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★ (No Subject) / セレクト
(1)n(n-1)/2
(2)n(n-1)(n-2)(3n-5)/24
(3)2^(n-1)-1
(4)S[n+1](k)=S[n](k-1)+kS[n](k)

なのですが、プロセスが分かりません。
No.61522 - 2019/09/26(Thu) 09:30:24
☆ Re: / らすかる
(1)
1〜nの数字をn-1個の空でない部分に分割するということは、
n-1個のうちどれか1個に数字が2個入り、残りの数字は単独です。
従って分割する方法の数はn個の数字から2個選ぶ組合せですから、
S[n](n-1)=nC2=n(n-1)/2となります。

(2)
1〜nの数字をn-2個の空でない部分に分割するということは、
n-2個のうちどれか1個に数字が3個入り、残りの数字が単独であるか、
もしくはn-2個のうちのどれか2個に数字が2個ずつ入り、残りの数字が
単独であるかのいずれかです。
前者はnC3=n(n-1)(n-2)/6通り
後者は{nC2×(n-2)C2}/2=n(n-1)(n-2)(n-3)/8通り
従って
S[n](n-2)=n(n-1)(n-2)/6+n(n-1)(n-2)(n-3)/8
={n(n-1)(n-2)/24}{4+3(n-3)}
=n(n-1)(n-2)(3n-5)/24
となります。

(3)
1〜nの数字を2個の空でない部分に分割するということは、
n個の数字を2グループに分ける方法なので
グループに区別があるとき2^n-2通り、
よって区別がなければ
S[n](2)=(2^n-2)/2=2^(n-1)-1
となります。

(4)
1〜n+1の数字をk個の空でない部分に分割するとき、
n+1という数字がどこに入っているか考えると、
n+1が単独のときはそれを除けば1〜nがk-1個の空でない部分に
分割されている状態になるのでS[n](k-1)通り
n+1が他の数字と一緒のときは1〜nがk個の空でない部分に
分割されている状態からkグループのどれかにn+1を追加した
状態なのでkS[n](k)通り
従って合わせて
S[n+1](k)=S[n](k-1)+kS[n](k)
となります。
No.61526 - 2019/09/26(Thu) 10:17:34
★ 息子の算数 / ブンタの父
小学1年の息子が足し算で、10+3を息子の頭の中では、6+4+3みたいに計算するみたいです。

親的には、数学が得意とかではないので、もしかすると、こんな計算のやり方は、実は深かったりするのでしょうか？それとも、10は10って教えたほうが良いのか、数学的な答えをお願いします。
No.61514 - 2019/09/25(Wed) 23:36:15
☆ Re: 息子の算数 / ヨッシー
他の場合、たとえば 10＋8 はどうしているのかなど、もう少し詳しく聞いてみる必要はあると思います。

これだけの情報では、「意味の無い分解」と思えてしまいますし、むしろ、「本当に頭の中でそうしているの？」とさえ思えてしまいます。

6＋7 を 6＋4＋3 とすることには、大いに意味があります。
No.61515 - 2019/09/26(Thu) 05:56:38
☆ Re: 息子の算数 / ＩＴ
なぜ、そうしているのか聞いて　まちがいを直してあげた方がいいとおもいます。
No.61517 - 2019/09/26(Thu) 07:35:45
☆ Re: 息子の算数 / ブンタの父
ヨッシーさん ITさんこんな変な疑問に、親切にご返答頂きありがとうございます。

今日、やっぱり息子に聞いたら、10+3のやり方が、10は、5+5だから、5+3=8 8+5=13みたいです。
数字遊びをしてるのか、答えがあってるから、まぁいいかと思ってます。
数学的には、特に深く無いのですね。
ありがとうございます
No.61527 - 2019/09/26(Thu) 16:42:25
☆ Re: 息子の算数 / ＩＴ
柔軟な発想は大切ですし、遠回りになっていますが、「まちがい」ではないので　いいかも知れませんね。　
No.61531 - 2019/09/26(Thu) 18:26:26
★ おそらく帰納法です。 / セレクト
おそらく帰納法の問題ですが、どうやるか
分からないので、教えてください。
No.61508 - 2019/09/25(Wed) 17:52:32
☆ Re: おそらく帰納法です。 / らすかる
n=1のときp[1](x)=x, q[1](x)=1で与式が成り立つ。
n=kのときsinkθ=p[k](tanθ)(cosθ)^k, coskθ=q[k](tanθ)(cosθ)^kが成り立つとすると
sin(k+1)θ=sinkθcosθ+coskθsinθ
=sinkθcosθ+coskθtanθcosθ
=(sinkθ+coskθtanθ)cosθ
={p[k](tanθ)(cosθ)^k+q[k](tanθ)(cosθ)^k・tanθ}cosθ
={p[k](tanθ)+q[k](tanθ)・tanθ}(cosθ)^(k+1)
cos(k+1)θ=coskθcosθ+sinkθsinθ
=coskθcosθ+sinkθtanθcosθ
=(coskθ+sinkθtanθ)cosθ
={q[k](tanθ)(cosθ)^k+p[k](tanθ)(cosθ)^k・tanθ}cosθ
={q[k](tanθ)+p[k](tanθ)・tanθ}(cosθ)^(k+1)
なので
p[k+1](x)=p[k](x)+q[k](x)・x
q[k+1](x)=q[k](x)+p[k](x)・x
とすればn=k+1のときも成り立つ。
No.61510 - 2019/09/25(Wed) 18:16:03
☆ Re: おそらく帰納法です。 / セレクト
ありがとうございました!!
No.61530 - 2019/09/26(Thu) 18:00:09
★ 関数の列 / ポム
未修の分野で分かりません。お願いします。
No.61502 - 2019/09/25(Wed) 06:18:23
☆ Re: 関数の列 / らすかる
Σ[k=1〜n](k+2)(cost)^(k+1)-k(cost)^(k-1)
=Σ[k=1〜n](k+2)(cost)^(k+1)
　-Σ[k=1〜n]k(cost)^(k-1)
=Σ[k=3〜n+2]k(cost)^(k-1)
　-Σ[k=1〜n]k(cost)^(k-1)
=(n+2)(cost)^(n+1)+(n+1)(cost)^n-2cost-1
なので
f[n](x)=∫[0〜x]{Σ[k=1〜n](k+2)(cost)^(k+1)-k(cost)^(k-1)}sintdt
=∫[0〜x]{(n+2)(cost)^(n+1)+(n+1)(cost)^n-2cost-1}sintdt
=-∫[1〜cosx]{(n+2)u^(n+1)+(n+1)u^n-2u-1}du　（cost=uとおいた）
=-[u^(n+2)+u^(n+1)-u^2-u][1〜cosx]
=-{(cosx)^(n+2)+(cosx)^(n+1)-(cosx)^2-cosx}
={1-(cosx)^n}(1+cosx)cosx
x=2nπのときcosx=1なのでf[n](x)=0
x=(2n+1)πのときcosx=-1なのでf[n](x)=0
それ以外のとき|cosx|＜1なのでlim[n→∞](cosx)^n=0
よって
lim[n→∞]f[n](x)=
0　（x=nπのとき）
(1+cosx)cosx　（それ以外のとき）

lim[x→2π]{f(x)-f(2π)}
=lim[x→2π]f(x)
={1+cos(2π)}cos(2π)
=2

# 計算はご確認下さい。
No.61504 - 2019/09/25(Wed) 12:35:57
★ 大小関係 / kitano
kitano です、名古屋大学 理系 過去問

宜しく御願いします。

問題

https://imgur.com/a/HB6hu2o

何卒、宜しく御願い致します。
kitano
No.61500 - 2019/09/25(Wed) 06:09:55
☆ Re: 大小関係 / らすかる
例えばa=1,b=2のとき
(a^3+b^3)/2=9/2
{(a+b)/2}^3=27/8
9/2＞27/8
なので
(a^3+b^3)/2＜{(a+b)/2}^3
は成り立ちません。
従って問題不備で解答不可能です。
No.61503 - 2019/09/25(Wed) 12:12:11
☆ Re: 大小関係 / kitano
らすかる様

大変申し訳ありません、問題ミスでした。

正しくは

https://imgur.com/a/q7GPUQX

になります。

何卒、宜しく御願い致します。

kitano
No.61505 - 2019/09/25(Wed) 13:01:54
☆ Re: 大小関係 / らすかる
([3]√12/12)^3=1/144＜1/125=(1/5)^3なので[3]√12/12＜1/5
よってa=[3]√12-[3]√12/12, b=2+1/5とすると
a+b=[3]√12+2+(1/5-[3]√12/12)＞[3]√12+2
このa,bを与不等式の左辺に代入すると
(a^3+b^3)/2={([3]√12-[3]√12/12)^3+(2+1/5)^3}/2
=(1331/144+1331/125)/2=1331(1/144+1/125)/2
=358039/36000＜10
なので
10＞(a^3+b^3)/2≧{(a+b)/2}^3＞{([3]√12+2)/2}^3={[3]√(3/2)+1}^3
∴[3]√10＞[3]√(3/2)+1

# もう少し良い解き方がありそうな気がします。
No.61506 - 2019/09/25(Wed) 15:43:38
☆ Re: 大小関係 / ＩＴ
(a^3+b^3)/2＞{(a+b)/2}^3　（等号なし）　を使ってなら、ストレートで[3]√10＞[3]√(3/2)+1が示せますね。
No.61512 - 2019/09/25(Wed) 20:35:36
☆ Re: 大小関係 / らすかる
最後の「但し、a=[3]√(3/2),b=1での解法は除く」がない場合は、
そのようにストレートに示して[3]√10≠[3]√(3/2)+1であることを
別に示すのが簡単そうですね。
No.61513 - 2019/09/25(Wed) 22:00:42
☆ Re: 大小関係 / ＩＴ
解法制限がありましたね。
いつの　名古屋大学 理系 過去問　か分かりませんが、意味不明の解法制限ですね。
No.61516 - 2019/09/26(Thu) 07:28:53
☆ Re: 大小関係 / kitano
らすかる様、

ご返信頂き有難うございます。

一つ質問なのですが、

回答の　始め

>([3]√12/12)^3

12 を持ち出せた(持ち出した)理由を教えて下さい

何卒、宜しく御願い致します

kitano
No.61518 - 2019/09/26(Thu) 07:49:37
☆ Re: 大小関係 / らすかる
どちらの12ですか？
No.61519 - 2019/09/26(Thu) 09:06:02
☆ Re: 大小関係 / kitano
らすかる様

何度も申し訳ありません

>([3]√12/12)^3　の


√12　の12 です。

何卒宜しく御願い致します

kitano
No.61520 - 2019/09/26(Thu) 09:28:44
☆ Re: 大小関係 / らすかる
[3]√(3/2)+1を2倍すると[3]√12+2なので12が出てきますね。
No.61524 - 2019/09/26(Thu) 09:44:23
☆ Re: 大小関係 / らすかる
多少ましな解法を思い付きました。

[3]√10 と [3]√(3/2)+1 の大小関係は双方を2倍して3乗しても変わらない。
(2[3]√10)^3=80
{2([3]√(3/2)+1)}^3=([3]√12+2)^3=20+12[3]√18+12[3]√12
80 と 20+12[3]√18+12[3]√12 の大小関係は双方から20を引いて12で割っても変わらない。
(80-20)÷12=5
(20+12[3]√18+12[3]√12-20)÷12=[3]√18+[3]√12
よって
「5と[3]√18+[3]√12の大小関係」＝「[3]√10と[3]√(3/2)+1の大小関係」。
与不等式の両辺を8倍して
4(a^3+b^3)≧(a+b)^3
a=[3]√18,b=[3]√12を代入すると
120≧([3]√18+[3]√12)^3
125＞([3]√18+[3]√12)^3
5＞[3]√18+[3]√12
となるので[3]√10の方が大きい。
No.61525 - 2019/09/26(Thu) 09:56:16
☆ Re: 大小関係 / kitano
らすかる様

早速のご返信にすぐに出来ませんでしたこと

申し訳ありません。

今から、じっくり頂いた回答を理解するつもりです。

何卒宜しく御願い致します。

kitano
No.61538 - 2019/09/27(Fri) 02:13:13
☆ Re: 大小関係 / kitano
らすかる様

今回も本当に有難うございました

別解　感動しました。

尊敬いたします


本当に有難う御座いました

kitano
No.61539 - 2019/09/27(Fri) 04:17:36
★ 積分 / あつ
写真のシャーペンで、下線引いてるところなんですが、
これは1/2n＋3から逆算するのですか？
No.61497 - 2019/09/24(Tue) 22:57:54
☆ Re: 積分 / らすかる
上の行のx^(2n+2)/(1+x^2)は
x=0のとき(分子)=0,(分母)=1
0＜x≦1のとき(分子)＞0,(分母)＞1
なので、分母を消すと積分結果は大きくなりますね。
ただそれだけのことです。
No.61499 - 2019/09/24(Tue) 23:54:14
★ 積分 / あつ
写真のシャーペンで下線引いてるところなんですが、
区間には等号ついてるのに、積分したときは等号付けなくてもいいんですか？
No.61496 - 2019/09/24(Tue) 22:45:51
☆ Re: 積分 / らすかる
区間の端で「＝」であっても、
区間の端以外でずっと「＜」ならば
積分結果は「＜」になりますね。

例えばf(x)=-x^2+x+1, g(x)=1のとき
f(x)は(0,1)と(1,1)を通る上に凸な放物線で
g(x)は(0,1)と(1,1)を通る直線なので
0≦x≦1でg(x)≦f(x)ですね。
このときg(x)=f(x)となるのはx=0,1なので
0＜x＜1でg(x)＜f(x)も成り立ちますよね。
よって0≦x≦1で積分すれば
∫[0〜1]g(x)＜∫[0〜1]f(x)
となり、「＝」は付きませんね。
No.61498 - 2019/09/24(Tue) 23:49:25
★ 証明問題 / Qちゃん
m、nは自然数で、m＜nとする。

2⌒m-1と2⌒n-1が互いに素でないならば、m、nも互いに素でないことを証明せよ。

よろしくお願いします。
No.61492 - 2019/09/23(Mon) 20:05:42
☆ Re: 証明問題 / ヨッシー
2^m−1 と 2^n−1 ですね？

2^m−1 と 2^n−1 はともに奇数なので、2^m−1 と 2^n−1 が互いに素でないとは、
2^m−1 と 2^n−1 が、３以上の奇数の約数を持つことを意味します。

(※)
ｍとｎが互いに素であるとします。
　2^m−1 と 2^n−1　がともに、３以上の奇数ｋの倍数であるとすると、
　2^m−1＝ｋｓ　・・・(i)
　2^n−1＝ｋｔ　・・・(ii)　（ｓ、ｔは自然数）
と書け、(ii)から(i)を引くと
　2^n−2^m＝2^m(2^(n-m)−1)＝ｋ（ｔ−ｓ）
となり、2^m は偶数なので、2^(n-m)−1 がｋの倍数となります。つまり、
　2^(n-m)−1＝ｋｕ　・・・(iii)　（ｕは自然数）
ここで、n-m＞m であれば、(i) と (iii) より
　2^(n-2m)−1＝ｋｖ　（ｖは自然数）
となり、これを繰り返すと、ｎをｍで割った余りｒについて、
　2^r−1 がｋの倍数となります。
ここで、ｍをｎ、ｒをｍに置き換えて、最初の仮定（※の部分）に戻ると、
この操作は、ユークリッドの互除法と同じなので、有限回でｒは１になり、
　2^1−1＝1 がｋの倍数
となり矛盾します。

よって、2^m−1 と 2^n−1　は互いに素となり、背理法により、
与えられた命題は証明されました。
No.61493 - 2019/09/24(Tue) 06:45:08
☆ Re: 証明問題 / らすかる
前半部分は、n=mp+r（p,rは自然数で1≦r＜m）とおいて
2^n-1=2^(mp+r)-1=(2^r){2^(mp)-1}+(2^r-1)
=(2^r)(2^m-1){2^(mp-m)+2^(mp-2m)+…+1}+(2^r-1)
という式変形から言うこともできますね。
No.61494 - 2019/09/24(Tue) 07:44:19
☆ Re: 証明問題 / Qちゃん
すみません、ヨッシー様の『ここで、mをnに、rをmに置き換えて…』以降がよくわからないです。mはnより小さいのに、なぜ、mをnに置き換えられるのですか？
No.61507 - 2019/09/25(Wed) 17:30:04
☆ Re: 証明問題 / ヨッシー
代入し直すことを置き換えると言っています。

2^n−1 と 2^m−1 がｋの倍数　→　2^r−1 がｋの倍数　・・・(*)
というのが途中で出てきます。
これは、ｎ＞ｍであれば、どんなｍやｎでも成り立ちます。

これを最初　ｎ＝１３，ｍ＝８ で調べ始めたとすると
　2^13−1 と 2^8−1 がｋの倍数　→　2^5−1 がｋの倍数
次に　ｎ＝８、ｍ＝５　で調べると
　2^8−1 と 2^5−1 がｋの倍数　→　2^3−1 がｋの倍数
ここの所で、もともとｍだった８をｎに、ｒだった５をｍに
それぞれ置き換えて　(*) を再び調べています。以下、
　2^5−1 と 2^3−1 がｋの倍数　→　2^2−1 がｋの倍数
　2^3−1 と 2^2−1 がｋの倍数　→　2^1−1 がｋの倍数
となり、矛盾を導いています。

上記の「ｎ＞ｍであれば、どんなｍやｎでも成り立ちます。」が、置き換えられる理由です。
No.61511 - 2019/09/25(Wed) 18:37:57
★ (No Subject) / 鎖
点A(1, 0, 0) と B(0, 2, 1) を結ぶ線分をy軸のまわりに回転して得られる曲面とy=0, y=2とで囲まれる立体の体積を求めよ.

数3の問題です。

よろしくおねがいします。
No.61490 - 2019/09/23(Mon) 19:36:12
☆ Re: / らすかる
直線ABをt=yの媒介変数表示にすると(1-t/2,t,t/2)なので
(0,t,0)までの距離は√{(1-t/2)^2+(t/2)^2}=√(1-t+t^2/2)
従って求める体積は π∫[0〜2](1-t+t^2/2)dt = (4/3)π
No.61491 - 2019/09/23(Mon) 19:52:44
☆ Re: / 鎖
ラスカルさんありがとうございました。

助かりました。
No.61495 - 2019/09/24(Tue) 21:10:03
★ (No Subject) / ワーム
a^2(t^2+2t-4)+4b(t-1)a+3b^2=0が
任意の実数a.bで成り立つようなtの範囲


はどのように求めれば良いでしょうか？

どなたか教えてください
No.61485 - 2019/09/23(Mon) 16:25:02
☆ Re: / らすかる
a=0,b=1のときにtにかかわらず成り立ちませんので、
そのようなtは存在しません。
No.61488 - 2019/09/23(Mon) 16:58:41
★ (No Subject) / まーるん
このはてなの部分だけで構わないのですが、なぜこのtの範囲になるのでしょうか？0<t<1/3ではないのですか？
No.61483 - 2019/09/23(Mon) 16:03:39
☆ Re: / らすかる
もし「t＜3」かつ「t＜2」だったら2の方が小さいので「t＜2」となりますよね？
それと同じで、(7-4√3)/3の方が1/3より小さいので1/3にはなりません。
No.61487 - 2019/09/23(Mon) 16:55:42
★ 回転数 / ツルミン
20.87rpmの回転数を2%下げる、また2%上げる計算式を教えて下さいませんでしょうか。
No.61479 - 2019/09/23(Mon) 14:51:27
☆ Re: 回転数 / らすかる
2%下げる→0.98を掛ける
2%上げる→1.02を掛ける
No.61480 - 2019/09/23(Mon) 15:07:30
☆ Re: 回転数 / ツルミン
早速ご回答いただき、ありがとうございます。雑な質問の仕方ですみませんでした。よくわかりました。
No.61481 - 2019/09/23(Mon) 15:29:17
★ (No Subject) / まーるん
この23(2)の解説が右の部分なのですが、はてなしてあるところがわかりません。
No.61477 - 2019/09/23(Mon) 14:24:31
☆ Re: / らすかる
PHの長さが最大となるのは、PHが円の中心Oを通るときです。
このときPHはABの垂直二等分線ですから、
△PABはPA=PBの二等辺三角形になります。
No.61478 - 2019/09/23(Mon) 14:48:51
☆ Re: / まーるん
三角形PAHと三角形PBHはなぜ合同ではないのですか？
No.61482 - 2019/09/23(Mon) 16:02:38
☆ Re: / らすかる
「合同ではない」とどこかに書いてあったのですか？
No.61486 - 2019/09/23(Mon) 16:52:21
★ (No Subject) / まーるん
この(2)で、はてなのところがわかりません！なぜ和が180度なのですか？
No.61473 - 2019/09/23(Mon) 09:58:52
☆ Re: / らすかる
ADの延長上に適当に点Pをとると
AE//DCなので∠DAE=∠PDC
よって∠DAE+∠ADC=∠PDC+∠ADC=180°
No.61474 - 2019/09/23(Mon) 10:46:09
★ 質問お願いします。 / しょう
180のエオカについてです。交点のx座標を求める際の計算の仕方を教えて欲しいです！よろしくお願いします！
No.61472 - 2019/09/23(Mon) 09:47:45
☆ Re: 質問お願いします。 / らすかる
log[3](2x+3)=(1/2)(x+1)
2log[3](2x+3)=x+1
log[3]{(2x+3)^2}=x+1
3^(x+1)=(2x+3)^2
h(x)=3^(x+1)-(2x+3)^2とおくと
h(-1)=0
h(0)=-6
h(1)=-16
h(2)=-22
h(3)=0
上に凸のグラフと直線なので
交点は多くても2個
従って交点のx座標はx=-1,3
No.61475 - 2019/09/23(Mon) 10:54:31
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
h(-1)=0
h(0)=-6
h(1)=-16
h(2)=-22
h(3)=0
上に凸のグラフと直線なので
交点は多くても2個
従って交点のx座標はx=-1,3

の処理の解説をもう少し詳しく教えていただけないでしょうか？
No.61532 - 2019/09/26(Thu) 18:32:51
☆ Re: 質問お願いします。 / らすかる
交点のx座標はh(x)=3^(x+1)-(2x+3)^2=0を解くわけですが
これは普通には解けませんので、まずh(x)がxの変化に従って
どのような値をとるかを調べます。
とりあえず整数以外は計算しにくいので整数を代入してみることにすると
3^(x+1)はx＜-1のとき整数になりませんのでx≧-1で考えます。
それで順に-1,0,1,2,3を代入して値を求めてみると、
たまたまh(-1)=h(3)=0となり、元の式から解は多くても2個なので
x=-1,3が全解と確定します。
No.61533 - 2019/09/26(Thu) 19:44:26
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
なるほど！普通に処理できない式だったのですね！ありがとうございました！
No.61546 - 2019/09/27(Fri) 16:46:08
★ (No Subject) / 高校2年
数学2の奇跡の問題なのですが、赤線部分の矢印はどう言う意味なのでしょうか、また青の線の和集合のところが成り立つとどうしてその跡が成り立つのかが理解できません、解説出来る方よろしくお願いします🥺
No.61470 - 2019/09/22(Sun) 22:23:23
☆ Re: / らすかる
「⇒」の意味は「ならば」です。
A⊂Bが成り立つということは
Aの内部の点は必ずBの内部の点である
ということですね。
「(x,y)はAの内部の点」を式で表すとx^2+y^2＜y
「(x,y)はBの内部の点」を式で表すとx^2+y^2＜1
よって
「Aの内部の点は必ずBの内部の点である」を式で表すと
「x^2+y^2＜yが成り立つとき、x^2+y^2＜1も成り立つ」
すなわち
x^2+y^2＜y ⇒ x^2+y^2＜1
となります。
No.61476 - 2019/09/23(Mon) 10:57:59
★ (No Subject) / 大小
log[e]2と3/4の大小を教えてください

用いて良い条件は、2<e<3です
No.61468 - 2019/09/22(Sun) 20:02:44
☆ Re: / らすかる
その条件だけでは求まりません。
e=2.9とするとlog[e]2＜3/4
e=2.1とするとlog[e]2＞3/4
です。
No.61469 - 2019/09/22(Sun) 20:16:38
☆ Re: / らすかる
求まらないことをきちんと示すと
2^3＜9＜26＜3^3から
2＜[3]√9＜[3]√26＜3
e=[3]√9とするとe^3=9なので
2^4＞e^3
2＞e^(3/4)
∴log[e]2＞3/4
e=[3]√26とするとe^3=26なので
2^4＜e^3
2＜e^(3/4)
∴log[e]2＜3/4
従って2＜e＜3という条件では
log[e]2と3/4の大小関係は定まらない。
No.61471 - 2019/09/23(Mon) 09:38:52
★ 最大値と最小値 / kitano
数学の問題について。

x,yが、x^2+2y^2≦8
x^2−y^2≧2
x＞0
を満たして変化するとき、z＝x+yの最大値、最小値を求めよ。

丸投げで申し訳ありません。私の考え方は後ほどupします


※　まず、正解からお伺いしたいです。

何卒、宜しく御願い致します

KITANO
No.61461 - 2019/09/22(Sun) 10:45:36
☆ Re: 最大値と最小値 / X
方針を。
問題の不等式を満たす領域を図示し、その中に
z=x+y (A)
を直線として描き入れます。
領域の境界線のうち、
楕円
x^2+2y^2=8 (B)
と双曲線
x^2-y^2=2 (C)
のx＞0における交点
P(2,√2),Q(2,-√2)
を考え、
Pにおける(B)の接線の傾きと
(A)の傾きの大小関係
及び
Qにおける(C)の接線の傾きと
(A)の傾きの大小関係
に注目して
(A)が件の領域のどの部分を通るときに
y切片であるzが最大、最小になるかを
考えます。

こちらの計算では
最大値は2+√2(このとき(x,y)=(2,√2))
最小値は2-√2(このとき(x,y)=(2,-√2))
となりました。
No.61462 - 2019/09/22(Sun) 11:42:31
☆ Re: 最大値と最小値 / らすかる
zの最大値や最小値は、直線x+y=zがx^2+2y^2=8またはx^2-y^2=2に接するときか、
あるいは直線x+y=zが2曲線の交点を通るときにとる。
x^2+2y^2=8にx+y=zが接するときz=±2√3で接点は(±4/√3,±2/√3)（複号同順）
よってzは2√3より大きい値をとることはなく、z=2√3をとることとなる
(x,y)=(4/√3,2/√3)のとき全条件を満たすので、z=2√3が最大値
x^2-y^2=2にy=-x+zを代入するとxの一次式になるので接することはない。
x^2+2y^2=8とx^2-y^2=2のx＞0の交点は(2,±√2)なので
(x,y)=(2,-√2)のときのz=2-√2が最小値
よって答えは
最大値は(x,y)=(4/√3,2/√3)のときでz=2√3
最小値は(x,y)=(2,-√2)のときでz=2-√2
No.61464 - 2019/09/22(Sun) 13:18:45
☆ Re: 最大値と最小値 / 関数電卓
ご参考まで。
No.61465 - 2019/09/22(Sun) 13:26:01
☆ Re: 最大値と最小値 / X
>>らすかるさん、関数電卓さんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>KITANOさんへ
ごめんなさい。最大値については
そのときのx,yの値を含めて
らすかるさん、関数電卓さんの
仰る通りです。
No.61466 - 2019/09/22(Sun) 13:34:59
☆ Re: 最大値と最小値 / kitano
X様、 らすかる様、関数電卓様

ご回答いただき有難うございました

kitano
No.61501 - 2019/09/25(Wed) 06:12:33
★ 項が3つあって複雑な微分 / YUKI
yの関数のxでの微分を教えていただけないでしょうか？

答えは載っているのですが、項が3つあって難しく、途中式を理解したいです。

分かる方おられましたら教えていただきたいです。
No.61453 - 2019/09/21(Sat) 21:23:52
☆ Re: 項が3つあって複雑な微分 / らすかる
二つのときに{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)であるのと同様に、
三つのときは
{f(x)g(x)h(x)}'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)です。
No.61454 - 2019/09/21(Sat) 21:41:27
☆ Re: 項が3つあって複雑な微分 / YUKI
教えて下さってありがとうございます、そのやり方は知らなかったです。

ところで、よく計算してみたらこれ答え、間違ってませんか？

(1-2x)^2 じゃなくて(1-2x)ですよね？
No.61457 - 2019/09/21(Sat) 23:31:00
☆ Re: 項が3つあって複雑な微分 / らすかる
間違っていません。
よく計算してみて下さい。
(1-2x)^2で正しいです。

あと、その式は知らなくても二つの時の式から簡単に導けます。
{f(x)g(x)h(x)}'={f(x)g(x)}'h(x)+{f(x)g(x)}h'(x)
={f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}h(x)+{f(x)g(x)}h'(x)
=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)
No.61458 - 2019/09/21(Sat) 23:34:34
☆ Re: 項が3つあって複雑な微分 / YUKI
すみません、(1-2x)^2で正しいですね。

こういう計算ってやってないと鈍りますね。

教えて下さり感謝申し上げます。
No.61459 - 2019/09/21(Sat) 23:47:03
★ (No Subject) / ななし
なぜ3行目から4行目で絶対値が外れるのでしょうか？
またsinxが1の場合は分母が0になってしまうのにどうしてsinx≠1のような記述がないのですか？
No.61451 - 2019/09/21(Sat) 17:44:06
☆ Re: / らすかる
> sinxが1の場合は分母が0になってしまうのに
> どうしてsinx≠1のような記述がないのですか？

元の問題は∫{1/(cosx)}dxですよね？
とすると、この式からcosx≠0ですから
暗黙の条件としてsinx≠±1となります。

> なぜ3行目から4行目で絶対値が外れるのでしょうか？

1+sinx＞0,1-sinx＞0（∵sinx≠±1）だからです。
No.61452 - 2019/09/21(Sat) 17:59:05
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