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★ 数列の極限 / forex
2019年東北大学理系第3問の補足解説についての質問です。
画像において、「n≧2のとき、｜x(n)｜≦1/2」の部分が理解できません。この記述の1/2という値がどのようにして定まったのか解説をお願いします。
No.61903 - 2019/10/18(Fri) 21:25:30
☆ Re: 数列の極限 / ＩＴ
「まちがいですね。」という回答は削除しました。


数学的帰納法で示せますね。

まず|x[2]|≦1/2を証明。（やってみてください）

次に2以上の自然数nについて　|x[n]|≦1/2 と仮定すると

　x[n+1]=(1/3)(x[n]+x[n]^2)=(1/3)((x[n]+1/2)^2-1/4) なので
-1/12≦x[n+1]≦1/4 よって　|x[n+1]|≦1/2 。
No.61906 - 2019/10/18(Fri) 23:12:40
☆ Re: 数列の極限 / ＩＴ
> この記述の1/2という値がどのようにして定まったのか解説をお願いします。

上記はこの質問の答えにはなってなかったですね。

1/2 でなくて　1/4などでもいいけれど、その解答作成者は1/2にしたということではないかと思います。

ただ証明なしに「|x[n]|≦1/2 」としているのは気になります。
私には「自明」とまでは思えないので証明が要ると思います。
No.61908 - 2019/10/18(Fri) 23:45:37
☆ Re: 数列の極限 / forex
ご回答ありがとうございます。
なんとか示すことはできました。
結局は公比の絶対値が1未満で評価できていれば十分であるということだったのですね。
解説では途中式なしで絶対値が1/2以下という条件を書いていましたのでもっとすんなりと言えるものかと思ってました。
ご回答ありがとうございました。
No.61909 - 2019/10/18(Fri) 23:56:08
☆ Re: 数列の極限 / ＩＴ
> 結局は公比の絶対値が1未満で評価できていれば十分であるということだったのですね。
そうですね。

> 解説では途中式なしで絶対値が1/2以下という条件を書いていましたのでもっとすんなりと言えるものかと思ってました。

この小問の前の小問(2) の結果「-1＜x[n]＜0｣を使えば、より容易に示せますね。
No.61910 - 2019/10/19(Sat) 00:08:32
☆ Re: 数列の極限 / forex
ご回答ありがとうございます。
実際の問題を簡単にした類似の漸化式だったので、同様の議論を本問の解説に譲って端折ったのかもしれません。
確かに、本問の(2)を利用すれば容易に示せる気がします。
わざわざ過去問参照の上、ご回答いただきありがとうございました。
No.61913 - 2019/10/19(Sat) 04:09:02
☆ Re: 数列の極限 / ＩＴ
「n≧2のとき　|x[n]|≦1であること」を認めるのなら

|x[n+1]|
＝(1/3)|x[n]+x[n]^2|
＝(1/3)|1+x[n]||x[n]|
≦(2/3)|x[n]|
･･･
≦{(2/3)^n}|x[1]| ＃10月20日14時25分修正#
で良いような気がします。
No.61914 - 2019/10/19(Sat) 07:40:52
☆ Re: 数列の極限 / forex
ご回答ありがとうございます。
確かにそうですね。
教えていただいた階数下げ(？)を繰り返す変形の方がシンプルで分かりやすく感じました。
別解まで示していただいてありがとうございました。
No.61938 - 2019/10/20(Sun) 10:33:20
★ (No Subject) / タカ

(1)平面上に３点Ａ，Ｂ，Ｃがある．このとき，ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣを 最小にする点Ｐを求めよ


(2)４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ(これらは同一平面上)を与えたとき，ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ＋ＤＰ をする点Ｐを求めよ


(2)なのですが、(1) を利用する解法はないのでしょうか？
答えは(1)と(2)を、完全に独立な問題として扱っているのですが…
No.61902 - 2019/10/18(Fri) 21:08:34
☆ Re: / らすかる
3点と4点では事情が違いますので、
(1)は(2)に使えないと思います。
実際、答えが全然違いますよね？
No.61911 - 2019/10/19(Sat) 00:49:50
☆ Re: / 関数電卓
> (1)と(2)を、完全に独立な問題として扱っているのですが…
とありますが，考え方はほぼ共通ですよね。
『最短シュタイナー問題』 で検索すると沢山のサイトがヒットしますが，いくつか見た中で最も簡潔にまとめられているのは， ここ でしょうか。ご参考まで。
No.61918 - 2019/10/19(Sat) 10:52:26
☆ Re: / らすかる
(1)は結果的にシュタイナー問題と同様ですが、
(2)は全然違いますよ。
No.61921 - 2019/10/19(Sat) 12:18:16
☆ Re: / 関数電卓
あぁそうですね。勘違いしていました。思い込みは怖いですね。大変失礼しました。
No.61922 - 2019/10/19(Sat) 12:40:41
☆ Re: / タカ
らすかるさん、関数電卓さん回答ありがとうございました。
No.61934 - 2019/10/19(Sat) 21:08:37
★ 数2微分 / ア
x=-1,0,1のときにf´(x)の値が存在しない理由をおしえてください…… 左右極限？ってやつが関係してるよ〜って言われたんですけどxの値で場合分けしているのでそこは大丈夫な気がしてしまうんです
No.61899 - 2019/10/18(Fri) 14:40:33
☆ Re: 数2微分 / らすかる
f(x)=|x^3-x|-xは
x＜-1,0＜x＜1のときf(x)=-x^3 → f'(x)=-3x^2
-1＜x＜0,1＜xのときf(x)=x^3-2x → f'(x)=3x^2-2
なので
lim[x→-1-0]f'(x)=-3 … (1)
lim[x→-1+0]f'(x)=1 … (2)
lim[x→0-0]f'(x)=-2 … (3)
lim[x→0+0]f'(x)=0 … (4)
lim[x→1-0]f'(x)=-3 … (5)
lim[x→1+0]f'(x)=1 … (6)
(1)≠(2), (3)≠(4), (5)≠(6)なので
x=-1,0,1のときf'(x)は存在しません。

これはグラフを見れば視覚的に明らかです。
f'(-1)とはx=-1に対するf(x)の接線の傾きですが
x=-1のところは滑らかでないので接線が描けませんね。
(2本描けて1本に定まらない、とも言えます)
x=0,1も同じで、このように折れている箇所では
微分係数は存在しません。
No.61900 - 2019/10/18(Fri) 14:48:40
☆ Re: 数2微分 / ア
無事理解出来ました ありがとうございます！😭
No.61912 - 2019/10/19(Sat) 02:10:00
★ 途中式を教えてください / m(._.)m
(1)と(4)の途中式を教えて下さい。
答えは
(1) (x^2+y)(x-2y)
(4) (a+b)(b+c)(c+a)
です。
お願いします。
No.61891 - 2019/10/17(Thu) 20:03:38
☆ Re: 途中式を教えてください / まうｙ
(1)-2y^2+y(-2x^2+x)+x^3=(-2y+x)(y+x^2)
(4)は後で送ります
No.61892 - 2019/10/17(Thu) 20:16:10
☆ Re: 途中式を教えてください / まうｙ
遅くなりました
(4)a^2(b+c)+a(b^2+2bc+c^2)+bc(b+c)
=a^2(b+c)+a(b+c)^2+bc(b+c)
=(b+c)(a^2+a(b+c)+bc)=(b+c)(a+b)(a+c)
=(a+b)(b+c)(c+a)
No.61894 - 2019/10/17(Thu) 20:36:21
☆ Re: 途中式を教えてください / らすかる
別解
(1)
-2が掛かっているものとそうでないもので分ければ
x^3-2x^2y+xy-2y^2
=(x^3+xy)+(-2x^2y-2y^2)
=x(x^2+y)-2y(x^2+y)
=(x-2y)(x^2+y)
のように因数分解できます。

(4)
a=1,b=-1とすると
(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
=c(-1-c+c)+c
=0
となりますので、(a+b)という因数を持つことが予想されます。
よって最初は(a+b)をくくりだすようにすると
(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
{(a+b)+c}(ab+bc+ca)-abc
=(a+b)(ab+bc+ca)+c(ab+bc+ca)-abc
=(a+b)(ab+bc+ca)+c{ab+(a+b)c}-abc
=(a+b)(ab+bc+ca)+abc+(a+b)c^2-abc
=(a+b)(ab+bc+ca)+(a+b)c^2
=(a+b){(ab+bc+ca)+c^2}
=(a+b){a(b+c)+c(b+c)}
=(a+b)(b+c)(c+a)
No.61895 - 2019/10/17(Thu) 20:44:32
☆ Re: 途中式を教えてください / ＩＴ
(1) まうｙ さんの方法（次数の低いｘについて整理）が　確実かもしれませんが、別解を.

じっと見ると下記の２行目に気付けるかもしれません。
x^3-2x^2y+xy-2y^2
=(x^2)(x-2y)+y(x-2y)
=(x^2+y)(x-2y)

(4)　らすかるさんと同様に,まず(a+b)で括ると

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
=((a+b)+c))(ab+(a+b)c)-abc
=((a+b)^2)c+(a+b)(ab+c^2)+abc-abc
=(a+b)((a+b)c+ab+c^2)
=(a+b)(c+a)(c+b)
No.61896 - 2019/10/17(Thu) 21:00:30
☆ Re: 途中式を教えてください / m(._.)m
無事理解できました！
皆さんありがとうございました！
No.61901 - 2019/10/18(Fri) 16:39:54
★ 等差数列 / BAG
An＝−1+5n
An＝A +5（n−1） ア
An＝−1 +5（n−1 +1）イ
An＝4 +5（n−1）

このアからイに変わる理由を教えてください。
No.61888 - 2019/10/17(Thu) 18:55:17
☆ Re: 等差数列 / らすかる
アからイには変わりません。
イは2行前のnをn-1+1にしただけでは？

# この4行だけ書かれても何をしたいのかよくわからないため、
# 予想で回答しています。
No.61889 - 2019/10/17(Thu) 19:01:16
☆ Re: 等差数列 / BAG
An＝−1 +5n イ← 初項4 公差5 4 +5（n−1）ア をまとめたものです。
An＝A +5（n−1）とした時、
イからアに変換する手順を教えてください。
No.61890 - 2019/10/17(Thu) 19:52:04
☆ Re: 等差数列 / らすかる
> An＝−1 +5n イ← 初項4 公差5 4 +5（n−1）ア をまとめたものです。
よくわからないのですが、
「4+5(n-1) ア」をまとめたものが「An=-1+5n」と言っているのですか？
それとも上に書いてあるアはAn=A+5(n-1)なので
「4+5(n-1)」と「An=A+5(n-1)」をまとめたものが「An=-1+5n」と言っているのですか？

また
冒頭の質問では「アからイに変わる理由」
最新の質問では「イからアに変換する手順」
などと変わっていて、どういう理由でどの式をどの式にしたいのかが
見えてきません。
また「ア」や「イ」が何を指しているのかもよくわかりませんし、
途中で突然「A」が出てきている理由もわかりません。
問題と解答の全体を書いて貰えませんか？

# もしA[n]=-1+5nをA[n]=4+5(n-1)にしたいだけなら、
# A[n]=-1+5n
# A[n]=5-1+5n-5（5を足して5を引いた）
# A[n]=4+5(n-1)（5-1を計算して5n-5を因数分解した）
# で終わりなので、「A」は不要です。
No.61893 - 2019/10/17(Thu) 20:33:21
☆ Re: 等差数列 / BAG
ありがとうございます
No.61897 - 2019/10/17(Thu) 21:40:59
★ 高校数学 / マネ
大問4がわかりません
No.61884 - 2019/10/16(Wed) 22:42:29
☆ Re: 高校数学 / らすかる
直線BIと辺ACの交点をEとすると
BIは∠ABCの二等分線なのでAE：EC=c：a
同様にBD：DC=c：b
Dを通り直線BIと平行な直線と辺ACの交点をFとすると
△CFD∽△CEBなのでEF：FC=BD：DC=c：b
従ってAE：EF：FC=c(b+c)：ac：abなので
AI：ID=AE：EF=c(b+c)：ac=b+c：a
No.61885 - 2019/10/16(Wed) 23:04:29
☆ Re: 高校数学 / マネ
ありがとうございます！
No.61887 - 2019/10/16(Wed) 23:14:58
★ 大問8の（2）について / 高校男子
高校一年の数学aの質問です。問題の意味がよくわかりません。
どなたか解説お願いします！
No.61874 - 2019/10/16(Wed) 12:53:19
☆ Re: 大問8の（2）について / 高校男子
答えは840ということはわかっているのですが…
No.61876 - 2019/10/16(Wed) 13:11:17
☆ Re: 大問8の（2）について / らすかる
例えば
dbgeafcならばaはbより右、bはcより左
dagebfcならばaはbより左、bはcより左
です。
a,b,cの位置がどこであってもaとbとcの並び順は
(a→b→c)(a→c→b)(b→a→c)(b→c→a)(c→a→b)(c→b→a)
の6通りなので、条件を満たす並べ方は全体の1/6となります。
No.61878 - 2019/10/16(Wed) 15:44:23
★ 高校受験数学 / lala
(2)がわかりません。答えは27/8です。
よろしくお願いします。
No.61872 - 2019/10/16(Wed) 11:11:17
☆ Re: 高校受験数学 / ＣＯＲＮＯ
この種の問題は，中学校（or 塾）や生徒のレベルによって，知識（公式･定理など）がかなり違うと思うので，とりあえずヒントにとどめます．

条件通りの状況になったとき，三角形ＡＢＣと三角形ＱＢＲの面積の比
　　△ＡＢＣ：△ＱＢＲ
はどうなるかわかりますか？
No.61873 - 2019/10/16(Wed) 12:25:09
★ 高校数学 / あ
大問1が分かりません。
答えは4番です。
No.61871 - 2019/10/16(Wed) 09:55:06
☆ Re: 高校数学 / らすかる
△EBI∽△GDIからEI：IG=EB：DG=(1/2)AB：(1/3)CD=3：2となるのでEI=(3/5)EG
AFとDCの交点をJとするとDJ=2CDであり
△AEH∽△JGHからEH：HG=AE：GJ=(1/2)AB：(5/3)CD=3：10となるのでEH=(3/13)EG
従ってEH：HI=3/13：3/5-3/13=5：8
No.61877 - 2019/10/16(Wed) 15:39:42
☆ Re: 高校数学 / 関数電卓
余計なお世話ですが，【２】は？

四面体 A-ECD＝(1/3)四面体 A-BCD …(1) (∵ △AEC＝底面の△ABC の 1/3)
四面体 A-EFD＝(3/4)四面体 A-ECD …(2) (∵ △AEF＝底面の△AEC の 3/4)
(1)(2)より
四面体 A-ECD＝(1/3)(3/4)四面体 A-BCD＝(1/4)四面体ABCD
よって，四面体 A-BCD は，四面体 A-EFD の ４倍
No.61881 - 2019/10/16(Wed) 20:33:14
☆ Re: 高校数学 / らすかる
「大問1が分かりません。」と書いてありますので
大問2は分かっているということではないでしょうか。
No.61882 - 2019/10/16(Wed) 20:49:31
☆ Re: 高校数学 / あ
ありがとうございました！
No.61883 - 2019/10/16(Wed) 22:21:00
★ 三角関数で分からない問題があります / セラミック
以下を証明できますか？

1.sinθ-sin(θ+βπ) = -2sin(βπ/2)cos(θ+(βπ/2))
2.Σ[n=1,m]sin{ωt-(n-1)α} = {sinm(α/2)/sin(α/2)}*sin{ωt-(m-1)α/2}
3.sin(ωt-2π/3)+sin3(ωt-2π/3)+sin5(ωt-2π/3) = sin(ωt-2π/3)+sin3ωt+sin(5ωt+2π/3)

ただし、m,nは自然数(2.のみn=1,2…,m)、
ωは角速度[rad/s]、
tは時間[s]、
βはある定数、
α、θはある角度[rad]
No.61869 - 2019/10/15(Tue) 22:59:31
☆ Re: 三角関数で分からない問題があります / m
1.
sin((θ+βπ/2)-βπ/2) - sin((θ+βπ/2)+βπ/2)
に加法定理

3.
sin(3(ωt-2π/3)) = sin(3ωt-2π) = sin3ωt
sin(5(ωt-2π/3)) = sin(5ωt-4π+2π/3) = sin(5ωt+2π/3)

2.
左辺 = Im( Σ[n=0, m-1]exp{i(ωt-nα)} )
= Im( exp{iωt} * (1-exp{-imα})/(1-exp{-iα}) )
= Im( exp{iωt} * {(exp{imα/2}-exp{-imα/2})/(exp{iα/2}-exp{-iα/2}) * exp{-imα/2+iα/2}} )
= Im( exp{i(ωt-(m-1)α/2)} * (exp{imα/2}-exp{-imα/2})/(exp{iα/2}-exp{-iα/2} )
= Im( exp{i(ωt-(m-1)α/2)} * (2isin(mα/2))/(2isin(α/2)) )
= 右辺

どうでしょう。
No.61875 - 2019/10/16(Wed) 13:02:28
★ 増加率 / 社会人
69年間である人口が329536から1921834に増加した場合の１年当たりの増加率を求めるのに
329536(1+ｘ)^69=1921834
と立式するのは間違っていますか？
私はそれを解こうと、次のようにしたのですが、この式を解けません。
log_(1+x)1921834/329536=69
知りたいのは、上記の増加率とその求め方です。関数電卓を使うならその入力手順を御教示ください。
No.61867 - 2019/10/15(Tue) 22:39:21
☆ Re: 増加率 / ＩＴ
> 329536(1+ｘ)^69=1921834
で合ってると思います。

計算は下記のようにするといいのでは？
(1+ｘ)^69=1921834/329536
1+ｘ=(1921834/329536)^(1/69)
関数電卓に1/69乗計算が（どの程度の精度で）できるかわかりませんが、
wolfram だと下記のように計算できます。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281921834%2F329536%29%5E%281%2F69%29
No.61868 - 2019/10/15(Tue) 22:52:25
☆ Re: 増加率 / 社会人
ＩＴ先生、ありがとうございました。
No.61898 - 2019/10/17(Thu) 22:25:14
★ 高校数学 / あ
大問1が分かりません。
No.61866 - 2019/10/15(Tue) 22:02:23
☆ Re: 高校数学 / あ
> どなたか教えて下さい！
No.61870 - 2019/10/16(Wed) 09:26:40
☆ Re: 高校数学 / まうゆ
計算間違えか問題間違えかわからないですが答えが合いません
方針だけ書くので計算してみてください
Aを始点としたB,Dの位置ベクトルをb,dとする.平行四辺形なので一次独立でこの平面上のベクトルの表し方は一意.EH=kEG,AH=lAFとなるように実数k,lをとりkを求める.BI=mBD,EI=nEGとなりょうにに実数m,nをとりnを求める.
k:(n-k)が求める値のはず.
自分では5:2になった
No.61886 - 2019/10/16(Wed) 23:11:30
★ (No Subject) / h
この問題なのですがA1に-Q1、A2にQ2がたまると考えて解いたのですが答えはA1に-Q1、A2に-Q2がたまるとして解いています。
符号の振り方はどのように決めればいいのですか？
No.61859 - 2019/10/15(Tue) 18:05:41
☆ Re: / h
解答です
No.61860 - 2019/10/15(Tue) 18:06:13
☆ Re: / h
解答です。
No.61861 - 2019/10/15(Tue) 18:06:28
☆ Re: / X
符号の置き方の問題ではありません。
Q[1],Q[2]について立てている方程式を
間違えています。

A[1],A[2]に-Q[1][C],Q[2][C]それぞれ貯まる
と置いたのであれば、これらの総和は
-QであってQではありません。
つまり、第一式は
-Q[1]+Q[2]=-Q
となります。
次にA[2]を基準にしてキルヒホッフの第二法則を適用する
ことを考えると、A[2]に対して導板には-Q[2]の電荷が
貯まるわけですので、第2式の左辺の第2項の分子は
Q[2]
ではなくて
-Q[2]
です。
No.61880 - 2019/10/16(Wed) 19:35:10
★ (No Subject) / s
(1)のan+1についてなのですが、0になりました。
an bnを用いて表せません
どこが間違っているのでしょうか？
No.61855 - 2019/10/15(Tue) 09:33:38
☆ Re: / らすかる
「f[n+1](t)=2costより」
が間違っていると思います。
f[n+1](x)=2cosx+(2/π)∫[0〜π]f[n](t)sin(x-t)dt
の右辺のf[n]に2costを代入して右辺を計算すると
2(sinx+cosx)となり、右辺が2cosxになりませんので
f[n](x)=2cosxにはなりません。
No.61856 - 2019/10/15(Tue) 10:54:55
☆ Re: / や
> 「f[n+1](t)=2costより」
> が間違っていると思います。
> f[n+1](x)=2cosx+(2/π)∫[0〜π]f[n](t)sin(x-t)dt
> の右辺のf[n]に2costを代入して右辺を計算すると
> 2(sinx+cosx)となり、右辺が2cosxになりませんので
> f[n](x)=2cosxにはなりません。

sin(x-t)dtのxにtを代入するとsin0となり(2/π)∫[0〜π]f[n](t)sin(x-t)dt
が消えると思うのですが違うのでしょうか？
No.61857 - 2019/10/15(Tue) 12:20:35
☆ Re: / らすかる
はい、違います。
∫の中のtは仮変数ですから
外から与える変数とは別物です。
つまり
f[n+1](x)=2cosx+(2/π)∫[0〜π]f[n](t)sin(x-t)dt
という定義式のtは消えるものですから何でもよく、
f[n+1](x)=2cosx+(2/π)∫[0〜π]f[n](s)sin(x-s)ds
としても全く同じですよね？
この式にx=tを代入しても
f[n+1](t)=2cost+(2/π)∫[0〜π]f[n](s)sin(t-s)ds
となるだけで、積分の項は消えませんね。
No.61858 - 2019/10/15(Tue) 13:08:21
☆ Re: / h
> はい、違います。
> ∫の中のtは仮変数ですから
> 外から与える変数とは別物です。
> つまり
> f[n+1](x)=2cosx+(2/π)∫[0〜π]f[n](t)sin(x-t)dt
> という定義式のtは消えるものですから何でもよく、
> f[n+1](x)=2cosx+(2/π)∫[0〜π]f[n](s)sin(x-s)ds
> としても全く同じですよね？
> この式にx=tを代入しても
> f[n+1](t)=2cost+(2/π)∫[0〜π]f[n](s)sin(t-s)ds
> となるだけで、積分の項は消えませんね。
fn(t)のtとsin(x-t)のtは違うものということですか？
理解力がなくてすみません
No.61862 - 2019/10/15(Tue) 18:10:19
☆ Re: / らすかる
はい、そうです。違うものです。
No.61864 - 2019/10/15(Tue) 19:30:36
☆ Re: / らすかる
以下のような簡単な例で考えるとわかりやすいかも知れません。
例えばf(x)=∫[0〜1](x-t)dtとするとf(x)=x-1/2ですからf(t)=t-1/2となりますが、
tを積分の中のxに代入するとf(t)=0となって結果が違ってしまいますね。
No.61865 - 2019/10/15(Tue) 20:35:48
★ 関数の最大値の評価 / canis
f(x)=(x^π)-(π^x)(0<x<π)とし、f(x)の最大値をMとする。

(1)f(x)は唯一つの実数解を持つことを示せ。
(2)f(x)=0の解をαとおく。最大値Mをとるxはα<x<πを満たすことを示せ。
(3)M>1/2を示せ。

(1)(2)までは自力で解答できましたが、(3)が分かりません。お願いします。
No.61852 - 2019/10/14(Mon) 23:53:06
★ 平面におろした垂線の足の座標 / KK
こんばんは。

４点P(a,b,c)，Q(d,e,f),R(h,i,j),L(s,t,u)がある。
点Lから平面PQRにおろした垂線の足Kの座標を求める公式はありますか。
Kの座標が無理な場合は、座標を使わないでベクトルLKをベクトルの内積、外積を使って表す公式でも結構です。

公式は短いもの、座標を代入して簡単に求められるものであるといいのですが、
無理ならば、長い公式でも結構です。よろしくお願いします。

また公式の証明もわかれば教えてください。
No.61844 - 2019/10/14(Mon) 17:58:31
☆ Re: 平面におろした垂線の足の座標 / 赤ボールペン
PQ→とPR→から法線ベクトルn→を求めて、平面PQRの上の任意の一点Aをとり、
OK→=(LAベクトルのn→への正射影ベクトル)+OL→


これを文字化すれば、公式になるのでは？
No.61846 - 2019/10/14(Mon) 20:54:10
☆ Re: 平面におろした垂線の足の座標 / KK
質問１　ベクトルPQとベクトルPRの外積を考えたのですが、点Lが平面PQRのどちら側にあるかわからないのですが、
　　　　OK→=(LAベクトルのn→への正射影ベクトル)+OL→
　　　　はどんな場合でも使えますか。

質問２　点Aが平面PQRの上にあるか判断しにくいので、点Aを点Qとして使ってもいいのですか。


質問３　　一般に
　　　　　m→のn→への正射影ベクトルをv→とする場合、
　　　　　m→とn→のなす角が９０°より大きいとき、
　　　　　（ア）m→とn→とv→で直角三角形ができる形を考える
　　　　　それとも、
　　　　　（イ）m→とn→と-v→（つまり、ｖ→を原点に対して折り返したもので直角三角形ができない形を考える
　　　　　のどちらですか。

　　　　　また、（ア）（イ）で正射影ベクトルはm→とn→を使うとどのようになりますか。
　　　　　
No.61851 - 2019/10/14(Mon) 23:05:51
★ (No Subject) / 赤ボールペン
nが奇数の時
n!/[ {(n-1)/2}!•{(n+1)/2}! ]
を、これ以上簡単にできますか？
No.61840 - 2019/10/14(Mon) 15:56:50
☆ Re: / らすかる
掛け算の回数を減らすという意味なら
{(n-1)/2}!・2^{(n-1)/2}=(n-1)(n-3)(n-5)…・2なので
n!/{(n-1)/2}!=2^{(n-1)/2}n!!=(2n)!!!!/2
よって(与式)=(2n)!!!!/[2{(n+1)/2}!]

表記を簡単にすればよいのなら
(与式)=nC{(n-1)/2}
No.61849 - 2019/10/14(Mon) 21:49:58
★ (No Subject) / 神城　夜空
この問題の解き方をお願いします。
No.61835 - 2019/10/14(Mon) 10:12:18
☆ Re: / らすかる
(2^2021-2^2019)÷(2^101)^20
=(2^2021-2^2019)÷(2^2020)
=(2^2021÷2^2020)-(2^2019÷2^2020)
=2^1-2^(-1)
=2-1/2
=3/2
となります。
No.61836 - 2019/10/14(Mon) 10:59:55
☆ Re: / 神城　夜空
ありがとうございます。式の変形の仕方がわからなかったので助かりました。
No.61863 - 2019/10/15(Tue) 18:27:16
★ (No Subject) / 橋
この矢印の計算のところですが、普通に展開するよりほかありませんか？
No.61834 - 2019/10/14(Mon) 09:21:38
☆ Re: / らすかる
計算量を少なくするにしても
x^2(4x^2-26x+76)=(x+2)^2(4x^2-42x+144)
x^2(2x^2-13x+38)=(x+2)^2(2x^2-21x+72)
x^2(2x^2-13x+38)=(x^2+4x+4)(2x^2-21x+72)
x^2{(2x^2-13x+38)-(2x^2-21x+72)}=(4x+4)(2x^2-21x+72)
x^2(8x-34)=(4x+4)(2x^2-21x+72)
x^2(4x-17)=(2x+2)(2x^2-21x+72)
x^2(4x-17)=(2x+2)(2x^2)+(2x+2)(-21x+72)
x^2(4x-17)=(4x+4)x^2+(2x+2)(-21x+72)
x^2{(4x-17)-(4x+4)}=(2x+2)(-21x+72)
x^2(-21)=(2x+2)(-21x+72)
7x^2=(2x+2)(7x-24)
7x^2=14x^2-34x-48
7x^2-34x-48=0
こうするぐらいの気がしますが、
素直に展開した方がいいかも知れませんね。
No.61837 - 2019/10/14(Mon) 12:03:36
☆ Re: / ＩＴ
そうですね。展開での計算（記述）を少なくするのがいいかも（まちがいにくく、後でチェックや再計算も容易）

左辺=4x^4-26x^3+76x^2

右辺=(x^2+4x+4)(4x^2-42x+144)
　x^4の係数=4
　x^3の係数=-42+4*4=-26
　x^2の係数=144+4(-42)+4*4=-8
　xの係数=4*144+4(-42)=4*(102)
　定数項=4*144
　＃この部分は計算用紙に書けばいいと思います。

よって　76x^2=-8x^2+(4*102)x+4*144
∴　19x^2=-2x^2+102x+144
∴　21x^2-102x-144=0
∴　7x^2-34x-48=0
No.61839 - 2019/10/14(Mon) 13:36:45
★ 曲線の通過範囲 / 美雪
xy平面上の2点P、Qに対し、PとQをx軸またはy軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値をd(P,Q)で表す。

実数a≧0に対し、点Q(a,aの2乗+1)を考える。

次の条件(☆)を満足する点P(x,y)の範囲をxy平面上に図示せよ。

(☆)原点O(0,0)に対し、d(O,P)=d(P,Q)となるようなa≧0が存在する。


│x│+│y│=│x-a│+│y-(aの2乗+1)│から、

│x│-│x-a│=│y-(aの2乗+1)│-│y│…(1)

左辺は、x≦0のとき-a、0≦x≦aのとき2x-a、x≧aのときaです。

右辺は、y≦0のときaの2乗+1、0≦y≦aの2乗+1のとき-2y+(aの2乗+1)、y≧aの2乗+1のとき-(aの2乗+1)です。

aの2乗+1>aですから、(1)が成り立つのは0≦y≦aの2乗+1のときだけで、

x≦0のとき、aの2乗+a-2y+1=0…(2)

0≦x≦aのとき、aの2乗+a-(2x+2y)+1=0…(3)

x≧aのとき、aの2乗-a-2y+1=0…(4)

です。

(2)を満たすa≧0が存在するためのyの条件は(2)の左辺をf(a)とおくと、f(0)≦0であり、y≧1/2です。

(3)を満たすa≧0が存在するためのxとyの条件は(3)の左辺をg(a)とおくと、x≧0>-1/2に留意すると、g(x)≦0であり、y≧(xの2乗-x+1)/2です。

(4)を満たすa≧0が存在するためのyの条件は(4)の左辺をh(a)とおくと、x≦1/2のときはh(0)≧0であり、y≦1/2で、x≧1/2のときはh(1/2)≦0で、y≧3/8です。

以上のように考えたのですが、微妙に答えと合いません。

答えではx≦0のとき、y≧1/2、0≦x≦1/2のとき、y≧(xの2乗-x+1)/2、x≧1/2のとき、y≧3/8となっています。

なぜy=(xの2乗-x+1)/2とy=3/8のつなぎ目がx=aではなく、x=1/2になっているのかわからないです。x≦1/2のときy≦1/2という条件がないのもわからないです。

詳しく教えてください。
No.61828 - 2019/10/13(Sun) 22:27:19
☆ Re: 曲線の通過範囲 / ＩＴ
> なぜy=(xの2乗-x+1)/2とy=3/8のつなぎ目がx=aではなく、

解いていませんが、a が残ってはおかしいですよね。
No.61831 - 2019/10/14(Mon) 07:38:37
☆ Re: 曲線の通過範囲 / 美雪
>aが残ってはおかしい

aをどのように消去すればよいでしょうか。
No.61845 - 2019/10/14(Mon) 19:23:08
☆ Re: 曲線の通過範囲 / ＩＴ
(3) 0≦x≦a かつ　a^2+a-(2x+2y)+1=0
　0≦xかつ f(a)=a^2+a-(2x+2y)+1=0 がx以上の解を持つ。
　0≦xかつ f(x)≦0
　0≦xかつ x^2-x+1≦2y
・・・

(4) x≧a≧0 かつ　a^2-a-2y+1=0
0≦xかつ g(a)=a^2-a-2y+1=0 が x≧a≧0の解を持つ。

判別式8y-3≧0　すなわち　y≧3/8 が必要で

さらに
g(a)のグラフの軸はa=1/2なので
0≦x≦1/2 のとき　g(0)≧0かつg(x)≦0
x≧1/2 のとき　　g(0)≧0 または　g(x)≧0

・・・・・・・・

(2)(3)(4) の領域の和が求める領域。

こんな感じでどうしょう？
途中、接続詞を省略していますので、適当に補足して読んでください。
No.61847 - 2019/10/14(Mon) 21:26:00
☆ Re: 曲線の通過範囲 / ＩＴ
> x≦1/2のときy≦1/2という条件がないのもわからないです。

(2)(3)(4) の領域の和 ですから。
No.61850 - 2019/10/14(Mon) 22:01:48
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