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★ 面積 / 高校３年
今日学校の問題で、次を扱いました。
曲線y=|x(4-x)|, x軸および直線 x=p(p>4)で囲まれた図形Dの面積を求めよ。
東北の方の私立大の問題です。

解答では、考える領域は、0≦x≦4の部分にある図形分の面積も入っていて、答えは p^3/3-2p^2+64/3。
しかし、ここにとても違和感があります。
0≦x≦4の部分の図形はx=pが絡んでいません。

曲線y=|x(4-x)|, x軸および直線 x=p(p>4)で囲まれたと言われたら、当然３つが絡むところでしょうから、4≦x≦pの部分の面積だけにはなりませんか。
なぜy=|x(4-x)|, x軸だけにしか囲まれていないところの面積も足す必要があるのでしょうか。

「囲む」という定義があいまいなので分かりません。
自分でできる限り調べましたが「囲む」とは大学数学の「連結」と何か関係があるのかなとも思いました。
しかし、自分には何が書いてあるかさっぱりでした。

まとまりのない文章ですみません。

どうぞよろしくお願いいたします。
No.84107 - 2022/11/30(Wed) 21:53:35
☆ Re: 面積 / らすかる
私も「4≦x≦pの部分だけ」という認識です。
x=pがかかわらない領域も含めるのは違和感があります。
しかしそれを除いてもちょっと変な問題ですね。なぜなら、最初から曲線は
y=|x(4-x)|とする必要はなく、
「4≦x≦pの部分だけ」だとしても
「0≦x≦4の部分も含む」としても、
いずれにしても絶対値は不要で、y=x(x-4)で十分です。
絶対値を付けてy=|x(4-x)|にして答えが変わるとは思えません。
わざわざ混乱させるための絶対値なのでしょうか。
あるいは、もしかしたら
「y=x(x-4)とx軸とx=p＞4で囲まれた図形」
ならば「4≦x≦pの部分だけ」
「y=|x(4-x)|とx軸とx=p＞4で囲まれた図形」
ならば「0≦x≦4の部分も含む」
という考え方なのでしょうかね？
（前者は曲線とx軸が交差しているが、後者は接しているだけだから、という理由で）
もしそうだとしても、「交差しなければ隣の領域も含む」と考えると
x≦0の範囲も考えることになっておかしなことになりますので、やはり
その考え方も変ですね。

とてもうろ覚えなのですが、遠い昔にそのような状況がある問題を見たような気がします。
そのときはもちろん、囲むものすべてがかかわる部分だけだったと思います。

結論：私は、「問題不備」だと思います。
No.84108 - 2022/12/01(Thu) 00:03:18
☆ Re: 面積 / ast
問題のもともとの出典をハッキリ言ってもらった方が安心できそうですが (出所をボカされるとこっちから調べようにも限りがあるので), 質問にある問題はもとの内容から改変 (一部だけ切り出しとか) されてそうな印象を受けます (結構強くそう思う). もしそういったことがあるなら問題の全体をきちんと提示してください, 全体を把握したら文の意味合いが思っていたのと違ったということは十分起こり得ることなので.

で, もちろん私個人の感覚ですが,「(曲線たちが)囲む領域」というのは「それらの曲線を境界にもつ有界領域」という解釈が大抵の場合は自然だと思います.
# (これなら, 一部の曲線が接しない領域も含めるのは不自然ではないはずですし
# もちろん非有界領域は絶対に関わってきません).
まあ, そうでない解釈を妨げるつもりはない (「囲む」というのが (融通の利かない専門用語の類いではなく) 柔軟な日常語的表現であるとは認識している) ので「大抵の場合は」というところでお茶を濁させてください (用語の曖昧さに対して感覚だよりで当たって言葉遊びになっても詮無いことなので).
# でもたとえば問題文が少し違って
#「曲線 y=x(4-x), x軸および直線 x=-1, x=5 で囲まれた図形」のようなものが訊かれていたら,
#「(全部の曲線が関わる部分はないので)囲まれる部分はない」とか「0≤x≤4の部分は囲まれてない」とか
# と答えるほうが不自然に感じないでしょうか (というか, 私は不自然に感じます).
No.84109 - 2022/12/01(Thu) 04:51:10
☆ Re: 面積 / IT
私はastさんと同じように解釈して解くと思います。
No.84110 - 2022/12/01(Thu) 05:07:19
☆ Re: 面積 / 高校３年
＞astさん
ありがとうございます。
「(囲む領域」というのは「それらの曲線を境界にもつ有界領域」という解釈が大抵の場合は自然、これなら, 一部の曲線が接しない領域も含めるのは不自然ではない・・・
というところですが、
となると、問題が
曲線y=x(x-4), x軸および直線 x=p(p>4)で囲まれた面積であった場合、0≦x≦4の放物線の下側も含むということでよろしかったでしょうか。
それとも、これは「大抵の場合」でない場合でしょうか。
もう少しで分かりそうな、そうでないような。。。
みなさん、考えていただきありがとうございます。
No.84115 - 2022/12/01(Thu) 13:35:39
☆ Re: 面積 / 高校３年
＞らすかるさん
交差するしないは確かに僕も考えました。
x=4のところの点はしっかりと交差しきっていないので、そこはいわば「立ち上がった点」と同じ。
一方でx=0のところの点は交差しきっていないものの、「立ち上がった点」と考えてしまうと有界領域にはならないので、いくら交差していなくてもそういった「端」の点は交差点と同様・・・そんな風な解釈なのかなと漠然と思っていました。
No.84116 - 2022/12/01(Thu) 13:40:41
★ ベクトル場の問題 / そら
下記URLの問題の回答が欲しいです。
お手隙の方いらっしゃいましたら是非トライしていただきたいです。
http://d.kuku.lu/11559e478
No.84106 - 2022/11/30(Wed) 21:27:09
☆ Re: ベクトル場の問題 / ポテトフライ
発散、回転、ラプラシアンはベクトル解析において最も基本的な計算です。
探せばいくらでも定義や具体例が出てきます。それを参考に計算してください。

それすらもできないようであれば、諦めて再履修しましょう。


とりあえずヒントを書いておくと
divV=(∂/∂x)e^(-2x^2-y^2)+(∂/∂y)2xy^3


※偏微分がわksらない、合成関数の微分がわからない場合は、ベクトル解析の勉強をするだけの基礎計算力がありませんので、(1変数、多変数)微積分のテキストを見返しましょう。

※2変数R^2値ベクトル値関数に対する回転はどのように定義されるのでしょうか？私は浅学ゆえ定義を知りません。
普通は3変数R^3値ベクトル値関数に定義されるものと認識してますが。
No.84111 - 2022/12/01(Thu) 10:34:39
★ 計算 / クシャルダオラ
　「20÷15×12÷８」が解けません。
　ちなみに答えは２だそうです。
No.84101 - 2022/11/30(Wed) 17:30:23
☆ Re: 計算 / 空
（15×8）分の（20×12）=2です
No.84102 - 2022/11/30(Wed) 18:13:05
☆ Re: 計算 / IT
うかつに括弧を付けたり順番を変えたりしてはいけませんが
20÷15＝4÷3
12÷８＝3÷2　なので
20÷15×12÷８＝4÷3×3÷2＝4÷2＝2

分数を習っておられれば、空さん方式で
20÷15×12÷８＝（20×12）／（15×8）として
適当に約分して計算を楽にすると良いかも
No.84103 - 2022/11/30(Wed) 19:50:35
☆ Re: 計算 / ヨッシー
直球勝負の解法
　20÷15＝4/3
　20÷15×12＝4/3×12＝16
　20÷15×12÷8＝16÷8＝2
No.84112 - 2022/12/01(Thu) 10:35:42
★ 大学数学 微積 / Sa
至急この問題の答えを途中式も一緒に教えていただきたいです。よろしくお願い致します
No.84096 - 2022/11/30(Wed) 15:26:34
☆ Re: 大学数学 微積 / GandB
　三重積分でこれ以上簡単な問題はない。途中経過を含む解答一式が欲しいなら
　　「球の体積 極座標 積分」
で検索。
No.84100 - 2022/11/30(Wed) 17:11:48
☆ Re: 大学数学 微積 / Sa
球の体積の求め方は出てくるのですが
今回の半球場合だとでどうなるかわかりません
No.84104 - 2022/11/30(Wed) 20:05:25
☆ Re: 大学数学 微積 / 関数電卓
解答．に書かれている変換式の θ と φ はどのように定められた角か，理解していますか？
それが分かれば，
　0≦θ≦ …
の … に入る値が何かが分かるでしょう。
No.84105 - 2022/11/30(Wed) 21:09:22
★ 大学数学 微積 / Sa
この問題の答えを教えていただきたいです
途中式も一緒によろしくお願い致します
No.84095 - 2022/11/30(Wed) 14:50:00
★ (No Subject) / 安定な物質
下の問題の2番のことです。詳しく言わないですいません
No.84090 - 2022/11/29(Tue) 22:57:10
★ 灘高校の入試問題です.ᐟ.ᐟ / 空
できるだけ簡単なやり方を教えて下さい.ᐟ.ᐟ（3）です
No.84087 - 2022/11/29(Tue) 21:05:48
☆ Re: 灘高校の入試問題です.ᐟ.ᐟ / らすかる
条件を満たすときその交点はx+(√6)y=9√2と(√6)x+y=8√3を両方とも満たす。
x+(√6)y=9√2 かつ (√6)x+y=8√3 を解くと(x,y)=(3√2,2√3)なのでこれが交点
x/a+y/b=1とx/b+y/a=0で1/a=s,1/b=tとおけばsx+ty=1,tx+sy=0
(x,y)=(3√2,2√3)を代入すると(3√2)s+(2√3)t=1,(3√2)t+(2√3)s=0
これを解くと(s,t)=(1/√2,-1/√3)なので(a,b)=(1/s,1/t)=(√2,-√3)
No.84089 - 2022/11/29(Tue) 22:14:12
☆ Re: 灘高校の入試問題です.ᐟ.ᐟ / 空
ありがとうございます.ᐟ.ᐟ
No.84097 - 2022/11/30(Wed) 16:40:40
★ あ / 安定な物質
あっていますか？お願いします
No.84083 - 2022/11/29(Tue) 19:59:35
☆ Re: あ / IT
良く見えませんが、２行目の等式はなぜですか？
No.84085 - 2022/11/29(Tue) 20:46:53
☆ Re: あ / らすかる
何か前提があるのかも知れませんが、これだけを見るとあっていません。
p≠0だからといってq=0になるわけではないので
p≠0から(√2)p+([3]√3)q=(√2)pとは言えません。
No.84088 - 2022/11/29(Tue) 22:04:03
☆ Re: あ / 安定な物質
下の問題の2番です。誤解を招いてすいません
No.84092 - 2022/11/29(Tue) 22:58:25
☆ Re: あ / らすかる
それでも
> p≠0だからといってq=0になるわけではないので
> p≠0から(√2)p+([3]√3)q=(√2)pとは言えません。
これは同じですから、正しくありません。
No.84093 - 2022/11/30(Wed) 04:02:01
★ あ / 安定な物質
2番です
No.84082 - 2022/11/29(Tue) 19:58:56
★ 解の個数 / M & A
昨晩に引き続きもう一題お願いします。
1/x+1/y+1/z=1/12の解の個数はいくらか。
ご多忙のおり誠に恐縮なのですが宜しくお願いします。
No.84079 - 2022/11/29(Tue) 14:25:34
☆ Re: 解の個数 / らすかる
x,y,zに制限がなければ無限個ですが、
x,y,zは0以外の整数ですか？
それとも正の整数ですか？
あるいはそれ以外ですか？
No.84080 - 2022/11/29(Tue) 18:22:58
☆ Re: 解の個数 / M & A
x,y,zは正の整数です。
No.84081 - 2022/11/29(Tue) 18:31:19
☆ Re: 解の個数 / らすかる
x≦y≦zとすると1/x≧1/y≧1/zなので
1/12=1/x+1/y+1/z≦1/x+1/x+1/x=3/xからx≦36
また与式から1/x＜1/12なのでx＞12
x=y=zのとき1/x+1/y+1/z=3/x=1/12からx=36の1通り … (1)
x=y＜zのとき1/x+1/y+1/z=2/x+1/z=1/12から(x-24)(z-12)=288
x-24＜0かつz-12＜0のとき|x-24||z-12|＜288なので解なし
（以降これと同様の負×負の判定は省略）
x-24は12より小さい288の正の約数であればよいので
（∵x-24≧12のときz-12≦24となりz≦36≦xとなるのでx=y＜zを満たさない）
x-24=1,2,3,4,6,8,9の7通り … (2)
x＜y=zのとき1/x+1/y+1/z=1/x+2/y=1/12から(x-12)(y-24)=288
x-12は24より小さい288の正の約数であればよいので
（∵x-12≧24のときy-24≦12となりy≦36≦xとなるのでx＜y=zを満たさない）
x-12=1,2,3,4,6,8,9,12,16,18の10通り … (3)
x＜y＜zのとき1/x+1/y+1/z=1/12から{(x-12)y-12x}{(x-12)z-12x}=144x^2
x=13のとき(y-156)(z-156)=24336
y＜zからy-156は√24336=156より小さい24336=2^4×3^2×13^2の正の約数であればよいので
(5×3×3-1)÷2=22通り … (4)
x=14のとき(2y-168)(2z-168)=28224すなわち(y-84)(z-84)=7056
y-84は√7056=84より小さい7056=2^4×3^2×7^2の正の約数であればよいので
(5×3×3-1)÷2=22通り … (5)
x=15のとき(3y-180)(3z-180)=32400すなわち(y-60)(z-60)=3600
y-60は√3600=60より小さい3600=2^4×3^2×5^2の正の約数であればよいので
(5×3×3-1)÷2=22通り … (6)
x=16のとき(4y-192)(4z-192)=36864すなわち(y-48)(z-48)=2304
y-48は√2304=48より小さい2304=2^8×3^2の正の約数であればよいので
(9×3-1)÷2=13通り … (7)
x=17のとき(5y-204)(5z-204)=41616
5y-204は√41616=204より小さい41616の正の約数で204を加えたときに5で割り切れればよいので
1,2,3,4,6,8,9,12,16,17,18,24,34,36,48,51,68,72,102,136,144,153のうち一の位が1か6
すなわち1,6,16,36,51,136の6通り … (8)
（5y-204=1,6,16,36,51,136のとき5z-204も204を加えたときに5で割り切れる）
x=18のとき(6y-216)(6z-216)=46656すなわち(y-36)(z-36)=1296
y-36は√1296=36より小さい1296=2^4×3^4の正の約数であればよいので
(5×5-1)÷2=12通り … (9)
x=19のとき(7y-228)(7z-228)=51984
√51984=228より小さい51984の正の約数は
1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,19,24,36,38,48,57,72,76,114,144,152,171
このうち228を加えると7の倍数になるものは7で割って3余る数なので
3,24,38,171の4通り … (10)
（7y-228=3,24,38,171のとき7z-228も228を加えたときに7で割り切れる）
x=20のとき(8y-240)(8z-240)=57600すなわち(y-30)(z-30)=900
y-30は√900=30より小さい900=2^2×3^2×5^2の正の約数であればよいので
(3×3×3-1)÷2=13通り … (11)
x=21のとき(9y-252)(9z-252)=63504すなわち(y-28)(z-28)=784
y-28は√784=28より小さい784=2^4×7^2の正の約数であればよいので
(5×3-1)÷2=7通り … (12)
x=22のとき(10y-264)(10z-264)=69696すなわち(5y-132)(5z-132)=17424
√17424=132より小さい17424の正の約数は
1,2,3,4,6,8,9,11,12,16,18,22,24,33,36,44,48,66,72,88,99,121
このうち132を加えると5の倍数になるものは5で割って3余る数すなわち一の位が3か8なので
3,8,18,33,48,88の6通り … (13)
（5y-132=3,8,18,33,48,88のとき5z-132も132を加えたときに5で割り切れる）
x=23のとき(11y-276)(11z-276)=76176
√76176=276より小さい76176の正の約数は
1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,23,24,36,46,48,69,72,92,138,144,184,207
このうち276を加えると11の倍数になるものは存在しない
x=24のとき(12y-288)(12z-288)=82944すなわち(y-24)(z-24)=576
y-24は√576=24より小さい576=2^6×3^2の正の約数であればよいので
(7×3-1)÷2=10通り … (14)
x=25のとき(13y-300)(13z-300)=90000
√90000=300より小さく13×25-300=25より大きい90000の正の約数は
30,36,40,45,48,50,60,72,75,80,90,100,120,125,144,150,180,200,225,240,250
このうち300を加えると13の倍数になるものは13で割って12余る数なので
90の1通り … (15)
（このとき13z-300も300を加えたときに13で割り切れる）
x=26のとき(14y-312)(14z-312)=97344すなわち(7y-156)(7z-156)=24336
√24336=156より小さく7×26-156=26より大きい24336の正の約数は
36,39,48,52,72,78,104,117,144
このうち156を加えると7の倍数になるものは7で割って5余る数なので
117の1通り … (16)
（このとき7z-156も156を加えたときに7で割り切れる）
x=27のとき(15y-324)(15z-324)=104976すなわち(5y-108)(5z-108)=11664
√11664=108より小さく5×27-108=27より大きい11664の正の約数は
36,48,54,72,81
このうち108を加えると5の倍数になるものは5で割って2余る数すなわち一の位が2か7なので
72の1通り … (17)
（このとき5z-108も108を加えたときに5で割り切れる）
x=28のとき(16y-336)(16z-336)=112896すなわち(y-21)(z-21)=441
√441=21より小さく28-21=7より大きい441の正の約数は
9の1通り … (18)
x=29のとき(17y-348)(17z-348)=121104
√121104=348より小さく17×29-348=145より大きい121104の正の約数は174,232,261
このうち348を加えると17の倍数になるものは存在しない
x=30のとき(18y-360)(18z-360)=129600すなわち(y-20)(z-20)=400
√400=20より小さく30-20=10より大きい400の正の約数は
16の1通り … (19)
x=31のとき(19y-372)(19z-372)=138384
√138384=372より小さく19×31-372=217より大きい138384の正の約数は248,279
このうち372を加えると19の倍数になるものは存在しない
x=32のとき(20y-384)(20z-384)=147456すなわち(5y-96)(5z-96)=9216
√9216=96より小さく5×32-96=64より大きい9216の正の約数は72
これは96を加えて5の倍数にならないので不適
x=33のとき(21y-396)(21z-396)=156816すなわち(7y-132)(7z-132)=17424
√17424=132より小さく7×33-132=99より大きい17424の正の約数は121
これは132を加えて7の倍数にならないので不適
x=34のとき(22y-408)(22z-408)=166464すなわち(11y-204)(11z-204)=41616
√41616=204より小さく11×34-204=170より大きい41616の正の約数は存在しない
x=35のとき(23y-420)(23z-420)=176400
√176400=420より小さく23×35-420=385より大きい176400の正の約数は
392,400
このうち420を加えると23の倍数になるものは存在しない

x=y=zのとき入れ替えても同じ、
x=y＜zまたはx＜y=zのとき入れ替えが3通り、
x＜y＜zのとき入れ替えが3!=6通りあるので、
求める解の個数は全部で
1+(7+10)×3+(22+22+22+13+6+12+4+13+7+6+10+1+1+1+1+1)×6=904通り
No.84084 - 2022/11/29(Tue) 20:32:17
☆ Re: 解の個数 / M & A
これほどややこしいものとは考えてもみませんでした。ラスカル様には大変ご迷惑をおかけしました。長い解答本当にありがとうございました。
No.84086 - 2022/11/29(Tue) 20:52:30
★ 大学数学 微分 / PT
関数f(x,y)=xy(1-x-y)の極地を求めよ。
という問題なのですが、途中式も含めて解説して頂けないでしょうか。答えしか載っていなくて考え方が分かりません。よろしくお願い致します。
No.84070 - 2022/11/28(Mon) 22:40:36
☆ Re: 大学数学 微分 / ast
考え方も論の進め方も何もかも基本的に一変数のときと同様のこと, つまり "一階微分が消えている点 (臨界点) に対してその点での導函数の (任意の近づき方をしたときの) 符号変化を見る" という話であることに変わりないと思います. 多変数化するべき部分もあるとはいえ "一階導函数の符号変化が起きるかどうかは二階微分(ヘッシアン)で判定する" みたいなことは結局は一変数のときも同じようなことをしてただろうって話にまた戻ることになると思いますし.
# だから, 一変数の場合の流れを踏まえたうえで言えば「答え(結果)しか書いてない」じゃなくて
# 「(やるべきことはほぼ知っていて) たどり着くべき結果は明確にされてる」と受け取るべき状況じゃないかと

というか, 教科書等の資料を見ればそのことを式などを用いてもっと明確な価値で述べてあるんじゃないのかと……. (もし教科書に載ってないなら「載ってるのを買え (掲示板でのやり取りだけじゃ大事なことたくさん取りこぼす羽目になるのがオチだし)」って言わざるを得なくなるが……).
# もしかしたら教科書は抽象的で分かりにくい (から読む気がさらさらない) と言うかもしれないが,
# むしろだからこそ問題のような具体例でその記述をなぞって具体的にどういう意味の文章なのか知る,
# ってのが大学生なら最低限しないといけない数学本の読み方だと個人的には思います.
No.84072 - 2022/11/29(Tue) 02:34:46
★ 解の個数 / M & A
(1/x)+(1/y)=1/3600を満たす正の整数解
はいくつあるでしょか。

この問題の答えがわかりません。
どなたかよろしくお願いします。
No.84063 - 2022/11/28(Mon) 20:48:34
☆ Re: 解の個数 / けんけんぱ
与式の両辺に3600xyを掛けて
3600y+3600x=xy
(x-3600)(y-3600)=3600^2
3600^2を素因数分解して2つの数の掛け算にします。
それが何通りあるか、という問題に帰着されます。
No.84065 - 2022/11/28(Mon) 22:11:22
☆ Re: 解の個数 / けんけんぱ
(3600-x)(3600-y)=3600^2
と置き換えると、
x,yが正なら
(3600-x)<3600、(3600-y)<3600
なので、解なしとなりました。
No.84066 - 2022/11/28(Mon) 22:16:42
☆ Re: 解の個数 / けんけんぱ
記事No.84066　は見なかったことに。
(3600-x)=-3600、(3600-y)=-3600 というのがありました
No.84067 - 2022/11/28(Mon) 22:19:40
☆ Re: 解の個数 / X
横から失礼します。

問題の方程式から
xy-3600(x+y)=0
(x-3600)(y-3600)=3600^2 (A)
ここで条件から
x≧1
y≧1
∴
x-3600≧-3599 (B)
y-3600≧-3599 (C)

さて、x-3600が(B)を満たす負の整数であったとして
その値をaとすると
-3599≦a≦-1
∴-1≦1/a≦-1/3599
これと(A)から
y-3600=(3600^2)/a≦-(3600^2)/3599＜-3600
これと(C)を満たすyは存在しないので
(A)において
x-3600＞0かつy-3600＞0
更に
3600^2=(2・3・10)^2
=(2^4)・3^2・5^2
と素因数分解できるので
3600^2の正の約数の個数は
5・3・3=45[個]
で、この正の約数各々に対し、(A)を満たす
正の整数(x,y)の組が一つづつ対応するので、
求める正の整数解の個数は45[個]
No.84069 - 2022/11/28(Mon) 22:28:12
☆ Re: 解の個数 / らすかる
1/x+1/y=1/3600を整理して
(x-3600)(y-3600)=3600^2
x-3600＜0かつy-3600＜0のとき、条件から
|x-3600|＜3600かつ|y-3600|＜3600なので
(左辺)＜3600^2となり条件を満たさない。
よってx-3600＞0かつy-3600＞0なので
3600^2の正の約数の個数がそのまま答えとなり、
3600^2=60^4=(2^2×3×5)^4=2^8×3^4×5^4から
9×5×5=225個。
No.84073 - 2022/11/29(Tue) 03:25:57
☆ Re: 解の個数 / M & A
3名の方々の解答に感謝します。
有り難うございました。
No.84074 - 2022/11/29(Tue) 06:42:36
★ 大学1年 微積 / Sa
この問題の答えを至急教えてください
途中式も一緒に教えてほしいです
よろしくお願い致します
No.84060 - 2022/11/28(Mon) 15:20:37
☆ Re: 大学1年 微積 / X
3x-y=u,x+y=v
と置くと、これをx,yについての連立方程式として
解くことにより
(x,y)=((u+v)/4,(3v-u)/4)
=((1/4)u+(1/4)v,(3/4)v+(-1/4)u) (A)
(A)の行列表示はご自分でやってもらうとして
続きを途中まで。
(A)より
∂x/∂u=1/4
∂x/∂v=1/4
∂y/∂u=3/4
∂y/∂v=-1/4
∴J=det[M{(1/4,1/4),(3/4,-1/4)}
=-1/4
∴∫∫[D]xdxdy=∫∫[E]{(1/4)u+(1/4)v}|J|dudv
=(1/16)∫∫[E](u+v)dudv
=…
No.84062 - 2022/11/28(Mon) 17:50:32
★ 線形代数学、線型写像証明 / パパイヤ
線形代数学、線型写像の証明です。ご協力よろしくお願いします。
No.84058 - 2022/11/28(Mon) 14:55:41
☆ Re: 線形代数学、線型写像証明 / パパイヤ
写真横で見にくくてすみません。
No.84059 - 2022/11/28(Mon) 14:56:18
★ 大学数学代数学、群環体の問題 / 2進法
(1) 可換環 R のイデアル I が極大イデアルであることの定義を述べよ.
(2) (1) の定義に基づいて，有理整数環 Z(整数全体の集合）のイデアル (15) が極大イデアルではないこ とを示せ.
(3) (1) の定義に基づいて，有理整数環 Z（整数全体の集合） のイデアル (5) が極大イデアルであることを示せ.
No.84056 - 2022/11/28(Mon) 14:07:32
☆ Re: 大学数学代数学、群環体の問題 / 2進法
大学数学代数学、群環体の問題です。どなたかご教授頂きたいです。よろしくお願い致します。
No.84057 - 2022/11/28(Mon) 14:53:01
★ 10^nを素数で割った時のあまり / 大西
pを素数、nをp未満の負でない整数とするとき、
10^nをpで割ったときのあまりをa[n](n=0,1,2,・・・p-1)とするとき
p個の数a[0],a[1],・・・,a[p-1]がすべて異なるようなpの値を求めたいです。

例えば、
pの値が2,3,5,11,13,31なんかは周期がp未満になって不適ですが、
pの値が7,17や19なんかは周期がpになるので条件を満たします。
何か規則性はあるのでしょうか？
また、このような素数を一般式で表すことができるのでしょうか？
No.84055 - 2022/11/28(Mon) 13:18:33
☆ Re: 10^nを素数で割った時のあまり / m
そのような p は 2 だけではないですか？


> p個の数a[0],a[1],・・・,a[p-1]がすべて異なる

ということは a[i] のうち一つは 0 があるということ．
従って，
10^i = 0 (mod p)
となる i が存在し，10^i は p の倍数であることが必要である．
p は素数だから p = 2, 5 が候補に挙がるが，計算により p = 5 は不適である．
No.84064 - 2022/11/28(Mon) 21:39:57
☆ Re: 10^nを素数で割った時のあまり / 大西
ｍさん返信ありがとうございます。

私の記載が間違っていました。a[0]は無視して

「p-1個の数a[1],・・・,a[p-1]がすべて異なるようなpの値を求めたいです。」に変更します。

例えば、p=7とすると、
a[1]=3
a[2]=2
a[3]=6
a[4]=4
a[5]=5
a[6]=1
ですべて異なります。

p=13とすると
a[1]=10
a[2]=9
a[3]=12
a[4]=3
a[5]=4
a[6]=1
a[7]=10
a[8]=9
a[9]=12
a[10]=3
a[11]=4
a[12]=1
となって、同じものが2個ずつ出てきます。
同じ素数なのになぜこういった現象が起こるのか、このような現象が起こらないのはどういった時なのかが知りたいと思っています。
No.84068 - 2022/11/28(Mon) 22:25:11
☆ Re: 10^nを素数で割った時のあまり / m
調べました．面白い現象を教えていただきありがとうございます．

このような p をすべて求める方法はまだ知られていないようです[参考2].
Full Reptend Prime と呼ばれているそうです．
順に並べたものが参考１にあります．

この p の満たすべき条件は
「10^n = 1 (mod p) を満たす最小の正整数 n が p-1 である．」
と言い換えられます．
大学数学風には
「10 が乗法群 (Z/pZ)^× の生成元である.」
とか．
こうすると少し扱いやすいかもしれません．

さらにこの条件は
「1/p の 10 進数小数展開の循環桁数が p-1 である．」
ことと同値です！！
1/7 = 0.142857...
が有名(?)ですね．


参考
1: https://oeis.org/A001913
2: https://mathworld.wolfram.com/FullReptendPrime.html
No.84071 - 2022/11/29(Tue) 00:14:57
☆ Re: 10^nを素数で割った時のあまり / 大西
調べていただきありがとうございます。

このような p をすべて求める方法はまだ知られていないのですね。

たまたま見つけて気になったので質問させていただきました。
質問してよかったです。ありがとうございました。
No.84075 - 2022/11/29(Tue) 08:15:36
★ 三角関数 / ちむ
この画像の問題の解答を教えて頂きたいですm(*_ _)m
No.84049 - 2022/11/28(Mon) 00:04:47
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

(1)
正弦定理より
　ＰＣ＝ＡＣ・sin∠ＰＡＣ/sin60°
　ＲＣ＝ＢＣ・sin∠ＣＢＲ/sin60°
ここで、
　sin∠ＰＡＣ＝sin(120°−θ)＝(√3/2)cosθ＋(1/2)sinθ
　sin∠ＣＢＲ＝sin(30°＋θ)＝(1/2)cosθ＋(√3/2)sinθ
よって、
　ＰＣ＝3{(√3/2)cosθ＋(1/2)sinθ}/(√3/2)＝3cosθ＋√3sinθ
　ＲＣ＝4{(1/2)cosθ＋(√3/2)sinθ}/(√3/2)＝(4√3/3)cosθ＋4sinθ
(以下略)

(2)
ＰＲの最大最小を調べ、
　Ｓ＝(√3/4)ＰＲ^2
を利用する。
合成の公式より
　ＰＲ＝√(100/3＋16√3)sin(θ＋α)
ただし、cosα＝(4＋√3)/√(100/3＋16√3), sinα＝(3＋4√3/3)√(100/3＋16√3)
よって、ＰＲの最大は√(100/3＋16√3) であり、Ｓの最大は
　Ｓmax＝(√3/4)(100/3＋16√3)＝12＋25√3/3
ＰＲの最小はθ＝0 のときと、θ＝π/2 のときのうち、小さい方なので、
　Ｓmin＝(√3/4)(3＋4√3/3)^2＝(√3/4)(43/3＋8√3)＝6＋43√3/12
よって
　Ｓmax−Ｓmin＝(以下略)
No.84052 - 2022/11/28(Mon) 06:16:23
★ 複素関数・べき級数 / あい
以下の問題が分かりません。

c∈C(cは複素数全体)、rは0より大きい実数全体に対してD(c,r)={z∈C||z-c|<r}と定める。

f(z)はべき級数とし、その収束半径をr>0とする。

D(0,r)において、f(z)=0が成り立つf(z)を決定せよ。

どなたかご教授して頂きたいです。
No.84046 - 2022/11/27(Sun) 18:18:42
☆ Re: 複素関数・べき級数 / IT
f(z)= Σ(n=0,∞)a[n]z^n (|z|<r)とします
定理1）べき級数は収束円内で正則
定理2）べき級数は収束円内の各点で項別に微分できて
f'(z)= Σ(n=0,∞)na[n]z^(n-1)

これから「べき級数表現の一意性」が言えます。

上記は、多くのテキストにあると思うので確認してください。ネットでも見つかると思います。

したがってf(z)≡0　（恒等的に0）になると思います。
No.84047 - 2022/11/27(Sun) 19:29:28
☆ Re: 複素関数・べき級数 / ast
もとの問題が正確にはどうなのかわかりませんが, 単に冪級数と言っても中心が z=0 とは限らないのでは? (f(z)=Σa[n](z-c)^n (c は適当な定数) でも冪級数って呼ぶと思うので……)
# 級数の中心が z=0 なら D(0,r) はその収束円板そのもので, そこでの挙動を問題にするまでもない気がしなくもない
No.84051 - 2022/11/28(Mon) 03:16:59
★ 大学数学 微分積分 / Sa
この問題の答えを
途中式も一緒に教えていただきたいです！
よろしくお願い致します。
No.84044 - 2022/11/27(Sun) 16:06:00
☆ Re: 大学数学 微分積分 / X
(1)
条件から極座標に変換すると
D={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦π}
ヤコビヤンがrになることに注意して
(与式)=∫[θ:0→π]∫[r:0→1](r^3)drdθ=…

(2)
この問題、実は
極座標変換を用いて
という条件がなければ
x=arcosθ
y=brsinθ
と変換することで(1)と同程度の難易度の計算になり、
比較的簡単に計算できます。

ですが、問題の条件通り極座標に変換して計算すると
かなり面倒です。

条件から極座標に変換すると
D={(r,θ)|0≦r≦ab/√{(bcosθ)^2+(asinθ)^2},0≦θ≦π/2}
変換後にθについての積分がし易いように、もう少し変形すると
D={(r,θ)|0≦r≦ab/√{(a^2-b^2)(sinθ)^2+b^2},0≦θ≦π/2}
ヤコビヤンがrになることに注意すると
(i)a=bのとき
D={(r,θ)|0≦r≦a,0≦θ≦π/2}
∴(与式)=∫[θ:0→π/2]∫[r:0→a](r^2)cosθdrdθ=(1/3)a^3
(ii)a≠bのとき
(与式)=∫[θ:0→π/2]∫[r:0→ab/√{(a^2-b^2)(sinθ)^2+b^2}](r^2)cosθdrdθ
=(1/3)∫[θ:0→π/2]{{(ab)^3}(cosθ)/{(a^2-b^2)(sinθ)^2+b^2}^(3/2)}dθ
ここでsinθ=tと置くと
(与式)=(1/3)∫[t:0→1]{{(ab)^3}/{(a^2-b^2)t^2+b^2}^(3/2)}dt
ここから更に
(I)a＞bのとき
(II)a＜bのとき
で場合分けをすると
(I)のとき
(t/b)√(a^2-b^2)=u
と置くと
(与式)=(1/3)(a^3)∫[t:0→(1/b)√(a^2-b^2)]{1/(u^2+1)^(3/2)}{b/√(a^2-b^2)}du
=(1/3)(a^3){b/√(a^2-b^2)}[u/(u^2+1)^(1/2)][t:0→(1/b)√(a^2-b^2)]
=(1/3)(a^3){b/√(a^2-b^2)}{(1/b)√(a^2-b^2)}/(a/b)
=(1/3)ba^2
(II)のとき
(t/b)√(b^2-a^2)=u
と置くと
(与式)=(1/3)(a^3)∫[t:0→(1/b)√(a^2-b^2)]{1/(1-u^2)^(3/2)}{b/√(b^2-a^2)}du
=(1/3)(a^3){b/√(b^2-a^2)}[u/(1-u^2)^(1/2)][t:0→(1/b)√(b^2-a^2)]
=(1/3)(a^3){b/√(b^2-a^2)}{(1/b)√(b^2-a^2)}/(a/b)
=(1/3)ba^2

以上から
(与式)=(1/3)ba^2

注)
上記の計算過程で
∫du/(u^2+1)^(3/2)=u/(u^2+1)^(1/2)+C
∫du/(1-u^2)^(3/2)=u/(1-u^2)^(1/2)+C
(Cは積分定数)
を使っていますが、これの計算過程は
敢えて伏せてあります。
これはご自分で考えてみて下さい。
(そうでないと計算の練習になりません)

ヒントは
∫du/(u^2+1)^(1/2),∫du/(1-u^2)^(1/2)
から、部分積分を使って
∫du/(u^2+1)^(3/2),∫du/(1-u^2)^(3/2)
をひねり出す、とだけ書いておきます。
（教科書などに似たような計算方針の例題
があると思いますので、それを参考にしてみて
下さい。)
No.84048 - 2022/11/27(Sun) 22:21:31
☆ Re: 大学数学 微分積分 / Sa
ご丁寧にありがとうございます！！
自分でももう一回考えてみます！！
No.84050 - 2022/11/28(Mon) 00:21:03
☆ Re: 大学数学 微分積分 / X
もう見ていないかもしれませんが、(2)について
場合分けが不要な別解がありましたので
アップしておきます。

(2)の別解)
条件から極座標に変換すると
D={(r,θ)|0≦r≦ab/√{(bcosθ)^2+(asinθ)^2},0≦θ≦π/2}
∴(与式)=∫[θ:0→π/2]∫[r:0→ab/√{(bcosθ)^2+(asinθ)^2}](r^2)cosθdrdθ
=(1/3){(ab)^3}∫[θ:0→π/2]{(cosθ)/{(bcosθ)^2+(asinθ)^2}^(3/2)}dθ
=(1/3){(ab)^3}∫[θ:0→π/2]{1/{b^2+(atanθ)^2}^(3/2)}{1/(cosθ)^2}dθ
=(1/3)(a^3)∫[θ:0→π/2]{1/{1+((a/b)tanθ)^2}^(3/2)}{1/(cosθ)^2}dθ
ここで
(a/b)tanθ=tと置くと
(与式)=(1/3)(ba^2)∫[t:0→∞]dt/(1+t^2)^(3/2)
=(1/3)(ba^2)[t/(1+t^2)^(1/2)][t:0→∞]
=(1/3)ba^2
No.84061 - 2022/11/28(Mon) 17:38:21
☆ Re: 大学数学 微分積分 / Sa
返信遅れてすみません
ちなみにですが
x＝arcosx y＝brsinx と変換すると
どうなりますか?
No.84094 - 2022/11/30(Wed) 11:49:18
☆ Re: 大学数学 微分積分 / GandB
　(2)はXさんが最初に示したその変換で解いても全然問題ないはず。途中で（あるいは内部で）立派に
　　「極座標変換を用いて」
という条件を満たしている。
　　x = arcosθ
　　y = brsinθ
は極座標変換ではないが、ヤコビアン
　　∂(x,y)/∂(r,θ) = abr
を計算する過程で極座標変換を使ったことになる。
No.84099 - 2022/11/30(Wed) 16:58:29
★ 大学1年線形台数 / Sa
この答えを教えてください！！
至急お願い致します。
No.84039 - 2022/11/27(Sun) 09:08:45
☆ Re: 大学1年線形台数 / GandB
【問2】wolframa
　　{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}} の行を簡約
　　MatrixRank[{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}}]
　　ker{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}}
No.84040 - 2022/11/27(Sun) 10:26:21
☆ Re: 大学1年線形台数 / Sa
すみませんm(_ _)m
どれが答えですか？


> 【問2】wolframa
> 　　{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}} の行を簡約
> 　　MatrixRank[{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}}]
> 　　ker{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}}
No.84041 - 2022/11/27(Sun) 10:32:07
☆ Re: 大学1年線形台数 / X
横から失礼します。
GandBさんの回答は、
単に答えだけを知りたいのであれば
wolframalphaのHPで
> 　　MatrixRank[{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}}]
> 　　ker{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}}
を入力すれば求められますよ、という意味だと思います。
No.84042 - 2022/11/27(Sun) 11:31:07
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