放物線C:y=x^2-x上に2つの動点P,Qがあり、POQ=90度を満たしてる時、原点Oから直線PQに下ろした垂線の足Hの軌跡の求め方を教えてください。
→OP=(a , a^2-a)
→OQ=(b , b^2-b)
a>bとする。
→OP×→OQ=0より
ab(a+b-2)=0なので
a+b-2=0
また、→PQ=→PO+→OQ
((b-a,(b^2-b)-(a^2-a))
と考えていったのですが、
この道筋で解くことってできますか？
よく分からなくなってしまいました。
教えていただけると嬉しいです。
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No.61345 - 2019/09/16(Mon) 19:20:47
| ☆ Re: お願いします。 / らすかる | | | > →OP×→OQ=0より
> ab(a+b-2)=0
「→OP×→OQ」はどういう意味で書いていますか？
またab(a+b-2)=0はどのように導かれますか？
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No.61362 - 2019/09/17(Tue) 00:18:29 |
| ☆ Re: お願いします。 / 千秋11  | | | 返信ありがとうございます。
→OP×→OQ＝0は直角から式が作れたかな？
と思い、
a(b^2-b)+b(a^2-a)=0
ab(b-1)+ab(a-1)=0となり、
ab(a+b-2)=0
aとbは0でないので、
a+b-2=0になりました。
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No.61364 - 2019/09/17(Tue) 07:33:29 |
| ☆ Re: お願いします。 / らすかる | | | 計算式を見ても「→OP×→OQ＝0」の意味がわかりませんが、
「→OP×→OQ」はどういう意味で書いているのですか？
普通「×」は「外積」の意味ですが、「外積」は三次元ベクトルに
使うものなので違いますよね。
直角ということで「＝0」と考えているということは、「内積」でしょうか？
内積には「・」を使います。「×」は外積の意味になってしまいますので
内積に「×」を使ってはいけません。
また、内積の成分計算は
a=(ax,ay), b=(bx,by)のときa・b=axbx+ayby
なので、a(b^2-b)+b(a^2-a)にはなりません。
もし「内積」で演算子と計算の間違いならば
→OP・→OQ=ab+(a^2-a)(b^2-b)=ab(ab-a-b+2)
となります。
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No.61365 - 2019/09/17(Tue) 08:18:30 |
| ☆ Re: お願いします。 / 千秋11 | | | 御回答ほんとうにありがとうございます。
勘違いしていました。
内積のつもりで、×を使用していました。
その式を使用するとしたら、
この問題を解くにはどうしたらいいでしょうか…。
よろしくお願いします…。
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No.61366 - 2019/09/17(Tue) 13:02:48 |
| ☆ Re: お願いします。 / らすかる | | | とりあえず求まりました。
→OP・→OQ=ab+(a^2-a)(b^2-b)=ab(ab-a-b+2)
ab≠0なのでab-a-b+2=0
a≠1なのでb=1-1/(a-1)
a＜bなのでa＜1＜b（ただしa≠0）
b=1-1/(a-1)からb=(a-2)/(a-1)
→OQ=(b,b^2-b)に代入すると
→OQ=((a-2)/(a-1),-(a-2)/(a-1)^2)
→QP=(a-(a-2)/(a-1),(a^2-a)+(a-2)/(a-1)^2)
=((a^2-2a+2)/(a-1),(a^2-2a+2)(a^2-a-1)/(a-1)^2)
→QP・→OH=0から
→OH=t(a^2-a-1,-(a-1))
直線PQは
y={(a^2-a-1)/(a-1)}(x-a)+(a^2-a)
これにx=t(a^2-a-1), y=-t(a-1)を代入してtを求めると
t=a(a-2)/(a^4-2a^3+2)
これをx=t(a^2-a-1),y=-t(a-1)に代入して整理すると
(x,y)=(a(a-2)(a^2-a-1)/(a^4-2a^3+2),-a(a-1)(a-2)/(a^4-2a^3+2))
x+y=a(a-2)/(a^4-2a^3+2)・{(a^2-a-1)-(a-1)}
=a^2(a-2)^2/(a^4-2a^3+2)
x^2+y^2=a^2(a-2)^2/(a^4-2a^3+2)^2・{(a^2-a-1)^2+(a-1)^2}
=a^2(a-2)^2/(a^4-2a^3+2)^2・(a^4-2a^3+2)
=a^2(a-2)^2/(a^4-2a^3+2)
∴x^2+y^2=x+yすなわち(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2
a＜1,a≠0から(0,0)と(1,0)が除外点
従って求める軌跡は中心(1/2,1/2)半径1/√2の円から(0,0)と(1,0)を除いた図形
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No.61368 - 2019/09/17(Tue) 15:12:56 |
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