放物線y=xの2乗をCで表す。0≦t≦1とし、次の3条件を満たす点Pを考える。
(イ)C上の点Q(t,tの2乗)におけるCの法線の上にある。
(ロ)領域y≧xの2乗に含まれる。
(ハ)PとQの距離は(t-tの2乗)・√(1+4tの2乗)である。
tが0から1まで変化するとき、Pの描く曲線をDとする。
CとDとで囲まれる部分の面積を求めよ。
P(u,v)とします。
(イ)より、u+2vt=2tの3乗+tです。
(ロ)より、v≧uの2乗です。
(ハ)より、uの2乗-2ut+vの2乗-2vtの2乗=4tの6乗-8tの5乗+4tの4乗-2tの3乗です。
(イ)の方程式を使って(ハ)のtの次数を下げて、
(4u-4vの2乗-2v+1)tの2乗+(8vの2乗-6v-4uv-2u+1)t+vの2乗+4uv-u=0…☆
になりました。あとは☆が0≦t≦1に解をもつような(u,v)の条件を求めるのだと思いますが、係数が複雑すぎてどのように解いていけばよいのかわかりません。わかりやすく教えてください。
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No.62073 - 2019/10/29(Tue) 09:51:07
| ☆ Re: 軌跡 / らすかる | | | 方針がよくないですね。
Q(t,t^2)
法線の傾きは-1/(2t)
法線ベクトル(-2t,1)
法線単位ベクトル(-2t/√(1+4t^2),1/√(1+4t^2))
→QP=(t-t^2)√(1+4t^2)(-2t/√(1+4t^2),1/√(1+4t^2))=(2t^3-2t^2,t-t^2)
P=Q+→QP=(2t^3-2t^2+t,t)
よってDはx=2y^3-2y^2+yなので、y=xで二つに分けて
(求める面積)=∫[0〜1]x-x^2 dx + ∫[0〜1]y-(2y^3-2y^2+y) dy
で求められます。
ちなみに
> (4u-4vの2乗-2v+1)tの2乗+(8vの2乗-6v-4uv-2u+1)t+vの2乗+4uv-u=0…☆
> になりました。あとは☆が0≦t≦1に解をもつような(u,v)の条件を求める
これだけでは求まりません。これが0≦t≦1に解を持ち、さらに
そのときのu,v,tが(イ)が出したu+2vt=2t^3+tを満たす必要があります。
これは複雑すぎて求められる気がしません。
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No.62074 - 2019/10/29(Tue) 10:31:11 |
| ☆ Re: 軌跡 / 美雪 | | | 法線ヘクトルは思いつきませんでした。よくわかりました。ありがとうございました！
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No.62107 - 2019/11/01(Fri) 03:07:48 |
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