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★ 複素解析：関数の部分分数展開 / たかさん
添付画像は寺寛の5章「複素変数の函数」のものです。この例1、例2で|f(z)|がすべての同心円を通じて一様に有界であることがどうしても示せません。ヒントだけでも構いませんのでお教えいただけるとありがたいです。
No.62199 - 2019/11/08(Fri) 13:17:46
★ 縦曲線の計算について / 寝屋川のムウマ
勾配変化に伴う縦曲線の計算について
勾配が変わるとき、測量ではクロソイド曲線を使うそうです。
これは急激に曲がってしまうと、車両が転覆・脱線・路外逸脱するなど事故の原因となってしまうからです。
従って、必ず、勾変更点の前後にはクロソイド曲線が入ります。
自分は勾配変化に伴う、垂直方向におけるクロソイド曲線の全長と開始位置から勾配変更点までの長さを求める公式が知りたいです。
まず前提条件してクロソイド曲線開始位置をA、勾配変更点からの垂線とクロソイド曲線との交点をB、クロソイド曲線の終了位置をBとします。また垂線をMとします。
参考としてbve用の縦曲線計算（https://keisan.casio.jp/exec/user/1342727381）の計算結果を用いました。bveとは鉄道運転シミュレーションゲームのフリーウェア Bve trainsimのことです。これによると水平方向の曲線の場合は曲率半径R800以上とR800以下ではクロソイド曲線の長さが変わります。尚直線坂の場合はR800以上と同じです。
以下は、自分が実際にクロソイド曲線の全長を計算した結果です。
勾配→勾配、水平方向の曲線長、垂直方向のクロソイド曲線長。
3.3‰m→-29.9‰は100m（曲線なし）、
-29.9‰→-2.9‰は108m（R400）、
-2.9‰→33‰は143m(R400)
33‰→-2‰は105m(曲線なし)です。
水平方向の曲率半径Rと、垂直方向の勾配のクロソイド曲線を勘案すると、
ABS(IF(OR(R>800,R=800,R=0),30*(i1-i2),40*(i1-i2)))でやると
それぞれ、99.6m、108．0m、143.6m、105mで、有効値となっています。
ただ、本当に合っているかどうかがわからないのと、
クロソイド曲線は、勾配変更点で違う値の勾配の場合、たとえば3‰の上り→5‰の下りの場合だと左右で違う値になってしまうので、そこの値が知りたいです。
No.62196 - 2019/11/07(Thu) 18:13:14
★ (No Subject) / 人
πが無理数であることは、n!πが整数(nは任意の整数)でないことの

必要十分条件、十分条件、必要条件である。


この問題の答えは必要十分条件であってますか？
No.62193 - 2019/11/06(Wed) 21:24:18
☆ Re: / ヨッシー
履修範囲によりますが、πが虚数である可能性は考慮しますか？
No.62194 - 2019/11/06(Wed) 21:35:31
☆ Re: / らすかる
虚数を習っていなければ「必要十分条件」
虚数を習った後でも、「πは実数」という条件があれば「必要十分条件」
虚数を習った後で、しかも「πは実数」という条件がなければ
「実数範囲ならば必要十分条件、複素数範囲ならば十分条件」
No.62195 - 2019/11/07(Thu) 00:00:39
☆ Re: / 人
解答ありがとうございます。

πが実数だという保証があれば、必要十分条件でよいのですね。

ありがとうございました😊
No.62198 - 2019/11/07(Thu) 21:29:07
★ 縦曲線の計算について / 寝屋川のムウマ
縦曲線の計算について
緩和曲線の全体の長さと緩和曲線開始位置から勾配変更点の長さをもとめたいです。
まず前提条件して緩和曲線開始位置をA、勾配変更点からの垂線と緩和曲線との交点をB、緩和曲線の終了位置をBとします。また垂線をMとします。
casioのbve用の縦曲線計算（https://keisan.casio.jp/exec/user/1342727381）の計算結果によると坂曲線の場合は曲率R800以上とR800以下では緩和曲線の長さが変わります。尚直線坂の場合はR800以上と同じです。
3.3‰m→-29.9‰は100m（曲線なし）、
-29.9‰→-2.9‰は108m（R400）、
-2.9‰→33‰は143m(R400)
33‰→-2‰は105m(曲線なし)です。
上江洲のカーブ半径Rと、下図の緩和勾配を勘案すると、
ABS(IF(OR(R>800,R=800,R=0),30*(i1-i2),40*(i1-i2)))でやると
それぞれ、99.6m、108．0m、143.6m、105mで、有効値が得られました。
しかし、知人に聞くとそれは間違いだそうで、
知人に聞いたところ、atan関数というものを使い、計算式はatan(i1)+atan(i2)+曲率*2だそうです。
この時、iは％表記なので‰は1/10にしないといけません。
知人の方法でやった場合
IF(OR(R>800,R=800,R=0),ABS((ATAN(i1)+ATAN(i2))*54*2),(ABS(ATAN(i1)+ATAN(i2))*21.7*2))でやると
3.3‰m→-29.9‰は100m（曲線なし）、100.3639m
-29.9‰→-2.9‰は108m（R400）、108.3453m
-2.9‰→33‰は143m(R400)、70.3967m
33‰→-2‰は105m(曲線なし)→116.5499mになりました。つまり前2者は有効値ですが、後2者は有効値ではありません。
No.62191 - 2019/11/06(Wed) 19:39:17
☆ Re: 縦曲線の計算について / 寝屋川のムウマ
画像忘れてました。
No.62192 - 2019/11/06(Wed) 20:50:49
★ (No Subject) / apple
次のように定められる3つの数列{θn}[an][bn]について考える

θ1=0.θ(n+1)=θn+(π/2^n),an=sinθn,bn=cosθn

(1)θn/π=→解決済み
(2)a3,a4^2の値は→解決済み
(3)(an)^2=ケ｛a(n+1)｝^2-コ｛a(n+1)｝^4

(3)どうやって解くのでしょうか。模範解答よろしくお願いします
No.62189 - 2019/11/06(Wed) 18:40:25
☆ Re: / X
(1)の結果から
a[n]=sin{{1-1/2^(n-1)}π}
=sin{π/2^(n-1)}
∴{a[n+1]}^2={sin(π/2^n)}^2
={1-cos{π/2^(n-1)}}/2 (∵)半角の公式
{a[n+1]}^4=(1/4){1-cos{π/2^(n-1)}}^2
=(1/4){1-2cos{π/2^(n-1)}+{cos{π/2^(n-1)}}^2}
=(1/4){1-2cos{π/2^(n-1)}+1-{a[n]}^2}
=1/2-(1/2)cos{π/2^(n-1)}-(1/4){a[n]}^2
改めて書くと
{a[n+1]}^2={1-cos{π/2^(n-1)}}/2 (A)
{a[n+1]}^4=1/2-(1/2)cos{π/2^(n-1)}-(1/4){a[n]}^2 (B)
(A)(B)からcos{π/2^(n-1)}の項を消去します。
No.62197 - 2019/11/07(Thu) 18:37:16
★ 確率統計　岩波 / Punk
二項分布Bin(n, p)に従う母集団から、2個の標本x1,x2を無作為抽出した。母数の最尤推定量を求めよ。

上記の問題の回答が画像の[2]です。
二項定理だということは想像できるのですが、尤度関数Lの意味がよくわかりません。
nCx1 × nCx2のような形はどこから出てきたのでしょうか？
教えていただけますか？
No.62187 - 2019/11/06(Wed) 00:34:12
★ 微分 / うい
等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす
二次関数f(x)を求めよ。


これで、
ｘ^2・（２ａｘ＋ｂ）　−　（２ｘ−１）（ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ）　−　１　＝　０
が恒等式になるそうなのですが、なぜ恒等式になるのかを教えてください。
No.62185 - 2019/11/05(Tue) 23:07:16
☆ Re: 微分 / らすかる
関数f(x)が(x^2)f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たすということは
任意のxに対して(x^2)f´(x)-(2x-1)f(x)=1が成り立つということです。
よってf(x)=ax^2+bx+cとおくとf´(x)=2ax+bなので、代入して
(x^2)(2ax+b)-(2x-1)(ax^2+bx+c)=1となり、
これが「任意のxに対して成り立つ」のですから「恒等式」です。
No.62186 - 2019/11/06(Wed) 00:10:21
★ (No Subject) / きょうりゅう
この画像の下の問17の問題をとくと
sin(シーター＋π/2)＝cosシーターは
sin(π/2−シーター)＝−cosシーターになると思うんですけど
どうしてsin(π/2−シーター)＝cosシーターになるのですか？
No.62180 - 2019/11/05(Tue) 22:01:49
☆ Re: / きょうりゅう
き
No.62181 - 2019/11/05(Tue) 22:04:51
☆ Re: / らすかる
sin(θ+π/2)=cosθ のθを-θに置き換えたら
sin(π/2-θ)=-cosθ ではなく
sin(π/2-θ)=cos(-θ) となりますね。
そしてcos(-θ)=cosθですから
sin(π/2-θ)=cosθ となります。
No.62183 - 2019/11/05(Tue) 22:21:30
★ (No Subject) / つなかん
組み合わせの問題を作ってみたので、難易度や解いてみた感想などを頂けると嬉しいです(掲示板の趣旨にそぐわない場合は削除していただいても大丈夫です)

1〜14までの自然数をそれぞれ7個ずつの2つのグループA,Bにわける組み合わせのうち、＊を満たすものは何通りか。
＊A,Bに含まれる数一つづつからなる被りのない7つのペアであって、すべてのペアについてBの自然数がAの自然数より大きくなるようなものが存在する
No.62175 - 2019/11/05(Tue) 19:20:35
☆ Re: / ＩＴ
０から自力で考えるなら簡単ではないですが、類題（カタラン数がらみ）をやったことがあれば、そんなに難しくはないと思います。
No.62176 - 2019/11/05(Tue) 20:17:27
☆ Re: / つなかん
ITさん、ありがとうございます！
No.62177 - 2019/11/05(Tue) 20:27:46
☆ Re: / らすかる
同じ問題を何度も見たことがあります。
検索しても同じものは見つけられませんでしたが、
↓これに似たような感じですよね。
https://www.fukui-ikuei.com/base/wp-content/uploads/2018/08/3c7774945e14c657d0740f4caf2713b8.pdf
No.62182 - 2019/11/05(Tue) 22:20:06
☆ Re: / つなかん
シンプルな問題なので既出なのではないかと思ってはいましたが、やっぱり似たような問題ありましたね....
No.62184 - 2019/11/05(Tue) 22:37:36
★ 領域など / しょう
144のスセソタの解説をお願いします。
No.62173 - 2019/11/05(Tue) 10:36:11
☆ Re: 領域など / ＣＯＲＮＯ
傾きｋが最大となるのは直線が点(１，６)を通るときで．このとき，
　　ｋ＝(６−１)/(１＋３)
　　　＝５/４
また，傾きｋが最小となるのは直線が点(−２，０)を通るときで．このとき，
　　ｋ＝(０−１)/(−２＋３)
　　　＝−１
したがって，
　　−１≦ｋ≦５/４
No.62174 - 2019/11/05(Tue) 15:14:07
★ 縦曲線について / 寝屋川のムウマ
縦曲線について曲線全体のacの長さの求め方とab間の長さを求める公式を教えてください。i1=0.33,i2=2.99、曲率30とする。
No.62170 - 2019/11/04(Mon) 19:16:06
☆ Re: 縦曲線について / 寝屋川のムウマ
すみません、画像忘れてました。
No.62171 - 2019/11/04(Mon) 19:16:45
★ (No Subject) / 橋
この問題で、OA1=OA+BB1とありますが、A1がどこなのか詳しく教えてください！
No.62164 - 2019/11/04(Mon) 11:54:26
☆ Re: / ヨッシー

式の通りで、ＡからＢＢ1だけ進んだところにある点です。
No.62165 - 2019/11/04(Mon) 12:32:47
★ 必要条件の求め方 / akira
おはようございます。

[問題１]で以下の[例題１]の解答と同じ解き方で必要条件を使って答えを求めたいのですが、うまくいきません。よろしくお願いします。


[例題 1]
ｘ≧ｙ≧0をみたすべてのx，yに対してax+by≧0が成り立つために，定数a，bがみたすべき条件を求めよ．

[解答]
ｘ＝1，y＝0のとき ax+by＝a≧0
ｘ＝1，y＝1のとき ax+by≧0
ax+by≧0かつa≧0であることが必要である。……（ア）
逆に ax+by≧0かつa≧0とする.
ax+by＝a(x-y)＋(a+b)y
x-y≧0，y≧0よりax+by≧0
以上から, 求める条件は ax+by≧0かつa≧0である．



[問題1]
すべてのｘでｘ２+ax+1≧０が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。

［解答］
上の問題と同じようにｘに好きな値を代入すると、
ｘ＝1を代入すると、a+2≧0つまり、a≧-2
ｘ＝2を代入すると、2a+5≧0つまり、a≧-5/2
ｘ＝3を代入すると、3a+10≧0つまり、a≧-10/3

これからa≧-2であることが必要である。……（イ）
逆にa≧-2のとき，……（ウ）
（以下省略）


[質問1]

例題１の（ア）と問題１の（イ）は同じ方法ですが、(ｱ)は正解の範囲ax+by≧0かつa≧0がすぐに見つかるのに、（イ）では正解の範囲-2≦a≦2が見つかりません。
見つかるときと、答えがでないときの区別はどのように判断するのですか。


[質問2]

(イ)の所つまり（ウ）の前でどのようにa≧-2が誤りであると判断するのですか？
また、a≦2はどうやって見つけるのですか？

もちろん、2次関数のグラフでｘ軸と交わらないことから、判別式D＝a２−4・1・1＜0から-2≦a≦2が求まるのはわかるのですが、これを利用しないで、上の例題 1と同じやり方をする場合どうするのですか？
No.62163 - 2019/11/04(Mon) 11:25:41
☆ Re: 必要条件の求め方 / 黄桃
最初に、例題1の解答にある ax+by≧0の多くの部分はa+b≧0の誤りですね。

その上で、このような解法は、最初から思いつくものというよりは、いろいろ考察した結果みつけた近道と考えた方がいいです。

質問１について
図形的に考察すれば、ax+by≧0というのは、原点を通る直線でxy平面を分割した一方(*)。
ｘ≧ｙ≧0　は第1象限（原点、x軸含む)のうち、y=xより下側にある部分(**)。
(**)が(*)に含まれるということは、ちょうど ax+by=0 が x-y=0 に等しいときがギリギリだと推定でき、y=x上の点 x=y=1 を代入してみよう、となるわけです。
(x=y=1 でなくても　x=y=2 でもいいわけです）

質問2について
x^2+ax+1≧0 を変形して、 ax≧-x^2-1 とします。両辺をxで割ってaの範囲を決めたいと思うわけです。xの符号で場合分けして、相加相乗平均を利用すればx=±1の時が境界になるとわかります。
ここまでわかれば、次のようにできます。

x=1 の時、a≧-2, x=-1 の時 a≦2　より、-2≦a≦2 が必要。

x>0 の時
x^2+ax+1
=x(x+1/x+a)
≧x(2+a) (相加相乗平均)
≧0 (x>0, a≧-2)

x=0 の時、不等式は無条件に成立

x<0の時
x^2+ax+1
=(-x)((-x)+1/(-x)-a)
≧(-x)(2-a) (相加相乗平均）
≧0 (-x>0, a≦2)
より十分でもある。

なお、いつでもこのような近道がみつかるとは限りません。たまたま見つかった（それで十分性も証明できた）場合に、ああうまくいった、となるだけです。
No.62169 - 2019/11/04(Mon) 18:59:56
☆ Re: 必要条件の求め方 / akira
「すべて成り立つときの問題」はいつも、好きな値を代入して必要条件を見つけて、十分条件を証明すれば
必ずうまくいくと勘違いしていました。たまたまうまくいっただけだったのですね。よくわかりました。
ありがとうございました。
No.62172 - 2019/11/04(Mon) 22:26:57
★ 積分 / aiko
この問題を教えてください！
よろしくお願いします！
No.62162 - 2019/11/04(Mon) 11:24:52
☆ Re: 積分 / X
(1)
I[n+2]を直接I[n]で表すことを考えるので
難しくなります。
まずはI[n]をI[n+2]で表すことを考えましょう。
(I[n]に対して部分積分を使います)

(2)
被積分関数が積分区間で正であることから
0≦I[n]
一方の
I[n]≦1/(n+1)
についてですが、0≦x≦1において
(x^n)e^(-x^2)≦x^n
であることを使います。
No.62168 - 2019/11/04(Mon) 17:04:44
★ 積分 / aiko
この問題をおしえてください！

よろしくお願いします！
No.62161 - 2019/11/04(Mon) 11:23:21
☆ Re: 積分 / ＩＴ
(1) 三角関数の積→和の公式を使えば出来きます。

(2) まずn=2で(Σ・・・ )^2 を展開して考えると(1)を使って出来きます。
No.62166 - 2019/11/04(Mon) 14:04:08
★ 数学?A 三角関数を含む関数の最大値・最小値 / health-p
260の(1)の問題です。最初に　-1≦θ≦1と仮定していますがそれが分かりません。解説お願いします。
No.62158 - 2019/11/04(Mon) 10:40:51
☆ Re: 数学?A 三角関数を含む関数の最大値・最小値 / health-p
訂正します。

-1≦ｔ≦1 です
No.62159 - 2019/11/04(Mon) 10:42:26
☆ Re: 数学?A 三角関数を含む関数の最大値・最小値 / ヨッシー
cosθ＝t と置いているからです。
No.62160 - 2019/11/04(Mon) 10:48:15
★ (No Subject) / ppapppa
コインを100回投げます。
表がピッタリ30回出る確率をを求めてください。


どのように求めればよいか過程も含めて
回答お願いします。
No.62151 - 2019/11/04(Mon) 00:13:42
☆ Re: / らすかる
二項分布の公式により
100C30・(1/2)^30・(1/2)^70
=1835771238850684051497735/79228162514264337593543950336
となります。
No.62153 - 2019/11/04(Mon) 00:55:29
★ (No Subject) / TTKJ
x^yをyで微分してください。


過程もおねがいします。
No.62150 - 2019/11/03(Sun) 23:47:15
☆ Re: / らすかる
対数微分法により
f(y)=x^y
logf(y)=ylogx
f'(y)/f(y)=logx
∴f'(y)=(logx)f(y)=(logx)x^y
となります。
No.62152 - 2019/11/04(Mon) 00:53:45
☆ Re: / TTKJ
ありがとうございます！


両辺対数をとって微分すればよいのですね？
No.62154 - 2019/11/04(Mon) 01:12:09
☆ Re: / らすかる
はい、そうです。

# もしxが定数扱いでなければ変わりますが、
# xを定数として微分するということでいいのですよね？
No.62157 - 2019/11/04(Mon) 03:53:29
★ 確率 / XXX
この問題のb〜dが分かりません。
よろしくお願いします。
No.62145 - 2019/11/03(Sun) 22:36:54
☆ Re: 確率 / XXX
高校生です
あさって試験なので回答お願いしす！
No.62146 - 2019/11/03(Sun) 22:47:57
☆ Re: 確率 / まうゆ
b)はベン図っぽいのを書けばできる
c)a<1,b<1.cの決め方からc<=a,c<=b
c)最大値は1(a+b>1より)最小値はBがAに含まれてる時で1/4
試験頑張ってください
No.62147 - 2019/11/03(Sun) 22:58:18
☆ Re: 確率 / まうゆ
最後のはc)でなくd)です
b)順にa+b-c
a-c
b-c
1-a-b+c
No.62148 - 2019/11/03(Sun) 23:00:54
★ 銃曲線における計画高について / 寝屋川のムウマ
縦断曲線開始地点279m縦断曲線開始計画高23.79214m縦断曲線長100ｍ曲率半径300mのとき、329mと、379mのときの計画高を求めるとき、公式を2つ使い、まず(i1-12)/(2000l)*x^2、縦距0.415m、0.166ｍで計画高はそれぞれ、起点計画高＋(i1/1000)-起点計画距離-縦距で結果は23.5421m、22.4621ｍでした。これをkm単位つまり1000分の1にしたとき計算式はi1-12)/(2000l)*x^2と起点計画高＋(i1/1000)-起点計画距離-縦距はどのようになるのでしょうか。
No.62143 - 2019/11/03(Sun) 18:10:19
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