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★ あ / 安定な物質
2番です
No.84082 - 2022/11/29(Tue) 19:58:56
★ 解の個数 / M & A
昨晩に引き続きもう一題お願いします。
1/x+1/y+1/z=1/12の解の個数はいくらか。
ご多忙のおり誠に恐縮なのですが宜しくお願いします。
No.84079 - 2022/11/29(Tue) 14:25:34
☆ Re: 解の個数 / らすかる
x,y,zに制限がなければ無限個ですが、
x,y,zは0以外の整数ですか？
それとも正の整数ですか？
あるいはそれ以外ですか？
No.84080 - 2022/11/29(Tue) 18:22:58
☆ Re: 解の個数 / M & A
x,y,zは正の整数です。
No.84081 - 2022/11/29(Tue) 18:31:19
☆ Re: 解の個数 / らすかる
x≦y≦zとすると1/x≧1/y≧1/zなので
1/12=1/x+1/y+1/z≦1/x+1/x+1/x=3/xからx≦36
また与式から1/x＜1/12なのでx＞12
x=y=zのとき1/x+1/y+1/z=3/x=1/12からx=36の1通り … (1)
x=y＜zのとき1/x+1/y+1/z=2/x+1/z=1/12から(x-24)(z-12)=288
x-24＜0かつz-12＜0のとき|x-24||z-12|＜288なので解なし
（以降これと同様の負×負の判定は省略）
x-24は12より小さい288の正の約数であればよいので
（∵x-24≧12のときz-12≦24となりz≦36≦xとなるのでx=y＜zを満たさない）
x-24=1,2,3,4,6,8,9の7通り … (2)
x＜y=zのとき1/x+1/y+1/z=1/x+2/y=1/12から(x-12)(y-24)=288
x-12は24より小さい288の正の約数であればよいので
（∵x-12≧24のときy-24≦12となりy≦36≦xとなるのでx＜y=zを満たさない）
x-12=1,2,3,4,6,8,9,12,16,18の10通り … (3)
x＜y＜zのとき1/x+1/y+1/z=1/12から{(x-12)y-12x}{(x-12)z-12x}=144x^2
x=13のとき(y-156)(z-156)=24336
y＜zからy-156は√24336=156より小さい24336=2^4×3^2×13^2の正の約数であればよいので
(5×3×3-1)÷2=22通り … (4)
x=14のとき(2y-168)(2z-168)=28224すなわち(y-84)(z-84)=7056
y-84は√7056=84より小さい7056=2^4×3^2×7^2の正の約数であればよいので
(5×3×3-1)÷2=22通り … (5)
x=15のとき(3y-180)(3z-180)=32400すなわち(y-60)(z-60)=3600
y-60は√3600=60より小さい3600=2^4×3^2×5^2の正の約数であればよいので
(5×3×3-1)÷2=22通り … (6)
x=16のとき(4y-192)(4z-192)=36864すなわち(y-48)(z-48)=2304
y-48は√2304=48より小さい2304=2^8×3^2の正の約数であればよいので
(9×3-1)÷2=13通り … (7)
x=17のとき(5y-204)(5z-204)=41616
5y-204は√41616=204より小さい41616の正の約数で204を加えたときに5で割り切れればよいので
1,2,3,4,6,8,9,12,16,17,18,24,34,36,48,51,68,72,102,136,144,153のうち一の位が1か6
すなわち1,6,16,36,51,136の6通り … (8)
（5y-204=1,6,16,36,51,136のとき5z-204も204を加えたときに5で割り切れる）
x=18のとき(6y-216)(6z-216)=46656すなわち(y-36)(z-36)=1296
y-36は√1296=36より小さい1296=2^4×3^4の正の約数であればよいので
(5×5-1)÷2=12通り … (9)
x=19のとき(7y-228)(7z-228)=51984
√51984=228より小さい51984の正の約数は
1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,19,24,36,38,48,57,72,76,114,144,152,171
このうち228を加えると7の倍数になるものは7で割って3余る数なので
3,24,38,171の4通り … (10)
（7y-228=3,24,38,171のとき7z-228も228を加えたときに7で割り切れる）
x=20のとき(8y-240)(8z-240)=57600すなわち(y-30)(z-30)=900
y-30は√900=30より小さい900=2^2×3^2×5^2の正の約数であればよいので
(3×3×3-1)÷2=13通り … (11)
x=21のとき(9y-252)(9z-252)=63504すなわち(y-28)(z-28)=784
y-28は√784=28より小さい784=2^4×7^2の正の約数であればよいので
(5×3-1)÷2=7通り … (12)
x=22のとき(10y-264)(10z-264)=69696すなわち(5y-132)(5z-132)=17424
√17424=132より小さい17424の正の約数は
1,2,3,4,6,8,9,11,12,16,18,22,24,33,36,44,48,66,72,88,99,121
このうち132を加えると5の倍数になるものは5で割って3余る数すなわち一の位が3か8なので
3,8,18,33,48,88の6通り … (13)
（5y-132=3,8,18,33,48,88のとき5z-132も132を加えたときに5で割り切れる）
x=23のとき(11y-276)(11z-276)=76176
√76176=276より小さい76176の正の約数は
1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,23,24,36,46,48,69,72,92,138,144,184,207
このうち276を加えると11の倍数になるものは存在しない
x=24のとき(12y-288)(12z-288)=82944すなわち(y-24)(z-24)=576
y-24は√576=24より小さい576=2^6×3^2の正の約数であればよいので
(7×3-1)÷2=10通り … (14)
x=25のとき(13y-300)(13z-300)=90000
√90000=300より小さく13×25-300=25より大きい90000の正の約数は
30,36,40,45,48,50,60,72,75,80,90,100,120,125,144,150,180,200,225,240,250
このうち300を加えると13の倍数になるものは13で割って12余る数なので
90の1通り … (15)
（このとき13z-300も300を加えたときに13で割り切れる）
x=26のとき(14y-312)(14z-312)=97344すなわち(7y-156)(7z-156)=24336
√24336=156より小さく7×26-156=26より大きい24336の正の約数は
36,39,48,52,72,78,104,117,144
このうち156を加えると7の倍数になるものは7で割って5余る数なので
117の1通り … (16)
（このとき7z-156も156を加えたときに7で割り切れる）
x=27のとき(15y-324)(15z-324)=104976すなわち(5y-108)(5z-108)=11664
√11664=108より小さく5×27-108=27より大きい11664の正の約数は
36,48,54,72,81
このうち108を加えると5の倍数になるものは5で割って2余る数すなわち一の位が2か7なので
72の1通り … (17)
（このとき5z-108も108を加えたときに5で割り切れる）
x=28のとき(16y-336)(16z-336)=112896すなわち(y-21)(z-21)=441
√441=21より小さく28-21=7より大きい441の正の約数は
9の1通り … (18)
x=29のとき(17y-348)(17z-348)=121104
√121104=348より小さく17×29-348=145より大きい121104の正の約数は174,232,261
このうち348を加えると17の倍数になるものは存在しない
x=30のとき(18y-360)(18z-360)=129600すなわち(y-20)(z-20)=400
√400=20より小さく30-20=10より大きい400の正の約数は
16の1通り … (19)
x=31のとき(19y-372)(19z-372)=138384
√138384=372より小さく19×31-372=217より大きい138384の正の約数は248,279
このうち372を加えると19の倍数になるものは存在しない
x=32のとき(20y-384)(20z-384)=147456すなわち(5y-96)(5z-96)=9216
√9216=96より小さく5×32-96=64より大きい9216の正の約数は72
これは96を加えて5の倍数にならないので不適
x=33のとき(21y-396)(21z-396)=156816すなわち(7y-132)(7z-132)=17424
√17424=132より小さく7×33-132=99より大きい17424の正の約数は121
これは132を加えて7の倍数にならないので不適
x=34のとき(22y-408)(22z-408)=166464すなわち(11y-204)(11z-204)=41616
√41616=204より小さく11×34-204=170より大きい41616の正の約数は存在しない
x=35のとき(23y-420)(23z-420)=176400
√176400=420より小さく23×35-420=385より大きい176400の正の約数は
392,400
このうち420を加えると23の倍数になるものは存在しない

x=y=zのとき入れ替えても同じ、
x=y＜zまたはx＜y=zのとき入れ替えが3通り、
x＜y＜zのとき入れ替えが3!=6通りあるので、
求める解の個数は全部で
1+(7+10)×3+(22+22+22+13+6+12+4+13+7+6+10+1+1+1+1+1)×6=904通り
No.84084 - 2022/11/29(Tue) 20:32:17
☆ Re: 解の個数 / M & A
これほどややこしいものとは考えてもみませんでした。ラスカル様には大変ご迷惑をおかけしました。長い解答本当にありがとうございました。
No.84086 - 2022/11/29(Tue) 20:52:30
★ 大学数学 微分 / PT
関数f(x,y)=xy(1-x-y)の極地を求めよ。
という問題なのですが、途中式も含めて解説して頂けないでしょうか。答えしか載っていなくて考え方が分かりません。よろしくお願い致します。
No.84070 - 2022/11/28(Mon) 22:40:36
☆ Re: 大学数学 微分 / ast
考え方も論の進め方も何もかも基本的に一変数のときと同様のこと, つまり "一階微分が消えている点 (臨界点) に対してその点での導函数の (任意の近づき方をしたときの) 符号変化を見る" という話であることに変わりないと思います. 多変数化するべき部分もあるとはいえ "一階導函数の符号変化が起きるかどうかは二階微分(ヘッシアン)で判定する" みたいなことは結局は一変数のときも同じようなことをしてただろうって話にまた戻ることになると思いますし.
# だから, 一変数の場合の流れを踏まえたうえで言えば「答え(結果)しか書いてない」じゃなくて
# 「(やるべきことはほぼ知っていて) たどり着くべき結果は明確にされてる」と受け取るべき状況じゃないかと

というか, 教科書等の資料を見ればそのことを式などを用いてもっと明確な価値で述べてあるんじゃないのかと……. (もし教科書に載ってないなら「載ってるのを買え (掲示板でのやり取りだけじゃ大事なことたくさん取りこぼす羽目になるのがオチだし)」って言わざるを得なくなるが……).
# もしかしたら教科書は抽象的で分かりにくい (から読む気がさらさらない) と言うかもしれないが,
# むしろだからこそ問題のような具体例でその記述をなぞって具体的にどういう意味の文章なのか知る,
# ってのが大学生なら最低限しないといけない数学本の読み方だと個人的には思います.
No.84072 - 2022/11/29(Tue) 02:34:46
★ 解の個数 / M & A
(1/x)+(1/y)=1/3600を満たす正の整数解
はいくつあるでしょか。

この問題の答えがわかりません。
どなたかよろしくお願いします。
No.84063 - 2022/11/28(Mon) 20:48:34
☆ Re: 解の個数 / けんけんぱ
与式の両辺に3600xyを掛けて
3600y+3600x=xy
(x-3600)(y-3600)=3600^2
3600^2を素因数分解して2つの数の掛け算にします。
それが何通りあるか、という問題に帰着されます。
No.84065 - 2022/11/28(Mon) 22:11:22
☆ Re: 解の個数 / けんけんぱ
(3600-x)(3600-y)=3600^2
と置き換えると、
x,yが正なら
(3600-x)<3600、(3600-y)<3600
なので、解なしとなりました。
No.84066 - 2022/11/28(Mon) 22:16:42
☆ Re: 解の個数 / けんけんぱ
記事No.84066　は見なかったことに。
(3600-x)=-3600、(3600-y)=-3600 というのがありました
No.84067 - 2022/11/28(Mon) 22:19:40
☆ Re: 解の個数 / X
横から失礼します。

問題の方程式から
xy-3600(x+y)=0
(x-3600)(y-3600)=3600^2 (A)
ここで条件から
x≧1
y≧1
∴
x-3600≧-3599 (B)
y-3600≧-3599 (C)

さて、x-3600が(B)を満たす負の整数であったとして
その値をaとすると
-3599≦a≦-1
∴-1≦1/a≦-1/3599
これと(A)から
y-3600=(3600^2)/a≦-(3600^2)/3599＜-3600
これと(C)を満たすyは存在しないので
(A)において
x-3600＞0かつy-3600＞0
更に
3600^2=(2・3・10)^2
=(2^4)・3^2・5^2
と素因数分解できるので
3600^2の正の約数の個数は
5・3・3=45[個]
で、この正の約数各々に対し、(A)を満たす
正の整数(x,y)の組が一つづつ対応するので、
求める正の整数解の個数は45[個]
No.84069 - 2022/11/28(Mon) 22:28:12
☆ Re: 解の個数 / らすかる
1/x+1/y=1/3600を整理して
(x-3600)(y-3600)=3600^2
x-3600＜0かつy-3600＜0のとき、条件から
|x-3600|＜3600かつ|y-3600|＜3600なので
(左辺)＜3600^2となり条件を満たさない。
よってx-3600＞0かつy-3600＞0なので
3600^2の正の約数の個数がそのまま答えとなり、
3600^2=60^4=(2^2×3×5)^4=2^8×3^4×5^4から
9×5×5=225個。
No.84073 - 2022/11/29(Tue) 03:25:57
☆ Re: 解の個数 / M & A
3名の方々の解答に感謝します。
有り難うございました。
No.84074 - 2022/11/29(Tue) 06:42:36
★ 大学1年 微積 / Sa
この問題の答えを至急教えてください
途中式も一緒に教えてほしいです
よろしくお願い致します
No.84060 - 2022/11/28(Mon) 15:20:37
☆ Re: 大学1年 微積 / X
3x-y=u,x+y=v
と置くと、これをx,yについての連立方程式として
解くことにより
(x,y)=((u+v)/4,(3v-u)/4)
=((1/4)u+(1/4)v,(3/4)v+(-1/4)u) (A)
(A)の行列表示はご自分でやってもらうとして
続きを途中まで。
(A)より
∂x/∂u=1/4
∂x/∂v=1/4
∂y/∂u=3/4
∂y/∂v=-1/4
∴J=det[M{(1/4,1/4),(3/4,-1/4)}
=-1/4
∴∫∫[D]xdxdy=∫∫[E]{(1/4)u+(1/4)v}|J|dudv
=(1/16)∫∫[E](u+v)dudv
=…
No.84062 - 2022/11/28(Mon) 17:50:32
★ 線形代数学、線型写像証明 / パパイヤ
線形代数学、線型写像の証明です。ご協力よろしくお願いします。
No.84058 - 2022/11/28(Mon) 14:55:41
☆ Re: 線形代数学、線型写像証明 / パパイヤ
写真横で見にくくてすみません。
No.84059 - 2022/11/28(Mon) 14:56:18
★ 大学数学代数学、群環体の問題 / 2進法
(1) 可換環 R のイデアル I が極大イデアルであることの定義を述べよ.
(2) (1) の定義に基づいて，有理整数環 Z(整数全体の集合）のイデアル (15) が極大イデアルではないこ とを示せ.
(3) (1) の定義に基づいて，有理整数環 Z（整数全体の集合） のイデアル (5) が極大イデアルであることを示せ.
No.84056 - 2022/11/28(Mon) 14:07:32
☆ Re: 大学数学代数学、群環体の問題 / 2進法
大学数学代数学、群環体の問題です。どなたかご教授頂きたいです。よろしくお願い致します。
No.84057 - 2022/11/28(Mon) 14:53:01
★ 10^nを素数で割った時のあまり / 大西
pを素数、nをp未満の負でない整数とするとき、
10^nをpで割ったときのあまりをa[n](n=0,1,2,・・・p-1)とするとき
p個の数a[0],a[1],・・・,a[p-1]がすべて異なるようなpの値を求めたいです。

例えば、
pの値が2,3,5,11,13,31なんかは周期がp未満になって不適ですが、
pの値が7,17や19なんかは周期がpになるので条件を満たします。
何か規則性はあるのでしょうか？
また、このような素数を一般式で表すことができるのでしょうか？
No.84055 - 2022/11/28(Mon) 13:18:33
☆ Re: 10^nを素数で割った時のあまり / m
そのような p は 2 だけではないですか？


> p個の数a[0],a[1],・・・,a[p-1]がすべて異なる

ということは a[i] のうち一つは 0 があるということ．
従って，
10^i = 0 (mod p)
となる i が存在し，10^i は p の倍数であることが必要である．
p は素数だから p = 2, 5 が候補に挙がるが，計算により p = 5 は不適である．
No.84064 - 2022/11/28(Mon) 21:39:57
☆ Re: 10^nを素数で割った時のあまり / 大西
ｍさん返信ありがとうございます。

私の記載が間違っていました。a[0]は無視して

「p-1個の数a[1],・・・,a[p-1]がすべて異なるようなpの値を求めたいです。」に変更します。

例えば、p=7とすると、
a[1]=3
a[2]=2
a[3]=6
a[4]=4
a[5]=5
a[6]=1
ですべて異なります。

p=13とすると
a[1]=10
a[2]=9
a[3]=12
a[4]=3
a[5]=4
a[6]=1
a[7]=10
a[8]=9
a[9]=12
a[10]=3
a[11]=4
a[12]=1
となって、同じものが2個ずつ出てきます。
同じ素数なのになぜこういった現象が起こるのか、このような現象が起こらないのはどういった時なのかが知りたいと思っています。
No.84068 - 2022/11/28(Mon) 22:25:11
☆ Re: 10^nを素数で割った時のあまり / m
調べました．面白い現象を教えていただきありがとうございます．

このような p をすべて求める方法はまだ知られていないようです[参考2].
Full Reptend Prime と呼ばれているそうです．
順に並べたものが参考１にあります．

この p の満たすべき条件は
「10^n = 1 (mod p) を満たす最小の正整数 n が p-1 である．」
と言い換えられます．
大学数学風には
「10 が乗法群 (Z/pZ)^× の生成元である.」
とか．
こうすると少し扱いやすいかもしれません．

さらにこの条件は
「1/p の 10 進数小数展開の循環桁数が p-1 である．」
ことと同値です！！
1/7 = 0.142857...
が有名(?)ですね．


参考
1: https://oeis.org/A001913
2: https://mathworld.wolfram.com/FullReptendPrime.html
No.84071 - 2022/11/29(Tue) 00:14:57
☆ Re: 10^nを素数で割った時のあまり / 大西
調べていただきありがとうございます。

このような p をすべて求める方法はまだ知られていないのですね。

たまたま見つけて気になったので質問させていただきました。
質問してよかったです。ありがとうございました。
No.84075 - 2022/11/29(Tue) 08:15:36
★ 三角関数 / ちむ
この画像の問題の解答を教えて頂きたいですm(*_ _)m
No.84049 - 2022/11/28(Mon) 00:04:47
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

(1)
正弦定理より
　ＰＣ＝ＡＣ・sin∠ＰＡＣ/sin60°
　ＲＣ＝ＢＣ・sin∠ＣＢＲ/sin60°
ここで、
　sin∠ＰＡＣ＝sin(120°−θ)＝(√3/2)cosθ＋(1/2)sinθ
　sin∠ＣＢＲ＝sin(30°＋θ)＝(1/2)cosθ＋(√3/2)sinθ
よって、
　ＰＣ＝3{(√3/2)cosθ＋(1/2)sinθ}/(√3/2)＝3cosθ＋√3sinθ
　ＲＣ＝4{(1/2)cosθ＋(√3/2)sinθ}/(√3/2)＝(4√3/3)cosθ＋4sinθ
(以下略)

(2)
ＰＲの最大最小を調べ、
　Ｓ＝(√3/4)ＰＲ^2
を利用する。
合成の公式より
　ＰＲ＝√(100/3＋16√3)sin(θ＋α)
ただし、cosα＝(4＋√3)/√(100/3＋16√3), sinα＝(3＋4√3/3)√(100/3＋16√3)
よって、ＰＲの最大は√(100/3＋16√3) であり、Ｓの最大は
　Ｓmax＝(√3/4)(100/3＋16√3)＝12＋25√3/3
ＰＲの最小はθ＝0 のときと、θ＝π/2 のときのうち、小さい方なので、
　Ｓmin＝(√3/4)(3＋4√3/3)^2＝(√3/4)(43/3＋8√3)＝6＋43√3/12
よって
　Ｓmax−Ｓmin＝(以下略)
No.84052 - 2022/11/28(Mon) 06:16:23
★ 複素関数・べき級数 / あい
以下の問題が分かりません。

c∈C(cは複素数全体)、rは0より大きい実数全体に対してD(c,r)={z∈C||z-c|<r}と定める。

f(z)はべき級数とし、その収束半径をr>0とする。

D(0,r)において、f(z)=0が成り立つf(z)を決定せよ。

どなたかご教授して頂きたいです。
No.84046 - 2022/11/27(Sun) 18:18:42
☆ Re: 複素関数・べき級数 / IT
f(z)= Σ(n=0,∞)a[n]z^n (|z|<r)とします
定理1）べき級数は収束円内で正則
定理2）べき級数は収束円内の各点で項別に微分できて
f'(z)= Σ(n=0,∞)na[n]z^(n-1)

これから「べき級数表現の一意性」が言えます。

上記は、多くのテキストにあると思うので確認してください。ネットでも見つかると思います。

したがってf(z)≡0　（恒等的に0）になると思います。
No.84047 - 2022/11/27(Sun) 19:29:28
☆ Re: 複素関数・べき級数 / ast
もとの問題が正確にはどうなのかわかりませんが, 単に冪級数と言っても中心が z=0 とは限らないのでは? (f(z)=Σa[n](z-c)^n (c は適当な定数) でも冪級数って呼ぶと思うので……)
# 級数の中心が z=0 なら D(0,r) はその収束円板そのもので, そこでの挙動を問題にするまでもない気がしなくもない
No.84051 - 2022/11/28(Mon) 03:16:59
★ 大学数学 微分積分 / Sa
この問題の答えを
途中式も一緒に教えていただきたいです！
よろしくお願い致します。
No.84044 - 2022/11/27(Sun) 16:06:00
☆ Re: 大学数学 微分積分 / X
(1)
条件から極座標に変換すると
D={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦π}
ヤコビヤンがrになることに注意して
(与式)=∫[θ:0→π]∫[r:0→1](r^3)drdθ=…

(2)
この問題、実は
極座標変換を用いて
という条件がなければ
x=arcosθ
y=brsinθ
と変換することで(1)と同程度の難易度の計算になり、
比較的簡単に計算できます。

ですが、問題の条件通り極座標に変換して計算すると
かなり面倒です。

条件から極座標に変換すると
D={(r,θ)|0≦r≦ab/√{(bcosθ)^2+(asinθ)^2},0≦θ≦π/2}
変換後にθについての積分がし易いように、もう少し変形すると
D={(r,θ)|0≦r≦ab/√{(a^2-b^2)(sinθ)^2+b^2},0≦θ≦π/2}
ヤコビヤンがrになることに注意すると
(i)a=bのとき
D={(r,θ)|0≦r≦a,0≦θ≦π/2}
∴(与式)=∫[θ:0→π/2]∫[r:0→a](r^2)cosθdrdθ=(1/3)a^3
(ii)a≠bのとき
(与式)=∫[θ:0→π/2]∫[r:0→ab/√{(a^2-b^2)(sinθ)^2+b^2}](r^2)cosθdrdθ
=(1/3)∫[θ:0→π/2]{{(ab)^3}(cosθ)/{(a^2-b^2)(sinθ)^2+b^2}^(3/2)}dθ
ここでsinθ=tと置くと
(与式)=(1/3)∫[t:0→1]{{(ab)^3}/{(a^2-b^2)t^2+b^2}^(3/2)}dt
ここから更に
(I)a＞bのとき
(II)a＜bのとき
で場合分けをすると
(I)のとき
(t/b)√(a^2-b^2)=u
と置くと
(与式)=(1/3)(a^3)∫[t:0→(1/b)√(a^2-b^2)]{1/(u^2+1)^(3/2)}{b/√(a^2-b^2)}du
=(1/3)(a^3){b/√(a^2-b^2)}[u/(u^2+1)^(1/2)][t:0→(1/b)√(a^2-b^2)]
=(1/3)(a^3){b/√(a^2-b^2)}{(1/b)√(a^2-b^2)}/(a/b)
=(1/3)ba^2
(II)のとき
(t/b)√(b^2-a^2)=u
と置くと
(与式)=(1/3)(a^3)∫[t:0→(1/b)√(a^2-b^2)]{1/(1-u^2)^(3/2)}{b/√(b^2-a^2)}du
=(1/3)(a^3){b/√(b^2-a^2)}[u/(1-u^2)^(1/2)][t:0→(1/b)√(b^2-a^2)]
=(1/3)(a^3){b/√(b^2-a^2)}{(1/b)√(b^2-a^2)}/(a/b)
=(1/3)ba^2

以上から
(与式)=(1/3)ba^2

注)
上記の計算過程で
∫du/(u^2+1)^(3/2)=u/(u^2+1)^(1/2)+C
∫du/(1-u^2)^(3/2)=u/(1-u^2)^(1/2)+C
(Cは積分定数)
を使っていますが、これの計算過程は
敢えて伏せてあります。
これはご自分で考えてみて下さい。
(そうでないと計算の練習になりません)

ヒントは
∫du/(u^2+1)^(1/2),∫du/(1-u^2)^(1/2)
から、部分積分を使って
∫du/(u^2+1)^(3/2),∫du/(1-u^2)^(3/2)
をひねり出す、とだけ書いておきます。
（教科書などに似たような計算方針の例題
があると思いますので、それを参考にしてみて
下さい。)
No.84048 - 2022/11/27(Sun) 22:21:31
☆ Re: 大学数学 微分積分 / Sa
ご丁寧にありがとうございます！！
自分でももう一回考えてみます！！
No.84050 - 2022/11/28(Mon) 00:21:03
☆ Re: 大学数学 微分積分 / X
もう見ていないかもしれませんが、(2)について
場合分けが不要な別解がありましたので
アップしておきます。

(2)の別解)
条件から極座標に変換すると
D={(r,θ)|0≦r≦ab/√{(bcosθ)^2+(asinθ)^2},0≦θ≦π/2}
∴(与式)=∫[θ:0→π/2]∫[r:0→ab/√{(bcosθ)^2+(asinθ)^2}](r^2)cosθdrdθ
=(1/3){(ab)^3}∫[θ:0→π/2]{(cosθ)/{(bcosθ)^2+(asinθ)^2}^(3/2)}dθ
=(1/3){(ab)^3}∫[θ:0→π/2]{1/{b^2+(atanθ)^2}^(3/2)}{1/(cosθ)^2}dθ
=(1/3)(a^3)∫[θ:0→π/2]{1/{1+((a/b)tanθ)^2}^(3/2)}{1/(cosθ)^2}dθ
ここで
(a/b)tanθ=tと置くと
(与式)=(1/3)(ba^2)∫[t:0→∞]dt/(1+t^2)^(3/2)
=(1/3)(ba^2)[t/(1+t^2)^(1/2)][t:0→∞]
=(1/3)ba^2
No.84061 - 2022/11/28(Mon) 17:38:21
☆ Re: 大学数学 微分積分 / Sa
返信遅れてすみません
ちなみにですが
x＝arcosx y＝brsinx と変換すると
どうなりますか?
No.84094 - 2022/11/30(Wed) 11:49:18
☆ Re: 大学数学 微分積分 / GandB
　(2)はXさんが最初に示したその変換で解いても全然問題ないはず。途中で（あるいは内部で）立派に
　　「極座標変換を用いて」
という条件を満たしている。
　　x = arcosθ
　　y = brsinθ
は極座標変換ではないが、ヤコビアン
　　∂(x,y)/∂(r,θ) = abr
を計算する過程で極座標変換を使ったことになる。
No.84099 - 2022/11/30(Wed) 16:58:29
★ 大学1年線形台数 / Sa
この答えを教えてください！！
至急お願い致します。
No.84039 - 2022/11/27(Sun) 09:08:45
☆ Re: 大学1年線形台数 / GandB
【問2】wolframa
　　{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}} の行を簡約
　　MatrixRank[{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}}]
　　ker{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}}
No.84040 - 2022/11/27(Sun) 10:26:21
☆ Re: 大学1年線形台数 / Sa
すみませんm(_ _)m
どれが答えですか？


> 【問2】wolframa
> 　　{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}} の行を簡約
> 　　MatrixRank[{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}}]
> 　　ker{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}}
No.84041 - 2022/11/27(Sun) 10:32:07
☆ Re: 大学1年線形台数 / X
横から失礼します。
GandBさんの回答は、
単に答えだけを知りたいのであれば
wolframalphaのHPで
> 　　MatrixRank[{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}}]
> 　　ker{{-2,0,5,-3},{-1,3,-4,0},{-5,-3,0,-1},{7,9,1,-1}}
を入力すれば求められますよ、という意味だと思います。
No.84042 - 2022/11/27(Sun) 11:31:07
★ あ / あ
これの右辺がなぜこの形になるのかを知りたいです
No.84035 - 2022/11/27(Sun) 02:33:11
☆ Re: あ / らすかる
左辺の意味はわかるということですよね？
それならば
濃度6%の食塩水150gに
濃度9%の食塩水xgを加えたら
全体の重さは150+x(g)となり、
その食塩水の濃度が8%なのですから、塩の重さは
(8/100)×(150+x)
となります。
No.84037 - 2022/11/27(Sun) 08:02:50
★ 線形代数、部分空間に関して / あ
分かりにくくて申し訳ありませんが、上が自分の解答、下が問題文と解答例です。
自分の解答と解答例の符号が若干異なりますが、これはzやwの取り方によって変わり、どちらでもよいのでしょうか？
また、自分の解答で何か足りない記述はあるでしょうか？ご回答お願い致します。
No.84034 - 2022/11/26(Sat) 21:27:56
☆ Re: 線形代数、部分空間に関して / X
あさんの解答で問題ありません。

＞＞自分の解答と解答例の符号が〜よいのでしょうか？
その考え方で問題ありません。
No.84038 - 2022/11/27(Sun) 08:48:10
☆ Re: 線形代数、部分空間に関して / あ
ありがとうございました。
No.84043 - 2022/11/27(Sun) 12:35:11
★ 一次関数のグラフ / ゆみ
中学2年生です。⑵の問題の解き方がわからないので、教えていただきたいです。
解答はa=3です。
No.84029 - 2022/11/25(Fri) 22:26:15
☆ Re: 一次関数のグラフ / らすかる
y=ax(a≧1)で切るとAを含む方が大きいから
2：1の内訳はAを含む側が2、Cを含む側が1
四角形ABCDの面積は(3+4)×3÷2=21/2なので
2：1に分けると大きい方が14/2=7、小さい方は7/2
もしDを通る直線で切ってCを含む直角三角形の面積が7/2になるとすると
高さが3だから底辺は7/3となりDとE(-4/3,-2)を結んだ直線で分ければ
2：1になる。DEの中点MはM(-1/6,-1/2)だから原点とMを通る直線で
分ければ条件を満たす。よってa=(-1/2)÷(-1/6)=3。
（y=3xとAD,BCとの交点をP,Qとすると△MPD≡△MQEだから△DEC=四角形PQCD）

もし方程式を立てて解いた方が良ければ
切り取る右側の面積=7/2を出した後
y=axとy=1の交点は(1/a,1)
y=axとy=-2の交点は(-2/a,-2)
よって切り取る右側の台形の面積は
{(1-1/a)+(1-(-2/a))}×3÷2=7/2
これを解いて a=3
No.84031 - 2022/11/26(Sat) 00:43:14
☆ Re: 一次関数のグラフ / ゆみ
ラスカル様

丁寧に説明していただき、ありがとうございました。
No.84032 - 2022/11/26(Sat) 07:09:04
★ 数IA 数論 / T
写真のように、共通解を求める問題等の解の一部分で

「?@かつ?A」は「?Bかつ?@」と同値 (?B=?A-?@)

という説明を見ますが、どうしてこの同値変形が言えるのかよく分かりません。
問題の解き方自体は機械的に覚えてしまっているので分かります。
No.84024 - 2022/11/25(Fri) 17:45:53
☆ Re: 数IA 数論 / T
すみません、文字化けしました。二行目の文章は

「丸1かつ丸２」は「丸３かつ丸1」と同値(丸3=丸２-丸１)

です。
No.84026 - 2022/11/25(Fri) 17:49:42
☆ Re: 数IA 数論 / らすかる
○1かつ○2が成り立つのであれば○2-○1により○3も成り立ちますので
「○1かつ○2」⇒「○3かつ○1」は成り立ちます。
また、○3かつ○1が成り立つのであれば○3+○1により○2も成り立ちますので
「○3かつ○1」⇒「○1かつ○2」は成り立ちます。
従って「○1かつ○2」⇔「○3かつ○1」ですから、同値です。
No.84027 - 2022/11/25(Fri) 18:02:46
☆ Re: 数IA 数論 / T
今まで蔑ろにしてしまっていた所をしっかり理解できました。ありがとうございました！
No.84028 - 2022/11/25(Fri) 19:44:56
★ 大学数学　位相幾何学 / クラチカズキ
|K|=U_(σ∈K)◦σ

これを示せという問題が分かりません。
有識者の方教えていただけると助かります。
No.84020 - 2022/11/25(Fri) 00:17:38
☆ Re: 大学数学　位相幾何学 / IT
各記号の意味が書いてないのでさっぱり分かりませんが
右辺は｜K｜の定義なのでは？　それだと「これを示せ」という問題は変ですが。
No.84030 - 2022/11/25(Fri) 22:32:15
★ 大学数学　確率論 / かず
X1, · · · , Xn を独立同分布な確率変数の族とする. X1 の分布について,
P(X1 = 1) = P(X1 = 0) = P(X1 = −1) = 1/3 とする. Sn := X1 + · · · + Xn, Πn := X1 · · · Xn
とおく. このとき以下の問いに答えよ.
(1) 自然数 k に対し, E[(Πn)k]を求めよ.
(2) P(Πn = 0) を求めよ.
(3) P(Sn ≥√n) ≤ 1/3 を示せ.
(4) λ ∈ R に対し, ψ(λ) := log E[exp(λX1)] とおく.
(i) ψ の導関数を 2 次まで求めよ.
(ii) limλ→0ψ(λ)/λ2 を求めよ.

分かる問題のみで良いので協力していただけると助かります
No.84019 - 2022/11/25(Fri) 00:09:59
☆ Re: 大学数学　確率論 / ast
単に文字を併置されると添字なのか冪指数なのかはたまたもっと別のものなのか判別つきません (というか, ふつうは併置は機械的に積だと受け取るのが最も素直な判断です) ので, そういった部分をきちんと但し書なり記法で区別できるようにするなりされないと, たとえ分かる方が居てもコメントは付きにくいと思いますよ.

# 最近は電子ファイルで出題される機会も増えてきたということも要因としてあるとは思いますが,
# (昔からいたと言えばいたけど) 質問をコピペで済ませて (コピペしたことで満足して),
# 表示崩れまくろうが何しようがそのまま放置して弁解すらもないというような方がちょくちょくいますね.
## まあたとえコピペでなくても, 本掲示板の上部の注意書きの例にも通じることですが,
## (特に(ローカルな)記号やテキスト表示の関連で) 何の背景も注釈もなしに読んでそれで通じるつもりなのか
## という質問を目にするにつけ, 首を傾げることは多々あります.
## (とくに, 書き込んだ後その内容を確認したりしないのだろうかと思うようなものは本当に多い.)
No.84053 - 2022/11/28(Mon) 06:42:52
★ 至急　比例反比例「関数」 / ﾃｽﾄﾅﾆｿﾚｵｲｼｲﾉ
数学の問題がわからなくて困ってます。　中１の比例反比例の「関数」っていう単元なんですが。　問　次のそれぞれの場合について、Xの変域を不等号を使って表しなさい。
(1)Xの変域が-10以上である
(2)Xの変域が30未満である
(3)Xの変域が-10以上30未満である
の問題の解き方を教えてほしいです。
No.84016 - 2022/11/24(Thu) 21:35:45
☆ Re: 至急　比例反比例「関数」 / ﾃｽﾄﾅﾆｿﾚｵｲｼｲﾉ
写真載せ忘れてました。
No.84017 - 2022/11/24(Thu) 21:36:22
☆ Re: 至急　比例反比例「関数」 / ヨッシー
次の不等式を、例のように日本語で表現できますか？

例）　２＜ｘ　　：　ｘは２より大きい
１）　ｘ≦３　　：
２）　ｘ＜−１　：
３）　−２＜ｘ≦２　：
No.84022 - 2022/11/25(Fri) 08:01:33
★ 複素関数の問題です。 / Tai
大学２年生です。
こちらの複素数の積分問題なのですが、解き方を教えていただきたいです。
No.84012 - 2022/11/24(Thu) 20:51:52
☆ Re: 複素関数の問題です。 / X
方針を。

f(z)=1/(9+4z^2)
は|z|≦1において正則。よって
コーシーの積分定理により
z=-iを始点、z=iを終点とする
|z|≦1に含まれる任意の経路
をC'としたとき、
(与式)=∫[C']dz/(9+4z^2)
そこで
C'={z|z=yi,y:-1→1}
と取ると
(与式)=i∫[y:-1→1]dy/(9-4y^2)
=…
No.84025 - 2022/11/25(Fri) 17:46:26
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