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★ (No Subject) / 中間値の定理
区間[0, 1]で定義された連続関数f(x)の最大値をM,最小値をmとする。M+m=1 かつ 0≦a≦1であるときf(a)+f(b)=1かつ0≦b≦1を満たすbが存在することを中間値の定理を用いて示せ
No.85472 - 2023/05/27(Sat) 21:16:35
☆ Re: / IT
ポイントだけ、細かい記述などは自分でどうぞ
f(s)=m,f(t)=M とする。
g(x)=f(a)+f(x) とおく
g(s)=f(a)+m≦1
g(t)=f(a)+M≧1

中間値の定理より・・・
No.85473 - 2023/05/27(Sat) 21:29:51
★ 大1数学 / りー
この問題の解法が全く思い浮かびません、分かるようでしたら解答よろしくお願いします。
No.85471 - 2023/05/27(Sat) 20:59:14
★ 同じものを含む円順列 / 初夏
赤玉2個、白玉2個．青玉4個で出来る
円順列の個数はいくらですか。
同じ問題で青玉が5個の場合は
いくらになりますか。
この問題の解法をご教授願えない
でしょうか。
よろしくお願いします。
No.85469 - 2023/05/27(Sat) 19:11:24
☆ Re: 同じものを含む円順列 / IT
最初の問題の考え方（２つ目の問題も似たような感じで）

赤玉2個の配置は4通り。
それぞれについて白玉2個の配置を考える。
回転して一致する場合に注意
No.85470 - 2023/05/27(Sat) 19:56:59
☆ Re: 同じものを含む円順列 / 初夏
早速の解答有り難うございました。
最初の問題は6！/(2×2×2×6)=15
15+15+15=45通りで間違いないでしょうか。
No.85474 - 2023/05/27(Sat) 21:44:29
☆ Re: 同じものを含む円順列 / IT
どういう考え方で、計算されているのか良く分かりません。

具体的に（赤玉2個の配置毎に）図を描いて考えないと、計算式だけで解くのは難しいのではないかと思います。
No.85475 - 2023/05/27(Sat) 22:09:34
★ 高2:図形と方程式 / 山田山
(1)の問題の解答を読みましたが、接点座標が出ていない状況でなぜ最小•最大を判別出来るのか理解できません。
回答よろしくお願いします。
No.85466 - 2023/05/26(Fri) 22:40:43
☆ Re: 高2:図形と方程式 / ast
x-3y の取りうる値 k が, (領域 D と共有点を持つ直線 y=3x+k の) y-切片として実現できているので (直観的に, つまり見た通りに) 分かるような状況だからですね.
# y-切片がちょうど k になっているので, y-切片が y が大きくなる方向へ行けば k が大きくなり
# y-切片が y が小さくなる方向へ行けば k が小さくなる, ということがそのまま結論できます.
## y-切片がもっと複雑な k の式である場合には, y-切片の変化と k の値の変化の関係をもっとちゃんと
## みないといけない (例えば y-切片が -k なら y-切片の大小と k の値の大小は逆になる).
No.85467 - 2023/05/27(Sat) 00:05:25
☆ Re: 高2:図形と方程式 / 山田山
回答ありがとうございます。質問投稿後色々と仮定を立ててみたのですが、y切片における考え方で「点Bで最小になる」と言う結論には納得出来ませんでした。純粋にkと置いた時に単位円の第二象限という考え方で結論に納得行くと”個人的に”思いました。
本当にありがとうございました。
No.85468 - 2023/05/27(Sat) 02:08:24
★ (No Subject) / グーチョコランタン
こちらの問題、三角形BDEが正三角形ということが前提で回答が書かれています。
どうすればそれがわかるのでしょうか。
No.85461 - 2023/05/25(Thu) 19:22:26
☆ Re: / グーチョコランタン
これが解答です。
No.85462 - 2023/05/25(Thu) 19:23:00
☆ Re: / ヨッシー
ＤＥの長さをコンパスで測っているので、
　ＢＤ＝ＢＥ＝ＤＥ
です。
No.85463 - 2023/05/25(Thu) 19:36:57
☆ Re: / グーチョコランタン
> ＤＥの長さをコンパスで測っているので、
> 　ＢＤ＝ＢＥ＝ＤＥ
> です。
ん〜〜確かに！
ありがとうございます！
No.85465 - 2023/05/26(Fri) 02:21:40
★ (No Subject) / 諭
こちらの問題解いてみたのですが、合っていますでしょうか？
また鞍点というのはなんでしょうか。
教えていただきたいです。
よろしくお願い致します！
No.85460 - 2023/05/25(Thu) 19:12:19
☆ Re: / GandB
　鞍点が何かを知らずに極値問題を解いてもつまらんと思うが。
No.85464 - 2023/05/25(Thu) 23:09:22
★ 数列 / 山田山
(n-2)から1の和で項数が(n-1)/2と表される意味が分かりません。回答よろしくお願いします。
No.85456 - 2023/05/24(Wed) 16:46:04
☆ Re: 数列 / ヨッシー
ｎ＝３　のとき　１　のみの１項。
ｎ＝５　のとき　３，１　の２項。
ｎ＝７　のとき　５，３，１　の３項
ｎ＝９　のとき　７，５，３，１　の４項
なので、項数は　(n-1)/2 です。
No.85457 - 2023/05/24(Wed) 17:46:53
☆ Re: 数列 / X
nが1から数えて第k項の奇数だとすると
n=2k-1
(kは自然数)
このとき
k=(n+1)/2
n-2はnの一つ前の項、つまりk-1項ですので
k-1=(n+1)/2-1
=(n-1)/2
となります。

(既にヨッシーさんがアップされていましたが、
このまま残しておきます。)
No.85458 - 2023/05/24(Wed) 17:47:43
☆ Re: 数列 / 山田山
回答ありがとうございます。nに具体的な数を入れれば規則性は分かっていましたが、偶奇数をkを使った文字に起こす基本的な発想が抜けていました。本当にありがとうございました。
No.85459 - 2023/05/24(Wed) 21:53:27
★ (No Subject) / は
答えてくださってありがとうございます。
まだわかってなくて、もしよければもう少し詳しく説明していただけると嬉しいです
No.85455 - 2023/05/24(Wed) 12:45:20
★ ご回答よろしくお願いします / は
この問題を教えてください。よろしくお願いします。
No.85451 - 2023/05/23(Tue) 10:51:34
☆ Re: ご回答よろしくお願いします / ast
もしかしてヒントの趣旨は ∫_[1,∞) |x^(-k)|^2 dx < Σ_[n=1,…] |n^(-k)|^2 < ∫_[1,∞) |(x+1)^(-k)|^2 dx のような評価を利用するということか?
# この不等式自体は, 高さ 1/n^(2k), 幅 1 の短冊の可算和と適当な函数のグラフとで面積を比較したもの
# として得たもので, たしかに区分求積あたりの話でよく見る論法ではあるが, しかし,
# これを「区分求積法を用い」と表現するかといったらさすがに不自然すぎる (少なくとも私はすまい) がなぁ……
## (個人的には短冊の幅を 0 にする極限で積分と置き換わるのが区分求積法だと思っているので.)
No.85452 - 2023/05/23(Tue) 16:19:53
★ (No Subject) / めろん
この問題の解説をお願い致します。
No.85446 - 2023/05/22(Mon) 21:21:10
☆ Re: / ヨッシー
(i)
中央の小三角形を赤で塗る場合、
上の小三角形は青、黄の２通り。
左下、右下もそれぞれ２通りで、合計
　２×２×２＝８（通り）
そのうち２通り（中央以外の３個を青で塗る、黄で塗る）が２色で塗る場合。
中央が青、黄の場合も同数ずつあるので、
　８×３＝２４（通り）　・・・ソタ
　（８−２）×３＝１８（通り）・・・チツ

(ii)
ＰとＱが同じ色の場合
例えば両方赤の場合
Ｐの左下とその下の２個の小三角形の塗り方は青、黄か黄、青の２通り
Ｐの右下とその下の２個の小三角形の塗り方も青、黄か黄、青の２通り
一番上の小三角形はすぐ下の色以外の２通り
左下、右下の小三角形も同様に２通り
以上より、２×２×２×２×２＝３２（通り）
ＰとＱを青、黄で塗る場合も、３２通りなので、合計
　３２×３＝９６（通り）・・・テト

ＰとＱが異なる色の場合
例えば、Ｐを赤、Ｑを青で塗る場合
Ｐの左下とその下の２個の小三角形の塗り方は（青、黄）（青、赤）（黄、赤）の３通り
Ｐの右下とその下の２個の小三角形の塗り方も３通り
一番上の小三角形はすぐ下の色以外の２通り
左下、右下の小三角形も同様に２通り
以上より　３×３×２×２×２＝７２（通り）
ＰとＱの色の使い方は　３×２＝６（通り）
以上より
　７２×６＝４３２（通り）　・・・ナニヌ
No.85450 - 2023/05/23(Tue) 09:00:30
★ (No Subject) / SEIGOを許すな
定数a<1に対し、放物線C1:y=2x^2+1,C2:y=-x^2+aを考える。
(1)C1,C2の両方に接する直線の方程式を求めよ
(2)C1,C2と(1)の2本の直線で囲まれた図形の面積をそれぞれS1,S2とする。S2/S1を求めよ。

解説よろしくお願いします。
No.85443 - 2023/05/22(Mon) 18:35:32
★ (No Subject) / M.Y.
この問題の(2)なのですが、解説を読むと2行目でいきなり自分で不等式を作って、それを使って証明しています。(2)で示す不等式のうち、右側は(1)を使えば良いので容易ですが、左側を示すために必要な不等式をどういうふうに考えれば自分で作れるのか教えていただきたいです。0から1で積分して(e-1)/eになる関数を見つけられませんでした。
No.85441 - 2023/05/22(Mon) 18:34:24
☆ Re: / M.Y.
解説はこちらでございます
No.85442 - 2023/05/22(Mon) 18:35:11
☆ Re: / IT
M.Y.さんと同感です。直近でe^(-x) の定積分が出てきてなければ、試行錯誤の範囲内かもしれませんが直ぐには思いつかないと思います。
No.85454 - 2023/05/23(Tue) 19:09:55
★ (No Subject) / M.Y.
この問題の(2)なのですが、自分は[1]と[2]の場合分けをせず[2]だけ計算して回答してしまいました。この場合分けがなぜ必要なのか、そもそもどういう意味なのかが解答を見てもわからないので教えていただきたいです。
No.85439 - 2023/05/22(Mon) 18:21:35
☆ Re: / M.Y.
解説です
No.85440 - 2023/05/22(Mon) 18:23:11
☆ Re: / IT
問題の条件に「0≦t≦eとする」とありますから、
1＜t≦eのときだけではなく、当然、0≦t≦1のときも考えなくてはいけません。
No.85444 - 2023/05/22(Mon) 20:12:13
☆ Re: / M.Y.
なぜ1<t≦eと0≦t≦1で場合分けをしているのかがわかりません。
No.85445 - 2023/05/22(Mon) 21:17:17
☆ Re: / IT
y=e^x のグラフと　y=t^2 のグラフを考えてみてください。
例えばt=1/2 のとき、２つのグラフの位置関係はどうなりますか？
そのとき|e^x-t^2| はどうなりますか？
No.85447 - 2023/05/22(Mon) 21:30:31
☆ Re: / M.Y.
0≦x≦2では常にe^xの方が大きいですね。e^x-t^2≧0だから|e^x-t^2|＝e^x-t^2。ということですか？
No.85448 - 2023/05/22(Mon) 23:42:15
☆ Re: / IT
そうですね、その上で、(2)にまとめられないことを確認してください。
No.85449 - 2023/05/23(Tue) 08:13:41
☆ Re: / M.Y.
理解しました。ありがとうございました。
No.85453 - 2023/05/23(Tue) 18:29:41
★ (No Subject) / 高二
この問題の解き方を教えてください。
この問題が何を学べばいいのか、問題の設定や背景について教えていただけるとありがたいです。
No.85438 - 2023/05/22(Mon) 15:58:25
★ (No Subject) / 榊
こちらの問題解いてみたのですが、合っていますでしょうか？
また鞍点というのはなんでしょうか。
教えていただきたいです。
よろしくお願い致します！
No.85437 - 2023/05/22(Mon) 00:00:08
★ 実定積分の計算 / 山
下の2つの積分の計算過程を教えてください。
No.85435 - 2023/05/21(Sun) 18:06:48
☆ Re: 実定積分の計算 / GandB
　どちらも留数定理を使う有名な問題なので

[1]∫[-∞→∞]cos(x)/(x^2+1) dx
[2]∫[0→∞]xsin(x)/(x^2+1) dx

で検索すれば解答がすぐ出てくる。(2)は[2]の xsin(x) が xsin(πx) になっただけ。
No.85436 - 2023/05/21(Sun) 20:39:59
★ お願いします! / 榊
この写真の重積分の問題を解いているのですが、
途中まで解いて分からなくなってしまいました。

途中まであっていますか？
もしよろしければここから教えて欲しいです
No.85432 - 2023/05/20(Sat) 18:17:50
☆ Re: お願いします! / X
計算に問題はありません。
只、最後の行で部分積分を使うよりも、
最後から一行上の行から
=(31/5)[-(1/4)(cosθ)^4][0→π/2]
=…
とした方が簡単です。
(部分積分でも計算できますが、多少煩雑です。
もし、部分積分での方針が知りたいのであれば
その旨をアップして下さい。)
No.85433 - 2023/05/20(Sat) 19:32:19
☆ Re: お願いします! / 榊
ありがとうございます！！！
できました！！！！！
No.85434 - 2023/05/20(Sat) 21:16:39
★ 平方数 / カチカチ山のうさぎはたぬきにとても酷いことをしたよね
整数n,x,yが
|x^2-(n^2+1)y^2|<2n
を満たしているとき、
|x^2-(n^2+1)y^2|
は平方数であることの
証明を教えて下さい。
No.85431 - 2023/05/20(Sat) 05:49:49
★ 複素解析 / マゼンタ
e^zが正則であることを利用して、e^iz、e^-izが正則であることを言いなさい。(コーシー・リーマンの方程式は使わないこと)

ちなみに、eはネイピア数、zは0ではない複素数、iは虚数単位です。よろしくお願いします。
No.85429 - 2023/05/19(Fri) 15:33:04
☆ Re: 複素解析 / X
以下、hは複素数とします。

f(z)=e^z
と置くと、条件より
f'(z)=lim[h→0]{e^(z+h)-e^z}/h
=lim[h→0]{(e^h-1)/h}e^z
∴lim[h→0](e^h-1)/h=f'(0) (A)

∴lim[h→0]{e^{i(z+h)}-e^(iz)}/h
=lim[h→0]{e^(ih)-1}/h}{e^(iz)}
=lim[h→0]{e^(ih)-1}/(ih)}{ie^(iz)}
=f'(0)ie^(iz) (∵)(A)より
となるので、導関数の定義によりe^(iz)は正則。
同様の計算によりe^(-iz)も正則。
No.85430 - 2023/05/19(Fri) 18:57:33
★ (No Subject) / 初夏
120桁の自然数で各桁の和が60となるものは
幾つあるでしょうか。
この問題の解法を教えてください。
宜しくお願いします。
No.85426 - 2023/05/18(Thu) 11:44:49
☆ Re: / らすかる
(求める個数)
=(先頭桁が0であるものを含めた個数)-(先頭桁が0であるものの個数)
=(60を120桁に割り振る場合の数)-(60を119桁に割り振る場合の数)

最初に「60を120桁に割り振る場合の数」を求めます。
各桁が10以上でよければ120H60通り
ここから10以上の桁を含むものを除外します。
10以上の桁が6個あるものは120C6通り
10以上の桁が5個以上のものは120C5・120H10通り
これには10以上の桁が6個あるものが6重複で含まれているので
10以上の桁が5個であるものは120C5・120H10-120C6×6通り
10以上の桁が4個以上のものは120C4・120H20通り
これには10以上の桁が5個あるものが5重複で含まれ、
6個あるものが6C2重複で含まれているので、
10以上の桁が4個であるものは
120C4・120H20-(120C5・120H10-120C6×6)×5-120C6×6C2
=120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15通り
同様に
10以上の桁が3個であるものは
120C3・120H30-(120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15)×4
-(120C5・120H10-120C6×6)×5C2-120C6×6C3
=120C3・120H30-120C4・120H20×4+120C5・120H10×10-120C6×20通り
10以上の桁が2個であるものは
120C2・120H40-(120C3・120H30-120C4・120H20×4+120C5・120H10×10-120C6×20)×3
-(120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15)×4C2
-(120C5・120H10-120C6×6)×5C3-120C6×6C4
=120C2・120H40-120C3・120H30×3+120C4・120H20×6-120C5・120H10×10+120C6×15通り
10以上の桁が1個であるものは
120C1・120H50
-(120C2・120H40-120C3・120H30×3+120C4・120H20×6-120C5・120H10×10+120C6×15)×2
-(120C3・120H30-120C4・120H20×4+120C5・120H10×10-120C6×20)×3C2
-(120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15)×4C3
-(120C5・120H10-120C6×6)×5C4-120C6×6C5
=120C1・120H50-120C2・120H40×2+120C3・120H30×3
-120C4・120H20×4+120C5・120H10×5-120C6×6
よって60を120桁に割り振る場合の数は
120H60-(120C1・120H50-120C2・120H40×2+120C3・120H30×3
-120C4・120H20×4+120C5・120H10×5-120C6×6)
-(120C2・120H40-120C3・120H30×3+120C4・120H20×6-120C5・120H10×10+120C6×15)
-(120C3・120H30-120C4・120H20×4+120C5・120H10×10-120C6×20)
-(120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15)
-(120C5・120H10-120C6×6)-(120C6)
=120H60-120C1・120H50+120C2・120H40-120C3・120H30
+120C4・120H20-120C5・120H10+120C6

「60を119桁に割り振る場合の数」も全く同様に
119H60-119C1・119H50+119C2・119H40-119C3・119H30
+119C4・119H20-119C5・119H10+119C6
となるので、求める場合の数は
(120H60-120C1・120H50+120C2・120H40-120C3・120H30
+120C4・120H20-120C5・120H10+120C6)
-(119H60-119C1・119H50+119C2・119H40-119C3・119H30
+119C4・119H20-119C5・119H10+119C6)
=805598322158225912529975677319006202392829957013通り
No.85427 - 2023/05/18(Thu) 13:25:58
☆ Re: / 初夏
詳しい解説に感謝します。
大変わかりやすかったです。
ありがとうございました。
No.85428 - 2023/05/18(Thu) 14:33:17
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