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★ 双曲線 / 子犬ちゃん
xy平面上に双曲線H:x^2/a^2-y^2/b^2=1 (a,b,>0)がある。
H上に点Pをとるとx軸、H、線分OPで囲まれる部分の
面積がsであった。(ただしOは原点でPは第一象限の点)
点Pの座標を求めるのはどうしたらいいのでしょうか？
No.61104 - 2019/09/01(Sun) 22:30:21
☆ Re: 双曲線 / らすかる
解析的には求まらない気がしますが、自作問題ですか？
No.61107 - 2019/09/02(Mon) 01:11:55
☆ Re: 双曲線 / 子犬ちゃん
ひとつ確認してもよいでしょうか。
P(a＊cosh(2s/ab), b＊sinh(2s/ab))
のとき問題の箇所の面積の値って何になりますか？
No.61116 - 2019/09/02(Mon) 20:17:17
☆ Re: 双曲線 / 子犬ちゃん
本当ですか？
下を見るとなんとなくsになりそうな気がするのですが

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%28cosh%282%29*sinh%282%29%29%2F2+-+%E2%88%AB%5B1%2Ccosh%282%29%5D+%E2%88%9A%28x%5E2-1%29+dx

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%28cosh%284%29*sinh%284%29%29%2F2+-+%E2%88%AB%5B1%2Ccosh%284%29%5D+%E2%88%9A%28x%5E2-1%29+dx

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%28cosh%286%29*sinh%286%29%29%2F2+-+%E2%88%AB%5B1%2Ccosh%286%29%5D+%E2%88%9A%28x%5E2-1%29+dx
No.61121 - 2019/09/02(Mon) 22:54:31
☆ Re: 双曲線 / 子犬ちゃん
もしこの座標が正しいとすると、
この点がただ一つであること
(たとえばPのx座標が増えるとき面積も単調増加であるなどのこと)
を示せば、一応は点Pを確定したことになるのでしょうか？

本当は天下りではなくNo.61104の状態からPを導く方法が知りたいのです。
無から有をといいいますか・・・
No.61122 - 2019/09/02(Mon) 23:00:22
☆ Re: 双曲線 / らすかる
計算間違いしていました。
計算を見直したら、ちゃんとsになりました。
まずHとy軸で挟まれる領域の面積を計算します。
P((a/b)√(t^2+b^2),t)とおくと、条件から
∫[0〜t](a/b)√(b^2+y^2)dy
y=btanθ（0≦θ＜π/2）と置換すると
ab∫[0〜arctan(t/b)]1/(cosθ)^3 dθ
=ab∫[0〜arctan(t/b)]cosθ/(cosθ)^4 dθ
=ab∫[0〜arctan(t/b)]cosθ/{1-(sinθ)^2}^2 dθ
sinθ=u（0≦u＜1）と置換すると
ab∫[0〜t/√(t^2+b^2)]1/(1-u^2)^2 du
=(ab/4)∫[0〜t/√(t^2+b^2)]{1/(1-u)+1/(1+u)+1/(1-u)^2+1/(1+u)^2} du
=(ab/4)[log{(1+u)/(1-u)}+1/(1-u)-1/(1+u)][0〜t/√(t^2+b^2)]
=(ab/4){log{(√(t^2+b^2)+t)/(√(t^2+b^2)-t)}+2t√(t^2+b^2)/b^2}
これから直角三角形の面積(at/2b)√(t^2+b^2)を引くと
s=(ab/4)log{(√(t^2+b^2)+t)/(√(t^2+b^2)-t)}
=(ab/2)log{(√(t^2+b^2)+t)/b}
と出せました。
（計算間違いでここの式がtで逆算できない形になっていました）
従ってこの式をtの式にすることで
t=b{e^(4s/ab)-1}/{2e^(2s/ab)}=bsinh(2s/ab)
と出せましたので、
Pのy座標はbsinh(2s/ab)（→x座標はacosh(2s/ab)）となります。

# 積分は思いつくままにやったので、遠回りしているかも知れません。
No.61124 - 2019/09/02(Mon) 23:30:08
☆ Re: 双曲線 / 子犬ちゃん
ありがとうございます。
確認出来ました。
No.61125 - 2019/09/03(Tue) 00:51:39
☆ Re: 双曲線 / らすかる
再度見たら積分は思いっきり遠回りしていますね。
∫[0〜t](a/b)√(b^2+y^2)dyでy=bsinhuとおけば
∫[0〜t](a/b)√(b^2+y^2)dy
=∫[0〜arcsinh(t/b)]ab(coshu)^2 du
=(a/2){barcsinh(t/b)+(t/b)√(t^2+b^2)}
なので直角三角形の面積(at/2b)√(t^2+b^2)を引いて
s=(ab/2)arcsinh(t/b)
∴t=bsinh(2s/ab)
No.61126 - 2019/09/03(Tue) 01:15:17
★ 質問お願いします。 / しょう
アイウの解説をお願いします。よろしくお願いします。
No.61097 - 2019/09/01(Sun) 18:00:14
☆ Re: 質問お願いします。 / X
アについて)
rなるnに対し
n=12k+2
=3・4k+2
(kは0又は自然数)
∴r⇒pかつq
は成立。
一方、pかつqなるnに対し
n=3l+2=4m+2
(l,mは0又は自然数)
∴3l=4m
となるので
lは4の倍数
mは3の倍数
となり、
pかつq⇒r
も成立。
よってアは必要十分条件。

イについて)
以下、例えばpの否定を
\p
と書くことにします。
さて
\qなるnには4で割り切れる自然数
も含まれるため
\q⇒\r
は成立しません。
一方、奇数を4で割った余りは
偶数である2にはなり得ませんので
\r⇒\q
は成立します。
よってイは必要条件となります。
No.61098 - 2019/09/01(Sun) 19:19:57
☆ Re: 質問お願いします。 / X
ウについて)
rなるnは偶数ですので問題は
rはpかつsであるための何条件か
を求めることと同じです。
さて
rなるnについて
n=12k+2
=3・(4k)+2
(kは0又は自然数)
∴r⇒pかつs
は成立。
一方、例えば
n=8
はpかつsを満たすnですが
このときrは成立しません。
∴pかつs⇒r
は成立しませんので
ウは十分条件
となります。
No.61099 - 2019/09/01(Sun) 19:27:44
★ (No Subject) / アブドゥル
この問題の(3)の解説がどうして、画像のようになるのですか？
5x+yの最後が、3^2n+1
5x-yの最後が、3^2n-1になる理屈を教えてください。
No.61092 - 2019/09/01(Sun) 16:44:06
☆ Re: / アブドゥル
以下が解説の画像になります。

画像の表の
5x+yの最後が、3^2n+1
5x-yの最後が、3^2n-1になる理屈を教えてください。
No.61093 - 2019/09/01(Sun) 16:45:02
☆ Re: / ＩＴ
yは正の整数なので5x+y > 5x-y ですから
　5x+y=5x-y=3^2n はダメです。
No.61095 - 2019/09/01(Sun) 17:17:18
☆ Re: / アブドゥル
> yは正の整数なので5x+y > 5x-y ですから
> 　5x+y=5x-y=3^2n はダメです。

最後の3の累乗が2n+1、2n-1なんですか？なぜ2nのあとに1が来るのですか？ほかの数字、例えば、
2n+3、2n-3とかでもいいのですか？
No.61111 - 2019/09/02(Mon) 15:11:29
☆ Re: / らすかる
5x+y＞5x-yを満たし
(5x+y)(5x-y)=3^(4n)を満たすのは
3^(4n)×3^0、3^(4n-1)×3^1、3^(4n-2)×3^2、…、
3^(2n+3)×3^(2n-3)、3^(2n+2)×3^(2n-2)、3^(2n+1)×3^(2n-1)
ですから、最後は3^(2n+1),3^(2n-1)でなければなりません。
もし表の最後を3^(2n+3),3^(2n-3)にしてしまうと、
条件を満たす
5x+y=3^(2n+2), 5x-y=3^(2n-2)
5x+y=3^(2n+1), 5x-y=3^(2n-1)
の二つが表から漏れていますのでダメです。
No.61113 - 2019/09/02(Mon) 17:02:07
☆ Re: / アブドゥル
詳しい回答本当にありがとうございました。
よく分かりました。
No.61114 - 2019/09/02(Mon) 17:42:36
★ (No Subject) / コーンスープ
丸のついている問題を教えてください
No.61090 - 2019/09/01(Sun) 16:20:53
☆ Re: / らすかる
RP=1から
(p-r)^2+(p^2-r^2)^2=1
(p-r)^2+{(p+r)(p-r)}^2=1
1+(p+r)^2=1/(p-r)^2
(p+r)^2=1/(p-r)^2-1 … (1)

面積は(p-r)(p^2-r^2)なので
面積の2乗は
{(p-r)(p^2-r^2)}^2
={(p-r)(p+r)(p-r)}^2
={(p-r)^2・(p+r)}^2
=(p-r)^4・(p+r)^2
=(p-r)^4・{1/(p-r)^2-1}
見やすいようにp-r=tとおくと
t^4・(1/t^2-1)
=t^2-t^4
=1/4-(t^4-t^2+1/4)
=1/4-(t^2-1/2)^2
よってt^2-1/2=0すなわちt^2=1/2のとき最大で
最大面積の2乗は
t^4・(1/t^2-1)=1/4なので
最大面積は1/2
p-r=t=√2/2 … (2)
(1)から
(p+r)^2=1/(p-r)^2-1=1なので
p+r=±1 … (3)
(2)(3)から
(p,r)=((±2+√2)/4,(±2-√2)/4)　（複号同順）
No.61096 - 2019/09/01(Sun) 17:19:29
★ (No Subject) / たけまる
△AFCと△ABCの面積比を出したい時に、AF/AB・AE/ACで出せるのはなぜですか？
No.61080 - 2019/09/01(Sun) 10:57:21
☆ Re: / ＩＴ
>△AFCと△ABCの面積比

これはまちがいで△AFEと△ABCの面積比　では？
No.61081 - 2019/09/01(Sun) 11:16:40
☆ Re: / たけまる
> >△AFCと△ABCの面積比
> 間違えました！そうです
> これはまちがいで△AFEと△ABCの面積比　では？
No.61085 - 2019/09/01(Sun) 14:57:33
☆ Re: / ＩＴ
補助線CFを引きます。

△ABCの面積:△AFCの面積　＝　AB：AF
△AFCの面積:△AFEの面積 ＝　AC：AE
です。
No.61087 - 2019/09/01(Sun) 15:21:24
★ 接平面，法線 / meow
添付してある画像の（3）の解法がわかりません．

(1)
f_{x},f_{y}(偏微分)を求め，点(1,1,13/3)を代入
z-4x-4y+(11/3)=0

(2)
f_{x},f_{y}=0から停留点を求め，ヘッシアンで条件確認．
f_{xx}が2なることより，極大値が存在しない．
極小を取る座標は，(-1,1),(1/2,-1/2),極値はそれぞれ1/3,43/48

(3)
ここの問題の解き方がよく分かりませんでした．
曲面のx，yの法線ベクトルが2になるように考えていたのですが，うまく解けません．助言いただけると嬉しいです．

よろしくお願いします．
No.61078 - 2019/09/01(Sun) 03:00:05
☆ Re: 接平面，法線 / X
これは(1)の過程と逆のことを行えばよいわけです。
つまり、

問題の平面のx,yの係数に注目すると
接点のx,y座標に対し
∂f/∂x=2 (A)
∂f/∂y=2 (B)
(A)(B)をx,yについての連立方程式として解き、
接点のx,y座標を求めます。
その結果をf(x,y)に代入し、接点のz座標を求めます。
No.61084 - 2019/09/01(Sun) 14:39:24
☆ Re: 接平面，法線 / meow
回答ありがとうございます．
その方法で自分も解いているのですが，
x,yを求めた際に，(1,0),(3/2,-1/2),(0,1)が接点のxy座標として出てきます．そこでf(x,y)へ代入したところ，それぞれz=2,91/48,-2/3が求まります．
そのときのxyzを平面の式へ代入してbを求めると
b=0,-5/48,-8/3となります

ですがこれをgrapher等でプロットするとまったく接平面ではありません．
どこが間違っているのかわからないです...
No.61089 - 2019/09/01(Sun) 15:47:04
☆ Re: 接平面，法線 / X
もしかして接平面の理解を間違えていませんか？

例えば３次関数のグラフでの接線はその接点以外に
接点でない交点を持つ場合がありますよね。
それと同様に曲面に対する接平面は
接点以外に(接点でない)交点、又は交線を持つ
ことがあります。

そうではなくて、求められた3点
(1,0,2),(3/2,-1/2,91/48),(0,1,-2/3)
が得られた接平面の接点になっていない
ということでしょうか？
No.61100 - 2019/09/01(Sun) 19:37:57
☆ Re: 接平面，法線 / X
確認のため、計算をしてみましたが
３つの接点のうち
点(0,1,-2/3)
は
点(0,1,4/3)
の誤りでは？。
No.61101 - 2019/09/01(Sun) 20:43:36
☆ Re: 接平面，法線 / meow
確認までありがとうございます．
その通りでした．(0,1,4/3)が正しいです．

＞例えば３次関数のグラフでの接線はその接点以外に
＞接点でない交点を持つ場合がありますよね。
＞それと同様に曲面に対する接平面は
＞接点以外に(接点でない)交点、又は交線を持つ
＞ことがあります。

勘違いをしていました．根本からの理解が足りませんでした．
解決していただき感謝しています．
No.61103 - 2019/09/01(Sun) 22:01:16
★ (No Subject) / あああ
解き方を教えてください
No.61077 - 2019/09/01(Sun) 01:17:34
★ (No Subject) / 銭亀
ｎは自然数とする。
an=2n-1,bn=Σ(k=1~n)ak^2,cn=-(-3)^(n-1)
このとき
Σ(k=1~2n)bkck/3^kを求めたいのですがｎの三次式と指数関数の積のΣとなってしまいます。よろしくお願いします。
No.61070 - 2019/08/31(Sat) 22:28:24
☆ Re: / らすかる
何通りかに解釈できますが
a[n]=2n-1, b[n]=Σ[k=1〜n](a[k])^2, c[n]=-(-3)^(n-1) で
Σ[k=1〜2n]b[k]c[k]/(3^k) を求める
ということでよいでしょうか。
b[n]=Σ[k=1〜n](a[k])^2=Σ[k=1〜n](2k-1)^2
=Σ[k=1〜n](4k^2-4k+1)=n(4n^2-1)/3

Σ[k=1〜2n]b[k]c[k]/(3^k)
=Σ[k=1〜2n]{k(4k^2-1)/3}・{-(-3)^(k-1)}/(3^k)
=Σ[k=1〜2n]{k(4k^2-1)/9}・{(-3)^k}/(3^k)
=Σ[k=1〜2n]{k(4k^2-1)/9}・(-1)^k
=Σ[k=1〜n]{2k(4(2k)^2-1)/9}-{(2k-1)(4(2k-1)^2-1)/9}
=(1/9)Σ[k=1〜n]2k(4(2k)^2-1)-(2k-1)(4(2k-1)^2-1)
=(1/9)Σ[k=1〜n]48k^2-24k+3
=(1/3)Σ[k=1〜n]16k^2-8k+1
=n(16n^2+12n-1)/9
No.61072 - 2019/08/31(Sat) 22:59:28
☆ Re: / 銭亀
回答ありがとうございます。階差にもっていくのですね。
Σ[k=1〜2n]{k(4k^2-1)/9}・(-1)^k
=Σ[k=1〜n]{2k(4(2k)^2-1)/9}-{(2k-1)(4(2k-1)^2-1)/9}
の変形がわかりません。
詳しく教えてもらえないでしょうか？
（−１）＾ｋが消えた経緯や２ｎ項までのものがｎ項になっていること、どうやってこの変形を思いついたのかを含めてお願いします
No.61073 - 2019/08/31(Sat) 23:45:16
☆ Re: / らすかる
階差ではありません。
例えば
Σ[k=1〜2n]k^2・(-1)^k
だとすると
1^2・(-1)^1+2^2・(-1)^2+3^2・(-1)^3+4^2・(-1)^4+…+(2n)^2・(-1)^(2n)
=-1^2+2^2-3^2+4^2-…+(2n)^2
ということなので2項ずつまとめて
{-1^2+2^2}+{-3^2+4^2}+…+{-(2n-1)^2+(2n)^2}
=Σ[k=1〜n]-(2k-1)^2+(2k)^2
のようにすれば(-1)^kを消せますよね。
これと全く同じことをしています。
No.61074 - 2019/09/01(Sun) 00:00:54
☆ Re: / 銭亀
回答ありがとうございます。確かにその通りでした。理解できました。ありがとうございました
No.61075 - 2019/09/01(Sun) 00:16:33
★ (No Subject) / パンチ
log_(10)2<0.31を証明せよ。
解説をお願いします。
No.61060 - 2019/08/31(Sat) 18:33:14
☆ Re: / ＩＴ
log_(10)2<0.31
⇔　2　< 10^0.31
⇔　2^100　< 10^31 #行間は埋めてください。

2^10=1024なので
2^100=1024^10=(10^30)*(1.024)^10

したがって　1.024^10< 10 を示せばよい。
＃これはけっこう粗く評価しても示せます。
No.61061 - 2019/08/31(Sat) 18:53:56
☆ Re: / パンチ
1024^10=(10^30)*(1.024)^10の計算過程で
なぜ、10^30が急に出てきてるいるのでしょうか？
No.61062 - 2019/08/31(Sat) 19:23:08
☆ Re: / パンチ
また、1.024^10< 10を計算したとき
log_(10)2<0.04となったのですが、これでokなのでしょうか？
No.61063 - 2019/08/31(Sat) 19:29:28
☆ Re: / ＩＴ
> 1024^10=(10^30)*(1.024)^10の計算過程で
> なぜ、10^30が急に出てきてるいるのでしょうか？

1024=(10^3)*1.024 ですから。

（1024=1.024*(10^3)　と書くほうが良いかも）
No.61064 - 2019/08/31(Sat) 19:38:34
☆ Re: / ＩＴ
> また、1.024^10< 10を計算したとき
> log_(10)2<0.04となったのですが、これでokなのでしょうか？

まちがいですし、

1.024^10 をlog_(10)2の（近似）値をなど使わず評価しないといけません。

例えば　
(1.024)^10<(1.1)^5=(((1.1)^2)^2)*1.1<(2^2)*1.1<10
No.61065 - 2019/08/31(Sat) 19:47:09
☆ Re: / パンチ
(1.024)^10<(1.1)^5=(((1.1)^2)^2)*1.1<(2^2)*1.1<10

この計算はいきなり言えるのですか？
No.61066 - 2019/08/31(Sat) 20:20:52
☆ Re: / ＩＴ
いきなりではなく、それなりに段階を踏んでいるつもりですが、どこが疑問ですか？

最初の不等式はもう少していねいにやるなら　

1.024^10<1.03^10=(1.03^2)^5<1.1^5

No.61067 - 2019/08/31(Sat) 20:52:04
☆ Re: / らすかる
かなり粗くても大丈夫ですね。
1.024^10＜1.1^12＝(1.1^2)^6＝1.21^6＜(√2)^6＝2^3＝8＜10
No.61068 - 2019/08/31(Sat) 21:35:24
☆ Re: / ゴンチャロフ
log2^9<log5^4
はどうでしょうか？
No.61086 - 2019/09/01(Sun) 15:07:17
☆ Re: / らすかる
なるほど、それは良い方法ですね。
2^9=512＜625=5^4
log[10](2^9)＜log[10](5^4)
9log[10]2＜4log[10]5
9log[10]2＜4log[10](10/2)
9log[10]2＜4(1-log[10]2)
9log[10]2＜4-4log[10]2
13log[10]2＜4
∴log[10]2＜4/13=400/1300＜403/1300=31/100=0.31
No.61088 - 2019/09/01(Sun) 15:41:30
☆ Re: / パンチ
log2^9<log5^4

この発想はどこから導けますか？
No.61091 - 2019/09/01(Sun) 16:41:11
☆ Re: / らすかる
私が発想したわけではないですが、
おそらく以下のように考えたのだと思います。

log[10]2＜0.31を示すのに
log[10]2＜○＜0.31となるような
簡単に計算できる○があれば楽に示せます。
log[10]2≒0.30103なので
0.30103より大きく0.31より小さい数が分数で表せれば
2^△＜10^□のような整数の不等式をもとにして証明できます。
そのためにはまず、0.30103より大きく0.31より小さい、
最も分母が小さい数を考えます。
1÷0.30103≒3.322, 1÷0.31≒3.226なので(これは割り算します)
2÷0.30103≒6.644, 2÷0.31≒6.452(割り算ではなく上の値を2倍)
3÷0.30103≒9.966, 3÷0.31≒9.678(3倍)
4÷0.30103≒13.288, 4÷0.31≒12.904(4倍)
ここで整数部分に違いが出ましたので
4/0.30103＞13＞4/0.31 から
0.30103/4＜1/13＜0.31/4
0.30103＜4/13＜0.31
従ってlog[10]2＜4/13が示せればよいことがわかります。
これを変形すると
2＜10^(4/13)
2^13＜10^4
2^9＜5^4
となりますので、2^9=512＜625=5^4を出発点にすれば
証明できることになります。
No.61094 - 2019/09/01(Sun) 16:59:50
★ (No Subject) / health-p
上の式を下の式に直すにはどうしたら良いですか？教えてくださいお願いします。
No.61053 - 2019/08/30(Fri) 17:20:50
☆ Re: / ＩＴ
ターゲットが分かっているなら　両辺を３倍すればいいです。
そうでなければ、分母の有理化と1/2 + 1/6 を計算する。

こういうのは、自分でいろいろやってみるのが大切です。
No.61054 - 2019/08/30(Fri) 19:59:00
☆ Re: / health-p
分かりました！ありがとうございます。
No.61057 - 2019/08/31(Sat) 07:42:12
★ (No Subject) / Huz
この問題についてなんですが、このように場合分けをしたのですが解答と逆ですが、何が間違っていたのでしょうか？
No.61047 - 2019/08/30(Fri) 02:14:42
☆ Re: / Huz
> この問題についてなんですが、このように場合分けをしたのですが解答と逆ですが、何が間違っていたのでしょうか？
No.61048 - 2019/08/30(Fri) 02:15:02
☆ Re: / らすかる
cosxの二次式ですが二次の項の係数が負ですから
グラフは上に凸となり、-1/2〜1の間で正です。
No.61050 - 2019/08/30(Fri) 03:29:40
★ ベクトル / じろー
フォーカスゴールドの2Bのベクトルと問題で、写真のシャーペンで下線を引いているところの絶対値を付ける理由が分かりません。
No.61043 - 2019/08/29(Thu) 22:03:23
☆ Re: ベクトル / あああ
長さだから？
No.61046 - 2019/08/30(Fri) 02:10:28
☆ Re: ベクトル / X
問題の下線を引いてある行の上の行から
↑BQ={(5-k)/9}↑BC
これの両辺の絶対値を取ると
|↑BQ|=|{(5-k)/9}↑BC|
|↑BQ|=|(5-k)/9||↑BC|
∴BQ=|(5-k)/9|BC
となります。
No.61051 - 2019/08/30(Fri) 04:41:06
★ (No Subject) / サイ
ある細胞Aがある。
この細胞は1分ごとに分裂し、2コの細胞となる。
細胞A1コをコップに入れると、1時間で、コップは細胞Aでいっぱいとなった。

では、細胞Aを2ココップに入れた時、何分でいっぱいになるか。

お願いします
No.61039 - 2019/08/29(Thu) 20:16:02
☆ Re: / らすかる
1個のとき1分後が2個なので、2個から一杯までは59分です。
No.61040 - 2019/08/29(Thu) 20:18:57
★ 数?@ 集合の包含関係関係・相等の証明 / health-p
問1 と 問2 の記述を書きました。合っていますか？お願いします。
No.61036 - 2019/08/29(Thu) 18:25:12
☆ Re: 数?@ 集合の包含関係関係・相等の証明 / ＩＴ
問１　まちがっています。
解答の２行目の最初の「B={3m-1|n∈Z} となる。」は、これ単独で見てもおかしいです。Bがどんな集合か分かりません。
じっくり眺めて見てください。
No.61038 - 2019/08/29(Thu) 19:01:51
☆ Re: 数?@ 集合の包含関係関係・相等の証明 / health-p
それではどのように書き直したらいいですか？
No.61041 - 2019/08/29(Thu) 20:54:43
☆ Re: 数?@ 集合の包含関係関係・相等の証明 / ＩＴ
お使いのテキストの例題ではどんな記述になっていますか？
それを真似るといいと思います。


私は、A⊃Bを示すときには　Ｂの任意の元xについてx∈Ａとなることを示します。
No.61042 - 2019/08/29(Thu) 21:18:56
★ y=x√(2-x^2)no / ポメラニアン
連投すみません。

y=x√(2-x^2)
ｙ'=1・(2-x^2)^1/2+{x(2-x^2)^1/2}'
y'=(2-x^2)^1/2+{x・-x/(2-x^2)^1/2}
y'=(2-x^2)^1/2-x^2/(2-x^2)^1/2
No.61032 - 2019/08/29(Thu) 03:03:04
☆ Re: y=x√(2-x^2)の微分 / ポメラニアン
この解き方が分かりません。
自力で解いたのですが、合っている気がしません。

よろしくお願いします。
No.61033 - 2019/08/29(Thu) 03:04:34
☆ Re: y=x√(2-x^2)no / らすかる
そこまでは合っていますので
もう少しまとめれば終わりです。
y'=√(2-x^2)-x^2/√(2-x^2)
={(2-x^2)-x^2}/√(2-x^2)
=(2-2x^2)/√(2-x^2)
=2(1-x^2)/√(2-x^2)
No.61034 - 2019/08/29(Thu) 04:05:55
☆ Re: y=x√(2-x^2)no / ポメラニアン
よく理解できました。
らすかるさん、ありがとうございます！
No.61035 - 2019/08/29(Thu) 09:40:36
★ (No Subject) / Hzuzu
(2)の式変形で4行目から5行目はどのように変形したのかよくわかりません。
教えてください
No.61027 - 2019/08/29(Thu) 02:36:56
☆ Re: / らすかる
{(tanx)^n}'=n(tanx)^(n-1)・{tanx}' から
{(tanx)^(n+1)}'=(n+1)(tanx)^n・{tanx}' となりますね。
従ってこの両辺をn+1で割れば
{1/(n+1)}{(tanx)^(n+1)}'=(tanx)^n・{tanx}' ですから、
(tanx)^n・{tanx}' を積分すると{1/(n+1)}{(tanx)^(n+1)}になります。
（積分定数省略）
No.61030 - 2019/08/29(Thu) 02:54:32
★ 極限値を求める / ポメラニアン
lim(x→∞)log[2]x/log[2](x+1)

答えは1ですか？計算過程をご教授願いたいです。
No.61026 - 2019/08/29(Thu) 02:21:22
☆ Re: 極限値を求める / らすかる
lim[x→∞]log[2]x/log[2](x+1)
=lim[x→∞]1-{log[2](x+1)-log[2]x}/log[2](x+1)
=lim[x→∞]1-log[2]{(x+1)/x}/log[2](x+1)
=lim[x→∞]1-log[2](1+1/x)/log[2](x+1)
=1
となりますね。
No.61028 - 2019/08/29(Thu) 02:48:11
☆ Re: 極限値を求める / ポメラニアン
ありがとうございます！
よく分かりました。
No.61031 - 2019/08/29(Thu) 03:01:53
★ (No Subject) / 谷子
このような問題で、解き方はわかるんですけど、対数自体をあまり理解できなくて、サイトや教科書をみてもいまいちわかりません。
この問題でいうと、log10の1/30の範囲が-30かは-29と分かったらなぜ、初めてゼロでない数字があらわれる少数の位が出てくるのががわかりません。わかりやすく教えていただきたいです。
No.61025 - 2019/08/29(Thu) 00:41:42
☆ Re: / らすかる
対数自体をあまり理解できていないのでしたら、
こういう掲示板で聞くよりも、「対数」で検索して
自分が理解できる解説サイトを見つける方が良いと思います。
基本的な事項は丁寧に解説しているサイトがいくらでもあります。
No.61029 - 2019/08/29(Thu) 02:50:26
☆ Re: / GandB
> 対数自体をあまり理解できなくて、サイトや教科書をみてもいまいちわかりません。

　サイトには似たような問題はいっぱいあるけどね。

> log10の1/30の範囲が-30から-29と分かったらなぜ、初めてゼロでない数字があらわれる
> 少数の位が出てくるのががわかりません。

　　-30 = log10( 10^(-30) )
であるから
　　-30 < log10( (1/30)^20 ) < -29
とは
　　log10( 10^(-30) ) < log10( (1/30)^20 ) < log10( 10^(-29) )
のことであり、log10(x) は単調増加関数なので
　　10^(-30) < (1/30)^20 < 10^(-29).
　10^(-30) は小数第 30 位に初めて 0 でない数字が表れる。
　10^(-29) は小数第 29 位に初めて 0 でない数字が表れる。
　したがって (1/30)^20 は小数第 30 位に初めて 0 でない数字が表れる。
No.61045 - 2019/08/30(Fri) 00:01:05
★ 整数の証明問題 / 美雪
実数xの小数部分を0≦y<1、かつx-yが整数となる実数yのこととし、これを記号〈x〉で表す。実数aに対して、無限数列{a_n}の各項a_n(n=1、2、3、…)を次のように順次定める。

a_1=〈a〉

a_n=≠0のとき、a_(n+1)=〈1/a_n〉

a_n=0のとき、a_(n+1)=0

aが有理数であるとする。aを整数pと自然数qを用いてa=p/qと表すとき、q以上のすべての自然数nに対して、a_n=0であることを示せ。

pをqで割った商r_1、余りをs_1とします。q>s_1です。

a_1=s_1/qで、s_1=1なら、a_2以降はすべての項が0になり、題意は成立します。s_1≠1とします。

qをs_1で割った商r_2、余りをs_2とします。s_1>s_2です。

a_2=s_2/s_1で、s_2=1なら、a_3以降はすべての項が0になり、題意は成立します。s_2≠1とします。

s_1をs_2で割った商r_3、余りをs_3とします。s_2>s_3です。

a_3=s_3/s_2で、s_3=1なら、a_4以降はすべての項が0になり、題意は成立します。s_3=1とします。

以下同様に、s_(n-2)をs_(n-1)で割った商r_n、余りをs_nとします。

a_n=s_n/s_(n-1)

a_nの分子に着目しますと、s_nは、q>s_1>s_2>…>s_nで、nの単調減少数列です。自然数qに対して、s_1、s_2、…s_(q-2)までに1であるものが存在しますと、それ以降はすべての項が0になり、題意は成立します。s_1からs_(q-2)までで1になるものがないと仮定します。

すると、s_1は最大でもq-1で、s_1、s_2、…s_(q-1)はすべて異なる自然数ですので、仮定から、s_(q-1)は1です。よってa_qは0になり、以降はすべての項が0ですので、題意は成立します。

後半部分に大きな×がついていますので、おそらく後半がだめなのだと思います。どこをどのように修正すれば正答になりますでしょうか。わかりやすく教えてください。
No.61024 - 2019/08/28(Wed) 23:37:40
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
論理展開が分かりづらいです。

> pをqで割った商r_1、余りをs_1とします。q>s_1です。

> a_1=s_1/qで、s_1=1なら、a_2以降はすべての項が0になり、題意は成立します。s_1≠1とします。

（中略）

>以下同様に、s_(n-2)をs_(n-1)で割った商r_n、余りをs_nとします。

ここまでの「s_1≠1とします。・・・s_3=1とします。（s_3≠1とします。の間違い？）」という記述と

これ以降の
「自然数qに対して、s_1、s_2、…s_(q-2)までに1であるものが存在しますと、それ以降はすべての項が0になり、題意は成立します。s_1からs_(q-2)までで1になるものがないと仮定します。」の記述の関係が分かりづらいです。

前段が具体的な例示的記述で、後段が一般的な記述（証明の本体）なら明確に分けて書いた方がいいとおもいます。


> a_n=s_n/s_(n-1)

分母が0になるのを避けないといけないと思います。

> q>s_1>s_2>…>s_nで、nの単調減少数列です。
各s_i が０（１？）以上の整数であることを明記した方がいいとおもいます。

> すると、s_1は最大でもq-1で、s_1、s_2、…s_(q-1)はすべて異なる自然数ですので、仮定から、s_(q-1)は1です。
「仮定」とは何ですか？

s_1 がq-1より小さいときはどうなりますか？
No.61055 - 2019/08/30(Fri) 21:28:53
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
s_i=1 かどうかに着目するより、s_i=0かどうかに着目した方が良いのでは？

pとqは互いに素とは限らないので、途中どこでもs_i=1 にならないことがあると思います。（pとqが互いに素な場合に帰着させる方法はありますが）

ここが根本的なまちがいの元だと思われます。

例えば、a=2/4 のとき a_1=2/4 ,a_2=0
No.61056 - 2019/08/30(Fri) 21:56:31
☆ Re: 整数の証明問題 / 黄桃
今までの質問もこの質問も、考え方は合っているので、邪推なら申し訳ないですが、

実は、この問題は類題（あるいは同じ問題）を先生が授業で解いていた

という疑いを持ちました。

その時に、先生が

ここは重要と強調したポイントが抑えらえていない、とか、
ここは自分できちんとした証明にしなさい、

とかいった部分ができてない、ということではないか、と疑心暗鬼になりました。

＃はっきり言えば、授業で先生が書いたことを丸写ししているだけで
＃理解できているかどうかがわからない答案ではないか、という可能性がある、ということ。

この邪推が正しいとすると、
解法が理解できているのに書き方が悪い
のではなくて、
そもそも解答が理解できていない、
ということになるので、回答者としては敬遠したくなります。

大きな×の趣旨としては、おそらく、

* 一般のkについて、漸化式 a[k]=s[k]/s[k-1] が導かれる過程をきちんと書く(以下同様に、ではダメ）
* その過程で、s[k]とは何か、きちんと定義する。
* 後で使うs[k]の性質もきちんと示す。

ができてないということでしょう。

この解法を理解しているのなら、ご自分で修正できるはずです。
No.61058 - 2019/08/31(Sat) 09:18:48
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
2011東大理系入試問題　のようですね。
https://www.densu.jp/tokyo/11tokyospass.pdf

先生は、お忙しいのか　これも採点が乱暴ですね。
０点にしても、単なる×ではなく少しは添削指導して欲しいものですね。
No.61059 - 2019/08/31(Sat) 09:34:51
☆ Re: 整数の証明問題 / 美雪
IT様、回答ありがとうございました。
修正するところがよくわかりました！

黄桃様、大変恐縮ですが、そのようなことはございません。一応テスト中に自分で考えた解答です。授業で扱った問題ではありません。
No.61076 - 2019/09/01(Sun) 00:47:20
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
aが有理数であるとする。aを整数pと自然数qを用いてa=p/qと表すとき

先にも書きましたが、p/qは一意ではないことに注意が必要です。　「pとqは互いに素」とすると一意です。

各a[n]は一意に決まっています。
>修正するところがよくわかりました！

直されたら書き込んでみて下さい。出来れば手書きの方が読み安いかも知れません。


> 一応テスト中に自分で考えた解答です.
考え方は良いところまで行っているので、記述力と細部の点検（例外処理）を訓練されると良いとおもいます。

本番では、模範解答のような綺麗な答案が書けるわけではありません。書けなくてもポイントを押さえていれば、あるていど得点できます。

練習では、推敲して綺麗な（簡潔で論理に漏れや飛躍がなく読み易い）答案を作る訓練をしておかれるといいとおもいます。

特に、数学的帰納法、背理法は訓練されておいた方が良いと思います。

例えば
>a_2以降はすべての項が0になり、題意は成立します。
ここでは「題意は成立します。」は記述不要だと思います。
「a_2以降はすべての項が0になる。」の方が良いと思います。
「題意は成立します。」を書くより　a_2=0 となる理由を書くほうが大切です。

中央文庫の「数学受験術指南（森毅）」の２章入試採点の内幕、６章数学答案の書き方、などを読んで見られるのもいいかも知れません。
No.61079 - 2019/09/01(Sun) 06:53:56
☆ Re: 整数の証明問題 / 黄桃
失礼しました。そういうことなら、安心しました。かなり優秀だと思うので、自信をもってください。
個人的にはこのような解答でも90-95%くらいはOKだと思います。

この問題は、ユークリッドの互除法のいいかえにすぎないので、教科書や参考書のその付近の記述を参考にするといいでしょう。

>pをqで割った商r_1、余りをs_1とします。q>s_1です。
>a_1=s_1/qで、

とあるのですから、これを一般化していきます。
自分で発見した順に書くよりは、いきなり結論を述べて証明する方が書きやすいこともあり、この問題はそういうものでしょう。

以下、参考にしてください。

s[0]=q, s[1]を pをqで割った余り、とします(qは1以上ですからs[1]は0かも知れませんが、存在します）。
そして、s[k](k≧2)を、s[k-1] が0なら0、そうでないなら、s[k-2]をs[k-1]で割ったあまり(0≦s[k]<s[k-1]) と定義します。
なお、
(*) 0≦a<1 に対して、=a
(**) nが整数なら、<n+a>=
が成立します（後で使うので名前をつけておきます；この証明までは要求されないでしょう）。

すると、次のことが言えます。
命題
kを自然数とすると、
(1) s[k]は0以上の整数
(2) s[k]が0でないなら、a[k]=s[k]/s[k-1], s[k]が0なら a[k]=0
(3) {s[k]}は単調減少(s[k+1]≦s[k])で、s[k]>0 なら、s[k+1]<s[k]
証明
(1),(2)は数学的帰納法で証明します。
s[k]の定義が3項間漸化式みたいなので、(1),(2)は、最初の2つを示す必要があります。
(1)について。
k=1,2の時
s[1]=q は仮定により自然数だから正しい。s[2]はs[1]>0なので、s[0]をs[1](>0)で割った余りだからやはり0以上の整数なので正しい。
一般のk
s[k](k≧2)まで正しいとする。s[k]が0ならs[k+1]も0だから正しい。
s[k]>0なら、、s[k+1]はs[k-1]をs[k]で割ったあまりだから、やはり正しい。

(2)について
k=1の時。
a[1]==<p/q>=<p/s[0]>
=<(s[0]*Q+s[1])/s[0]> (Qはpをq=s[1]で割った商)
=<s[1]/s[0]> ((**)による)
=s[1]/s[0] ((*)による)
k=2の時。
a[1]=0 なら{a[n]}の定義よりa[2]=0。一方a[1]=0なら、s[1]=0 で、s[2]の定義より、s[2]=0 なので、正しい。
a[1]>0ならa[2]=<1/a[1]>=<s[0]/s[1]>=<(s[1]*Q+s[2])/s[1]> (Qはs[0]をs[1]で割った商、s[2]は定義によりそのあまり）
=<s[2]/s[1]>((**)による)
=s[2]/s[1] ((*)による)
だから正しい。
s[k](k≧2) まで正しいとする。a[k]=0なら、a[k+1]=0であり、a[k]=0より、s[k]=0よりs[k+1]=0だから正しい。
a[k]>0とすると、s[k]>0であって、
a[k+1]=<1/a[k]>=<s[k-1]/s[k]>=<(s[k]*Q+s[k+1])/s[k]> (Qはs[k-1]をs[k]で割った商)
=<s[k+1]/s[k]> ((**)による)
=s[k+1]/s[k] ((*)による）
だから正しい。

(3)について。
s[k]=0であれば、s[k+1]=0なので、s[k]≧s[k+1]である。
s[k]>0であれば、定義よりs[k+1]はs[k-1]をs[k]で割ったあまりなので、s[k+1]<s[k]である。（命題の証明終わり）

＃(1),(3)は明示的にかかなくても大丈夫だと思います。
＃(2)だけ示して、使うときに、上で示したように、とか、{s[n]}の定義より、でも通じると思います。

あとは、s[q]=0 を示せば、{s[k]}の定義より、s[q+1]以降はすべて0であるから、上記(2)よりa[n]=0 (n≧q)がいえる。
(1)よりs[q]≧0だから、s[q]>0として矛盾を導けばよい。
(3)より、s[0]=q>s[1]≧s[2]≧...≧s[q]>0 であり、すべての1以上q以下のk について、s[k]は0より大きいので、(3)の後半より
q>s[1]>s[2]>...>s[q]>0
となる。これは0より大きくqより小さい整数がq個あることになり矛盾。
以上より、s[q]=0、よって、a[q]=0となり、q以降のnについて、a[n]=0であることがいえた（証明終わり）。

＃あくまでも書き方の一例としてご理解ください。
No.61082 - 2019/09/01(Sun) 11:41:10
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
すべて模範的答案というわけではないですが、難関大学入試の答案例として
大学への数学「入試の軌跡　東大」、「入試の軌跡　京大」などを参考にされるのもいいと思います。

ただし、これまでどおり自力でできるところまでやること、自分の答案を元に改善することをお勧めします。

（参考）「入試の軌跡　東大」の解説と答案

（解説）
実験すると｛a[n]}（を既約分数で表したときの）分母は減るらしい。
<1/a[n]>を捉えるために、商と余りを設定しましょう。

＃（を既約分数で表したときの）は、IT補足。

（答案）
帰納的に、a[n]は有理数で0≦a[n]＜1…(1)
a[n]≠0のとき、
　a[n]＝p[n]/q[n]　(p[n],q[n]は互いに素な自然数でp[n]＜q[n]）とおけ、
　q[n]をp[n]で割った商をs[n],余りをr[n]とすると、
　a[n+1]=<1/a[n]>=<q[n]/p[n]>=<s[n]+r[n]/p[n]>=r[n]/p[n]　
　よって、(a[n+1]の分母）≦(a[n]の分母）-1

これとa[1]の分母がqであることから、a[q]より前にa[n]＝0となるか、a[q]の分母が１.
　後者のとき(1)よりa[q]の分子は0だから、いずれにせよa[q]＝0

したがってa[q+1]以降も0となり、題意は示された。

＃少し飛ばしている感はありますが、本番の限られた時間ではこの程度で良いかも知れません。
　試験時間１５０分で大問が６問あります。この問題は[大問２]の小問３つの内の１つです。
No.61083 - 2019/09/01(Sun) 14:24:59
☆ Re: 整数の証明問題 / 美雪
修正解答です。

ある自然数mに対して、a_m=0であれば、m以上の任意の自然数nに対してa_n=0です。ある自然数mに対してa_m≠0ならば、m以下の任意の自然数nに対してa_n≠0です。したがって、a_q=0を示すことになります。

a=p/qにおいて、pとqが互いに素ではないとき、qより小さい自然数vと整数uを用いて、a=u/vと表せて、q>vですので、a_v=0ならば、a_q=0を示せたことになりますので、結局pとqが互いに素の場合を調べればよいです。

q=1のとき、a_1=0ですので、q≧2とします。

ここで、n≧2に対して、s_(n-2)をs_(n-1)で割った商をr_n、余りをs_nと定義します。s_0=qとします。s_1、s_2、…、s_(n-1)の中に0であるものがないとします。このとき、s_(n-1)とs_nは互いに素で、s_0>s_1>…>s_n≧0です。

a_n=s_n/s_(n-1)です。

任意の自然数nに対してs_nは整数ですので、

s_0≧s_1+1≧s_2+2≧…≧s_n+n

です。したがって、n=qとすると、q≧s_q+qより、s_q≦0ですので、s_q≧0とあわせて、s_q=0です。

これにより、a_q=0が成り立ちます。

これでいかがでしょうか。
No.61102 - 2019/09/01(Sun) 21:34:11
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
> ここで、n≧2に対して、s_(n-2)をs_(n-1)で割った商をr_n、余りをs_nと定義します。s_0=qとします。
s_1 が定義されていませんね。
s_n の出現が唐突な感じがします。先にs_0=q、s_1=を書いた方が分かり易いと思います。

>s_1、s_2、…、s_(n-1)の中に0であるものがないとします。
0であるものがあった場合は？

>このとき、s_(n-1)とs_nは互いに素で、
「s_(i-1)とs_i」は互いに素 の書き間違い？

> a_n=s_n/s_(n-1)です。

なぜこう云えるかをa_n の定義とs_nの定義などを使って説明すべきと思います。

最初の答案の　前段の実験結果も書いておくと答案の意味が分かり易いかも知れませんね。

No.61133 - 2019/09/03(Tue) 07:05:17
★ 数?@ 絶対値を含む1次方程式 / health-p
記述が合っていますか？答えは合っています。
No.61020 - 2019/08/28(Wed) 22:15:39
☆ Re: 数?@ 絶対値を含む1次方程式 / らすかる
「x=-4はx＜1を満たしている。」だけだと
x=2はどうなのかについての言及がありませんので
「このうちx＜1を満たしているのはx=-4」
と書いた方が良いと思います。
（iiも同じ）
あと
「x=6はx≧0を満たしている。」は
「x=6はx≧1を満たしている。」の間違いですね。
それから、解は
x=-4　(x＜1のとき)
x=6　（x≧1のとき）
という書き方はおかしいです。
解は
x=-4,6
と書きましょう。

また、（このように直す必要はないですが）参考までに
||x-1|-2|=3 の次で、|x-1|-2≧-2なので右辺の-3は省略できます。
つまり
||x-1|-2|=3
|x-1|-2≧-2から|x-1|-2=-3となることはないので
|x-1|-2=3
のようにすると、その後が
|x-1|=5
x-1=±5
x=1±5
x=-4,6
のように場合分けせずに終わりますね。
No.61023 - 2019/08/28(Wed) 22:33:39
☆ Re: 数?@ 絶対値を含む1次方程式 / health-p
ありがとうございます！
No.61037 - 2019/08/29(Thu) 18:27:01
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