ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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★ (No Subject) / 橋

このはてなをしてあるところがどう求めて良いのかわかりません。教えてください！

No.62215 - 2019/11/09(Sat) 09:30:50

☆ Re: / ヨッシー

max{p,3,r}=4 および p+r=5 より p=1,r=4 または p=4,r=1
max{q,2,s}=3 および q+s=4 より q=1,s=3 または q=3,s=1
これから p,q,r,s について、４通りの可能性が考えられますが、
　a＜b＜c
を満たすのは、
　p=1,q=1,r=4,s=3
のときのみです。

No.62219 - 2019/11/09(Sat) 10:11:39

★ 因数分解 / kitano

minamino です、簡単な因数分解ですが、

問題

(a^2-1)(b^2-1)-4ab

を因数分解せよです。

私の考え方

https://imgur.com/a/R7SS3Cp

ご意見、ご指摘を御願い致します。

No.62214 - 2019/11/09(Sat) 09:25:09

☆ Re: 因数分解 / ヨッシー

まずは、
　{(b^2－1)a＋t}(a＋t')
の可能性は？　というのが１点。
「対称式の性質から」が「？？？」なのが１点です。

一般には、こういうたすき掛けをしてやりますね。
この経過を、式で大仰に書いただけのような気がします。

No.62216 - 2019/11/09(Sat) 09:47:33

☆ Re: 因数分解 / らすかる

別解ですが、
2変数の対称式なのでu=a+bとv=abで表してみる、
という方針でやったら
(a^2-1)(b^2-1)-4ab
=v^2-(u^2-2v)+1-4v
=(v^2-2v+1)-u^2
=(v-1)^2-u^2
=(v+u-1)(v-u-1)
=(ab+a+b-1)(ab-a-b-1)
のようにできました。

No.62217 - 2019/11/09(Sat) 10:00:08

☆ Re: 因数分解 / kitano

>「対称式の性質から」が「？？？」なのが１点です。

与式が対称式なのですから、因数分解された形も基本対称式であらわされているはずです、

t'が-1-b では、対称性が崩れます。

また、

>{(b^2－1)a＋t}(a＋t')
の可能性は？　というのが１点。

これは、議論の余地もないとおもうのですが、

では、

minamino

No.62218 - 2019/11/09(Sat) 10:01:40

☆ Re: 因数分解 / kitano

らすかる様

別解有難うございます。

私の解法へのご指摘など頂ければ幸いです。

kitano

No.62221 - 2019/11/09(Sat) 10:43:37

☆ Re: 因数分解 / kitano

ヨッシー様、

回答が間違っておりました、

>t'が-1-b では、対称性が崩れます。
は、tが-1-b では、対称性が崩れます。の間違いでした。

{(b+1)a-1-b}では対称性が崩れるということです。

何卒、宜しく御願い致します。

kitano

No.62222 - 2019/11/09(Sat) 10:47:49

☆ Re: 因数分解 / らすかる

> 与式が対称式なのですから、因数分解された形も基本対称式であらわされているはずです、
そうとは限りません。
対称式であるa^2b^2-a^2-b^2+1を因数分解すると
(a-1)(a+1)(b+1)(b-1)
となり、各因数は対称式ではありません。

従って
> tが-1-b では、対称性が崩れます。
これは根拠になりません。
実際、t=-1-b、t'=-1+bとして展開すると
上記の対称式(a^2b^2-a^2-b^2+1)になります。

No.62224 - 2019/11/09(Sat) 10:52:55

☆ Re: 因数分解 / kitano

らすかる様

ご指摘有難うございます。

私なりに答案を作り直しました。

ご指摘を御願いします。

https://imgur.com/a/czqhTQ8

kitano

No.62225 - 2019/11/09(Sat) 11:26:58

☆ Re: 因数分解 / kitano

らすかる様

赤字部分が間違っていました。

f(1,1)=-4,f'(1,1)=-4

です、

何卒宜しく御願い致します。

kitano

No.62227 - 2019/11/09(Sat) 11:34:40

☆ Re: 因数分解 / らすかる

一組の具体値を入れて計算しただけで「予想は正しかった」とは言えません。
（2組、3組と増やしてもダメです。）
例えばf''(a,b)=(ab+a-b-1)(ab-a+b-1)としたとき
f(2,0)=f'(2,0)=f''(2,0)=-3です。

それから、ヨッシーさんも指摘されていますが
「a^2の係数がb^2-1だから{(b+1)a+t}{(b-1)a+t'}になる」
というのも、そういう定理があるわけでもないですから
（実際にそれが正しかったとしても）減点される可能性が
高いと思います。
こちらも、「予想」にしておけば問題ないですが。

No.62229 - 2019/11/09(Sat) 12:32:31

☆ Re: 因数分解 / kitano

らすかる様

今回も最後までご指導下さり、本当に有難うございました

kitano

No.62230 - 2019/11/09(Sat) 13:08:36

☆ Re: 因数分解 / 匿名希望

このスレッドの最初の質問は質問者さんが『簡単な因数分解』とする問題について、ご自身の考え方についてのコメントを求めたもので、スレッド全体がその方針で一貫しています。
このスレッドを初心者の高校生が閲覧した場合≪この方針でさえ簡単と言えるほど難しい問題なのか≫と誤解してしまう可能性があると思います。

与式を展開、降べきの順に整理して、
　(a^2-1)(b^2-1)-4ab=a^2b^2-a^2-b^2-4ab+1
としたのち、2次の項を
　-a^2-b^2-4ab = -(a+b)^2-2ab
と表すことができると洞察できれば、
平方の差を和と差の積に因数分解することになります。
この問題を『簡単な因数分解』と呼ぶかどうかは各自の計算力しだいでしょうが、私にとっては応用問題に属する印象です。

No.62233 - 2019/11/09(Sat) 17:21:03

★ 数?V - 体積 / 高校数学の頂（いただき）

　Oを原点とするxyz空間において，3点A, B, Cが次の条件(?@), (?A), (?B)を満たして動くとき，三角形ABCの周および内部（Tとする）が通過する領域の体積を求めよ。ただし，(?B)のとき，Tは1点Aを表すものとする。

　(?@) 2点A, Bはいずれも円x^2+y^2=1, z=0の周上にある。
　(?A) A≠Bのとき，点Cのz座標は0以上であり，かつ∠ACB=90°である。
　(?B) A=Bのとき，C=Aである。

以上の問題の解法を教えてください。
よろしくお願いします。

No.62212 - 2019/11/09(Sat) 00:03:17

☆ Re: 数?V - 体積 / らすかる

AとBがx軸に関して対称の位置にある場合を考え、
平面y=0で切ったxz平面の図を考えると、
A,Bのx座標がtのときAB=2√(1-t^2)なので
Cは円(x-t)^2+z^2=1-t^2上にある。
tについて整理すると2t^2-2xt+(x^2+z^2-1)=0
D/4=x^2-2(x^2+z^2-1)=-x^2-2z^2+2≧0から
この円の通る範囲は楕円x^2/2+z^2=1の境界および内部なので
この楕円のz≧0の部分をz軸に関して1回転した時の体積を求めればよい。
この楕円は原点を中心とする半径√2の球をz軸方向に1/√2にしたもので、
立体はz≧0からさらにその半分なので、
求める体積は (4/3)π・(√2)^3÷√2÷2=(4/3)π

No.62220 - 2019/11/09(Sat) 10:28:09

★ 台形公式について。 / コルム

次の問題で、常にf(x)≧0であるとする。というところがわかりません。f(x)＝0の時繋がらないと思うのですが。教えていただけると幸いなのですが。以下の写真です。

No.62210 - 2019/11/08(Fri) 22:37:51

☆ Re: 台形公式について。 / ＩＴ

> f(x)＝0の時繋がらないと思うのですが
「y=f(x)のグラフとx軸の間の図形が繋がらない」ということだと思いますが、差し支えありません。

No.62213 - 2019/11/09(Sat) 03:47:08

☆ Re: 台形公式について。 / コルム

なぜ、差し支えないのですか？教えていただけると幸いなのですが。すみません。

No.62231 - 2019/11/09(Sat) 15:02:02

☆ Re: 台形公式について。 / ＩＴ

逆に質問ですが　f(x)=0 となるところがあると、なぜ（どのような）不都合があると思われますか？

No.62232 - 2019/11/09(Sat) 17:09:49

☆ Re: 台形公式について。 / コルム

面積がなくなって、面積が、繋がらないと思うのですが。面積が0
で、繋がっていると考えれば良いのでしょうか？教えていただけると幸いなのですが。すみません。

No.62234 - 2019/11/09(Sat) 19:37:25

☆ Re: 台形公式について。 / ＩＴ

面積を計算するうえで、図形が繋がっている必要はないと思います。

例えば２つに分かれていれば、それぞれの面積を計算して合計するだけです。

No.62237 - 2019/11/09(Sat) 20:14:18

☆ Re: 台形公式について。 / コルム

ありがとうございました。

No.62238 - 2019/11/09(Sat) 20:18:22

★ (No Subject) / 橋

ここの下線部の意味が分からないのですが、どういうことでしょうか？

No.62203 - 2019/11/08(Fri) 21:04:04

☆ Re: / 元中3

N!にN+1を掛けると末尾の0が二個増える(100ができる)ので、Ｎ+1が25の倍数である(かつ125の倍数でない)ということです。
例えば24!に25を掛けた25!に関していえば、もともと24!の中に含まれていた素因数2二個と新たに追加された二個の素因数5がくっついて100が生まれ、結果的に末尾の0は二個増えます。

No.62204 - 2019/11/08(Fri) 21:37:19

★ (No Subject) / アブドゥル

このシグマを自分なりに計算すると、1/｛2n(n-3)!｝となりましたが、同じことですか？(正しいですか？)

No.62202 - 2019/11/08(Fri) 21:01:26

☆ Re: / らすかる

具体的に適当な数を入れてみれば、正しくないことがわかると思います。
1/{2n(n-3)!}でn=4とすると1/(2×4×1)=1/8
1/{2(n-2)!}でn=4とすると1/(2×2)=1/4
元の式でn=4とすると
(1/4!)(3+2+1)=6/24=1/4

No.62205 - 2019/11/08(Fri) 21:49:38

☆ Re: / アブドゥル

ありがとうございます。そのようでした。すみませんでした。
何回計算してもこの値になるのですが、何が間違っていますか？
ミスした箇所がわからないです。

No.62207 - 2019/11/08(Fri) 21:55:43

☆ Re: / アブドゥル

画像忘れました。こちらです。

No.62208 - 2019/11/08(Fri) 21:56:05

☆ Re: / らすかる

最初の行が違います。
Σ[k=1～n-1](n-k)
={Σ[k=1～n-1]n}-{Σ[k=1～n-1]k}
={n(n-1)}-{n(n-1)/2}
=n(n-1)/2
です。

No.62209 - 2019/11/08(Fri) 22:01:21

☆ Re: / アブドゥル

ありがとうございます。そうでした。
勘違いして計算してしまいました。反省します。

No.62211 - 2019/11/08(Fri) 22:51:07

★ よろしくお願いします / 塩昆布

4枚のカード1 2 3 4が入っている袋がある　この中から一枚のカードを無作為に取り出しカードに書かれた数を記録して袋に戻すを4回行う
問題　
4回とも2以上の数が記録される確率を求めよ
記録された4個の数の最小値が2である確率を求めよ

No.62201 - 2019/11/08(Fri) 19:52:46

☆ Re: よろしくお願いします / らすかる

2以上の数が取り出される確率は3/4なので、
4回とも2以上の数が記録される確率は
(3/4)^4=81/256
同様に4回とも3以上の数が記録される確率は
(1/2)^4=1/16
なので、最小値が2である確率は
81/256-1/16=65/256

No.62206 - 2019/11/08(Fri) 21:52:12

★ 東北大学2019後期 / ＩＴ

forex　さんの質問が消えているので解決したのかも知れませんが、回答を作ったので掲載します。
ご質問は、別紙（画像）の(3)の答案の式の置き換えをどのように思いつくかということでした。

下に凸な関数の性質を使う問題ですね。下記のようにするとともに、グラフを描いて考えると見通しが良いのではないかと思います。

(3)
y=d-a,x=c-b,v=d-b,w=c-a とおくと
x+y=v+w …（ア）
またx＜v＜y,x＜w＜y なので　v=(1-s)x+sy,0＜s＜1,w=(1-t)x+ty,0＜t＜1 なるs,tがとれる。

v+w=(2-(s+t))x+(s+t)y=x+y (∵(ア）) ∴　(1-(s+t))(x-y)=0 ここで x＜yなので 1-(s+t)=0…（イ）　

このとき
(2) から　(1-s)f(x)+sf(y)＞f((1-s)x+sy)=f(v)
　　　　　 (1-t)f(x)+tf(y)＞f((1-t)x+ty)=f(w)
よって　(2-(s+t))f(x)+(s+t)f(y)＞f(v)+f(w)

（イ）より　f(x)+f(y)＞f(v)+f(w) すなわち f(d-a)+f(c-b)＞f(d-b)+f(c-a)

No.62200 - 2019/11/08(Fri) 19:16:26

★ 複素解析：関数の部分分数展開 / たかさん

添付画像は寺寛の5章「複素変数の函数」のものです。この例1、例2で|f(z)|がすべての同心円を通じて一様に有界であることがどうしても示せません。ヒントだけでも構いませんのでお教えいただけるとありがたいです。

No.62199 - 2019/11/08(Fri) 13:17:46

★ 縦曲線の計算について / 寝屋川のムウマ

勾配変化に伴う縦曲線の計算について
勾配が変わるとき、測量ではクロソイド曲線を使うそうです。
これは急激に曲がってしまうと、車両が転覆・脱線・路外逸脱するなど事故の原因となってしまうからです。
従って、必ず、勾変更点の前後にはクロソイド曲線が入ります。
自分は勾配変化に伴う、垂直方向におけるクロソイド曲線の全長と開始位置から勾配変更点までの長さを求める公式が知りたいです。
まず前提条件してクロソイド曲線開始位置をA、勾配変更点からの垂線とクロソイド曲線との交点をB、クロソイド曲線の終了位置をBとします。また垂線をMとします。
参考としてbve用の縦曲線計算（https://keisan.casio.jp/exec/user/1342727381）の計算結果を用いました。bveとは鉄道運転シミュレーションゲームのフリーウェア Bve trainsimのことです。これによると水平方向の曲線の場合は曲率半径R800以上とR800以下ではクロソイド曲線の長さが変わります。尚直線坂の場合はR800以上と同じです。
以下は、自分が実際にクロソイド曲線の全長を計算した結果です。
勾配→勾配、水平方向の曲線長、垂直方向のクロソイド曲線長。
3.3‰m→-29.9‰は100m（曲線なし）、
-29.9‰→-2.9‰は108m（R400）、
-2.9‰→33‰は143m(R400)
33‰→-2‰は105m(曲線なし)です。
水平方向の曲率半径Rと、垂直方向の勾配のクロソイド曲線を勘案すると、
ABS(IF(OR(R>800,R=800,R=0),30*(i1-i2),40*(i1-i2)))でやると
それぞれ、99.6m、108．0m、143.6m、105mで、有効値となっています。
ただ、本当に合っているかどうかがわからないのと、
クロソイド曲線は、勾配変更点で違う値の勾配の場合、たとえば3‰の上り→5‰の下りの場合だと左右で違う値になってしまうので、そこの値が知りたいです。

No.62196 - 2019/11/07(Thu) 18:13:14

★ (No Subject) / 人

πが無理数であることは、n!πが整数(nは任意の整数)でないことの

必要十分条件、十分条件、必要条件である。

この問題の答えは必要十分条件であってますか？

No.62193 - 2019/11/06(Wed) 21:24:18

☆ Re: / ヨッシー

履修範囲によりますが、πが虚数である可能性は考慮しますか？

No.62194 - 2019/11/06(Wed) 21:35:31

☆ Re: / らすかる

虚数を習っていなければ「必要十分条件」
虚数を習った後でも、「πは実数」という条件があれば「必要十分条件」
虚数を習った後で、しかも「πは実数」という条件がなければ
「実数範囲ならば必要十分条件、複素数範囲ならば十分条件」

No.62195 - 2019/11/07(Thu) 00:00:39

☆ Re: / 人

解答ありがとうございます。

πが実数だという保証があれば、必要十分条件でよいのですね。

ありがとうございました😊

No.62198 - 2019/11/07(Thu) 21:29:07

★ 縦曲線の計算について / 寝屋川のムウマ

縦曲線の計算について
緩和曲線の全体の長さと緩和曲線開始位置から勾配変更点の長さをもとめたいです。
まず前提条件して緩和曲線開始位置をA、勾配変更点からの垂線と緩和曲線との交点をB、緩和曲線の終了位置をBとします。また垂線をMとします。
casioのbve用の縦曲線計算（https://keisan.casio.jp/exec/user/1342727381）の計算結果によると坂曲線の場合は曲率R800以上とR800以下では緩和曲線の長さが変わります。尚直線坂の場合はR800以上と同じです。
3.3‰m→-29.9‰は100m（曲線なし）、
-29.9‰→-2.9‰は108m（R400）、
-2.9‰→33‰は143m(R400)
33‰→-2‰は105m(曲線なし)です。
上江洲のカーブ半径Rと、下図の緩和勾配を勘案すると、
ABS(IF(OR(R>800,R=800,R=0),30*(i1-i2),40*(i1-i2)))でやると
それぞれ、99.6m、108．0m、143.6m、105mで、有効値が得られました。
しかし、知人に聞くとそれは間違いだそうで、
知人に聞いたところ、atan関数というものを使い、計算式はatan(i1)+atan(i2)+曲率*2だそうです。
この時、iは％表記なので‰は1/10にしないといけません。
知人の方法でやった場合
IF(OR(R>800,R=800,R=0),ABS((ATAN(i1)+ATAN(i2))*54*2),(ABS(ATAN(i1)+ATAN(i2))*21.7*2))でやると
3.3‰m→-29.9‰は100m（曲線なし）、100.3639m
-29.9‰→-2.9‰は108m（R400）、108.3453m
-2.9‰→33‰は143m(R400)、70.3967m
33‰→-2‰は105m(曲線なし)→116.5499mになりました。つまり前2者は有効値ですが、後2者は有効値ではありません。

No.62191 - 2019/11/06(Wed) 19:39:17

☆ Re: 縦曲線の計算について / 寝屋川のムウマ

画像忘れてました。

No.62192 - 2019/11/06(Wed) 20:50:49

★ (No Subject) / apple

次のように定められる3つの数列{θn}[an][bn]について考える

θ1=0.θ(n+1)=θn+(π/2^n),an=sinθn,bn=cosθn

(1)θn/π=→解決済み
(2)a3,a4^2の値は→解決済み
(3)(an)^2=ケ｛a(n+1)｝^2-コ｛a(n+1)｝^4

(3)どうやって解くのでしょうか。模範解答よろしくお願いします

No.62189 - 2019/11/06(Wed) 18:40:25

☆ Re: / X

(1)の結果から
a[n]=sin{{1-1/2^(n-1)}π}
=sin{π/2^(n-1)}
∴{a[n+1]}^2={sin(π/2^n)}^2
={1-cos{π/2^(n-1)}}/2 (∵)半角の公式
{a[n+1]}^4=(1/4){1-cos{π/2^(n-1)}}^2
=(1/4){1-2cos{π/2^(n-1)}+{cos{π/2^(n-1)}}^2}
=(1/4){1-2cos{π/2^(n-1)}+1-{a[n]}^2}
=1/2-(1/2)cos{π/2^(n-1)}-(1/4){a[n]}^2
改めて書くと
{a[n+1]}^2={1-cos{π/2^(n-1)}}/2 (A)
{a[n+1]}^4=1/2-(1/2)cos{π/2^(n-1)}-(1/4){a[n]}^2 (B)
(A)(B)からcos{π/2^(n-1)}の項を消去します。

No.62197 - 2019/11/07(Thu) 18:37:16

★ 確率統計　岩波 / Punk

二項分布Bin(n, p)に従う母集団から、2個の標本x1,x2を無作為抽出した。母数の最尤推定量を求めよ。

上記の問題の回答が画像の[2]です。
二項定理だということは想像できるのですが、尤度関数Lの意味がよくわかりません。
nCx1 × nCx2のような形はどこから出てきたのでしょうか？
教えていただけますか？

No.62187 - 2019/11/06(Wed) 00:34:12

★ 微分 / うい

等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす
二次関数f(x)を求めよ。

これで、
ｘ^2・（２ａｘ＋ｂ）　－　（２ｘ－１）（ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ）　－　１　＝　０
が恒等式になるそうなのですが、なぜ恒等式になるのかを教えてください。

No.62185 - 2019/11/05(Tue) 23:07:16

☆ Re: 微分 / らすかる

関数f(x)が(x^2)f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たすということは
任意のxに対して(x^2)f´(x)-(2x-1)f(x)=1が成り立つということです。
よってf(x)=ax^2+bx+cとおくとf´(x)=2ax+bなので、代入して
(x^2)(2ax+b)-(2x-1)(ax^2+bx+c)=1となり、
これが「任意のxに対して成り立つ」のですから「恒等式」です。

No.62186 - 2019/11/06(Wed) 00:10:21

★ (No Subject) / きょうりゅう

この画像の下の問17の問題をとくと
sin(シーター＋π/2)＝cosシーターは
sin(π/2－シーター)＝－cosシーターになると思うんですけど
どうしてsin(π/2－シーター)＝cosシーターになるのですか？

No.62180 - 2019/11/05(Tue) 22:01:49

☆ Re: / きょうりゅう

き

No.62181 - 2019/11/05(Tue) 22:04:51

☆ Re: / らすかる

sin(θ+π/2)=cosθ のθを-θに置き換えたら
sin(π/2-θ)=-cosθ ではなく
sin(π/2-θ)=cos(-θ) となりますね。
そしてcos(-θ)=cosθですから
sin(π/2-θ)=cosθ となります。

No.62183 - 2019/11/05(Tue) 22:21:30

★ (No Subject) / つなかん

組み合わせの問題を作ってみたので、難易度や解いてみた感想などを頂けると嬉しいです(掲示板の趣旨にそぐわない場合は削除していただいても大丈夫です)

1～14までの自然数をそれぞれ7個ずつの2つのグループA,Bにわける組み合わせのうち、＊を満たすものは何通りか。
＊A,Bに含まれる数一つづつからなる被りのない7つのペアであって、すべてのペアについてBの自然数がAの自然数より大きくなるようなものが存在する

No.62175 - 2019/11/05(Tue) 19:20:35

☆ Re: / ＩＴ

０から自力で考えるなら簡単ではないですが、類題（カタラン数がらみ）をやったことがあれば、そんなに難しくはないと思います。

No.62176 - 2019/11/05(Tue) 20:17:27

☆ Re: / つなかん

ITさん、ありがとうございます！

No.62177 - 2019/11/05(Tue) 20:27:46

☆ Re: / らすかる

同じ問題を何度も見たことがあります。
検索しても同じものは見つけられませんでしたが、
↓これに似たような感じですよね。
https://www.fukui-ikuei.com/base/wp-content/uploads/2018/08/3c7774945e14c657d0740f4caf2713b8.pdf

No.62182 - 2019/11/05(Tue) 22:20:06

☆ Re: / つなかん

シンプルな問題なので既出なのではないかと思ってはいましたが、やっぱり似たような問題ありましたね....

No.62184 - 2019/11/05(Tue) 22:37:36

★ 領域など / しょう

144のスセソタの解説をお願いします。