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★ (No Subject) / aiko
　
Dを半径1の円盤、Cをxy平面の原点を中心とする半径1の円周とする。Dが次の条件a b を満たしながらxyz平面を動くとき、Dが通過する部分の体積を求めよ。
a: Dの中心はCにある。
b: Dが乗っている平面は常にベクトル(0,1,0)と直行する。


という問題がわかりません！よろしくお願いします。
No.62541 - 2019/12/04(Wed) 17:18:33
☆ Re: / aiko
補足ですが、

何年度かはわかりませんが、多分東京工業大学の過去問です。
No.62542 - 2019/12/04(Wed) 17:19:53
☆ Re: / X
方針を。

条件から、問題の立体を
平面y=sinθ(-π/2≦θ≦π/2) (A)
で切った断面は
中心間の距離が2cosθ
である
半径1の円を２つ重ねてできる図形
となります。
後はこの図形の面積S(θ)を求め、
(図を書きましょう)
yについて
-1≦y≦1
の範囲でS(θ)を積分します。
積分の計算ですが、(A)より
dy=cosθdθ
(θ:-π/2→π/2)
となりますので、θについての
積分として計算できます。

注:
bからDが乗っている平面はzx平面に平行になります。
No.62544 - 2019/12/04(Wed) 18:35:58
★ 体積 / Ran
xyz空間において、次の6個の不等式で表される立体の体積を求めよ。
x≧0 y≧0 z≧0 x+y+z≦3 x+2z≦4 y-z≦1


多分積分するのかな……?と思いましたが求めかたが全然わかりません！よろしくお願いします。
No.62540 - 2019/12/04(Wed) 17:15:25
☆ Re: 体積 / らすかる
x≧0, y≧0, z≧0, x+y+z≦3 は
(0,0,0)(3,0,0)(0,3,0)(0,0,3)を4頂点とする
側面が直角二等辺三角形3個、底面が正三角形である正三角錐ですね。
これと他の2式との交わりを調べると
x+2z=4は(0,y,2)(2,y,1)を通りますので
(0,0,2)(0,1,2)(0,0,3)(2,0,1)を4頂点とする三角錐を削り取ることになり、
y-z=1は(x,1,0)(x,2,1)を通りますので
(0,1,0)(0,3,0)(0,2,1)(2,1,0)を4頂点とする三角錐を削り取ることになります。
削り取る二つの三角錐は互いに重なりませんので、求める体積は
(3×3×3-1×1×2-2×1×2)÷2÷3=7/2
となります。

# 積は(底面の底辺)×(底面の高さ)×(三角錐の高さ)で、
# 「÷2」は底面(三角形)の面積の÷2、「÷3」は三角錐の体積の÷3です。
No.62543 - 2019/12/04(Wed) 18:22:12
★ (No Subject) / 橋
この問題で下線部のところなのですが、解答のような変形でなければダメですか？解答のようでなければ、m≧3は出てこないのですが、、。
No.62537 - 2019/12/04(Wed) 06:43:11
☆ Re: / らすかる
解答の変形は
m^2+mn+n^2＞m-n
を示すための変形ですが、
(m-n)^2+3mn＞0 から言えるのは
m^2+mn+n^2＞0
だけなのでダメだと思います。

あと
「解答のようでなければ、m≧3は出てこない」
とはどういう意味ですか？
No.62538 - 2019/12/04(Wed) 07:35:41
★ 高校入試問題 / ミー
この問題がわからなくて、てこずっています。
解き方を教えて下さい。
No.62536 - 2019/12/03(Tue) 20:24:28
☆ Re: 高校入試問題 / ヨッシー
(1) は△ＯＡＱの辺の比から、∠ＡＯＱ＝60°が得られるので、
　∠ＡＯＢ＝120°
です。
(2)
ＡＢの中点をＭとすると、ＯＭ＝ＭＣ＝10cm であり、
　ＡＢ：ＳＴ＝ＭＱ：ＣＱ＝３：２
および ＡＢ＝20√3 より　ＳＴ＝40√3/3(cm)
また、△ＱＰＯと△ＱＲＣは相似で、相似比は２：１
よって、ＣＲ＝25cm
以上より
　△ＲＳＴ＝40√3/3×25÷2＝500√3/3(cm^2)
(3)
光の当たらない側面を展開すると、半径10√29、中心角
　120°×20/10√29＝240/√29°
の扇形。よって求める面積は
　π(10√29)^2×(240/√29)/360＝2900π×(2/3√29)＝200√29π/3(cm^2)
（πは円周率）
No.62539 - 2019/12/04(Wed) 13:50:42
★ 指数の方程式 / ま
追加でこの方程式もお願い致します
No.62531 - 2019/12/03(Tue) 15:00:05
☆ Re: 指数の方程式 / ま
答えはr=0.25となります
No.62533 - 2019/12/03(Tue) 15:04:39
☆ Re: 指数の方程式 / らすかる
e^(-1.822r){0.223+0.223e^r+0.223e^(2r)+0.331e^(3r)}=1
0.223e^(-1.822r)+0.223e^(-0.822r)+0.223e^(0.178r)+0.331e^(1.178r)=1
f(r)=0.223e^(-1.822r)+0.223e^(-0.822r)+0.223e^(0.178r)+0.331e^(1.178r)とおくと
f'(r)=-0.406306e^(-1.822r)-0.183306e^(-0.822r)+0.039694e^(0.178r)+0.389918e^(1.178r)
f'(0)=-0.16
f(r)は下に凸でf(0)=1,f(1)≒1.5なので
0＜r＜1の範囲にr=0以外の解がある。
a[0]=1
a[n+1]=a[n]-{0.223e^(-1.822a[n])+0.223e^(-0.822a[n])+0.223e^(0.178a[n])+0.331e^(1.178a[n])-1}
　/{-0.406306e^(-1.822a[n])-0.183306e^(-0.822a[n])+0.039694e^(0.178a[n])+0.389918e^(1.178a[n])}
としてニュートン法で計算すると
a[1]=0.5926787635…
a[2]=0.3745976647…
a[3]=0.2787742875…
a[4]=0.2500774128…
a[5]=0.2469209086…
a[6]=0.2468816358…
a[7]=0.2468816298…
a[8]=0.2468816298…
従って与方程式の解はr≒0,0.2468816298
No.62535 - 2019/12/03(Tue) 19:08:17
★ 指数を含む方程式 / ま
この方程式の解き方を教えてください
No.62530 - 2019/12/03(Tue) 14:59:24
☆ Re: 指数を含む方程式 / ま
答えはr=1.79となります。
No.62532 - 2019/12/03(Tue) 15:04:05
☆ Re: 指数を含む方程式 / らすかる
1+r=(e^r-1)/r
r+r^2=e^r-1
e^r=r^2+r+1
f(x)=e^x-x^2-x-1とおくと
f'(x)=e^x-2x-1
f''(x)=e^x-2
f''(x)はx＜log2で負、x＞log2で正なので
f'(x)はx＜log2で減少、x＞log2で増加
f'(0)=0,f'(1)=e-3＜0,f'(2)=e^2-5＞0なので
αをf'(α)=0,1＜α＜2を満たす値とすると
f'(x)はx＜0で正、x=0で0、0＜x＜αで負、α＜xで正
よってf(x)はx＜0で増加、0＜x＜αで減少、α＜xで増加
f(0)=0、f(1)=e-3＜0,f(2)=e^2-7＞0なので
βをf(β)=0,1＜β＜2を満たす値とすると
f(x)はx＜0で負、x=0で0、0＜x＜βで負、β＜xで正
従ってf(x)=0の解はx=0,βの二つ
e^2≒7.4からf(2)≒0.4なのでβは2より少し小さい値
a[0]=2として
a[n+1]=a[n]-(e^a[n]-a[n]^2-a[n]-1)/(e^a[n]-2a[n]-1)
={(a[n]-1)e^a[n]-a[n]^2+1}/(e^a[n]-2a[n]-1)
によりニュートン法で計算すると
a[1]=1.8371507060
a[2]=1.7957938603
a[3]=1.7932909822
a[4]=1.7932821330
a[5]=1.7932821329
a[6]=1.7932821329
a[7]=1.7932821329
従ってf(x)=0の解はx≒0,1.7932821329なので
1+r=(e^r-1)/rの解はr≒1.7932821329
No.62534 - 2019/12/03(Tue) 18:46:22
☆ Re: 指数を含む方程式 / GandB
　解答を見たらなるほどだけど、ニュートン法に持ち込むまではけっこう大変ですな。おもしろかったです。
No.62547 - 2019/12/04(Wed) 20:56:53
★ 空間ベクトル / Qちゃん
座標空間内に5点、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(-2,0,0)、D(0,-2,0)、E(0,0,-2)がある。AB、ADの中点をそれぞれM、Nとする。M、Nを通り直線AEに平行な平面πと線分CEは交点を持つか。持つならばその座標を示せ。

CEをs：1-sに内分する点Fとすると、F(-2+2s,0,-2s)です。M(1,1,0)なので、MF→=(-3+2s,-1,-2s)です。πとAEは平行なので、π上の直線MFとAEは平行となるので、MF→=kAEなる実数kが存在するけど、(-3+2s,-1,-2s)=(-2k,0
,-2k)はy成分が一致しないので、πとCEは交わらないように思えるのですが、答えは(-3/2,0,-1/2
)となってます。どこを間違えているんでしょうか？正しくはどう解けばよいのでしょうか？
No.62527 - 2019/12/03(Tue) 00:47:22
☆ Re: 空間ベクトル / らすかる
「πとAEは平行なので、π上の直線MFとAEは平行となるので」が間違いです。
「AEと平行な平面π上の直線」がAEと平行になるとは限りません。

似たような感じで解くなら、M(1,1,0)の代わりにM(1,1,0)とN(1,-1,0)の
中点P(1,0,0)を使ってPF→=(-3+2s,0,-2s)とすれば解けます。
ただし、答えは(-1/2,0,-3/2)になりますので、
もし正解が(-3/2,0,-1/2)ならば問題に間違いがあると思います。
No.62529 - 2019/12/03(Tue) 01:10:26
☆ Re: 空間ベクトル / Qちゃん
ようやくわかりました。ねじれの位置の関係になっているんですね。解き方もわかりました。ありがとうございました。
No.62550 - 2019/12/04(Wed) 22:53:33
★ (No Subject) / ラス
中1の問題です。
(1)は分かりましたが、(2)がどうしても分かりません。
ご教授お願いします。
No.62526 - 2019/12/02(Mon) 20:56:23
☆ Re: / らすかる
アは反比例のグラフなので
yが1/5倍になればxは5倍
よってDのx座標はCのx座標の5倍すなわち
CDはCのx座標の4倍なので
CD=6cmから(Aのx座標)=(Cのx座標)=6/4=1.5cm
No.62528 - 2019/12/03(Tue) 00:56:51
★ (No Subject) / 2次関数
a=2/3-2tより

『at^2+t=-6』に代入したら、解答では『t=2』となっているんですが、何度計算しても-2になってしまうんです。なぜでしょうか？

(2/3-2t)t^2+t=-6
2t^2/3-2t+t=-6←ここで、tを約分しました。
2t/1+t=-6
3t=-6
t=-2
どこが間違えてるんでしょうか？
No.62523 - 2019/12/02(Mon) 18:48:36
☆ Re: / らすかる
掲示板でa=2/3-2tと書くとa=(2/3)-(2t)という意味になってしまいます。
a=2/(3-2t)のようにカッコを付けましょう。

「2t^2/(3-2t)+t=-6」は正しいですが
次の
「2t/1+t=-6」が正しくありません。
（3-2tを削除することはできません。）

2t^2/(3-2t)+t=-6の次は両辺に3-2tを掛けて
2t^2+t(3-2t)=-6(3-2t)
整理して
9t=18
∴t=2
No.62524 - 2019/12/02(Mon) 19:29:27
☆ Re: / 2次関数
すみません。気を付けます。

そして、ありがとうございます。両辺に分母の値を掛けるんですね。解いたらt=2になりました。
No.62525 - 2019/12/02(Mon) 19:38:59
★ 積分 / 生鷹
図形が傘型になる積分の問題です。
計算が上手くいかないのと答えがないので困っています。ご教授お願いします┏○┓
No.62520 - 2019/12/02(Mon) 00:37:17
☆ Re: 積分 / X
(1)
前半)
条件から
P(s/√2,s/√2)
∴直線PQの方程式は
y=-(x-s/√2)+s/√2
整理をして
y=-x+s√2 (A)
よって(A)とCとの交点について
t^2=-t+s√2
∴s=(t^2+t)/√2 (A)'
後半)
条件から
A(1,1)
∴点P、Qの座標について
0≦s/√2≦1
0≦t≦1
ということでs,tの取りうる値の範囲は
0≦s≦√2
0≦t≦1

(2)
(1)により
S=πPQ^2=π{(s/√2-t)^2+(s/√2-t^2)^2}
これに(A)'を代入して
S=π{((t^2+t)/2-t)^2+((t^2+t)/2-t^2)^2}
=(π/4){(t^2-t)^2+(-t^2+t)^2}
=(π/2)(t^2-t)^2

(3)
(2)のSを使うと
V=∫[0→√2]Sds
=(π/2)∫[0→√2]{(t^2-t)^2}ds (B)
ここで(A)'より
ds={(2t+1)/√2}dt
で(1)の結果から
s:0→√2
に
t:0→1
が対応しているので(B)は
V={π/(2√2)}∫[0→1]{(2t+1)(t^2-t)^2}dt
={π/(2√2)}{[(t^2+t)(t^2-t)^2][0→1]-2∫[0→1]{(t^2+t)(t^2-t)(2t-1)}dt}
=-(π/√2)∫[0→1](t^2+t)(t^2-t)(2t-1)dt
=-(π/√2)∫[0→1](t^4-t^2)(2t-1)dt
=-(π/√2)∫[0→1](2t^5-2t^3-t^4+t^2)dt
=-(π/√2)[(1/3)t^6-(1/2)t^4-(1/5)t^5+(1/3)t^3][0→1]
=π/(30√2)
No.62522 - 2019/12/02(Mon) 11:26:58
★ 凸関数 / Lupin
r<0, x>0, y>0のとき、

x^r + y^r が凸関数

(x^r + y^r)^(-1/r) も凸関数

であることを証明してほしいです。よろしくお願いします。
No.62519 - 2019/12/01(Sun) 23:32:25
☆ Re: 凸関数 / m
ヘッセ行列が正値になるなら凸関数です。
x^r + y^rのヘッセ行列は対角行列になってすぐに正値だとわかります。

(x^r + y^r)^(-1/r)の方は計算してもいいのですが大変です。この命題を使うと楽できます。
（g(x, y) = x^r + y^r, f(z) = z^(-1/r)に適用すればok）
No.62521 - 2019/12/02(Mon) 11:07:39
★ (No Subject) / @abc
回答お願いします！
No.62518 - 2019/12/01(Sun) 23:25:28
★ (No Subject) / みや
△ABCにおいて、AB=5、BC=6、CA=7とする。この三角形の内接円と辺ABとの接点をDとするとき、ADの長さを求めよ。
という問題が解けないので教えて頂けると幸いです。
どうかお願い致します。
No.62511 - 2019/12/01(Sun) 18:51:42
☆ Re: / らすかる
内接円と辺BC、辺CAとの接点をE、Fとすると
AF=AD、BD=BE、CE=CFであり
AD+BD=5, BE+CE=6, CF+AF=7
この3式を全て足すと
18=5+6+7=(AD+BD)+(BE+CE)+(CF+AF)=(AD+BE)+(BE+CE)+(CE+AD)
=2(AD+BE+CE)
なので
AD+BE+CE=9
∴AD=9-(BE+CE)=9-6=3
No.62514 - 2019/12/01(Sun) 19:09:00
☆ Re: / みや
ありがとうございます
No.62515 - 2019/12/01(Sun) 19:14:40
★ (No Subject) / とみ
中2図形の調べ方からです。
いろいろな角度の求め方を根拠を明らかにして説明する場合、どうやって説明すればよいのでしょうか。
例もお願いします。
No.62508 - 2019/12/01(Sun) 18:43:40
☆ Re: 図形の調べ方 / とみ
> 中2図形の調べ方からです。
> いろいろな角度の求め方を根拠を明らかにして説明する場合、どうやって説明すればよいのでしょうか。
> 例もお願いします。
No.62509 - 2019/12/01(Sun) 18:44:43
☆ Re: / らすかる
説明は問題の内容によりますので、
具体的な問題がないと答えられません。
No.62510 - 2019/12/01(Sun) 18:49:45
☆ Re: 図形の調べ方 / とみ
見にくくてすみません。例です
No.62512 - 2019/12/01(Sun) 19:00:52
☆ Re: / らすかる
これは角度の和を求める問題だと思いますが、
この問題だとやりかたがたくさんあって
どれがいいとは一概に言えませんね。
（最適な解き方は学習進度状況によって変わります）

説明の一例を書きます。
まず説明のために頂点に記号を付けます。
頂点を辺のつながり順に反時計回りにA,B,C,D,E,F,G,Hとします。
ただし他の辺と交わらない辺が辺ABであり、
辺BCの外側に頂点F、辺CDの外側に頂点G、辺DEの外側に頂点H、
辺EFの外側に頂点AとB、辺FGの外側に頂点C、辺GHの外側に頂点D、
辺HAの外側に頂点Eがあります。
（この説明でわからない場合は、各頂点にA,B,C,D,E,F,G,Hと
　書いた図をアップし直して貰えれば、その記号で再回答します。）
以上は準備で、以下が説明の内容です。

AとDをつなぐと四角形ABCDの内角の和は360°、
EとGをつなぐと三角形EFGの内角の和は180°なので
求める和は360°+180°+(星型ADEGHの内角の和)です。
星型ADEGHの内角の和は、GとDをつなぐと
∠A+∠H=∠ADG+∠HGDとなることから
△EGDの内角の和と等しいことがわかります。
従って星型ADEGHの内角の和は180°なので
求める角度は360°+180°+180°=720°となります。

# 掲示板上で説明するためには記号が必要なので記号を付けましたが、
# 図を見せながら人に対面で説明する場合は記号がなくても説明可能です。
No.62516 - 2019/12/01(Sun) 19:33:45
★ 不等式　評価 / penyoela
(e-1)log(e-1)>1
を高校数学の範囲で示す方法はありませんか？
No.62506 - 2019/12/01(Sun) 18:34:55
☆ Re: 不等式　評価 / penyoela
すみません不等号の向きが逆でした
No.62507 - 2019/12/01(Sun) 18:36:19
☆ Re: 不等式　評価 / らすかる
2.7＜e＜2.72を使います。
7^7=823543, 3^4=81, 4^7=16384, 8^4=4096から
7^7×3^4=66706983＜67108864=4^7×8^4
(7/4)^7＜(8/3)^4
(7/4)^(7/4)＜8/3
e-1＜1.72＜1.75=7/4
e＞2.7＞8/3
なので
(e-1)^(e-1)＜(7/4)^(7/4)＜8/3＜e
∴(e-1)log(e-1)＜1
No.62513 - 2019/12/01(Sun) 19:04:24
★ 大学の幾何学の問題です。 / m
写像f : R2 → R2,g : R2 → R2 をf(x, y) = (5y,−3x) , g(x, y) = (x − 3y, 2x + y) とする。
また、R2 ⊃ A = {(x, y)|x ≧ −1, y ≧ 0, y ≦ −3x} とする。
ことのき、
（１）g ◦ f を求めよ。
（２）f は全単射であることを証明せよ。
（３）g は全単射である。g−1 を求めよ。
（４）A、g(A)、f ◦ g(A)、f ◦ f(A) をそれぞれ図示せよ。
回答お願いします！
No.62503 - 2019/12/01(Sun) 17:31:40
★ 二重積分の極座標による解き方 / ゆう
この二重積分の解き方が分かりません。

∫∫dxdy/√(x+2y)
0<=x<=1,0<=y<=1
1/n→1として得られた積分値に対して、n→＋∞の極限を取ることで求められる


極座標に変換して計算するのだと思いますが、途中で躓いてしまいました。

教えていただけると助かります。

x=rcosθ、y=rsinθ
0<=r<=1,0<=θ<=π/2として解いていきましたが、

∫√rdr∫dθ/√(cosθ+2sinθ)の三角関数の積分が分からずに止まっています。

ここまで合っているのかも分かりませんが、助けていただけると助かります。
No.62501 - 2019/12/01(Sun) 15:48:24
☆ Re: 二重積分の極座標による解き方 / X
座標変換は不要です。

f(m,n)=∫[y:1/n→1]∫[x:1/m→1]dxdy/√(x+2y)
とすると
f(m,n)=∫[y:1/n→1][2√(x+2y)][x:1/m→1]dy
=2∫[y:1/n→1]{√(2y+1)-√(2y+1/m)}dy
=2[(1/3)(2y+1)^(3/2)-(1/3)(2y+1/m)^(3/2)][y:1/n→1]
=2{√3-(1/3)(2/n+1)^(3/2)-(1/3)(2+1/m)^(3/2)+(1/3)(2/n+1/m)^(3/2)}
∴(与式)=lim[(m,n)→(∞,∞)]f(m,n)
=2{√3-1/3-(1/3)・2^(3/2)}
=-2/3-(4/3)√2+2√3
No.62502 - 2019/12/01(Sun) 17:05:50
☆ Re: 二重積分の極座標による解き方 / X
ちなみに極座標変換で積分範囲を
＞＞0<=r<=1,0<=θ<=π/2
と変換していますが、間違っています。
(これでは積分範囲が
原点中心、半径1の4分の1円
になってしまいます)

但し、この点を修正したとしても
極座標変換による計算はお勧めできません。
(rについての積分の計算を終えたところで
計算を断念しました。)
No.62504 - 2019/12/01(Sun) 17:34:01
☆ Re: 二重積分の極座標による解き方 / ゆう
Ｘさま

回答ありがとうございます。
自分でも解きなおしてみて、なんとかできました。

本当にありがとうございます！
No.62505 - 2019/12/01(Sun) 17:39:24
★ (No Subject) / ササミ
画像の3.の解き方と答えがこれで合っているかどうか不安なので確認お願いします。
No.62499 - 2019/12/01(Sun) 14:51:41
☆ Re: / ササミ
問題です。↓
No.62500 - 2019/12/01(Sun) 14:52:10
★ (No Subject) / P
{1/2n(n+1)}^2-1/6n(n+1)(2n+1)=1/12n(n+1)(n-1)(3n+2)がどうしてそうなるか分かりません。
これもよろしくお願いします。
No.62489 - 2019/11/30(Sat) 15:29:25
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ
{1/2n(n+1)}^2-1/6n(n+1)(2n+1)
　＝(１/４)ｎ^2(ｎ＋１)^2−(１/６)ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)
　＝(３/１２)ｎ^2(ｎ＋１)^2−(２/１２)ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)
　＝(１/１２)ｎ(ｎ＋１)｛３ｎ(ｎ＋１)−２(２ｎ＋１)｝
　　　　　　[注](１/１２)ｎ(ｎ＋１) をくくり出した
　＝(１/１２)ｎ(ｎ＋１)(３ｎ^2＋３ｎ−４ｎ−２)
　＝(１/１２)ｎ(ｎ＋１)(３ｎ^2−ｎ−２)
　＝(１/１２)ｎ(ｎ＋１)(ｎ−１)(３ｎ＋２)

です．
No.62492 - 2019/11/30(Sat) 16:55:20
☆ Re: / P
ありがとうございます。
No.62493 - 2019/11/30(Sat) 17:12:23
★ (No Subject) / P
2^n+2-2^n+1=2^n+1がどうしてそうなるかが分かりません。
よろしくお願いします。
No.62488 - 2019/11/30(Sat) 15:09:48
☆ Re: / ＩＴ
2^(n+2)-2^(n+1)=2^(n+1) ですか？

2^(n+2)＝2*2^(n+1) と書けば分かりますか？
No.62490 - 2019/11/30(Sat) 15:57:11
☆ Re: / P
2*2^2(n+1)-2^(n+1)=2^(n+1)(2-1)=2^(n+1)ですか？
No.62491 - 2019/11/30(Sat) 16:09:22
☆ Re: / ＩＴ
違います、記入ミスがあるようです。
No.62494 - 2019/11/30(Sat) 19:45:59
☆ Re: / P
2*2^2(n+1)が2*2^(n+1)ですね。
No.62495 - 2019/12/01(Sun) 03:25:18
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