ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ネコ丸

関数を小学一年生でも理解できるよう砕いて説明してくだい。
　またその例。
　関数の関係ではない例をXとYを使って示していただけると有り難いです。

No.86411 - 2023/09/13(Wed) 12:07:58

☆ Re: / IT

普通の小学一年生が対象なら、何時間掛けていいのか分かりませんが、ここへの投稿を基に正しく説明するのは無理だと思います。

算数の指導要領によると
・「伴って変わる二つの数量」は４年生から
・「文字を用いた式」は６年生になってから
登場します。（教育関係の方ならお分かりかと思いますが）

No.86414 - 2023/09/13(Wed) 21:31:56

☆ Re: / ネコ丸

　問が不適切でしたね。すみません。
ｘの値が決まると、ｙの値が１つに決まる関係
　を砕いて説明してください。

No.86415 - 2023/09/14(Thu) 09:18:35

☆ Re: / ヨッシー

ｙの値が１つに決まる関係の例
　ｙはｘより１大きい数
　　ｘが１　のとき　ｙは２　のみ
　　ｘが２　のとき　ｙは３　のみ
　　　・・・
　　ｘが100 のとき　ｙは101 のみ
　　　・・・
ｙの値が１つに決まらない関係の例
　ｙはｘとのちがいが１の数
　　ｘが１　のとき　ｙは０と２　の２つ
　　ｘが２　のとき　ｙは１と３　の２つ
　　　・・・
　　ｘが100 のとき　ｙは99と101 の２つ
　　　・・・

No.86416 - 2023/09/14(Thu) 09:27:34

☆ Re: / ネコ丸

　わかりました。
　ありがとうございました。

No.86417 - 2023/09/14(Thu) 10:17:42

★ 標準偏差の考え方について / とおる

標準偏差の標準偏差？を求める様な問題についての質問です。
標準偏差というものは、偏差を二乗して平均し、それに平方根をつけたものと理解していました。
平均することで、誤差を分散しているのだと理解しておりました。

今回のような問題の場合、各辺長の標準偏差を求めるまでは分かるのですが、全長の標準偏差を求めるという所で、平均を求めず、各辺長の標準偏差を二乗したものの和に平方根をつけるだけで全長の標準偏差が求められるという事がいまいち理解できません。

どうか詳しい説明をお願いいたします。

No.86404 - 2023/09/11(Mon) 22:33:08

☆ Re: 標準偏差の考え方について / ヨッシー

分散の加法性で検索すると、
証明も含め、色々出てきます。

つまり、分散がＡ，Ｂ，Ｃである確率変数ａ，ｂ，ｃの
和ａ＋ｂ＋ｃの分散Ｘは
　Ｘ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ
であり、これを標準偏差で表すと
　σ_x²＝σ_a²＋σ_b²＋σ_c²
となるので、
　σ_x＝√(σ_a²＋σ_b²＋σ_c²)
となります。

No.86406 - 2023/09/12(Tue) 09:46:08

☆ Re: 標準偏差の考え方について / とおる

ありがとうございます。
助かりました。

No.86408 - 2023/09/12(Tue) 21:07:07

★ テイラー展開 / Eラン大学生

(問)次の関数を指示された点まわりに、2次の項までテイラー展開しなさい。　　　e^2x、x=1 まわり

(質問) f(x)＝e^2xとおくと、
f'(x)＝2e^2x、f''(x)＝4e^2x より、
これを2次の項までテイラー展開すると、
　f(x)＝f(1)＋f'(x)(x-1)＋f''(x)∙(x-1)^2/2!
　　 ∴ f(x)＝e^2＋2e^2 (x-1)＋2e^2(x-1)^2

　という答え方でいいのでしょうか？答え方が自信なくて。
　全体をe^2でくくるとか、＝を≒にしなくていいものでしょうか。

No.86392 - 2023/09/09(Sat) 00:34:42

☆ Re: テイラー展開 / ast

# f(x)=e^(2x) なのか……
# e^2x じゃ e^2 と x の積にしかみえん……

まず一般論としてですが,
> という答え方でいいのでしょうか？
> しなくていいものでしょうか。
あなたがその問題を解くに至った文脈や環境 (例えば何らかの講義を受けている中で出た問題なのであればその講義) 内のローカルルールに従ってくださいという以上のことは外の人間には言えません. まあ,
> 全体をe^2でくくるとか、
はあきらかに不要だと思いますが.

あと少なくともハッキリ言っておくべきことは, "もとの函数 f(x)" と"もとの函数から作ったテイラー級数 (あるいはそれを途中で打ち切ったテイラー多項式)" は別のものですから, それらが実際に一致するか否かというのは常に気を付けるべき重要な命題ということです.

だから (少なくとも本問において)
> f(x)＝f(1)＋f'(x)(x-1)＋f''(x)∙(x-1)^2/2!
あるいは
>　　 ∴ f(x)＝e^2＋2e^2 (x-1)＋2e^2(x-1)^2
の右辺は実際に左辺と一致してないので "=" はダメです. さりとて, 普通は (少なくとも純粋数学での話であれば) "≒" は使用しません.

ローカルルール次第ではありますが, 左辺と右辺の誤差にあたる項 (剰余項), たとえばランダウの O-記法で O(x^3) あるいは o-記法で o(x^2) と書けるような項を右辺に付け加えておくべきなのではありませんか?
# 参考: e^(2x) の x=1 の周りでの order 2 のテイラー展開
ローカルルール次第では, もっと具体的な何らかの形 (代表的なものとしてはラグランジュ形やコーシー形など) で剰余項を記述しないと正解にならない出題意図である場合も, 十分あり得る話です.

No.86393 - 2023/09/09(Sat) 02:04:55

☆ Re: テイラー展開 / Eラン大学生

回答頂き有難うございます。
ひとまず、f(x)＝という表記はしないでおこうと思います。

No.86405 - 2023/09/12(Tue) 00:20:28

☆ Re: テイラー展開 / ast

えっと, まあ最終的には質問者さんのご判断に従えばよいとは思うのですが, ただ私個人としては, 端的に言えば「問題の要求 ("2-次のテイラー展開") は "f(x)=(2-次のテイラー多項式)+(剰余項)" の形で解答することである」という認識をNo.86393で回答したつもりです.

# (もしかすると明確に "テイラー級数" や "テイラー多項式" と呼ばないテキストの可能性もありますが)
# 質問者のNo.86392で "f(x)=(2-次のテイラー多項式)" としていることについて,
# 一般には「剰余項を書かなければ "=" は誤り」である (展開と級数を混同しない) と指摘しました.
## 「一般には」というのは成り立つ場合 (実際に剰余項が函数として0に等しい場合) があるという意味です.
# ここで, "テイラー多項式" の形は一意的ですが, 剰余項の記述の仕方は様々なのでそのあたりが
#「ローカルルール」の話になります. (万が一そのローカルルールが「剰余項を無視する」ような扱いを
# しているならまた話が別になってくるのかもしれませんが, それはまず考えにくいことなので).

No.86407 - 2023/09/12(Tue) 19:25:41

★ (No Subject) / やべ

XがYに比例するとはYが増えるとXが増えるという意味ですか？

No.86380 - 2023/09/06(Wed) 19:51:14

☆ Re: / ヨッシー

日常で使われる場合は知りませんが、数学では、
Ｙがｎ倍になると、Ｘもｎ倍になる
これが、任意の実数ｎについて言えるとき、ＸがＹに比例すると言います。

通常は、ｙがｘに比例する場合が多いので、それにならうと、
　ｙ＝－２ｘ
はｙはｘに比例しますが、ｘが増えてもｙは増えません。
　ｙ＝－１／ｘ
はｘが増えるとｙも増えますが、比例ではありません。

No.86387 - 2023/09/07(Thu) 08:58:55

☆ Re: / WIZ

数学用語かどうかは分かりませんが、
「yが増えるとxが増える」と言う関係は「(増減に関する)共変性」と言います。
共変性とは「互いに関係する複数のものの変化の方向が同じ」という意味です。
なので、正確にはxとyの一方が増えれば他方も増え、一方が減れば他方も減るという場合を「xとyは増減に関する共変性を持つ」と言う訳です。
例としては「x > 0 かつ y = x^2」のような比例でない場合も含みます。
因みに、変化の方向が逆になる場合を反変性と言います。
例としては「x > 0 かつ y = 1/x」のような場合を「xとyは増減に関する反変性を持つ」と言います。

No.86388 - 2023/09/08(Fri) 00:00:56

★ ルートの連立方程式 / ふゆ＠中3生

いつもお世話になっています。
この問題が全くとけなくて…

√2ｘー2ｙ＝3　…1
2ｘ＋√2ｙ＝3　…2

加減法と代入法でとけということなのですが、解説に途中式もなくよくわかりませんでした。
解説をお願いしたいです。よろしくお願いします。

No.86375 - 2023/09/06(Wed) 06:24:19

☆ Re: ルートの連立方程式 / ヨッシー

加減法
(1) の両辺に√2を掛けて
　2x－2√2y＝3√2　　・・・(3)
　2x＋√2y＝3　　　　　・・(2)
(2)－(3) より
　3√2y＝3－3√2
　y＝(3－3√2)/3√2＝(√2－2)/2
(2) より
　x＝3/2－(√2/2)y
　　＝3/2－(√2/2)(√2－2)/2
　　＝3/2－(1－√2)/2
　　＝√2/2＋1
(x,y)＝(√2/2＋1, √2/2－1)

代入法
　√2ｘ－2ｙ＝3　　・・・(1)
より
　√2x＝2y＋3　　・・・(3)
　2ｘ＋√2ｙ＝3　　・・・(2)
より
　√2(√2ｘ)＋√2ｙ＝3
これに(3)を代入して、
　√2(2y＋3)＋√2ｙ＝3
展開して整理すると
　3√2y＝3－3√2
　y＝(3－3√2)/3√2＝(√2－2)/2
(3) より
　x＝√2y＋3√2/2
　　＝√2(√2－2)/2＋3√2/2
　　＝1＋√2/2
(x,y)＝(√2/2＋1, √2/2－1)

代入法は、
　x＝√2y＋3/√2
としてでも解けます。

No.86376 - 2023/09/06(Wed) 08:37:35

★ 合同式の質問 / あきら

(すみません。先ほど送りましたが、誤って送信されて文字が読めなかったので、書き直してもう一度質問させていただきます）

こんばんは。
合同式の方程式で[解答1]と[解答2]のどちらも正しい計算をしていると思っているですが、
(1)と(6)のどちらが正しいですか。その理由を教えてください。よろしくお願いします。

11x≡１　(mod4)……(1)を解け。

どちらが正解ですか。

[解答1]
(1)より、　　 3x≡１　(mod4)……(2)
(2)×3より、　 9x≡3　(mod4)……(3)
(1)-(3)より、　 2x≡-2　　(mod4)……(4)
(2)ー(4)より、　　x≡3　(mod4)……(5)　（答え）

[解答2]

［解答１］で
2x≡-2　　(mod4)……（４）
(4)の両辺を2で割ると、割る数2とmod4の最大公約gは2
だから、
x≡-1　　(mod4/ｇ)
x≡-１　　(mod4/2)
x≡-１　　(mod2)（答え）……(6)

No.86373 - 2023/09/05(Tue) 23:06:30

☆ Re: 合同式の質問 / らすかる

「(1)と(6)のどちらが正しいですか」が「(5)と(6)のどちらが正しいですか」ならば
正しいのは(5)です。(4)は必要条件でしかありません。
どちらが正しいかは、具体値を代入してみればわかります。
(6)はx≡1(mod2)つまり奇数ということですが、
例えばx=1は(6)は満たしますが(1)を満たしませんね。

No.86374 - 2023/09/06(Wed) 00:51:10

☆ Re: 合同式の質問 / あきら

すみません。「(5)と(6)のどちらが正しいですか」でした。

「(4)は必要条件でしかありません。」で、私は必要十分と思ってしまうのですが、なぜ必要条件なのですか。

2x≡-2　　(mod4)　　　　⇒　x≡-１　　(mod2)

　x≡-１　　(mod2)　　　⇒　2x≡-2　　(mod4)

で同値変形ですよね。

(1) から(4)の変形は同値変形で、

(4)から(6)の変形も同値変形なので、

すべての変形は同値変形なので

11x≡１　(mod4)の解はx≡-１　　(mod2)

と考えてしまうのですが、どこが誤りですか？

No.86379 - 2023/09/06(Wed) 14:36:34

☆ Re: 合同式の質問 / らすかる

(1)-(3)=(4)が同値変形ではありません。
(1)⇔x≡3(mod4)
(3)⇔x≡3(mod4)
ですが
(4)⇔x≡1,3(mod4)
です。
極端な話、(1)-(1)を計算すると0≡0(mod4)となり
任意のxで成り立つ式になりますので、
和・差が常に同値変形になるわけではないですね。

No.86381 - 2023/09/06(Wed) 20:22:04

☆ Re: 合同式の質問 / ast

話の内容に直接関係ないですが, No.86373[解答1] は実質的に (1)×2 で (4) が, (1)×3 で (5) が出ると述べているだけですね (そして後者だけ書けば十分).
# まあ, そう要約すれば, "×2" が法 4 と互いに素ではないことが (1) と同値かどうかの判断材料になる,
# くらいのことはいえるか.

No.86382 - 2023/09/06(Wed) 21:10:33

☆ Re: 合同式の質問 / あきら

すみません。
astさんの解説がわかりません。
もう少しわかりやすくしていただけるか、別の方法を教えて下さい。

No.86383 - 2023/09/06(Wed) 22:49:37

☆ Re: 合同式の質問 / 黄桃

(1)と(2)は同じ式。
(2)を A=B と書けば
(3) は 3A=3B
(1)-(3)は A-3A=B-3B つまり -2A=-2B -2≡2 mod 4 だから、結局 (4)は、2A=2B, つまり (2)x2 としただけ。
mod 4では2の逆元はないから、(4)は必要条件にすぎない、ということです。

＃個人的には解法1は(4)を経由して（それを使って(5)を出して）いる時点で
＃このままではアウトだと思います。
＃(5)ならば(1)を言えば、解法1でもOKだと思います。

No.86385 - 2023/09/06(Wed) 23:06:22

☆ Re: 合同式の質問 / ast

> astさんの解説がわかりません。
前置き通り, 私は何も解説していません. 単に要約した結果が「(1) 11x≡1 (mod 4) ならば, その両辺 3-倍した (x≡)33x≡3 (mod 4) は (あるいは (3) はと言っても同じことだが) (5) にほかならない」ということになるというだけです.
# そして, 掛けた 3 と法 4 は互いに素だから逆も辿れるので,
# もとの問題を解きたいだけならこれだけで十分なのになぁ……, と.

No.86386 - 2023/09/07(Thu) 00:23:06

☆ Re: 合同式の質問 / あきら

私は基本的なことがわかっていないのかもしれません。
方程式から合同式を使って解くと、x≡　の形（必要条件）は正解になるとは限らないので逆（十分条件）を考える必要があると思うのですが、
なぜ[解答1]はx≡3(mond4）で逆を確認しないのですか。（逆を確認しないで正解に
なっているのはなぜですか）

もっと基本的な方程式で考えてみました。

＜＜問題１＞＞
5ｘ＝15　……(7)　を解け

（解答）
両辺を5で割って
x＝3　……(8)　……（答え）

(別解）
5ｘ＝15　……(7)　
x≡3　（　mod　4　）……(9)　
よって、　ｘ＝4k＋3（kは整数）……(10)　（答え。誤り）

この方法で解く場合は、逆に　ｘ＝4k＋3（kは整数）の時、
(7)を満たすxはx=3のように逆を考えてないといけないですよね。

No.86391 - 2023/09/08(Fri) 12:39:52

☆ Re: 合同式の質問 / IT

> 別の方法を教えて下さい。
元の問題を解くだけなら　（mod 4の4は比較的小さいので）
X≡0,1,2,3 (mod 4) について調べて
答え）X≡3 (mod 4) 　

途中）11X＝8X+3X ≡3X(mod 4) ≡-X (mod 4)
ぐらいは使っても良いかも知れません。途中で変形が多いとまちがいが入り込む可能性がそれだけ高くなります。

もちろん、一般的な解法は、ユークリッドの互除法などでXの係数を１にする方法だと思いますし、みなさんの解説を理解されるのは意味があると思います。

No.86395 - 2023/09/09(Sat) 14:19:50

☆ Re: 合同式の質問 / あきら

すみません。
皆さんのコメントをいただいたのですが、やはり基礎がわかっていなくて、
どうしても理解できませんでした。
もう少し調べて皆さんのコメントを理解できるようにします。
丁寧に応えてくださったのに理解できずすみませんでした。

No.86409 - 2023/09/12(Tue) 22:11:11

★ 線対称な直線の方程式の考え方について / りお

文字化けしているので再登校します。
問題
『直線L1：x-y-2=0 と直線L2：ax+by-8=0 が直線L：x+2y+1=0に関して対称であるとき、
　a,bの値を求めよ』

以下のように考えました。

L1とLは平行ではないのでL1とL2は平行ではなく、よってL上で交わる。
この交点をAとし、Aの座標はLとL1を連立して(1, -1)である。
L1上に点B(3, 1)をとる。点BとLに対称なL2上の点をC(s, t)をとる。
すると線分BCの中点M((3+s)/2, (1+t)/2)はL上にある。
だから x=(3+s)/2, y=(1+t)/2 をL：x+2y+1=0 に代入する。s=-2t-7となる。（☆）
一方で点C, 点Aの2点を通る直線の方程式は、(t+1)(x-1)-(s-1)(y+1)=0 と置ける。
これを変形すると (t+1)x+(2t+8)y+t+7=0 である。
点C,点Aをの2点を通るのはL?Aなので、ax+by-8=0 である。

この2つの式は同じ直線を表しているので係数を比較して、t,a,bを出していったのですが、答えは全く違っていました。
?@と?Aを比較するときは、係数を比で比較せず、ただの等式で考えたことが間違いの原因なのかな、と思っています。
それ以外にも考え方のおかしいところがあるでしょうか？
（解答を見ると☆のところまでは考え方があっていました。
しかしなぜ自分の考え方だと答えが間違っているのかがわかりません）

No.86369 - 2023/09/05(Tue) 20:59:05

☆ Re: 線対称な直線の方程式の考え方について / ast

少なくとも, 点B が未知数を含まない定点, 直線L が未知係数を含まない定直線なのに, 点B の対称点C に未知数が残っていることがおかしい.
(対称点は, 線分BCの中点がL上にあるような無数の点C の中で, ただひとつ線分BCと直線Lが直交するもの.)

No.86370 - 2023/09/05(Tue) 22:43:53

★ 積分について / かあらた

f（t）のa（定数）からxまでの積分＝x二乗－3x－4
f（x）およびaの値を求めよ。という問題です。
f（t）のaからxまでの積分って
例えば、y＝f（t）＝tだとして、座標平面上にグラフを書くと、横軸t、縦軸yになるじゃないですか？そのグラフのaからxまでの面積って、xの値によって変わるからf（x）のaからxまでの積分はxについての関数といえて、その式がf（x）＝x二乗
－3x－4じゃないです？
でもこれってt＝xのときにしか成り立ちませんよね？

No.86364 - 2023/09/05(Tue) 10:00:00

☆ Re: 積分について / ヨッシー

ちょっと、この質問に至った経緯がわかりませんので、
とりあえず解いてみます。
f(x) の原始関数を F(x) とすると、

∫[a～x]f(t)dt＝F(x)－F(a)＝ｘ^2－3x－4　・・・(i)
両辺微分して
　f(x)＝2x－3　・・・答え１
このとき、
　F(x)＝x^2－3x＋Ｃ
であるので、(i) より
　x^2－3x＋Ｃ－a^2＋3a－Ｃ＝ｘ^2－3x－4
　－a^2＋3a＝－4
　a^2－3a－4＝0
　a＝－1, 4　・・・答え２

どこを指して、
>t＝xのときにしか成り立ちませんよね？
と言われてますか？

No.86365 - 2023/09/05(Tue) 10:23:54

★ シグマ計算 / プラダを着たうさぎ

aとbは互いに素な2以上の整数とします。
kは2以上の整数とします。
nはaでもbでも割り切れる正の整数とします。
A=Σ[ℓ[1],ℓ[2],…,ℓ[k]=1～n]cos(2πℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k]/a)
B=Σ[ℓ[1],ℓ[2],…,ℓ[k]=1～n]cos(2πℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k]/b)
N=Σ[ℓ[1],ℓ[2],…,ℓ[k]=1～n]cos(2πℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k]/n)
とするとき、AB/Nの値の求め方を教えて下さい。

Σ[ℓ[1],ℓ[2],…,ℓ[k]=1～n]は、
Σ[ℓ[1]=1～n]Σ[ℓ[2]=1～n]…Σ[ℓ[k]=1～n]
の意味です。

No.86358 - 2023/09/04(Mon) 21:04:31

☆ Re: シグマ計算 / 黄桃

数学オリンピックの類の問題なら、そういう方面で聞いてください。
a,bが素数、くらいでないと考える気がしません。以下に理由を述べます。

複素数のオイラーの公式から
A=Re(Σ e^(2πiℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k]/a)
=Re(Σ_[l[1],...,l[k-1]]Σ_l[k] e^(2πℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k]/a)
となり、Σ_l[k] e^(2πℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k]/a) の部分は、
初項 e^(2πiℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k-1]/a) 公比 e^(2πiℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k-1]/a) の第n項までの和
です。等比数列の和の公式から、nはaの倍数だから、
公比 e^(2πiℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k-1]/a)が1でなければ、和は0
公比が１なら和はn
です。

したがって、結局
l[1]*...*l[k-1] がaの倍数になる場合の数を x とすれば、A=nx となります。
同様に、
l[1]*...*l[k-1] がbの倍数になる場合の数をyとすれば、B=ny
l[1]*...*l[k-1] がnの倍数になる場合の数をzとすれば、N=nz
です。

x,y,z を求めるのは、a,bが素数であればそれほど難しくはないと思いますが、一般の合成数だと面倒です。
x,y,zを求めなくても上手い対応付けによって xy/z が求まるのかもしれませんが、それはかなりの閃きが必要な気がします。

No.86384 - 2023/09/06(Wed) 22:56:25

★ ルートの問題 / ふゆ＠中3生

√25－a(どちらもルートの中に入ってます)の値が、2以上の整数となるような自然数aを、すべて求めなさい。

答えはa＝9.16.21です。

求め方が全然わからないです。説明をお願いしたいです。よろしくお願いします。

No.86343 - 2023/09/02(Sat) 14:17:21

☆ Re: ルートの問題 / X

条件から、aが自然数であることと、
√の中が4以上であることから
4≦25-a≦25-1=24 (A)
(A)を満たす25-aのうち、平方数となるものを求めると
25-a=4,9,16
よって
a=21,16,9

No.86345 - 2023/09/02(Sat) 15:16:46

☆ Re: ルートの問題 / ふゆ＠中3生

説明いただき、ありがとうございます。

つまり、
√25＝±5
2＝√4
だから、2から5の間が25－aの答えになるということですか？

2²＝4
3²＝9
4²＝16
25からこれを引いたのが答えになるということですよね？

No.86347 - 2023/09/02(Sat) 17:06:56

☆ Re: ルートの問題 / X

＞＞つまり、～いうことですか？
aは0以上の整数ではなくて自然数ですので
25-aの最大値は25ではなくて24です。

＞＞2²＝4～
その通りです。

No.86349 - 2023/09/02(Sat) 19:01:50

☆ Re: ルートの問題 / IT

＞つまり、
＞√25＝±5
√25＝＋5　ですので念のため

No.86354 - 2023/09/03(Sun) 10:13:55

☆ Re: ルートの問題 / ふゆ＠中3生

なるほど
理解できました。

お二人とも、丁寧に説明していただき、ありがとうございました。

No.86355 - 2023/09/03(Sun) 16:59:45

★ 正射影と面積 / ひなた

3点、A(√3,0,√3)、B(-√3,2√2,-√3)、C(-√3,-2√2,-√3)を頂点とする正三角形ABCが座標空間内に存在する。
この△ABCの周及び内部のうち、y≧0、z≧0の部分を点(x,y,z)が動くとき、座標平面上で、点(y,z)が動く範囲の面積を求めよ。

Aをyz平面上に正射影した点P、ABとy軸の交点をQとします。

△PQOの面積を求めることはできました。
でも△PQOは△AQOを正射影したものですので、補正が必要だと思い、△PQOの面積をcos45°で割ったものを解答したのですが、正答ではこの補正がなされていません。なぜでしょうか。正答が間違いだと思うのですが…

座標空間内の図形の面積を求めるには、正射影したものの面積をcosで割り戻す補正が必要ではないでしょうか。なぜ本問では正射影したものがそのまま解答になるのでしょうか。

No.86339 - 2023/09/02(Sat) 01:41:08

☆ Re: 正射影と面積 / らすかる

求めるものが
「座標空間上で、点(x,y,z)が動く範囲の面積」
ではなく
「座標平面上で、点(y,z)が動く範囲の面積」
だからだと思います。
「座標平面上で、点(y,z)が動く範囲の面積」は
「座標空間上で、点(x,y,z)が動く範囲の面積」を
yz平面に正射影したものですね。

No.86340 - 2023/09/02(Sat) 03:43:11

☆ Re: 正射影と面積 / ひなた

らすかる先生

回答をしてくださり、ありがとうございます。
ちょっと混乱してしまっているので、もう少しお付き合いいただけると助かります。

問題の設定では質問しにくいので、以下のように簡単にして質問です。

座標空間内において、

A(1,1,0)、B(1,-1,0)、C(4,-1,4)、D(4,1,4)を頂点とする長方形ABCDを(x,y,z)が動くとします。

この場合、yだけを見ると、-1から1までを動き、zだけを見ると、0から4までを動くことになります。

座標平面上を(y,z)が動くとは、このyとzの動きのみを追いかけて、長方形の面積2・4=8を解答にするというのが、私が最初に質問した問題の趣旨なのでしょうか。

私が最初に考えたcosによる割り戻しをして求められる、8÷(4/5)=10は長方形ABCDの面積ですが、これが聞かれているわけではないということでしょうか。

どういう場合に正射影したものをそのまま解答にし、また、どういう場合に正射影したものをcosによる割り戻しが必要になるのか、判断の視界がわからないです。

No.86344 - 2023/09/02(Sat) 15:10:20

☆ Re: 正射影と面積 / らすかる

> 座標平面上を(y,z)が動くとは、このyとzの動きのみを追いかけて、長方形の面積2・4=8を解答にするというのが、私が最初に質問した問題の趣旨なのでしょうか。

その通りです。
例えば問題が
「座標平面上を(2y,z^2)が動く」
のようになっていたら、xのことは考えようがありませんよね？
この(2y,z^2)の部分がたまたま(y,z)となっているだけですから、元の図形のxの動きは関係ありません。
「横軸がa、縦軸がbである」座標平面上を(○,△)が動く範囲の面積、といったらa=○,b=△である点の動く範囲の面積という意味です。（xy平面だと紛らわしいのでab平面にしました）

> 私が最初に考えたcosによる割り戻しをして求められる、8÷(4/5)=10は長方形ABCDの面積ですが、これが聞かれているわけではないということでしょうか。

はい、その通りです。

> どういう場合に正射影したものをそのまま解答にし、また、どういう場合に正射影したものをcosによる割り戻しが必要になるのか、判断の視界がわからないです。

上にも書いたように
「座標平面上を(2y,z^2)が動く」となっていたら
(2y,z^2)によって座標平面にどのような図形が書かれるかを考えて
その図形を求めるしかないですね。
「座標平面上を・・・」という文言から、元の図形の面積を求めるわけではないということが読み取れます。
また、元の問題でも「正射影したものの面積を求めよ」と言っているわけではありません。
たまたま「座標平面上を(y,z)が動く」という条件から「正射影したものの面積を求めればよい」と判断できるということです。

No.86351 - 2023/09/02(Sat) 20:42:09

☆ Re: 正射影と面積 / ひなた

らすかる先生

最後までお付き合いいただき、ありがとうございました。

とてもよくわかりました^^

No.86352 - 2023/09/03(Sun) 07:31:42

★ 線形代数学（行列） / Eラン大学生

（問）aを実数とする。３次×４次の行列Aの階数を求めよ。
　　A＝（2　1　a　2　/　1　a　2　1　/　a　2　1　a）

（質問）答えの確認なのですが、行基本変形を施していって
「a＝0、2、－１±√3のとき　rank(A)＝2
　aが上以外のとき　rank(A)＝3」

　で、あっているでしょうか？
　分かる方、宜しくお願いします。

No.86338 - 2023/09/02(Sat) 00:35:29

☆ Re: 線形代数学（行列） / ast

# 根拠を一切書かずに結果の結果だけしか書かない質問では「何がどこでどう間違ったか」等の推察が困難で
# 回答しづらいことこの上ないのでやめて欲しいのだが……
(問の A が正しいならば) 行簡約で
　((1, 0, (a^2-2)/(2a-1), 1); (0, 1, (4-a)/(2a-1), 0); (0, 0, -(a^3-6a+9)/(2a-1), 0))
になるはずです (あるいは (「前進消去」の段階のみで) 少なくとも
　((1, 1/2, a/2, 1); (0, 1, (4-a)/(2a-1), 0); (0, 0, -(a^3-6a+9)/(2a-1), 0))
まででも十分ですが).
したがって, 明らかに a^3-6a+9 が 0 か否かが解答に現れなければ (答案か問題の値の何れかが) おかしいと思います.

No.86341 - 2023/09/02(Sat) 03:44:08

☆ Re: 線形代数学（行列） / Eラン大学生

質問の仕方が悪くてすみません。

行列Aの成分は上↑で間違いありません。
私の計算処理が間違っていたことに気付きました。astさんの示した((1, 0, (a^2-2)/(2a-1), 1); (0, 1, (4-a)/(2a-1), 0); (0, 0, -(a^3-6a+9)/(2a-1), 0))　になる前に、
a＝0.5 のとき、
((1, 0.5 , 0 , 1 );( 0 , 0 , 1 , 0 );( 0 , 0 , 0 , 0 ))
となるので、rank(A)＝2
a≠0.5 のとき
((1, 0, (a^2-2)/(2a-1), 1); (0, 1, (4-a)/(2a-1), 0); (0, 0, -(a^3-6a+9)/(2a-1), 0)) が導けて、
a^3-6a+9＝0　を満たす実数がa＝－3のみであることから、
a＝－3のとき、rank(A)＝2
a≠0.5、－3だと、rank(A)＝3
という答えで合っているでしょうか？

No.86356 - 2023/09/04(Mon) 16:01:56

☆ Re: 線形代数学（行列） / ast

> a＝0.5 のとき、
>((1, 0.5 , 0 , 1 );( 0 , 0 , 1 , 0 );( 0 , 0 , 0 , 0 ))

a=1/2 のときの A=((2,1,1/2,2); (1,1/2,2,1); (1/2,2,1,1/2)) の簡約形は
　((1, 0, 0, 1); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0))
　(あるいは前進消去の段階で ((1,1/2,1/4,1); (0,1,1/2,0); (0,0,1,0)))
ではないですか?

No.86357 - 2023/09/04(Mon) 16:34:56

☆ Re: 線形代数学（行列） / Eラン大学生

astさん、そうですね。

a=1/2 のときの簡約形は((1, 0, 0, 1); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0))　となりました。（計算力無くてすいません。）

結果、a＝－3のとき、rank(A)＝2
　　　a≠－3のとき、rank(A)＝3
で宜しいでしょうか？

No.86366 - 2023/09/05(Tue) 14:13:42

☆ Re: 線形代数学（行列） / ast

それでよいと思います.

No.86367 - 2023/09/05(Tue) 17:13:32