ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / うい

（相加平均）≧（相乗平均）
なのはわかるのですが、この青で囲った-2はどこへ消えてしまったのですか？
-2がないと別の式になってしまいますよね…？

No.62744 - 2019/12/22(Sun) 23:28:20

☆ Re: / うい

つけ忘れました

No.62745 - 2019/12/22(Sun) 23:28:45

☆ Re: / らすかる

相加相乗平均を適用するのは「-2」を除いた部分なので
そこだけ先に計算して「8以上」、よって
-2を付ければ「6以上」になるということです。

No.62747 - 2019/12/23(Mon) 00:21:48

☆ Re: / うい

分母がx＋2だからx＋2で約分できるようにしたのですか？

相加相乗平均を適用するのが-2を除いた部分
というのがよくわからないです

頭が弱くて申し訳ありません…………

No.62749 - 2019/12/23(Mon) 01:21:21

☆ Re: / らすかる

> 分母がx＋2だからx＋2で約分できるようにしたのですか？
そうです。

相加相乗平均は
○+△/○
という形になっていないと使えません。
○=x+2、△=16とすれば
(x+2)+16/(x+2)
ですからこの形の式には相加相乗平均は適用できますが、
(x+2)+16/(x+2)-2
には適用できません。
（もちろんx+16/(x+2)にも適用できません。）
従って-2を除いた
(x+2)+16/(x+2)
の部分に相加相乗平均を適用して
(x+2)+16/(x+2)≧8
と算出し、その後で両辺から2を引けば
(x+2)+16/(x+2)-2≧6
となり、これは求めたかった式の形です。
よって
x+16/(x+2)=(x+2)+16/(x+2)-2≧6
とわかります。

No.62750 - 2019/12/23(Mon) 01:28:13

★ (No Subject) / 合成関数

(1)はまじめに、代入、整理有理化を繰り返して求めるしかないのでしょうか？

No.62737 - 2019/12/22(Sun) 16:58:18

☆ Re: / ＩＴ

「有理化」とは具体的にどんな作業か分かりませんが

f[2]=(x-√3)/(√3x+1),f[3]=-1/xまで地道に計算で求めれば　f[6]=f[3](f[3]) =xと求まるのでは？

#他に何にか良い工夫があるかも知れませんが、本番では単純にやった方が、結果的に早い場合も多いです。
(工夫を否定するものではありません。）

No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29

☆ Re: / ＩＴ

一般に
f(x)=(ax+b)/(cx+d)、h(x)=(sx+t)/(ux+v) について
f(h(x))=(a(sx+t)/(ux+v)+b)/(c(sx+t)/(ux+v)+d)
=((as+bu)x+(at+bv))/((cs+du)x+(ct+dv))

ここでf(x)=(ax+b)/(cx+d)=(√3x-1)/(x+√3) とすると

f(h(x))=((√3s-u)x+√3t-v)/((s+√3u)x+t+√3v)

これを使うとf(f(x)),f(f(f(x))) などが少し機械的に計算できます。

※記入ミスや計算ミスがあるかもしれないので検算してください。

No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22

☆ Re: / ＩＴ

No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29

☆ Re: / ＩＴ

No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22

☆ Re: / ＩＴ

No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29

☆ Re: / ＩＴ

No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22

★ (No Subject) / 合成関数

(1)はまじめに、代入、整理有理化を繰り返して求めるしかないのでしょうか？

No.62737 - 2019/12/22(Sun) 16:58:18

☆ Re: / ＩＴ

No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29

☆ Re: / ＩＴ

No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22

☆ Re: / ＩＴ

No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29

☆ Re: / ＩＴ

No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22

☆ Re: / ＩＴ

No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29

☆ Re: / ＩＴ

No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22

★ (No Subject) / 合成関数

(1)はまじめに、代入、整理有理化を繰り返して求めるしかないのでしょうか？

No.62737 - 2019/12/22(Sun) 16:58:18

☆ Re: / ＩＴ

No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29

☆ Re: / ＩＴ

No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22

☆ Re: / ＩＴ

No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29

☆ Re: / ＩＴ

No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22

☆ Re: / ＩＴ

No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29

☆ Re: / ＩＴ

No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22

★ (No Subject) / うい

1/6公式を応用してるとは思うのですが
よくわからないので
何故こうなるか教えてください。

No.62726 - 2019/12/21(Sat) 03:51:07

☆ Re: / らすかる

ここでは1/6公式は関係ありません。
(x+1)^2を積分すると(1/3)(x+1)^3、
(x-3)^2を積分すると(1/3)(x-3)^3
になります。
青枠の後半が
(1/3)(x-3)^3
でなく
(1/3)(x-3)^2
となっているのは、単なる誤記ですね。

No.62728 - 2019/12/21(Sat) 04:04:54

☆ Re: / うい

(x+1)^2を積分すると、［x^3/3+x^2+x］1 -1
になってしまうのですが
何がいけないかわかりますか……？

(1/3)(x+1)^3になる過程を詳しく教えていただけると嬉しいです。

No.62732 - 2019/12/21(Sat) 22:19:59

☆ Re: / らすかる

∫(x+1)^2dx は
t=x+1とおくとdt=dxなので
∫(x+1)^2dx
=∫t^2dt
=t^3/3+C
=(x+1)^3/3+C … (1)
となります。
∫(x+1)^2dxを展開して積分すると
x^3/3+x^2+x+Cとなりますが
(1)を展開すると
x^3/3+x^2+x+1/3+C
となり、1/3+Cを新たに積分定数とすれば
全く同じ積分結果ですね。

# 積分の仕方で定数部分が変わるのはよくあることです。

No.62733 - 2019/12/21(Sat) 23:15:51

☆ Re: / うい

置き換えるのですね！
ありがとうございます。
すっきりしました。

No.62742 - 2019/12/22(Sun) 23:07:09

★ ２点間の最短距離 / 山田

「２点間の最短距離は直線である」ことを証明するのって困難ですか？調べたところ、公理であるとか、もしくは変分法というものを用いて…などと書かれていました。

単純に、「直線AB上に任意の点Oから垂線を下ろし、その足をPとしたときにAO>AP、BO>BPとなるから、2点ABの最短は線分ABである」では証明として不十分なのでしょうか？

No.62725 - 2019/12/21(Sat) 03:24:39

☆ Re: ２点間の最短距離 / たけし

おそらく、
"直線AB上にない点Oをとおる曲線の長さ" > "線分AOの長さ" + "線分BOの長さ" > "線分ABの長さ"
をイメージしてるのでしょう。

2番目の不等号は、おっしゃる通り言えます
しかし1番目の不等号に関しては、その証明では何も言及されていないので不十分です。

この問題が本当に難しいのは、「直線」や「距離」（曲線の長さ）をどう定義するのかというところにあります。

1+1=2の証明で、1や2や足し算をどう定義するかの部分が難しいのと同じですね。

ちなみに定義の仕方は一通りではないですし、定義によってはその定理の証明は自明になったりもします。

No.62727 - 2019/12/21(Sat) 03:57:52

☆ Re: ２点間の最短距離 / 山田

なるほど。確かに「直線より短い曲線は存在しない」を言わないとダメですね。難しそうだ。
ありがとうございました。

No.62729 - 2019/12/21(Sat) 14:20:03

★ 中1数学 / すけこま

解けないので、教えてください。

No.62723 - 2019/12/20(Fri) 21:36:54

☆ Re: 中1数学 / X

(i)
まず第一式の立式について。

ポンプを空にするまでに14分かかり、
A,Bが同時に動いていたのが
1分40秒=1+40/60[分]=5/3[分]
これは長さx,yの二つの棒グラフを
長さ5/3だけ重なるように横に並べると
全体の長さが14になるのと同じことなので
二つの棒グラフの長さの和について
x+y=14+5/3
右辺を整理して
x+y=57/3

次に第二式について。
条件からTの容積を1としたとき、
Aの1分当たりのくみ出す水の体積は
1/12
一方、A,Bを同時に動かしたときに
1分当たりのくみ出す水の体積は
1/8
従って、Bの1分当たりのくみ出す水の体積は
1/8-1/12=1/24
となるので、問題のTからくみ出した水の体積について
(1/12)x+(1/24)y=1

注)
ここでは簡単のため、Tの容積を1としてありますが
気持ち悪いということなら、aと置いても第二式は
導くことができます。

Tの容積をaと置くと
Aの1分当たりのくみ出す水の体積は
a/12
一方、A,Bを同時に動かしたときに
1分当たりのくみ出す水の体積は
a/8
従って、Bの1分当たりのくみ出す水の体積は
a/8-a/12=a/24
となるので、問題のTからくみ出した水の体積について
(a/12)x+(a/24)y=a
両辺をaで割ると
(1/12)x+(1/24)y=1

(ii)
(i)の結果の連立方程式を解いてxを求め
その値から
1分40秒=1+40/60[分]=5/3[分]
を引きます。

No.62734 - 2019/12/22(Sun) 13:03:17

★ (No Subject) / キャラメル

赤い袋には赤球2個と白球1個が入っており、白い袋には赤球１個と白球１個が入っている。　最初に、サイコロ１個を投げて3の倍数が出たら白い袋を選び、それ以上の目が出たら赤い袋を選び、選んだ袋から球１個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す。ここまでの操作を一回目とする。　2回目と3回目の操作では、直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を１個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す
1.1回目の操作で赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率と白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は？
2.2回目の操作が白い袋で行われる確率は？
3.1回目の操作で白球を取り出す確率をPで表すと、2回目の操作で白球が取り出される確率は？／？＋1／3と表される　
4.3によって2回目の操作で白玉が取り出される確率は？
5.同様に考えて3回目の操作で白球が取り出される確率は？

No.62716 - 2019/12/20(Fri) 19:20:39

☆ Re: / X

1.
赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は
(1-1/3)(2/3)=4/9
白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は
(1/3)(1/2)=1/6

2.
1.の結果により2回目の操作が赤い袋で行われる確率は
4/9+1/6=11/18
∴求める確率は
1-11/18=7/18

3.
求める確率は
p・(1/2)+(1-p)(1/3)=p/6+1/3

4.
2.の結果により
p=7/18
これを3.の結果に代入して求める確率は
(1/6)(7/18)+1/3=43/108

5.
3.、4.の結果により求める確率は
(1/6)(43/108)+1/3=259/648

No.62718 - 2019/12/20(Fri) 20:02:06

★ (No Subject) / トナカイ

数学IAの問題です

半径Rの円を3個互いに接するように並べてできる図形をCとする。

1 Cの外接円の半径をRcとするとRc={(モ+ラ√リ)R]/ル
答…｛(3+2√3)R｝/3

2　Cに概説する長方形の縦の辺の長さをLv,横の辺の長さをLHとする。図2Aの配置ではLv＜LHである。次に図2Bのように長方形んぼ向きを固定し適当に取った点O(例えばどれか一つの円の中心）を中心としてCを時計回りに回転する。図2Aと2Bの間の相対的なCの回転角をθとするとθ=レロ(15)の時Lv=LHとなる。この時の概説正方形の辺の長さをLS（Lv=LH)とすると
Ls=（あ+√い+√う）R/え　　答え…｛4+√2+√6｝R/2となる

３　半径R1の球（S1）を3個互いに接するようにして水平上に置く。これら3個の球に接するようして半径R2の球(S2)を乗せ図3の立体を作る。図3の水平面からS2の最上部までの高さをHとすればR1=1,R2=7/6のときH=お（４）となる。

模範解答がなくてよくわかりません。模範解答(数学I,Aの知識内で）よろしくお願いします。また数IIの知識を使ったらもっと簡単に出せるのであればそのやり方も教えてください。よろしくお願いします。

No.62713 - 2019/12/20(Fri) 17:31:35

★ (No Subject) / 数学苦手

31^2019を11で割った時の余りを次のようにして求めた。
31^1,31^2,31^3,31^4,31^5を11で割った余りはそれぞれ9,4,3,51となる。さらに31^(m+n)を11で割った余りは31^mと31^nをそれぞれ11で割った余りをかけた値をさらに11で割った余りはそれぞれいくらか(1,5)

一応答えはあったのですがやり方があっているのか余り自信がないので模範解答を書いてもらえないでしょうか。よろしくお願いします

No.62712 - 2019/12/20(Fri) 15:32:21

☆ Re: / トナカイ

31^(5+5)を11で割った余りは31^5を11で割った余りが1より
(1×1)÷11=0…1より1

31^(10+5)を11で割った余りは31^10を11で割った余りが1,31^5で割った余りが1より1×1÷11≒0…1
より31^5+5+5+…をこのまま続けても上と同じことの繰り返しなので31^5ℓを11で割った余りは1

2019=5×403+4より
31^2019=31^(5×403+4)

31^5×403を11で割った余りは31^5ℓを11で割った余りが１より1.31^4で割った余りは5。よって1×5÷11=0…5

よって余りは5

No.62722 - 2019/12/20(Fri) 21:31:07

☆ Re: / GandB

　合同式を使う。模範解答ではない。

　　31^2019 = (31^2010)(31^9) = ( (31^10)^201 )(31^9)

　n と p が互いに素であるとき
　　n^(p-1)≡1 (mod p)
が成り立つ（フェルマーの小定理）。
　31 と 11 は互いに素であるから
　　31^10≡1　　　　　　　　　　　　　　 (mod 11)
　　(31^10)^201 = 31^2010≡1　　　　　　 (mod 11)
　　(31^2010)(31^9)≡31^9　　　　　　　　(mod 11)
　　31 = 3*11 - 2≡-2　　　　　　　　　　(mod 11)
　　31^9≡(-2)^9 = ( (-2)^3 )^3 = (-8)^3 (mod 11)
　　-8 = -1*11 + 3≡3　　　　　　　　　　(mod 11)
　　(-8)^3≡3^3≡27≡5　　　　　　　　　 (mod 11)

　　∴31^2019≡5　　　　　　　　　　　　 (mod 11)

No.62724 - 2019/12/21(Sat) 01:14:08

★ (No Subject) / バナナ

aを実数の定数とする。4次関数y=x^4-19(x^2)+14-aについて次の問いに答えよ

この関数のグラフがx軸と異なる4つの共有点を持つときx軸とこの関数のグラフとで囲まれた部分とx軸より上にある部分の面積の和をA, x軸より下になる部分の面積の和をBとする。この時A=Bとなるaの値は　(答えa=1/9)

回答のみで模範解答がなくて困っています。問題の解き方教えてください。よろしくお願いします。

No.62711 - 2019/12/20(Fri) 14:01:44

☆ Re: / X

方針を。

xの方程式
x^4-19x^2+14-a=0 (A)
をx^2の二次方程式として解いたときの解を
u,vとすると題意を満たすためには
0＜u,0＜v,u≠v
ここから(A)をxの方程式と見たときの解を
α,β,-α,-β
(ただし0＜α＜β (B))
と置くと、
A=-∫[-β→-α](x^4-19x^2+14-a)dx-∫[α→β](x^4-19x^2+14-a)dx (E)
B=∫[-α→α](x^4-19x^2+14-a)dx (F)
更に条件から
A=B (G)
(E)(F)より
A=-2∫[α→β](x^4-19x^2+14-a)dx (E)'
B=2∫[0→α](x^4-19x^2+14-a)dx (F)'
これらを(G)に代入して整理をすると
∫[0→β](x^4-19x^2+14-a)dx=0
(1/5)β^5-(19/3)β^3+(14-a)β=0
(B)よりβ≠0ゆえ
(1/5)β^4-(19/3)β^2+14-a=0 (H)
ここで(A)より
β^4-19β^2+14-a=0 (I)
(H)(I)をβ,aについての連立方程式
として解きます。(まずはaを消去します)

ですがこちらの計算では
a=1/9
とはなりませんでした。
(問題文にタイプミスはありませんか？)

No.62714 - 2019/12/20(Fri) 19:08:50

☆ Re: / トナカイ

やっぱりa=1/9ですよ

No.62731 - 2019/12/21(Sat) 18:34:07

☆ Re: / X

では答えではなくて問題文の方にもタイプミスはありませんか？

No.62735 - 2019/12/22(Sun) 13:22:53

☆ Re: / らすかる

y=x^4-19(x^2)+14-a じゃなくて
y=x^4-10(x^2)+14-a とか？

No.62740 - 2019/12/22(Sun) 22:17:05

★ 受験生です / 証明問題

l <m<m を満たす2以上の整数 l , m, n について,次の連立合同式を考える。
(m+1)(n+1)=1 (mod l)
(l+ 1)(n+1)= 1 (mod m)
(l + 1)(m+1)= 1 (mod n)
l , m, n のどの2つの数も互いに素であるとき,この連立合同式の解は存在しないことを示せ。

どなたか証明していただけませんか

No.62700 - 2019/12/18(Wed) 23:37:41

☆ Re: 受験生です / らすかる

l＜m＜mはl＜m＜nの間違いと判断します。

第1式から (l+1)(m+1)(n+1)≡1 (mod l)
第2式から (l+1)(m+1)(n+1)≡1 (mod m)
第3式から (l+1)(m+1)(n+1)≡1 (mod n)
これより (l+1)(m+1)(n+1)≡1 (mod lmn)
展開して整理すると lm+mn+nl+l+m+n≡0 (mod lmn)
従って lm+mn+nl+l+m+n=klmn（kは自然数） … (1)
両辺をlmnで割って
1/l+1/m+1/n+1/(lm)+1/(mn)+1/(nl)=k
もしl≧3とするとm≧4,n≧5なので
1/l+1/m+1/n+1/(lm)+1/(mn)+1/(nl)≦1/3+1/4+1/5+1/12+1/20+1/15=59/60＜1
となり不適、従ってl=2
mとnはlと互いに素なので奇数、従って
((1)の左辺)=l(m+n+1)+(m+1)(n+1)-1=(奇数)
((1)の右辺)=klmn=(偶数)
となるので、条件を満たす解は存在しない。

# 「互いに素」という条件がない場合は、
# (l,m,n)=(2,4,14)という解が存在します。

No.62703 - 2019/12/19(Thu) 03:18:09

★ (No Subject) / アブドゥル

この問題の一番最後の「スセソ」について、「数え上げる方法」以外で求められますか？

30個までの和だったので、色々実験して、簡単に規則を見つけて、数え上げて(簡単に計算して)解けたのですが、これがもし250項までの和を求めろみたいに、大きな数の項数の和を言われたら求められますか？色々やったのですができません。

もしできるならその手順を教えてください。
数え上げるしかないのでしょうか。一般化できないのですか。

よろしくお願いします。

No.62694 - 2019/12/18(Wed) 17:15:49

☆ Re: / アブドゥル

赤色の文字は答えです。

No.62695 - 2019/12/18(Wed) 17:16:13

☆ Re: / ヨッシー

ｃ[n]の値と個数において
ｃ[n]＝１が２個、
ｃ[n]＝３が６個、
ｃ[n]＝９が18個
　・・・
ｃ[n]＝３^k が３^(k+1)－３^k個
　・・・
であり、ｃ[n]＝３^k である項の最終項はｂ[3^(k+1)－1]であるので、
第3^(t+1)－1項までの和は
　Σ[k=0～t]３^k(３^(k+1)－３^k)
　＝Σ[k=0～t](３^(2k+1)－３^2k)
　＝２Σ[k=0～t]３^2k
　＝２Σ[k=0～t]９^k
　＝(９^(t+1)－１)/４
と書けます。ｎ＝３０の場合は、
第26項(t=2 の場合) までの和が
　(９^3－１)/４＝１８２
であり、その後、27 が4個あるので、
　182＋27×4＝290

ｎ＝２５０の場合は、
第242項(t=4 の場合)までの和が
　（９^5－１)/４＝14762
その後、243 が8個あるので、
　14762＋243×8＝16706
となります。

No.62696 - 2019/12/18(Wed) 17:58:24

☆ Re: / アブドゥル

ありがとうございます。
ひとつだけ混乱してわからないところがあります。

>ｃ[n]＝３^k である項の最終項はｂ[3^(k+1)－1]であるので、

自分でも書き出して色々考えたのですが、ここが混乱してしまいよくわかりません。あとは全て理解できます。解説お願いしますm(_ _)m

No.62705 - 2019/12/19(Thu) 10:23:35

☆ Re: / ヨッシー

最終項はｂ[n]である　というのと
最終項は第ｎ項である　というのとは同じ意味なので、
後者で考えた方がわかりやすいかもしれません。
　c[n]＝１　なのは　第１～２項
　c[n]＝３　なのは　第３～８項
　c[n]＝９　なのは　第９～26項
　c[n]＝27　なのは　第27～80項
と書けるので、例えば、c[n]＝９＝３^2 である最終項は
第26項＝第(３^3－１)項　となり、b[n] で言うと
　ｂ[３^3－１]
となります。

No.62706 - 2019/12/19(Thu) 11:44:02

☆ Re: / アブドゥル

ありがとうございます。今自分が何がわからないのかわからないのですが判然としません。

> 最終項はｂ[n]である　というのと
> 最終項は第ｎ項である　というのとは同じ意味なので、
> 後者で考えた方がわかりやすいかもしれません。
> 　c[n]＝１　なのは　第１～２項
> 　c[n]＝３　なのは　第３～８項
> 　c[n]＝９　なのは　第９～26項
> 　c[n]＝27　なのは　第27～80項
> と書けるので、例えば、c[n]＝９＝３^2 である最終項は
> 第26項＝第(３^3－１)項　となり、

ここまで理解できます。
以下がよくわかりません。

>b[n] で言うと
> 　ｂ[３^3－１]
> となります。

ｂ[３^3－１]はb[26]、つまり数列bの26番目の数ですよね。
b[26]=3^(26-1)= 847,288,609,443というとんでもない値になります。c[n]=9のときの最終の項はb[3]ではないのですか？

私の図のイメージはこうです。

No.62707 - 2019/12/19(Thu) 12:56:10

☆ Re: / ヨッシー

あ、言われる通りです。

ｂ[n] ではなくｃ[n] で考えないといけなく、
　c[n]＝１　なのは　ｃ[1]～ｃ[2]
　c[n]＝３　なのは　ｃ[3]～ｃ[8]
　c[n]＝９　なのは　ｃ[9]～ｃ[26]
　c[n]＝27　なのは　ｃ[27]～ｃ[80]
のように、読み替えてください。

失礼しました。

No.62708 - 2019/12/19(Thu) 14:56:59

☆ Re: / アブドゥル

ありがとうございますm(_ _)m

書き換えるところは、
ヨッシーさんが一番最初にレスしていただいた
最終項ｂ[3^(k+1)－1]を、最終項c[3^(k+1)－1]と書き換えればよろしいでしょうか。

疑問が氷解しました。いつもありがとうございましたm(__)m

No.62709 - 2019/12/19(Thu) 15:26:04

☆ Re: / ヨッシー

意味としては、それで正しくなりますね。

群数列の考え方で説明したほうが、わかりやすかったかもしれませんね。

No.62710 - 2019/12/19(Thu) 15:50:31