ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 対称式 / 高校数学

（２）についてです。
対称性より x=a　としてよく、とあります。
なぜそうなるのでしょうか？

(1)は理解できます。(2)のそのほかの部分も理解できます。
対称性の部分の解説をよろしくお願いいたします。

No.63220 - 2020/01/26(Sun) 06:44:41

☆ Re: 対称式 / らすかる

「対称性よりx=aとしてよく」と書かない場合、
x=aの場合
y=aの場合
z=aの場合
のように場合分けして解答することになりますが、
問題の式はx,y,zを入れ替えても全く同じ（これが「対称性」）ですから
上の3つの場合は文字を入れ替えただけの全く同じ証明になります。
従ってどれか一つだけ示せばよい、すなわち
x=aとしてよいということです。

No.63221 - 2020/01/26(Sun) 07:41:43

☆ Re: 対称式 / 高校数学

らすかる様

解説ありがとうございます！納得できました！

No.63222 - 2020/01/26(Sun) 10:36:36

★ (No Subject) / あ

線形代数の問題です
行列の階数を求めるのですが、うまく変形できません。。

No.63219 - 2020/01/26(Sun) 04:11:27

☆ Re: / IT

基本変形で　上三角行列にするとできると思います。
出来たとこまで載せてみてください。

手順によりますが
1行　{1,a,1,0}
2行　{0,1,a,1}
3行　{0,0,1,a}
4行　{0,0,0,-a^4+3a^2-1}
となりました。
-a^4+3a^2-1＝0かどうかで階数が決まると思います。

No.63224 - 2020/01/26(Sun) 13:17:57

☆ Re: / あ

なるほど、ありがとうございます

No.63225 - 2020/01/26(Sun) 13:59:32

★ 中学数学です。 / 空

分からないので、教えてください。

No.63217 - 2020/01/26(Sun) 03:53:15

☆ Re: 中学数学です。 / 空

> 分からないので、教えてください。

No.63218 - 2020/01/26(Sun) 03:53:59

☆ Re: 中学数学です。 / X

大問3)
条件から
A(-4,4)
なので
B(3,4)
よって求める方程式を
y=a/x
と置くと、Bの座標から
4=a/3
これより
a=12
よって求める方程式は
y=12/x

No.63226 - 2020/01/26(Sun) 15:02:42

☆ Re: 中学数学です。 / X

(3)
問題の条件が足りません。
この(3)を含んでいる大問を全てアップして下さい。

No.63227 - 2020/01/26(Sun) 15:05:55

☆ Re: 中学数学です。 / 空

ごめんなさい。これです。よろしくお願いします。

No.63228 - 2020/01/26(Sun) 15:23:10

☆ Re: 中学数学です。 / X

アップされた問題文には
(3)における直線?A
についての条件が書かれていません。
間違えてアップしていませんか？

No.63230 - 2020/01/26(Sun) 18:38:13

★ さっぱりわからないんです / 黒シバ

x^2+y^2=4を満たすとき、f(x.y)=y－x^2極大値、極小値とそれらを与える点(x.y)を求めよ
って問題なんですけど、さっぱりわからない…助けてください！

No.63215 - 2020/01/26(Sun) 01:36:53

☆ Re: さっぱりわからないんです / らすかる

「極大値」「極小値」が「最大値」「最小値」の意味でよければ
x^2+y^2=4からx^2=4-y^2、またyの範囲は|y|≦2
f(x,y)=y-x^2=y-(4-y^2)=(y+1/2)^2-17/4
(y+1/2)^2≧0なのでy+1/2=0すなわち
y=-1/2,x=±√(4-y^2)=±√15/2のとき最小値-17/4
|y|≦2なので(y+1/2)^2が最大となるのはy=2のとき
このときx=0で、y-x^2=2
従ってf(x,y)=y-x^2は
(x,y)=(0,2)のとき最大値2
(x,y)=(±√15/2,-1/2)のとき最小値-17/4
をとる。

No.63216 - 2020/01/26(Sun) 02:09:12

★ (No Subject) / たけ

なぜ余りをライン引いたところのような形でおくのですか？

No.63213 - 2020/01/25(Sat) 23:44:04

☆ Re: / GandB

　別に求める余りを
　　a(x-3)^2 + bx + c
とおく必要はない。というか何でこうしたのかよくわからん。

　P(x) を (x+2)(x-3)^2 で割った商を Q(x)、余りを R(x) とすると
　　P(x) = (x+2)(x-3)^2･Q(x) + R(x).
　R(x)を (x-3)^2 で割った商を a とすると
　　R(x) = a(x-3)^2 + 5x - 8.
　最初からこのように置いた方が簡単。

No.63232 - 2020/01/26(Sun) 19:55:30

★ (No Subject) / ねおひぃ

太郎くんはAからBへ、次郎くんはCからDへ最短経路で向かう。両者が同時に出発し同じ速さで進む場合、途中で二人が出会ってからそれぞれの目的地へ到達する経路はいくつあるか。

よろしくおねがいします。

No.63212 - 2020/01/25(Sat) 23:11:55

☆ Re: / IT

まずは、出会う可能性があるのはどこか考えます。

No.63214 - 2020/01/25(Sat) 23:46:44

★ 大小比較 / ゆり

log(√10)√3,1/2,3/2log(10)2の大小比較の仕方がよくわかりません。よろしくお願いします。

No.63208 - 2020/01/25(Sat) 20:17:12

☆ Re: 大小比較 / IT

a=log[√10]√3 ,b=1/2,c=(3/2)log[10]2 とおいて,（結果的に）10^(2a),10^(2b),10^(2c) を比較します。

(√10)^a=√3　∴10^(2a)=9
10^(2b)=10
10^(2c)=2^3=8
10^x は増加関数なので　c<a<b

No.63209 - 2020/01/25(Sat) 20:25:24

☆ Re: 大小比較 / らすかる

log[√10]√3=log√3/log√10=((1/2)log3)/((1/2)log10)=log3/log10=log[10]3=(1/2)log[10]9です。
1/2=(1/2)log[10]10です。
(3/2)log[10]2=(1/2)log[10]2^3=(1/2)log[10]8です。
よって順に(1/2)log[10]9,(1/2)log[10]10,(1/2)log[10]8であり
log[10]xは増加関数ですから、
(3/2)log[10]2＜log[√10]√3＜1/2
となります。

No.63210 - 2020/01/25(Sat) 20:26:52

☆ Re: 大小比較 / ゆり

お二人ともわかりやすく教えていただきありがとうございました！！

No.63211 - 2020/01/25(Sat) 21:50:16

★ 大阪薬科大学2019 / てん

写真の(4)の問題です。解説がなくて困っているのでよろしくお願いします。

No.63204 - 2020/01/25(Sat) 15:29:44

☆ Re: 大阪薬科大学2019 / X

条件から
↑AE=(1/2)↑AD
=(1/4)(↑AB+↑AC)
∴uを実数として
↑AP=(1-u)↑AB+u↑AE
=(1-3u/4)↑AB+(u/4)↑AC (A)
と表すことができます。
一方、条件式である
(t-5)↑AP+2↑BP+3↑CP=↑O
から
(t-5)↑AP+2(↑AP-↑AB)+3(↑AP-↑AC)=↑O
t↑AP-2↑AB-3↑AC=↑O (B)
(B)に(A)を代入して
{(1-3u/4)t-2}↑AB+(ut/4-3)↑AC=↑O (C)
ここで
↑AB//↑ACでなく、かつ↑AB≠↑Oかつ↑AC≠↑O
∴(C)の両辺の係数比較ができ
(1-3u/4)t-2=0 (D)
ut/4-3=0 (E)
(D)(E)をu,tについての連立方程式として解き
(u,t)=(12/11,11)
ということで
t=11
となります。

No.63206 - 2020/01/25(Sat) 18:20:11

★ 芝浦工業大学 2019年問題 / たく

芝浦工業大学の2019年の問題ですが、解答がネット上に探せません。
試験に備えて採点したいので解き方も含めて解答例をいただけないでしょうか？

No.63201 - 2020/01/25(Sat) 13:31:50

☆ Re: 芝浦工業大学 2019年問題 / IT

画像が小さくて見えません。
＞試験に備えて採点したいので
ご自身の答案を載せられると良いかとおもいます。
　

No.63202 - 2020/01/25(Sat) 14:13:27

☆ Re: 芝浦工業大学 2019年問題 / たく

> 画像が小さくて見えません。
> ＞試験に備えて採点したいので
> ご自身の答案を載せられると良いかとおもいます。
> 　

申し訳ありません。
https://admissions.shibaura-it.ac.jp/admission/guidance/pdf/past_issue_2019/20190201_math_q.pdf
こちらにあるのですがどうでしょうか。

問２の方は何とか解いて解決しました。
問４の方をお願いできればと思います。(こちらは解けませんでした)

No.63205 - 2020/01/25(Sat) 16:33:47

☆ Re: 芝浦工業大学 2019年問題 / IT

>問４の方をお願いできればと思います。(こちらは解けませんでした)
(1) 平面上を運動する点の道のり（＝媒介変数された曲線の長さ）の公式を使えば直ぐでは？
　数３の教科書にあると思います。
(2)　(1) が出来れば容易かと思います。
(3) まずは(1),(2) を解いてからですね。

No.63207 - 2020/01/25(Sat) 18:53:40

★ 二次関数 / ねおひぃ

座標 (1,-3)を通る直線が、f(x)=|x^2+3x|-x-3 との交点を３つ持つとき、その傾きの最大値を求めよ。

No.63200 - 2020/01/25(Sat) 08:36:10

☆ Re: 二次関数 / IT

（略解）
その直線の傾きをa とおくと
「問題の交点の個数」=「|x^2+3x|=(a+1)x-a の実数解の個数」。
グラフを描いて考えると　
交点が３つのとき,aが最大になるのは、直線y=(a+1)x-aが点(-3,0)を通るときで a=-3/4

No.63203 - 2020/01/25(Sat) 14:26:31

★ 空間ベクトル / 美雪

失礼します。よろしくお願いします。

空間の1点Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。

3本の直線上のO以外の点をA、B、Cとして、A、B、Cにより定まる平面上で残りの1本の直線との交点をDとします。

A、B、C、Dは同一平面上なので、AD→=sAB→+tAC→

AB→=OB→-OA→…(1)

CD→=OD→-OC→=(1-s-t)OA→+sOB+(t-1)OC→…(2)

OA→、OB→、OC→は一次独立なので、(1)、(2)より、係数を比較して、

1-s-t=-1、s=1、t-1=0

これらを満たすs、tは存在しますので、AB→=CD→となりえますので、
題意は成り立ちます。

と考えたのですが、0点でした。どこを間違えていますか？正しくはどのようにすればよいでしょうか？

No.63198 - 2020/01/25(Sat) 07:18:01

☆ Re: 空間ベクトル / らすかる

その解答は
「3点A,B,Cに対して四角形ABDCが平行四辺形になるような点Dが存在する」
（そのときs=1,t=1となるのは当たり前）
ということを示しているだけで、
「Dが残りの1本の直線上にある」ことがどこにも出てきません。

No.63199 - 2020/01/25(Sat) 07:45:26

★ 数2　図形と方程式 / 浪人生

問）円C:(x-p)^2+(y-q)^2=q^2
円C上の点P(2a,a^2)における接戦の方程式Lを求めよ。

自分の回答）
円の中心(p,q)が原点に来るように平行移動させてから円の接線の公式を用いると
　接線l:(2a-p)x+(a^2-q)y=q^2
であり、これをx軸方向に+p,y軸方向に+qだけ平行移動して
　接線L:(2a-p)(x-p)+(a^2-q)(y-q)=q^2
である。

問題集の回答）
円の中心をK(p.q)、接線L上の点をX(x,y)とすると、
ベクトルPKとベクトルPXは垂直であるから
(ベクトルPK)・(ベクトルPX)=0
であり
ベクトルPK=(p-2a,q-2a^2)
ベクトルPX=(x-2a,y-a^2)
を用いると
接線L:(p-2a)(x-2a)+(q-a^2)(y-a^2)=0
である。

答えが一致しないのですがどこが間違えているのでしょうか？　よろしくお願いします。

No.63194 - 2020/01/24(Fri) 21:34:30

☆ Re: 数2　図形と方程式 / らすかる

間違えていません。
点P(2a,a^2)が円C上にあるという条件なので
(2a-p)^2+(a^2-q)^2=q^2すなわち
(2a-p)(2a-p)+(a^2-q)(a^2-q)=q^2 … (1)
が成り立ちます。
「自分の解答」の式
(2a-p)(x-p)+(a^2-q)(y-q)=q^2
から(1)を引くと
(2a-p){(x-p)-(2a-p)}+(a^2-q){(y-q)-(a^2-q)}=q^2-q^2
(2a-p)(x-2a)+(a^2-q)(y-a^2)=0
となり、符号を反転すれば「問題集の解答」の式と一致します。
つまり、(2a,a^2)が円C上にあれば、2式は同じ式ということです。

No.63195 - 2020/01/24(Fri) 22:03:23

☆ Re: 数2　図形と方程式 / 浪人生

ありがとうございます。
助かりました。

No.63196 - 2020/01/24(Fri) 22:21:30

★ (No Subject) / ふう

中2です。
学校で配られたプリントにこのような問題があったのですが、解き方が分かりません。教えていただきたいです。Xの角度を求める問題です。

No.63192 - 2020/01/24(Fri) 20:00:02

☆ Re: / らすかる

条件から∠ABC=80°なので∠CDB=180°-80°-50°=50°
従って∠BCD=∠BDCなのでBC=BD
また∠ACB=80°なので∠CEB=180°-60°-80°=40°
∠FBC=20°となるようにAC上に点Fをとると
∠FEB=∠FBE=40°となるのでEF=BF
また∠CFB=180°-20°-80°=80°なので∠BCF=∠BFCとなりBC=BF
よってBD=BC=BF、∠DBF=60°なので△DBFは正三角形となり
BC=BF=BD=DF=EF
∠DFE=180°-∠CFB-∠BFD=180°-80°-60°=40°なので
△DFEは∠DFE=40°でDF=EFである二等辺三角形
従って∠FED=(180°-40°)÷2=70°なので
∠BED=∠FED-∠FEB=70°-40°=30°

No.63193 - 2020/01/24(Fri) 20:40:00

★ 中1数学です。 / 円

全く手がつきません。

No.63182 - 2020/01/23(Thu) 22:58:36

☆ Re: 中1数学です。 / 円

(3)もお願いします。

No.63184 - 2020/01/23(Thu) 23:01:40

☆ Re: 中1数学です。 / ヨッシー

(1)
点Ａの座標は(2, 2) であるので、
反比例の式?@は
　ｙ＝４／ｘ
(2)
点Ｂの座標は (3, 4/3) であるので、
点Ｃの座標は、(4/3,4/3) で、ＢＣ＝5/3
よって、点Ｂからｙ軸の負の方向に 5/3 進んだ点がＥなので、
　Ｅ(3, －1/3)
(3)
ＱＲとｘ軸との交点をＴとすると、
　ＯＴ＝ＱＴ＝ＴＲ
より、
　ＰＱ＝ＱＲ＝２ＱＴ
よって、直線ＯＰの傾きａは 1/3 とわかります。

No.63187 - 2020/01/23(Thu) 23:44:24

★ ベクトル / ぽんぽん

ベクトルの問題です。
解いていたのですが全部分かりませんでした。
解答とその過程を教えてくださる方お願いします。

No.63178 - 2020/01/23(Thu) 19:57:52

☆ Re: ベクトル / ぽんぽん

続きの問題のこれもお願いします🙏

No.63179 - 2020/01/23(Thu) 20:01:26

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

(1)

このような図が書ければ、ア以外は図からわかります。
アは公式から
　ＯＡ・ＯＣ＝２・２cos60°＝２
あとは図より
　ＡＢ＝2√3
　ＢＣ＝４
ＡＢ⊥ＡＣより
　ＡＢ・ＡＣ＝０
　△ＡＢＣ＝ＡＣ×ＡＢ÷２＝2√3
(2)
余弦定理より
　cos∠ＡＯＢ＝(ＯＡ^2＋ＯＢ^2－ＡＢ^2)/(２ＯＡ・ＯＢ)
　　＝1/12
よって、
　ａ・ｂ＝ＯＡ・ＯＢcos∠ＡＯＢ＝1/2
同様に
　cos∠ＢＯＣ＝－1/4
　ｂ・ｃ＝２・３(－1/4)＝-3/2

ＯＨは△ＡＢＣを含む平面上の任意の直線と垂直なので、
　ＯＨ・ＡＢ＝０
これに
　ＯＨ＝ａ＋(1/2)ＡＣ＋ｔＡＢ
を代入して、
　(ａ＋(1/2)ＡＣ＋ｔＡＢ)・ＡＢ
　　＝ａ・ＡＢ＋ｔ|ＡＢ|^2
　　＝ａ・(ｂ－ａ)＋12ｔ
　　＝ａ・ｂ－|ａ|^2＋12t
　　＝1/2－4＋12t＝０
よって、
　ｔ＝7/24
ａ・ｃ＝２であることを踏まえ
　ＯＨ＝ａ＋(1/2)ＡＣ＋(7/24)ＡＢ
　　＝(5/24)ａ＋(7/24)ｂ＋(1/2)ｃ
の長さを求めると
　|ＯＨ|^2＝|(5/24)ａ＋(7/24)ｂ＋(1/2)ｃ|^2
　　＝95/48
よって、ＯＨ＝√(95/48)
これに△ＡＢＣ＝2√3 を掛けて３で割ると
　2√3×√(95/48)÷3＝√95/6

No.63188 - 2020/01/24(Fri) 00:38:14

☆ Re: ベクトル / ぽんぽん

すごい分かりやすくて感動しました。図までありがとうございます！勉強頑張ります！

No.63190 - 2020/01/24(Fri) 16:18:58

★ (No Subject) / ぴんちゃん

すみません、問1からわかりません、教えて欲しいです。

No.63177 - 2020/01/23(Thu) 19:55:43

☆ Re: / ヨッシー

方針を。
(1)
αの式を求める。
Ｐを通り、αに垂直な（ｎに平行な)直線の式を求める。
この直線とαとの交点を求め、これをＴとする。
Ｔに関して、点Ｐと対称な点がＲである。
(2)
ＰＳ＝ＲＳであるので、ＰＳ＋ＱＳで考える代わりに、
ＲＳ＋ＱＳが最小になる点Ｓを考える。
Ｐ→Ｓ→Ｑは、αではね返る形であるのに対して、
Ｒ→Ｓ→Ｑはαをすり抜ける形である。
よって、ＲＳ＋ＱＳが最小になる点Ｓを求める目処が付いた。

No.63180 - 2020/01/23(Thu) 20:25:57

★ (No Subject) / 音速平和

輪環の順に並んだ積をシグマで表す方法があったら教えて下さい。
僕が知りたいのは、
{a(1)・a(2)・……・a(n-1)}+{a(2)・a(3)・……・a(n)}+{a(3)・a(4)・……・a(n)・a(1)｝+……+{a(n-1)・a(n)・a(1)・……・a(n-3)}+{a(n)・a(1)・……・a(n-2)｝についてです。
※上の式で()内の数字は、積ではなく、漸化式での番号的なやつです。二重和になりそうです。因みに今のところ
n ?
Σ ( Π ?? ) a(k) って感じになってます。
k=1 k=1

No.63170 - 2020/01/22(Wed) 22:59:41

☆ Re: / X

a[k]≠0(k=1,…,n)
という条件付きなら
(与式)=Σ[k=1～n](1/a[k])Π[l=1～n]a[l]
となります。

No.63171 - 2020/01/22(Wed) 23:22:20

☆ Re: / らすかる

a[1]からa[n]までしかないのでしたら
Σ[k=1～n]Π[j≠k]a[j]
という書き方が簡潔だと思いますが、
「1から○まで」という書き方にしたいのでしたら
Σ[k=1～n]Π[j=1～n-1]a[j+[(j+n-k)/n]]　（[(j+n-k)/n]の[　]はガウス記号）
とか
Σ[k=1～n]Π[j=1～n-1]a[j+(|j-k+1|-|j-k|+1)/2]
といった書き方ができます。

No.63172 - 2020/01/23(Thu) 00:16:57

★ (No Subject) / 急ぎです　問1を教えてほしいです。

問1を教えてください

No.63168 - 2020/01/22(Wed) 21:19:26

☆ Re: / ヨッシー

　ａ[n+1]－ｎａ[n]＝(ｎ－１)(ｎ＋１)！　　・・・(i)
において、

ｎ＝１のとき
　(左辺)＝ａ[2]－ａ[1]＝０
　(右辺)＝０・２！＝０
より、(i) は成り立つ。
ｎ＝ｋのとき、(i) が成り立つ、つまり
　ａ[k+1]－kａ[k]＝(ｋ－１)(ｋ＋１)！
であるとき、ｎ＝ｋ＋１について考えます。
　ａ[k+2]－(k＋1)ａ[k+1]＝{ａ[k+2]－(k+2)ａ[k+1]＋kａ[k]}＋ａ[k+1]－kａ[k]
　　＝(ｋ^2＋ｋ＋１)(ｋ＋１)！＋ａ[k+1]－kａ[k]
　　＝(ｋ^2＋ｋ＋１)(ｋ＋１)！＋(ｋ－１)(ｋ＋１)！
　　＝(ｋ^2＋２ｋ)(ｋ＋１)！
　　＝ｋ(ｋ＋２)(ｋ＋１)！
　　＝{(k+1)－1}{(k+1)＋１}！
よって、ｎ＝ｋ＋１のときも(i) が成り立つ。
以上より、任意の自然数ｎについて、(i) が成り立つ。

No.63169 - 2020/01/22(Wed) 22:40:32