ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / P

等比数列の和の公式から、
1/1-x=1+x+x^2+x^3+...
となるそうですが、左辺がどうしてそうなるか分かりません。

No.62894 - 2020/01/02(Thu) 02:40:22

☆ Re: / X

|x|＜1のとき
(右辺)=Σ[n=1～∞]x^(n-1)=lim[n→∞]Σ[k=1～n]x^(k-1)
=lim[n→∞](1-x^n)/(1-x)
=(左辺)
1≦|x|のとき、問題の等式は成立しません。

No.62895 - 2020/01/02(Thu) 07:52:51

☆ Re: / P

右辺を等比数列の和の公式を使って表すとどうなりますか？

No.62896 - 2020/01/02(Thu) 15:03:26

☆ Re: / らすかる

Xさんが示されている通りで、1/(1-x)になります。

No.62897 - 2020/01/02(Thu) 15:25:44

☆ Re: / P

lim[n→∞](1-x^n)/(1-x)の部分がよく分かりません。
nが限りなく無限大に近づくと、カッコ内のx^nは0になるのでしょうか？

No.62898 - 2020/01/02(Thu) 15:50:22

☆ Re: / P

無限等比級数ですね。
いまxさんの記述を理解しました。
ありがとうございました。

No.62899 - 2020/01/02(Thu) 16:04:44

★ 計算 / あつ

写真のようになるらしいのですが、どのように計算すればこうなりますか？

No.62889 - 2020/01/01(Wed) 12:38:12

☆ Re: 計算 / X

単に代入してガリガリ計算するのであれば
h(x)={cosα{(xcosβ-sinβ)/(xsinβ+cosβ)}-sinα}
/{sinα{(xcosβ-sinβ)/(xsinβ+cosβ)}+cosα}
={cosα(xcosβ-sinβ)-sinα(xsinβ+cosβ)}
/{sinα(xcosβ-sinβ)+cosα(xsinβ+cosβ)}
={(cosαcosβ-sinαsinβ)x-(sinαcosβ+cosαsinβ)}
/{(sinαcosβ+cosαsinβ)x+(cosαcosβ-sinαsinβ)}
={xcos(α+β)-sin(α+β)}
/{xsin(α+β)+cos(α+β)}

行列を学習済みであればもう少し綺麗な
方針があります。

No.62890 - 2020/01/01(Wed) 12:57:57

☆ Re: 計算 / ヨッシー

Ｘさんのを画像で描いただけです。

No.62891 - 2020/01/01(Wed) 12:59:21

★ (No Subject) / うい

整数nに対してn^2+n+1は5で割り切れないことを示せ

ｋを整数、n=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 とする。

n^2+n+1
＝（5k）＾2+（5k）+1
＝5・5ｋ＾2 + 5ｋ +1

まではわかるのですが、

「よって、5で割ると1余る。」というのがわからないです。
5k^2+k+1/5
があまりではないのですか？

なぜ余りが1なのか教えてください。

No.62884 - 2019/12/31(Tue) 21:55:39

☆ Re: / ＩＴ

整数nに対して　5n+1 を５で割った余りが、いくらか分かりますか？

n+(1/5) ではアリマセン。　これが分からないようなら教科書で復習することをお勧めします。

No.62886 - 2019/12/31(Tue) 23:34:39

☆ Re: / うい

数何をやったらいいでしょうか

No.62887 - 2020/01/01(Wed) 09:49:30

☆ Re: / ＩＴ

数A　「整数の性質」です。

No.62888 - 2020/01/01(Wed) 11:18:49

★ (No Subject) / うい

ここまでは解けたのですが、真偽の確かめ方がわかりません。

アドバイスがほしいです。

No.62878 - 2019/12/31(Tue) 18:52:10

☆ Re: / X

ういさんの描いた添付写真左下の図から
{(x,y)||x|+|y|≦1}⊂{(x,y)|x^2+y^2≦1}
ですので
|x|+|y|≦1⇒x^2+y^2≦1
は成立しますが
x^2+y^2≦1⇒|x|+|y|≦1
は成立しないことが分かります。
よって答えは(イ)となります。

No.62880 - 2019/12/31(Tue) 19:57:41

☆ Re: / うい

ありがとうございます…！

No.62883 - 2019/12/31(Tue) 21:52:32

★ 符号理論に関しての質問「 / 工学男子

1-c),1-e),1-f)の3題を教えたください。

1-c)の問題の解き方は、5C1×0.3+5C4×(0.7)^4で良いのでしょうか。

また、1-e)の問題の解き方は、5C2×(0.3)^2+5C3×(0.7)^3で良いのでしょうか。

1-f)に関しては、解き方の検討もつかないので、ヒントなどを頂けないでしょうか?

No.62874 - 2019/12/31(Tue) 14:31:18

☆ Re: 符号理論に関しての質問「 / ＩＴ

情報理論は習ってないので確実ではないですが、
> 1-c)の問題の解き方は、5C1×0.3+5C4×(0.7)^4で良いのでしょうか。
違うと思います。
5C1×0.3×(0.7)^4　だと思います。
>
> また、1-e)の問題の解き方は、5C2×(0.3)^2+5C3×(0.7)^3で良いのでしょうか。
違うと思います。
5C2×(0.3)^2×(0.7)^3　だと思います
>
> 1-f)に関しては、解き方の検討もつかないので、ヒントなどを頂けないでしょうか?

誤って受信される文字が２個以内である（正しく受信される文字の個数の方が多い）確率を求めれば良いとおもいます。

No.62876 - 2019/12/31(Tue) 16:32:56

☆ Re: 符号理論に関しての質問 / 工学男子

返信、ありがとうございます。
丁寧に、教えてくださり、嬉しいです。

最後に確認なのですが、1-b)って0.3✖(0.7)^4という考え方で良きですよね？

No.62881 - 2019/12/31(Tue) 21:38:44

☆ Re: 符号理論に関しての質問「 / ＩＴ

良いと思います。

No.62882 - 2019/12/31(Tue) 21:47:21

☆ Re: 符号理論に関しての質問「 / 工学男子

分かりました。

教えて頂き、ありがとうございました^_^

No.62885 - 2019/12/31(Tue) 22:38:21

★ 三角形の面積の最小値 / health-p

練習164(1)で最初に共通範囲を求めていますが、いるのでしょうか？教えてくださいお願いします。いるのならばその理由もお願いします。

No.62871 - 2019/12/30(Mon) 23:47:55

☆ Re: 三角形の面積の最小値 / X

単にSをxの式で表すだけですので
(1)においてはxの値の範囲は不要です。

(少なくとも私は初見でこの問題を
解く場合、xの値の範囲はつけません。
xの値の範囲で面積を表す式を
場合分けするわけではありませんので。)

但し、(2)においては必要になりますので
xの値の範囲をどこかで求めることに
変わりはありませんが。

No.62872 - 2019/12/31(Tue) 09:05:09

☆ Re: 三角形の面積の最小値 / health-p

ありがとうございます！

No.62893 - 2020/01/01(Wed) 21:29:40

★ (No Subject) / アブドゥル

問題を解きましたが解答とやり方が異なっているようです。
(1)を解いたとして、(2)を解きました。
あっていますか？よろしくお願いしますm(__)m

No.62868 - 2019/12/30(Mon) 22:49:32

☆ Re: / ヨッシー

だいたい良いと思いますが、?Cの前後が少し甘い気がします。
つまり、ｐ(・・・) の (・・・) は本当に整数なのか？という点です。

　ｐ²ｋ²－2ab＝ｐｋ’
　2ab＝ｐ²ｋ²－ｐｋ’
　2ab＝ｐ(ｐｋ²－ｋ’)
ここで、両辺整数であり、ｐは奇数であるので、ｐｋ²－ｋ’は偶数である。これを、
　２Ｍ＝ｐｋ²－ｋ’　（Ｍは整数）
とおくと、
　2ab＝２ｐＭ
　ａｂ＝ｐＭ　（Ｍは整数)
よって、ａｂはｐの倍数である。

２で割る前に、ことわりを入れた方が良いですね。

No.62873 - 2019/12/31(Tue) 09:17:59

☆ Re: / アブドゥル

ありがとうございます。次回からは整数であることをしっかり断るように気をつけます。助かりましたm(_ _)m

No.62877 - 2019/12/31(Tue) 17:57:21

★ 数?A 2次同次式の最大・最小 / health-p

練習159の問題の線から下の部分が全くわかりません。教えてくださいお願いします。

No.62862 - 2019/12/30(Mon) 18:35:28

☆ Re: 数?A 2次同次式の最大・最小 / health-p

続き1

No.62865 - 2019/12/30(Mon) 18:41:36

☆ Re: 数?A 2次同次式の最大・最小 / health-p

続き2

No.62866 - 2019/12/30(Mon) 18:42:08

☆ Re: 数?A 2次同次式の最大・最小 / まうゆ

Q=13sin(2s+a)+3(sはしーた、aはあるふぁ)
sin(2s+a)は0以上1以下だから1のとき最大
2s+aの範囲は0≦s≦2p(pはぱい)を2倍しaを足すことで出る
あとは式変形

No.62867 - 2019/12/30(Mon) 19:08:03

☆ Re: 数?A 2次同次式の最大・最小 / health-p

ありがとうございます！

No.62870 - 2019/12/30(Mon) 23:43:49

★ 置換積分の問題 / はむはむ

画像の問題の解き方が分からないので、教えてください。
この問題には、「置換積分」という題がつけられているので、置換積分を使うのだと思われます。

No.62856 - 2019/12/30(Mon) 11:54:05

☆ Re: 置換積分の問題 / m

z = x^2 + 3で置換

(x^2+3)^4 * x^3 dx
= (x^2+3)^4 * ((x^2+3)-3) * x dx
= z^4 * (z-3) * 1/2 dz

No.62857 - 2019/12/30(Mon) 12:07:12

☆ Re: 置換積分の問題 / はむはむ

解決しました。
ありがとうございます。

No.62861 - 2019/12/30(Mon) 16:23:31

★ (No Subject) / れい

(3)までは分かったのですが、(4)、(5)の解き方が分かりません。
解説してほしいです。よろしくお願いします。

No.62850 - 2019/12/30(Mon) 10:27:38

☆ Re: / れい

中学2年の一次関数の問題です。

No.62851 - 2019/12/30(Mon) 10:29:16

☆ Re: / X

(4)
条件と(2)の結果から
P(k,-(1/4)k+5),Q(k,k-5)
点Pが点Qより上側にあることに注意して
PQ={-(1/4)k+5}-(k-5)=-(5/4)k+10

(5)
条件から
PQ=PS
ここで
PS=(点Pのx座標)
ですので(3)の結果から
-(5/4)k+10=k
これをkの方程式として解き
k=40/9

No.62854 - 2019/12/30(Mon) 10:55:35

☆ Re: / れい

ありがとうございます。
とても分かりやすかったです。

No.62855 - 2019/12/30(Mon) 11:43:53

★ 何度も失礼します / うい

組立除法の右上の数字というのは何を表しているのか教えてください。
与えられた方程式の文字部分になるのでしょうか？

No.62849 - 2019/12/30(Mon) 09:39:06

☆ Re: 何度も失礼します / ヨッシー

「右上の数字」が何を指しているのかわかりません。
具体例はありますか？

No.62853 - 2019/12/30(Mon) 10:31:07

☆ Re: 何度も失礼します / ＩＴ

下記など参考にどうぞ

下記サイトに書いてある記法の場合、右上は、
(x-a) で割るときは,a, (x+a) で割るときは -a　になります。
https://mathtrain.jp/kumitate

No.62859 - 2019/12/30(Mon) 14:59:35

☆ Re: 何度も失礼します / うい

ありがとうございます。

このpの部分です…。

No.62875 - 2019/12/31(Tue) 16:14:50

☆ Re: 何度も失礼します / ヨッシー

すでにＩＴさんが答えられている通りで、
割る数式を０にするｘの値です。

No.62892 - 2020/01/01(Wed) 14:48:33

★ (No Subject) / うい

3数3、1+i、1－iを解とする3次方程式を作れという問題を解いています。
α, β, γ を３つの解として解いているのですが、

b/a＝-5 d/a＝-6 c/a＝8
というのは

a＝1 b＝-5 c＝8 d＝-6
となりますか？

No.62848 - 2019/12/30(Mon) 09:22:36

☆ Re: / ヨッシー

b/a＝-5, d/a＝-6, c/a＝8 を満たすひとつの組として、
a＝1, b＝-5, c＝8, d＝-6 があり、これにより
　ｘ^3－5x^2＋8x－6＝０
となります。別の組として
a＝2, b＝-10, c＝16, d＝-12 があり、これより
　2ｘ^3－10x^2＋16x－12＝０
となりますが、両辺２で割ると、やはり
　ｘ^3－5x^2＋8x－6＝０
となります。

また、この問題の場合
　ａ(x-3)(x-1-i)(x-1+i)＝０
を展開して、ａを適当な値（たいていは１）にすると、
方程式が得られます。　

No.62852 - 2019/12/30(Mon) 10:29:29

★ (No Subject) / うい

x2+x+1=0　の解が ω というのはどういうことですか？
x=｛－1±(√3)i｝/2 までは出せるのですが、これがどう ωにつながるのかわからないです。
1の三乗根の問題を解くときは、これを証明してから解答するのでしょうか？？
また、ω^3＝1 と書いてあるのですが、これもわかりません。

質問だらけで申し訳ないのですが、解説してほしいです。

No.62845 - 2019/12/30(Mon) 00:54:28

☆ Re: / ヨッシー

ｘ^2＋ｘ＋１＝０　の解が ω なのではなく、
ｘ^2＋ｘ＋１＝０　の解のひとつを ω と置くのです。

少しさかのぼると、話は
　ｘ^3＝１
の解を調べるところから始まります。
ｘ＝１が解の一つであることは明らかなので、移項してｘ－１をくくり出すと
　ｘ^3－１＝０
　(ｘ－１)(ｘ^2＋ｘ＋１)＝０
となり、ｘ^3＝１の解は、
　ｘ－１＝０
から得られる
　ｘ＝１
と
　ｘ^2＋ｘ＋１＝０
から得られる
　ｘ＝(－１±√３ｉ）/２
の３つとなります。
この (－１±√３ｉ）/２のいずれかをωとおくと、
　ｘ＝ω
はｘ^3＝１の解なので、当然 ω^3＝１が成り立ちます。
ちなみに、
　ω＝(－１＋√３ｉ）/２　
とおくと
　ω^2＝(－１－√３ｉ）/２　
となり、
　ω＝(－１－√３ｉ）/２　
とおくと
　ω^2＝(－１＋√３ｉ）/２　
となります。どちらをωと置かないといけないと言うことはありません。

No.62846 - 2019/12/30(Mon) 01:06:34

☆ Re: / うい

とても親切にありがとうございます。
理解できました！

No.62847 - 2019/12/30(Mon) 09:12:25

★ (No Subject) / A

解答は(1)がx=e^((1/4)πy),(2)が18分です
(1)のt秒後の体積と表面積をtで微分した値が2とπになるのはわかりますが
そのあとどうしたらいいか全然わからないです
解説お願いします

No.62836 - 2019/12/29(Sun) 21:28:17

☆ Re: / A

すみません(1)の解答は3e^((1/4)πy)の間違いです

No.62837 - 2019/12/29(Sun) 21:35:09

☆ Re: / X

(1)
問題の水槽の高さがyの時の体積をV(y)
天頂の面積をSとすると
V(y)=π∫[0→y]{{g(y)}^2}dy (A)
S=π{g(y)}^2 (B)
一方条件から
dV/dt=2 (C)
dS/dt=π (D)
(A)(C)より
π(dy/dt){g(y)}^2=2 (C)'
(B)(D)から
2π(dy/dt)g'(y)g(y)=π (D)'
更に条件から
g(0)=3 (E)
(D)'÷(C)'より
2g'(y)/g(y)=π/2 (F)
両辺をyで積分すると
2log{g(y)}=πy/2+C (Cは任意定数) (F)'
(F)'に(E)を使うと
C=2log3
これを(F)に代入して
2log{g(y)}=πy/2+2log3
log{g(y)}=πy/4+log3
よって
g(y)=3e^(πy/4) (G)
注)
この問題は微分方程式を学習していることを前提としています。
現在の高校数学の教育課程では確か微分方程式は範囲外だった
はずですので、解くのは難しいかもしれません。
(特に(F)から(F)'への過程を考える点が難しい)

(2)
(G)を(A)に代入して
V(y)=[(12/π)e^(πy/4)][0→y]
=(12/π){1-e^(πy/4)}
よって条件のときの水槽の高さをY[m]とすると、
V(Y/2)=(12/π){1-e^(πY/8)}=2・90
これをe^(πY/4)についての方程式として解き、
(Yそのものを求める必要はありません)
その結果を使って
V(Y)/2
の値を求めます。

No.62844 - 2019/12/29(Sun) 23:34:00

☆ Re: / A

難しいですね...
微分方程式は全然手を付けていませんが
全体の流れはわかったのでこれを参考にしてまた解いてみようと思います
ありがとうございました

No.62860 - 2019/12/30(Mon) 16:23:00

★ (No Subject) / アブドゥル

この問題の(2)について、ms1^2+ms2^2/m+nという回答になったのですが間違いですか？

No.62834 - 2019/12/29(Sun) 21:01:15

☆ Re: / ＩＴ

そのまま(ms1^2+ms2^2)/(m+n) でも、
(ms1^2+ns2^2)/(m+n) の記入ミスだとしても間違ってます。
定義に従って計算しておられますか？

No.62835 - 2019/12/29(Sun) 21:26:05

☆ Re: / アブドゥル

記入ミスでしたすみません。以後気をつけます。

私の考えをかいてみました。こんな感じです。
間違いを教えてくれませんか？

No.62839 - 2019/12/29(Sun) 21:44:09

☆ Re: / ＩＴ

各人の身長と「クラス全体の平均身長：h 」との差の２乗の平均値を求める必要があります。

No.62840 - 2019/12/29(Sun) 21:54:19

☆ Re: / アブドゥル

ありがとうございます。そういうことでしたか。
納得しました。助かりましたm(_ _)m

No.62842 - 2019/12/29(Sun) 22:00:24

★ 整数問題 / 中３

（1）について質問です

途中まではわかりました

解説には　ｎは　５×9×a^2と表されるとあります。

分数を消すために９があるのはわかります。

しかし、ほかの部分をどのように考えたらこのようにあらわされるのでしょうかよろしくお願いします

No.62830 - 2019/12/29(Sun) 17:48:38

☆ Re: 整数問題 / X

ヒントだけ。
{√(20n)}/3=(2/3)√(5n)
と変形できます。

No.62843 - 2019/12/29(Sun) 23:14:36

★ (No Subject) / アブドゥル

青いところを見てください。

b^2+2b-2という塊を無理やりつくりたいという文脈で、解説にこう式変形していました。

どうしたらこのような式変形をすぐにできますか？

No.62827 - 2019/12/29(Sun) 17:27:53

☆ Re: / ＩＴ

基本的には割り算する。ということで

２、３の計算方法（手順・記法）はありますが,いずれも大差ないと思います。
ご自分で慣れた方法を使われれば良いと思います。
　

No.62831 - 2019/12/29(Sun) 18:18:36

☆ Re: / アブドゥル

割り算ですね。納得しました。ありがとうございますm(__)m

No.62833 - 2019/12/29(Sun) 20:58:35

★ 立体面積迷路 / トモ

立体面積迷路の問題です。
解説がなく答えしか分からないので、解き方を教えてください！
よろしくお願いします！

答えは27㎠です。

No.62824 - 2019/12/29(Sun) 14:49:02

☆ Re: 立体面積迷路 / ＩＴ

左の直方体の各辺の長さをa,b,c (cm)
中の直方体の各辺の長さをd,e,f とすると

c,f は高さです。残りは下記の式から確認してください。

図より　b+e=7,c=3+f

求める面積？= (7-e)(f+3)=bc=27 (cm^2)

No.62825 - 2019/12/29(Sun) 16:24:37

☆ Re: 立体面積迷路 / らすかる

濃色の面が見える方向からの側面図を描くと180°回転対称な図形となりますので、
左側の手前に書いてある値と同じ27cm^2となります。

No.62828 - 2019/12/29(Sun) 17:30:23

★ (No Subject) / Mbo

この問題の解説をお願いします。

No.62821 - 2019/12/29(Sun) 12:48:09

☆ Re: / Mbo

貼り忘れてしまいました

No.62822 - 2019/12/29(Sun) 12:48:44

☆ Re: / ＩＴ

条件を式にします。
2/(α+β)＝t(1/α)+(1-t)(1/β),0＜t＜1　(α≠βなのでt≠0,1）

両辺に(α+β)αβを掛けて移項して整理して
t(α+β)(β-α)-α(β-α)＝0
t(α+β)-α＝0　∵β-α≠0
t(1+β/α)-1＝0 ∵α≠0
∴β/α=(1/t)-1　これは正の実数（∵0＜t＜1）

No.62823 - 2019/12/29(Sun) 14:18:00