nを正の整数とする。
連立不等式 2x+3y≦12 2x−3y≦0をともに満たす負でない整数の組(x,y)の個数をanとするとき、次の記号に当てはまる数を求めなさい。
(1) a1= ア である。
(2) an= イn
^2+ウn+エ である
この問題の解説をお願いいたします。
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No.62435 - 2019/11/26(Tue) 00:35:38
| ☆ Re: 数?U / らすかる | | | 「連立不等式 2x+3y≦12 2x−3y≦0をともに満たす負でない整数の組(x,y)の個数」は、
この条件にnが含まれていませんのでnの値と関係なく常に10個です。
よってa[1]=10,a[2]=10,a[3]=10,…となりますが
(2)の解答欄と合わないので多分問題が正しくないと思います。
# もし問題が正しければ、答えは
# (1) a[1]=10
# (2) a[n]=0n^2+0n+10
# となります。
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No.62436 - 2019/11/26(Tue) 00:43:03 |
| ☆ Re: 数?U / あさ | | | No.62438 - 2019/11/26(Tue) 00:52:22 |
| ☆ Re: 数?U / らすかる | | | (1)
n=1のとき2x+3y≦12,2x-3y≦0
y=0のとき2x≦12かつ2x≦0→x=0のみ
y=1のとき2x≦9かつ2x≦3→x=0,1
y=2のとき2x≦6かつ2x≦6→x=0,1,2,3
y=3のとき2x≦3かつ2x≦9→x=0,1
y=4のとき2x≦0かつ2x≦12→x=0のみ
よってa[1]=1+2+4+2+1=10
(2)
2x+3y=12nと2x-3y=0の交点は(3n,2n)なので0≦x≦3n
x=kのときに条件を満たすyの個数をb[k]とすると
x=3mのとき6m+3y≦12nかつ6m-3y≦0から2m≦y≦4n-2mなので、
b[3m]=(4n-2m)-(2m)+1=4n-4m+1
x=3m+1のとき6m+2+3y≦12nかつ6m+2-3y≦0から
2m+2/3≦y≦4n-2m-2/3なので、b[3m+1]=(4n-2m-1)-(2m+1)+1=4n-4m-1
x=3m+2のとき6m+4+3y≦12nかつ6m+4-3y≦0から
2m+4/3≦y≦4n-2m-4/3なので、b[3m+2]=(4n-2m-2)-(2m+2)+1=4n-4m-3
従って
a[n]=Σ[k=0〜3n]b[k]=1+Σ[k=0〜n-1](4n-4k+1)+(4n-4k-1)+(4n-4k-3)
=1+Σ[k=0〜n-1]12n-12k-3
=6n^2+3n+1
(2)別解
条件から、求める個数は(0,0),(3n,2n),(0,4n)の3頂点からなる
二等辺三角形の辺上及び内部の格子点（座標が整数である点）。
0≦y≦2nの範囲の格子点の個数は
{((0,0),(3n,0),(3n,2n),(0,2n)の4頂点からなる長方形の格子点の数)
+(この長方形の(0,0)と(3n,2n)を結ぶ対角線上の格子点の数)}÷2
={(3n+1)(2n+1)+(n+1)}/2=3n^2+3n+1
2n≦y≦4nの範囲の格子点の個数も同じで、足すとy=2n上の格子点の
個数3n+1個が重複するので、求める個数は
a[n]=2(3n^2+3n+1)-(3n+1)=6n^2+3n+1
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No.62439 - 2019/11/26(Tue) 02:22:43 |
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