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★ 数?V - 体積 / 高校数学の頂（いただき）

Oを原点とするxyz空間において，3点A, B, Cが次の条件(?@), (?A), (?B)を満たして動くとき，三角形ABCの周および内部（Tとする）が通過する領域の体積を求めよ。ただし，(?B)のとき，Tは1点Aを表すものとする。 　(?@) 2点A, Bはいずれも円x^2+y^2=1, z=0の周上にある。 　(?A) A≠Bのとき，点Cのz座標は0以上であり，かつ∠ACB=90°である。 　(?B) A=Bのとき，C=Aである。 以上の問題の解法を教えてください。 よろしくお願いします。 No.62212 - 2019/11/09(Sat) 00:03:17 ☆ Re: 数?V - 体積 / らすかる AとBがx軸に関して対称の位置にある場合を考え、 平面y=0で切ったxz平面の図を考えると、 A,Bのx座標がtのときAB=2√(1-t^2)なので Cは円(x-t)^2+z^2=1-t^2上にある。 tについて整理すると2t^2-2xt+(x^2+z^2-1)=0 D/4=x^2-2(x^2+z^2-1)=-x^2-2z^2+2≧0から この円の通る範囲は楕円x^2/2+z^2=1の境界および内部なので この楕円のz≧0の部分をz軸に関して1回転した時の体積を求めればよい。 この楕円は原点を中心とする半径√2の球をz軸方向に1/√2にしたもので、 立体はz≧0からさらにその半分なので、 求める体積は (4/3)π・(√2)^3÷√2÷2=(4/3)π No.62220 - 2019/11/09(Sat) 10:28:09

★ 台形公式について。 / コルム

次の問題で、常にf(x)≧0であるとする。というところがわかりません。f(x)＝0の時繋がらないと思うのですが。教えていただけると幸いなのですが。以下の写真です。 No.62210 - 2019/11/08(Fri) 22:37:51 ☆ Re: 台形公式について。 / ＩＴ > f(x)＝0の時繋がらないと思うのですが 「y=f(x)のグラフとx軸の間の図形が繋がらない」ということだと思いますが、差し支えありません。 No.62213 - 2019/11/09(Sat) 03:47:08 ☆ Re: 台形公式について。 / コルム なぜ、差し支えないのですか？教えていただけると幸いなのですが。すみません。 No.62231 - 2019/11/09(Sat) 15:02:02 ☆ Re: 台形公式について。 / ＩＴ 逆に質問ですが　f(x)=0 となるところがあると、なぜ（どのような）不都合があると思われますか？ No.62232 - 2019/11/09(Sat) 17:09:49 ☆ Re: 台形公式について。 / コルム 面積がなくなって、面積が、繋がらないと思うのですが。面積が0 で、繋がっていると考えれば良いのでしょうか？教えていただけると幸いなのですが。すみません。 No.62234 - 2019/11/09(Sat) 19:37:25 ☆ Re: 台形公式について。 / ＩＴ 面積を計算するうえで、図形が繋がっている必要はないと思います。 例えば２つに分かれていれば、それぞれの面積を計算して合計するだけです。 No.62237 - 2019/11/09(Sat) 20:14:18 ☆ Re: 台形公式について。 / コルム ありがとうございました。 No.62238 - 2019/11/09(Sat) 20:18:22

★ (No Subject) / 橋
ここの下線部の意味が分からないのですが、どういうことでしょうか？ No.62203 - 2019/11/08(Fri) 21:04:04 ☆ Re: / 元中3 N!にN+1を掛けると末尾の0が二個増える(100ができる)ので、Ｎ+1が25の倍数である(かつ125の倍数でない)ということです。 例えば24!に25を掛けた25!に関していえば、もともと24!の中に含まれていた素因数2二個と新たに追加された二個の素因数5がくっついて100が生まれ、結果的に末尾の0は二個増えます。 No.62204 - 2019/11/08(Fri) 21:37:19

★ (No Subject) / アブドゥル

このシグマを自分なりに計算すると、1/｛2n(n-3)!｝となりましたが、同じことですか？(正しいですか？) No.62202 - 2019/11/08(Fri) 21:01:26 ☆ Re: / らすかる 具体的に適当な数を入れてみれば、正しくないことがわかると思います。 1/{2n(n-3)!}でn=4とすると1/(2×4×1)=1/8 1/{2(n-2)!}でn=4とすると1/(2×2)=1/4 元の式でn=4とすると (1/4!)(3+2+1)=6/24=1/4 No.62205 - 2019/11/08(Fri) 21:49:38 ☆ Re: / アブドゥル ありがとうございます。そのようでした。すみませんでした。 何回計算してもこの値になるのですが、何が間違っていますか？ ミスした箇所がわからないです。 No.62207 - 2019/11/08(Fri) 21:55:43 ☆ Re: / アブドゥル 画像忘れました。こちらです。 No.62208 - 2019/11/08(Fri) 21:56:05 ☆ Re: / らすかる 最初の行が違います。 Σ[k=1〜n-1](n-k) ={Σ[k=1〜n-1]n}-{Σ[k=1〜n-1]k} ={n(n-1)}-{n(n-1)/2} =n(n-1)/2 です。 No.62209 - 2019/11/08(Fri) 22:01:21 ☆ Re: / アブドゥル ありがとうございます。そうでした。 勘違いして計算してしまいました。反省します。 No.62211 - 2019/11/08(Fri) 22:51:07

★ よろしくお願いします / 塩昆布
4枚のカード1 2 3 4が入っている袋がある　この中から一枚のカードを無作為に取り出しカードに書かれた数を記録して袋に戻すを4回行う 問題　 4回とも2以上の数が記録される確率を求めよ 記録された4個の数の最小値が2である確率を求めよ No.62201 - 2019/11/08(Fri) 19:52:46 ☆ Re: よろしくお願いします / らすかる 2以上の数が取り出される確率は3/4なので、 4回とも2以上の数が記録される確率は (3/4)^4=81/256 同様に4回とも3以上の数が記録される確率は (1/2)^4=1/16 なので、最小値が2である確率は 81/256-1/16=65/256 No.62206 - 2019/11/08(Fri) 21:52:12

★ 東北大学2019後期 / ＩＴ

forex　さんの質問が消えているので解決したのかも知れませんが、回答を作ったので掲載します。 ご質問は、別紙（画像）の(3)の答案の式の置き換えをどのように思いつくかということでした。 下に凸な関数の性質を使う問題ですね。下記のようにするとともに、グラフを描いて考えると見通しが良いのではないかと思います。 (3) y=d-a,x=c-b,v=d-b,w=c-a とおくと x+y=v+w …（ア） またx＜v＜y,x＜w＜y なので　v=(1-s)x+sy,0＜s＜1,w=(1-t)x+ty,0＜t＜1 なるs,tがとれる。 v+w=(2-(s+t))x+(s+t)y=x+y (∵(ア）) ∴　(1-(s+t))(x-y)=0 ここで x＜yなので 1-(s+t)=0…（イ）　 このとき (2) から　(1-s)f(x)+sf(y)＞f((1-s)x+sy)=f(v) 　　　　　 (1-t)f(x)+tf(y)＞f((1-t)x+ty)=f(w) よって　(2-(s+t))f(x)+(s+t)f(y)＞f(v)+f(w) （イ）より　f(x)+f(y)＞f(v)+f(w) すなわち f(d-a)+f(c-b)＞f(d-b)+f(c-a) No.62200 - 2019/11/08(Fri) 19:16:26

★ 複素解析：関数の部分分数展開 / たかさん
添付画像は寺寛の5章「複素変数の函数」のものです。この例1、例2で|f(z)|がすべての同心円を通じて一様に有界であることがどうしても示せません。ヒントだけでも構いませんのでお教えいただけるとありがたいです。 No.62199 - 2019/11/08(Fri) 13:17:46

★ 縦曲線の計算について / 寝屋川のムウマ

勾配変化に伴う縦曲線の計算について 勾配が変わるとき、測量ではクロソイド曲線を使うそうです。 これは急激に曲がってしまうと、車両が転覆・脱線・路外逸脱するなど事故の原因となってしまうからです。 従って、必ず、勾変更点の前後にはクロソイド曲線が入ります。 自分は勾配変化に伴う、垂直方向におけるクロソイド曲線の全長と開始位置から勾配変更点までの長さを求める公式が知りたいです。 まず前提条件してクロソイド曲線開始位置をA、勾配変更点からの垂線とクロソイド曲線との交点をB、クロソイド曲線の終了位置をBとします。また垂線をMとします。 参考としてbve用の縦曲線計算（https://keisan.casio.jp/exec/user/1342727381）の計算結果を用いました。bveとは鉄道運転シミュレーションゲームのフリーウェア Bve trainsimのことです。これによると水平方向の曲線の場合は曲率半径R800以上とR800以下ではクロソイド曲線の長さが変わります。尚直線坂の場合はR800以上と同じです。 以下は、自分が実際にクロソイド曲線の全長を計算した結果です。 勾配→勾配、水平方向の曲線長、垂直方向のクロソイド曲線長。 3.3‰m→-29.9‰は100m（曲線なし）、 -29.9‰→-2.9‰は108m（R400）、 -2.9‰→33‰は143m(R400) 33‰→-2‰は105m(曲線なし)です。 水平方向の曲率半径Rと、垂直方向の勾配のクロソイド曲線を勘案すると、 ABS(IF(OR(R>800,R=800,R=0),30*(i1-i2),40*(i1-i2)))でやると それぞれ、99.6m、108．0m、143.6m、105mで、有効値となっています。 ただ、本当に合っているかどうかがわからないのと、 クロソイド曲線は、勾配変更点で違う値の勾配の場合、たとえば3‰の上り→5‰の下りの場合だと左右で違う値になってしまうので、そこの値が知りたいです。 No.62196 - 2019/11/07(Thu) 18:13:14

★ (No Subject) / 人

πが無理数であることは、n!πが整数(nは任意の整数)でないことの 必要十分条件、十分条件、必要条件である。 この問題の答えは必要十分条件であってますか？ No.62193 - 2019/11/06(Wed) 21:24:18 ☆ Re: / ヨッシー 履修範囲によりますが、πが虚数である可能性は考慮しますか？ No.62194 - 2019/11/06(Wed) 21:35:31 ☆ Re: / らすかる 虚数を習っていなければ「必要十分条件」 虚数を習った後でも、「πは実数」という条件があれば「必要十分条件」 虚数を習った後で、しかも「πは実数」という条件がなければ 「実数範囲ならば必要十分条件、複素数範囲ならば十分条件」 No.62195 - 2019/11/07(Thu) 00:00:39 ☆ Re: / 人 解答ありがとうございます。 πが実数だという保証があれば、必要十分条件でよいのですね。 ありがとうございました😊 No.62198 - 2019/11/07(Thu) 21:29:07

★ 縦曲線の計算について / 寝屋川のムウマ

縦曲線の計算について 緩和曲線の全体の長さと緩和曲線開始位置から勾配変更点の長さをもとめたいです。 まず前提条件して緩和曲線開始位置をA、勾配変更点からの垂線と緩和曲線との交点をB、緩和曲線の終了位置をBとします。また垂線をMとします。 casioのbve用の縦曲線計算（https://keisan.casio.jp/exec/user/1342727381）の計算結果によると坂曲線の場合は曲率R800以上とR800以下では緩和曲線の長さが変わります。尚直線坂の場合はR800以上と同じです。 3.3‰m→-29.9‰は100m（曲線なし）、 -29.9‰→-2.9‰は108m（R400）、 -2.9‰→33‰は143m(R400) 33‰→-2‰は105m(曲線なし)です。 上江洲のカーブ半径Rと、下図の緩和勾配を勘案すると、 ABS(IF(OR(R>800,R=800,R=0),30*(i1-i2),40*(i1-i2)))でやると それぞれ、99.6m、108．0m、143.6m、105mで、有効値が得られました。 しかし、知人に聞くとそれは間違いだそうで、 知人に聞いたところ、atan関数というものを使い、計算式はatan(i1)+atan(i2)+曲率*2だそうです。 この時、iは％表記なので‰は1/10にしないといけません。 知人の方法でやった場合 IF(OR(R>800,R=800,R=0),ABS((ATAN(i1)+ATAN(i2))*54*2),(ABS(ATAN(i1)+ATAN(i2))*21.7*2))でやると 3.3‰m→-29.9‰は100m（曲線なし）、100.3639m -29.9‰→-2.9‰は108m（R400）、108.3453m -2.9‰→33‰は143m(R400)、70.3967m 33‰→-2‰は105m(曲線なし)→116.5499mになりました。つまり前2者は有効値ですが、後2者は有効値ではありません。 No.62191 - 2019/11/06(Wed) 19:39:17 ☆ Re: 縦曲線の計算について / 寝屋川のムウマ 画像忘れてました。 No.62192 - 2019/11/06(Wed) 20:50:49

★ (No Subject) / apple

次のように定められる3つの数列{θn}[an][bn]について考える θ1=0.θ(n+1)=θn+(π/2^n),an=sinθn,bn=cosθn (1)θn/π=→解決済み (2)a3,a4^2の値は→解決済み (3)(an)^2=ケ｛a(n+1)｝^2-コ｛a(n+1)｝^4 (3)どうやって解くのでしょうか。模範解答よろしくお願いします No.62189 - 2019/11/06(Wed) 18:40:25 ☆ Re: / X (1)の結果から a[n]=sin{{1-1/2^(n-1)}π} =sin{π/2^(n-1)} ∴{a[n+1]}^2={sin(π/2^n)}^2 ={1-cos{π/2^(n-1)}}/2 (∵)半角の公式 {a[n+1]}^4=(1/4){1-cos{π/2^(n-1)}}^2 =(1/4){1-2cos{π/2^(n-1)}+{cos{π/2^(n-1)}}^2} =(1/4){1-2cos{π/2^(n-1)}+1-{a[n]}^2} =1/2-(1/2)cos{π/2^(n-1)}-(1/4){a[n]}^2 改めて書くと {a[n+1]}^2={1-cos{π/2^(n-1)}}/2 (A) {a[n+1]}^4=1/2-(1/2)cos{π/2^(n-1)}-(1/4){a[n]}^2 (B) (A)(B)からcos{π/2^(n-1)}の項を消去します。 No.62197 - 2019/11/07(Thu) 18:37:16

★ 確率統計　岩波 / Punk
二項分布Bin(n, p)に従う母集団から、2個の標本x1,x2を無作為抽出した。母数の最尤推定量を求めよ。 上記の問題の回答が画像の[2]です。 二項定理だということは想像できるのですが、尤度関数Lの意味がよくわかりません。 nCx1 × nCx2のような形はどこから出てきたのでしょうか？ 教えていただけますか？ No.62187 - 2019/11/06(Wed) 00:34:12

★ 微分 / うい

等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす 二次関数f(x)を求めよ。 これで、 ｘ^2・（２ａｘ＋ｂ）　−　（２ｘ−１）（ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ）　−　１　＝　０ が恒等式になるそうなのですが、なぜ恒等式になるのかを教えてください。 No.62185 - 2019/11/05(Tue) 23:07:16 ☆ Re: 微分 / らすかる 関数f(x)が(x^2)f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たすということは 任意のxに対して(x^2)f´(x)-(2x-1)f(x)=1が成り立つということです。 よってf(x)=ax^2+bx+cとおくとf´(x)=2ax+bなので、代入して (x^2)(2ax+b)-(2x-1)(ax^2+bx+c)=1となり、 これが「任意のxに対して成り立つ」のですから「恒等式」です。 No.62186 - 2019/11/06(Wed) 00:10:21

★ (No Subject) / きょうりゅう
この画像の下の問17の問題をとくと sin(シーター＋π/2)＝cosシーターは sin(π/2−シーター)＝−cosシーターになると思うんですけど どうしてsin(π/2−シーター)＝cosシーターになるのですか？ No.62180 - 2019/11/05(Tue) 22:01:49 ☆ Re: / きょうりゅう き No.62181 - 2019/11/05(Tue) 22:04:51 ☆ Re: / らすかる sin(θ+π/2)=cosθ のθを-θに置き換えたら sin(π/2-θ)=-cosθ ではなく sin(π/2-θ)=cos(-θ) となりますね。 そしてcos(-θ)=cosθですから sin(π/2-θ)=cosθ となります。 No.62183 - 2019/11/05(Tue) 22:21:30

★ (No Subject) / つなかん

組み合わせの問題を作ってみたので、難易度や解いてみた感想などを頂けると嬉しいです(掲示板の趣旨にそぐわない場合は削除していただいても大丈夫です) 1〜14までの自然数をそれぞれ7個ずつの2つのグループA,Bにわける組み合わせのうち、＊を満たすものは何通りか。 ＊A,Bに含まれる数一つづつからなる被りのない7つのペアであって、すべてのペアについてBの自然数がAの自然数より大きくなるようなものが存在する No.62175 - 2019/11/05(Tue) 19:20:35 ☆ Re: / ＩＴ ０から自力で考えるなら簡単ではないですが、類題（カタラン数がらみ）をやったことがあれば、そんなに難しくはないと思います。 No.62176 - 2019/11/05(Tue) 20:17:27 ☆ Re: / つなかん ITさん、ありがとうございます！ No.62177 - 2019/11/05(Tue) 20:27:46 ☆ Re: / らすかる 同じ問題を何度も見たことがあります。 検索しても同じものは見つけられませんでしたが、 ↓これに似たような感じですよね。 https://www.fukui-ikuei.com/base/wp-content/uploads/2018/08/3c7774945e14c657d0740f4caf2713b8.pdf No.62182 - 2019/11/05(Tue) 22:20:06 ☆ Re: / つなかん シンプルな問題なので既出なのではないかと思ってはいましたが、やっぱり似たような問題ありましたね.... No.62184 - 2019/11/05(Tue) 22:37:36

★ 領域など / しょう
144のスセソタの解説をお願いします。 No.62173 - 2019/11/05(Tue) 10:36:11 ☆ Re: 領域など / ＣＯＲＮＯ 傾きｋが最大となるのは直線が点(１，６)を通るときで．このとき， 　　ｋ＝(６−１)/(１＋３) 　　　＝５/４ また，傾きｋが最小となるのは直線が点(−２，０)を通るときで．このとき， 　　ｋ＝(０−１)/(−２＋３) 　　　＝−１ したがって， 　　−１≦ｋ≦５/４ No.62174 - 2019/11/05(Tue) 15:14:07

★ 縦曲線について / 寝屋川のムウマ
縦曲線について曲線全体のacの長さの求め方とab間の長さを求める公式を教えてください。i1=0.33,i2=2.99、曲率30とする。 No.62170 - 2019/11/04(Mon) 19:16:06 ☆ Re: 縦曲線について / 寝屋川のムウマ すみません、画像忘れてました。 No.62171 - 2019/11/04(Mon) 19:16:45

★ (No Subject) / 橋
この問題で、OA1=OA+BB1とありますが、A1がどこなのか詳しく教えてください！ No.62164 - 2019/11/04(Mon) 11:54:26 ☆ Re: / ヨッシー 式の通りで、ＡからＢＢ1だけ進んだところにある点です。 No.62165 - 2019/11/04(Mon) 12:32:47

★ 必要条件の求め方 / akira

おはようございます。 [問題１]で以下の[例題１]の解答と同じ解き方で必要条件を使って答えを求めたいのですが、うまくいきません。よろしくお願いします。 [例題 1] ｘ≧ｙ≧0をみたすべてのx，yに対してax+by≧0が成り立つために，定数a，bがみたすべき条件を求めよ． [解答] ｘ＝1，y＝0のとき ax+by＝a≧0 ｘ＝1，y＝1のとき ax+by≧0 ax+by≧0かつa≧0であることが必要である。……（ア） 逆に ax+by≧0かつa≧0とする. ax+by＝a(x-y)＋(a+b)y x-y≧0，y≧0よりax+by≧0 以上から, 求める条件は ax+by≧0かつa≧0である． [問題1] すべてのｘでｘ２+ax+1≧０が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。 ［解答］ 上の問題と同じようにｘに好きな値を代入すると、 ｘ＝1を代入すると、a+2≧0つまり、a≧-2 ｘ＝2を代入すると、2a+5≧0つまり、a≧-5/2 ｘ＝3を代入すると、3a+10≧0つまり、a≧-10/3 これからa≧-2であることが必要である。……（イ） 逆にa≧-2のとき，……（ウ） （以下省略） [質問1] 例題１の（ア）と問題１の（イ）は同じ方法ですが、(ｱ)は正解の範囲ax+by≧0かつa≧0がすぐに見つかるのに、（イ）では正解の範囲-2≦a≦2が見つかりません。 見つかるときと、答えがでないときの区別はどのように判断するのですか。 [質問2] (イ)の所つまり（ウ）の前でどのようにa≧-2が誤りであると判断するのですか？ また、a≦2はどうやって見つけるのですか？ もちろん、2次関数のグラフでｘ軸と交わらないことから、判別式D＝a２−4・1・1＜0から-2≦a≦2が求まるのはわかるのですが、これを利用しないで、上の例題 1と同じやり方をする場合どうするのですか？ No.62163 - 2019/11/04(Mon) 11:25:41 ☆ Re: 必要条件の求め方 / 黄桃 最初に、例題1の解答にある ax+by≧0の多くの部分はa+b≧0の誤りですね。 その上で、このような解法は、最初から思いつくものというよりは、いろいろ考察した結果みつけた近道と考えた方がいいです。 質問１について 図形的に考察すれば、ax+by≧0というのは、原点を通る直線でxy平面を分割した一方(*)。 ｘ≧ｙ≧0　は第1象限（原点、x軸含む)のうち、y=xより下側にある部分(**)。 (**)が(*)に含まれるということは、ちょうど ax+by=0 が x-y=0 に等しいときがギリギリだと推定でき、y=x上の点 x=y=1 を代入してみよう、となるわけです。 (x=y=1 でなくても　x=y=2 でもいいわけです） 質問2について x^2+ax+1≧0 を変形して、 ax≧-x^2-1 とします。両辺をxで割ってaの範囲を決めたいと思うわけです。xの符号で場合分けして、相加相乗平均を利用すればx=±1の時が境界になるとわかります。 ここまでわかれば、次のようにできます。 x=1 の時、a≧-2, x=-1 の時 a≦2　より、-2≦a≦2 が必要。 x>0 の時 x^2+ax+1 =x(x+1/x+a) ≧x(2+a) (相加相乗平均) ≧0 (x>0, a≧-2) x=0 の時、不等式は無条件に成立 x<0の時 x^2+ax+1 =(-x)((-x)+1/(-x)-a) ≧(-x)(2-a) (相加相乗平均） ≧0 (-x>0, a≦2) より十分でもある。 なお、いつでもこのような近道がみつかるとは限りません。たまたま見つかった（それで十分性も証明できた）場合に、ああうまくいった、となるだけです。 No.62169 - 2019/11/04(Mon) 18:59:56 ☆ Re: 必要条件の求め方 / akira 「すべて成り立つときの問題」はいつも、好きな値を代入して必要条件を見つけて、十分条件を証明すれば 必ずうまくいくと勘違いしていました。たまたまうまくいっただけだったのですね。よくわかりました。 ありがとうございました。 No.62172 - 2019/11/04(Mon) 22:26:57

★ 積分 / aiko
この問題を教えてください！ よろしくお願いします！ No.62162 - 2019/11/04(Mon) 11:24:52 ☆ Re: 積分 / X (1) I[n+2]を直接I[n]で表すことを考えるので 難しくなります。 まずはI[n]をI[n+2]で表すことを考えましょう。 (I[n]に対して部分積分を使います) (2) 被積分関数が積分区間で正であることから 0≦I[n] 一方の I[n]≦1/(n+1) についてですが、0≦x≦1において (x^n)e^(-x^2)≦x^n であることを使います。 No.62168 - 2019/11/04(Mon) 17:04:44

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