ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 大学数学　重積分 / ウィニー

次のDを図示し、重積分の値を求めよ。
(1) ∫ ∫D (x+y)^2 dxdy
(Dは(1,0)、(0,2)、(-3,-3)を頂点とする3角形の周及び内部)

(2) ∫ ∫D (x-y)cos(3x+5y) dxdy
(D={(x,y)|0≦3x+5y≦π,0≦x-y≦π})

(3) ∫ ∫D (x^2-y^2+2) dxdy
(D={(x,y)|(x^2+y^2)^2≦x^2-y^2,x≧0})

(4) ∫ ∫D √(x^2+y^2) dxdy
(D={(x,y)|-6x≦x^2+y^2≦9})

よろしくお願いいたします。

No.62975 - 2020/01/06(Mon) 23:03:08

☆ Re: 大学数学　重積分 / ウィニー

すみません、間違えて大学数学の質問を書いてしまいました。
無視していただいて構いません。

No.62977 - 2020/01/07(Tue) 12:53:07

★ (No Subject) / アブドゥル

この問題の(2)において、「点Oは直径をABとした円周上にある」と書いてあるのですがなぜですか？

No.62973 - 2020/01/06(Mon) 20:31:18

☆ Re: / ＣＯＲＮＯ

問題に
　　「∠ＡＯＢ＝９０°の直角三角形ＡＯＢが～」
とあるからです．
直径の上に立つ円周角は90°である，ということです．

No.62979 - 2020/01/07(Tue) 18:06:33

☆ Re: / アブドゥル

ありがとうございましたm(__)m

No.62984 - 2020/01/08(Wed) 00:54:59

★ 二項定理 / 耐水性

画像の問題の解き方を教えていただきたいです。
宜しくお願い致します。

No.62969 - 2020/01/06(Mon) 17:17:03

☆ Re: 二項定理 / X

(2)だけ解きますので参考にして(1)(3)はご自分でどうぞ。

(2)
二項定理により
(x^2-3y)^4=Σ[k=1～4](4Ck){(x^2)^k}(3y)^(4-k)
=Σ[k=1～4]{(4Ck)・3^(4-k)}{x^(2k)}y^(4-k)
∴(x^2)(y^3)の項についてxの指数に注目すると
2k=2
これより
k=1
よって求める係数は
(4C1)・3^(4-1)=4・3^3=108

No.62970 - 2020/01/06(Mon) 18:38:30

★ (No Subject) / アブドゥル

この問題の(2)の最初の等式が成り立つことを証明しました。あっていますか？(次レスに私の答案をのせます)

No.62957 - 2020/01/05(Sun) 21:02:52

☆ Re: / アブドゥル

こちらが私の証明です。このようなやり方はあっていますか？
(1枚目の画像の鉛筆で書き込まれた数字は答えです。)

ご回答よろしくお願いしますm(_ _)m

No.62958 - 2020/01/05(Sun) 21:04:02

☆ Re: / ヨッシー

x1＋x2＋・・・＋x10＝55,
y1＋y2＋・・・＋y10＝75
　・・・
x1y1＋x2y2＋・・・＝445
のときに限り、
　x1^2＋・・・＝10{sx^2＋(x~)^2}
が成り立つことを示せ
という問題ならそれで良いかもしれませんが、
一般に(どんな場合にも)
　x1^2＋・・・＝10{sx^2＋(x~)^2}
が成り立つことを示せ
という問題なので、分散の公式から導き出さないといけません。

No.62963 - 2020/01/06(Mon) 04:33:48

☆ Re: / アブドゥル

なるほど、よくわかりました。
丁寧に教えていただき感謝します。
ありがとうございましたm(_ _)m

No.62968 - 2020/01/06(Mon) 17:02:44

★ 確率について / aufchan

70%の確率でランダムに1を生成する機械が２台あると、
二つが同時に1を出す確率は何%になるでしょうか

0.7*0.7*100でいいのでしょうか。
またこれをn回続けた時、全体としての一致率の期待値はどうなるでしょうか。

No.62955 - 2020/01/05(Sun) 12:23:18

☆ Re: 確率について / らすかる

0.7*0.7*100でOKです。
一致率が「両方1または両方0」ならば
0.7*0.7*100+0.3*0.3*100=58(%)
です。

No.62956 - 2020/01/05(Sun) 16:39:01

☆ Re: 確率について / aufchan

> 0.7*0.7*100+0.3*0.3*100=58(%)
> です。

質問する前に確率論があまりよくわからなかったのでパソコンに5000回試させたところ本当にほぼ58%になってそのメモが残っていてびっくりしました。大変助かりました。ありがとうございました！

No.62966 - 2020/01/06(Mon) 13:10:39

★ 四角形の性質 / ぱー

四角形の対角線が等しいという情報から得られることってあるのでしょうか？台形になるのでしょうか。。？

宜しくお願い致します。

No.62952 - 2020/01/05(Sun) 04:39:23

☆ Re: 四角形の性質 / らすかる

2本の対角線の長さが等しい、という意味ならば
（一般には）少なくとも「台形」のような有名な名称のついた
四角形にはなりませんので、単に
「2本の対角線の長さが等しい四角形」
というだけだと思います。

No.62953 - 2020/01/05(Sun) 05:21:52

★ 高校入試問題です / 健児

どちらも（３）の問題の解き方がわかりません。ご指導ください。

No.62951 - 2020/01/05(Sun) 04:30:41

☆ Re: 高校入試問題です / ヨッシー

上の問題

図のように球Ｑに外接する正四面体（元の正四面体と３面を共有する）を
考えると、２つの正四面体の相似比（＝ＰとＱの半径比）から球の体積比を出すことが出来ます。

下の問題
ＢＣの中点をＭとし、△ＡＭＨと、球の関係を考えます。

図において、Ｉは、正四面体に内接する球の中心、ＯはＡＨの中点です。
Ｉから面ＡＢＣに下ろした垂線の長さは、ＩＨに等しいです。
Ｏから面ＡＢＣに下ろした垂線の長さはＡＩ：ＡＯから求められます。
すると、面ＡＢＣによって、球を切ったときの断面の半径ＰＡが出ます。
図の右のように、半径ＰＡの円と正三角形の共通部分が求める面積となります。
ただし、正三角形の１つの頂点は円周上にあり、そこから引いた中線は円の直径上にあるものとします。

No.62954 - 2020/01/05(Sun) 07:48:20

★ (No Subject) / アブドゥル

この問題の解説に疑問あります。

No.62946 - 2020/01/04(Sat) 23:32:20

☆ Re: / アブドゥル

赤線のところです。

「平面AMBと底面BCDが垂直であるから外接球の中心Oは平面AMB上にあり」

とありますが、

確かに点Oが平面AMB上にあれば、OHとMBは垂直に交わりますが、点Oが平面AMB上にないのにMBと垂直に交わる可能性があるような気がします。

解説のように「平面同士が垂直→点Oは平面AMB上にある」と言い切ってるのはなぜですか？

No.62947 - 2020/01/04(Sat) 23:37:13

☆ Re: / アブドゥル

図を書いてみました。明らかにおかしいですが、こういう可能性はないのですか？

No.62948 - 2020/01/04(Sat) 23:41:48

☆ Re: / ヨッシー

そういう可能性はありません。
２点Ｃ，Ｄから等距離にある点は、線分ＣＤの垂直二等分面、
すなわち平面ＡＭＢ上にあるためです。

ＣＰ＝ＤＰ　である点Ｐを取ると、
△ＣＭＰと△ＤＭＰにおいて、
　ＣＰ＝ＤＰ、ＣＭ＝ＤＭ、ＭＰは共通
より
　△ＣＭＰ≡△ＤＭＰ
となり、
　∠ＰＭＣ＝∠ＰＭＤ＝９０°
となるためです。

No.62949 - 2020/01/05(Sun) 01:29:45

☆ Re: / アブドゥル

納得できました。よく理解しました。
ありがとうございましたm(__)m

No.62950 - 2020/01/05(Sun) 02:47:39

★ 収束する無限級数のグラフを描く問題です。 / YUKI

このf(x)のグラフを描け。という問題です。

初項＝０ (cosx)^2＝0の場合と

初項≠０ (cosx)^2≠0を場合分けして描かなければならないのか

それとも初項＝０は考慮しなくてもいいのか、教えていただきたいです。

もし初項＝０ (cosx)^2＝0を考えるならπ/2と3π/2で不連続になりますが、そこがどちらにしてよいのかはっきり分かりません。

No.62937 - 2020/01/04(Sat) 17:49:36

☆ Re: 収束する無限級数のグラフを描く問題です。 / ＩＴ

各x毎に計算する必要があるので場合分けが必要となります。

不連続で良いのでは？
f(π/2) =f(3π/2)=　0　ですよね。

No.62940 - 2020/01/04(Sat) 19:04:34

☆ Re: 収束する無限級数のグラフを描く問題です。 / YUKI

ありがとうございます。質問してみて、やっと意味が分かってきました。

No.62943 - 2020/01/04(Sat) 20:33:57

★ √2次式の値が自然数となる条件 / health-p

(2)の赤線を引いているところでです。
(m+n)-(m-n)=2nでなぜこの式の差が偶数と仮定できたか分かりません。教えてください。

No.62935 - 2020/01/04(Sat) 17:29:29

☆ Re: √2次式の値が自然数となる条件 / ＩＴ

(m+n)-(m-n)=2n は恒等式です。仮定したのではなくて常に成立します。

No.62938 - 2020/01/04(Sat) 18:00:46

☆ Re: √2次式の値が自然数となる条件 / health-p

ありがとうございます！

No.62944 - 2020/01/04(Sat) 21:03:55

★ (No Subject) / アブドゥル

この問題の(3)を解答と違うやり方で答えたが、答えが一致したのですが、私のやり方はあっていますか？以下の私のやり方はABCのひく順番を考えていないので間違ってる気がします。

i)3人とも当たる場合、(1)より1/406

ii)2人とも当たる場合
3C2*5/30*4/29*25/28=25/406
(3C2は当たる人の選び方)

i)+ii)=13/203(答え一致)

私は計算がたまたまあってただけなのか、考え方もあっているのか教えて下さい。くじ引きを引く順番に有利不利に関係ないなどの知識があって混乱しています。

よろしくお願いしますm(__)m

No.62925 - 2020/01/04(Sat) 02:03:26

☆ Re: / ＩＴ

> ii)2人とも当たる場合
「ちょうど２人が当る場合」だと思いますが

> 3C2*5/30*4/29*25/28=25/406
> (3C2は当たる人の選び方)

どういう考え方で計算しているかをもう少し記述されないと　何とも言えないと思います。

No.62927 - 2020/01/04(Sat) 11:49:42

☆ Re: / アブドゥル

ありがとうございます。
もう一度書き直します。

ii)ちょうど2人あたる場合

3C2は当たる人の選び方
5/30(当たりのくじの数5本から1本選ぶ選び方/全部のくじの数30本から1本選ぶ選び方)
4/29(当たりのくじの数5本から1引いた本数の4本から1つ選ぶ選び方/全部のくじの数30本から1引いた本数の29本から選ぶ選び方)
25/28(はずれのくじの数25本から1本選ぶ選び方/全部のくじの数30本から2引いた本数の28本から1本選ぶ選び方)

を積の法則ですべてかけて、3C2*5/30*4/29*25/28=25/406

No.62929 - 2020/01/04(Sat) 14:46:47

☆ Re: / ＩＴ

心配しておられるように
ABが当りCが外れる、ACが当りBが外れる、BCが当りAが外れる。
”これらの確率が互いに等しいこと”を言っておく必要があると思います。

”これ”は、正しいですが「自明」という訳ではないので、この問題の場合ちゃんとした証明が必要だと思います。

No.62934 - 2020/01/04(Sat) 15:40:14

☆ Re: / ＩＴ

３０本のくじを左から順に並べておく。それを左から順にA,B,Cが引いていく。と考えると。

A,B,Cの当る確率が互いに等しい。ことが理解（説明）しやすいかも知れません。

No.62939 - 2020/01/04(Sat) 18:04:39

☆ Re: / アブドゥル

ありがとうございます。助かりましたm(__)m

No.62945 - 2020/01/04(Sat) 23:29:44

★ (No Subject) / アブドゥル

「同様に確からしい」という表現の使い方はあっていますか？考えがあっているか教えてください。

▼

画像の問題において、1の目が1回でるという根本事象と2の目が1回でるという根本事象は、「同様に確からしくない」。なぜかというと、条件のサイコロは、1の目は1個なのに対し、2の目は2個あり、どの目も出る確率は等確率であるから、1の目に比べて、2の目の方が出やすいからである。

よろしくお願いします。

No.62924 - 2020/01/03(Fri) 23:08:40

★ 漸化式 / Ran

xの関数f(x)(n=0,1,2,…)が漸化式

3f[n+1](x)=(2x+4)f[n](x)-(2x+1)f[n-1](x) (n≧1)

を満たしているものとする。

⑴上の漸化式をみたし、f[0](x)=x^2 f[1](x)=1
となるf[n](x)をnとxで表せ。

⑵ ⑴のf[n](x)に対して、lim[n→∞]f[n](x) が有限値として存在するようなxの値の範囲を求めろ。

という問題がわかりません。
よろしくお願いします！！！

No.62918 - 2020/01/03(Fri) 12:13:48

☆ Re: 漸化式 / X

(1)
問題の漸化式の特性方程式は
3t^2=(2x+4)t-(2x+1)
これを解いて
t=1,(2x+1)/3
∴問題の漸化式は
a[n+2]-a[n+1]={(2x+1)/3}(a[n+1]-a[n]) (A)
a[n+2]-{(2x+1)/3}a[n+1]=a[n+1]-{(2x+1)/3}a[n] (B)
と変形することができます。
(A)(B)より
a[n+1]-a[n]=(1-x^2){(2x+1)/3}^n (A)'
a[n+1]-{(2x+1)/3}a[n]=1-{(2x+1)/3}x^2 (B)'
よって
(i)x≠1のとき
(A)'-(B)'より
{(2x-2)/3}a[n]=(1-x^2){(2x+1)/3}^n-1+{(2x+1)/3}x^2
∴
a[n]=-(3/2)(1+x){(2x+1)/3}^n+(1/2){(2x^3+x^2-3)/(x-1)}
=-(3/2)(1+x){(2x+1)/3}^n+(1/2)(2x^2+3x+3)
(ii)x=1のとき
(A)(B)は共に
a[n+2]-a[n+1]=a[n+1]-a[n]
a[1]=a[2]=1に注意すると
a[n+1]-a[n]=0
これを解いて
a[n]=1
これは(i)の結果におけるx=1のときの値と等しくなります。

以上から
f[n](x)=-(3/2)(1+x){(2x+1)/3}^n+(1/2)(2x^2+3x+3)

(2)
(1)の結果により題意を満たすためには
-1＜(2x+1)/3≦1
これを解いて
-2＜x≦1

No.62923 - 2020/01/03(Fri) 22:13:36

★ (No Subject) / aiko

どーやって、k個めとk+1個めの関係式を作るのかわかりません。

この問題の答えと解き方を教えてください。

No.62914 - 2020/01/03(Fri) 01:16:21

☆ Re: / らすかる

> どーやって、k個めとk+1個めの関係式を作るのかわかりません。

C[k]の半径をr、一つ小さい円の半径をtr（0＜t＜1）として
C[k]の中心をA、一つ小さい円の中心をBとすると
OB=tOA, OA-OB=r+tr, OAsinθ=r
これらの式から
t=(1-sinθ)/(1+sinθ)
とわかりますので、
(ある円の半径)：(一つ小さい円の半径)
=1：(1-sinθ)/(1+sinθ)
=1+sinθ：1-sinθ
となります。

No.62921 - 2020/01/03(Fri) 21:05:45