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★ 数学?A 三角関数を含む関数の最大値・最小値 / health-p
260の(1)の問題です。最初に　-1≦θ≦1と仮定していますがそれが分かりません。解説お願いします。
No.62158 - 2019/11/04(Mon) 10:40:51
☆ Re: 数学?A 三角関数を含む関数の最大値・最小値 / health-p
訂正します。

-1≦ｔ≦1 です
No.62159 - 2019/11/04(Mon) 10:42:26
☆ Re: 数学?A 三角関数を含む関数の最大値・最小値 / ヨッシー
cosθ＝t と置いているからです。
No.62160 - 2019/11/04(Mon) 10:48:15
★ (No Subject) / ppapppa
コインを100回投げます。
表がピッタリ30回出る確率をを求めてください。


どのように求めればよいか過程も含めて
回答お願いします。
No.62151 - 2019/11/04(Mon) 00:13:42
☆ Re: / らすかる
二項分布の公式により
100C30・(1/2)^30・(1/2)^70
=1835771238850684051497735/79228162514264337593543950336
となります。
No.62153 - 2019/11/04(Mon) 00:55:29
★ (No Subject) / TTKJ
x^yをyで微分してください。


過程もおねがいします。
No.62150 - 2019/11/03(Sun) 23:47:15
☆ Re: / らすかる
対数微分法により
f(y)=x^y
logf(y)=ylogx
f'(y)/f(y)=logx
∴f'(y)=(logx)f(y)=(logx)x^y
となります。
No.62152 - 2019/11/04(Mon) 00:53:45
☆ Re: / TTKJ
ありがとうございます！


両辺対数をとって微分すればよいのですね？
No.62154 - 2019/11/04(Mon) 01:12:09
☆ Re: / らすかる
はい、そうです。

# もしxが定数扱いでなければ変わりますが、
# xを定数として微分するということでいいのですよね？
No.62157 - 2019/11/04(Mon) 03:53:29
★ 確率 / XXX
この問題のb〜dが分かりません。
よろしくお願いします。
No.62145 - 2019/11/03(Sun) 22:36:54
☆ Re: 確率 / XXX
高校生です
あさって試験なので回答お願いしす！
No.62146 - 2019/11/03(Sun) 22:47:57
☆ Re: 確率 / まうゆ
b)はベン図っぽいのを書けばできる
c)a<1,b<1.cの決め方からc<=a,c<=b
c)最大値は1(a+b>1より)最小値はBがAに含まれてる時で1/4
試験頑張ってください
No.62147 - 2019/11/03(Sun) 22:58:18
☆ Re: 確率 / まうゆ
最後のはc)でなくd)です
b)順にa+b-c
a-c
b-c
1-a-b+c
No.62148 - 2019/11/03(Sun) 23:00:54
★ 銃曲線における計画高について / 寝屋川のムウマ
縦断曲線開始地点279m縦断曲線開始計画高23.79214m縦断曲線長100ｍ曲率半径300mのとき、329mと、379mのときの計画高を求めるとき、公式を2つ使い、まず(i1-12)/(2000l)*x^2、縦距0.415m、0.166ｍで計画高はそれぞれ、起点計画高＋(i1/1000)-起点計画距離-縦距で結果は23.5421m、22.4621ｍでした。これをkm単位つまり1000分の1にしたとき計算式はi1-12)/(2000l)*x^2と起点計画高＋(i1/1000)-起点計画距離-縦距はどのようになるのでしょうか。
No.62143 - 2019/11/03(Sun) 18:10:19
★ (No Subject) / すぱん
とある参考書の計算なのですが

(√(A1)X - √(A1)R + √(A2)X)(√(A1)X - √(A1)R -
√(A2)X)= 0

の計算結果が

X＝　√(A1)R　/ √(A1) + √(A2)

とあるのですが何度計算してもこのような数字にならないので困っております。

宜しければご教授の程お願い致します。
No.62141 - 2019/11/03(Sun) 17:22:19
☆ Re: / X
問題の方程式から
{{√(A1)+√(A2)}X - R√(A1) }{{√(A1)-√(A2)}X - R√(A1)}=0
∴X={R√(A1)}/{√(A1)+√(A2)},{R√(A1)}/{√(A1)-√(A2)}
となります。
No.62142 - 2019/11/03(Sun) 17:29:15
☆ Re: / すぱん
ご回答の程、有難うございます。
恥ずかしながら解き方の根本が間違っていたようです。
有難うございました。
No.62144 - 2019/11/03(Sun) 21:48:36
★ (No Subject) / ぴーちゃん
AD//BCの台形ABCDで、AB=5,BC=8,BD=7,∠A=120°のとき
∠B=60°になる理由がわかりません。解説をお願いします。
No.62138 - 2019/11/03(Sun) 15:41:00
☆ Re: / らすかる
AD//BCの台形ABCDでは「∠A」と「∠Bの外角」が同位角の関係にあるため
∠A+∠B=180°となります。
No.62139 - 2019/11/03(Sun) 15:46:13
★ 中３　証明 / りゅう
お世話になります。
この問題が分からないので教えてください。
よろしくお願いします。
No.62136 - 2019/11/03(Sun) 11:02:03
☆ Re: 中３　証明 / ヨッシー

(1)
図において、ＢＣの中点をＭとすると、△ＡＢＭは直角三角形となります。
三平方の定理を使うとＢＭが求まり、その２倍がＢＣとなります。
(2)
(i)
∠Ｂ＝∠Ｃ＝ｘ（図の○）とすると、外角の性質より
　∠ＤＡＣ＝∠Ｂ＋∠Ｃ＝２ｘ
ＡＰは∠ＤＡＣの二等分線なので、
　∠ＰＡＣ＝ｘ＝∠Ｃ
よって、
　ＢＣ//ＡＰ
ＢＰは∠ＡＢＣの二等分線なので、
　∠ＡＢＰ＝∠ＰＢＣ＝∠ＡＰＢ
よって、△ＡＢＰは　∠Ｂ＝∠Ｐ　すなわち　ＡＢ＝ＡＰ　の二等辺三角形
(ii)
ＰからＡＣに垂線ＰＨを下ろすと、
　Ｒ1＝ＰＨ
また、ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＰ　より
　Ｒ2＝ａ
ここで、△ＡＢＭ≡△ＰＡＨ　より
　ＰＨ＝ＡＭ＝１
よって
　Ｒ2/Ｒ1＝ａ
No.62137 - 2019/11/03(Sun) 15:19:46
☆ Re: 中３　証明 / りゅう
図入りでとても丁寧に教えていただいてどうもありがとうございました。
とてもよく分かりました！
No.62140 - 2019/11/03(Sun) 17:20:51
★ (No Subject) / 物理モンスター
すいません。物理の問題なのですが、11番のかっこ1がどうしても分かりません。Q＝mc△tを使って計算するのですが立式ができません。わかるかた解説よろしくお願いします。物理ですいませんm(_ _)m
No.62130 - 2019/11/02(Sat) 21:49:53
☆ Re: / X
ΔTが温度差であることにこだわらず,0[K]を基準にした熱量
で考えます。

求める熱容量をC[J/K],
熱量計に元から入っている水の質量をM[g]、
水を混入する前後の熱量計の温度をT[0][K],T[1][K]
水の比熱をc[J/(g・K)]
混入する水の質量をm[g]
混入する水の温度をT[2][K]
とすると、熱量計に加えられた熱量について
CT[0]+McT[0]+mcT[2]=CT[1]+(M+m)cT[1] (A)
これより
C(T[1]-T[0])=-(M+m)cT[1]+McT[0]+mcT[2]
C={-(M+m)cT[1]+McT[0]+mcT[2]}/(T[1]-T[0])
=c{-M+m(T[2]-T[1])/(T[1]-T[0])} (A)'
(A)'に
M=100[g]
m=60[g]
T[1]-T[0]=20[K]
T[2]-T[1]=40[K]
c=4.2[J/(g・K)]
を代入して計算し
C=84[J/K]
となります。

注)
温度差にこだわるなら、混入により
(熱量計と元から入っている水が得た熱量)=(混入した水が失った熱量)
となることから、(A)の代わりに
C(T[1]-T[0])+Mc(T[1]-T[0])=mc(T[2]-T[1])
と立式しても解けます。
No.62131 - 2019/11/02(Sat) 22:32:30
☆ Re: / 物理モンスター
難しいですね、、頑張って理解してみます。ありがとうございました😊
No.62133 - 2019/11/02(Sat) 23:23:11
★ 多項式の証明問題 / 美雪
失礼します。よろしくお願いします。

テストの問題なのですが、どこが間違いなのか教えてください。

問題

2以上の自然数kに対してf_k(x)=xのk乗-kx+k-1とおく。このとき次のことを証明せよ。

(1)n次多項式g(x)が(x-1)の2乗で割り切れるためには、g(x)が定数a_2、a_3、…、a_nを用いて、g(x)=Σ[k=2からk=n]a_k・f_k(x)の形に表せることが必要十分である。

(2)n次多項式g(x)が(x-1)の3乗で割り切れるためには、g(x)が関係式Σ[k=2からk=n]{k(k-1)/2}・a_k=0を満たす定数a_2、…、a_nを用いて、g(x)=Σ[k=2からk=n]a_k・f_k(x)の形に表せることが必要十分である。

解答

(1)f_k(x)=(xのk乗-1)-k(x-1)=(x-1)(xの(k-1)乗+…+1)-k(x-1)=(x-1)(xの(k-1)乗+…+1-k)。ここで、h_k(x)=xの(k-1)乗+…+1-kとおきますと、h_k(1)=0ですので、h_k(x)はx-1を因数にもち、したがって、f_k(x)は(x-1)の2乗を因数にもちます。これによりf_k(x)=(x-1)の2乗・Q_k(x)と書けますので、f_n(x)は次数がnであることから、a_2・f_2(x)+…+a_n・f_n(x)はn次の多項式で、かつ(x-1)の2乗で割り切れますので、題意は成り立ちます。

(2)a_2+3・a_3+6・a_4+…+{n(n-1)/2}・a_n=0から、a_2=-3・a_3-6・a_4-…-{n(n-1)/2}・a_n。ここで、h_k(x)={-k(k-1)/2}・(xの2乗-2x+1)+xのk乗-kx+k-1とおきますと、h_k(1)=h’_k(1)=h’’_k(1)=0ですので、h_k(x)は(x-1)の3乗で割り切れます。したがって、a_2・f_2(x)+…+a_n・f_n(x)=h_3(x)+…+h_n(x)はn次の多項式で、かつ(x-1)の3乗で割り切れますので、題意は成り立ちます。

(1)、(2)とも×でした。どこがおかしいのでしょうか。
No.62126 - 2019/11/02(Sat) 13:28:37
☆ Re: 多項式の証明問題 / ＩＴ
細かく見ていませんが、十分条件であることしか示していないのでは？
No.62127 - 2019/11/02(Sat) 13:48:30
☆ Re: 多項式の証明問題 / らすかる
ＩＴさんのおっしゃる通りですね。
つまり
(1)は
「g(x)は(x-1)^2で割り切れる」ことは示しているが
「(x-1)^2で割り切れる任意の多項式がg(x)の形で表せる」ことを示していない
(2)も同様。
No.62128 - 2019/11/02(Sat) 16:53:26
☆ Re: 多項式の証明問題 / ＩＴ
せめて、「よって○は、△の十分条件である。」などと書いてあれば、少し部分点が期待できますが、その答案だとそれも難しいかも。

示してない方の証明が難しい（メイン）だと思いますので。
No.62129 - 2019/11/02(Sat) 17:37:18
☆ Re: 多項式の証明問題 / 美雪
回答ありがとうございます。

必要条件が欠けていたのですね。

悩みましたが、次のように考えてみました。見ていただけないでしょうか。

(x-1)の2乗で割り切れる任意のn次の多項式がg(x)の形に書けることを次数nについての数学的帰納法で示します。

n=2のときは明らかです。

n=m-1次以下の任意の多項式で言えたと仮定します。

(x-1)の2乗で割り切れる任意のm次の多項式

P(x)=α_m・(x-1)の2乗・xの(m-2)乗+…+α_2・(x-1)の2乗に対し、

Q(x)=P(x)-α_m・f_m(x)とおきますと、f_m(x)はm次の項の係数が1ですので、Q(x)はm-1次以下の多項式となり、数学的帰納法の仮定により、Q(x)=β_(m-1)・f_(m-1)(x)+…+β_2・f_2(x)と書けます。よって、

P(x)=α_m・f_m(x)+Q(x)から、n=mの時も成り立ちます。

いかがでしょうか。
No.62132 - 2019/11/02(Sat) 23:16:23
☆ Re: 多項式の証明問題 / ＩＴ
>n=2のときは明らかです。
答案では､きちんと示すほうがいいとおもいます｡

>Q(x)はm-1次以下の多項式となり、数学的帰納法の仮定により、Q(x)=β_(m-1)・f_(m-1)(x)+…+β_2・f_2(x)と書けます。
前出の「f_k(x)は(x-1)の2乗を因数にもちます｡」を引用して, Q(x)=A(x)(x-1)の2乗　となることを示しておいた方がいいと思います。

そして、
A(x)=0のとき・・・でOK、そうでないとき帰納法の仮定から・・・でOK。と場合分けする。
No.62134 - 2019/11/03(Sun) 08:46:08
☆ Re: 多項式の証明問題 / 美雪
回答ありがとうございます。

完成度が低かったようですね。よくわかりました。

ちなみに(2)の必要条件も同様の方針で解決する(実際(x-1)の2乗を(x-1)の3乗にするだけ)ですので、(1)と同様ですませてしまって大丈夫でしょうか。
No.62155 - 2019/11/04(Mon) 02:22:27
☆ Re: 多項式の証明問題 / ＩＴ
> ・・・、(1)と同様ですませてしまって大丈夫でしょうか。
具体的に解答を示されないとなんとも言えませんが、答案に
「、(1)と同様」と書いて　それだけですませてしまうということなら、ダメです。それでは０点です。

（２）は、「Σ[k=2からk=n]{k(k-1)/2}・a_k=0を満たす定数a_2、…、a_nを用いて」ということも示さないといけませんし、（１）より、かなり難しい気がします。

１９８４年の東大理系入試問題のようですね。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/20c/84ta103.htm
No.62156 - 2019/11/04(Mon) 03:39:04
☆ Re: 多項式の証明問題 / 美雪
最後までおつきあいいただきありがとうございました！
No.62178 - 2019/11/05(Tue) 20:36:34
☆ Re: 多項式の証明問題 / 美雪
すみません、やっぱり(2)の必要条件がわからないです。(1)と同様に数学的帰納法で示すとしたらどうすればいいでしょうか。
No.62179 - 2019/11/05(Tue) 21:18:10
★ (No Subject) / 展開
問.(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1

この展開問題で、(x+1)=Aと置き換えられると思っていたんだすが、答えが違うんです。置き換えられない場合もあるんですか？
No.62122 - 2019/11/02(Sat) 12:10:26
☆ Re: / ＩＴ
＞置き換えられない場合もあるんですか？
「置き換えられない」というよりも、この問題の場合は、「置き換えても有効ではない。」ということだと思います。

＞答えが違うんです
どんな式変形になりましたか？
No.62123 - 2019/11/02(Sat) 12:22:40
☆ Re: / 展開
返信ありがとうございます。

(x+1)=A

=(A)(x^2-A)
=A(x^2-A)
=Ax^2-A^2
と、置き換えて展開しました。
No.62124 - 2019/11/02(Sat) 12:35:21
☆ Re: / ＩＴ
(x+1)(x^2-x+1)=(A)(x^2-A) ではないですね。
(x^2-x+1)=(x^2-A) はまちがいです。
No.62125 - 2019/11/02(Sat) 13:22:34
★ 積分法で質問です(おそらく高３ぐらいだと思います) / とあるメガネ
∫(t+a)(t=a)dt
の答えが
1/3･t^3-a^2t+C
となるのはなぜですか？
No.62120 - 2019/11/01(Fri) 23:02:03
☆ Re: 積分法で質問です(おそらく高３ぐらいだと思います) / 元中3
t=a→t-aと解釈しました。
(t+a)(t-a)=t^2-a^2だから、あとは普通に不定積分すれば求まりますよね？

不定積分がわからないのであれば、掲示板で質問するよりも、教科書をみたり、積分法についてまとめてくれているサイトを参照したほうがいいのは明らかです。
No.62121 - 2019/11/01(Fri) 23:23:20
★ 測量学について / 山陰本線RO形可動ブラケット
縦断曲線の任意点Pにおける高さを求める公式はi1-i2/200*lだそうです。ところがこれはi値が％表記の時のものだそうです。i値が‰表記の場合公式がどうなるのか教えてください。
No.62116 - 2019/11/01(Fri) 20:13:08
☆ Re: 測量学について / ヨッシー
(i1-i2)/200*l の i1 や i2 が10倍された数値になっても、
なお、元の (i1-i2)/200*l の値と同じになるようにすれば良いので
　(i1-i2)/2000*l
ですね。
No.62135 - 2019/11/03(Sun) 08:51:40
★ (No Subject) / ペンギン
(3)なのですが、
S=?甜0~π/2]θdθ=π^2/8
と求めるのが間違いになる理由を教えていただけませんか？
No.62112 - 2019/11/01(Fri) 12:31:59
☆ Re: / ペンギン
自分は線分PQの長さを全て出せば(積分すれば)面積Sになると考えました。
No.62113 - 2019/11/01(Fri) 12:33:05
☆ Re: / らすかる
単純に線分PQの長さを積分して面積Sになるためには、
すべての線分が平行、かつ積分変数が
線分の平行移動距離になっていなければなりません。
この問題では「すべての線分が平行」ですが
θが線分の平行移動距離ではありませんので、
その式では面積は求められません。

# 例えば円柱の側面x^2+y^2=1,0≦z≦1の面積は
# 長さ1の線分を「円柱の側面に沿った長さを示す積分変数」で
# 積分すれば、正しく∫[0〜2π]1dt=2πのように求まりますが、
# 積分変数をxにして2∫[-1〜1]1dxのように長さ1の線分を積分しても
# 求まりませんね。
No.62115 - 2019/11/01(Fri) 15:42:56
☆ Re: / ペンギン
らすかるさん ありがとうございます。

具体例で理解できました
No.62117 - 2019/11/01(Fri) 21:05:23
★ 整数問題 / kitano
kitano です。宜しく御願いします。

問題

117^2002 の１の位を求めよ。

私の考え方です。


https://imgur.com/a/xM22fY2


ご指摘、アドバイスを宜しく御願いします。

kitano
No.62109 - 2019/11/01(Fri) 08:00:31
☆ Re: 整数問題 / らすかる
特に問題ないと思います。
もし私が解くとしたら
117≡7(mod10), 7^4=2401≡1(mod10)なので
117^2002≡7^2002≡7^2≡9(mod10)
No.62110 - 2019/11/01(Fri) 08:26:01
☆ Re: 整数問題 / kitano
らすかる先生

本当にお久しぶりです

少し数学をサボッテおりました。

今回も、とても勉強になる材料を頂き、心から感謝致します。

kitano
No.62111 - 2019/11/01(Fri) 08:47:19
★ 測量学について / 山陰本線RO形可動ブラケット
勾配変更点において、勾配1を求める公式はi1=hb-ha/l1だそうです。これを勾配開始点地点高さhaを求める公式に変換できないでしょうか。
No.62108 - 2019/11/01(Fri) 07:17:29
☆ Re: 測量学について / ヨッシー
測量学云々は置いておいて、
　i1＝(hb−ha)/l1
という式を、ha＝・・・ の形にしたいというのであれば
　i1＝(hb−ha)/l1
両辺l1 を掛けて、
　i1・l1＝hb−ha
移項して、
　ha＝hb−i1・l1
です。
No.62114 - 2019/11/01(Fri) 13:25:16
★ 一次不等式 / あさ
不等式2x＋a＞5(x−1)を満たすxのうちで、最大の整数が4であるとき、定数aの値の範囲を求めよ。
という問題の解説で、

2x＋a＞5(x−1)から2x＋a＞5x−5
よって　x＜(a＋5)/3
これを満たすxのうちで、最大の整数が4であるとき
4＜(a＋5)/3≦5
各辺に3をかけて　12＜a＋5≦15
各辺から5を引いて　答.7＜a≦10

とあったのですが、4＜(a＋5)/3≦5は
なぜ4≦(a＋5)/3＜5ではないのでしょうか？
(a＋5)/3=5の場合、最大の整数は4ではなく
5になってしまいませんか？
一方で4=(a＋5)/3の場合も最大の整数は4になりませんか？

説明分かりにくくすみません。ご回答お願いします。
No.62105 - 2019/10/31(Thu) 23:38:09
☆ Re: 一次不等式 / らすかる
(a+5)/3=5の場合
x＜(a+5)/3 という式は
x＜5
となりますので、
5は含まれません。

(a+5)/3=4の方も同様に4が含まれませんので
4＜でなければなりません。
No.62106 - 2019/11/01(Fri) 00:38:57
★ 群数列 / うい
初項から第210項までの和を求めよ。

1/1 2/2 3/2 4/3 5/3 6/3 7/4 8/4 9/4 ....

これで、1+2+3……+n=1/2n(n+1)になる訳がわかりません…。
この左辺が1群からn群までをしめすのはわかります。
教えてください。
No.62103 - 2019/10/31(Thu) 21:15:11
☆ Re: 群数列 / らすかる
> これで、1+2+3……+n=1/2n(n+1)になる訳がわかりません…。

この質問の意味はわかりませんが
とりあえず分母が
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
とkがk個なので
第n群の最後までの個数は1+2+3+…+n=n(n+1)/2項
（もしかして、この公式を知らないということでしょうか。）
20群までで210項なので
20群までの和を求めればよい。
第n-1群までの項数がn(n-1)/2項なので
第n群の先頭の項の分子はn(n-1)/2+1=(n^2-n+2)/2
よって第n群の合計は
Σ[k=1〜n]{(n^2-n+2)/2+k-1}/n=(n^2+1)/2
なので、第210項すなわち第20群までの和は
Σ[k=1〜20](k^2+1)/2=1445
No.62104 - 2019/10/31(Thu) 23:00:17
☆ Re: 群数列 / うい
ごめんなさい…
1+2+3+…+n=n(n+1)/2
っていうのは、どういう数の括り方のときでも使えるのですか？
No.62118 - 2019/11/01(Fri) 21:44:58
☆ Re: 群数列 / らすかる
1+2+3+…+n=n(n+1)/2
はnが自然数のときに常に成り立つ公式であって
「数の括り方」などとは関係ないですが、
「数の括り方」と書いているところから考えて
何か誤解があるかも知れませんね。

この公式は
1+2+3+……+n と
n+……+3+2+1 を縦にそれぞれ足すと
n+1がn個なのでn(n+1)
これは1+2+3+……+nの2倍なので
1+2+3+……+n=n(n+1)/2
のように導出できます。
No.62119 - 2019/11/01(Fri) 21:51:04
★ (No Subject) / 橋
284の問題と、答えなのですが、答えで丸で囲んだあるところが、なぜそうなるのかわかりません。詳しく教えてください！
No.62101 - 2019/10/31(Thu) 20:41:34
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ
　　１＋２＋４＋……＋２^(n-2)＝１＋２^1＋２^2＋……＋２^(n-2)
は，
　　初項１，公比２，項数ｎ−１
の等比数列の和だからです．
No.62102 - 2019/10/31(Thu) 20:55:20
★ センター系演習問題 / しょう
98の2番のシスの解説をお願いします。
No.62092 - 2019/10/30(Wed) 10:29:58
☆ Re: センター系演習問題 / ヨッシー
実は カキ＝ｌ とおく、という操作はこの際どうでもよく、
　８＝６＋２　　２余る
　８^2→2×8＝１６＝１２＋４　　４余る
　８^3→4×8＝３２＝３０＋２　　２余る
　８^4→2×8＝１６＝１２＋４　　４余る
のように、６で割った余りに８をかけて、それを６で割った余りを調べる
ということの繰り返しになります。
この場合、指数が奇数の場合、余りが２、偶数の場合、余りが４なので、
　８^525 を６で割った余りは２です。

５についても同じように
　８＝５＋３　　　
　８^2→3×8＝２４＝２０＋４　　４余る
　８^3→4×8＝３２＝３０＋２　　２余る
　８^4→2×8＝１６＝１５＋１　　１余る
　８^5→1×8＝８＝５＋３　　　３余る
以下、余りが４，２，１，３の繰り返しになります。
　525 は４で割って１あまる数なので、余りが３のグループになります。
No.62098 - 2019/10/31(Thu) 08:02:49
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