ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / y

赤線をつけた部分がよくわかりません。
鉛直上向きに動かすと距離が大きくなり静電気力の公式の分母が大きくなるので、静電気力は小さくなると思うのですが？

No.62322 - 2019/11/15(Fri) 22:13:12

☆ Re: / y

図の写真です

No.62323 - 2019/11/15(Fri) 22:13:35

☆ Re: / ＩＴ

静電気力をｘ軸方向の成分とｚ軸方向の成分に分けて考える必要があります。

静電気力のｘ軸方向の成分の和は、常に０です。（左右から逆方向の同じ大きさの力が働くので）

静電気力のｚ軸方向の成分の和は、最初は０でその後変化します。
　ｚ軸方向の成分の割合が０から次第に増加
　全体の静電気力は、２点間の距離が大きくなるので減少

前の気体の問題は分かりましたか？

No.62324 - 2019/11/15(Fri) 22:21:15

☆ Re: / y

ｚ軸方向の成分の割合が０から次第に増加する理由を教えてください

No.62329 - 2019/11/16(Sat) 12:32:51

☆ Re: / ＩＴ

点Ｏ，点Ａ、点ＢにおいてＬから受ける静電気力を矢印ベクトルで描き、それらをｘ、ｚ成分に分けてみてください。

No.62331 - 2019/11/16(Sat) 12:51:33

★ ある集合の要素の個数とその総和 / Φ

(2)を解いていただけませんか？

自分が解けた(1)の答えはX=1-1(n!)
となりました。

よろしくお願いします。

No.62318 - 2019/11/15(Fri) 18:49:24

☆ Re: ある集合の要素の個数とその総和 / Φ

(1)は実験をして、帰納法で示したので、
本質的なことはなにもわかっていません。

ちなみに(2)の答えは{(n!)-1}/2 です。

No.62319 - 2019/11/15(Fri) 18:50:39

☆ Re: ある集合の要素の個数とその総和 / ＩＴ

まずは、
(a[2],a[3],..,a[n]) ≠(b[2],b[3],..,b[n]) ならば、
a[2]/2!+a[3]/3!+,..,+a[n]/n! ≠b[2]/2!+b[3]/3!+,..,+b[n]/n!.

を示す.（ｎ進数で各数が一意に表せることと類似の原理だと思います。）

1/2!,1/3!,2/3!,1/4!,2/4!,3/4!...の出現回数を求める。

と先が見えてくると思います。

No.62320 - 2019/11/15(Fri) 19:09:01

☆ Re: ある集合の要素の個数とその総和 / ＩＴ

> 自分が解けた(1)の答えはX=1-1(n!)
記入ミスでは？ 1-1/n! ですか？

このことから0≦a[3]/3!+a[4]/4!+...+a[n]/n!＜1/2 であることが分かります。

No.62321 - 2019/11/15(Fri) 19:38:08

☆ Re: ある集合の要素の個数とその総和 / Φ

ITさんありがとうございました😊
すいません(1)はおっしゃる通り記入ミスです。

異なることを全て示せば、たしかに(1)より要素が決まりますね。
もう一度解いてみます

No.62370 - 2019/11/17(Sun) 21:24:33

★ (No Subject) / 紅葉

次の条件で定められる数列anがある
a1=2,a2,=3,a(n+2)=3×(An)^2×a(n+1)

(1)a4=アイウ(972)　a5=2^エ×3^オカ (エ…6, オカ…10)
a6=2^キク×3^ケコ (キク…10 ケコ…21)→解決済み

(2)数列の列bn,cnを用いてan=2^bn×3^cn(n=1,2,3…)と表す
さらにPn=c(n+1)+c(n)+1, qn=c(n+1)—2c(n)-(1/2)
と置くとPn=サ×シ^n-1　(解答…2×2^(n-1)),qn=(ス/セ)×(ソタ)^n-1 (解答…(1/2)×(-1)^n-1)と表される→解決済み

(3)a12はチツテ桁(857)の整数であり最高位の数はト(3)である。またanの桁数が初めて10000以上になるのはn=ナニ(16)の時である。ただしlog(10)2=0.301,,log(10)3=0.4771である。

a12の桁数を求めるにはまずlog(10)a12の値を求めなければならないけどそのためにはbnの一般項とcnの一一般項を求めないと話が進まないけど…bnの一般項とかどうやって求めるの？。cnだけだったら(2)からPn=c(n+1)+c(n)+1=2^n…?@　qn=c(n+1)^2(cn)-(1/2)=(1/2)×(-1)^(n-1)…?Aと分かったから?@—?Aよりcn=｛(2^n)/3｝-(1/6)(-1)^(n-1)-(1/2)と求まったんですが…試しにn=1を代入して見ると値がC1= 1/6≠0となってしまうんですけど…。解説よろしくお願いします

No.62315 - 2019/11/15(Fri) 14:36:20

★ (No Subject) / Ran

この問題の⑵からわかりません！

c1+c3=c2
c2+c4=c3
……

などと頑張ったのですが、なんか対称性がなくてとけないです。

よろしくお願いします、

No.62314 - 2019/11/15(Fri) 14:12:07

☆ Re: / ＩＴ

(2)
a[3]=a[2]-a[1]
a[4]=a[3]-a[2]
・・・
a[7]=a[6]-a[5]
ですから地道にやれば出来ますね。

(3)
c[1]+c[2]+...+c[m]＝0が条件（＊）から分かります。
したがって正の項があれば負の項もあります。

数式だけで考えると　難しいと思います。
数列を正負を意識して５、６点プロットして考えると規則に気付き易いと思います。

途中0が出てくる場合と　そうでない場合に分けて
正（＋）負（－）の出現パターンを考えます。

（0が出てこない場合）
正の項の連続個数を考える。
条件（＊）から､
　＋＋＋＋のパターン(正が４項以上連続すること)は、ない、
　－＋＋－　のパターンはない。
　－＋－　のパターンはない。
したがって
　－＋＋＋－　のパターンしかない。
負の項についても同様｡

なぜこういえるかは、自分で確認して下さい。

（0が出てくる場合）
c[1]＝a＞0(負でも同じです)　として考えて見て下さい｡

上のようにして必要条件を求め、次に具体的な例で十分性を示せばいいと思います。

No.62317 - 2019/11/15(Fri) 15:30:43

★ (No Subject) / y

bの部分で断熱膨張しているのでΔU=3/2pΔvより
Δu>0だと思ったのですが違いました。どこが違うのでしょうか？
また、(ア)の部分の解説を見ても破線がなぜ解説のようになるのか分かりません。
教えてください！

No.62311 - 2019/11/15(Fri) 02:41:23

☆ Re: / ＩＴ

> bの部分で断熱膨張しているのでΔU=3/2pΔvより

ΔU=3/2pΔv はまちがっているのでは？　テキストで再確認されることをお勧めします。
断熱膨張すると、気体の温度が下がって内部エネルギーも減少すると思います。
（簡単にいうと、このため気圧が低い高所では気温が下がる）
公式を正確に覚えるのも大切ですが、大まかなことを覚えるのも大切です。

https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/therm/kitai/jyoutai.html

No.62313 - 2019/11/15(Fri) 14:02:55

★ わかりますか / あかさ

わかりますか

No.62307 - 2019/11/14(Thu) 14:02:35

☆ Re: わかりますか / ヨッシー

質問者の学年により答え方が変わってきますが、手っ取り早く
１次方程式の単元として回答します。

昨年の男子をｘ人とすると、女子はｘ－１０人。
今年は男子 0.8ｘ人、女子1.3(ｘ－１０)人となり、差を取ると、
　1.3(ｘ－１０)－0.8ｘ＝２
展開して
　1.3ｘ－13－0.8ｘ＝２
移項して整理すると
　0.5ｘ＝15
　ｘ＝30
今年の人数に直すと、男子24人、女子26人。

No.62308 - 2019/11/14(Thu) 14:29:17

★ 部分群の求め方について / 代数

正三角形の二面体群D6の自明でない部分群を全て求めよ。

恒等変換をe、鏡像変換をＳ、2/3πの対称回転をｒとしたときに
Ｄ6の元はe,r,r^2,s,rs,r^2s の6つで表され、
自明でない部分群はD6の位数6の約数1,2,3,6のうち2,3であるところまで理解はできました。

求める部分群は（e,r）（e,rs）（e,r^2s）（e,r,r^2）となるそうです。

部分群は群の条件を満たすために単位元eを含むのはわかります。それ以外のところがなぜ回答のようになるのかが分かりません。

解説していただければ幸いです。よろしくお願いいたします。

No.62306 - 2019/11/14(Thu) 11:48:05

☆ Re: 部分群の求め方について / ＩＴ

> 求める部分群は（e,r）（e,rs）（e,r^2s）（e,r,r^2）となるそうです。

まちがっていると思います。（e,r）と（e,r,r^2）がともに（互いに異なる）部分群になるのはおかしいです。

>自明でない部分群はD6の位数6の約数1,2,3,6のうち2,3であるところまで理解はできました。
位数２、３（素数）の群が　巡回群であることを使えば、調べられると思います。

No.62310 - 2019/11/15(Fri) 02:26:35

★ 集合が無限であることの定義 / 栗林

集合Xについて

『任意の自然数nに対して単射 : n→Xが存在する』
⇒『単射 : N→Xが存在する』

これを証明してくれませんか？

No.62291 - 2019/11/12(Tue) 20:47:47

☆ Re: 集合が無限であることの定義 / 栗林

※選択公理は使わずにお願いします

No.62292 - 2019/11/12(Tue) 20:53:24

☆ Re: 集合が無限であることの定義 / ＩＴ

命題の表現は、正しいですか？
・『任意の自然数nに対して単射 : n→Xが存在する』
　は、表現がまちがっているのでは？

・２行目のNは自然数全体からなる集合ですか？

No.62304 - 2019/11/13(Wed) 20:30:46

★ 対数微分の定義域 / ひろし

こんにちは。
対数微分の定義域で質問ありますので教えてください。

ｙ＝(x+2)^2・(x+3)^3・(x+4)^4　（定義域はすべての実数）……?@を対数微分すると

log│y│＝log│(x+2)^2・(x+3)^3・(x+4)^4│　（定義域はｘ＝-2,-3.-4以外のすべての実数）……?A
だから

log│y│＝2log│(x+2)│＋3log│(x+3)│+log│(x+4)│　（定義域はｘ＝-2,-3.-4以外のすべての実数）……?B
両辺をｘで微分すると
y’/y＝2/(x+2)＋3/(x+3)＋4/(x+4)＝(9x^2+52x+72)/{(x+2)(x+3)(x+4)}　（定義域はｘ＝-2,-3.-4以外のすべての実数）……?C
y＝(x+2)・(x+3)^2・(x+4)^3・(9x^2+52x+72)　（定義域はｘ＝-2,-3.-4以外のすべての実数）……?D

のような計算になると思うのですが、質問があります。

[質問1]
?@から?Cの計算で定義域が異なっていくのに、どうして解答でこのような計算が正しいと言えるのですか。

[質問2]
増減表を描くために、y'=0を考えるとき、?Dで定義域はｘ＝-2,-3.-4以外のすべての実数なので、
ｘ＝-2,-3.-4は代入できないので、y'=0にできないと思いますが、なぜｘ＝-2,-3.-4を代入してもいいのですか。

No.62290 - 2019/11/12(Tue) 12:04:08

☆ Re: 対数微分の定義域 / 黄桃

おっしゃるように、
y’=(x+2)・(x+3)^2・(x+4)^3・(9x^2+52x+72) ...(*)
は、本来、xが-2,-3,-4以外のすべてのxについて成立しているわけです。
一方、y’が実数全体で連続関数であることは、yの形から明らかです。(*)の右辺も実数全体で連続関数なのは明らかです。だから、(*)が、x≠-2,-3,-4において等しいなら、x=-2,-3,-4でも等しくなります。
つまり、実数全体で(*)が正しいといえるわけです。

＃分数関数 1/((x+1)(x+2)) において、　1/((x+1)(x+2))=a/(x+1)+b/(x+2) となるようなa,bを求める時に、
＃両辺を (x+1)(x+2)倍して 1=a(x+2)+b(x+1) とし、xに-1,-2を代入してa,bを求めることがあります。
＃この場合も分母を払ってしまえば、1=a(x+2)+b(x+1) がxが-1,-2 以外で恒等式だから、
＃xに-1,-2を含めても恒等式なのでx=-1,-2を代入できるのです。それと同じ理屈です。

No.62302 - 2019/11/13(Wed) 06:58:43

☆ Re: 対数微分の定義域 / ひろし

この場合も分母を払ってしまえば、1=a(x+2)+b(x+1) がxが-1,-2 以外で恒等式だから、
＃xに-1,-2を含めても恒等式なのでx=-1,-2を代入できるのです。それと同じ理屈です。
↑
なるほど。わかりました！ありがとうございました。

No.62305 - 2019/11/13(Wed) 20:54:03

★ (No Subject) / Φ

どなたか解答お願いします。

高3生数3 既習です。

No.62283 - 2019/11/11(Mon) 20:01:54

☆ Re: / Φ

質問です。
横になってしまったので、貼り直しました。

No.62285 - 2019/11/11(Mon) 20:03:27

☆ Re: / ＣＯＲＮＯ

間違いは２つあります．

１つ目，
　　１＋１＋２＋２^2＋……＋２^(k-1)＝１＋(２^k－１)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２^k

２つ目，
　「Ｐ(ｘ＝ｋ)は０～ｋを１回，ｋを１回ひくカクリツと考えて，」
には，２回ともｋを引く場合が重複しています．

No.62286 - 2019/11/11(Mon) 21:27:00

☆ Re: / ＣＯＲＮＯ

なお，「件名は必ず入れてください。」と背景にあります．

No.62287 - 2019/11/11(Mon) 21:29:19

☆ Re: / φ

CORNOさん回答ありがとうございます😊

すいません💦
以後件名は投稿する前に確認します

No.62293 - 2019/11/12(Tue) 21:17:42

★ (No Subject) / Ran

数列{a[n]}を　a[n]=Σ(k=1→n) (logk)^2とする。
⑴lim(n→∞) a[n]/n(log n)^2 を求めよ。
⑵lim(n→∞) a[3n]/a[2n]を求めよ。

をよろしくお願いします！

No.62278 - 2019/11/11(Mon) 08:22:53

☆ Re: / らすかる

(1)
y=(logx)^2のグラフから考えて
∫[1～n]{(logx)^2}dx＜Σ[k=1～n](logk)^2＜∫[1～n+1]{(logx)^2}dx
積分して
n{(logn)^2-2logn+2}-2＜Σ[k=1～n](logk)^2＜(n+1){(log(n+1))^2-2log(n+1)+2}-2
よって
{n{(logn)^2-2logn+2}-2}/{n(logn)^2}＜a[n]/{n(logn)^2}
　＜{(n+1){(log(n+1))^2-2log(n+1)+2}-2}/(n(logn)^2}
(左辺)=1-2/logn+2/(logn)^2-2/{n(logn)^2}
(右辺)={(1+1/n){(log(n+1)/logn)^2-2log(n+1)/(logn)^2+2/(logn)^2}-2/{n(logn)^2}
1≦lim[n→∞]log(n+1)/logn≦lim[n→∞]log(2n)/logn
=lim[n→∞]1+log2/logn=1
から
lim[n→∞](左辺)=lim[n→∞](右辺)=1なので
lim[n→∞]a[n]/{n(logn)^2}=1

(2)
lim[n→∞]a[3n]/a[2n]
=lim[n→∞]{a[3n]/(3n(log(3n))^2)}/{a[2n]/(2n(log(2n))^2)}
　　　　　　・(3n(log(3n))^2)/(2n(log(2n))^2)
=lim[n→∞]{a[3n]/(3n(log(3n))^2)}/{a[2n]/(2n(log(2n))^2)}
　　　　　　・(3/2)・{(log3/logn+1)/(log2/logn+1)}^2
=3/2

No.62279 - 2019/11/11(Mon) 08:59:49

☆ Re: / Ran

積分！！

理解できました！大変助かりました！ありがとありがとうございました。

No.62280 - 2019/11/11(Mon) 11:21:38

★ (No Subject) / アブドゥル

この問題の解説でわからないところがあります。

No.62266 - 2019/11/11(Mon) 00:30:39

☆ Re: / アブドゥル

画像の下の方のハテナ(？)のところがわかりません。

?@と?Cの条件からf(y)≦0などの条件が出てきたのかわかりません。
考えを日本語で解説してくださいませんか？

No.62267 - 2019/11/11(Mon) 00:33:46

☆ Re: / らすかる

まず、?Cはf(t)≦0という不等式ですから
0≦t≦2の範囲でf(t)≦0となる箇所があれば
そのtで?Cを満たせます。
この条件を場合分けすると
軸が0≦t≦2の範囲にあるときは(頂点のy座標)≦0であればよいので
「0≦y≦2のときf(y)≦0」
軸が2≦tの範囲にあるときはf(2)≦0であればよいので
「y≧2のときf(2)≦0」
のようになります。

No.62269 - 2019/11/11(Mon) 01:07:55

☆ Re: / アブドゥル

よく考えて理解しました。
いつも詳しい解説ありがとうございます。
助かりましたm(_ _)m
模試の復習ができて良かったです。

No.62273 - 2019/11/11(Mon) 01:46:12

★ 積分 / aiko

全部わかりません、
解答もなくて困ってます。

よろしくお願いします！

No.62263 - 2019/11/11(Mon) 00:06:45

☆ Re: 積分 / X

(1)
{(-1)^(n-1)}x^(2n-2)=(-x^2)^(n-1)
∴与式は初項1、公比-x^2の等比数列
の初項から第n項までの和になっています。
∴等比数列の和の公式により
(与式)={1-(-x^2)^(n-1)}/(1+x^2)

(2)
T[n]=∫[0→1]dx/(1+x^2)-{(-1)^n}∫[0→1]{(x^(2n))/(1+x^2)}dx
と置き、数学的帰納法を使って
S[n]=T[n] (A)
であることを示します。

(i)n=1のとき
T[n]=∫[0→1]dx/(1+x^2)+∫[0→1]{(x^2)/(1+x^2)}dx
=∫[0→1]dx
=1
=S[n]
∴(A)は成立

(ii)n=kのとき(A)の成立を仮定します。
つまり
S[k]=T[k]
このとき
T[k+1]-T[k]={(-1)^k}∫[0→1]{{x^(2k)}/(1+x^2)}dx
-{(-1)^(k+1)}∫[0→1]{{x^(2(k+1))}/(1+x^2)}dx
={(-1)^k}∫[0→1]{{x^(2k)+x^(2(k+1))}/(1+x^2)}dx
={(-1)^k}∫[0→1]{x^(2k)}dx
={(-1)^k}/(2k+1)
={(-1)^((k+1)-1)}/{2(k+1)-1}
∴T[k+1]=T[k]+{(-1)^((k+1)-1)}/{2(k+1)-1}
=S[k]+{(-1)^((k+1)-1)}/{2(k+1)-1}
=S[k+1]
∴n=k+1のときも(A)は成立。

(3)
0≦x≦1において
0≦{x^(2n)}/(1+x^2)≦x^(2n)
∴∫[0→1]0dx≦∫[0→1]{{x^(2n)}/(1+x^2)}dx≦∫[0→1]{x^(2n)}dx
各辺の定積分を計算することにより
問題の不等式は成立します。

(4)
(2)(3)の結果を使います。

まず(2)の結果から
|S[n]-∫[0→1]dx/(1+x^2)|=∫[0→1]{{x^(2n)}/(1+x^2)}dx
これに(3)の結果を使うと
0≦|S[n]-∫[0→1]dx/(1+x^2)|≦1/(2n+1)
よってはさみうちの原理により
(問題の無限級数)=lim[n→∞]S[n]
=∫[0→1]dx/(1+x^2)
=π/4
(∵)x=tanθと置いて置換積分

No.62281 - 2019/11/11(Mon) 19:45:46

☆ Re: 積分 / X

ごめんなさい。(2)の記述に問題がありましたので
No.62281を直接修正しました。
再度ご覧ください。

No.62303 - 2019/11/13(Wed) 19:08:45

★ 角 / ランバ

円に内接する四角形ABCDの角A、角B、角C、角D
の大きさを教えてください。
お願いします。

No.62258 - 2019/11/10(Sun) 23:05:25

☆ Re: 角 / らすかる

30°の頂点をE、50°の頂点をFとすると
∠BAD=∠ADE+30°
∠BCD=∠CDF+50°
∠ADE=∠CDFから∠BCD-∠BAD=20°
また∠BAD+∠BCD=180°なので
∠BAD=80°、∠BCD=100°
∠ADE=∠BAD-30°=50°なので
∠ADC=180°-50°=130°
∠ABC+∠ADC=180°から∠ABC=180°-130°=50°
従って四角形ABCDにおいて
∠A=80°、∠B=50°、∠C=100°、∠D=130°

No.62262 - 2019/11/10(Sun) 23:50:41

☆ Re: 角 / ランバ

丁寧な解説ありがとうございます。

No.62270 - 2019/11/11(Mon) 01:21:35