dについて D=X^2+4>0
よってこの２次方程式はすべての実数Xに対して異なる2解をもつ
したがって点Cの軌跡はy=x^2+2
（ここまで）
Xをtの式に入れて判別式を使うと、何を示せるのかがわかりません。
夜分に失礼いたしました。
どうぞよろしくお願いいたします。
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No.84123 - 2022/12/02(Fri) 00:59:02
| ☆ Re: この判別式は何を表している？ / ケンプファー | | | すみません書き間違いです。
四角形AOBCが長方形になるとき対角線OCと対角線ABの中点は一致するから
(0+X)i/2=(a+b)1/2 , (0+Y)1/2=(a^2+b^2)1/2 間違い
(0+X)1/2=(a+b)1/2 , (0+Y)1/2=(a^2+b^2)1/2 正しくはこれです。
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No.84124 - 2022/12/02(Fri) 01:02:58 |
| ☆ Re: この判別式は何を表している？ / ヨッシー  | | | もし、判別式Ｄ＞０を満たすＸが −１＜Ｘ＜１ のように、
限られた範囲のＸだけだったら、解答は
y=x^2+2 ただし、−1＜x＜1
のようになります。
−1＜x＜1 以外の部分、つまり、−1以下や１以上のｘについては、
∠ＡＯＢ＝90°となるような図が描けないということになります。
この問題では、そういうことはないので、
y=x^2+2 （ｘは全実数：書く必要はなし）
が答えとなります。
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No.84129 - 2022/12/02(Fri) 14:00:43 |
| ☆ Re: この判別式は何を表している？ / ケンプファー | | | 取り急ぎご返信ありがとうございます。
まだ理解ができてないのですが、
a,bを2解とする２次方程式は t^2-Xt-1=0
の部分でなぜ、別の二次方程式によって条件？確認？できるのかがわからないです。
解と係数の関係であることはわかるのですが。
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No.84134 - 2022/12/03(Sat) 00:17:34 |
| ☆ Re: この判別式は何を表している？ / IT | | | 横から失礼します。
> a,bを2解とする２次方程式は t^2-Xt-1=0
>
> の部分でなぜ、別の二次方程式によって条件？確認？できるのかがわからないです。
「別の」とは、"何"に対して"別の"と言っておられますか？
なお、ab=-1 を満たす実数a,b について a+b の値の範囲を調べているわけですので
b=-1/a よって a+b＝a-(1/a) ( a≠0）の値の範囲を直接調べても良いです。
a<0, a>0 それぞれでa-(1/a) は、すべての実数値を取ります。
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No.84138 - 2022/12/03(Sat) 10:40:06 |
| ☆ Re: この判別式は何を表している？ / ケンプファー | | | ITさんありがとうございます。なかなか見れずにいまして申し訳ありません。
Y=X^2+2 がでたあと、t^2-Xt-1=0という別の式で何かを確認？しているのは、(解と係数の関係2より)ab=-1が満たされる式でa+bを組み込むことができるからでしょうか？
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No.84187 - 2022/12/05(Mon) 10:55:37 |
| ☆ Re: この判別式は何を表している？ / ast | | | どう解釈するかはいろいろあるとは思いますが,
> t^2-Xt-1=0
における t はその作り方から t=a または t=b ですから, "t^2-Xt-1=0" 自体は "a,b それぞれを X (および Y) で表した式" をひとまとめにしたものと理解するのがもっともまっとうだと思います.
# ただし, 本問においてこのようなことができるのは, X,Y が a,b の対称式であり, かつ
# a,b のすべての基本対称式に関する情報が (X,Y の式というかたちで) 出揃っているからです.
## (これは「それ以外の場合にはできない (必要)」ではなく「この場合にはできる (十分)」なので,
## もっと違った条件下で同じような手法が利用できる可能性はあります)
そのように理解すべきという理由は, "(特定の関係式を満たす) 実数 X,Y が任意に与えられたとき, それら X,Y を適当な実数 a,b を用いて (問題で与えられたとおりの関係式として) 表せるか" ということを確認するために, a,b を X,Y で表す式がわかることはとても有効な手立てとなるからです. (逆向きの議論では実際, X,Y が a,b の式として表されることが解答中で既に明らかになっているおかげで, "a,b が (任意の) 実数ならば X,Y が (特定の関係式で結ばれる) 実数であること" をすぐに確認できます).
# 当該部分で「確認」する内容は, "X,Y を表せる a,b があるか, あるならばそれら a,b が実数にとれるか" です.
# a,b があることは t の方程式として表すことで, 実数としてとれることはその方程式の判別式で
# ともに実際に確認していることになります.
## もちろん, "一般には (問題によっては), そのようなうまい実数 a,b がとれない実数 X,Y も存在しうる"
## ということには注意する必要があります (これは既に No.84129 でヨッシーさんが書かれてますね).
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No.84213 - 2022/12/07(Wed) 10:42:57 |
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