ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ センター系演習問題 / しょう

98の2番のシスの解説をお願いします。

No.62092 - 2019/10/30(Wed) 10:29:58

☆ Re: センター系演習問題 / ヨッシー

実はカキ＝ｌとおく、という操作はこの際どうでもよく、
　８＝６＋２　　２余る
　８^2→2×8＝１６＝１２＋４　　４余る
　８^3→4×8＝３２＝３０＋２　　２余る
　８^4→2×8＝１６＝１２＋４　　４余る
のように、６で割った余りに８をかけて、それを６で割った余りを調べる
ということの繰り返しになります。
この場合、指数が奇数の場合、余りが２、偶数の場合、余りが４なので、
　８^525 を６で割った余りは２です。

５についても同じように
　８＝５＋３　　　
　８^2→3×8＝２４＝２０＋４　　４余る
　８^3→4×8＝３２＝３０＋２　　２余る
　８^4→2×8＝１６＝１５＋１　　１余る
　８^5→1×8＝８＝５＋３　　　３余る
以下、余りが４，２，１，３の繰り返しになります。
　525 は４で割って１あまる数なので、余りが３のグループになります。

No.62098 - 2019/10/31(Thu) 08:02:49

★ 高校入試問題 / 健児

もう１問お願いします。

No.62091 - 2019/10/30(Wed) 10:14:24

☆ Re: 高校入試問題 / X

(1)
条件からPは立方体の各面の対角線の交点を結んでできる
正八面体となります。
今、立方体を、側面の対角線の交点４つを通る平面で
切った断面を考えると、上記の正八面体の辺は
直角を挟む辺の長さが3[cm]の直角二等辺三角形の
斜辺になりますので、その長さは
3√2[cm]
後は、この平面が正八面体を
底面が辺の長さ3√2[cm]の正方形
高さが3[cm]
の正四角錘二つに分割することに
注目すると、求める体積は
2×(1/3)×{(3√2[cm])^2}×3[cm]
=36[cm^3]
となります。

(2)
条件から
(正四面体EGDBの体積)=(正四面体CAFHの体積)
=(立方体の体積)-(三角錐ABCFの体積)×4
=(6[cm])^3-(1/3)×{{(1/2)×(6[cm])^2}×6[cm]}×4
=72[cm^3]
よって
(求める体積)=(立方体の体積)-{(正四面体EGDBの体積)+(正四面体CAFHの体積)-(Pの体積)}
=(6[cm])^3-{72[cm^3]×2-36[cm^3]}
=108[cm^3]

No.62095 - 2019/10/30(Wed) 19:23:58

☆ Re: 高校入試問題 / 健児

丁寧な解説ありがとうございました。

No.62099 - 2019/10/31(Thu) 10:21:22

★ 高校入試問題 / 健児

宿題でわからないので教えてもらえませんか

No.62090 - 2019/10/30(Wed) 10:12:49

☆ Re: 高校入試問題 / X

(1)
前半)
求める半径をrとすると条件から
πr^2=7π
これをrの方程式としてr＞0に注意して解いて
r=√7
後半)
容器の底面の中心をOとし、Oから水面に下した
垂線の足をA、水面と底面との交点をBとします。
すると条件から△OABは
∠OAB=90°
の直角三角形ですので三平方の定理により
OA~2+AB^2=OB^2 (A)
ここで条件から
OB=(底面の半径)=4 (B)
前半の結果から
AB=√7 (C)
(B)(C)を(A)に代入して
OA^2+7=16
これより
OA=3
よって求める高さは
(容器の半径)-OA=4-3=1

(2)
水面の面積比が1:1/4ですので相似比により
底面の半径と水面の半径の比は
√1:√(1/4)=1:1/2 (D)

さて、添付写真の図2に
まず水面となる直線を描き、その直線に
底面の中心である点(Oとします)
から垂線を下ろし、その足をHとします。
このときできる、O,Hを二つの頂点とする
直角三角形においてO,H以外の頂点をKと
します。

(D)のとき、△OHKにおいて
OK:HK=1:1/2
よって
∠OKH=60°
となりますので、求める角度は
60°となります。

No.62093 - 2019/10/30(Wed) 18:58:30

☆ Re: 高校入試問題 / 関数電卓

(1)(前半) 半径 r の円の面積は πr^2 ですから
　πr^2＝7π，∴ r^2＝7, ∴ r＝√7
(後半) 斜辺が 4, 底辺が √7 の直角三角形の高さは 3。これが球の中心から水面までの距離。容器の半径が 4 だから，水面までの距離は 1。
(2) 面積が 1/4 のとき，半径は 1/2 の 2。辺の比が 1:2 を含む直角三角形は 1:2:√3 で，図の通り傾きは 60°

No.62096 - 2019/10/30(Wed) 19:48:37

☆ Re: 高校入試問題 / 健児

とても詳しく説明していただいて、ありがとうございます。

No.62100 - 2019/10/31(Thu) 10:23:01

★ 方程式 / そう

この問題ですが、答えが、96/7 なのですが、
それぞれの秒速を求めて、池のまわりの式のような、
式を作ると思うのですが、おしえてください。

No.62086 - 2019/10/30(Wed) 01:02:19

☆ Re: 方程式 / そう

5/3x＋5/4x＝40 でしょうか、

No.62087 - 2019/10/30(Wed) 01:15:14

☆ Re: 方程式 / らすかる

その式で正解です。

No.62088 - 2019/10/30(Wed) 01:29:17

☆ Re: 方程式 / そう

ありがとうございました

No.62089 - 2019/10/30(Wed) 07:39:16

★ (No Subject) / 元中3

計算が万一間違っていれば大変申し訳ありません。
数2の教科書にのっているような小数第4位までの常用対数表を用いると(底10は省略して)
log1.01=0.0043,log9.9=0.9956より
99log0.99=-0.4356,-101log1.01=-0.4343となりますが、
99log0.99く-101log1.01とならないのは、対数の精度の問題でしょうか？

No.62079 - 2019/10/29(Tue) 20:48:41

☆ Re: / らすかる

はい、そうです。
より近い0.00432と0.99564を使うと正しい大小関係になります。

No.62080 - 2019/10/29(Tue) 21:24:12

☆ Re: / 元中3

ありがとうございます。
対数表の近似値の真の値との誤差(おそらく四捨五入していると思われますが)も何百倍にすると大小比較すら正しく行えなくなるとは...当然といえば当然ですが。

高校数学の近似値利用計算問題は誤差が大小関係に影響しないように作られているはずですが、出来れば不等式で値を評価したいですね。

No.62083 - 2019/10/29(Tue) 22:13:35

☆ Re: / らすかる

常用対数表を使わずに
log[e](1+x)＜xを使って
99log[10]0.99+101log[10]1.01
=-{99log[e](1/0.99)+101log[e](1/1.01)}/log[e]10
＞-{99・(1/0.99-1)+101・(1/1.01-1)}/log[e]10
=-{99・(0.01/0.99)+101・(-0.01/1.01)}/log[e]10
=0
なので
99log[10]0.99＞-101log[10]1.01
などとするのがよいと思います。

No.62084 - 2019/10/29(Tue) 23:44:54

☆ Re: / 元中3

ありがとうございます。
勿論対数微分法で解くのが模範的なんですね(おとなしく数3を勉強します。)

No.62097 - 2019/10/30(Wed) 21:53:53

★ 緩和曲線の開始位置と終了地点および途中の高さxについて / 山陰本線RO形可動ブラケット

勾配は最初に3.3‰から始まり、329m地点で29.9‰になります。緩和曲線の長さが100、緩和曲線の曲率半径が301.2だとすると開始位置と終了地点および途中の高さxを求める公式を教えてください。

No.62076 - 2019/10/29(Tue) 17:36:39

☆ Re: 緩和曲線の開始位置と終了地点および途中の高さxについて / 山陰本線RO形可動ブラケット

すみません。標高は23.7mから始まり、329mで-29.9‰の間違いでした。

No.62078 - 2019/10/29(Tue) 17:44:25

★ 軌跡 / 美雪

放物線y=xの2乗をCで表す。0≦t≦1とし、次の3条件を満たす点Pを考える。

(イ)C上の点Q(t,tの2乗)におけるCの法線の上にある。

(ロ)領域y≧xの2乗に含まれる。

(ハ)PとQの距離は(t-tの2乗)・√(1+4tの2乗)である。

tが0から1まで変化するとき、Pの描く曲線をDとする。

CとDとで囲まれる部分の面積を求めよ。

P(u,v)とします。

(イ)より、u+2vt=2tの3乗+tです。

(ロ)より、v≧uの2乗です。

(ハ)より、uの2乗-2ut+vの2乗-2vtの2乗=4tの6乗-8tの5乗+4tの4乗-2tの3乗です。

(イ)の方程式を使って(ハ)のtの次数を下げて、

(4u-4vの2乗-2v+1)tの2乗+(8vの2乗-6v-4uv-2u+1)t+vの2乗+4uv-u=0…☆

になりました。あとは☆が0≦t≦1に解をもつような(u,v)の条件を求めるのだと思いますが、係数が複雑すぎてどのように解いていけばよいのかわかりません。わかりやすく教えてください。

No.62073 - 2019/10/29(Tue) 09:51:07

☆ Re: 軌跡 / らすかる

方針がよくないですね。
Q(t,t^2)
法線の傾きは-1/(2t)
法線ベクトル(-2t,1)
法線単位ベクトル(-2t/√(1+4t^2),1/√(1+4t^2))
→QP=(t-t^2)√(1+4t^2)(-2t/√(1+4t^2),1/√(1+4t^2))=(2t^3-2t^2,t-t^2)
P=Q+→QP=(2t^3-2t^2+t,t)
よってDはx=2y^3-2y^2+yなので、y=xで二つに分けて
(求める面積)=∫[0～1]x-x^2 dx + ∫[0～1]y-(2y^3-2y^2+y) dy
で求められます。

ちなみに
> (4u-4vの2乗-2v+1)tの2乗+(8vの2乗-6v-4uv-2u+1)t+vの2乗+4uv-u=0…☆
> になりました。あとは☆が0≦t≦1に解をもつような(u,v)の条件を求める
これだけでは求まりません。これが0≦t≦1に解を持ち、さらに
そのときのu,v,tが(イ)が出したu+2vt=2t^3+tを満たす必要があります。
これは複雑すぎて求められる気がしません。

No.62074 - 2019/10/29(Tue) 10:31:11

☆ Re: 軌跡 / 美雪

法線ヘクトルは思いつきませんでした。よくわかりました。ありがとうございました！

No.62107 - 2019/11/01(Fri) 03:07:48

★ 組み合わせの問題です / こすも(す)

--問題--
p個の箱にn個の球を入れる．
1つの箱に入る球の数はm個まで．
この時，球の入っていない箱の数(期待値)は？
ただし，n<=p*mとする．
--

まず，p個の箱にn個の球を入れる組み合わせは，
C(n+p-1,p-1)
となり（C(x,y)はコンビネーションを表しています），
ここから，1つ以上の箱にm+1個以上の球が入る組み合わせを引けば計算できると思うのですが，
解法が思いつきません．
（場合分け等しなければならないと思うのですが...）
何かいいアイディアはないでしょうか．

No.62065 - 2019/10/28(Mon) 18:50:14

☆ Re: 組み合わせの問題です / らすかる

最初の問題に役に立つ気があまりしないのですが、
とりあえずp個の箱にn個の球を入れる組み合わせは
Σ[k=0～p](-1)^k・C(p,k)・C(n+p-1-(m+1)k,p-1)
=C(n+p-1,p-1)-C(p,1)・C(n+p-m-2,p-1)+C(p,2)・C(n+p-2m-3,p-1)-…
※ただしn＜rのときC(n,r)=0とする
と表せると思います。

No.62067 - 2019/10/28(Mon) 19:32:34

☆ Re: 組み合わせの問題です / らすかる

本題の方は、
球の入り方をどのように決めるかによって
確率が変わりますので、
球の入り方をどのように決めるかを
きちんと問題の条件に入れる必要があると思います。

No.62071 - 2019/10/28(Mon) 21:41:30

☆ Re: 組み合わせの問題です / こすも(す)

ご返信ありがとうございます．
球の入れ方についてですが，

・n個の球を1つずつランダムに箱に入れていく．
・k(<n)個目の球を入れ，その箱の中身がm個になったら，その箱を除き，k+1個目から球を入れていく．

として，m個入った時点でその箱を随時除いていく，といった仮定を置こうと思うのですが，
この仮定で問題を解くことは可能でしょうか．

No.62075 - 2019/10/29(Tue) 16:30:45

☆ Re: 組み合わせの問題です / らすかる

その最も人間的な仮定だと、解けないような気がします。
「数個の箱にm個の球が入っている特定のパターンになる確率」
が、具体的な値を与えられていても算出するのが大変そうですね。

No.62085 - 2019/10/30(Wed) 00:01:44

★ 行列式について / 山陰本線RO形可動ブラケット

｜A|などと表示されますが、曲線長を求める公式がL=R（｜i1-i2|)/100です。Lは曲線長、Rは曲率半径、i1,i2は勾配になります。ところで、これはどうやって求めるのですか。例えばi1=2‰、i=5‰の時、Lの値はどうなりますか。何Rになるのでしょうか。
ソースは下です。知恵袋からです。https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10114552290

No.62064 - 2019/10/28(Mon) 18:41:45

☆ Re: 行列式について / らすかる

前の問題は解決したのですか？

No.62066 - 2019/10/28(Mon) 18:56:27

★ 組み分けの問題です / nil

9人の生徒を各組に少なくとも1人はいるものとして3つの組に分ける方は何通りあるか、
組に区別はないものとする、という問題です。

私はまず9人のうちから3人を各組に選んで入れ、残った6人をランダムに
3つの組に振り分け、組の区別がないから3！で割るという方法を思いつきました。

(9P3 * 3^6)/3!
ところが正解の3025よりはるかに大きな数字になってしまいます。

なぜこれで正解が出ないのかわかりません、よろしくお願いします。

No.62058 - 2019/10/28(Mon) 14:45:04

☆ Re: 組み分けの問題です / らすかる

その計算方法だと、9人をa,b,c,d,e,f,g,h,iとして例えば
最初にa,d,gを選んで(a,b,c)(d,e,f)(g,h,i)になる場合
最初にa,d,hを選んで(a,b,c)(d,e,f)(g,h,i)になる場合
最初にa,d,iを選んで(a,b,c)(d,e,f)(g,h,i)になる場合
最初にa,e,gを選んで(a,b,c)(d,e,f)(g,h,i)になる場合
・・・
が重複していて、正解よりはるかに大きくなります。

No.62060 - 2019/10/28(Mon) 14:51:21

☆ Re: 組み分けの問題です / nil

ありがとうございました。私が参考にした最初に1個ずつ選んだ方法が有効なのは
区別がつかない同じ品質のリンゴという問題だったからなのですね。

No.62061 - 2019/10/28(Mon) 14:58:15

☆ Re: 組み分けの問題です / らすかる

そうですね。
区別がつかない場合に限り、
最初に1個ずつ入れておくという考え方が使えます。

No.62062 - 2019/10/28(Mon) 16:53:02

★ 高校数学 / 宅浪生

写真の問題の答えは
5mn-m-n-1で合ってるでしょうか？
違う場合はヒントをおねがいします。

No.62057 - 2019/10/28(Mon) 06:08:27

☆ Re: 高校数学 / らすかる

例えばn=m=l=1のとき、4点は(1,1,2)(2,1,1)(1,2,1)(1,1,0)となり
体積は1/3ですから、少なくとも平均が5mn-m-n-1にならないことは
わかりますが、一般の場合の平均を求めるうまい方法が思い付かず、
今のところヒントを出すことが出来ません。

No.62059 - 2019/10/28(Mon) 14:48:51

☆ Re: 高校数学 / 宅浪生

了解です。ありがとうございました。

No.62063 - 2019/10/28(Mon) 17:08:21

★ (No Subject) / PJ

証明の手段についてなのですが、

必要十分であることを示す際、
全ての場合が尽くされた時は→だけ証明して、←の確認をしなくて良い

という証明法の名前を教えてください。

その証明の仕方を学ぼうにも、名前を忘れてしまって、どうしようもできません。

No.62055 - 2019/10/28(Mon) 00:19:04

☆ Re: / らすかる

そういう方法で証明できることは知っていましたが、
その証明方法に名前があることは知りませんでした。
検索したら、「転換法」という名前が出てきました。

No.62056 - 2019/10/28(Mon) 00:33:43

☆ Re: / PJ

らすかるさんありがとうございます。

色々解いて練習してみます。

No.62072 - 2019/10/28(Mon) 23:40:18

★ 微分 / aiko

答えがなくて困ってます！

この問題を教えてください！

No.62052 - 2019/10/27(Sun) 23:40:57

☆ Re: 微分 / らすかる

(1)
y=sinxの(x2,sinx2)における接線をy=f(x)、その傾きをαとすると
y=sinxは0＜x＜πにおいて上に凸なので
0≦x≦πかつx≠x2のときsinx＜f(x)
よって
sinx1＜f(x1)からsinx2-sinx1＞f(x2)-f(x1)なので
(sinx2-sinx1)/(x2-x1)＞{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)=α
sinx3＜f(x3)からsinx3-sinx2＜f(x3)-f(x2)なので
(sinx3-sinx2)/(x3-x2)＜{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2)=α
従って(sinx2-sinx1)/(x2-x1)＞α＞(sinx3-sinx2)/(x3-x2)なので
(sinx2-sinx1)/(x2-x1)＞(sinx3-sinx2)/(x3-x2)

(2)
A(x,sinx), B(y,siny)とおくと
線分ABをμ：λに内分する点Cの座標は(λx+μy,λsinx+μsiny)
y=sinxは0＜x＜πにおいて上に凸なので
線分AB上にある点C(λx+μy,λsinx+μsiny)よりも
点D(λx+μy,sin(λx+μy))の方が上にある。
従ってsin(λx+μy)＞λsinx+μsiny。

# 学習状況によって最適な解き方が変わりますが、
# 上記の解き方はそれに合っていない可能性もあります。

No.62054 - 2019/10/28(Mon) 00:17:00

★ 微分 / aiko

答えがなくて困ってます。

この問題を教えてください！

No.62049 - 2019/10/27(Sun) 20:21:28

☆ Re: 微分 / らすかる

(1)
|x|＞1のとき
A=lim[n→∞]{x^(2n-1)sin(πx/2)+cos(a+bx)}/{x^(2n)+1}
=lim[n→∞]{sin(πx/2)/x+cos(a+bx)/x^(2n)}/{1+1/x^(2n)}
=sin(πx/2)/x
x=1のとき
A=lim[n→∞]{x^(2n-1)sin(πx/2)+cos(a+bx)}/{x^(2n)+1}
=lim[n→∞]{sin(π/2)+cos(a+b)}/2
={sin(π/2)+cos(a+b)}/2
={1+cos(a+b)}/2
x=-1のとき
A=lim[n→∞]{x^(2n-1)sin(πx/2)+cos(a+bx)}/{x^(2n)+1}
=lim[n→∞]{(-1)sin(-π/2)+cos(a-b)}/2
={-sin(-π/2)+cos(a-b)}/2
={1+cos(a-b)}/2
|x|＜1のとき
A=lim[n→∞]{x^(2n-1)sin(πx/2)+cos(a+bx)}/{x^(2n)+1}
=cos(a+bx)

(2)
lim[x→-1-0]A=lim[x→-1-0]sin(πx/2)/x=sin(-π/2)/(-1)=1
x=-1のときA={1+cos(a-b)}/2
lim[x→-1+0]A=lim[x→-1+0]cos(a+bx)=cos(a-b)
よって{1+cos(a-b)}/2=cos(a-b)=1でなければならないので
cos(a-b)=1からa=b … (A)
lim[x→1-0]A=lim[x→1-0]cos(a+bx)=1
x=1のときA={1+cos(a+b)}/2
lim[x→1+0]A=lim[x→1+0]sin(πx/2)/x=sin(π/2)=1
よって{1+cos(a+b)}/2=1でなければならないので
cos(a+b)=1からa+b=0またはa+b=2π … (B)
(A)(B)から(a,b)=(0,0),(π,π)

No.62050 - 2019/10/27(Sun) 21:37:04

☆ Re: 微分 / aiko

詳しい説明ありがとうございます！
理解できました！

No.62053 - 2019/10/27(Sun) 23:41:22

★ (No Subject) / 橋

この問題の最後の問題なのですが、グラフを書くと個数は３個のようにおもえるのですが、実際は４個なのです。なぜなのか教えてください！

No.62047 - 2019/10/27(Sun) 15:43:45

☆ Re: / らすかる

式を満たすxの個数が3個になるようなaはただ一つしかありませんので、
「[ケコ]＜a＜[カキ]を満たすときに式を満たすxの個数が3個」
となることはありません。
従って、おそらくグラフが間違っているものと思われます。
グラフはどうなりましたか？

No.62048 - 2019/10/27(Sun) 15:57:57