An+1=Bn
Βn+1=(1/2)An+(1/2)Cn
Cn+1=(1/2)Bn+(1/2)Cn
A1=0,B1=C1=1/2
というか、三元連立漸化式は高校範囲で解けますか？
解けるなら、解法を教えてください。
よろしくお願いします
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No.61723 - 2019/10/08(Tue) 19:29:09
| ☆ Re: / らすかる | | | A[n+1]+2B[n+1]+2C[n+1]
=B[n]+(A[n]+C[n])+(B[n]+C[n])
=A[n]+2B[n]+2C[n]
a[n]=A[n]+2B[n]+2C[n]とすると
a[1]=2,a[n+1]=a[n]なのでa[n]=2
よってA[n]+2B[n]+2C[n]=2
A[n]=2-2B[n]-2C[n] … (1)
を第2式に代入して整理すると
B[n+1]=1-B[n]-(1/2)C[n]
この式とC[n+1]=(1/2)B[n]+(1/2)C[n]から
B[n+1]+{(3+√5)/2}C[n+1]-{(5+√5)/5}
={(√5-1)/4}{B[n]+{(3+√5)/2}C[n]-{(5+√5)/5}}
b[n]=B[n]+{(3+√5)/2}C[n]-{(5+√5)/5}とすると
b[1]=(5+√5)/20,b[n+1]={(√5-1)/4}b[n]なので
b[n]=(5+√5)/20・{(√5-1)/4}^(n-1)
={(5+3√5)/10}{(√5-1)/4}^n
よってB[n]+{(3+√5)/2}C[n]-{(5+√5)/5}={(5+3√5)/10}{(√5-1)/4}^n
B[n]=-{(3+√5)/2}C[n]+{(5+3√5)/10}{(√5-1)/4}^n+{(5+√5)/5} … (2)
を第3式に代入して整理すると
C[n+1]=-{(1+√5)/4}C[n]+{(5+3√5)/20}{(√5-1)/4}^n+{(5+√5)/10}
変形して
C[n+1]-{(3+√5)/10}{(√5-1)/4}^(n+1)-2/5
=-{(1+√5)/4}{C[n]-{(3+√5)/10}{(√5-1)/4}^n-2/5}
c[n]=C[n]-{(3+√5)/10}{(√5-1)/4}^n-2/5とすると
c[1]=-(√5-1)/20,c[n+1]=-{(1+√5)/4}c[n]なので
c[n]={-(√5-1)/20}・{-(1+√5)/4}^(n-1)
={(3-√5)/10}{-(1+√5)/4}^n
∴C[n]=c[n]+{(3+√5)/10}{(√5-1)/4}^n+2/5
={(3-√5)/10}{-(1+√5)/4}^n+{(3+√5)/10}{(√5-1)/4}^n+2/5
(2)に代入して
B[n]=-{(3+√5)/2}{{(3-√5)/10}{-(1+√5)/4}^n+{(3+√5)/10}{(√5-1)/4}^n+2/5}
+{(5+3√5)/10}{(√5-1)/4}^n+{(5+√5)/5}
=-{{-(1+√5)/4}^n+{(√5-1)/4}^n-2}/5
(1)に代入して
A[n]=2-2{-{{-(1+√5)/4}^n+{(√5-1)/4}^n-2}/5}
-2{{(3-√5)/10}{-(1+√5)/4}^n+{(3+√5)/10}{(√5-1)/4}^n+2/5}
={(√5-1)/5}{-(1+√5)/4}^n-{(1+√5)/5}{(√5-1)/4}^n+2/5
従って答えは
A[n]={(√5-1){-(1+√5)/4}^n-(√5+1){(√5-1)/4}^n+2}/5
B[n]={2-{-(√5+1)/4}^n-{(√5-1)/4}^n}/5
C[n]={(3-√5){-(1+√5)/4}^n+(3+√5){(√5-1)/4}^n+4}/10
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No.61724 - 2019/10/08(Tue) 21:03:31 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 最後のA[n]はA[n+1]=B[n]から求めた方が早かったですね。
また式は指数を変えた方が綺麗にまとまりますね。
B[n]={2-{-(√5+1)/4}^n-{(√5-1)/4}^n}/5 から
A[n]=B[n-1]={2-{-(√5+1)/4}^(n-1)-{(√5-1)/4}^(n-1)}/5
(3-√5)=(6-2√5)/2=(√5-1)^2/2,
(3+√5)=(6+2√5)/2=(√5+1)^2/2, (√5+1)(√5-1)=4 から
C[n]={(3-√5){-(1+√5)/4}^n+(3+√5){(√5-1)/4}^n+4}/10
={{(√5-1)^2/2}{-(1+√5)/4}^n+{(√5+1)^2/2}{(√5-1)/4}^n+4}/10
={{(√5-1)^2/2}{(1+√5)/4}^2{-(1+√5)/4}^(n-2)
+{(√5+1)^2/2}{(√5-1)/4}^2{(√5-1)/4}^(n-2)+4}/10
={(1/2){-(1+√5)/4}^(n-2)+{(1/2){(√5-1)/4}^(n-2)+4}/10
={{-(1+√5)/4}^(n-2)+{(√5-1)/4}^(n-2)+8}/20
よって整理した結果は
A[n]=2/5-{{-(√5+1)/4}^(n-1)+{(√5-1)/4}^(n-1)}/5
B[n]=2/5-{{-(√5+1)/4}^n+{(√5-1)/4}^n}/5
C[n]=2/5+{{-(√5+1)/4}^(n-2)+{(√5-1)/4}^(n-2)}/20
つまり
D[n]={-(√5+1)/4}^n+{(√5-1)/4}^nとおけば
A[n]=2/5-D[n-1]/5
B[n]=2/5-D[n]/5
C[n]=2/5+D[n-2]/20
補足
冒頭のA[n+1]+2B[n+1]+2C[n+1]は
A[n+1]+pB[n+1]+qC[n+1]=r(A[n]+pB[n]+qC[n])
の左辺に問題の式を代入してA[n],B[n],C[n]の式にして
係数比較でp,q,rを求めたものです。
同様にB[n+1]+{(3+√5)/2}C[n+1]-{(5+√5)/5}という式も
B[n+1]+pC[n+1]+q=r(B[n]+pC[n]+q)を解いてp,q,rを定めたもので、
C[n+1]-{(3+√5)/10}{(√5-1)/4}^(n+1)-2/5という式も
C[n+1]+p{(√5-1)/4}^(n+1)+q=r(C[n]+p{(√5-1)/4}^n+q)を解いて
p,q,rを定めたものです。
他に、
A[n+1]=B[n]を第2式に代入して
B[n+1]=(1/2)B[n-1]+(1/2)C[n]
∴C[n]=2B[n+1]-B[n-1]
これを第3式に代入して
2B[n+2]-B[n]=(1/2)B[n]+(1/2)(2B[n+1]-B[n-1])
整理して添え字を1ずらして
4B[n+3]=2B[n+2]+3B[n+1]-B[n]
この4項間漸化式を解く、という方法もあります。
おそらく計算量は似たようなものでしょう。
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No.61725 - 2019/10/08(Tue) 22:01:56 |
| ☆ Re: / 3年 | | | ラスカルさん解答ありがとうございます。
今かららすかるさんを参考に自分の手でもう一度解いてみます。
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No.61735 - 2019/10/09(Wed) 14:26:20 |
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