ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 角度αを求めたいです / TK

この問題解ける方お願いします。
条件はこれで足りると思うのですが、自分だと解けそうなところで詰まりました。
二枚目は検算用です。

BC ZC AZは与えられる
赤い線はBCに直交する
α=2βである

この時のαを求めよ

No.63416 - 2020/02/12(Wed) 12:58:40

☆ Re: 角度αを求めたいです / らすかる

二つの方法で求めてみましたが、いずれにしても三次方程式を解くことになりそうです。
AからBCに下した垂線の足をHとすると
4CH^3-(2BC)CH^2-(3AC^2)CH+BCAC^2=0
という三次方程式が導出できますので、
a=-BC/2
b=-3AC^2/4
c=BC・AC^2/4
p=4(9ab-2a^3-27c)
q=4(a^2-3b)
p^2＞q^3ならば
u={p+√(p^2-q^3)}^(1/3)
v={p-√(p^2-q^3)}^(1/3)
CH=(u+v-2a)/6
p^2≦q^3ならば
u=√q
v=arccos(p/u^3)/3
CH=(ucos(v)-a)/3 または
CH=(ucos(v+2π/3)-a)/3 または
CH=(ucos(v+4π/3)-a)/3
でCHが求まり、βは
β=arcsin(CH/AC)
により求めることができます。

検算用の図では
AC=60√2
BC=100
ですから
a=-BC/2=-50
b=-3AC^2/4=-5400
c=BC・AC^2/4=180000
p=4(9ab-2a^3-27c)=-8720000
q=4(a^2-3b)=74800
p^2=76038400000000
q^3=418508992000000
からp^2＜q^3なので
u=√q=20√187
v=arccos(p/u^3)/3=arccos(-1090√187/34969)/3
となり
(ucos(v)-a)/3={(20√187)cos(arccos(-1090√187/34969)/3)+50}/3≒88.1025
(ucos(v+2π/3)-a)/3={(20√187)cos(arccos(-1090√187/34969)/3+2π/3)+50}/3≒-68.1025
(ucos(v+4π/3)-a)/3={(20√187)cos(arccos(-1090√187/34969)/3+4π/3)+50}/3=30
3つ目の30が適解ですから
β=arcsin(CH/AC)=arcsin(30/60√2)=arcsin(√2/4)≒20.704811°
のように求められます。

No.63418 - 2020/02/12(Wed) 14:41:56

☆ Re: 角度αを求めたいです / TK

らすかる様
ありがとうございました。参考にさせていただきます。

No.63433 - 2020/02/14(Fri) 00:10:47

★ 整数問題 / 粉きなこ

n!がn^2の倍数となるような自然数nをすべて求めよ

東工大の問題です。
回答がないのでどなたか教えてくださいませんか

No.63408 - 2020/02/11(Tue) 22:43:31

☆ Re: 整数問題 / らすかる

nがm≠√nかつ1＜m＜nであるようなmを約数に持てば
n!の積の中にnとmとn/mを含み、
n×m×(n/m)=n^2ですからn!はn^2で割り切れます。
「nがm≠√nかつ1＜m＜nであるようなmを約数に持つ」
⇔「nが異なる2つ以上の素因数を持つか、nが素数の3乗以上」
⇔「n≠pかつn≠p^2（pは素数）」
です。
n=p^2（pは3以上の素数）のとき、n!の積の中に
nとpと2pを含み、n×p×2p=2n^2ですからn!はn^2で割り切れます。
n=2^2=4のとき、n!=24はn^2=16で割り切れません。
n=pのとき、n!の積の中にpは1回しか出てきませんので
n!はn^2=p^2で割り切れません。
n=1のときは明らかにn!はn^2で割り切れます。
従ってn!がn^2で割り切れないのはnが素数または4の場合ですから、
n!がn^2の倍数となるのはnが素数でも4でもない場合です。

No.63411 - 2020/02/11(Tue) 23:08:31

☆ Re: 整数問題 / IT

(n-1)!がnの倍数ということなのでnが素数でなければいいような気がしますが、確認中です。

らすかるさんの回答にあるように４は駄目でしたね。

No.63412 - 2020/02/11(Tue) 23:10:39

☆ Re: 整数問題 / IT

2番煎じですが、少し表現の違う解答です。

n=1 は条件を満たす。
n>1のとき
　n!がn^2の倍数であることと　(n-1)!がnの倍数であることは同値。

　nが素数のとき　n-1以下の自然数は素数nで割り切れないので(n-1)!はnで割り切れない。

　nが合成数のとき　nの最小の素因数をpとし　n=pm とおくと、mはp以上の自然数。
　　p=m、すなわちn=p^2のとき
　　　(n-1)!がn(＝p^2)の倍数であるための必要十分条件は　n-1≧2p　
　　　すなわち　p^2-2p-1≧0　⇔　pは3以上の素数
　　p<m のとき
　　　　p<m<n よって　(n-1)!はn(=pm) の倍数。

以上から　nは1および,4を除く合成数｡

No.63419 - 2020/02/12(Wed) 19:26:35

★ (No Subject) / あ

この問題の書き出しってなぜ-1以上1以下ではダメなのでしょうか？
もし可能であれば、解説をお願いします

No.63402 - 2020/02/11(Tue) 20:41:54

☆ Re: / IT

それでも良いと思いますが、絶対値を評価した方が　少しすっきり書けるからでは？

No.63404 - 2020/02/11(Tue) 20:54:21

☆ Re: / あ

> それでも良いと思いますが、絶対値を評価した方が　少しすっきり書けるからでは？

もし-1以上1以下でやるならどのように出来ますか？

No.63406 - 2020/02/11(Tue) 21:24:43

☆ Re: / ヨッシー

No.63413 - 2020/02/11(Tue) 23:48:29

☆ Re: / IT

> もし-1以上1以下でやるならどのように出来ますか？
絶対値記号を使わないなら、こんな感じでしょうか？

-1≦sin(1/x)≦1 であるから
　x＞0のとき　-x≦xsin(1/x)≦x
　x＜0のとき　x≦xsin(1/x)≦-x

ここでlim(x→0)x＝lim(x→0)(-x)＝0 であるから、挟み撃ちの原理により、

　lim(x→0)xsin(1/x)＝0

No.63420 - 2020/02/12(Wed) 20:36:52

★ 重複組み合わせについて / suda

たとえば、A, B, C, Dの４種類の記号から重複を許して３個選ぶ組み合わせの総数はいくらか？　という問題があったとすれば、それは２０通りになります。

私はこの問題に4C1*4C1*4C1
と４通りの組み合わせを３乗したものが
この答えになるのだと考えました。
私の考え方の誤りを教えていただけませんか。

No.63393 - 2020/02/11(Tue) 16:55:23

☆ Re: 重複組み合わせについて / ヨッシー

入り口としては面白いかも知れません。

4×4×4＝64(通り)
というのは、４種類の記号を横に３つ並べた時の並べ方です。
ＡＡＢ、ＡＢＡ、ＢＡＡは別に数えられますが、重複組合せでは１つとカウントされます。
では、ダブった分を引けば良いわけですが、
１つの文字で出来ているもの：4Ｃ1＝４→そのまま
２つの文字で出来ているもの：4Ｃ2×2×3＝36→実は12通り
３つの文字で出来ているもの：4Ｃ3×3!＝24→実は4通り
これで、64通り→20通りになる様子が追えると思います。

No.63395 - 2020/02/11(Tue) 17:45:00

☆ Re: 重複組み合わせについて / suda

ご丁寧にありがとうございます。

>２つの文字で出来ているもの：4Ｃ2×2×3＝36→実は12通り
>３つの文字で出来ているもの：4Ｃ3×3!＝24→実は4通り

これらはそれぞれ何を表しているのでしょうか。

No.63397 - 2020/02/11(Tue) 18:31:13

☆ Re: 重複組み合わせについて / ヨッシー

4×4×4＝64 の方法では 36通りと数えられているのが、
重複組み合わせだと12通りだという意味です。

No.63398 - 2020/02/11(Tue) 18:33:16

☆ Re: 重複組み合わせについて / ヨッシー

ちなみに、4×4×4 の方は「重複順列」と言います。
　

No.63399 - 2020/02/11(Tue) 18:50:01

☆ Re: 重複組み合わせについて / suda

>4Ｃ2×2×3=36
これはなぜ重複順列の一部になるのですか。
4つの文字から２つの文字をとってきた組の総数に2*3を
かけている理由を教えていただけませんか。
色々考えたのですが分かりません。

No.63414 - 2020/02/12(Wed) 00:27:54

☆ Re: 重複組み合わせについて / ヨッシー

ＡＢＣＤ　から２つの文字を選ぶ選び方が　4Ｃ2通り
ＡとＢを選んだとして、　ＡＡＢ　か　ＡＢＢ　かで２通り
ＡＡＢを選んだとして、並び方が　ＡＡＢ，ＡＢＡ，ＢＡＡ　の３通り
です。

No.63415 - 2020/02/12(Wed) 09:14:57

★ 速度 / あき

数学IIIの問題です

X車で直線上にある地点Aから地点Bまで移動することを考える。X車は地点Aを時刻0に速度0で出発し、時刻Tで地点Bに到着する。(Tは正の定数)また、時刻tにおける車の速度vはv=t(t-T)^2で表される。また、車の長さは考えないものとする。

(1)AB間で、vが最大になるときのtを求めよ。
(2)AB間の距離を求めよ。
(3)Y車は地点A,Bで止まることなく、AB間を一定の速度wで走行する。Y車が地点Aを時刻T/4で通過し、時刻3/4TでX車を追い抜いたとする。このときの速度wを求めよ。ただし、車の衝突は考えないものとする。

解説していただけると助かります。

No.63385 - 2020/02/11(Tue) 00:09:08

☆ Re: 速度 / X

計算自体は数学IIの範囲でも解けますが
それだと計算が煩雑になります。
どこで数学IIIで学習する項目を
使っているか考えながら、
以下の解答をご覧下さい。

(1)
条件から
dv/dt=(t-T)^2+2t(t-T)
=(3t-T)(t-T)
これを元に
0≦t≦T
の範囲でtに対するvの増減表を書くことにより
求めるtの値は
t=T/3

(2)
求める距離をlとすると
l=∫[0→T]vdt=∫[0→T]{t(t-T)^2}dt
=[(1/3)t(t-T)^3][0→T]-(1/3)∫[0→T]{(t-T)^3}dt
=(1/12)T^4

(3)
時刻tにおけるX車のAからの距離をL(t)とすると
L(t)=∫[0→t]vdt
=[(1/3)t(t-T)^3][0→t]-(1/3)∫[0→t]{(t-T)^3}dt
=(1/3)t(t-T)^3-(1/12)(t-T)^4+(1/12)T^4
一方、条件から
L(3T/4)=w(3T/4-T/4) (B)
(A)(B)より
(1/3)(3T/4)(-T/4)^3-(1/12)(-T/4)^4+(1/12)T^4=wT/2
これより
(81/4)(T/4)^4=wT/2
(81/1024)T^4=wT/2
∴w=(81/512)T^3

No.63386 - 2020/02/11(Tue) 00:37:36

☆ Re: 速度 / あき

ありがとうございます！
(2)の結果に3T/4を代入するのではなく、積分区間を0→3T/4として積分すると、分子が27でなく81になるのですがどこかおかしな部分はありますか？

No.63387 - 2020/02/11(Tue) 01:32:27

☆ Re: 速度 / ヨッシー

積分区間の 0～t の t に 3T/4 を代入することと
積分した結果の (1/12)t^4 に 3T/4 を代入することとは
同じことなので、結果は同じになるはずです。
積分の結果はちゃんと　(27/1024)T^4 になりましたか？

No.63391 - 2020/02/11(Tue) 09:59:00

☆ Re: 速度 / X

>>ヨッシーさんへ
フォローして頂いた後で大変申し訳ありませんが、
今回は私の計算ミスです(ごめんなさい)。

>>あきさんへ
ごめんなさい。あきさんの仰る通りです。
(3)で誤りがありましたので、No.63386を
直接修正しました。再度ご覧下さい。

注)
ミスの原因は(3)のL(t)を
(2)の結果のTの代わりにtを代入したもの
と勘違いしたことです。

No.63401 - 2020/02/11(Tue) 19:48:16

☆ Re: 速度 / あき

Xさん、ヨッシーさん、ありがとうございました。

No.63417 - 2020/02/12(Wed) 14:24:43

★ (No Subject) / 積分漸化式

すいません、これも昨日受験したばかりで答えがないのですが、どなたか2の答えと、3の考え方を教えていただけませんでしょうか…

※ 画像が横になってしまったので、再アップしました。

No.63380 - 2020/02/09(Sun) 13:10:43

☆ Re: / IT

（途中まで）
(2)
部分積分を使えば
a[n]=[(x^n)sin(π/2)x](0,1)-(π/2)∫[0,1](x^n)cos(π/2)xdx
=1-{π/(2(n+1))}b[n+1]

b[n]=[(x^n)cos(π/2)x](0,1)+(π/2)∫[0,1](x^n)sin(π/2)xdx
={π/(2(n+1))}a[n+1]

よって　a[n]=1-{π^2/(4(n+1)(n+2))}a[n+2]…（ア）

b[n] も同様にできます。

(3)
定義から
　0≦a[n],b[n]≦∫[0,1](nx^(n-1))dx=[x^n](0,1)=1

(2)より0≦1-a[n]＝{π^2/(4(n+1)(n+2))}a[n+2]≦π^2/(4(n+1)(n+2)）→０（n→∞）
したがって　ａ＝１.

No.63383 - 2020/02/09(Sun) 19:46:01

☆ Re: / 積分漸化式

ITさん回答ありがとうございます。

もう一度、ITさんの解答を参考にしながら、解いてみます。
ありがとうございました。

No.63384 - 2020/02/10(Mon) 21:15:35

★ (No Subject) / し

この式は成り立ちますか？

No.63373 - 2020/02/09(Sun) 01:42:16

☆ Re: / らすかる

〔　〕の意味は何ですか？

No.63374 - 2020/02/09(Sun) 02:23:33

☆ Re: / し

> 〔　〕の意味は何ですか？

ガウス記号です

No.63375 - 2020/02/09(Sun) 03:20:46

☆ Re: / らすかる

それならば
[x]^2-[x]-5/4＜0 と
(1-√6)/2＜[x]＜(1+√6)/2 は
同値です。

No.63377 - 2020/02/09(Sun) 06:57:23

☆ Re: / IT

[ ]がガウス記号である場合を含め、 [x] が　実数ならば、その式は成り立ちますね。

No.63389 - 2020/02/11(Tue) 07:40:38

☆ Re: / らすかる

そうですね。
私は〔x〕^2が〔x〕の2乗でない可能性を考えて質問しました。
〔x〕じゃなくて［x］と書かれていればガウス記号と判断したんですけどね。

No.63392 - 2020/02/11(Tue) 14:45:23

★ よろしくお願いします / 塩昆布

a,b,cは実数の定数とする
関数f(x)=x3+ax2+bx +cはx=0において極大値をとり、x=4 において極小値をとる。
1.a,bの値をそれぞれ求めよ　またf(x)の極大値、極小値をそれぞれcを用いて表せ。
2.方程式f(x)=0の異なる実数解の個数が２個であり、実数解の一方が正、もう一方が負であるとする。cの値と、f(x)=0の解を求めよ
また、そのときのy=f(x)のグラフをかけ

No.63363 - 2020/02/08(Sat) 16:31:29

☆ Re: よろしくお願いします / ヨッシー

1.
f(x)を x で微分して、
　f'(x)＝3x^2＋2ax＋b
f'(x)＝0 の解が x＝0, 4 なので、
　f'(x)＝3x(x-4)
と書けます。展開して係数を比較すると、
　ａ＝－6、ｂ＝０
f(x)＝x^3－6x^2＋c において、
　f(0)＝ｃ　　・・・極大値
　f(4)＝ｃ－32　・・・極小値

2.
極大値か極小値のいずれかでｘ軸と接するグラフになりますが、
それは極大値ではない（f(x)＝0 の解がｘ＝０となるため）。
よって、ｘ＝４がf(x)＝0 の解(重解)となります。
そのとき、
　f(4)＝c-32＝0
よって、
　c＝32
f(x)＝x^3－6x^2＋32＝0 を解きます。
　f(x)＝(x-4)^2(x+2)
より、ｘ＝4, －2

グラフは以下の通り。

No.63367 - 2020/02/08(Sat) 17:13:13

☆ Re: よろしくお願いします / 塩昆布

関数はf (x)=x^3+ax^2+bx+c です

No.63368 - 2020/02/08(Sat) 17:13:58

★ (No Subject) / 場合の数

今日の入試で出たためにまだ答えがないのですが、どなたか解説していただけませんか？

n個(n≧7)の整数1,2,3,…,nからk個の整数を選ぶ時、どの2数の差の絶対値も2以上となるような選び方は何通りか？

ちなみに入試では n=7,k=3/n=15,k=3の場合が出ました

No.63359 - 2020/02/08(Sat) 14:08:02

☆ Re: / ヨッシー

「どの２数の差も２以上」で良いと思いますが、それはともかく。

まず前提として、ｎ≧２ｋ－１でないと、そういう選び方は出来ないので、その条件下で、
　(n-k+1)Ｃk
が答えです。

ｎ個からｋ－１個除いたｎ－ｋ＋１個の整数で考えます。
1,2,3・・・n-k+1 の中から、数字をｋ個選びます。
それを、小さい順に並べ、一番小さいものはそのまま、
２番目に小さい数は＋１、３番目は＋２、・・・n-k+1番目は＋(n-k)します。
そうすると、少なくとも差が２である数字が選べます。

ｎ＝７，ｋ＝３の場合だと、１～５の数から３個選び、上の操作を施すと
　(1,2,3)→(1,3,5)
　(1,2,4)→(1,3,6)
　(1,2,5)→(1,3,7)
　(1,3,4)→(1,4,6)
　(1,3,5)→(1,4,7)
　(1,4,5)→(1,5,7)
　(2,3,4)→(2,4,6)
　(2,3,5)→(2,4,7)
　(2,4,5)→(2,5,7)
　(3,4,5)→(3,5,7)
のように、５個から隣り合わせを許して３個取る取り方と
７個から必ず間を１個以上空けて３個取る取り方が１対１に対応します。

No.63360 - 2020/02/08(Sat) 14:24:39

☆ Re: / 場合の数

なるほど！
そのように考えればよかったのですね。
ヨッシーさん解答ありがとうございました

No.63372 - 2020/02/08(Sat) 22:06:39

★ 生産計画問題 / るん

生産計画問題について質問です。

原料a:200kg　原料b:100kg　原料c:50kg　から、製品A,B,Cを生産したい。
各製品1?s当たりの生産に必要な原料は
製品A：原料a:0.6kg b:0.3kg c:0.1kg
製品B：原料a:0.1kg b:0.5kg c:0.4kg
製品C：原料　　　　b:0.3kg c:0.7kg
であり、各製品1?sあたりの利益は製品A:3000円　製品B:2000円　製品C：1000円である。
与えられた原料を用いて利益を最大化したい。

（１）生産計画問題を線形計画問題にモデル化しなさい。
（２）原料ｃを1?sあたり1000円でいくらでも追加購入できる場合の問題を線形計画問題にモデル化しなさい。

（１）は解けたのですが、（２）の解き方が分かりません。
宜しくお願い致します。

No.63358 - 2020/02/08(Sat) 13:30:03

★ 常微分方程式キャンパス・ゼミについて / タナカタケル

大学3年生です。

「マセマ出版社常微分方程式キャンパス・ゼミ（改訂6）」について、2つ質問をさせてください。

【対象書籍】
マセマ出版社
常微分方程式キャンパス・ゼミ（改訂6）

【対象部分】
p28「微分方程式の図形・自然現象・物理への利用」の章

【質問1】
この章では、（-1/y'）を考えることで、ある曲線群に直行するような曲線群を求めていると思います。

ここで、（-1/y'）を考える際には
y'≠0
つまり、y≠c(定数)
であることが前提となっているため、y=c(定数)の場合は別途検討しなければならないように感じます。

実際、「例題9」において
y=0
は求める曲線群の1つであると思います。

つまりより詳しい答えとしては、
--------------------
x^2+y^2=Cy
もしくは
y=0
--------------------
だと思います。

この考え方は正しいでしょうか。

【質問2】
ただ、
y=c(定数)
を別途検討するとして、そこから「例題9」におけるy=0のような解を求める方法がわかりません。

曲線群の図形的イメージがわからない中で上記のような解を導くためには、どのように考えれば良いでしょうか。

長文で申し訳ありませんが、ご回答いただけますと幸いです。

No.63357 - 2020/02/08(Sat) 10:51:31

☆ Re: 常微分方程式キャンパス・ゼミについて / m

【質問1】について、
直交曲線群が定義されていれば判別はできるのですが、そうではなさそうです。
本当に正しいかどうかは大学の担当の先生に聞いてみた方がいいと思います。

30ページの「直交する曲線群の求め方」で求めることができるのは
y=f(x)の形であってf'(x)≠0を満たすもののみです。
これで見つけられない曲線は
y=B (定数)
のほかにも
x=A (定数)
があります。（他にはないのかは私には難しくてわかりません。）
y=Bの形はy'≠0としていたのが原因で、
x=Aの形はy'が定義できないことが原因です。

【質問2】
曲線群がF(x, y, c)=0（c: 任意定数）と表されているとします。
x=Aの形のものの見つけ方：
x=Aと曲線群とある曲線Cの交点での曲線Cの傾きは0です。
つまりその交点では「yをxの関数とみて、dF(x, y(x), c)/dx = 0にy'(x)=0を代入したもの」が成り立ちます。
またF(A, y, c)=0も成り立ちます。
これらを連立してAについて解けばいいはずです。

y=Bの形のものの見つけ方はx=Aのときと同様。ただ、y方向の微分が出てきます（詳しくは例で）。

わかり難いと思うので例題9で実際にやってみます。

x=Aの形：
F(x, y, c) = x^2+y^2-cxとおく。
（y'=dy(x)/dxと書くことにする）
0=dF(x, y(x), c)/dx = 2x+2y(x)y'(x)-cよりy'=0として
0=2A-c
（cは任意定数なので）これを満たすA(定数)は存在しない
よって解なし。

y=Bの形：
（x'=dx(y)/dyと書くことにする）
0=dF(x(y), y, c)/dy = 2x(y)x'(y)+2yよりx'=0として
0=2BよってB=0
（これはたまたまF(x, B, c)=0を考えなくていい例。ラッキー）

よってy=0が求める直線。

暇なのでもう一つ例を
曲線群をF(x, y, c)=y-cx^2=0（放物線群）とおく。

x=Aの形：
0=dF(x, y(x), c)/dx = y'-2cxよりy'=0を代入して
0=2cAよってA=0
（これもたまたまF(A, y, c)=0を考えなくていい例）

y=Bの形:
0=dF(x(y), y, c)/dy =1-2cxx'よりx'=0を代入して
0=1よって解なし（厳密には背理法。y=Bの形の法線が存在したとすれば0=1となるから矛盾。よって存在しない）

よってx=0が求める直線。

長くなりました。
問題なのは、30ページの方法と合わせても曲線群のすべてが求まるかどうかが分からないという事です。証明できればいいのですが、難しそうです。

No.63381 - 2020/02/09(Sun) 13:18:25