集合E={2,4,6,8,10,12...}
において、2以上の偶数を2以上の偶数の積に分解するとき、分解できない数を偶数世界の* 素数’ *
と表す。
(1)Eの 素数’ はどのように表されるか。ただし必要ならば自然数kを用いてよい。
(2) 2012 の 約数’ の個数を求めよ。
(ただし、約数’∈Eをみたす。)
(3)Eに、属する数で、 素因数’分解が2通りできるもののうち7番目に大きい数を求めよ。
(4)Eに、属する数で、素因数’分解が3通り以上できる数はあるか。
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No.62556 - 2019/12/06(Fri) 20:07:47
| ☆ Re: (1)の答えは 2*(2k+1)であっていますか？また、これはどのように示せばよいのですか？もしよければ(2)~も教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。 / らすかる | | | (1)
自然数kは(高校範囲では)1以上ですから、2*(2k+1)だと2が素数’にならず不適です。
2*(2k-1)とするべきですね。
(2)
2012=2^2×503で503は素数なので、約数’は2と2×503の2個です。
(3)
「2通り」は「ちょうど2通り」、「7番目に大きい」は「7番目に小さい」と
解釈します。
2^kの分解は2×2×…×2の1通りです。
(2^k)p（pは奇素数）の分解は
2×2×…×2×2pの1通りです。
(2^k)pq（p,qは奇素数でk≧2）という数は
2×2×…×2×2pq と 2×2×…×2×2p×2qの2通りに分解できます。
これはp=qの場合も同じです。
(2^k)pqr（p,q,rは奇素数）という数も同様に
p,q,rの分け方で決まりますから、k=2のとき4通り、k≧3のとき5通りです。
ただしp,q,rのうち二つが同じである場合は3通り/4通り、三つとも
同じである場合は2通り/3通りです。
以降奇素数が増えれば分解の仕方も増えていきます。
従って「素因数’分解がちょうど2通り」であるものは
(2^k)p^2（k≧2）, (2^k)pq（k≧2）, (2^2)p^3
これに該当する数は小さい順に
4*3*3=36=2×18=6×6
4*3*5=60=2×30=6×10
8*3*3=72=2×2×18=2×6×6
4*3*7=84=2×42=6×14
4*5*5=100=2×50=10×10
4*3*3*3=108=2×54=6×18
8*3*5=120=2×2×30=2×6×10
となりますので、7番目に小さい数は120です。
(4)
例えば(2^2)p^(2k-1)（pは奇素数）はk通りに分解できますので、何通りでもあり得ます。
# よく考えたつもりですが、全体的に考え落としがありそうで自信がありません。
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No.62557 - 2019/12/06(Fri) 21:02:20 |
| ☆ Re: (1)の答えは 2*(2k+1)であっていますか？また、これはどのように示せばよいのですか？もしよければ(2)~も教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。 / 大学受験生 | | | らすかる さん 解答ありがとうございます。
(4)ですが、たしかに360などは 3通りに素因数分解できました。
素因数分解の一意性が成り立たないのは面白いですね
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No.62586 - 2019/12/08(Sun) 20:41:29 |
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