ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / うい

何度も失礼します。

この問題文の、「地点bの西から」というのがよくわからないのですが、どう考えたら良いでしょうか…。

No.62405 - 2019/11/23(Sat) 11:33:11

☆ Re: / らすかる

「地点Aは、地点Bの西から約何度南の方向にあるか」というのは
「地点Bから真西方向に直線を引いて、その直線をBを中心として
南方向（つまり反時計回り）に何度回転すれば地点Aを通るか」
と同じ意味です。

No.62408 - 2019/11/23(Sat) 12:09:17

☆ Re: / うい

とてもわかりやすいです！
ありがとうございます！

No.62411 - 2019/11/23(Sat) 13:05:21

★ nの値は８ですけど、この答えどのように求めるのか？ / しえ

大学一年生です

[(8+n)!-(7+n)!]/(2n-1)=15!

No.62400 - 2019/11/21(Thu) 12:56:27

☆ Re: nの値は８ですけど、この答えどのように求めるのか？ / ＩＴ

nは自然数とします。
[(8+n)!-(7+n)!]/(2n-1)=(7+n)(7+n)!/(2n-1)

7+n=2n-1 となるn=8 が分かれ目になりそうです。

n＜8のとき
　(7+n)/(2n-1)＜8+nなので　
　(7+n)(7+n)!/(2n-1)＜(8+n)!≦15！
　よって不適

n＝8 のとき (7+n)(7+n)!/(2n-1)=15*15!/15=15! OK

n＞8 のとき　
　(7+n)/(2n-1)＞1/2 なので
　(7+n)(7+n)!/(2n-1)＞(7+n)!/2＞15! 不適。

No.62401 - 2019/11/21(Thu) 14:06:39

☆ Re: nの値は８ですけど、この答えどのように求めるのか？ / ＩＴ

同じことですが下記の方が流れが良いかも知れません。

(任意の自然数nについて)　(7+n)/(2n-1)＞1/2 なので
15！=(7+n)(7+n)!/(2n-1)＞(7+n)!/2　
よって(7+n)!＜2*15！
　∴7+n＜16
　∴n≦8

n＝8 のとき (7+n)(7+n)!/(2n-1)=15*15!/15=15! OK
n＜8のとき
　1＜(7+n)/(2n-1)＜8+nなので　
　(7+n)!＜(7+n)(7+n)!/(2n-1)＜(8+n)!
　解なし。

No.62402 - 2019/11/21(Thu) 18:53:35

☆ Re: nの値は８ですけど、この答えどのように求めるのか？ / ＩＴ

これが自然かも
（任意の自然数nについて）(7+n)/(2n-1)＜8+nなので
15!＝(7+n)(7+n)!/(2n-1)＜(8+n)!
∴7＜n
n＝8のとき　(7+n)(7+n)!/(2n-1)=15*15!/15=15! OK
・・・

nが増加すると(7+n)(7+n)!/(2n-1) は増加することを先に示しておいても良いかも知れません。

No.62403 - 2019/11/21(Thu) 19:11:57

☆ Re: nの値は８ですけど、この答えどのように求めるのか？ / らすかる

ＩＴさんの解答とあまり変わりませんが
{(8+n)!-(7+n)!}/(2n-1)={(8+n)(7+n)!-(7+n)!}/(2n-1)
=(7+n)(7+n)!/(2n-1)=15!
(7+n)!/15!=(2n-1)/(7+n)=2-15/(7+n)
n＞8のとき(左辺)=整数、1＜(右辺)＜2なので不適
1≦n＜8のとき(左辺)≦1/15、1/8≦(右辺)＜1なので不適
n=8のとき(左辺)=(右辺)=1で適
∴n=8

No.62404 - 2019/11/22(Fri) 01:22:37

★ 同じものを含む順列？ / 場合の数

お願いします。

Aが３つ　Bが２つ　Cが２つ　DEFGHが１つずつ　計１２文字あります。

この１２文字を横一列に並べます。

この中で，ABという並びが少なくても１つある並び方は何通りでしょうか。

また，ABという並びとADという並び（４文字がくっついていなくてもOK)が１列の中に含まれる並び方は何通りでしょうか？

簡単に求められる物でしょうか？

No.62396 - 2019/11/20(Wed) 17:06:56

☆ Re: 同じものを含む順列？ / らすかる

答えの値が少し大きくなりますのでその点では「簡単に」とは
言えないかも知れませんが、求め方の理屈は難しくありません。

AAACCDEFGHの並べ方は10!/(3!2!)通り
その後Bを入れる方法は11H2通り
Aの右隣以外にBを入れる方法は8H2通り
よってABという並びを含む並べ方は
10!/(3!2!)×(11H2-8H2)=9072000通り

同様に
AAACCEFGHの並べ方は9!/(3!2!)通り
その後BとDを入れる方法は10H3×3通り
Aの右隣以外にBとDを入れる方法は7H3×3通り
Bを入れてAの右隣以外にDを入れる方法は10H2×9通り
Dを入れてAの右隣以外にBを入れる方法は10×8H2通り
従って
(ABとADを含む並べ方)
=(全体)-(ABまたはADを含まない並べ方)
=(全体)-(ABを含まない並べ方)-(ADを含まない並べ方)+(ABもADも含まない並べ方)
=9!/(3!*2!)×(10H3×3-10×8H2-10H2×9+7H3×3)=1723680通り

No.62397 - 2019/11/20(Wed) 19:58:07

★ 至急、回答願います / A

（１）3点A,B,CがOを中心とする半径１の円周上にあり、２OAベクトル＋３OBベクトルー４OCベクトル＝０ベクトル　を満たしている時、三角形ABCの面積を求めよ。

（２）点Pが三角形ABCの周および内部を、点Qは球S（中心：O、半径r）の表面および内部を動くとき、線分PQの中点Mの表す図形を求めよ。

No.62393 - 2019/11/20(Wed) 14:38:31

☆ Re: 至急、回答願います / A

追記、対象学年は高３です。（１）までは解けており（S＝√15/8）、（２）でOMベクトル＝　の式を立てようとしましたがうまくいきませんでした。

No.62394 - 2019/11/20(Wed) 14:43:07

☆ Re: 至急、回答願います / 関数電卓

(2) 3 点 A,B,C は球面 S 上にあるのですか？

No.62398 - 2019/11/20(Wed) 23:28:07

☆ Re: 至急、回答願います / ＩＴ

A,B,CがOを中心とする半径１の円周上
球S（中心：O、半径r）
なので　
r=1 のときだけ、3 点 A,B,C は球面 S 上にある　のではないでしょうか？

No.62399 - 2019/11/21(Thu) 10:35:19

★ 掛け算、割り算の順番 / たま

こんばんは。14歳、中学2年です。
　算数の基本レベルの質問ですみません。

ある数を%に直す問題で、たとえば、35/70をx/100に直す、というような時についてです。
70x=3500 → x=3500/70 =50 で50%(50/100)になるのはわかりますが、いつも考える時は　35×100/70としています。
　友達と話していた時、35×100÷70 と35÷70×100 は数字によっては答えが変わるからこの解き方は間違っている、と言われました。

掛け算と割り算が組み合わさっている問題は、左から解くルールを守っていれば順番が変わっても同じ答えにならないですか？

　試験の問題ではないのですけど、よろしくお願いします。

No.62391 - 2019/11/20(Wed) 01:01:56

☆ Re: 掛け算、割り算の順番 / らすかる

同じ答えになります。間違っていません。

No.62392 - 2019/11/20(Wed) 01:28:56

☆ Re: 掛け算、割り算の順番 / ヨッシー

1×3÷3＝3÷3＝1
1÷3×3＝0.3333…×3＝0.9999…
このたぐいの話でしょうかね？
もちろんこの場合も、両者は等しいのですが。

No.62395 - 2019/11/20(Wed) 16:34:40

★ (No Subject) / きょうりゅう

オレンジで丸が付いている大問の2がよくわかりません。考え方がわからないです。公式に則って教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします

No.62380 - 2019/11/19(Tue) 16:50:20

☆ Re: / きょうりゅう

公式です

No.62381 - 2019/11/19(Tue) 16:50:55

☆ Re: / X

回答の前に一言。

まず添付写真二枚目の一番下の行を参照してください。
その内容の意味するところは
赤ペンで囲った公式と
sin(-θ)=-sinθ (A)
cos(-θ)=cosθ (B)
tan(-θ)=-tanθ (C)
を頭に入れておけば、赤枠の上の方の
黒枠の公式は覚える必要はない(自分で導き出せるから)
ということです。

又、赤枠の公式は既に三角比の時に習った公式を
弧度法に置き換えただけです。
(これは理解されていると思いますが大丈夫ですか？)
つまり、実質的に新しく頭に入れておくべきは
(A)(B)(C)だけ
です。

以上を踏まえて以下の回答をご覧ください。
(1)
sin(9π/8)=sin(4π/8+5π/8)
=sin(π/2+5π/8)
=sin{π/2-(-5π/8)}
=cos(-5π/8)
=cos(5π/8)
=b
(2)
cos(-3π/8)=cos{-(π-5π/8)}
=cos(π-5π/8)
=-cos(5π/8)
=-b
(3)
tan(17π/8)=tan(12π/8+5π/8)
=tan(3π/2+5π/8)
=tan{π+(π/2+5π/8)}
=tan{π-{-(π/2+5π/8)}}
=-tan{-(π/2+5π/8)}
=tan(π/2+5π/8)
=tan{π/2-(-5π/8)}
=1/tan(-5π/8)
=-1/tan(5π/8)
=-{cos(5π/8)}/sin(5π/8)
=-b/a

注)
(3)についてはもう少し簡単な式変形があるかもしれません。

No.62389 - 2019/11/19(Tue) 19:41:22

★ へるぷ！教えて下さい！ / はたけやまのぼる

容器Aには10パーセントの食塩水300ｇ容器Bには18パーセントの食塩水500ｇが入っている。AからXｇ、BからＹｇの食塩水を取りだしAから取りだした食塩水をBに、Bから取り出した食塩水をAに入れると、Aの食塩水の濃度は14,5パーセントになる。また、AからＹｇ、BからXｇの食塩水を取りだしAから取りだした食塩水をBに、Bから取りだした食塩水をAに入れるとAとBの濃度が一致した。このときのX、Ｙの値を求めなさい。

No.62378 - 2019/11/18(Mon) 21:02:55

★ 教えていただきたいです！ / はたけやま

No.62376 - 2019/11/18(Mon) 20:05:59

☆ Re: 教えていただきたいです！ / X

条件から、まず問題の前半部の条件に対し
食塩水を移し替えた後の容器Aの中の
食塩水の濃度について
{(10/100)(300-X)+18Y/100}/(300-X+Y)=14.5/100 (A)
次に問題文の後半部の条件に対し
食塩水を移し替えた後の容器の中の
食塩水の濃度について
{(10/100)(300-Y)+(18/100)X}/(300-Y+X)
={(18/100)(500-X)+(10/100)Y}/(500-X+Y) (B)

(A)(B)をX,Yについての連立方程式として解きます。
(問題文の切り口に対して立てられる方針が
明らかに煩雑になりますが、自作問題ですか？)

No.62388 - 2019/11/19(Tue) 19:16:24

★ (No Subject) / さくらんぼ

この問題の(2),(3)を、教えてください！

No.62374 - 2019/11/18(Mon) 17:30:12

☆ Re: / X

(1/4)(x-1)^2+(1/3)y^2=1 (A)
とします。

(2)
前半)
(i)α≠π/2のとき
問題の直線の方程式は
y=xtanα (B)
∴点A,Bのx座標をa,b(但しa＜b)とすると
(A)からa,bはxの方程式
(1/4)(x-1)^2+(1/3)(xtanα)^2=1 (C)
の解となります。
(C)より
3(x-1)^2+4(xtanα)^2=12
{3+4(tanα)^2}x^2-6x-9=0
∴解と係数の関係から
a+b=6/{3+4(tanα)^2}
ab=-9/{3+4(tanα)^2}
となるので
(b-a)^2=(a+b)^2-4ab
={6/{3+4(tanα)^2}}^2+36/{3+4(tanα)^2}
={36/{3+4(tanα)^2}^2}{1+{3+4(tanα)^2}}
=4・{36/{3+4(tanα)^2}^2}{1/(cosα)^2}
よって
d=√{(b-a)^2+(btanα-atanα)^2}
=(b-a)/|cosα|
={12/{3+4(tanα)^2}}{1/(cosα)^2}
=12/{3(cosα)^2+4(sinα)^2}
=12/{3+(sinα)^2} (D)
(ii)α=π/2のとき
問題の直線はy軸となります。
ここでy軸と(A)との交点の座標は
(3/2,0),(-3/2,0)
∴d=3
これは(D)にα=π/2を代入したものと
等しくなっています。

以上から
d=12/{3+(sinα)^2}

後半)
問題の直線の方程式はαの値によらず
xsinα-ycosα=0
と書くことができるので、辺ABを底辺
と見たときの△ABFの高さをhとすると
点と直線との間の公式と(1)の結果により
h=|2sinα|/√{(sinα)^2+(-cosα)^2}
=2sinα (注:0≦α＜πにより0≦sinα)
よって
S=(1/2)dh=12(sinα)/{3+(sinα)^2}

(3)
(1)の結果から
dS/dα=(cosα)・12{{3+(sinα)^2}-sinα・2sinα}/{3+(sinα)^2}^2
=12(cosα){3-(sinα)^2}/{3+(sinα)^2}^2
∴0≦α＜π/2におけるSの増減表を書くことにより
Sの最大値は3(このときα=π/2)

(注)
S=12/{sinα+3/sinα) (E)
と変形して(E)の分母に対し、相加平均と相乗平均
の関係を使いたいところですが、不等号の下の
等号成立条件である
sinα=3/sinα
を満たすαが存在しませんのでこの方針は
使えません。

No.62375 - 2019/11/18(Mon) 19:50:17

☆ Re: / さくらんぼ

ありがとうございました！

相加相乗の定義域外なので、
つかえないのですね。

No.62383 - 2019/11/19(Tue) 18:33:16

☆ Re: / X

もう見ていないかもしれませんが、No.62375で
問題のナンバーをつけ間違えていました。
(ごめんなさい)
修正しましたので再度ご覧下さい。

No.62387 - 2019/11/19(Tue) 19:03:14

★ 数学 / あ

a,b,c,d,eの5チームがあります。
どのチームも一日に一回しか試合ができないとします。すべての試合を実施するにはが必要ですか。またその実施計画を作りなさい。
この問題が分かりません。教えて下さい。

No.62368 - 2019/11/17(Sun) 20:18:21

☆ Re: 数学 / らすかる

> すべての試合を実施するにはが必要ですか
すべての試合を実施する「庭」が必要ですか
ではないですよね？意味がわかりません。

あと、一度に何チームで行う試合なのかもわかりません。
例えば「400m×4のリレー」のように一度に5チームで戦える試合なら、
一日で終わります。

# 問題文を持っているのでしたら、一字一句変更することなく
# そのまま書き写して下さい。

No.62369 - 2019/11/17(Sun) 20:59:46

☆ Re: 数学 / あ

実施するには何日が必要ですかでした、失礼しました

No.62371 - 2019/11/17(Sun) 22:58:29

☆ Re: 数学 / らすかる

で、「試合」は1チーム対1チームですか？
もしそうなら、全部で5C2=10試合、1日で最大2試合なので
少なくとも5日以上必要であることがわかり、例えば
1日目 (a,b)(c,d)
2日目 (a,c)(b,e)
3日目 (a,d)(c,e)
4日目 (a,e)(b,d)
5日目 (b,c)(d,e)
のようにすれば目的が達成されますので、最小5日です。

No.62372 - 2019/11/17(Sun) 23:11:21

☆ Re: 数学 / あ

ありがとうございます！

No.62373 - 2019/11/17(Sun) 23:29:30

★ (No Subject) / 橋

解答の途中のみでもしかしたら分からないかもしれませんが、なぜこの傍線部はてなのところの記述が必要なのですか？

No.62362 - 2019/11/17(Sun) 17:59:33

☆ Re: / らすかる

「ともに正だから」が重要な点です。
和と積がともに正だから解を持てばその解は必ず正となり、
それにより
「少なくとも1つの正の解をもつ条件」
＝「少なくとも1つの解をもつ条件」
＝「(判別式)≧0」
となります。
もし2解の和や積が正か負かわからなければ、
正の解をもつ条件は「(判別式)≧0」だけでは足りませんね。

No.62363 - 2019/11/17(Sun) 18:07:37

★ よろしくお願いします / 塩昆布

曲線C y =|ｘ(ｘ-2)|と直線l y =mx について、次の問題に答えなさい
1 曲線Cと直線lとが異なる３つの共通点を持つときのmの値の範囲を求めよ　
2 (1)のとき、Cとlとで囲まれる部分の面積Sを最小とするmの値を求めよ

No.62360 - 2019/11/17(Sun) 16:30:56

☆ Re: よろしくお願いします / X

(1)
Cとlのグラフを描くことにより、題意を満たすためには
少なくとも
0＜m (A)
(A)のとき、Cとlは
2＜x (B)
の範囲で必ず一つのみ交点を持つので、
題意を満たすためには
0≦x＜2 (C)
においてC,lが交点を2つ持てばよい
ことになります。

さて、Cの(C)の部分におけるlとの交点のx座標について
mx=-x(x-2)
これより
x=0,2-m (D)
よって、題意を満たすためには
0＜2-m＜2 (E)
(A)(E)を連立して解き、求めるmの値の範囲は
0＜m＜2 (F)

(2)
(1)の(D)により、(B)におけるCとlとの交点の
x座標を求めることができれば、積分により
Sをmの式で表すことができます。

さて(B)におけるCとlとの交点のx座標について
mx=x(x-2)
∴x=m+2
これと(D)により
S=∫[0→2-m]{-x(x-2)-mx}dx+∫[2-m→2]{mx+x(x-2)}dx
+∫[2→m+2]{mx-x(x-2)}dx (G)

(G)を計算すると最終的にSはmの三次関数で表す
ことができます。
後はSをmについて微分をし、(F)の範囲で
Sのmに対する増減表を書きます。

No.62367 - 2019/11/17(Sun) 19:38:02

★ 数学 / あ

どのチームも一日に一回しか試合ができないとします。すべての試合を実施するにはが必要ですか。またその実施計画を作りなさい。
という問題が分かりません。教えて下さい。

No.62355 - 2019/11/17(Sun) 13:00:23

☆ Re: 数学 / ＩＴ

条件不足だと思います。

No.62358 - 2019/11/17(Sun) 15:00:05

☆ Re: 数学 / あ

a,b,c,d,eの5チームです！すみません。

No.62366 - 2019/11/17(Sun) 19:16:37

★ 積分 / Ran

nを正の奇数とする。
またf(x)は連続関数でf(0)=1とする。

f(x)=c[n] ?甜0→π/2] f(y)sin n(x+y) dy

が任意の実数に対して成り立つとき、

⑴c[n]、f(x)をもとめよ。
⑵lim(n→∞)c[n]をもとめよ。

という問題の答えと解き方を教えてください！

No.62353 - 2019/11/17(Sun) 10:42:50

☆ Re: 積分 / X

(1)だけ方針を。

f(x)=c[n]∫[0→π/2]f(y)sinn(x+y)dy (A)
とします。
(1)
c[n]∫[0→π/2]f(y)cosnydy=a[n] (B)
c[n]∫[0→π/2]f(y)sinnydy=b[n] (C)
と置くと、(A)から加法定理により
f(x)=a[n]sinnx+b[n]cosnx (D)
これを(A)(B)の左辺に用いると
左辺の積分を計算することにより
(B)は
… (B)'
(C)は
… (C)'
更にf(0)=1により(D)から
… (D)'
(B)'(C)'(D)'をa[n],b[n],c[n]についての連立方程式
としてa[n],b[n],c[n]を求めます。

注)
（B)'(C)'を立式する際の積分の計算で
nが正の奇数
であることを使います。

No.62356 - 2019/11/17(Sun) 14:26:26

☆ Re: 積分 / Ran

⑴をどのように利用すれば⑵は解けますか？？

No.62359 - 2019/11/17(Sun) 16:02:42

☆ Re: 積分 / X

回答の前に訂正を(ごめんなさい)。
No.62356で(B)(C)に誤りがありましたので
直接修正しました。再度ご覧ください。

で、回答ですが、以下の方針で解きます。

(1)の結果求められたc[n]に対し
n=2k-1
(kは自然数)
と置くことができ、
lim[n→∞]c[n]=lim[k→∞]c[2k-1]=…

注)
問題ではそもそもnが偶数のときの
c[n]が定義されていません。

No.62365 - 2019/11/17(Sun) 19:15:53