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(No Subject) / Ran
この問題の⑵からわかりません!

c1+c3=c2
c2+c4=c3
……

などと頑張ったのですが、なんか対称性がなくてとけないです。

よろしくお願いします、

No.62314 - 2019/11/15(Fri) 14:12:07

Re: / IT
(2)
a[3]=a[2]-a[1]
a[4]=a[3]-a[2]
・・・
a[7]=a[6]-a[5]
ですから地道にやれば出来ますね。

(3)
c[1]+c[2]+...+c[m]=0が条件(*)から分かります。
したがって正の項があれば負の項もあります。

数式だけで考えると 難しいと思います。
数列を正負を意識して5、6点プロットして考えると規則に気付き易いと思います。

途中0が出てくる場合と そうでない場合に分けて
正(+)負(−)の出現パターンを考えます。

(0が出てこない場合)
正の項の連続個数を考える。
条件(*)から、
 ++++のパターン(正が4項以上連続すること)は、ない、
 −++− のパターンはない。
 −+− のパターンはない。
したがって
 −+++− のパターンしかない。
負の項についても同様。

なぜこういえるかは、自分で確認して下さい。

(0が出てくる場合)
c[1]=a>0(負でも同じです) として考えて見て下さい。

上のようにして必要条件を求め、次に具体的な例で十分性を示せばいいと思います。

No.62317 - 2019/11/15(Fri) 15:30:43
(No Subject) / y
bの部分で断熱膨張しているのでΔU=3/2pΔvより
Δu>0だと思ったのですが違いました。どこが違うのでしょうか?
また、(ア)の部分の解説を見ても破線がなぜ解説のようになるのか分かりません。
教えてください!

No.62311 - 2019/11/15(Fri) 02:41:23

Re: / IT
> bの部分で断熱膨張しているのでΔU=3/2pΔvより

ΔU=3/2pΔv はまちがっているのでは? テキストで再確認されることをお勧めします。
断熱膨張すると、気体の温度が下がって内部エネルギーも減少すると思います。
(簡単にいうと、このため気圧が低い高所では気温が下がる)
公式を正確に覚えるのも大切ですが、大まかなことを覚えるのも大切です。

https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/therm/kitai/jyoutai.html

No.62313 - 2019/11/15(Fri) 14:02:55
(No Subject) / 橋
この問題で、1番下の傍線部がなぜこうなるのかわかりません。教えてください!
No.62309 - 2019/11/14(Thu) 20:23:04

Re: / ヨッシー
△C"OC' はOC'=OC"=r の二等辺三角形であり、C"C' の中点をMとすると、
△OMC' において、∠C'OM=θ より
 C'M=OC'sinθ
よって、
 C'C"=2C'M=2OC'sinθ=2rsinθ

No.62312 - 2019/11/15(Fri) 05:27:20
わかりますか / あかさ
わかりますか
No.62307 - 2019/11/14(Thu) 14:02:35

Re: わかりますか / ヨッシー
質問者の学年により答え方が変わってきますが、手っ取り早く
1次方程式の単元として回答します。

昨年の男子をx人とすると、女子はx−10人。
今年は男子 0.8x人、女子1.3(x−10)人となり、差を取ると、
 1.3(x−10)−0.8x=2
展開して
 1.3x−13−0.8x=2
移項して整理すると
 0.5x=15
 x=30
今年の人数に直すと、男子24人、女子26人。

No.62308 - 2019/11/14(Thu) 14:29:17
部分群の求め方について / 代数
正三角形の二面体群D6の自明でない部分群を全て求めよ。

恒等変換をe、鏡像変換をS、2/3πの対称回転をrとしたときに
D6の元はe,r,r^2,s,rs,r^2s の6つで表され、
自明でない部分群はD6の位数6の約数1,2,3,6のうち2,3であるところまで理解はできました。

求める部分群は(e,r)(e,rs)(e,r^2s)(e,r,r^2)となるそうです。

部分群は群の条件を満たすために単位元eを含むのはわかります。それ以外のところがなぜ回答のようになるのかが分かりません。

解説していただければ幸いです。よろしくお願いいたします。

No.62306 - 2019/11/14(Thu) 11:48:05

Re: 部分群の求め方について / IT
> 求める部分群は(e,r)(e,rs)(e,r^2s)(e,r,r^2)となるそうです。

まちがっていると思います。(e,r)と(e,r,r^2)がともに(互いに異なる)部分群になるのはおかしいです。

>自明でない部分群はD6の位数6の約数1,2,3,6のうち2,3であるところまで理解はできました。
位数2、3(素数)の群が 巡回群であることを使えば、調べられると思います。

No.62310 - 2019/11/15(Fri) 02:26:35
(No Subject) / 足し算太郎
高校生です。
問2を途中式を含めて教えてほしいです。

No.62297 - 2019/11/13(Wed) 00:05:55

Re: / X
△ABCにおいて∠BACに注目した余弦定理を
用いることにより、ABについての二次方程式
を立てます。

No.62301 - 2019/11/13(Wed) 05:26:40
テイラー展開 / @abc
sin(x^2+y^2)の関数に(1.1)においてテイラーの定理を適用し二次の項まで計算してください!
おねがいします!

No.62294 - 2019/11/12(Tue) 22:13:22

Re: テイラー展開 / GandB
 wolframa で f_x、f_y、f_xx、f_xy、f_yy を計算して、展開式に放り込めばよい(笑)。
No.62296 - 2019/11/12(Tue) 23:26:24
集合が無限であることの定義 / 栗林
集合Xについて

『任意の自然数nに対して 単射 : n→Xが存在する』
⇒『単射 : N→Xが存在する』

これを証明してくれませんか?

No.62291 - 2019/11/12(Tue) 20:47:47

Re: 集合が無限であることの定義 / 栗林
※選択公理は使わずにお願いします
No.62292 - 2019/11/12(Tue) 20:53:24

Re: 集合が無限であることの定義 / IT
命題の表現は、正しいですか?
・『任意の自然数nに対して 単射 : n→Xが存在する』
 は、表現がまちがっているのでは?

・2行目のNは自然数全体からなる集合ですか?

No.62304 - 2019/11/13(Wed) 20:30:46
対数微分の定義域 / ひろし
こんにちは。
対数微分の定義域で質問ありますので教えてください。


y=(x+2)^2・(x+3)^3・(x+4)^4 (定義域はすべての実数)……?@を対数微分すると

log│y│=log│(x+2)^2・(x+3)^3・(x+4)^4│ (定義域はx=-2,-3.-4以外のすべての実数)……?A
だから

log│y│=2log│(x+2)│+3log│(x+3)│+log│(x+4)│ (定義域はx=-2,-3.-4以外のすべての実数)……?B
両辺をxで微分すると
y’/y=2/(x+2)+3/(x+3)+4/(x+4)=(9x^2+52x+72)/{(x+2)(x+3)(x+4)} (定義域はx=-2,-3.-4以外のすべての実数)……?C
y=(x+2)・(x+3)^2・(x+4)^3・(9x^2+52x+72) (定義域はx=-2,-3.-4以外のすべての実数)……?D

のような計算になると思うのですが、質問があります。


[質問1]
?@から?Cの計算で定義域が異なっていくのに、どうして解答でこのような計算が正しいと言えるのですか。

[質問2]
増減表を描くために、y'=0を考えるとき、?Dで定義域はx=-2,-3.-4以外のすべての実数なので、
x=-2,-3.-4は代入できないので、y'=0にできないと思いますが、なぜx=-2,-3.-4を代入してもいいのですか。

No.62290 - 2019/11/12(Tue) 12:04:08

Re: 対数微分の定義域 / 黄桃
おっしゃるように、
y’=(x+2)・(x+3)^2・(x+4)^3・(9x^2+52x+72) ...(*)
は、本来、xが-2,-3,-4以外のすべてのxについて成立しているわけです。
一方、y’が実数全体で連続関数であることは、yの形から明らかです。(*)の右辺も実数全体で連続関数なのは明らかです。だから、(*)が、x≠-2,-3,-4において等しいなら、x=-2,-3,-4でも等しくなります。
つまり、実数全体で(*)が正しいといえるわけです。

#分数関数 1/((x+1)(x+2)) において、 1/((x+1)(x+2))=a/(x+1)+b/(x+2) となるようなa,bを求める時に、
#両辺を (x+1)(x+2)倍して 1=a(x+2)+b(x+1) とし、xに-1,-2を代入してa,bを求めることがあります。
#この場合も分母を払ってしまえば、1=a(x+2)+b(x+1) がxが-1,-2 以外で恒等式だから、
#xに-1,-2を含めても恒等式なのでx=-1,-2を代入できるのです。それと同じ理屈です。

No.62302 - 2019/11/13(Wed) 06:58:43

Re: 対数微分の定義域 / ひろし
この場合も分母を払ってしまえば、1=a(x+2)+b(x+1) がxが-1,-2 以外で恒等式だから、
#xに-1,-2を含めても恒等式なのでx=-1,-2を代入できるのです。それと同じ理屈です。

なるほど。わかりました!ありがとうございました。

No.62305 - 2019/11/13(Wed) 20:54:03
物理 / @abc
大学生です
この問題の途中式も含めおねがいします。

No.62288 - 2019/11/11(Mon) 22:43:08

Re: 物理 / X
隣り合った金属平板による電気容量をCとすると
求める電気容量は電気容量Cのコンデンサ2つ
の並列接続による電気量量に等しくなります。

さて、条件から
C=ε[0]A/d
∴求める電気容量は
2C=2ε[0]A/d

No.62289 - 2019/11/12(Tue) 04:56:39

Re: 物理 / @abc
ありがとうございます!
No.62295 - 2019/11/12(Tue) 22:13:46
(No Subject) / Φ
どなたか解答お願いします。

高3生 数3 既習です。

No.62283 - 2019/11/11(Mon) 20:01:54

Re: / Φ
質問です。
横になってしまったので、貼り直しました。

No.62285 - 2019/11/11(Mon) 20:03:27

Re: / CORNO
間違いは2つあります.

1つ目,
  1+1+2+2^2+……+2^(k-1)=1+(2^k−1)
                  =2^k

2つ目,
 「P(x=k)は0〜kを1回,kを1回ひくカクリツと考えて,」
には,2回ともkを引く場合が重複しています.

No.62286 - 2019/11/11(Mon) 21:27:00

Re: / CORNO
なお,「件名は必ず入れてください。」と背景にあります.
No.62287 - 2019/11/11(Mon) 21:29:19

Re: / φ
CORNOさん 回答ありがとうございます😊

すいません💦
以後件名は投稿する前に確認します

No.62293 - 2019/11/12(Tue) 21:17:42
(No Subject) / Ran
数列{a[n]}を a[n]=Σ(k=1→n) (logk)^2とする。
⑴lim(n→∞) a[n]/n(log n)^2 を求めよ。
⑵lim(n→∞) a[3n]/a[2n]を求めよ。

をよろしくお願いします!

No.62278 - 2019/11/11(Mon) 08:22:53

Re: / らすかる
(1)
y=(logx)^2のグラフから考えて
∫[1〜n]{(logx)^2}dx<Σ[k=1〜n](logk)^2<∫[1〜n+1]{(logx)^2}dx
積分して
n{(logn)^2-2logn+2}-2<Σ[k=1〜n](logk)^2<(n+1){(log(n+1))^2-2log(n+1)+2}-2
よって
{n{(logn)^2-2logn+2}-2}/{n(logn)^2}<a[n]/{n(logn)^2}
 <{(n+1){(log(n+1))^2-2log(n+1)+2}-2}/(n(logn)^2}
(左辺)=1-2/logn+2/(logn)^2-2/{n(logn)^2}
(右辺)={(1+1/n){(log(n+1)/logn)^2-2log(n+1)/(logn)^2+2/(logn)^2}-2/{n(logn)^2}
1≦lim[n→∞]log(n+1)/logn≦lim[n→∞]log(2n)/logn
=lim[n→∞]1+log2/logn=1
から
lim[n→∞](左辺)=lim[n→∞](右辺)=1なので
lim[n→∞]a[n]/{n(logn)^2}=1

(2)
lim[n→∞]a[3n]/a[2n]
=lim[n→∞]{a[3n]/(3n(log(3n))^2)}/{a[2n]/(2n(log(2n))^2)}
      ・(3n(log(3n))^2)/(2n(log(2n))^2)
=lim[n→∞]{a[3n]/(3n(log(3n))^2)}/{a[2n]/(2n(log(2n))^2)}
      ・(3/2)・{(log3/logn+1)/(log2/logn+1)}^2
=3/2

No.62279 - 2019/11/11(Mon) 08:59:49

Re: / Ran
積分!!

理解できました!大変助かりました!ありがとありがとうございました。

No.62280 - 2019/11/11(Mon) 11:21:38
命題 / ヤシの実
こちら3題の対偶の命題を教えてください。
三題と多くすみません。

No.62276 - 2019/11/11(Mon) 02:15:54

Re: 命題 / らすかる
それぞれ否定してひっくり返せばよいので
ac≠bc ならば a≠b
x≦2 ならば x^2≦4
mもnも奇数 ならば mnは奇数
となります。

No.62277 - 2019/11/11(Mon) 03:22:24
(No Subject) / アブドゥル
この問題の解説でわからないところがあります。
No.62266 - 2019/11/11(Mon) 00:30:39

Re: / アブドゥル
画像の下の方のハテナ(?)のところがわかりません。

?@と?Cの条件からf(y)≦0などの条件が出てきたのかわかりません。
考えを日本語で解説してくださいませんか?

No.62267 - 2019/11/11(Mon) 00:33:46

Re: / らすかる
まず、?Cはf(t)≦0という不等式ですから
0≦t≦2の範囲でf(t)≦0となる箇所があれば
そのtで?Cを満たせます。
この条件を場合分けすると
軸が0≦t≦2の範囲にあるときは(頂点のy座標)≦0であればよいので
「0≦y≦2のときf(y)≦0」
軸が2≦tの範囲にあるときはf(2)≦0であればよいので
「y≧2のときf(2)≦0」
のようになります。

No.62269 - 2019/11/11(Mon) 01:07:55

Re: / アブドゥル
よく考えて理解しました。
いつも詳しい解説ありがとうございます。
助かりましたm(_ _)m
模試の復習ができて良かったです。

No.62273 - 2019/11/11(Mon) 01:46:12
積分 / aiko
全部わかりません、
解答もなくて困ってます。

よろしくお願いします!

No.62263 - 2019/11/11(Mon) 00:06:45

Re: 積分 / X
(1)
{(-1)^(n-1)}x^(2n-2)=(-x^2)^(n-1)
∴与式は初項1、公比-x^2の等比数列
の初項から第n項までの和になっています。
∴等比数列の和の公式により
(与式)={1-(-x^2)^(n-1)}/(1+x^2)

(2)
T[n]=∫[0→1]dx/(1+x^2)-{(-1)^n}∫[0→1]{(x^(2n))/(1+x^2)}dx
と置き、数学的帰納法を使って
S[n]=T[n] (A)
であることを示します。

(i)n=1のとき
T[n]=∫[0→1]dx/(1+x^2)+∫[0→1]{(x^2)/(1+x^2)}dx
=∫[0→1]dx
=1
=S[n]
∴(A)は成立

(ii)n=kのとき(A)の成立を仮定します。
つまり
S[k]=T[k]
このとき
T[k+1]-T[k]={(-1)^k}∫[0→1]{{x^(2k)}/(1+x^2)}dx
-{(-1)^(k+1)}∫[0→1]{{x^(2(k+1))}/(1+x^2)}dx
={(-1)^k}∫[0→1]{{x^(2k)+x^(2(k+1))}/(1+x^2)}dx
={(-1)^k}∫[0→1]{x^(2k)}dx
={(-1)^k}/(2k+1)
={(-1)^((k+1)-1)}/{2(k+1)-1}
∴T[k+1]=T[k]+{(-1)^((k+1)-1)}/{2(k+1)-1}
=S[k]+{(-1)^((k+1)-1)}/{2(k+1)-1}
=S[k+1]
∴n=k+1のときも(A)は成立。

(3)
0≦x≦1において
0≦{x^(2n)}/(1+x^2)≦x^(2n)
∴∫[0→1]0dx≦∫[0→1]{{x^(2n)}/(1+x^2)}dx≦∫[0→1]{x^(2n)}dx
各辺の定積分を計算することにより
問題の不等式は成立します。

(4)
(2)(3)の結果を使います。

まず(2)の結果から
|S[n]-∫[0→1]dx/(1+x^2)|=∫[0→1]{{x^(2n)}/(1+x^2)}dx
これに(3)の結果を使うと
0≦|S[n]-∫[0→1]dx/(1+x^2)|≦1/(2n+1)
よってはさみうちの原理により
(問題の無限級数)=lim[n→∞]S[n]
=∫[0→1]dx/(1+x^2)
=π/4
(∵)x=tanθと置いて置換積分

No.62281 - 2019/11/11(Mon) 19:45:46

Re: 積分 / X
ごめんなさい。(2)の記述に問題がありましたので
No.62281を直接修正しました。
再度ご覧ください。

No.62303 - 2019/11/13(Wed) 19:08:45
/ ランバ
円に内接する四角形ABCDの角A、角B、角C、角D
の大きさを教えてください。
お願いします。

No.62258 - 2019/11/10(Sun) 23:05:25

Re: 角 / らすかる
30°の頂点をE、50°の頂点をFとすると
∠BAD=∠ADE+30°
∠BCD=∠CDF+50°
∠ADE=∠CDFから∠BCD-∠BAD=20°
また∠BAD+∠BCD=180°なので
∠BAD=80°、∠BCD=100°
∠ADE=∠BAD-30°=50°なので
∠ADC=180°-50°=130°
∠ABC+∠ADC=180°から∠ABC=180°-130°=50°
従って四角形ABCDにおいて
∠A=80°、∠B=50°、∠C=100°、∠D=130°

No.62262 - 2019/11/10(Sun) 23:50:41

Re: 角 / ランバ
丁寧な解説ありがとうございます。
No.62270 - 2019/11/11(Mon) 01:21:35
(No Subject) / アブドゥル
この問題の(1)の解答では、n≧2のときとn=1のときで場合わけしてるのですが、なぜですか?

n≧1のときq_n=...としちゃダメですか?

No.62252 - 2019/11/10(Sun) 22:02:16

Re: / アブドゥル
わからない箇所はこちらです。
No.62253 - 2019/11/10(Sun) 22:02:57

Re: / らすかる
> この問題の(1)の解答では、n≧2のときとn=1のときで
> 場合わけしてるのですが、なぜですか?

カッコ内の左の項がp[1,n]〜p[n-1,n]、右の項がp[1,n]〜p[n-1,n]で
いずれも「1〜n-1」という範囲にしていますので、
n=1だと「1〜0」となって不都合だからです。

> n≧1のときq_n=...としちゃダメですか?
はい、ダメです。

No.62260 - 2019/11/10(Sun) 23:40:02

Re: / アブドゥル
とても勉強になりました。ありがとうございますm(_ _)m
No.62264 - 2019/11/11(Mon) 00:21:33
(No Subject) / アブドゥル
角ABC=θ=α-βにならないのですが、私のなにが間違っているのですか?私の図の書き方間違っていますか?
No.62250 - 2019/11/10(Sun) 21:37:23

Re: / アブドゥル
私の図だとどうやってもθ=α-βになりません
No.62251 - 2019/11/10(Sun) 21:38:00

Re: / X
βを取る向きが逆です。
負の値の角度として考えましょう。

No.62255 - 2019/11/10(Sun) 22:44:04

Re: / アブドゥル
ありがとうございます。

x軸の正の向きは反時計回りではないのですか?
それに、負の角考えてもθ=α-βになりますか?ならない気がします

No.62257 - 2019/11/10(Sun) 23:02:17

Re: / らすかる
βを負の角度とするとβ=-∠OBCですから
α-β=∠ABO-(-∠OBC)=∠ABO+∠OBC=∠ABC
となりますね。

No.62261 - 2019/11/10(Sun) 23:44:33

Re: / アブドゥル
ありがとうございます。α-βの件はよくわかりました。

しかしまだ疑問があります。
x軸の正の向きは反時計回りと学んだ気がするのですが、私の間違いですか?調べても反時計回りと回答している知恵袋にたどり着いたり、混乱しています。

No.62265 - 2019/11/11(Mon) 00:25:42

Re: / らすかる
正の向きは反時計回りなので負の向きは時計回りです。
この問題の場合は負の向きの方がきれいにはなりますが、
正の向きでも
α=∠ABO
β=360°-∠OBC
なので
θ=α-β=∠ABO-(360°-∠OBC)=(∠ABO+∠OBC)-360°
=∠ABC-360°
となり、tan∠ABC=tan(∠ABC-360°)=tanθ
ですから特に問題ありません。

No.62268 - 2019/11/11(Mon) 00:51:20

Re: / アブドゥル
疑問が氷解しました。
とても勉強になりました。ありがとうございますm(_ _)m

No.62272 - 2019/11/11(Mon) 01:28:52
サイコロ確率の問題 / YUKI
8つのサイコロを同時にふるとき、出る目の組が(a,a,a,b,b,c,c,d)のように出る確率を求めよ。

という問題なのですが、私が計算したら

175/2916 になったのですが、合ってるか自信がありません。添削して教えていただきたいです。

No.62249 - 2019/11/10(Sun) 21:21:37

Re: サイコロ確率の問題 / IT
>添削して教えていただきたいです。
途中計算を書かれないと「添削」は不可能です。

出る目の組が(111,22,33,4) と出る確率はC(8,3)*C(5,2)*C(3,2)/(6^8)

条件を満たす出る目の組は全部で C(6,1)*C(5,2)*C(3,1)通りあるので

求める確率はC(8,3)*C(5,2)*C(3,2)*C(6,1)*C(5,2)*C(3,1)/(6^8)=175/972 になりました。

考え違いや計算間違いがあるかも知れません。

No.62254 - 2019/11/10(Sun) 22:25:58

Re: サイコロ確率の問題 / IT
同じことですが

8個のサイコロを区別すると
8個のサイコロの目の出方は全部で 6^8 通り。

そのうち出る目の組が(111,22,33,4) となるのは C(8,3)*C(5,2)*C(3,2) 通り。
・・・・
・・・・

とした方がきれいかも知れませんね。

No.62256 - 2019/11/10(Sun) 22:49:48

Re: サイコロ確率の問題 / らすかる
同じことですが
出る目の選び方が6P4/2!通り
サイコロと目の対応は8!/(3!2!2!)通りなので
求める確率は(6P4/2!){(8!/(3!2!2!)}/6^8=175/972

No.62259 - 2019/11/10(Sun) 23:30:57

Re: サイコロ確率の問題 / YUKI
X 様  らすかる 様

大変勉強になります。ありがとうございます。

最後にもう一問だけ教えていただけないでしょうか?

10つのサイコロを同時にふるとき、出る目の組が(a,a,a,b,b,b,c,c,c,d)のように出る確率も教えていただけないでしょうか?

どうかどうか!よろしくお願いいたします。!

No.62271 - 2019/11/11(Mon) 01:26:21

Re: サイコロ確率の問題 / らすかる
私の方法ならば
出る目の選び方が6P4/3!通り
サイコロと目の対応は10!/(3!3!3!)通りなので
求める確率は(6P4/3!){10!/(3!3!3!)}/6^10=875/52488
となります。

No.62274 - 2019/11/11(Mon) 01:49:06

Re: サイコロ確率の問題 / YUKI
らすかる 様

本当にいつもありがとうございます。!

感謝申し上げます。

No.62275 - 2019/11/11(Mon) 02:10:00
bveの縦曲線の計算方法について / 寝屋川のムウマ
bveって縦曲線の開始位置、終了位置はどのように調べるのでしょうか。
下は、yokohamadiaryさんの横須賀線BVEの引用です。
27360;
Gradient.BeginTransition();

27375;
Gradient.BeginConst(10);
Repeater[DikeL12].End();
SpeedLimit.End();
Curve.BeginCircular(0, 0);
Repeater[Rail0].Begin0(0, 1, 25, 25, Rail0);
RollingNoise.Change(0);
FlangeNoise.Change(0);
Repeater[WallL0].Begin0(0, 1, 25, 25, WallL0);
Repeater[WallR0].Begin0(0, 1, 25, 25, WallR0);
Track[Height].Position(0, -0.45);
27960;
Gradient.BeginTransition();

27975;
Track[2].Position(4.5, -6);
Track[4].Position(-8.3, -6);
Track[6].Position(-4.5, -6);
Track[10].Position(-15.9, -6);
Track[11].Position(-12.1, -6);
Gradient.End();
Track[Height].Position(0, -6.45);
Curve.BeginCircular(-990, -0.018);
Repeater[Rail0].Begin0(0, 1, 25, 25, Rail54);
RollingNoise.Change(0);
FlangeNoise.Change(0);
Structure[CrackR0].PutBetween(6, 2);
Repeater[DikeL0].End();

No.62245 - 2019/11/10(Sun) 10:46:46
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