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★ 極限 / Ran
円O の周上に点Tをとり、Tにおいてこの円に引いた接線上にTに関して同じ側に2点P,QをT , P ,Qの順にとり、OP, OQが円Oと交わる点をそれぞれR, Sとする。 lim[n→∞] RS/PQ =1/4となるとき、角OQT ( θとする)の値を求めよ。

と言う問題がわかりません！
答えと方針を教えてください！
No.63012 - 2020/01/11(Sat) 10:04:25
☆ Re: 極限 / X
nの定義が問題文に書かれていません。
問題文にタイプミスはありませんか？
No.63021 - 2020/01/11(Sat) 19:08:13
☆ Re: 極限 / Ran
まちがえました！！！

P→Qです！
No.63025 - 2020/01/11(Sat) 23:08:25
☆ Re: 極限 / X
条件からxy平面上に
円O:x^2+y^2=1
T(0,1)
P(a,1),Q(1/tanθ,1)
(ただし0＜a＜1/tanθ)
と取っても一般性を失いません。

このとき
直線OP,OQの方程式は
y=x/a
y=xtanθ
∴R,Sが第1象限の点となることに注意すると
R(a/√(a^2+1),1/√(a^2+1))
S(cosθ,sinθ)
よって
RS=√{(a/√(a^2+1)-cosθ)^2+(1/√(a^2+1)-sinθ)^2}
=√{2-{2/√(a^2+1)}(sinθ+acosθ)}
=2√{{1-cos(θ-α)}/2}
=2|sin{(θ-α)/2}| (∵)半角の公式
=2sin{(α-θ)/2}
(但しαは
tanα=1/a,0＜α＜π/2
なる角)
PQ=1/tanθ-a
∴lim[P→Q]RS/PQ=lim[a→1/tanθ-0]{2sin{(α-θ)/2}}/(1/tanθ-a)
=lim[α→θ+0]{2sin{(α-θ)/2}}/(1/tanθ-1/tanα)
(∵)αの定義により、αは直線OPとx軸の正の向きとのなす角
=lim[α→θ+0]{-{2sin{(α-θ)/2}}/(α-θ)}/{(1/tanα-1/tanθ)/(α-θ)}
よって
f(x)=2sin(x/2)
g(x)=1/tanx
と置くと
lim[P→Q]RS/PQ=-f'(0)/g'(θ)
=(tanθcosθ)^2
=(sinθ)^2
これを
lim[P→Q]RS/PQ=1/4
に代入すると
(sinθ)^2=1/4
条件から
0＜θ＜π/2
ゆえ、これより
sinθ=1/2
∴θ=π/6
No.63030 - 2020/01/12(Sun) 09:05:29
☆ Re: 極限 / X
ごめんなさい。No.63030の5行目に誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.63046 - 2020/01/13(Mon) 10:22:32
☆ Re: 極限 / Ran
いつも助かってます

ありがとうございました！
No.63050 - 2020/01/13(Mon) 15:19:44
★ (No Subject) / うい
ここまで合っているかも、この後何を求めるべきかもわからないのでアドバイスがほしいです。
お願いします。
No.63008 - 2020/01/11(Sat) 00:00:56
☆ Re: / X
問題となるのは接線の傾きであって
接線の方程式ではありません。


y=x^2 (A)
y=ax^2+bx+c (B)
の点(2,4)における接線と
x軸の正の向きとのなす角をα、β
(ただし-π/2＜α＜π/2,-π/2＜β＜π/2)
とすると、(A)(B)と条件から
tanα=4 (A)'
tanβ=4a+b (B)'
tan(α-β)=tan(π/4),tan(-π/4)
つまり
tan(α-β)=1,-1 (C)
(C)の左辺に加法定理を使って展開をし
(A)'(B)'を代入します。

a,cをbで表す方針そのものに
問題はありません。
但し、a,cについての連立方程式を
解く計算は間違っています。
こちらの計算では
a=1-b
c=2b
となりました。
No.63010 - 2020/01/11(Sat) 06:09:02
☆ Re: / うい
間違いを指摘してくださりありがとうございます

丁寧な解説ありがとうございます、解き直してみます。
No.63041 - 2020/01/12(Sun) 19:52:55
★ 中学数学です。 / 苫
分からないので、ご回答よろしくお願いします。
No.63007 - 2020/01/10(Fri) 23:45:46
★ (No Subject) / うい
すみません…。
m＝tanΘになる理由を教えてください。
色々考えてみたのですが、わかりません…。
No.63006 - 2020/01/10(Fri) 23:37:43
☆ Re: / IT
数１の教科書で　三角比（tanなど）の定義を確認することをお勧めします。

ｎ＝0のとき　すなわち　直線ｙ＝ｍｘ　について考えると少し分かり易いかも知れません。
No.63009 - 2020/01/11(Sat) 02:35:01
★ 中１数学です。全く手がつきません。 / こまさん
よろしくお願いします。
No.63004 - 2020/01/10(Fri) 20:25:33
☆ Re: 中１数学です。全く手がつきません。 / IT
NG=NC=NB なぜこう言えるかは、補助線(CG,NGなど)を引くなどして考えてください。
∠GBN＝90°-30°＝60°

よって　△GBNは正三角形でGB=BN＝4.5cm
No.63005 - 2020/01/10(Fri) 21:43:46
★ 最大最小 / Ran
f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) 0≦x≦4の最大値と最小値を求めよ、

方針だけでいいのでよろしくお願いします！
No.63002 - 2020/01/10(Fri) 11:19:31
☆ Re: 最大最小 / らすかる
f(x)をx軸方向に-2平行移動したものをg(x)とすると
g(x)=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)=x^5-5x^3+4x　（-2≦x≦2）
これは5次の係数が正でg(x)=0の解がx=-2,-1,0,1,2である5次式なので
-2＜x＜-1と0＜x＜1でg(x)＞0、-1＜x＜0と1＜x＜2でg(x)＜0
g'(x)=5x^4-15x^2+4なので
g'(x)=0の解はx=±√(150±10√145)/10　（複号任意）
|√(150+10√145)/10|＞|√(150-10√145)/10|から、解を小さい順に並べると
-√(150+10√145)/10＜-√(150-10√145)/10＜√(150-10√145)/10＜√(150+10√145)/10
となるので、g(x)は
x=-√(150+10√145)/10,√(150-10√145)/10で極大値
x=-√(150-10√145)/10,√(150+10√145)/10で極小値
をとる。
x=-√(150+10√145)/10のとき
g'(x)=0からx^4=3x^2-4/5なので
g(x)=x^5-5x^3+4x=x(3x^2-4/5)-5x^3+4x=-2x^3+(16/5)x
=-x(2x^2-16/5)={√(150+10√145)/10}{2(15+√145)/10-16/5}
=√(4750+290√145)/25
同様にx=√(150-10√145)/10のとき
g(x)=-x(2x^2-16/5)=-{√(150-10√145)/10}{2(15-√145)/10-16/5}
=√(4750-290√145)/25
√(4750+290√145)/25＞√(4750-290√145)/25なので
x=-√(150+10√145)/10のときの√(4750+290√145)/25が最大値
またg(x)は奇関数で定義域が-2≦x≦2なので
最小値をとる点は最大値と原点に関して対称、よって
x=√(150+10√145)/10のときの-√(4750+290√145)/25が最小値
従ってf(x)は
x=2-√(150+10√145)/10のとき最大値√(4750+290√145)/25
x=2+√(150+10√145)/10のとき最小値-√(4750+290√145)/25
をとる。
No.63003 - 2020/01/10(Fri) 14:57:06
☆ Re: 最大最小 / Ran
計算がやばすぎる(((

ありがとうございました！
理解できました！
No.63011 - 2020/01/11(Sat) 09:59:26
★ 情報数学 / 交差点
数学の分野でなければ申し訳ございません。情報数学の分野に属すると思い質問しています。

非決定性有限オートマトンや、非決定性チューリング機械についての資料は多くあるのですが、その他の非決定的な計算モデルについての資料を探してみましたが、見つかりません。

非決定的な帰納関数論と非決定的な並列計算についての資料を探しているのですが、それに関する文献やWebサイトをご存知の方がいれば教えていただきたいです。

よろしくお願いします。
No.63000 - 2020/01/09(Thu) 21:16:21
★ 流体力学の導出過程 / ｔ
u （∂u/∂x*dx+∂u/∂y*dy）+v（∂v/∂x*dx+∂v/∂y*dy）=udu+vdv＝d（u^2/2+v^2/2）になる過程がわかりません。

初歩的なことと思いますが詳しく解説していただけると幸いです。
よろしくお願いします。
流体力学の導出過程の一部です。
No.62994 - 2020/01/09(Thu) 16:08:17
☆ Re: 流体力学の導出過程 / X
流体力学そのものとは関係ない、純粋に数学としての
変形だけです。
解析学の全微分の項目を復習しましょう。
No.62995 - 2020/01/09(Thu) 18:34:03
★ 線形代数学 / x
4点A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1)を頂点とする四面体を平面2x+3y=1に対する対称変換で移せ。という問題が分かりません。
答えは、A'(4/13,6/13,0),B'(9/13,-6/13,0),C'(-8/13,1/13,0),D'(4/13,6/13,1)
です。
よろしくお願いします。
No.62991 - 2020/01/08(Wed) 20:28:19
☆ Re: 線形代数学 / X
問題の対称変換により、点P(x,y,z)が点Q(X,Y,Z)に
移るとします。
さて平面
2x+3y=1 (A)
の単位法線ベクトル↑nは
↑n=(2/√13,3/√13) (B)
一方、点Pと(A)との距離Lは
点と平面との距離の公式により
L=|2x+3y-1|/√13 (C)
ここで(B)が
領域2x+3y≦1
から
領域2x+3y≧1
への向きになっていることに注意すると
(i)点Pが領域2x+3y≧1に存在するとき
(C)は
L=(2x+3y-1)/√13
で
↑OQ=↑OP-L↑n
=(x-2(2x+3y-1)/13,y-3(2x+3y-1)/13,z)
(ii)点Pが領域2x+3y＜1に存在するとき
(C)は
L=-(2x+3y-1)/√13
で
↑OQ=↑OP+L↑n
=(x-2(2x+3y-1)/13,y-3(2x+3y-1)/13,z)

つまり(i)(ii)いずれの場合も
(X,Y,Z)=↑OQ=(x-2(2x+3y-1)/13,y-3(2x+3y-1)/13,z) (D)
後は(x,y,z)に問題の四面体の頂点の座標を代入します。
(D)の右辺はもう少し整理できますが、その計算はそちらでどうぞ)
No.62996 - 2020/01/09(Thu) 18:47:50
☆ Re: 線形代数学 / x
とても分かりやすい解説ありがとうございます！
No.62999 - 2020/01/09(Thu) 20:37:09
★ (No Subject) / 耐水性
(3)の解き方を教えていただきたいです。
宜しくお願いします。
No.62990 - 2020/01/08(Wed) 20:05:10
☆ Re: / IT
x/(b-c)=k とおくと　x=(b-c)k です｡

y,z も同様に表して, ax+by+czを計算します｡
No.62993 - 2020/01/08(Wed) 20:47:38
★ 極限の良難問 / 数学愛好家
高校数学の数学?V〜基礎的な大学数学の範囲内で「極限」に関する難問を教えてください！
大学入試レベルを（多少）超えていても構いません。
もし出典等があれば、併せて教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。
No.62987 - 2020/01/08(Wed) 02:15:17
☆ Re: 極限の良難問 / GandB
「数学　大学入試　極限の難問」
で検索すればいろいろ出てくるのでは。
　たとえば
　　https://gould2007.hatenadiary.org/entry/20071121/1195653864
　超難問だそうな。
　なお、そこの(2)の解説に出てくる

　　lim[n→∞]a[n] = α ⇒ lim[n→∞] (a[1] + a[2] + …… + a[n])/n = α

は高校数学スタイルの極限の定義では証明が難しいことで有名。というか数学者が書いた微積の参考書にはたいてい載っていると思う。証明がくどいほど丁寧なのは
　　イプシロン−デルタ（田島 一郎 共立出版）
No.62989 - 2020/01/08(Wed) 20:03:19
☆ Re: 極限の良難問 / IT
青空学園数学科の問題研究↓の微積 (東大、京大（特に特色や後期）,東工大などに難問が多いと思います。)
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/kakomon.htm

下記などは難問とまでは言えませんがやや難ですね。
（京大理系後期1993年第4問）
aは正の定数とする。不等式a^x≧axがすべての正の数xについて成り立つという。
このときaはどのようなものか。
No.62992 - 2020/01/08(Wed) 20:33:58
☆ Re: 極限の良難問 / 数学愛好家
お三方ともご回答ありがとうございます！
ご紹介いただいた問題にじっくり取り組んでみたいと思います。
No.63001 - 2020/01/10(Fri) 01:05:11
★ (No Subject) / アブドゥル
この問題では、軸で場合わけしてないのに、次レスの画像の問題では軸で場合わけしてるのはなんでですか？

前者ではaを定数としていて、後者のaは変数(定数とはいってないから)ですか？
No.62985 - 2020/01/08(Wed) 00:58:07
☆ Re: / アブドゥル
こちらです。

特定の定義域内で少なくとも一つ実数解をもつ条件を求めるという点では同じだと思うのですが。。
No.62986 - 2020/01/08(Wed) 00:59:16
☆ Re: / アブドゥル
すみません。後者でも軸で場合わけしてましたm(_ _)m
No.62997 - 2020/01/09(Thu) 19:14:56
☆ Re: / アブドゥル
すみません。後者でも軸で場合わけしてましたm(_ _)m
無かったことにしてくださいm(_ _)m
No.62998 - 2020/01/09(Thu) 19:15:45
★ (No Subject) / たけ
下線を引いたところのしきになる理由がわかりません。お願いします教えていただきたいです
No.62981 - 2020/01/07(Tue) 23:00:11
☆ Re: / らすかる
△BADにおいてsin∠BAD=BD/ABだからです。

# 直角三角形の直角でないある角の角度をθとすると
# sinθ=(θの対辺)/(斜辺)ですね。
No.62982 - 2020/01/07(Tue) 23:52:25
★ 展開したとき、項の係数を求める問題。 / YUKI
n：自然数ㅤk≦mとする

(１＋ｘ＋ｘ²＋ｘ³＋…＋ｘᵐ)ⁿを展開したとき、ｘ^kの係数を求めよ。

という問題です。

答えは (n+k-1)!/k!(n-1)! です。

ㅤ
しかし問題集の解説が分かりにくく、理解できず困っています。

詳しい方おられましたら、答えにたどり着くまでの過程をご教授いただけないでしょうか？

何卒よろしくお願いいたします。
No.62976 - 2020/01/07(Tue) 03:05:22
☆ Re: 展開したとき、項の係数を求める問題。 / ＩＴ
> ㅤ
> しかし問題集の解説が分かりにくく、理解できず困っています。
>
その解説がどんなものでどこまで分かってどこが分からないかわからないと、より分かり易い解説は無理かと思います。

（具体的なn,kで考えると分かってくる場合もあります。）
No.62978 - 2020/01/07(Tue) 18:02:14
☆ Re: 展開したとき、項の係数を求める問題。 / ＣＯＲＮＯ
>しかし問題集の解説が分かりにくく、
もしかして，解説に「重複組み合わせ」の語がありますか？

解説に「重複組み合わせ」の語があるか否かは置くとして，
YUKI さんは「重複組み合わせ」の問題は解いたことがありますか？
No.62980 - 2020/01/07(Tue) 18:14:15
☆ Re: 展開したとき、項の係数を求める問題。 / YUKI
ありがとうございます！もう一度自分で考えてみます。
No.62983 - 2020/01/08(Wed) 00:29:17
★ 大学数学　重積分 / ウィニー
次のDを図示し、重積分の値を求めよ。
(1) ∫ ∫D (x+y)^2 dxdy
(Dは(1,0)、(0,2)、(-3,-3)を頂点とする3角形の周及び内部)

(2) ∫ ∫D (x-y)cos(3x+5y) dxdy
(D={(x,y)|0≦3x+5y≦π,0≦x-y≦π})

(3) ∫ ∫D (x^2-y^2+2) dxdy
(D={(x,y)|(x^2+y^2)^2≦x^2-y^2,x≧0})

(4) ∫ ∫D √(x^2+y^2) dxdy
(D={(x,y)|-6x≦x^2+y^2≦9})

よろしくお願いいたします。
No.62975 - 2020/01/06(Mon) 23:03:08
☆ Re: 大学数学　重積分 / ウィニー
すみません、間違えて大学数学の質問を書いてしまいました。
無視していただいて構いません。
No.62977 - 2020/01/07(Tue) 12:53:07
★ 代数学 / う
7.6のa,bが分かりません。
No.62974 - 2020/01/06(Mon) 21:38:41
★ (No Subject) / アブドゥル
この問題の(2)において、「点Oは直径をABとした円周上にある」と書いてあるのですがなぜですか？
No.62973 - 2020/01/06(Mon) 20:31:18
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ
問題に
　　「∠ＡＯＢ＝９０°の直角三角形ＡＯＢが〜」
とあるからです．
直径の上に立つ円周角は90°である，ということです．
No.62979 - 2020/01/07(Tue) 18:06:33
☆ Re: / アブドゥル
ありがとうございましたm(__)m
No.62984 - 2020/01/08(Wed) 00:54:59
★ 二項定理 / 耐水性
画像の問題の解き方を教えていただきたいです。
宜しくお願い致します。
No.62969 - 2020/01/06(Mon) 17:17:03
☆ Re: 二項定理 / X
(2)だけ解きますので参考にして(1)(3)はご自分でどうぞ。

(2)
二項定理により
(x^2-3y)^4=Σ[k=1〜4](4Ck){(x^2)^k}(3y)^(4-k)
=Σ[k=1〜4]{(4Ck)・3^(4-k)}{x^(2k)}y^(4-k)
∴(x^2)(y^3)の項についてxの指数に注目すると
2k=2
これより
k=1
よって求める係数は
(4C1)・3^(4-1)=4・3^3=108
No.62970 - 2020/01/06(Mon) 18:38:30
★ (No Subject) / うい
(35/8)^2-(21/8)^2
を工夫して簡単に解く方法はありますか？
No.62964 - 2020/01/06(Mon) 09:08:50
☆ Re: / らすかる
例えば
(35/8)^2-(21/8)^2
=(35^2-21^2)/8^2
=(35+21)(35-21)/8^2
=56×14/8^2
=28×28/8^2
=(28/8)^2
=(7/2)^2
=49/4
No.62965 - 2020/01/06(Mon) 10:54:03
★ (No Subject) / アブドゥル
この問題の(2)の最初の等式が成り立つことを証明しました。あっていますか？(次レスに私の答案をのせます)
No.62957 - 2020/01/05(Sun) 21:02:52
☆ Re: / アブドゥル
こちらが私の証明です。このようなやり方はあっていますか？
(1枚目の画像の鉛筆で書き込まれた数字は答えです。)

ご回答よろしくお願いしますm(_ _)m
No.62958 - 2020/01/05(Sun) 21:04:02
☆ Re: / ヨッシー
x1＋x2＋・・・＋x10＝55,
y1＋y2＋・・・＋y10＝75
　・・・
x1y1＋x2y2＋・・・＝445
のときに限り、
　x1^2＋・・・＝10{sx^2＋(x~)^2}
が成り立つことを示せ
という問題ならそれで良いかもしれませんが、
一般に(どんな場合にも)
　x1^2＋・・・＝10{sx^2＋(x~)^2}
が成り立つことを示せ
という問題なので、分散の公式から導き出さないといけません。
No.62963 - 2020/01/06(Mon) 04:33:48
☆ Re: / アブドゥル
なるほど、よくわかりました。
丁寧に教えていただき感謝します。
ありがとうございましたm(_ _)m
No.62968 - 2020/01/06(Mon) 17:02:44
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