ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 接円の作図 / TT

中3です。
以下のような問題を見かけたのですが答えがなく、解法が思いつかなくてモヤモヤなので教えてほしいです。
解法が中学数学を超えていても構わないです。

線分ABと直線lが与えられており、両者は交わらず平行でもありません。
2点A、Bを通り、直線lに接する円のうちの1つをコンパスと定規で作図しなさい。

No.62026 - 2019/10/25(Fri) 16:47:38

☆ Re: 接円の作図 / らすかる

(1) ABの中点をCとし、ABの垂直二等分線と直線lの交点をDとします。
(2) 線分CD上に点Eを適当にとり、Eから直線lに垂線EFを下ろして
　Eを中心としてFを通る円を描き、この円と直線BDの交点のうちDから遠い方をGとします。
(3) Bを通りEGと平行な直線とCDの交点をOとし、Oを中心としてBを通る円を書けば
　それが目的の円となります。

No.62027 - 2019/10/25(Fri) 17:33:38

★ 質問です / たか

aとbが全ての正数の時,a/(a+2b) + b/(b+2a) >= 1/2 を何か分かりきった式から変形して証明したいのですが、どうしても >= ではなく > になってしまいます。
一応最初の式を a^2 + b^2 -ab >=0 まで変形して、(a-b)^2 >=0 を使って証明しようとしていますが、どう変形しても
a^2 + b^2 -ab > (a-b)^2 >=0 ってなるので
a^2 + b^2 -ab >0 になってしまいます。何かいい方法、または最初に使う式ってありますか?

No.62013 - 2019/10/25(Fri) 05:32:51

☆ Re: 質問です / らすかる

(式)＞0ならば(式)≧0も成り立ちますので
(式)＞0が示せたら最後に
∴(式)≧0
と書けばOKです。

> 一応最初の式を a^2 + b^2 -ab >=0 まで変形して

・最初の不等式を変形していくのは証明として誤りです。
　（ただし、後で逆順に書くつもりなら問題ありません）
・a^2+b^2-ab≧0にはならないと思いますが、計算を間違えていませんか？

No.62015 - 2019/10/25(Fri) 05:47:26

☆ Re: 質問です / X

横から失礼します。

a^2+b^2-ab=(a-b/2)^2+(3/4)b^2
ですので、a,bが正の数という条件付きであれば
不等号の下の等号は成立しません。

No.62016 - 2019/10/25(Fri) 05:51:40

☆ Re: 質問です / たか

この後 (a-b)^2 + 3ab/2 >= 0 まで出来たのですがやっぱり下の等号が外れてしまいます。計算間違いがあれば訂正お願いします

No.62017 - 2019/10/25(Fri) 06:05:00

☆ Re: 質問です / らすかる

計算間違いはありません。
問題の式の「＝」は成り立ちませんので、
等号が外れて正解です。
上にも書きましたが、
(式)＞1/2となったら最後だけ等号を付けて
∴(式)≧1/2と書けばOKです。

No.62018 - 2019/10/25(Fri) 06:10:54

☆ Re: 質問です / たか

> (式)＞1/2となったら最後だけ等号を付けて
> ∴(式)≧1/2と書けばOKです。
そんなチートみたいなの有りなんですか！?
だったら勉強不足の自分が恥ずかしいᔪ(°ᐤ°)ᔭ

No.62019 - 2019/10/25(Fri) 06:13:47

☆ Re: 質問です / らすかる

チートでも何でもありません。
a≧bというのは「a＞bまたはa＝b」という意味であり、
a＞bが成り立てば当然「a＞bまたはa＝b」も成り立ちますので
a＞b⇒a≧bです。
最後だけ単に「＝」を付ければ何も問題ありません。

それよりも解答をどのように書こうとしているかの方が気になっています。
例えば
a/(a+2b)+b/(b+2a)≧1/2
{a(b+2a)+b(a+2b)}/{(a+2b)(b+2a)}≧1/2
(2a^2+2ab+2b^2)/(2a^2+5ab+2b^2)≧1/2
4a^2+4ab+4b^2≧2a^2+5ab+2b^2
2a^2-ab+2b^2≧0
・・・
のように解答を書いたら間違いですが、それは大丈夫ですか？

No.62020 - 2019/10/25(Fri) 06:17:04

☆ Re: 質問です / たか

そこは勿論大丈夫です。(a-b)^2≧0 をどうやって元の式に戻すか考えるの為の2a^2-ab+2b^2≧0です

ありがとうございました

No.62021 - 2019/10/25(Fri) 06:27:33

☆ Re: 質問です / らすかる

それなら安心しました。
ちなみに、「＝」は成り立たないのですが、
無理やり「＝」が付くようなやり方がないこともないです。
（でもそこまで変なことをする意味はありません）
(10a-b)^2≧0, (a-10b)^2≧0, 7(a-b)^2≧0なので
{(10a-b)^2+(a-10b)^2+7(a-b)^2}/54≧0
2a^2-ab+2b^2≧0
・・・

No.62022 - 2019/10/25(Fri) 06:55:37

★ 質問 / いぬ

この問題の回答にf(2)＜0でｍの範囲を求めていたのですが、グラフが下に凸ということはどのようにしてわかるのでしょうか。
ものすごい当たり前なところを見逃していたらすいません。

No.62009 - 2019/10/25(Fri) 03:06:04

☆ Re: 質問 / いぬ

上の問題の解の一方が2よりおおきく他方が2より小さい場合についてです。なぜか写真が逆さになってしまいました。すいません。

No.62010 - 2019/10/25(Fri) 03:08:13

☆ Re: 質問 / らすかる

ここに書かれていることだけでは「グラフが下に凸」とは言えません。
解答のそれ以前のところに何か書かれているのだろうと思いますが、解答がなくてわかりません。
解答をアップして下さい。

No.62011 - 2019/10/25(Fri) 03:32:10

☆ Re: 質問 / いぬ

回答はこれです。よろしくお願いします。

No.62012 - 2019/10/25(Fri) 05:22:31

☆ Re: 質問 / らすかる

なるほど。それならば、
全体をm-3で割ってx^2の係数が1になっている式をf(x)としたことで
必ず下に凸になる、ということですね。

# f(x)の符号が反転しても解の位置は変わりませんので、
# m-3で割って「下に凸」固定で考えてよい、ということです。

No.62014 - 2019/10/25(Fri) 05:39:40

☆ Re: 質問 / いぬ

すっかり見逃していました。ありがとうございました。

No.62023 - 2019/10/25(Fri) 07:05:35

★ (No Subject) / 橋

このDとEの条件で、EがDを含む理由がわかりません。教えてください！

No.62007 - 2019/10/24(Thu) 18:53:09

☆ Re: / らすかる

よくわからなかったら少し書き出してみればわかりやすいと思います。

Eは
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,
22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,
43,44,45,46,47,…
（つまりUから0,21,42,63,…を除いた集合）

Dは
1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20,
22,23,25,26,29,31,32,34,37,38,40,41,
43,44,46,47,…
（つまりUから0,3,6,9,…と0,7,14,21,…を除いた集合）

であり、Dには21の倍数だけでなく3の倍数も7の倍数も
含まれていませんので、D⊂Eとなっていますね。

あるいは、
「Dの補集合⊃Eの補集合」⇔「D⊂E」
をご存知なら、
Dの補集合は 0,3,6,7,9,12,14,15,18,21,24,…
Eの補集合は 0,21,42,63,…
となってDの補集合には21の倍数が含まれていて
Dの補集合⊃Eの補集合なので、D⊂E
という考え方も出来ます。

No.62008 - 2019/10/24(Thu) 19:56:09

★ (No Subject) / アブドゥル

こんにちは。

画像のように、nとn-1の関係の漸化式を、n=n+1として無理矢理、n+1とnの関係の漸化式にしてもいいですか？この操作を参考書で見たことあるのですが、n=n+1からn-n=1よって0=1でおかしくなる気がするのですかどうでしょうか？

問題は次の画像に貼ります。

よろしくお願いします。

No.61990 - 2019/10/23(Wed) 19:41:02

☆ Re: / アブドゥル

こちらが問題です。(今回は(2)のみです。)
直接関係なさそうですが、もし必要であればお目通しお願いします。

No.61991 - 2019/10/23(Wed) 19:42:27

☆ Re: / らすかる

n=n+1としたわけではありません。nをn+1に置き換えたのです。
a[n]-1/3=(1/4)(a[n-1]-1/3) は
a[○]-1/3=(1/4)(a[△]-1/3)　（ただし○=△+1）
という意味を表すのに便宜上nを使っているというだけのことで、
nに特別な意味があるわけではありませんので、
○=△+1を満たせばどう置いても構いません。
a[n+5]-1/3=(1/4)(a[n+4]-1/3)
a[t-100]-1/3=(1/4)(a[t-101]-1/3)
なども全く同じ意味です。
（ただし変数の取り得る値の範囲が変わりますので、それだけ注意が必要です。）

No.61993 - 2019/10/23(Wed) 23:39:59

☆ Re: / アブドゥル

ありがとうございます。とても勉強になりました。

答案の書き方なのですが、何も断らず
a_nとa_n-1の関係の式を、わかりやすくするように
a_n+1とa_nの関係に直しても問題ありませんか？

それとも、「nをn+1に置き換えて、」と一言必要だと思いますか？

No.61995 - 2019/10/24(Thu) 09:04:41

☆ Re: / らすかる

断らずに直して問題ありません。
ただし、上にも書きましたが変数の取り得る値には注意が必要です。
例えば「n≧3のときにa[n]とa[n-1]の式が成り立つ」場合、
n,n-1をn+1,nに置き換えると「n≧2のときにa[n+1]とa[n]の式が成り立つ」
に変わります。これを気にしなければいけない問題は
少ないですが、たまにあります。

No.61996 - 2019/10/24(Thu) 09:24:55

☆ Re: / アブドゥル

よく分かりました。全て解決です。
変数の例外も含めて理解できました。

本当にありがとうございますm(__)m

No.62001 - 2019/10/24(Thu) 14:05:42

★ 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / ガラム

画像の式?Gと?Hはどうやって導かれたのでしょうか？

No.61988 - 2019/10/23(Wed) 18:43:44

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / X

以下のキーワードでネット検索してみてください。
回転移動の行列

No.61989 - 2019/10/23(Wed) 18:59:02

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / ガラム

ありがとうございます。
あのhttp://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/linear_image3.html
では
x=cosθ(X-X0)-sinθ(Y-Y0)
y=cosθ(Y-Y0)+sinθ(X-X0)となるのでしょうか？

No.61994 - 2019/10/23(Wed) 23:43:04

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / ガラム

らすかるさん、どうかお答えして頂くことは出来ないでしょうか。
サイトの式が合っていて、画像の8、9の式は間違っているのでしょうか。

No.61997 - 2019/10/24(Thu) 11:18:33

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / らすかる

グラフがないのでわかりません。

No.61998 - 2019/10/24(Thu) 12:02:17

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / ガラム

すいません。
こちらが図です。
どうかお願い致します。

No.61999 - 2019/10/24(Thu) 13:45:49

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / ガラム

ちなみに、最初の画像の?Gと?Hと載せましたサイトの画像の式は符号が異なりますが
二つは異なるものなのでしょうか？

No.62000 - 2019/10/24(Thu) 13:47:09

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / らすかる

x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ
は左回転
x'=xcosθ+ysinθ
y'=-xsinθ+ycosθ
は右回転です。

通常、角度は左回転を基準にしているため、
「回転行列」では左回転の式が載っています。
それに対し、「最初の画像の?Gと?H」は
xy座標軸はXY座標軸を左回転したもの、つまり
XY平面上に描かれている傾いたxy座標軸を
元に戻すと「右回転」しますので、
右回転の式になります。

No.62002 - 2019/10/24(Thu) 14:41:46

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / ガラム

返信ありがとうございます。
なるほど、上の図を下の図にするために、右回転の式にそれまでに導いた式を代入したのですね。

No.62003 - 2019/10/24(Thu) 15:43:31

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / ガラム

式を代入したというか、上の図を右回転して下の図にするためにX0,X1とY0,Y1を右回転の式に代入したのですね。

No.62004 - 2019/10/24(Thu) 15:48:21

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / らすかる

はい、その通りです。

No.62005 - 2019/10/24(Thu) 16:34:51

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / ガラム

どうもありがとうございます。

No.62006 - 2019/10/24(Thu) 18:12:28

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / ガラム

ちなみに、この画像をすべて左右反対にしたとしても得られる結果はすべて左右反対にする前の図から求まる結果と同じなのでしょうか？
個人的には回転する方向がかわるため式の符号は変わるが、得られる結果は同じように思えます。

No.62024 - 2019/10/25(Fri) 10:27:36

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / らすかる

左右反対にすれば当然変わります。
例えばY軸に関して左右反転すると
Y=f(X)はY=f(-X)となり、
回転する方向も反対になって
回転後のグラフも
元のグラフのxを-xに変えたものです。
（ただし、この図ではたまたまxを-xに変えてもy=ax^2のまま変わりません）

No.62025 - 2019/10/25(Fri) 12:23:25

☆ Re: 式?Gと?Hはどうやって導かれたか。 / ガラム

どうもありがとうございます。

No.62033 - 2019/10/26(Sat) 17:13:02

★ (No Subject) / 確率

2個の黒玉と3個の赤玉が入った袋がある。この中から無作為に1個の玉を取り出し、それに同色の玉を3個加えて袋に戻す。こうしてまた袋の中から無作為に1個の玉を無作為に取り出す。このとき、

（１）2回目に黒玉を取り出したことが分かったとき、1回目に黒玉を取り出した確率を求めよ。
（２）2回目に黒玉を取り出す確率を求めよ。

がわかりません。ベイズの定理を用いるのはわかるのですが、（１）（２）の言っている違いがうまくつかめずわかりません。どなたか解説をお願いします。

No.61975 - 2019/10/22(Tue) 14:47:57

☆ Re: / らすかる

(1回目に黒玉を取り出す確率)=2/5
(1回目に赤玉を取り出す確率)=3/5
(a)(1回目に黒玉、2回目に黒玉を取り出す確率)=2/5×5/8=1/4
(b)(1回目に黒玉、2回目に赤玉を取り出す確率)=2/5×3/8=3/20
(c)(1回目に赤玉、2回目に黒玉を取り出す確率)=3/5×1/4=3/20
(d)(1回目に赤玉、2回目に赤玉を取り出す確率)=3/5×3/4=9/20
なので
(1)=(a)/{(a)+(c)}=(1/4)/(1/4+3/20)=5/8
(2)=(a)+(c)=1/4+3/20=2/5

No.61978 - 2019/10/22(Tue) 16:01:00

☆ Re: / 確率

わかりやすい・・・。頭の中のごちゃごちゃがすっきりしました！ありがとうございます

No.61979 - 2019/10/22(Tue) 16:08:31

★ 教えてほしいです。 / 高校2年

次の問題を教えてほしいです。
pを実数として、Q(x)=x^3+px^2+px+1
⑴ Q(x)の因数を1つ求めよ。
⑵ 方程式Q(x)=0が、異なる三つの負の実数解α、β、γをもつとき、実数pの値の範囲を求めよ。
⑶ ⑵の異なる三つの負の実数解はα大なりβ大なりγで、 (β-α) : (γ-β) ＝ 3:2を満たすとき、3つの解α、β、γとpの値を求めよ。

また、この問題のレベルはどのくらいでしょうか？

No.61961 - 2019/10/21(Mon) 17:14:36

☆ Re: 教えてほしいです。 / X

(1)
条件より
Q(-1)=0
∴因数定理により因数の一つは
x+1

(2)
(1)の結果からQ(x)をx+1で割り算することにより
Q(x)=(x+1){x^2-(1-p)x+1}

(或いは
Q(x)=(x^3+1)+(px^2+px)
=(x+1)(x^2-x+1)+px(x+1)
=(x+1){x^2-(1-p)x+1}
と因数分解してもよいでしょう)

∴Q(x)=0より
x=-1 (A)
または
x^2-(1-p)x+1=0 (B)
よって題意を満たすためには
(B)の解の判別式をDとして
D=(1-p)^2-4＞0 (C)
次に(B)の解をu,vとして、
解と係数の関係を使うことにより
u+v=1-p＜0 (D)
uv=1＞0 (D)'
更に(A)は(B)の解にはなりえないので
1+(1-p)+1≠0 (E)
(C)(D)(E)を連立して解きます。
(C)より
(p-1+2)(p-1-2)＞0
(p+1)(p-3)＞0
∴p＜-1,3＜p
(D)より
1＜p
(D)'は常に成立
(E)より
p≠3
以上から求めるpの値の範囲は
p＜-1,3＜p

(3)
(2)の過程から(B)の解は
一方が-1より小さく、他方が-1より大きい
ことが分かります。
このことと
α＜β＜γ
から
β=-1
後は(B)に対する解と係数の関係と
(β-α):(γ-β)=3:2
を使ってα、γ、pについての
連立方程式を立てます。

No.61965 - 2019/10/21(Mon) 23:42:57

☆ Re: 教えてほしいです。 / 関数電卓

スレッド冒頭の『α大なりβ大なりγ』は 「α＜β＜γ」 なのでしょうか？
私は，「α＞β＞γ」と読み，「(β-α) : (γ-β) ＝ 3:2」の表記にに違和感を覚えつつも先まで計算を進めて，3＜p にならないことから，「α＜β＜γ だったのか！？」と思い改めたのですが…

No.61971 - 2019/10/22(Tue) 11:49:30

☆ Re: 教えてほしいです。 / X

＞＞関数電卓さんへ
確かに『α大なりβ大なりγ』は
字句通りだと
α＞β＞γ
ですね。これは私の解釈ミスです。
ただ、高校2年さんが
α＜β＜γ
の不等号を文字に変換する際に
変換し間違えた、と見たほうが
よさそうですね。

No.61973 - 2019/10/22(Tue) 13:15:15

☆ Re: 教えてほしいです。 / 関数電卓

　Q(x)＝(x＋1)(x^2－(1－p)x＋1)
f(x)＝x^2－(1－p)x＋1　とおくと
f(x)＝0 が異なる負の 2 実解をもつことから
　D＝(1－p)^2－4＝(p－3)(p＋1)＞0
及び，1－p＜0。よって，3＜p

また，f(－1)＝3－p＜0 より，β＝－1，α＝(1－p－√(D))/2，γ＝(1－p＋√(D))/2
2(β－α)＝－3＋p＋√(D)，2(γ－β)＝3－p＋√(D)
(β－α)：(γ－β)＝3：2 を整理して，√(D)＝5(p－3)
これを平方して，D＝(p－3)(p＋1)＝25(p－3)^2。p＞3 より p＋1＝25(p－3)　∴ p＝19/6
このとき √(D)＝5/6 だから，α＝－3/2，β＝－1，γ＝－2/3

こんな p をよく見つけたものだと思いますが，問題の背景を知りたいところです。

No.61974 - 2019/10/22(Tue) 14:25:32

★ この表の意味教えてください… / 栗林

この表の意味分からなくて非常に困っています。

原文はドイツ語ですが、英語に翻訳するとこういう感じです。
This matrix is constructed as follows: In the (2n + 1).
Column (n = 0,1,2, ...) is exactly one on the (2n + 3). Job.
The remaining columns are in turn the columns of the matrix of
Table 1, as far as they are not among the former; with that the axioms axzf are fulfilled

No.61951 - 2019/10/20(Sun) 21:21:55

☆ Re: この表の意味教えてください… / 栗林

ちなみにTabelle 1というのはこれです。
横軸の数の2進表記を縦に書いてる表です。
例)
横軸の3(2進表記11)の列は
1
1
0
0
•
•
•

No.61952 - 2019/10/20(Sun) 21:27:56

☆ Re: この表の意味教えてください… / らすかる

全然自信がありませんが
2n+1列目は2n+3行だけ1とする。
(つまり0,2,4,…の列は2,4,6,…の行だけ1)
その他の列は表1から持ってくる。
ただし既に登場したものは除く

もう少し意訳すると
0,2,4,6,…の列には4,4^2,4^3,4^4の2進を書く
1,3,5,7,…の列には0,1,2,3,…のうち4^kでないものを書いていく

具体的には
0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 …
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 …
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 …
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 …
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 …
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …
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# 表からの情報と英語からの情報を合わせて考えたものですが、
# 間違っていたらごめんなさい。

No.61955 - 2019/10/20(Sun) 21:51:49

☆ Re: この表の意味教えてください… / 栗林

おおおおお！！！
なるほどw
そう解釈すると完全に表と一致しますね
本当にありがとうございます…コインとかあげられないのが残念です

No.61956 - 2019/10/20(Sun) 22:30:53