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★ (No Subject) / 場合の数
今日の入試で出たためにまだ答えがないのですが、どなたか解説していただけませんか？

n個(n≧7)の整数1,2,3,…,nからk個の整数を選ぶ時、どの2数の差の絶対値も2以上となるような選び方は何通りか？

ちなみに入試では n=7,k=3/n=15,k=3の場合が出ました
No.63359 - 2020/02/08(Sat) 14:08:02
☆ Re: / ヨッシー
「どの２数の差も２以上」で良いと思いますが、それはともかく。

まず前提として、ｎ≧２ｋ−１ でないと、そういう選び方は出来ないので、その条件下で、
　(n-k+1)Ｃk
が答えです。

ｎ個からｋ−１個除いた ｎ−ｋ＋１個の整数で考えます。
1,2,3・・・n-k+1 の中から、数字をｋ個選びます。
それを、小さい順に並べ、一番小さいものはそのまま、
２番目に小さい数は＋１、３番目は＋２、・・・n-k+1番目は＋(n-k)します。
そうすると、少なくとも差が２である数字が選べます。

ｎ＝７，ｋ＝３ の場合だと、１〜５の数から３個選び、上の操作を施すと
　(1,2,3)→(1,3,5)
　(1,2,4)→(1,3,6)
　(1,2,5)→(1,3,7)
　(1,3,4)→(1,4,6)
　(1,3,5)→(1,4,7)
　(1,4,5)→(1,5,7)
　(2,3,4)→(2,4,6)
　(2,3,5)→(2,4,7)
　(2,4,5)→(2,5,7)
　(3,4,5)→(3,5,7)
のように、５個から隣り合わせを許して３個取る取り方と
７個から必ず間を１個以上空けて３個取る取り方が１対１に対応します。
No.63360 - 2020/02/08(Sat) 14:24:39
☆ Re: / 場合の数
なるほど！
そのように考えればよかったのですね。
ヨッシーさん解答ありがとうございました
No.63372 - 2020/02/08(Sat) 22:06:39
★ 生産計画問題 / るん
生産計画問題について質問です。

原料a:200kg　原料b:100kg　原料c:50kg　から、製品A,B,Cを生産したい。
各製品1?s当たりの生産に必要な原料は
製品A：原料a:0.6kg b:0.3kg c:0.1kg
製品B：原料a:0.1kg b:0.5kg c:0.4kg
製品C：原料　　　　b:0.3kg c:0.7kg
であり、各製品1?sあたりの利益は製品A:3000円　製品B:2000円　製品C：1000円である。
与えられた原料を用いて利益を最大化したい。

（１）生産計画問題を線形計画問題にモデル化しなさい。
（２）原料ｃを1?sあたり1000円でいくらでも追加購入できる場合の問題を線形計画問題にモデル化しなさい。

（１）は解けたのですが、（２）の解き方が分かりません。
宜しくお願い致します。
No.63358 - 2020/02/08(Sat) 13:30:03
★ 常微分方程式 キャンパス・ゼミについて / タナカ タケル
大学3年生です。

「マセマ出版社 常微分方程式 キャンパス・ゼミ（改訂6）」について、2つ質問をさせてください。

【対象書籍】
マセマ出版社
常微分方程式 キャンパス・ゼミ（改訂6）

【対象部分】
p28「微分方程式の図形・自然現象・物理への利用」の章

【質問1】
この章では、（-1/y'）を考えることで、ある曲線群に直行するような曲線群を求めていると思います。

ここで、（-1/y'）を考える際には
y'≠0
つまり、y≠c(定数)
であることが前提となっているため、y=c(定数)の場合は別途検討しなければならないように感じます。

実際、「例題9」において
y=0
は求める曲線群の1つであると思います。

つまりより詳しい答えとしては、
--------------------
x^2+y^2=Cy
もしくは
y=0
--------------------
だと思います。

この考え方は正しいでしょうか。


【質問2】
ただ、
y=c(定数)
を別途検討するとして、そこから「例題9」におけるy=0のような解を求める方法がわかりません。

曲線群の図形的イメージがわからない中で上記のような解を導くためには、どのように考えれば良いでしょうか。


長文で申し訳ありませんが、ご回答いただけますと幸いです。
No.63357 - 2020/02/08(Sat) 10:51:31
☆ Re: 常微分方程式 キャンパス・ゼミについて / m
【質問1】について、
直交曲線群が定義されていれば判別はできるのですが、そうではなさそうです。
本当に正しいかどうかは大学の担当の先生に聞いてみた方がいいと思います。


30ページの「直交する曲線群の求め方」で求めることができるのは
y=f(x)の形であってf'(x)≠0を満たすもののみです。
これで見つけられない曲線は
y=B (定数)
のほかにも
x=A (定数)
があります。（他にはないのかは私には難しくてわかりません。）
y=Bの形はy'≠0としていたのが原因で、
x=Aの形はy'が定義できないことが原因です。


【質問2】
曲線群がF(x, y, c)=0（c: 任意定数）と表されているとします。
x=Aの形のものの見つけ方：
x=Aと曲線群とある曲線Cの交点での曲線Cの傾きは0です。
つまりその交点では「yをxの関数とみて、dF(x, y(x), c)/dx = 0にy'(x)=0を代入したもの」が成り立ちます。
またF(A, y, c)=0も成り立ちます。
これらを連立してAについて解けばいいはずです。

y=Bの形のものの見つけ方はx=Aのときと同様。ただ、y方向の微分が出てきます（詳しくは例で）。


わかり難いと思うので例題9で実際にやってみます。

x=Aの形：
F(x, y, c) = x^2+y^2-cxとおく。
（y'=dy(x)/dxと書くことにする）
0=dF(x, y(x), c)/dx = 2x+2y(x)y'(x)-cよりy'=0として
0=2A-c
（cは任意定数なので）これを満たすA(定数)は存在しない
よって解なし。

y=Bの形：
（x'=dx(y)/dyと書くことにする）
0=dF(x(y), y, c)/dy = 2x(y)x'(y)+2yよりx'=0として
0=2BよってB=0
（これはたまたまF(x, B, c)=0を考えなくていい例。ラッキー）

よってy=0が求める直線。


暇なのでもう一つ例を
曲線群をF(x, y, c)=y-cx^2=0（放物線群）とおく。

x=Aの形：
0=dF(x, y(x), c)/dx = y'-2cxよりy'=0を代入して
0=2cAよってA=0
（これもたまたまF(A, y, c)=0を考えなくていい例）

y=Bの形:
0=dF(x(y), y, c)/dy =1-2cxx'よりx'=0を代入して
0=1よって解なし（厳密には背理法。y=Bの形の法線が存在したとすれば0=1となるから矛盾。よって存在しない）

よってx=0が求める直線。


長くなりました。
問題なのは、30ページの方法と合わせても曲線群のすべてが求まるかどうかが分からないという事です。証明できればいいのですが、難しそうです。
No.63381 - 2020/02/09(Sun) 13:18:25
★ 中1数学です。 / 空
よろしくお願いします。
No.63354 - 2020/02/07(Fri) 21:02:21
☆ Re: 中1数学です。 / ヨッシー
(1)(2)は書けているようなので、(3) をやります。

図のようにＦＨ//ＯＣ、ＦＯ//ＨＣとなるように、直角三角形ＦＨＣを作ります。
同様にＣＩ//ＯＤ、ＧＩ//ＯＣとなるように直角三角形ＣＩＧを作ると、
　△ＦＨＣ≡△ＣＩＧ
より、
　ＣＩ＝６
となり、ＤＧＩは同一直線上にあり、
　ＧＩ＝２
より
　ＤＧ＝４
よって、
　△ＯＦＧ＝ＯＦ×ＤＧ÷２＝２×４÷２＝４
No.63355 - 2020/02/08(Sat) 01:11:05
★ sinについて / kins
画像の式が成り立つ理由を教えてください。
No.63351 - 2020/02/07(Fri) 17:19:13
☆ Re: sinについて / ヨッシー
ｋ＝１：sin(t＋０π)＝sinｔ
ｋ＝２：sin(t＋π)＝−sinｔ
ｋ＝３：sin(t＋２π)＝sinｔ
ｋ＝４：sin(t＋３π)＝−sinｔ
ｋ＝５：sin(t＋４π)＝sinｔ
であることを考えると、ｋが奇数のときそのまま、ｋが偶数のとき−１倍なので、
　(-1)^(k-1) を掛けます。
別に、
　(-1)^(k+1) でも、(-1)^(k+101) でも、
良いですが、シンプルな方が良いです。
No.63352 - 2020/02/07(Fri) 17:27:01
★ 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
添削お願いできませんか・・間違ってる所を指摘して欲しいです。
No.63342 - 2020/02/07(Fri) 09:46:50
☆ Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
(1)です
No.63343 - 2020/02/07(Fri) 09:47:48
☆ Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
(1)続きです
No.63344 - 2020/02/07(Fri) 09:48:45
☆ Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
(2)です
No.63345 - 2020/02/07(Fri) 09:49:27
☆ Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
(2)続きです
No.63346 - 2020/02/07(Fri) 09:50:20
☆ Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
(2)続き、途中から(3)です
No.63347 - 2020/02/07(Fri) 09:51:24
☆ Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
(3)続きです
No.63348 - 2020/02/07(Fri) 09:52:05
☆ Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
連投申し訳ありません。変なところとかあればご指摘よろしくお願いします。
No.63349 - 2020/02/07(Fri) 09:54:10
☆ Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / ヨッシー
(1) ○
(2) 最終行の２行前のカッコの中　2・3p は消えるはずです。
　　答えは 2/3
　　あまり、項を分けるメリットは無いと思います。
　　p-1〜p, p〜p+1 それぞれ分けて積分して　1/3＋1/3＝2/3
　　としても、大して変わりません。
(3) 考え方は良いですが、途中で計算間違いがあります。
　　ｐ＝１ とした方も、不採用の方も両方です。
　　答えは ｐ＝(√7)/2　です。
　　別の方法として、
　　ａ＝(1, 2p-2)、ｂ＝(1,2p+2) という２つのベクトルの内積から
　　なす角θの cosθを求め、cosθ＝±1/√2 から求める方法もあります。
　　この方法は、途中で一瞬ビビりますが、意外と簡単に解けます。
　
No.63350 - 2020/02/07(Fri) 17:05:16
☆ Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
大変助かりました！！細かい所まで本当にありがとうございます！！
No.63353 - 2020/02/07(Fri) 19:06:10
★ (No Subject) / うい
正十角形の頂点を結んで三角形を作る時、正十角形と二辺を共有する三角形はいくつできるか

10通りあるらしいのですが、どう考えるのか教えてほしいです。
No.63340 - 2020/02/06(Thu) 22:08:00
☆ Re: / ヨッシー
共有する２辺は、正十角形の隣り合った２辺でないと三角形になりません。
隣り合った２辺は、頂点の数だけある(１つの頂点から伸びる２つの辺として理解できる)ので、全部で１０組。
三角形も１０個となります。


No.63341 - 2020/02/06(Thu) 22:11:01
★ 確率 / アキ
確率の問題です。

Aさん、Bさんを含む男子6人と、Cさんを含む女子6人の計12人のクラスがあり、4人ずつの３つの班に分ける。この時、Aさん、Bさんが同じ班で、Cさんが別の班にいる確率を求めよ。なのですが、自分は
班の分け方は5775通りあり、題意を満たす班の分け方は、まず、ABが同じ班にいるとして、残り2人はC以外から選ぶので、9C2通りあるため、36/5775=12/1925となったのですが、答えは12/55でした。
どこが間違っているのか分かりません。
No.63335 - 2020/02/06(Thu) 19:27:19
☆ Re: 確率 / らすかる
9C2通りというのはABが同じ班にいてCが残り8人の中にいる分け方であって、
「残り8人」の4人ずつの組み分けが考慮されていません。
それを考慮すると分子が35倍になりますので、正しく36×35÷5775=12/55となります。
No.63336 - 2020/02/06(Thu) 19:39:32
☆ Re: 確率 / アキ
9C2と考えたら、残りのCさんを含む8人を4人ずつに分ける8C4×4C4をして、区別しないのでこれを2!で割る、という考えでよろしいでしょうか？
No.63338 - 2020/02/06(Thu) 20:05:26
☆ Re: 確率 / らすかる
はい、それで大丈夫です。
No.63339 - 2020/02/06(Thu) 20:40:29
★ 余弦定理、正弦定理 / 高校数学
解答のやり方は理解できるのですが、

自作の回答のように正弦定理を用いてから、Ｃの長さを求めると、どうして解答と異なった値になってしまうのかが分かりません。

どなたか解説をよろしくお願いいたします。
No.63333 - 2020/02/06(Thu) 18:37:04
☆ Re: 余弦定理、正弦定理 / 高校数学
解答です。
No.63334 - 2020/02/06(Thu) 18:37:53
☆ Re: 余弦定理、正弦定理 / ヨッシー
c^2-2c-2=0 までは合っています。
その後の解き方がまずいです。
No.63337 - 2020/02/06(Thu) 20:00:07
★ (No Subject) / たけ
これの（1）ってどう解くんですか？
No.63329 - 2020/02/05(Wed) 23:23:50
☆ Re: / X
方針を。
C[1]とC[2]の交点のx座標について
ax^2=b(x-4)^2+4
整理をして
(a-b)x^2+8bx-16b-4=0 (A)
条件から(A)が実数解を一つしか持たない
ことが分かりますので
(A)の左辺のx^2の係数について
場合分けして考えます。
(i)a-b≠0のとき
これは(A)の解の判別式に対する
条件を考えます。
(ii)a-b=0のとき
これは実際にPの座標をaを用いて表し、
その点におけるC[1],C[2]を表す
関数の微分係数が等しいかどうかを
確かめます。

実は添付写真の解答欄が答え一つ分しかない時点で
(ii)は不適であることは予想がつくのですが、
この(ii)のときのC[1],C[2]のグラフを実際に
描いてみて、不適であることとの対応関係を
考えることは、二次関数の理解を進める助けに
なると思います。
No.63332 - 2020/02/06(Thu) 05:48:49
★ (No Subject) / おちゃっかん
この問1が解けません、なんとかしてan.bnを求めようとしたのですが、うまくできません。どうやって解くのですか、わかる方教えてください
No.63328 - 2020/02/05(Wed) 23:07:08
☆ Re: / ast
a[n], b[n]は無理でも |OC[n+1]|^2 = a[n+1]^2+b[n+1]^2 と |OC[n]|^2 = a[n]^2+b[n]^2 との関係は与えられた連立漸化式からすぐに出ますね.
No.63330 - 2020/02/05(Wed) 23:40:13
☆ Re: / らすかる
a[n],b[n]は
a[n]=cos(π(n-1)/3)/2^(n-1)
b[n]=sin(π(n-1)/3)/2^(n-1)
とは表せますが、astさんが書かれたように解く方が早いと思います。
No.63331 - 2020/02/06(Thu) 01:05:54
★ 教えてください！ / ん
この問題の解き方を教えてください
ある店では、ハンバーガーの単品を１個240円、ジュースの単品を一杯120円、ハンバーガー一個とジュース一杯のセットを300円で売られている。ある一日において準備していたハンバーガー200個とジュース180杯がすべて売り切れ、2種類の単品とセットの売り上げは合計で60000円であった。この日、ハンバーガーとジュースのセットは何セット売れたか、求めなさい、ただし、値段は税込みとする
No.63325 - 2020/02/05(Wed) 21:58:41
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
240+120-300=60だからセットにすることで1セットあたり60円売り上げが減る。
もしハンバーガー200個とジュース180杯をすべて単品で売ると
240×200+120×180=69600となり、売り上げは60000円なのでその差は9600円。
よってセットは9600÷60=160セットだった。
検算
160セットなのでハンバーガー単品は40個、ジュース単品は20杯
よって合計金額は240×40+120×20+300×160=60000となり正しい。
No.63326 - 2020/02/05(Wed) 22:54:45
★ 等式の証明 / morikawa
高2生の親です

a+b=c+d
a+c=b+d
a+d=b+c
のいずれかが成立するとき

4a²b²＋4c²d²-（a²+b²-c²-d²）=8abcd　を証明せよ


途中までいろいろやってみましたが、
上の3つの条件式の両辺を２乗した式から、それぞれ証明する式（全部左辺に移項した左辺全体）に代入していくと、
3つのパターンのうちどれを使って変形していっても、（ab-cd）が共通項として変形されました・・・方向性があっているのかどうか。。。
よろしくお願い申し上げます。
No.63319 - 2020/02/04(Tue) 22:33:00
☆ Re: 等式の証明 / IT
> 、（ab-cd）が共通項として変形されました・・・

具体的な式を書き込まれないとなんとも言えないと思います。

問題はあっていますか？　a=2,b=1,c=0,d=3 で成り立たないような。
No.63320 - 2020/02/04(Tue) 22:40:08
☆ Re: 等式の証明 / ast
示すべき式は4a^2b^2+4c^2d^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=8abcdなのではないですか?

参考: 4a^2b^2+4c^2d^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2-8abcd の因数分解 (wolfram alpha)
No.63321 - 2020/02/04(Tue) 22:42:09
☆ Re: 等式の証明 / morikawa
申し訳ございませんでした・・・
astさんのおっしゃる通り、問題集を再度見直してみると、右の項にも2乗がついていたので、、、
簡単でした〜、、、有難うございます！！
No.63322 - 2020/02/04(Tue) 22:53:18
★ (No Subject) / 受験生
行列未習ですが、この問題は複素数で解くことができますか？
No.63316 - 2020/02/04(Tue) 19:08:26
★ 確率 / とんき
2つの箱A、Bと玉の入った袋がある
袋の中に赤玉５こ白玉7個　全部で12個入っている
袋から球を1つだし　さいころを投げて
１か２が出たらAに入れる
そのほかが出たらBに入れる。取った球は袋に戻さない
これを繰り返すとき、
「5回目の操作でBに赤玉が入る確率は？」


これなんですが
4回目までの赤白の出方などを反復試行で計算するのでしょうか？
No.63315 - 2020/02/04(Tue) 18:04:22
☆ Re: 確率 / IT
5回目の玉が赤であることと、５回目にBに入れることは
独立なので　それぞれの確率を求めて　掛ければいいとおもいます。

なお、いろいろな示し方（説明の方法）がありますが、この問題の場合は、１回目の玉が赤である確率も５回目の玉が赤である確率も等しくなります。
No.63318 - 2020/02/04(Tue) 19:44:39
★ 線形代数 / noman
2行目と3行目の間、2列目と3列目の間に区切りを入れ4分割にする。途中4分割の左上の行列のＭ^nを求める必要がある。ここが分からない
No.63310 - 2020/02/04(Tue) 00:32:37
☆ Re: 線形代数 / Norman
上の問題に対しての追加です。
No.63313 - 2020/02/04(Tue) 16:55:11
★ Θの求め方 / noman
cosΘ=-9/√130
sinΘ=7/√130
を満たすΘを求めたいのですが分かりません
教えてください。
No.63306 - 2020/02/03(Mon) 23:23:00
☆ Re: Θの求め方 / らすかる
「求める」がθ=(有理数)°やθ=(有理数)πという形で表すという意味ならば、「求める」ことはできません。
0°＜θ＜360°の範囲の近似値ならばθ≒142.125°です。
もし「θについて解く」だけで良ければ
θ=arccos(-9/√130)
とは書けます。
No.63312 - 2020/02/04(Tue) 02:03:12
★ 重積分 / a
画像の重積分が分かりません
No.63305 - 2020/02/03(Mon) 22:52:37
☆ Re: 重積分 / X
ヒントを。
極座標に変換すると
D={(r,θ)|r≦cosθ,-π/2≦θ≦π/2}
となります。
No.63307 - 2020/02/04(Tue) 00:02:25
☆ Re: 重積分 / a
その方法も試したのですが、答えが合わなくて...
答えは(3π-4)/9ですが、どこかで計算を間違えているのでしょうか？
No.63311 - 2020/02/04(Tue) 01:36:27
☆ Re: 重積分 / X
下から2行目の被積分関数の第1項を間違えています。
-(1/3)(sinθ)^3
ではなくて
{-(1/3)(sinθ)^2}・|sinθ|
です。
No.63317 - 2020/02/04(Tue) 19:26:19
☆ Re: 重積分 / a
解決しました、ありがとうございます
No.63324 - 2020/02/05(Wed) 12:42:16
★ (No Subject) / ちゆり
ｙ=x２乗について　
xが−1≦x≦3のときのyの変域の求め方はどうやるんですか
No.63304 - 2020/02/03(Mon) 22:07:14
☆ Re: / X
-1≦x≦3
より
(i)-1≦x≦0
又は
(ii)0≦x≦3

(i)のとき
yの変域は
0≦y≦1
(ii)のとき
yの変域は
0≦y≦3^2=9

よって求めるyの変域は
0≦y≦1又は0≦y≦9
ということで
0≦y≦9
となります。
No.63308 - 2020/02/04(Tue) 00:08:12
☆ Re: / ヨッシー
グラフです。

No.63309 - 2020/02/04(Tue) 00:18:21
★ (No Subject) / ぬまっこ
以下の式をY＝変換できますか？電気の抵抗計算です。

(1/4)X=XY/(X+Y)
No.63301 - 2020/02/03(Mon) 11:43:53
☆ Re: / ヨッシー
両辺に 4(X+Y) を掛けて
　X(X+Y)＝4XY
展開して整理すると
　X^2＝4XY−XY＝3XY
両辺 3X で割って
　Y＝X/3　（ただし X≠0)
No.63302 - 2020/02/03(Mon) 12:17:46
☆ Re: / ぬまっこ
ありがとうございます、助かりました！！式の展開が苦手で・・。汗
No.63303 - 2020/02/03(Mon) 17:35:34
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