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★ さいころの確率 / forex
福島大学2019年理系第1問(3)の質問です。
画像上段の問題に対して画像下段のように解答したのですが、答えでは画像中段のような解説がなされていました。
答えの解説は理解できるのですが、下段の私の解答にはどこに欠陥があるのか回答よろしくお願いします。
No.62756 - 2019/12/23(Mon) 18:33:02
☆ Re: さいころの確率 / ＩＴ
３角形にならない場合の考慮が抜けていますね。
No.62757 - 2019/12/23(Mon) 18:51:19
☆ Re: さいころの確率 / らすかる
「三角形が二等辺三角形とならないのは、a,b,cがすべて異なる場合」
と言っているということは
「a,b,cのうち少なくとも二つが同じである場合は二等辺三角形になる」
と考えているということですよね。
しかし、三辺が
(1,1,2)(1,1,3)(1,1,4)(1,1,5)(1,1,6)(2,2,4)(2,2,5)(2,2,6)(3,3,6)
とその入れ替えの計27通りでは二等辺三角形になりません。
この分も引けば、答えは合います。
No.62758 - 2019/12/23(Mon) 18:52:29
☆ Re: さいころの確率 / forex
ご回答ありがとうございます。
無事に納得することができました。
類題の経験があったので余事象で考えれば速いと思ったのですが、このような問題設定においては数え上げざるを得ないみたいですね。
ITさん、らすかるさんご回答ありがとうございました。
No.62763 - 2019/12/23(Mon) 20:35:24
☆ Re: さいころの確率 / らすかる
「数え上げざるを得ない」のは確かにそうですが、
解答では21個を数えているところ、余事象で数えれば
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,4)(2,5)(2,6)(3,6)
の9個だけ数えて引けばよく、また正三角形を場合分けする必要もないので
余事象を使う方がスマートで良いと思います。
forexさんの解答の最初の2行の後に上の9個を列挙して
1-(6P3+9×3)/6^3=23/72
でいいですね。
No.62775 - 2019/12/24(Tue) 14:05:29
★ (No Subject) / クリスマス
不等式｜2?I-3｜≦aを満たす整数xが4個であるようなaの値の範囲は

＜私の考え＞
a>0の時なら｜2?I-3|≦a⇔―a≦2x-3≦aと出来るがa≧0かどうかわからない…
だからまず絶対値の記号をはずそう

?@X≧3/2の時|2x-3|=2x-3≦a
X≦(a+3)/2
もし｜2?I-3|≦aを満たす?Iの値の中にx≧3/2を満たすものが存在するとしたら
3/2≦x≦(a+3)/2の時だからこの条件を満たす?Iが存在する条件はa>0,存在しない時はa<0

?AX<3/2の時|2x-3|=-2x+3≦a
X≧(3-a)/2

もしx＜3/2が｜2?I-3|≦aを満たす解の中に含まれているのであれば
(3-a)/2≦x≦3/2の時だからこの条件を満たす?Iが存在する条件は(3-a)/2≦3/2
つまりa≧0の時｜2?I-3|≦aの解の中の(3-a)/2≦x≦3/2,a<0の時はx<3/2を満たす?Iは存在しない。

?@?Aよりa>0の時この不等式を満たす?Iの範囲は(3-a)/2<x<(3+a)/2でありこの値の差は(3+a)/2-(3-a)/2=aでありこの間に整数が4個存在すればよいから4≦a<５である。
としたんですけど…答えが合わなくて

でそれからもう少し考えて?@?Aから少なくともa>0の時この不等式を満たす?Iの範囲の中に必ず3/2が入っているのは確実だから条件を満たす整数が4つあるとしたらその整数の組み合わせは(-1.,0,1,2)か(0,1,2,3)か(1,2,3,4)のいずれかだから
2≦(a+3)/2<3かつ—2<(a-3)/2≦-1を満たす共通のaの値の範囲は…ない
3≦(a+3)/2<4かつ-1<(a-3)/2≦0を満たす共通のaの値の範囲は…3≦a<5
4≦(a+3)/2<5かつ0<(a-3)/2≦1を満たす共通のaの値の範囲は…ない

で正しい答え出せたんだけど…もっと簡単に出せませんかね…。
?@?Aよりa>0の時この不等式を満たす?Iの範囲は(3-a)/2<x<(3+a)/2でありこの値の差は(3+a)/2-(3-a)/2=aでありこの間に整数が4個存在すればよいから4≦a<５である
じゃうまくいかないんでしょうか。うまくいかない理由かつ模範解答よろしくお願いします。
No.62753 - 2019/12/23(Mon) 16:29:06
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ
簡単かどうかの判断は任せるとして，

　　｜２ｘ−３｜≦ａ
が解をもつためには，ａ＞０であることが必要で，このとき不等式は，
　　−ａ≦２ｘ−３≦ａ
これから，
　　３/２−ａ/２≦ｘ≦３/２＋ａ/２
この区間は３/２を中心(←よい表現ではないかも…)とするから．
この区間が整数を４個含むならばそれは，０，１，２，３である．
したがって，
　　−１＜３/２−ａ/２≦０　かつ　３≦３/２＋ａ/２＜４
となり，これから，
　　３≦ａ＜５
これはａ＞０を満たしている．
No.62754 - 2019/12/23(Mon) 17:05:33
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ
>うまくいかない理由
?@，?A は，不等式が完全に解けていません．

例えば，
　　｜２ｘ−３｜≦２
を場合分けして解くとき，どうするかを考えてみてください．
No.62755 - 2019/12/23(Mon) 17:33:16
☆ Re: / クリスマス
|2x-3|≦2

?@2x-3≧0の時x≧3/2
この時|2x-3|=2x-3
よって|2x-3|=2x-3≦2
2?I≦5
x≦5/2

x≦5/2かつx≧3/2の共通部分は3/2≦x≦5/2

?A2x-3＜0の時x＜3/2
この時|2x-3|=—2x+3
よって|2x-3|=-2x+3≦2
-2?I≦-1
x≧1/2

よってx<3/2かつx≧1/2の共通部分は1/2≦x<3/2

?@?Aより1/2≦x≦5/2

|2x-3|≦aの不等式が完全に解けてないって書いてるけどよくわからないんですけど…。

2x-3が0以上か0未満かで場合分けするでしょ
だから
?@2?I-3≧0
x≧3/2の時|2x-3|=2x-3
よって|2x-3|≦a
2x-3≦a
x≦(a+3)/2≧3/2

よってx≧3/2かつx≦(a+3)/2の共通部分は
3/2≦x≦(a+3)/2

?A2?I-3<0の時x<3/2
この時|2x-3|=-2x+3より
|2x-3|=—2?I+3≦a
x≧(3−a)/2(<3/2)

x<3/2かつx≧(3-a)/2の共通部分は(3-a)/2≦x<3/2

よって?@?Aより(3-a)/2≦?I≦(3+a)/2

じゃないの？

ＣＯＲＮＯさんの −１＜３/２−ａ/２≦０　かつ　３≦３/２＋ａ/２＜４
となり，これから，
　　３≦ａ＜５
これはａ＞０を満たしている．
っていうのは分かるんですけど…(3-a)/2≦?I≦(3+a)/2
の間の差が4以上5未満になればいいんじゃないのっていう考え方はだめなの？
No.62773 - 2019/12/24(Tue) 11:22:41
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ
まず，
>|2x-3|≦aの不等式が完全に解けてないって書いてるけどよくわからないんですけど…。
についてですが，
すいませんでした．長い書き込みの中に埋没していて
>?Iの範囲は(3-a)/2<x<(3+a)/2であり
を見落としました．
ただし，イコールが落ちています．

次に，
>間の差が4以上5未満になればいいんじゃないのっていう考え方はだめなの？
ですが，これはだめです．
実際，区間の幅が３である１≦ｘ≦４には，整数が４個含まれます．
だからその方針では，
　「……間の差が３以上５未満になれば……」
が正しいと思います．
No.62776 - 2019/12/24(Tue) 14:09:31
★ センター図形 / しょう
チツテトの解説をお願いします。
No.62752 - 2019/12/23(Mon) 10:32:17
★ 高校数学 / 宅浪アルバイター
写真の問題の答えは11/90で合っているでしょうか？
No.62751 - 2019/12/23(Mon) 09:27:18
★ (No Subject) / nana
ｓを負の実数とした時、図形のような曲線Anに沿う複素積分を考える

ここで、S<０であることより、ｎを無限にして積分をすると０になるらしいのですが何故０になるのかわかりません
No.62746 - 2019/12/22(Sun) 23:30:44
★ (No Subject) / うい
（相加平均）≧（相乗平均）
なのはわかるのですが、この青で囲った-2はどこへ消えてしまったのですか？
-2がないと別の式になってしまいますよね…？
No.62744 - 2019/12/22(Sun) 23:28:20
☆ Re: / うい
つけ忘れました
No.62745 - 2019/12/22(Sun) 23:28:45
☆ Re: / らすかる
相加相乗平均を適用するのは「-2」を除いた部分なので
そこだけ先に計算して「8以上」、よって
-2を付ければ「6以上」になるということです。
No.62747 - 2019/12/23(Mon) 00:21:48
☆ Re: / うい
分母がx＋2だからx＋2で約分できるようにしたのですか？

相加相乗平均を適用するのが-2を除いた部分
というのがよくわからないです

頭が弱くて申し訳ありません…………
No.62749 - 2019/12/23(Mon) 01:21:21
☆ Re: / らすかる
> 分母がx＋2だからx＋2で約分できるようにしたのですか？
そうです。

相加相乗平均は
○+△/○
という形になっていないと使えません。
○=x+2、△=16とすれば
(x+2)+16/(x+2)
ですからこの形の式には相加相乗平均は適用できますが、
(x+2)+16/(x+2)-2
には適用できません。
（もちろんx+16/(x+2)にも適用できません。）
従って-2を除いた
(x+2)+16/(x+2)
の部分に相加相乗平均を適用して
(x+2)+16/(x+2)≧8
と算出し、その後で両辺から2を引けば
(x+2)+16/(x+2)-2≧6
となり、これは求めたかった式の形です。
よって
x+16/(x+2)=(x+2)+16/(x+2)-2≧6
とわかります。
No.62750 - 2019/12/23(Mon) 01:28:13
★ 指数法則 / うい
2^x*2^(-x)
って1であっていますか？
No.62743 - 2019/12/22(Sun) 23:08:15
☆ Re: 指数法則 / らすかる
あってます。
No.62748 - 2019/12/23(Mon) 00:22:11
★ (No Subject) / 合成関数
(1)はまじめに、代入、整理有理化を繰り返して求めるしかないのでしょうか？
No.62737 - 2019/12/22(Sun) 16:58:18
☆ Re: / ＩＴ
「有理化」とは具体的にどんな作業か分かりませんが

f[2]=(x-√3)/(√3x+1),f[3]=-1/xまで地道に計算で求めれば　f[6]=f[3](f[3]) =xと求まるのでは？

#他に何にか良い工夫があるかも知れませんが、本番では単純にやった方が、結果的に早い場合も多いです。
(工夫を否定するものではありません。）
No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29
☆ Re: / ＩＴ
一般に
f(x)=(ax+b)/(cx+d)、h(x)=(sx+t)/(ux+v) について
f(h(x))=(a(sx+t)/(ux+v)+b)/(c(sx+t)/(ux+v)+d)
=((as+bu)x+(at+bv))/((cs+du)x+(ct+dv))

ここでf(x)=(ax+b)/(cx+d)=(√3x-1)/(x+√3) とすると

f(h(x))=((√3s-u)x+√3t-v)/((s+√3u)x+t+√3v)

これを使うとf(f(x)),f(f(f(x))) などが少し機械的に計算できます。

※記入ミスや計算ミスがあるかもしれないので検算してください。
No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22
☆ Re: / ＩＴ
「有理化」とは具体的にどんな作業か分かりませんが

f[2]=(x-√3)/(√3x+1),f[3]=-1/xまで地道に計算で求めれば　f[6]=f[3](f[3]) =xと求まるのでは？

#他に何にか良い工夫があるかも知れませんが、本番では単純にやった方が、結果的に早い場合も多いです。
(工夫を否定するものではありません。）
No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29
☆ Re: / ＩＴ
一般に
f(x)=(ax+b)/(cx+d)、h(x)=(sx+t)/(ux+v) について
f(h(x))=(a(sx+t)/(ux+v)+b)/(c(sx+t)/(ux+v)+d)
=((as+bu)x+(at+bv))/((cs+du)x+(ct+dv))

ここでf(x)=(ax+b)/(cx+d)=(√3x-1)/(x+√3) とすると

f(h(x))=((√3s-u)x+√3t-v)/((s+√3u)x+t+√3v)

これを使うとf(f(x)),f(f(f(x))) などが少し機械的に計算できます。

※記入ミスや計算ミスがあるかもしれないので検算してください。
No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22
☆ Re: / ＩＴ
「有理化」とは具体的にどんな作業か分かりませんが

f[2]=(x-√3)/(√3x+1),f[3]=-1/xまで地道に計算で求めれば　f[6]=f[3](f[3]) =xと求まるのでは？

#他に何にか良い工夫があるかも知れませんが、本番では単純にやった方が、結果的に早い場合も多いです。
(工夫を否定するものではありません。）
No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29
☆ Re: / ＩＴ
一般に
f(x)=(ax+b)/(cx+d)、h(x)=(sx+t)/(ux+v) について
f(h(x))=(a(sx+t)/(ux+v)+b)/(c(sx+t)/(ux+v)+d)
=((as+bu)x+(at+bv))/((cs+du)x+(ct+dv))

ここでf(x)=(ax+b)/(cx+d)=(√3x-1)/(x+√3) とすると

f(h(x))=((√3s-u)x+√3t-v)/((s+√3u)x+t+√3v)

これを使うとf(f(x)),f(f(f(x))) などが少し機械的に計算できます。

※記入ミスや計算ミスがあるかもしれないので検算してください。
No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22
★ (No Subject) / 合成関数
(1)はまじめに、代入、整理有理化を繰り返して求めるしかないのでしょうか？
No.62737 - 2019/12/22(Sun) 16:58:18
☆ Re: / ＩＴ
「有理化」とは具体的にどんな作業か分かりませんが

f[2]=(x-√3)/(√3x+1),f[3]=-1/xまで地道に計算で求めれば　f[6]=f[3](f[3]) =xと求まるのでは？

#他に何にか良い工夫があるかも知れませんが、本番では単純にやった方が、結果的に早い場合も多いです。
(工夫を否定するものではありません。）
No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29
☆ Re: / ＩＴ
一般に
f(x)=(ax+b)/(cx+d)、h(x)=(sx+t)/(ux+v) について
f(h(x))=(a(sx+t)/(ux+v)+b)/(c(sx+t)/(ux+v)+d)
=((as+bu)x+(at+bv))/((cs+du)x+(ct+dv))

ここでf(x)=(ax+b)/(cx+d)=(√3x-1)/(x+√3) とすると

f(h(x))=((√3s-u)x+√3t-v)/((s+√3u)x+t+√3v)

これを使うとf(f(x)),f(f(f(x))) などが少し機械的に計算できます。

※記入ミスや計算ミスがあるかもしれないので検算してください。
No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22
☆ Re: / ＩＴ
「有理化」とは具体的にどんな作業か分かりませんが

f[2]=(x-√3)/(√3x+1),f[3]=-1/xまで地道に計算で求めれば　f[6]=f[3](f[3]) =xと求まるのでは？

#他に何にか良い工夫があるかも知れませんが、本番では単純にやった方が、結果的に早い場合も多いです。
(工夫を否定するものではありません。）
No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29
☆ Re: / ＩＴ
一般に
f(x)=(ax+b)/(cx+d)、h(x)=(sx+t)/(ux+v) について
f(h(x))=(a(sx+t)/(ux+v)+b)/(c(sx+t)/(ux+v)+d)
=((as+bu)x+(at+bv))/((cs+du)x+(ct+dv))

ここでf(x)=(ax+b)/(cx+d)=(√3x-1)/(x+√3) とすると

f(h(x))=((√3s-u)x+√3t-v)/((s+√3u)x+t+√3v)

これを使うとf(f(x)),f(f(f(x))) などが少し機械的に計算できます。

※記入ミスや計算ミスがあるかもしれないので検算してください。
No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22
☆ Re: / ＩＴ
「有理化」とは具体的にどんな作業か分かりませんが

f[2]=(x-√3)/(√3x+1),f[3]=-1/xまで地道に計算で求めれば　f[6]=f[3](f[3]) =xと求まるのでは？

#他に何にか良い工夫があるかも知れませんが、本番では単純にやった方が、結果的に早い場合も多いです。
(工夫を否定するものではありません。）
No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29
☆ Re: / ＩＴ
一般に
f(x)=(ax+b)/(cx+d)、h(x)=(sx+t)/(ux+v) について
f(h(x))=(a(sx+t)/(ux+v)+b)/(c(sx+t)/(ux+v)+d)
=((as+bu)x+(at+bv))/((cs+du)x+(ct+dv))

ここでf(x)=(ax+b)/(cx+d)=(√3x-1)/(x+√3) とすると

f(h(x))=((√3s-u)x+√3t-v)/((s+√3u)x+t+√3v)

これを使うとf(f(x)),f(f(f(x))) などが少し機械的に計算できます。

※記入ミスや計算ミスがあるかもしれないので検算してください。
No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22
★ (No Subject) / 合成関数
(1)はまじめに、代入、整理有理化を繰り返して求めるしかないのでしょうか？
No.62737 - 2019/12/22(Sun) 16:58:18
☆ Re: / ＩＴ
「有理化」とは具体的にどんな作業か分かりませんが

f[2]=(x-√3)/(√3x+1),f[3]=-1/xまで地道に計算で求めれば　f[6]=f[3](f[3]) =xと求まるのでは？

#他に何にか良い工夫があるかも知れませんが、本番では単純にやった方が、結果的に早い場合も多いです。
(工夫を否定するものではありません。）
No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29
☆ Re: / ＩＴ
一般に
f(x)=(ax+b)/(cx+d)、h(x)=(sx+t)/(ux+v) について
f(h(x))=(a(sx+t)/(ux+v)+b)/(c(sx+t)/(ux+v)+d)
=((as+bu)x+(at+bv))/((cs+du)x+(ct+dv))

ここでf(x)=(ax+b)/(cx+d)=(√3x-1)/(x+√3) とすると

f(h(x))=((√3s-u)x+√3t-v)/((s+√3u)x+t+√3v)

これを使うとf(f(x)),f(f(f(x))) などが少し機械的に計算できます。

※記入ミスや計算ミスがあるかもしれないので検算してください。
No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22
☆ Re: / ＩＴ
「有理化」とは具体的にどんな作業か分かりませんが

f[2]=(x-√3)/(√3x+1),f[3]=-1/xまで地道に計算で求めれば　f[6]=f[3](f[3]) =xと求まるのでは？

#他に何にか良い工夫があるかも知れませんが、本番では単純にやった方が、結果的に早い場合も多いです。
(工夫を否定するものではありません。）
No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29
☆ Re: / ＩＴ
一般に
f(x)=(ax+b)/(cx+d)、h(x)=(sx+t)/(ux+v) について
f(h(x))=(a(sx+t)/(ux+v)+b)/(c(sx+t)/(ux+v)+d)
=((as+bu)x+(at+bv))/((cs+du)x+(ct+dv))

ここでf(x)=(ax+b)/(cx+d)=(√3x-1)/(x+√3) とすると

f(h(x))=((√3s-u)x+√3t-v)/((s+√3u)x+t+√3v)

これを使うとf(f(x)),f(f(f(x))) などが少し機械的に計算できます。

※記入ミスや計算ミスがあるかもしれないので検算してください。
No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22
☆ Re: / ＩＴ
「有理化」とは具体的にどんな作業か分かりませんが

f[2]=(x-√3)/(√3x+1),f[3]=-1/xまで地道に計算で求めれば　f[6]=f[3](f[3]) =xと求まるのでは？

#他に何にか良い工夫があるかも知れませんが、本番では単純にやった方が、結果的に早い場合も多いです。
(工夫を否定するものではありません。）
No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29
☆ Re: / ＩＴ
一般に
f(x)=(ax+b)/(cx+d)、h(x)=(sx+t)/(ux+v) について
f(h(x))=(a(sx+t)/(ux+v)+b)/(c(sx+t)/(ux+v)+d)
=((as+bu)x+(at+bv))/((cs+du)x+(ct+dv))

ここでf(x)=(ax+b)/(cx+d)=(√3x-1)/(x+√3) とすると

f(h(x))=((√3s-u)x+√3t-v)/((s+√3u)x+t+√3v)

これを使うとf(f(x)),f(f(f(x))) などが少し機械的に計算できます。

※記入ミスや計算ミスがあるかもしれないので検算してください。
No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22
★ 確率 / はるか
1000人に1人、インフルエンザが発症する学校があります。インフルエンザの判定キットがあり、陽性者を間違えなく陽性と判定しますが、陰性者を5%の確率で陽性をと判定します。陽性と判断された人が、本当に陽性である確率を求めよ。
という問題です。条件付き確率で求めれば良いのですかね？方針だけでも良いのでどなたかご教授お願いします。
No.62736 - 2019/12/22(Sun) 15:57:06
☆ Re: 確率 / ＩＴ
その学校のある人が陽性と判定される確率は　
真に陽性の場合と陰性者を誤って陽性と判定する場合ですから

(1/1000)+((1000-1)/1000)*(5/100)
このうち　真に陽性なのは1/1000 です。
No.62739 - 2019/12/22(Sun) 19:39:25
★ (No Subject) / うい
1/6公式を応用してるとは思うのですが
よくわからないので
何故こうなるか教えてください。
No.62726 - 2019/12/21(Sat) 03:51:07
☆ Re: / らすかる
ここでは1/6公式は関係ありません。
(x+1)^2を積分すると(1/3)(x+1)^3、
(x-3)^2を積分すると(1/3)(x-3)^3
になります。
青枠の後半が
(1/3)(x-3)^3
でなく
(1/3)(x-3)^2
となっているのは、単なる誤記ですね。
No.62728 - 2019/12/21(Sat) 04:04:54
☆ Re: / うい
(x+1)^2を積分すると、［x^3/3+x^2+x］1 -1
になってしまうのですが
何がいけないかわかりますか……？

(1/3)(x+1)^3になる過程を詳しく教えていただけると嬉しいです。
No.62732 - 2019/12/21(Sat) 22:19:59
☆ Re: / らすかる
∫(x+1)^2dx は
t=x+1とおくとdt=dxなので
∫(x+1)^2dx
=∫t^2dt
=t^3/3+C
=(x+1)^3/3+C … (1)
となります。
∫(x+1)^2dxを展開して積分すると
x^3/3+x^2+x+Cとなりますが
(1)を展開すると
x^3/3+x^2+x+1/3+C
となり、1/3+Cを新たに積分定数とすれば
全く同じ積分結果ですね。

# 積分の仕方で定数部分が変わるのはよくあることです。
No.62733 - 2019/12/21(Sat) 23:15:51
☆ Re: / うい
置き換えるのですね！
ありがとうございます。
すっきりしました。
No.62742 - 2019/12/22(Sun) 23:07:09
★ ２点間の最短距離 / 山田
「２点間の最短距離は直線である」ことを証明するのって困難ですか？調べたところ、公理であるとか、もしくは変分法というものを用いて…などと書かれていました。

単純に、「直線AB上に任意の点Oから垂線を下ろし、その足をPとしたときにAO>AP、BO>BPとなるから、2点ABの最短は線分ABである」では証明として不十分なのでしょうか？
No.62725 - 2019/12/21(Sat) 03:24:39
☆ Re: ２点間の最短距離 / たけし
おそらく、
"直線AB上にない点Oをとおる曲線の長さ" > "線分AOの長さ" + "線分BOの長さ" > "線分ABの長さ"
をイメージしてるのでしょう。

2番目の不等号は、おっしゃる通り言えます
しかし1番目の不等号に関しては、その証明では何も言及されていないので不十分です。

この問題が本当に難しいのは、「直線」や「距離」（曲線の長さ）をどう定義するのかというところにあります。

1+1=2の証明で、1や2や足し算をどう定義するかの部分が難しいのと同じですね。

ちなみに定義の仕方は一通りではないですし、定義によってはその定理の証明は自明になったりもします。
No.62727 - 2019/12/21(Sat) 03:57:52
☆ Re: ２点間の最短距離 / 山田
なるほど。確かに「直線より短い曲線は存在しない」を言わないとダメですね。難しそうだ。
ありがとうございました。
No.62729 - 2019/12/21(Sat) 14:20:03
★ 中1数学 / すけこま
解けないので、教えてください。
No.62723 - 2019/12/20(Fri) 21:36:54
☆ Re: 中1数学 / X
(i)
まず第一式の立式について。

ポンプを空にするまでに14分かかり、
A,Bが同時に動いていたのが
1分40秒=1+40/60[分]=5/3[分]
これは長さx,yの二つの棒グラフを
長さ5/3だけ重なるように横に並べると
全体の長さが14になるのと同じことなので
二つの棒グラフの長さの和について
x+y=14+5/3
右辺を整理して
x+y=57/3

次に第二式について。
条件からTの容積を1としたとき、
Aの1分当たりのくみ出す水の体積は
1/12
一方、A,Bを同時に動かしたときに
1分当たりのくみ出す水の体積は
1/8
従って、Bの1分当たりのくみ出す水の体積は
1/8-1/12=1/24
となるので、問題のTからくみ出した水の体積について
(1/12)x+(1/24)y=1

注)
ここでは簡単のため、Tの容積を1としてありますが
気持ち悪いということなら、aと置いても第二式は
導くことができます。

Tの容積をaと置くと
Aの1分当たりのくみ出す水の体積は
a/12
一方、A,Bを同時に動かしたときに
1分当たりのくみ出す水の体積は
a/8
従って、Bの1分当たりのくみ出す水の体積は
a/8-a/12=a/24
となるので、問題のTからくみ出した水の体積について
(a/12)x+(a/24)y=a
両辺をaで割ると
(1/12)x+(1/24)y=1


(ii)
(i)の結果の連立方程式を解いてxを求め
その値から
1分40秒=1+40/60[分]=5/3[分]
を引きます。
No.62734 - 2019/12/22(Sun) 13:03:17
★ (No Subject) / P
ある長方形の縦の長さが頂点から3cmまで分かっていて、残りの辺比と縦の長さの比が2:7とき、縦の長さはどうすれば求まりますか？
No.62719 - 2019/12/20(Fri) 20:48:57
☆ Re: / P
問題文訂正:

ある長方形の縦の長さが頂点から3cmまで分かっていて、残りの辺の比と縦の長さの比が2:7のとき、縦の長さはどうすれば求まりますか？
No.62720 - 2019/12/20(Fri) 20:50:40
☆ Re: / らすかる
もし
「残りの辺の比と縦の長さの比」が
「残りの辺の長さと縦の長さの比」の間違いなら
7-2=5から
3cm：縦の長さ=5：7
これより (縦の長さ)=21/5(cm)
と求まります。

もし
「残りの辺の比と縦の長さの比」で間違いないのであれば
意味がわかりません。
No.62721 - 2019/12/20(Fri) 21:09:16
★ カタカナになっているところの数字を答える問題です / 塩昆布
3角形ABCにおいて、AB =3 BC=8 AC=7とする
辺AC上に点DをAD =3となるようにとり、3角形ABCの外接円と直前BCの交点でBと異なる物をEとする。この時、BC×CE =アイであるからCE =ウ/エである
直線ABと直線DEの交点をFとするとき、BF／AF =オカ/キであるからAF =クケ/コである
No.62717 - 2019/12/20(Fri) 19:40:55
☆ Re: カタカナになっているところの数字を答える問題です / まうゆ
問題を2行目ABCをABD,直前を直線に変えて解きます
方べきの定理からBC*CE=AD*DC=28
BC=8からCE=7/2
メネラウスの定理から
(BF*EC*DA)/(AF*BE*CD)=1
BF/AF=12/7
AF=xとおけばBF=x+3 xについて解けば
AF=x=21/5
No.62730 - 2019/12/21(Sat) 16:17:47
★ (No Subject) / キャラメル
赤い袋には赤球2個と白球1個が入っており、白い袋には赤球１個と白球１個が入っている。　最初に、サイコロ１個を投げて3の倍数が出たら白い袋を選び、それ以上の目が出たら赤い袋を選び、選んだ袋から球１個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す。ここまでの操作を一回目とする。　2回目と3回目の操作では、直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を１個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す
1.1回目の操作で赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率と白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は？
2.2回目の操作が白い袋で行われる確率は？
3.1回目の操作で白球を取り出す確率をPで表すと、2回目の操作で白球が取り出される確率は？／？＋1／3と表される　
4.3によって2回目の操作で白玉が取り出される確率は？
5.同様に考えて3回目の操作で白球が取り出される確率は？
No.62716 - 2019/12/20(Fri) 19:20:39
☆ Re: / X
1.
赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は
(1-1/3)(2/3)=4/9
白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は
(1/3)(1/2)=1/6

2.
1.の結果により2回目の操作が赤い袋で行われる確率は
4/9+1/6=11/18
∴求める確率は
1-11/18=7/18

3.
求める確率は
p・(1/2)+(1-p)(1/3)=p/6+1/3

4.
2.の結果により
p=7/18
これを3.の結果に代入して求める確率は
(1/6)(7/18)+1/3=43/108

5.
3.、4.の結果により求める確率は
(1/6)(43/108)+1/3=259/648
No.62718 - 2019/12/20(Fri) 20:02:06
★ (No Subject) / トナカイ
数学IAの問題です

半径Rの円を3個互いに接するように並べてできる図形をCとする。

1 Cの外接円の半径をRcとするとRc={(モ+ラ√リ)R]/ル
答…｛(3+2√3)R｝/3

2　Cに概説する長方形の縦の辺の長さをLv,横の辺の長さをLHとする。図2Aの配置ではLv＜LHである。次に図2Bのように長方形んぼ向きを固定し適当に取った点O(例えばどれか一つの円の中心）を中心としてCを時計回りに回転する。図2Aと2Bの間の相対的なCの回転角をθとするとθ=レロ(15)の時Lv=LHとなる。この時の概説正方形の辺の長さをLS（Lv=LH)とすると
Ls=（あ+√い+√う）R/え　　答え…｛4+√2+√6｝R/2となる

３　半径R1の球（S1）を3個互いに接するようにして水平上に置く。これら3個の球に接するようして半径R2の球(S2)を乗せ図3の立体を作る。図3の水平面からS2の最上部までの高さをHとすればR1=1,R2=7/6のときH=お（４）となる。

模範解答がなくてよくわかりません。模範解答(数学I,Aの知識内で）よろしくお願いします。また数IIの知識を使ったらもっと簡単に出せるのであればそのやり方も教えてください。よろしくお願いします。
No.62713 - 2019/12/20(Fri) 17:31:35
★ (No Subject) / 数学苦手
31^2019を11で割った時の余りを次のようにして求めた。
31^1,31^2,31^3,31^4,31^5を11で割った余りはそれぞれ9,4,3,51となる。さらに31^(m+n)を11で割った余りは31^mと31^nをそれぞれ11で割った余りをかけた値をさらに11で割った余りはそれぞれいくらか(1,5)

一応答えはあったのですがやり方があっているのか余り自信がないので模範解答を書いてもらえないでしょうか。よろしくお願いします
No.62712 - 2019/12/20(Fri) 15:32:21
☆ Re: / トナカイ
31^(5+5)を11で割った余りは31^5を11で割った余りが1より
(1×1)÷11=0…1より1

31^(10+5)を11で割った余りは31^10を11で割った余りが1,31^5で割った余りが1より1×1÷11≒0…1
より31^5+5+5+…をこのまま続けても上と同じことの繰り返しなので31^5ℓを11で割った余りは1

2019=5×403+4より
31^2019=31^(5×403+4)

31^5×403を11で割った余りは31^5ℓを11で割った余りが１より1.31^4で割った余りは5。よって1×5÷11=0…5

よって余りは5
No.62722 - 2019/12/20(Fri) 21:31:07
☆ Re: / GandB
　合同式を使う。模範解答ではない。

　　31^2019 = (31^2010)(31^9) = ( (31^10)^201 )(31^9)

　n と p が互いに素であるとき
　　n^(p-1)≡1 (mod p)
が成り立つ（フェルマーの小定理）。
　31 と 11 は互いに素であるから
　　31^10≡1　　　　　　　　　　　　　　 (mod 11)
　　(31^10)^201 = 31^2010≡1　　　　　　 (mod 11)
　　(31^2010)(31^9)≡31^9　　　　　　　　(mod 11)
　　31 = 3*11 - 2≡-2　　　　　　　　　　(mod 11)
　　31^9≡(-2)^9 = ( (-2)^3 )^3 = (-8)^3 (mod 11)
　　-8 = -1*11 + 3≡3　　　　　　　　　　(mod 11)
　　(-8)^3≡3^3≡27≡5　　　　　　　　　 (mod 11)

　　∴31^2019≡5　　　　　　　　　　　　 (mod 11)
No.62724 - 2019/12/21(Sat) 01:14:08
★ (No Subject) / バナナ
aを実数の定数とする。4次関数y=x^4-19(x^2)+14-aについて次の問いに答えよ

この関数のグラフがx軸と異なる4つの共有点を持つときx軸とこの関数のグラフとで囲まれた部分とx軸より上にある部分の面積の和をA, x軸より下になる部分の面積の和をBとする。この時A=Bとなるaの値は　(答えa=1/9)

回答のみで模範解答がなくて困っています。問題の解き方教えてください。よろしくお願いします。
No.62711 - 2019/12/20(Fri) 14:01:44
☆ Re: / X
方針を。

xの方程式
x^4-19x^2+14-a=0 (A)
をx^2の二次方程式として解いたときの解を
u,vとすると題意を満たすためには
0＜u,0＜v,u≠v
ここから(A)をxの方程式と見たときの解を
α,β,-α,-β
(ただし0＜α＜β (B))
と置くと、
A=-∫[-β→-α](x^4-19x^2+14-a)dx-∫[α→β](x^4-19x^2+14-a)dx (E)
B=∫[-α→α](x^4-19x^2+14-a)dx (F)
更に条件から
A=B (G)
(E)(F)より
A=-2∫[α→β](x^4-19x^2+14-a)dx (E)'
B=2∫[0→α](x^4-19x^2+14-a)dx (F)'
これらを(G)に代入して整理をすると
∫[0→β](x^4-19x^2+14-a)dx=0
(1/5)β^5-(19/3)β^3+(14-a)β=0
(B)よりβ≠0ゆえ
(1/5)β^4-(19/3)β^2+14-a=0 (H)
ここで(A)より
β^4-19β^2+14-a=0 (I)
(H)(I)をβ,aについての連立方程式
として解きます。(まずはaを消去します)

ですがこちらの計算では
a=1/9
とはなりませんでした。
(問題文にタイプミスはありませんか？)
No.62714 - 2019/12/20(Fri) 19:08:50
☆ Re: / トナカイ
やっぱりa=1/9ですよ
No.62731 - 2019/12/21(Sat) 18:34:07
☆ Re: / X
では答えではなくて問題文の方にもタイプミスはありませんか？
No.62735 - 2019/12/22(Sun) 13:22:53
☆ Re: / らすかる
y=x^4-19(x^2)+14-a じゃなくて
y=x^4-10(x^2)+14-a とか？
No.62740 - 2019/12/22(Sun) 22:17:05
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