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★ 行列の多項式 / かるね
(3)の解き方についてどなたかご教授頂けないでしょうか。
よろしくお願いします。
No.63530 - 2020/02/21(Fri) 01:47:36
☆ Re: 行列の多項式 / ast
(2) で固有多項式 (に A を代入して O になる事実) が出てきているので, 固有多項式を φ(x) と書くことにすれば, g として f を φ で割った余りがとれるのでは?

# h(A)=O となる低次の h(x) があれば, その h を使って f の次数を下げればよい, という話なので固有多項式に拘る必要があるわけではありません.
No.63531 - 2020/02/21(Fri) 14:46:50
☆ Re: 行列の多項式 / かるね
ありがとうございます。その場合、題意のf(A)≠Oという条件はどう絡んでくるのでしょうか。
No.63533 - 2020/02/21(Fri) 23:02:44
☆ Re: 行列の多項式 / ast
別に無理に絡める必要ないのでは…?
# f(A)=O なら自明な g(x)=0 をとればよいので, f(A)=Oの場合を除かなくても話は成立すると思います.
# まあ多項式としての0の次数について言及を避けたいということかもしれませんが.
No.63536 - 2020/02/21(Fri) 23:31:51
☆ Re: 行列の多項式 / かるね
ありがとうございます。

ちなみに、f=φ(x)+g, φ(x):固有多項式
はなぜ成り立つのでしょうか。

お手数をおかけしますが、また返信頂けますと助かります。
No.63568 - 2020/02/22(Sat) 18:08:51
☆ Re: 行列の多項式 / ast
> f=φ(x)+g, φ(x):固有多項式
> はなぜ成り立つのでしょうか。

そこまで強い主張は問題の解答に必要ないですし, さすがにそんな都合よく割った商 Q(x) が Q(x)=1 になったりしないと思いますが……,

　f(x) = Q(x)φ(x) + g(x) 　 (deg(g) < n=deg(φ))
のとき
　f(A) = Q(A)O + g(A) = g(A)

ではどこか足りないとお考えでしょうか……?
No.63569 - 2020/02/22(Sat) 18:30:10
☆ Re: 行列の多項式 / かるね
申し訳ございません。
誤:　f=φ(x)+g, φ(x):固有多項式
正: f(x)=Q(x)φ(x)+g(x), φ(x):固有多項式，Q(x):商
正の式が何故成り立つかお聞きしたかったですが、解決しました。

要は、φ(x)の次数よりQ(x)とg(x)の次数は低くく、
x=Aに代入することで、Q(A)=0となって、f(x)=g(x)が成り立つということですよね。

ありがとうございました。
No.63570 - 2020/02/22(Sat) 19:42:17
☆ Re: 行列の多項式 / ast
解決されたとのことなので必要ないとは思いますが多少の補足を.

> 正の式が何故成り立つか
これは既に書いた通り割り算をしてという話なので, なぜ成り立つかではなくて成り立つような多項式の組 Q, g をとったというべきです. それがなぜ存在するかは (それが f, φ に対してちょうど一通りに決まることと合わせて) 高校数学で履修したはずと思いますので, もしまだあやふやにおもわれるのでしたら多項式の割り算について復習されるとよいでしょう.

後は細かい点ですが (まあ, 多くは単純な打ち間違いだろうとは思いますが)
> φ(x)の次数よりQ(x)とg(x)の次数は低くく、
これも割り算の話ですが, Q の次数は φ の次数より低いとは限りません. 実際, f の次数 m が 2n より大きければ Q の次数は φ の次数より高いです. また Q について
> x=Aに代入することで、Q(A)=0となって
は成り立つとは限りませんし, x=A を代入した Q(A) がどんな行列でもこの話には寄与しません. 重要なのは φ(A)=O という (2) の結果だけです.

念のため書いておきますが, ここで (A の) 固有多項式 φ と言っているものは, (2) に出てきた行列 (A-α[1]E)…(A-α[n]E) に (3) の設定で対応する多項式です. つまり φ(x) := (x-α[1])…(x-α[n]); もちろん φ(A) = (A-α[1]E)…(A-α[n]E) = O ((2) の結果) です.
# 言うまでもなく, この意味での固有多項式 φ(x) は線型代数学で通常いう意味での行列 A の固有多項式に他なりません (それは (1) の形に帰着できることから容易に確認できると思います) が, (2) の結果を使うだけならべつに φ が何者かを知る必要はないともいえるでしょう.

> f(x)=g(x)が成り立つ
成り立つのは正しくは f(A)=g(A) ですね. m=deg(f) > n が仮定ですから f(x)≠g(x) という前提で考えていることになります.
No.63580 - 2020/02/23(Sun) 19:26:37
★ 微分法と積分法 / 耐水性
この問題の解き方を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.63523 - 2020/02/20(Thu) 21:25:50
☆ Re: 微分法と積分法 / ヨッシー
ｙ＝ｘ^2−(ａ＋１)ｘ＋ａ　と　ｙ＝ａ(ｘ−１)
を連立させて、
　ｘ^2−(ａ＋１)ｘ＋ａ＝ａ(ｘ−１)
整理して
　ｘ^2−(２ａ＋１)ｘ＋２ａ＝０
因数分解して
　(ｘ−１)(ｘ−２ａ)＝０
　ｘ＝２ａ，１
２ａ＜１　より、両者で囲まれた部分の面積は
　(１−２ａ)^3／６＝３６
　１−２ａ＝６
よって、
　ａ＝−５／２

こちらの公式を使っています。
No.63525 - 2020/02/20(Thu) 21:54:39
☆ Re: 微分法と積分法 / 耐水性
解説ありがとうございます。
理解できました。
No.63529 - 2020/02/20(Thu) 22:38:41
★ (No Subject) / 受験生
この問題が解けません。
どのような方針で解いていけばいいのかがわかりません。
(1)の解き方を教えて欲しいです。
No.63522 - 2020/02/20(Thu) 20:46:15
☆ Re: / IT
直線PQ の方程式は　y=(4/t)(1-x/t)　です。
これと 0＜x＜tが満たすべき条件だと思います

(2)各xについてｙの最大値M(x)を求めます。
No.63526 - 2020/02/20(Thu) 21:57:33
☆ Re: / ヨッシー
(1)
結局は、直線ＰＱの式をｔの入った形で表せ、ということです。
Ｐ(t, 0)、Ｑ(0, 4/t) より
　ｙ＝ａｘ＋4/t
とおき、これがＰを通ることより
　ａｔ＋4/t＝０
　ａｔ^2＝−４
ｔ＞０ より
　ａ＝−４／ｔ^2
よって、求める式は
　ｙ＝−４ｘ/ｔ^2＋4/t

(2) はＩＴさんの書かれた方針です。
No.63527 - 2020/02/20(Thu) 22:02:56
★ (No Subject) / るす
(2)が分かりません。
教えていただきたいです。
No.63519 - 2020/02/20(Thu) 18:27:26
☆ Re: / ヨッシー
△ＡＥＦ∽△ＣＤＦ　で相似比は１：２　なので、
　ＡＦ：ＦＣ＝１：２
よって、ＦＨはＡＣの(1/2−1/3＝)1/6倍
△ＡＣＤは四角形ＡＢＣＤの1/2であり、
△ＤＦＨはさらにその 1/6 倍なので、
△ＤＦＨは四角形ＡＢＣＤの1/12倍。
求める比は　１：１２
No.63521 - 2020/02/20(Thu) 19:05:11
★ (No Subject) / ウチ
赤文字で書いたところあってますか？
No.63518 - 2020/02/20(Thu) 18:17:55
☆ Re: / ヨッシー
合ってます。
No.63520 - 2020/02/20(Thu) 18:58:40
☆ Re: / ウチ
ありがとうございます
No.63572 - 2020/02/23(Sun) 11:11:10
★ (No Subject) / たけ
この問題の（1）教えてください
No.63515 - 2020/02/20(Thu) 00:53:01
☆ Re: / X
↑OP・↑AP+↑AP・↑BP+↑BP・↑OP=0
に
↑OP=↑p
↑OA=↑a
↑OB=↑b
を用いると
↑p・(↑p-↑a)+(↑p-↑a)・(↑p-↑b)+(↑p-↑b)・↑p=0
左辺を展開して整理をします。
No.63516 - 2020/02/20(Thu) 06:17:45
★ (No Subject) / たけ
カッコ一番わからないです教えてください
No.63512 - 2020/02/19(Wed) 21:03:36
☆ Re: / ヨッシー
Ｃ1 と Ｃ2 が接するということは、両者を連立させた、
　ａｘ^2＝ｂ(ｘ−２)^2＋４
が重根を持つということです。移項して展開して、
　(ａ−ｂ)ｘ^2＋４ｂｘ−４ｂ−４＝０
ａ＝ｂ のとき、両者は接しないので、ａ≠ｂ。
このとき判別式を取って、
　D/4＝４ｂ^2＋４(ａ−ｂ)(ｂ＋１)＝０
　ｂ^2＋(ａ−ｂ)(ｂ＋１)＝０
　ａｂ＋ａ−ｂ＝０
　ｂ(１−ａ)＝ａ
１−ａ≠０ より
　ｂ＝ａ/(１−ａ)＝−ａ/(ａ−１)
No.63513 - 2020/02/19(Wed) 21:19:08
☆ Re: / たけ
理解できましたありがとうございます！
No.63514 - 2020/02/20(Thu) 00:52:18
★ (No Subject) / かける
この問題の⑵は公式から与式の右辺のθにxを代入するだけではダメなのですか？
No.63509 - 2020/02/19(Wed) 17:55:48
☆ Re: / かける
公式です
No.63510 - 2020/02/19(Wed) 17:56:20
☆ Re: / IT
被積分関数の中にｘがあるので分離する必要があると思います。
(x-θ) の x
No.63511 - 2020/02/19(Wed) 18:11:09
☆ Re: / かける
> 被積分関数の中にｘがあるので分離する必要があると思います。
> (x-θ) の x


なぜ分離する必要があるのでしょうか？
理解ができていなくて申し訳ありません
No.63524 - 2020/02/20(Thu) 21:35:28
☆ Re: / IT
公式のfの中にxがある場合はダメです。 （なぜその公式が正しいかを考えると分かると思います。）

簡単な例でダメであること確認してください。

∫[0,x](xt)dt
∫[0,x](x-t)dt
を　x で微分すると　それぞれどうなりますか?
かける さんの考えておられる方法と、定積分を計算してから微分する方法で比べてみてください。
No.63528 - 2020/02/20(Thu) 22:15:36
★ (No Subject) / め
q²-2xq+y²=0
このqが0以外の実数を動くとき、xとyの存在範囲を図示するという問題なのですが、、q≠0を考えたいので、、
q=0ならばy=0、そしてy=0ならばq=0も成立してしまうので、まずyが0になってはいけないと考えy=0、即ちx軸を除外したのですが、間違っていました。
これは、q=0ならばy=0は確かに成り立つがy=0ならばq=0は、反例q=2xがあるから、ということでしょうか？
出来るだけ「集合と論理」的な考え方で解説をお願いしたいです。
No.63502 - 2020/02/19(Wed) 11:28:12
☆ Re: / らすかる
> q=0ならばy=0、そしてy=0ならばq=0も成立してしまう
「y=0ならばq=0も成立してしまう」は間違いです。
y=0でも例えばq=2,x=1ならば式を満たしますので
「y=0ならばq=0」は成り立ちません。
No.63503 - 2020/02/19(Wed) 11:51:43
☆ Re: / め
y=0であれば、確かにq=0は1つの解だが、q=2xも解なので、x≠0であればqはまだ0以外の実数を動ける。よってy=0を除外すると、qの実数解(0以外の)の一部まで除外してしまう。という考え方はあっていますか？
No.63504 - 2020/02/19(Wed) 12:06:03
☆ Re: / らすかる
合っていますが、普通は（論理的な考え方では）
「q=0ならばy=0だが、逆が成り立たないのでy=0を除外することはできない」
と考えると思います。
また反例は一つあれば十分なので、反例を挙げる場合は
「q=2xうんぬん」と説明するよりも「q=2,x=1」のように
具体値を挙げた方が明確で良いと思います。
No.63505 - 2020/02/19(Wed) 12:24:16
☆ Re: / め
ありがとうございます！
No.63506 - 2020/02/19(Wed) 12:38:46
★ (No Subject) / たけ
ADはどのようにだすのですか？
ちなみに解答は四角に一桁とは限りません。
No.63501 - 2020/02/19(Wed) 10:33:10
☆ Re: / ヨッシー
点ＣはＡＢのＢ側でＢＣ＝５となる点です。
△ＯＤＣは直角三角形で、
　ＢＯ＝ＤＯ＝7.5
より、
　ＯＣ＝12.5
三平方の定理より
　ＣＤ＝√(ＯＣ^2−ＯＤ^2)＝１０
△ＯＤＣは３辺が３：４：５の三角形なので、点ＤからＯＣに
下ろした垂線の足をＥとすると、
　ＤＥ＝ＣＤ×3/5＝６
　ＣＥ＝ＣＤ×4/5＝８
よって、
　ＡＥ＝２０−８＝１２
△ＡＥＤは、３辺が１：２：√5 の三角形となるので
　ＡＤ＝６√５
No.63507 - 2020/02/19(Wed) 12:55:54
☆ Re: / たけ
わかりました！ありがとうございます！
No.63508 - 2020/02/19(Wed) 14:44:51
★ 積分できないです。教えてください。 / 医浪人
誰か下の写真の積分の仕方を教えて欲しいです…
No.63488 - 2020/02/18(Tue) 21:57:15
☆ Re: 積分できないです。教えてください。 / m
x=tan(y)
の置換で解けます。

分母がx^2+1っぽいときはこうするとたいていできます。
No.63490 - 2020/02/18(Tue) 22:14:16
☆ Re: 積分できないです。教えてください。 / m
もし、式変形で困ってるなら

tan^2(y) + 1
= (sin^2(y) + cos^2(y)) / cos^2(y)
= 1/cos^2(y)

も使います。
No.63496 - 2020/02/18(Tue) 23:06:14
☆ Re: 積分できないです。教えてください。 / 医浪人
ありがとうございます。
No.63498 - 2020/02/18(Tue) 23:49:37
★ (No Subject) / えむ
連投ですみません。
No.63487 - 2020/02/18(Tue) 21:48:53
★ 空間図形の問題 / えむ
中学数学を勉強しています。
下線部の部分がなぜこう表すことができるのかわかりません。
初歩的な問題でお恥ずかしいですが、よろしくお願い致します。
No.63486 - 2020/02/18(Tue) 21:48:07
☆ Re: 空間図形の問題 / ヨッシー
この画像が続きということで良いですか？
No.63491 - 2020/02/18(Tue) 22:23:36
☆ Re: 空間図形の問題 / ヨッシー
単位の cm は省略します。

まず、△ＡＢＣと△ＡＯＣは、ＡＣが共通で、残りの２辺がいずれも６なので、両者は合同です。
よって、ＨＡ＝ＨＣ＝ＨＯであり、これを２ｒ（円の直径）と置くと、
　ＡＣ＝ＡＨ＋ＨＣ＝４ｒ
です。

一方、△ＯＡＣの面積はＯＡを底辺とするとＯＣが高さになるので、
　ＯＡ＝ＯＣ＝６
より
　△ＯＡＣ＝６×６÷２＝１８
です。
No.63492 - 2020/02/18(Tue) 22:27:59
☆ Re: 空間図形の問題 / えむ
ありがとうございました。
納得しました。
またお願い致します。
No.63517 - 2020/02/20(Thu) 14:52:03
★ 最大化問題 / かるね
画像のような最大化問題の解き方を教えてほしいです。
No.63485 - 2020/02/18(Tue) 20:44:11
☆ Re: 最大化問題 / m
問題文は正しいですか？
一行目のy_2, ..., y_nに二乗が付いていそうだし、
三行目はその省略の仕方だと
λ_1 > λ_2 * λ_3 * ... * λ_n >0
という意味になってしまいます。
（不等号を省略しているのか、掛け算を省略しているのか、わかりません。）
なんとなく問題設定に違和感があるので聞いてみました。元のであっているなら、あってると教えてください。お手間をおかけします。

あと、学年（学部）等も教えていただけると、何を前提として説明すればいいのか分かって回答しやすいです。
No.63489 - 2020/02/18(Tue) 22:06:57
☆ Re: 最大化問題 / かるね
•y_2,y_nに二重のつけ忘れをしてしまいました。申し訳ございません。
•三行目に関しては、不等号の省略ですね。申し訳ございません。
正しくは
λ1>λ2>•••>λn>0
です。

元々は画像の問題(2)を考える際に、考察した最大化問題です。
学年は情報学部の大学2年です、
よろしくお願いします。
No.63493 - 2020/02/18(Tue) 22:34:56
☆ Re: 最大化問題 / かるね
連投になってすいません。
正しい最大化問題はこのようになります。
No.63494 - 2020/02/18(Tue) 22:46:36
☆ Re: 最大化問題 / m
（添え字をy[1]のように書きます。）

λ[1] > ... > λ[n]とする。

方針は良さそうなので、
Max y[1]^2λ[1]^2 + ... + y[n]^2λ[n]^2
　s.t. y[1]^2 + ... + y[n]^2 = 1
がλ[1]^2になることを示します。

最大値を求める方法はいくつかありますが、この場合は次の二つを示せばよさそうです。
(1) あるy[1], ..., y[n] s.t. y[1]^2 + ... + y[n]^2 = 1
　が存在してy[1]^2λ[1]^2 + ... + y[n]^2λ[n]^2 = λ[1]^2

(2) すべてのy[1], ..., y[n] s.t. y[1]^2 + ... + y[n]^2 = 1
　に対してy[1]^2λ[1]^2 + ... + y[n]^2λ[n]^2 ≦ λ[1]^2

(1), (2)が言えれば、λ[1]^2が最大値になることが言えます。

証明：
(1)は
y[1] = 1, y[2] = ... = y[n] = 0とおくと成り立ちます。

(2)は
y[1]^2 + y[2]^2 ... + y[n]^2 = 1とする。
各i = 2, ... nにたいして
λ[i] < λ[1]より
y[i]^2λ[i]^2 ≦ y[i]^2λ[1]^2
が成り立つ。iについて足すと
y[1]^2λ[1]^2 + y[2]^2λ[2]^2 + ... + y[n]^2λ[n]^2
≦ y[1]^2λ[1]^2 + y[2]^2λ[1]^2 + ... + y[n]^2λ[1]^2
　= (y[1]^2 + y[2]^2 ... + y[n]^2)λ[1]^2
　= λ[1]^2
となり言えました。
No.63495 - 2020/02/18(Tue) 23:03:55
☆ Re: 最大化問題 / かるね
ありがとうございます。
一点気になることがあります。

λ[i] < λ[1]より
y[i]^2λ[i]^2 ≦ y[i]^2λ[1]^2

上のように、<から≦に変化する理由を教えていただきたいです。
No.63497 - 2020/02/18(Tue) 23:42:36
☆ Re: 最大化問題 / m
y[i]^2>0のときは"<"でいいのですが、
y[i]^2=0のときは両辺とも0となって"="となるからです。
No.63499 - 2020/02/19(Wed) 00:16:37
☆ Re: 最大化問題 / かるね
ありがとうございました！
No.63500 - 2020/02/19(Wed) 00:19:58
★ 三角関数の問題 / かんたろう
cos(2α)+cos(β)=cos(2β)+cos(α)=1/2 のとき、cos(α)とcos(β)の値を求めよ

上記の問題が分かりません
ご検討よろしくお願いいたします。
No.63479 - 2020/02/17(Mon) 13:57:39
☆ Re: 三角関数の問題 / IT
x=cos(α),y=cos(β) とおく
2倍角の公式から元の式は 2x^2-1+y=2y^2-1+x=1/2
∴2x^2-1+y-(2y^2-1+x)=0
∴(2(x+y)-1)(x-y)=0
∴y=1/2-xまたはy=x
これを2x^2-1+y=1/2　　に代入して解く.
No.63480 - 2020/02/17(Mon) 13:58:12
★ n次導関数の導出方法 / かるね
画像の(3)を解く際、f(x)のn次導関数を導出したいのですが、導出方法を教えてほしいです。
よろしくお願いします。
No.63465 - 2020/02/16(Sun) 19:32:14
☆ Re: n次導関数の導出方法 / m
求めるのは難しいと思います。
そして、(3)を示すためには求める必要はありません。

f(x)のx > 0におけるn階導関数は
ある多項式関数P_nを使って
P_n(1/x) e^(-1/x)
と書けることが（帰納法により）言えます。

あとは任せます。厳密にやると結構長いです。
わからなければ聞いてください。
No.63466 - 2020/02/16(Sun) 20:20:38
☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね
mさん
ご返信ありがとうございます。
帰納法を使ったn階導関数の導出法がわかりません。
ご教授お願いできないでしょうか。
No.63467 - 2020/02/16(Sun) 20:37:15
☆ Re: n次導関数の導出方法 / m
添え字が多いので画像で。
（ちょっとだけ修正）
No.63468 - 2020/02/16(Sun) 21:10:22
☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね
ありがとうございます。
ちなみに、P1(x)は
P1(x)=x^2
でよろしいですか？
No.63469 - 2020/02/16(Sun) 21:32:39
☆ Re: n次導関数の導出方法 / m
はい。
No.63471 - 2020/02/16(Sun) 21:41:41
☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね
了解致しました。

画像のように、n階導関数の極限を使って、c^∞を証明したいのですが、この極限を導出法のご教授お願いできますか。
No.63474 - 2020/02/16(Sun) 23:02:29
☆ Re: n次導関数の導出方法 / m
それはカンタン。
y=1/xと置き換えて、P_nは多項式だから
lim[y to ∞] P_n(y)/e^y = 0
No.63475 - 2020/02/17(Mon) 00:10:05
☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね
P_n(y)は一定値と考え、y→∞のとき
(P_n)/∞ = 0
という感じで、極限は0になるっていうことですか？

自分の考えでは、P_n(y)はyの関数なので、y→∞のとき
∞/∞
になるのかと考えました。
No.63476 - 2020/02/17(Mon) 00:30:10
☆ Re: n次導関数の導出方法 / らすかる
多項式よりもe^xの方が発散速度が速いので、(多項式)/e^xは0に収束します。

(証明)
(多項式)/e^xの分子の次数がm次のとき、分子分母をx^mで割れば
分子は定数(m次の係数)に収束しますので、分母をx^mで割ったe^x/x^mが
+∞に発散することを示せば十分です。
f(x)=√x-logxとおくとf'(x)=(√x-2)/2xなのでx＞4のときf(x)は増加
f(4)=2-log4=2(1-log2)＞0なのでx≧4でf(x)＞0
よってx≧4で√x＞logxなので
lim[x→∞]x-mlogx＞lim[x→∞]x-m√x=lim[x→∞](√x)(√x-m)=+∞
lim[x→∞]e^(x-mlogx)=+∞
∴lim[x→∞]e^x/x^m=+∞
No.63478 - 2020/02/17(Mon) 05:31:18
☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね
皆さんありがとうございます。
解決しました。
No.63484 - 2020/02/18(Tue) 20:41:33
★ (No Subject) / うい
サイコロをｎ回投げる時、１の目が偶数回出る確率をPｎとする
Pn+1をPnを使って表せ

という問題で、「ｎ回目までに偶数回１が出ていて、ｎ+1回目に２〜６の目が出る」のと「n回目までに奇数回出て 、n+1回目で1」を合わせた確率になることまではわかったのですが、
前者の方を (5/6)P[n] で表せる理由がわかりません。
なぜ、２〜６の目が出る確率にp(n)をかけているのですか？
No.63460 - 2020/02/16(Sun) 17:34:45
☆ Re: / らすかる
「n回目までに偶数回1が出る確率」がP[n]
「n+1回目に2〜6の目が出る確率」が5/6ですから
n回目までに偶数回1が出て、かつn+1回目に2〜6の目が出る確率は
（n回目までの結果とn+1回目の結果は独立なので）P[n]と5/6の積になります。
No.63462 - 2020/02/16(Sun) 18:03:46
☆ Re: / うい
そうなんですね……
奥が深いです。
また質問するかもしれません、よろしくお願いします。
No.63464 - 2020/02/16(Sun) 18:34:32
★ 特性方程式 / うい
a(1)=６、a(n＋１)＝４a(n)−９

b(n＋1)＝4b(n)
となるのが理解できないので教えてください
お願いします
No.63459 - 2020/02/16(Sun) 16:57:58
☆ Re: 特性方程式 / らすかる
b[n]=a[n]-3とおくというのは
b[1]=a[1]-3, b[2]=a[2]-3, b[3]=a[3]-3,…のように
すべての自然数nに対してb[n]=a[n]-3とおくという意味ですから
b[n+1]=a[n+1]-3でもあり、
前の行で
a[n+1]-3=4(a[n]-3)
となっていて
(左辺)=a[n+1]-3=b[n+1]、(右辺)=4(a[n]-3)=4b[n]ですから
b[n+1]=4b[n]となります。
No.63461 - 2020/02/16(Sun) 18:01:50
☆ Re: 特性方程式 / うい
解説ありがとうございます


理解できました！嬉しいです。
No.63463 - 2020/02/16(Sun) 18:30:20
★ 複素平面 / Ran
この問題を見てください。

解答で、z=0のとき |ω|=1が成り立つから…
とあるのですが、どうしてz=0のときに限られるんですか？？
z≠0のときにたまたま |ω|=1になることはないんでしょうか？
No.63453 - 2020/02/16(Sun) 10:42:10
☆ Re: 複素平面 / Ran
解答です
No.63454 - 2020/02/16(Sun) 10:43:37
☆ Re: 複素平面 / m
その文は、「|w|=1がz=0の場合に限る。」という意味ではありません。
「z=0を代入すると|w|=1が成り立つ」という意味です。
より日本語的には「z=0としても|w|=1が成り立つ」ということ。

（計算、議論を簡単にするためにz=0という特別な場合を考えたのです。）
No.63456 - 2020/02/16(Sun) 11:06:44
☆ Re: 複素平面 / Ran
ではどうして、z=0のとき |ω|=1が成り立つとわかるのですか？？
まだaしか値は出ていないのに……


何度も質問すいません
No.63457 - 2020/02/16(Sun) 12:40:32
☆ Re: 複素平面 / らすかる
単位円は原点中心半径1の円ですから
単位円上の点の絶対値は1です。
ですから、条件からzが虚軸上の点であれば
|ω|=1となります。
No.63458 - 2020/02/16(Sun) 13:17:26
☆ Re: 複素平面 / Ran
全然わからんくて泣き

いつもすいません((
No.63470 - 2020/02/16(Sun) 21:34:15
☆ Re: 複素平面 / らすかる
与えられた条件から
・zが虚軸全体を動くとき、ωの軌跡をCとする
　→ zが虚軸上にあればωはC上にある
・Cは単位円の周に含まれる
　→ C上の点は原点からの距離が1である
　→ ωがC上にあれば|ω|=1である
よって
zが虚軸上にある⇒ωはC上にある⇒|ω|=1である
となり、z=0は虚軸上の点ですから|ω|=1となります。

これでわからない箇所がある場合は、わからない箇所を具体的に書いて頂ければ
その箇所をさらに詳しく説明します。
No.63477 - 2020/02/17(Mon) 01:05:38
★ 高校数学 / ろっし
画像の問題の解答と解説を教えてください
No.63448 - 2020/02/15(Sat) 13:48:22
☆ Re: 高校数学 / m
(i)
g(x) = x^3+x^2+x+1とおく。多項式の割り算の原理より
(x+1)^(2020) = q(x)g(x) + (ax^2+bx+c)
と表せる。ただしq(x)は多項式。
（実数a, b, cを求めればよい。）
上の式にx= -1, i, -iを代入すれば
g(-1), g(i), g(-i) = 0よりa, b, cの満たす連立方程式が出てくる。
（左辺はドモアブルを使う。a, b, cは実数なことに注意）
解くと、
b = 0, c = 2^1009, a = - 2^1009

解説
g(x)=(x^4-1)/(x-1)となるので、x = -1, i, -i（1の4乗根の内1でないもの）が解となる。
これを使いたい。


(ii)は画像

解説
絶対値を処理するには
kπ/n (k=0, 1, 2, ..., n^2-1)ごとに積分するしかない。
kについて偶奇で分ければできる。
（誘導なしはしんどいね。）
No.63450 - 2020/02/15(Sat) 16:10:22
☆ Re: 高校数学 / m
(ii)
補足
e^(-x)sin(nx)の原始関数の求め方について
これはよくあるやり方で
原始関数が
Ae^(-x)sin(nx) + Be^(-x)cos(nx)
の形になると予想して、A, Bを求めている。
いきなり出てくる4-5行目は、e^(-x)cos(nx)の項を消すように足しただけです。

あと7行目、積分定数書き忘れてます。すいません。
No.63451 - 2020/02/15(Sat) 16:31:04
☆ Re: 高校数学 / らすかる
＞ mさん

(i)の答えは
b = 0, c = 2^1009, a = - 2^1009 でなく
b = 0, c = - 2^1009, a = 2^1009 になりませんか？
No.63452 - 2020/02/16(Sun) 09:49:37
☆ Re: 高校数学 / m
らすかるさん
ご指摘ありがとうございます。その通りです。

(1+i)^2020 = (√2)^2020 * (cos(π/4) + i sin(π/4))^2020
　= 2^1010 * (cos(505π) + i sin(505π))
　= - 2^1010
を間違えていました。
No.63455 - 2020/02/16(Sun) 10:49:13
☆ Re: 高校数学 / ろっし
mさん

(2)に関しては2/π が答えということでよろしいでしょうか
No.63481 - 2020/02/17(Mon) 17:11:30
☆ Re: 高校数学 / m
はい、よろしいです。
No.63482 - 2020/02/17(Mon) 20:10:32
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