ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / きょうりゅう

オレンジで丸が付いている大問の2がよくわかりません。考え方がわからないです。公式に則って教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします

No.62380 - 2019/11/19(Tue) 16:50:20

☆ Re: / きょうりゅう

公式です

No.62381 - 2019/11/19(Tue) 16:50:55

☆ Re: / X

回答の前に一言。

まず添付写真二枚目の一番下の行を参照してください。
その内容の意味するところは
赤ペンで囲った公式と
sin(-θ)=-sinθ (A)
cos(-θ)=cosθ (B)
tan(-θ)=-tanθ (C)
を頭に入れておけば、赤枠の上の方の
黒枠の公式は覚える必要はない(自分で導き出せるから)
ということです。

又、赤枠の公式は既に三角比の時に習った公式を
弧度法に置き換えただけです。
(これは理解されていると思いますが大丈夫ですか？)
つまり、実質的に新しく頭に入れておくべきは
(A)(B)(C)だけ
です。

以上を踏まえて以下の回答をご覧ください。
(1)
sin(9π/8)=sin(4π/8+5π/8)
=sin(π/2+5π/8)
=sin{π/2-(-5π/8)}
=cos(-5π/8)
=cos(5π/8)
=b
(2)
cos(-3π/8)=cos{-(π-5π/8)}
=cos(π-5π/8)
=-cos(5π/8)
=-b
(3)
tan(17π/8)=tan(12π/8+5π/8)
=tan(3π/2+5π/8)
=tan{π+(π/2+5π/8)}
=tan{π-{-(π/2+5π/8)}}
=-tan{-(π/2+5π/8)}
=tan(π/2+5π/8)
=tan{π/2-(-5π/8)}
=1/tan(-5π/8)
=-1/tan(5π/8)
=-{cos(5π/8)}/sin(5π/8)
=-b/a

注)
(3)についてはもう少し簡単な式変形があるかもしれません。

No.62389 - 2019/11/19(Tue) 19:41:22

★ 教えていただきたいです！ / はたけやま

容器Aには10パーセントの食塩水300ｇ容器Bには18パーセントの食塩水500ｇが入っている。AからXｇ、BからＹｇの食塩水を取りだしAから取りだした食塩水をBに、Bから取り出した食塩水をAに入れると、Aの食塩水の濃度は14,5パーセントになる。また、AからＹｇ、BからXｇの食塩水を取りだしAから取りだした食塩水をBに、Bから取りだした食塩水をAに入れるとAとBの濃度が一致した。このときのX、Ｙの値を求めなさい。

No.62376 - 2019/11/18(Mon) 20:05:59

☆ Re: 教えていただきたいです！ / X

条件から、まず問題の前半部の条件に対し
食塩水を移し替えた後の容器Aの中の
食塩水の濃度について
{(10/100)(300-X)+18Y/100}/(300-X+Y)=14.5/100 (A)
次に問題文の後半部の条件に対し
食塩水を移し替えた後の容器の中の
食塩水の濃度について
{(10/100)(300-Y)+(18/100)X}/(300-Y+X)
={(18/100)(500-X)+(10/100)Y}/(500-X+Y) (B)

(A)(B)をX,Yについての連立方程式として解きます。
(問題文の切り口に対して立てられる方針が
明らかに煩雑になりますが、自作問題ですか？)

No.62388 - 2019/11/19(Tue) 19:16:24

★ (No Subject) / さくらんぼ

この問題の(2),(3)を、教えてください！

No.62374 - 2019/11/18(Mon) 17:30:12

☆ Re: / X

(1/4)(x-1)^2+(1/3)y^2=1 (A)
とします。

(2)
前半)
(i)α≠π/2のとき
問題の直線の方程式は
y=xtanα (B)
∴点A,Bのx座標をa,b(但しa＜b)とすると
(A)からa,bはxの方程式
(1/4)(x-1)^2+(1/3)(xtanα)^2=1 (C)
の解となります。
(C)より
3(x-1)^2+4(xtanα)^2=12
{3+4(tanα)^2}x^2-6x-9=0
∴解と係数の関係から
a+b=6/{3+4(tanα)^2}
ab=-9/{3+4(tanα)^2}
となるので
(b-a)^2=(a+b)^2-4ab
={6/{3+4(tanα)^2}}^2+36/{3+4(tanα)^2}
={36/{3+4(tanα)^2}^2}{1+{3+4(tanα)^2}}
=4・{36/{3+4(tanα)^2}^2}{1/(cosα)^2}
よって
d=√{(b-a)^2+(btanα-atanα)^2}
=(b-a)/|cosα|
={12/{3+4(tanα)^2}}{1/(cosα)^2}
=12/{3(cosα)^2+4(sinα)^2}
=12/{3+(sinα)^2} (D)
(ii)α=π/2のとき
問題の直線はy軸となります。
ここでy軸と(A)との交点の座標は
(3/2,0),(-3/2,0)
∴d=3
これは(D)にα=π/2を代入したものと
等しくなっています。

以上から
d=12/{3+(sinα)^2}

後半)
問題の直線の方程式はαの値によらず
xsinα-ycosα=0
と書くことができるので、辺ABを底辺
と見たときの△ABFの高さをhとすると
点と直線との間の公式と(1)の結果により
h=|2sinα|/√{(sinα)^2+(-cosα)^2}
=2sinα (注:0≦α＜πにより0≦sinα)
よって
S=(1/2)dh=12(sinα)/{3+(sinα)^2}

(3)
(1)の結果から
dS/dα=(cosα)・12{{3+(sinα)^2}-sinα・2sinα}/{3+(sinα)^2}^2
=12(cosα){3-(sinα)^2}/{3+(sinα)^2}^2
∴0≦α＜π/2におけるSの増減表を書くことにより
Sの最大値は3(このときα=π/2)

(注)
S=12/{sinα+3/sinα) (E)
と変形して(E)の分母に対し、相加平均と相乗平均
の関係を使いたいところですが、不等号の下の
等号成立条件である
sinα=3/sinα
を満たすαが存在しませんのでこの方針は
使えません。

No.62375 - 2019/11/18(Mon) 19:50:17

☆ Re: / さくらんぼ

ありがとうございました！

相加相乗の定義域外なので、
つかえないのですね。

No.62383 - 2019/11/19(Tue) 18:33:16

☆ Re: / X

もう見ていないかもしれませんが、No.62375で
問題のナンバーをつけ間違えていました。
(ごめんなさい)
修正しましたので再度ご覧下さい。

No.62387 - 2019/11/19(Tue) 19:03:14

★ 数学 / あ

a,b,c,d,eの5チームがあります。
どのチームも一日に一回しか試合ができないとします。すべての試合を実施するにはが必要ですか。またその実施計画を作りなさい。
この問題が分かりません。教えて下さい。

No.62368 - 2019/11/17(Sun) 20:18:21

☆ Re: 数学 / らすかる

> すべての試合を実施するにはが必要ですか
すべての試合を実施する「庭」が必要ですか
ではないですよね？意味がわかりません。

あと、一度に何チームで行う試合なのかもわかりません。
例えば「400m×4のリレー」のように一度に5チームで戦える試合なら、
一日で終わります。

# 問題文を持っているのでしたら、一字一句変更することなく
# そのまま書き写して下さい。

No.62369 - 2019/11/17(Sun) 20:59:46

☆ Re: 数学 / あ

実施するには何日が必要ですかでした、失礼しました

No.62371 - 2019/11/17(Sun) 22:58:29

☆ Re: 数学 / らすかる

で、「試合」は1チーム対1チームですか？
もしそうなら、全部で5C2=10試合、1日で最大2試合なので
少なくとも5日以上必要であることがわかり、例えば
1日目 (a,b)(c,d)
2日目 (a,c)(b,e)
3日目 (a,d)(c,e)
4日目 (a,e)(b,d)
5日目 (b,c)(d,e)
のようにすれば目的が達成されますので、最小5日です。

No.62372 - 2019/11/17(Sun) 23:11:21

☆ Re: 数学 / あ

ありがとうございます！

No.62373 - 2019/11/17(Sun) 23:29:30

★ よろしくお願いします / 塩昆布

曲線C y =|ｘ(ｘ-2)|と直線l y =mx について、次の問題に答えなさい
1 曲線Cと直線lとが異なる３つの共通点を持つときのmの値の範囲を求めよ　
2 (1)のとき、Cとlとで囲まれる部分の面積Sを最小とするmの値を求めよ

No.62360 - 2019/11/17(Sun) 16:30:56

☆ Re: よろしくお願いします / X

(1)
Cとlのグラフを描くことにより、題意を満たすためには
少なくとも
0＜m (A)
(A)のとき、Cとlは
2＜x (B)
の範囲で必ず一つのみ交点を持つので、
題意を満たすためには
0≦x＜2 (C)
においてC,lが交点を2つ持てばよい
ことになります。

さて、Cの(C)の部分におけるlとの交点のx座標について
mx=-x(x-2)
これより
x=0,2-m (D)
よって、題意を満たすためには
0＜2-m＜2 (E)
(A)(E)を連立して解き、求めるmの値の範囲は
0＜m＜2 (F)

(2)
(1)の(D)により、(B)におけるCとlとの交点の
x座標を求めることができれば、積分により
Sをmの式で表すことができます。

さて(B)におけるCとlとの交点のx座標について
mx=x(x-2)
∴x=m+2
これと(D)により
S=∫[0→2-m]{-x(x-2)-mx}dx+∫[2-m→2]{mx+x(x-2)}dx
+∫[2→m+2]{mx-x(x-2)}dx (G)

(G)を計算すると最終的にSはmの三次関数で表す
ことができます。
後はSをmについて微分をし、(F)の範囲で
Sのmに対する増減表を書きます。

No.62367 - 2019/11/17(Sun) 19:38:02

★ 積分 / Ran

nを正の奇数とする。
またf(x)は連続関数でf(0)=1とする。

f(x)=c[n] ?甜0→π/2] f(y)sin n(x+y) dy

が任意の実数に対して成り立つとき、

⑴c[n]、f(x)をもとめよ。
⑵lim(n→∞)c[n]をもとめよ。

という問題の答えと解き方を教えてください！

No.62353 - 2019/11/17(Sun) 10:42:50

☆ Re: 積分 / X

(1)だけ方針を。

f(x)=c[n]∫[0→π/2]f(y)sinn(x+y)dy (A)
とします。
(1)
c[n]∫[0→π/2]f(y)cosnydy=a[n] (B)
c[n]∫[0→π/2]f(y)sinnydy=b[n] (C)
と置くと、(A)から加法定理により
f(x)=a[n]sinnx+b[n]cosnx (D)
これを(A)(B)の左辺に用いると
左辺の積分を計算することにより
(B)は
… (B)'
(C)は
… (C)'
更にf(0)=1により(D)から
… (D)'
(B)'(C)'(D)'をa[n],b[n],c[n]についての連立方程式
としてa[n],b[n],c[n]を求めます。

注)
（B)'(C)'を立式する際の積分の計算で
nが正の奇数
であることを使います。

No.62356 - 2019/11/17(Sun) 14:26:26

☆ Re: 積分 / Ran

⑴をどのように利用すれば⑵は解けますか？？

No.62359 - 2019/11/17(Sun) 16:02:42

☆ Re: 積分 / X

回答の前に訂正を(ごめんなさい)。
No.62356で(B)(C)に誤りがありましたので
直接修正しました。再度ご覧ください。

で、回答ですが、以下の方針で解きます。

(1)の結果求められたc[n]に対し
n=2k-1
(kは自然数)
と置くことができ、
lim[n→∞]c[n]=lim[k→∞]c[2k-1]=…

注)
問題ではそもそもnが偶数のときの
c[n]が定義されていません。

No.62365 - 2019/11/17(Sun) 19:15:53

★ (No Subject) / Rico

xy平面上で媒介変数tをもちいて

x=-cos2t
y=cos3t

で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。

⑴曲線の外径を表せ。
⑵曲線Cとx軸で囲まれる領域の面積Σを求めよ。

という問題があるのですが、
これを解いたらこんな風になって、⑵の答えがマイナスになって面積がマイナス？！ってなってしまいました。

どこが間違えてるのか教えてください泣

No.62352 - 2019/11/17(Sun) 10:38:43

☆ Re: / らすかる

(1)
・tの範囲が書かれていませんが、
　増減表から考えて0≦t≦π/2なのですか？
・増減表のdy/dtのπ/2の値が違います。
・グラフの(1,0)のところはx=1に接しますので、
　端は垂直に(1,0)にぶつかります。
　（lim[t→π/2]dy/dx=+∞です。）

(2)
・最初の積分範囲が-1～1になっているのは違うと思います。
　「曲線Cとx軸で挟まれる領域」ならば-1～1ですが、
　「曲線Cとx軸で囲まれる領域」の場合は-1/2～1です。
・積分範囲の0～π/2を0～(2/3)πと(2/3)π～π/2に分けていますが、
　(2/3)πは0とπ/2の間にありませんのでおかしいです。

No.62354 - 2019/11/17(Sun) 11:54:42

☆ Re: / Ran

要するに間違えまくってるんですね！
ありがとうございます！

とりあえず頑張ります！ありがとうございました(о´∀`о)

No.62357 - 2019/11/17(Sun) 14:46:04

★ 不等式、ガウス / ｍｙｔ

初利用です。高１、不等式、ガウスの問題です。

［（ｘ+１）/２］=ｙ　のｘの値の範囲の中に含まれる整数が０と１であるとき、ｙの値を求めなさい。

学校のプリントの問題なのですが、教えて下さい。お願いします。

No.62338 - 2019/11/16(Sat) 17:48:12

☆ Re: 不等式、ガウス / ＣＯＲＮＯ

ｘの値の範囲の中に含まれる整数が０と１であることから，
　　－１＜ｘ＜２
と考えられます．すると
　　０＜ｘ＋１＜３
　　０＜(ｘ＋１)/２＜３/２
ですから，
　　[(ｘ＋１)/２]＝ｙ
を満たすｙはただ１つです

No.62340 - 2019/11/16(Sat) 18:25:49

☆ Re: 不等式、ガウス / らすかる

０＜(ｘ＋１)/２＜３/２
ならばyは2つでは？

No.62341 - 2019/11/16(Sat) 18:50:09

☆ Re: 不等式、ガウス / ＣＯＲＮＯ

> yは2つでは？
失礼しました．
その通りです．

No.62342 - 2019/11/16(Sat) 19:00:17

☆ Re: 不等式、ガウス / ＩＴ

「範囲」の定義があいまいですね
「ｘの値の範囲」がある１つの繋がった区間だとします。

もっときれいな書き方があると思いますが

もっとも狭い区間は　0≦ｘ≦1
この場合　[(ｘ＋１)/２]＝0、1

もっとも広い区間は　－１＜ｘ＜２
この場合　[(ｘ＋１)/２]＝0、1

No.62343 - 2019/11/16(Sat) 19:00:42

☆ Re: 不等式、ガウス / ＩＴ

［（ｘ+１）/２］=ｙ　のｘの値の範囲の中に含まれる整数が０と１であるとき

－１＜ｘ＜２ (必要条件）なので
　０＜(ｘ＋１)/２＜３/２　∴　[(ｘ＋１)/２]＝ｙ＝０、１

一方
　ｘ＝0のとき［（ｘ+１）/２］=0
　ｘ＝1のとき［（ｘ+１）/２］=1

したがって　y=0,1。

No.62344 - 2019/11/16(Sat) 19:56:36

☆ Re: 不等式、ガウス / ＣＯＲＮＯ

> もっとも狭い区間は　0≦ｘ≦1
断定できる材料がありません．

> 一方
> 　ｘ＝0のとき［（ｘ+１）/２］=0
> 　ｘ＝1のとき［（ｘ+１）/２］=1
ｘを整数と考える材料もありません．

No.62345 - 2019/11/16(Sat) 20:06:00

☆ Re: 不等式、ガウス / ＩＴ

>> もっとも狭い区間は　0≦ｘ≦1
>断定できる材料がありません
0,1を含む　繋がった１つの区間でもっとも狭いのは0≦ｘ≦1
になる。とうことで、

元の問題のｘの範囲を断定しているわけではない　つもりなのですが。

>> 　ｘ＝0のとき［（ｘ+１）/２］=0
>> 　ｘ＝1のとき［（ｘ+１）/２］=1
>ｘを整数と考える材料もありません．

x=0,1 は　「範囲」に必ず含まれるので、「ｘ＝0のとき」などとしましたが、まずいでしょうか？

No.62346 - 2019/11/16(Sat) 20:12:15

☆ Re: 不等式、ガウス / ｍｙｔ

問題のところには範囲の定義が何も書かれておらず、ただ「ｘの値の範囲の中に含まれる整数が０と１である」と書かれているだけです。どういうふうに範囲を定めるかがわからないんでよね...

No.62347 - 2019/11/16(Sat) 20:13:33

☆ Re: 不等式、ガウス / ＩＴ

x=0,1,10.5 などもありえるとすると、yは任意の整数値を取りえますね。

御自分で「範囲」の定義を補足して書いてから　それを前提条件に解いておくしかないかも知れませんね。

数学１の教科書では「範囲」について明確な定義は見当たりません。
（データの分析では、この問題とは関係ない意味での「範囲」が定義されています。）

No.62348 - 2019/11/16(Sat) 20:30:50

☆ Re: 不等式、ガウス / ｍｙｔ

ありがとうございました。なんとなくわかったような気がします！

No.62349 - 2019/11/16(Sat) 22:02:29

★ 数学的帰納法？ / 美雪

失礼します。よろしくお願いします。

テストの問題なのですが、×の理由を教えてください。

【問題】

ｎを２以上の自然数とする。
ｘ_１≧ｘ_２≧…≧ｘ_ｎおよびｙ_１≧ｙ_２≧…≧ｙ_ｎを満たす数列{ｘ_ｎ}および{ｙ_ｎ}が与えられている。ｙ_１、ｙ_２、…、ｙ_ｎを並べかえて得られるどのような数列{ｚ_ｎ}に対しても
?納ｊ=１からｎ]ｘ_ｊ・ｙ_ｊ≧?納ｊ=１からｎ]ｘ_ｊ・ｚ_ｊ…☆
が成り立つことを示せ。

【解答】

ｎについての数学的帰納法で示します。

ｎ=２のとき
ｙ_１=ｚ_１かつｙ_２=ｚ_２ならば等号が成り立ち、ｙ_１=ｚ_２かつｙ_２=ｚ１ならばｘ_１・ｙ_１+ｘ_２・ｙ_２-ｘ_１・ｚ_１-ｘ_２・ｚ_２=(ｘ_１-ｘ_２)(ｙ_１-ｙ_２)≧０ですので、このときは☆は成り立ちます。

２以上の自然数ｍについて☆が成り立つと仮定します。

ｚ_(ｍ+１)=ｙ_(ｍ+１)のとき
仮定の式の左辺にｘ_(ｍ+１)・ｙ_(ｍ+１)を、右辺にｘ_(ｍ+１)・ｚ_(ｍ+１)をそれぞれ足すことにより、ｎ=ｍ+１でも成り立ちます。

ｚ_(ｍ+１)≠ｙ_(ｍ+１)のとき
ある自然数ｋに対してｚ_ｋ=ｙ_ｋならば(ｘ_１・ｙ_１+…+ｘ_ｋ・ｙ_ｋ+…+ｘ_(ｍ+１)・ｙ_(ｍ+１))-(ｘ_１・ｚ_１+…+ｘ_ｋ・ｙ_ｋ+…+ｘ_(ｍ+１)・ｚ_(ｍ+１))=(ｘ_１・ｙ_１+…+ｘ_(ｋ-１)・ｙ_(ｋ-１)+ｘ_(ｋ+１)・ｙ_(ｋ+１)+…+ｘ_(ｍ+１)・ｙ_(ｍ+１))-(ｘ_１・ｚ_１+…+ｘ_(ｋ-１)・ｚ_(ｋ-１)+ｘ_(ｋ+１)・ｚ_(ｋ+１)+…+ｘ_(ｍ+１)・ｚ_(ｍ+１))であり、数学的帰納法の仮定(m個のx_jとy_jの積はm個のx_jとz_jの積以上)より(ｘ_１・ｙ_１+…+ｘ_(ｋ-１)・ｙ_(ｋ-１)+ｘ_(ｋ+１)・ｙ_(ｋ+１)+…+ｘ_(ｍ+１)・ｙ_(ｍ+１))-(ｘ_１・ｚ_１+…+ｘ_(ｋ-１)・ｚ_(ｋ-１)+ｘ_(ｋ+１)・ｚ_(ｋ+１)+…+ｘ_(ｍ+１)・ｚ_(ｍ+１))は０以上ですので、このときｎ=ｍ+１でも成り立ちます。

自然数ｋ(ｋ=１、２、…、ｍ)に対してｚ_ｋ≠ｙ_ｋのとき

ある自然数ｌに対して、ｚ_１=ｙ_ｌなので、ｙ_１≧ｙ_ｌから、

(ｘ_１・ｙ_１+…+ｘ(ｍ+１)・ｙ(ｍ+１))-(ｘ_１・ｙ_ｌ+…+ｘ_(ｍ+１)・ｚ_(ｍ+１))≧(ｘ_１・ｙ_１+…+ｘ_(ｍ+１)・ｙ_(ｍ+１))-(ｘ_１・ｙ_１+…+ｘ_(ｍ+１)・ｚ_(ｍ+１))=(ｘ_２・ｙ_２+…+ｘ_(ｍ+１)・ｙ(ｍ+１))-(ｘ_２・ｚ_２+…+ｘ_(ｍ+１)・ｚ_(ｍ+１))であり、数学的帰納法の仮定(m個のx_jとy_jの積はm個のx_jとz_jの積以上)より(ｘ_２・ｙ_２+…+ｘ_(ｍ+１)・ｙ(ｍ+１))-(ｘ_２・ｚ_２+…+ｘ_(ｍ+１)・ｚ_(ｍ+１))は０以上ですので、このときｎ=ｍ+１でも成り立ちます。

以上より数学的帰納法により☆は成り立ちます。

上記のように答案をまとめましたが、×でした。数学的帰納法の仮定の利用方法に自信がありません。

間違えている点をご指摘ください。よろしくお願いします。

No.62337 - 2019/11/16(Sat) 17:05:00

☆ Re: 数学的帰納法？ / ＩＴ

> (ｘ_１・ｙ_１+…+ｘ(ｍ+１)・ｙ(ｍ+１))-(ｘ_１・ｙ_ｌ+…+ｘ_(ｍ+１)・ｚ_(ｍ+１))≧(ｘ_１・ｙ_１+…+ｘ_(ｍ+１)・ｙ_(ｍ+１))-(ｘ_１・ｙ_１+…+ｘ_(ｍ+１)・ｚ_(ｍ+１))=(ｘ_２・ｙ_２+…+ｘ_(ｍ+１)・ｙ(ｍ+１))-(ｘ_２・ｚ_２+…+ｘ_(ｍ+１)・ｚ_(ｍ+１))であり、

z_2,...,z_(m+1)はy_2,...,y_(m+1) を並べ替えた数列とは限らないのでは？

数学的帰納法の仮定(m個のx_jとy_jの積はm個のx_jとz_jの積以上)より(ｘ_２・ｙ_２+…+ｘ_(ｍ+１)・ｙ(ｍ+１))-(ｘ_２・ｚ_２+…+ｘ_(ｍ+１)・ｚ_(ｍ+１))は０以上ですので、このときｎ=ｍ+１でも成り立ちます。
>
> 以上より数学的帰納法により☆は成り立ちます。
>

途中不等式で使っておられるようですが、x_1 ≧0　とは限らないのでは？

まちがいではないですが
ｚ_(ｍ+１)=ｙ_(ｍ+１)のときは､ｚ_(ｍ+１)≠ｙ_(ｍ+１)のとき
ある自然数ｋに対してｚ_ｋ=ｙ_kならばに含められるのでは？

No.62339 - 2019/11/16(Sat) 18:06:20

☆ Re: 数学的帰納法？ / 美雪

回答ありがとうございました。よくわかりました。大幅に修正しないとだめなようですね。

No.62350 - 2019/11/17(Sun) 02:25:17

☆ Re: 数学的帰納法？ / ＩＴ

ｚ_(ｍ+１)≠ｙ_(ｍ+１)のときは
　ｚ_(ｍ+１)＝ｙ_(ｍ+１)の場合との　比較に持ち込めばいいようですね。

東大入試（理科　1987前期　第5問）の改題のようですね。

http://server-test.net/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=1987&v3=1&v4=5&y=1987&n=5

No.62351 - 2019/11/17(Sun) 03:59:30

★ (No Subject) / apple

次のように定められる3つの数列{θn}[an][bn]について考える

θ1=0.θ(n+1)=θn+(π/2^n),an=sinθn,bn=cosθn

(1)θn/π=→解決済み
(2)a3,a4^2の値は→解決済み
(3)(an)^2=ケ｛a(n+1)｝^2-コ｛解答：a(n+1)｝^4→(4｛a(n+1)^2-4｛a(n+1)^4｝
（4）n≧3とする。この時b3×b4×b5×…bn×an
=サ(シス/ス)^n={4×(-1/2)^n}

(5)座標平面上に点Pn(an,bn)(n=1,2,3…)について考える線分PnP(n+1)の長さLをb(n+1)を用いてL=√{ソ　b(n+1)+タ}=(解答：√{2b(n+1)+2})

また線分PnP(n+1)と半円x＾2+y＾2=1(x≧0)で囲まれた部分の面積Sをa(n+1)を用いて
S=(チツ/テ）×a(n+1)+(π/ト)×(1/ナ)^n={解答：(-1/2）×a(n+1)+(π/2)×(1/2)^n }と表される

(4)(5)の後半のやり方がわかりません。模範解答よろしくお願いします。あと(5)の問題の最初の問題は一応解けたんですがやり方あっているのか分からないので添削よろしくお願いします。

L^2={an-a(n+1)}＾2+{bn-b(n+1)}^2={sinθn-sinθ(n+1)}＾2+{cosθn-cosθ(n+1)}^2
=2-2sinθn×sinθ(n+1)-2cosθn×cosθ(n+1)=2-2{cosθ×cosθ(n+1)+sinθn×sinθ(n+1)}=2-2cos{θn-θ(n+1)}

Θn=θ(n+1)-{π/(2^n)}より
=2-2cos[θ(n+1)- {π/(2^n)}—θ(n+1)]
=2-2cos{-π/(2^n)}
=2-2cos{π/(2^n)}
0<{π/(2^n)}<πより
=2-2cos[π－｛（π―<π/(2^n)>｝
=2+2cos{π－(π/2^n)}=2＋2b(n＋1)

よってL=√{2＋2b(n＋1)
}

No.62327 - 2019/11/16(Sat) 11:36:36