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★ (No Subject) / お願いします
P(x, y), A(0, 3) としたとき、 AP の最小値、最大値と、その時の(x,y)を求めよ。ただし、x,yは
x^2-y^2≧ 3 かつ x^2+y^2≦5 かつ
x>0かつ y>0を動く
No.60681 - 2019/08/15(Thu) 16:27:03
☆ Re: / らすかる
AP^2=x^2+(y-3)^2
条件からy^2+3≦x^2≦5-y^2 … (1)
y^2+3+(y-3)^2≦x^2+(y-3)^2≦5-y^2+(y-3)^2
y^2+3+(y-3)^2≦AP^2≦5-y^2+(y-3)^2
2y^2-6y+12≦AP^2≦14-6y
AP^2を縦軸、yを横軸にとってこの不等式のグラフを描いて
AP^2の最大最小を調べると
AP^2の最小値はy=1のときで8、
またy→+0のとき(AP^2の最大値)→14-0だがy＞0なので最大値なし
y=1のとき(1)からx=2（∵x＞0）
従って
(x,y)=(2,1)のとき最小値2√2で、最大値は存在しない。
No.60683 - 2019/08/15(Thu) 16:44:22
★ (No Subject) / 太田
頻出問題にトライの⑴なのですが、x軸方向にπ/3平行移動が答えになっていてるのが分かりません。π/6ではないのですか？
No.60680 - 2019/08/15(Thu) 14:33:40
☆ Re: / らすかる
x方向の平行移動量は「xから何を引くか」です。
tan(x/2-π/6)+1=tan((x-π/3)/2)+1ですから
移動量はπ/3です。
同様に、もしカッコ内が
x/3-π/6 ならば (x-π/2)/3 なので移動量はπ/2
2x-π/6 ならば 2(x-π/12) なので移動量はπ/12
のようになります。
No.60682 - 2019/08/15(Thu) 16:29:00
☆ Re: / 太田
あと⑶のグラフなのですが、x軸方向にπ/3したのに、グラフが原点を通っているのは何故ですか？
No.60708 - 2019/08/16(Fri) 13:43:00
☆ Re: / らすかる
原点は通っていません。
グラフをきちんと見れば、(-π/6,0)と(0,1-1/√3)を
通っていることが読み取れると思います。

それと、横方向だけ移動したのではなく、
縦方向にも移動していますので、
原点を通ることはあり得ます。
No.60709 - 2019/08/16(Fri) 13:55:57
★ 関数の増加・減少 / ぴよ
次の関数の増加・減少を調べよ。
y=x^2-6x-1
解答
x≧3のとき増加 x≦のとき減少

x=3のときは増加でも減少でもないと思うのですが
なぜ、>ではなくて≧なのでしょうか

教えてくださいm(_ _)m
No.60673 - 2019/08/15(Thu) 10:40:23
☆ Re: 関数の増加・減少 / らすかる
増加減少は「x=3」のような1点で決まるものではありません。
「f(x)がある区間で増加」とは
「その区間内の2点α,β(α＜β)で必ずf(α)＜f(β)である」
（ただしf(α)＜f(β)は狭義増加であり、広義増加ではf(α)≦f(β)）
という意味で、区間内の異なる2点をとって決まるものです。
x≧3の範囲のどの2点α,β(α＜β)をとってもf(α)＜f(β)が成り立ちますので、
「≧」で正しいです。
No.60676 - 2019/08/15(Thu) 11:26:26
☆ Re: 関数の増加・減少 / ぴよ
ありがとうございます！
No.60678 - 2019/08/15(Thu) 13:38:13
★ 重積分 / かい
(3)お願いします
No.60668 - 2019/08/14(Wed) 23:50:54
☆ Re: 重積分 / 関数電卓
筆算では 『ぐるぐる回り』 で断念したのですが…！！！

最後の砦はやはり ここ です。

私も、途中経過を知りたいところ！！！
も少し粘ってみますが……
大学入試とは思えない。大学院の入試問題ですか？？？
No.60690 - 2019/08/15(Thu) 21:21:01
☆ Re: 重積分 / ＩＴ
積分の順序を入れ換えればいいようですね。

∫[0,π/2](∫[1,2y/π]cos(y/x)dx)dy
=∫[0,1](∫[0,πx/2]cos(y/x)dy)dx
=∫[0,1]([xsin(y/x)](0,πx/2))dx
=∫[0,1]xdx
=1/2
No.60693 - 2019/08/15(Thu) 22:03:40
☆ Re: 重積分 / 関数電卓
> 積分の順序を入れ換えれば
見事ですね。
だけど、受験会場で思いつくことなのだろうか？？？
出題者の “笑顔”(？)が見えるよう？！？！
No.60716 - 2019/08/16(Fri) 21:03:40
☆ Re: 重積分 / ＩＴ
そうですね。「ここ」の計算結果＝1/2を見てやってみる気になりました。

手持ちの「明解演習微分積分」の重積分の例題では
・重積分と累次積分、積分の順序変更、置換積分、広義積分、の順になっていますから、現役の大学生なら　時間内に思いつくかも知れませんね。
No.60718 - 2019/08/16(Fri) 21:54:30
★ 大学数学 / あ
問7のカッコ2が分かりません。
答えは10Aです。
No.60659 - 2019/08/14(Wed) 21:39:15
☆ Re: 大学数学 / X
以下のようになります。

(与式)=|2↑a[1] ↑a[2] 5↑a[3]+3↑a[2]|+|-↑a[3] ↑a[2] 5↑a[3]+3↑a[2]|
={|2↑a[1] ↑a[2] 5↑a[3]|+|2↑a[1] ↑a[2] 3↑a[2]|}
+{|-↑a[3] ↑a[2] 5↑a[3]|+|-↑a[3] ↑a[2] 3↑a[2]|}
={10|↑a[1] ↑a[2] ↑a[3]|+6|↑a[1] ↑a[2] ↑a[2]|}
+{-5|↑a[3] ↑a[2] ↑a[3]|-3|↑a[3] ↑a[2] ↑a[2]|}
={10|↑a[1] ↑a[2] ↑a[3]|+6|↑a[1] ↑a[2] ↑0|}
+{-5|↑a[3] ↑a[2] ↑0|-3|↑a[3] ↑a[2] ↑0|}
=10|↑a[1] ↑a[2] ↑a[3]|
=10|A|
No.60662 - 2019/08/14(Wed) 23:06:38
☆ Re: 大学数学 / あ
ありがとうごさいます！
No.60667 - 2019/08/14(Wed) 23:48:31
★ 線積分 / かい
3)なのですが、円周にそう方向(反時計回りなのか、時計回りなのか)が指定されてないときはどうふればいいのでしょうか？
僕は反時計回りに計算したら3π/2+1になったのでふがあっていますか？
No.60652 - 2019/08/14(Wed) 19:53:00
☆ Re: 線積分 / かい
また(1)は0,(2)は1/3であっていますか？
No.60653 - 2019/08/14(Wed) 19:56:50
☆ Re: 線積分 / X
(1)(2)(3)いずれの計算も間違っています。

問題の二次元座標系を三次元座標系に拡張し
↑A=(y,x,0)
とすると
rot↑A=↑0
∴↑Aはスカラーポテンシャルを持つので
二点間の線積分の値はその経路によらず
一定です。

ということで(3)については
積分路を時計回り、反時計回り
いずれにとっても、線積分の
値は同じです。

又、(1)(2)(3)は全て値に
なります。
こちらの計算では1になりました。
No.60674 - 2019/08/15(Thu) 10:40:36
☆ Re: 線積分 / かい
これのどこが間違っているのか教えてもらえますか？
No.60698 - 2019/08/15(Thu) 23:45:32
☆ Re: 線積分 / GandB
　別に間違ってないようだけど。(1)と(2)はわざわざパラメータ t を立てるまでもない。

　　A↑ = (-y, x, 0)
　　rotA↑ = (0, 0, 2) ≠0↑
なのでA↑はスカラーポテンシャルを持たない。

(1)
　曲線 C を
　　r↑(x) = (x, y) = (x, x)
とすると
　　dr↑= (1,1)dx.
　　A↑ = (-y, x) = (-x, x).
　　∫_C A↑・dr↑ = ∫[0→1] (-x,x)・(1,1)dx = ∫[0→1] (-x+x)dx = 0.

(2)
　曲線 C を
　　r↑(x) = (x, y) = (x, x^2)
とすると
　　dr↑= (1,2x)dx.
　　A↑ = (-y, x) = (-x^2, x).
　　∫_C A↑・dr↑ = ∫[0→1] (-x^2, x)・(1,2x)dx
　　　　　　　　　 = ∫[0→1] (-x^2 + 2x^2)dx
　　　　　　　　　 = 1/3.

(3)
　積分経路は (0,0) から (1,1) と指定されているから右回り。

　曲線 C を
　　r↑ = ( x(t), y(t) ) = ( cos(t)+1, sin(t) )
とすると
　　dr↑= ( -sin(t)dt, cos(t)dt ).
　　A↑ = (-y, x) = ( -sin(t), cos(t)+1 ).
　　∫_C A↑・dr↑
　= ∫[π→π/2] ( -sin(t), cos(t)+1 )・( -sin(t)dt, cos(t)dt )
　= ∫[π→π/2] sin^2(t) + cos^2(t) + cos(t) dt
　= ∫[π→π/2] 1 + cos(t) dt
　= (π/2 - π) + ( sin(π/2) - sin(π) )
　= 1 - π/2.
No.60701 - 2019/08/16(Fri) 00:38:15
☆ Re: 線積分 / かい
Xさんは全部答えが1になるといっていましたがどうなんでしょう？？

また(3)は反時計回りの場合は考えなくていいのですか？
No.60704 - 2019/08/16(Fri) 01:46:05
☆ Re: 線積分 / X
>>GandBさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>かいさんへ
ごめんなさい。GandBさんのおっしゃる通りです。
↑Aのx成分に-が付いているのを見逃していました。
No.60706 - 2019/08/16(Fri) 10:29:33
☆ Re: 線積分 / X
＞＞また(3)は反時計回りの場合は考えなくていいのですか？
問題の文脈から、(1)(2)(3)は経路の形状から
計算結果がどう変わるかを比較をさせるための
演習と考えられます。
ですので、時計回りの経路の計算で十分だと
思います。

どうしても気持ち悪い、ということであれば
(i)経路が時計回りのとき
(ii)経路が反時計回りのとき
に場合分けをして計算しておくとよいでしょう。
No.60707 - 2019/08/16(Fri) 10:41:18
★ (No Subject) / Jordan
連続投稿申し訳ありません。

これもお願いします。
No.60651 - 2019/08/14(Wed) 19:16:06
☆ Re: / ＩＴ
その交点は直線ｙ＝ｘ上以外にあることがあります。
例えば　F(x,y)=x^2+ay+b として　a,b を動かして見ると分かります｡

交点は、直線ｙ＝ｘ上以外の任意の位置にあり得ると思いますが、P(s,t) が交点ならQ(t,s) も交点です。
No.60657 - 2019/08/14(Wed) 20:25:29
☆ Re: / Jordan
ITさんありがとうございます。

すいません、実は

k>0とするxy平面上の2曲線
y=k(x-x^3), x = k(y-y^3)
が第1象限にα ≠β なる交点(α, β ) をもつようkの範囲を求めよ.

と言う問題の解答のはじめの数行がわからないので質問させていただきました。
これはなぜ成り立つのでしょうか？
No.60658 - 2019/08/14(Wed) 21:39:04
☆ Re: / ＩＴ
x+y=α+β　ですか？
(x,y)=(α,β)のとき、x+y=α+β
(x,y)=(β,α）のとき、x+y=β+α=α+β
なのでです。　
No.60661 - 2019/08/14(Wed) 22:25:00
★ (No Subject) / Jordan
(1)
x,yの関数 f(x,y)において、f(x,y)= ー f(x,y) を満たすとき、
f(x,y)は(x-y)で割り切れることを示せ。

(2)
x,y,zの関数 f(x,y,z)において、f(x,y,z)= ー f(x,y,z) を満たすとき、
f(x,y,z)は(x-y)(y-z)(z-x)で割り切れることを示せ。
No.60648 - 2019/08/14(Wed) 18:45:46
☆ Re: / Jordan
関数と打ってしまいましたが、整式 (多項式)の間違いです。

どなたかお願いします
No.60649 - 2019/08/14(Wed) 18:47:04
☆ Re: / らすかる
問題が正しくないと思いますが、もし正しいのであれば
(1)
f(x,y)=-f(x,y)ならば
両辺にf(x,y)を足して2f(x,y)=0
よってf(x,y)=0なので何でも割り切れる。
(2)
f(x,y,z)=-f(x,y,z)ならば
両辺にf(x,y,z)を足して2f(x,y,z)=0
よってf(x,y,z)=0なので何でも割り切れる。

# この問題なら関数が整式という条件がなくても成り立ちます。
No.60656 - 2019/08/14(Wed) 20:24:04
☆ Re: / Jordan
ラスカルさん、ありがとうございます。
問題を、打ち間違えていました。
正しくは、
f(x,y)= ー f(x,y) → f(x,y)= ー f(y,x)

f(x,y,z)= ー f(x,y,z) → f(x,z,y)= ー f(x,y,z) , ー f(z,y,x)
などのxyzのうち2つを任意に入れ替えたもの
でした。

申し訳ありません
No.60660 - 2019/08/14(Wed) 21:42:41
☆ Re: / ＩＴ
(1) 下記に同じ問題の質疑応答があります。参考にどうぞ。
https://math.stackexchange.com/questions/3300430/how-do-i-prove-an-antisymetrical-polynomial-fx-y-is-divisible-by-x-y
No.60689 - 2019/08/15(Thu) 21:02:55
★ ベクトル面積分 / かい
以前質問したとき(8月4日)
誤植があると仰っていましたが、なぜ誤植とわかるのでしょうか？
No.60647 - 2019/08/14(Wed) 17:05:33
☆ Re: ベクトル面積分 / X
ヒントの内容との不整合が理由です。
問題文の面積分の等式では両辺共に
↑nに対する外積が使われていますが
ヒントの式は↑nに対する内積に
なっており、問題文が正しいとすると
ヒントの意味がありません。
No.60664 - 2019/08/14(Wed) 23:13:26
☆ Re: ベクトル面積分 / かい
ではヒントがなかったとしたらどうやって解くのでしょうか？
No.60669 - 2019/08/14(Wed) 23:52:30
☆ Re: ベクトル面積分 / X
面積分は計算結果がスカラーで定義されるものであり、
問題の等式は、計算結果がベクトルになっている点で
誤植と見ます。
(少なくとも私は計算結果がベクトルとなる
面積分は聞いたことがありません。)
No.60675 - 2019/08/15(Thu) 10:52:21
☆ Re: ベクトル面積分 / GandB
　空間ベクトル場における面積分は内積の積分が一番ポピュラーだが、以下のような定義もあるにはある。
（サイエンス社　演習ベクトル解析より）
　定義にしたがってひたすら計算すればよい（笑）。
No.60677 - 2019/08/15(Thu) 12:58:49
☆ Re: ベクトル面積分 / かい
参考書には面積分の答えがベクトルになるものもありました…
誤植ではないということですか？？
No.60699 - 2019/08/15(Thu) 23:51:38
☆ Re: ベクトル面積分 / GandB
　いや、誤植だろう。Xさんの指摘通りヒントの意味がないのだから。
　参考書にも説明があるのであれば、両方計算してみればいい。
No.60702 - 2019/08/16(Fri) 00:51:50
☆ Re: ベクトル面積分 / かい
大学院入試の問題で答えがないのですが、答えを出してもらうことは可能でしょうか？
No.60705 - 2019/08/16(Fri) 01:49:27
☆ Re: ベクトル面積分 / X
外積と解釈した場合は以下の通りです。
(↑i,↑j,↑kの代わりに成分表示で
計算しています。)

条件から
x=4cosθ
y=4sinθ
(0≦θ≦π/2)
と置くことができ
↑f=(z+(4sinθ)^2,2(4cosθ-2)・4sinθ,(4cosθ)^2)
=16(z/16+(sinθ)^2,(2cosθ-1)sinθ,(cosθ)^2)
↑n=(cosθ,sinθ,0)
∴↑f×↑n=16(-sinθ(cosθ)^2,(cosθ)^3,{z/16+(sinθ)^2}sinθ-(2cosθ-1)sinθcosθ)
一方
dS=4dθdz
以上から
∬[F](↑f×↑n)dS=64∫[θ:0→π/2]∫[z:0→3](-sinθ(cosθ)^2,(cosθ)^3,{z/16+(sinθ)^2}sinθ-(2cosθ-1)sinθcosθ)dzdθ
=192∫[θ:0→π/2](-sinθ(cosθ)^2,(cosθ)^3,{3/32+(sinθ)^2}sinθ-(2cosθ-1)sinθcosθ)dθ
=192∫[θ:0→π/2](-sinθ(1+cos2θ)/2,(cosθ)(1+cos2θ)/2,{3/32+(1-cos2θ)/2}sinθ-(1/2)(2cosθ-1)sin2θ)dθ
=96∫[θ:0→π/2](-(sinθ+sinθcos2θ),cosθ+cosθcos2θ,(3/16)sinθ+sinθ-sinθcos2θ-2sin2θcosθ+sin2θ)dθ
=96∫[θ:0→π/2](-(sinθ+(1/2)(sin3θ-sinθ)),cosθ+(1/2)(cos3θ+cosθ),(19/16)sinθ+(1/2)(sin3θ-sinθ)-sin3θ-sinθ+sin2θ)dθ
=96∫[θ:0→π/2](-(1/2)(sin3θ+sinθ),(1/2)(cos3θ+3cosθ),-(5/16)sinθ-(1/2)sin3θ+sin2θ)dθ
=48[((1/3)cos3θ+cosθ,(1/3)sin3θ+3sinθ,(5/8)cosθ+(1/3)cos3θ-cos2θ)][θ:0→π/2]
=48(-4/3,8/3,-5/8-1/3+1)
=16(-4,8,-15/8-1+3)
=16(-4,8,1/8)
=(-64,128,2)
(ざっと計算しただけなので、どこかに間違いがあるかもしれません。)
No.60719 - 2019/08/16(Fri) 21:57:19
★ (No Subject) / 夏
40‼を1の位から順にみて最初に現れる0以外の数字は(？）である

答は2らしんですけど模範解答がなくて困っています。解説よろしくお願いします
No.60644 - 2019/08/14(Wed) 12:51:47
☆ Re: / らすかる
40!!を1の位から順にみて最初に現れる0以外の数字は、
2ではなく4です。
問題が40!!ならば答えは4
問題が40!ならば答えは2
ですが、正しい問題はどちらですか？
No.60646 - 2019/08/14(Wed) 12:59:42
☆ Re: / 夏
40！(ビックリマークが一つ）です。どうやって求めるんですか？
No.60665 - 2019/08/14(Wed) 23:38:33
☆ Re: / らすかる
40!に含まれる素因数2の個数は
40÷2=20
20÷2=10
10÷2=5
5÷2=2…1
2÷2=1
20+10+5+2+1=38個
のように求められるのは既知とします。
同様に求めると
3は18個、5は9個、7は5個、11と13は3個、17と19は2個、23,29,31,37が各々1個
となりますので、
40!=2^38×3^18×5^9×7^5×11^3×13^3×17^2×19^2×23×29×31×37
とわかります。
5の指数が9ですから、末尾に0が9個付き、それを取り除くと
40!/10^9=2^29×3^18×7^5×11^3×13^3×17^2×19^2×23×29×31×37
となります。
これの一の位を求めればいいですね。
一の位ですから、十の位は関係ありませんので
2^29×3^18×7^5×1^3×3^3×7^2×9^2×3×9×1×7
=2^29×3^28×7^8
の一の位を求めれば良いことになります。
3^4=81、7^4=2401なので
2^29×3^28×7^8
=2^29×(3^4)^7×(7^4)^2
=2^29×81^7×2401^2
となり、結局2^29の一の位と同じです。
2^1,2^2,2^3,2^4,…の一の位は
2,4,8,6,2,4,8,6,…となることから
2^29の一の位は2とわかり、
結局問題の答えが2となります。
No.60670 - 2019/08/15(Thu) 01:11:15
☆ Re: / らすかる
別解
素因数分解せずにいろいろ工夫して計算することもできますね。
基本的に
・まず10^nで割って10で割り切れない値にする
・1の位を取り出して掛ける
という処理で良いのですが、
一の位が1,3,7,9の数は素因数2,5と関係ありませんので、
10^nで割る処理より前に以下の処理ができます。
・一の位が1である数はすべて削除できる
・3×7の一の位が1なので、一の位が3である数と7である数をペアで削除できる
・9×9の一の位が1なので、一の位が9である数を偶数個削除できる
また、10の倍数は最初から10で割ってOKです。
まずこれらの処理を行うと
40!=1×2×3×…×40
↓
2×4×5×6×8×12×14×15×16×18×2×22×24×25×26×28×3×32×34×35×36×38×4
5×15×25×35が5^5で割り切れるので
5で割れるものは割るとともに二つある2を削除、22→11、4を1個削除して
6×8×12×14×3×16×18×11×24×26×28×3×32×34×7×36×38×4
一の位だけにして
6×8×2×4×3×6×8×4×6×8×3×2×4×7×6×8×4
6×6=36から6は1個残して他をすべて削除できるが
6が1個あれば掛けて一の位が6になる2×3、4×4、8×8×8×8も削除できるので
6×7=42
が残って答えは2
No.60672 - 2019/08/15(Thu) 02:35:00
★ 極限 / 佐方
極限の計算で、分母と分子を別々のタイミングで無限大に飛ばすことは許されるのでしょうか？また、ダメだとしたらなぜだめなのでしょうか？
お教えください<(_ _)>
No.60643 - 2019/08/14(Wed) 11:12:38
☆ Re: 極限 / らすかる
例えば lim[n→∞]{2・2^n/2^n} で
分母を先に無限大に飛ばすと
lim[n→∞]{2・2^n/2^n}={lim[n→∞]{2・2^n}}/∞=0
分子を先に無限大に飛ばすと
lim[n→∞]{2・2^n/2^n}=∞/{lim[n→∞]2^n}=∞
同時に飛ばすと
lim[n→∞]{2・2^n/2^n}=2
のように値が異なったり収束しなくなったりしますので、ダメです。

というよりも、そもそも
lim[n→∞]f(n)/g(n) の意味は
f(1)/g(1),f(2)/g(2),f(3)/g(3),…と続けた時の極限（ただし1からとは限らない）
という意味ですから、分子分母のnは同時に進めなければいけません。
No.60645 - 2019/08/14(Wed) 12:56:44
★ 数3 平均値の定理について / 受験生
問　f(x)=1/(1＋e^(-x))
(1)f'(x)の最大値を求めよ
(2)方程式f(x)=xはただ1つの実数解を持つことを示せ。
(3)漸化式a[n＋1]=f(a[n])(n=1,2,3...)で与えられる数列
{a[n]}は、初項a1によらず収束し、その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ。

(2)までは解けたのですが、(3)をどのように示したらいいのかが分かりません。よろしくお願いします。
ちなみに(1)の答えは1/4です。
No.60638 - 2019/08/13(Tue) 23:39:50
☆ Re: 数3 平均値の定理について / X
(2)の結果により
方程式f(x)=xの解としてx=αを考えると
α=f(α) (A)
∴a[n+1]=f(a[n])
から(A)を引くと
a[n+1]-α=f(a[n])-f(α) (B)
さて、平均値の定理により
f(a[n])-f(α)=f'(c)(a[n]-α) (C)
(但しcは
a[n]＜αのときa[n]＜c＜α
a[n]＞αのときa[n]＞c＞α)
なるcが存在し、(B)(C)より
a[n+1]-α=f'(c)(a[n]-α)
∴|a[n+1]-α|=f'(c)|a[n]-α|
((∵)(1)の過程からf'(x)＞0)
∴(1)の結果から
|a[n+1]-α|≦(1/4)|a[n]-α|
となるので
0＜|a[n]-α|≦{(1/4)^(n-1)}|a[1]-α|
∴はさみうちの原理により
lim[n→∞]|a[n]-α|=0
となるので問題の命題は成立します。
No.60639 - 2019/08/14(Wed) 00:11:08
☆ Re: 数3 平均値の定理について / 受験生
返信ありがとうございます。　
a[n]=αとなるときは平均値の定理を使えないと思うのですが、この時lim[n→∞]a[n]=αはどのようにしたら示せるでしょうか。夜分遅くですがよろしくお願いします。
No.60640 - 2019/08/14(Wed) 00:56:30
☆ Re: 数3 平均値の定理について / らすかる
f(α)=αなので
a[n]=αならばa[n+1]=f(a[n])=αですから
k≧nであるすべてのkに対してa[k]=αとなります。
ただし、a[n]＞αならばa[n+1]＞α、
a[n]＜αならばa[n+1]＜αなので、
a[1]≠αのときにあるnでa[n]=αとなることはありません。
No.60641 - 2019/08/14(Wed) 05:31:50
★ 最小値 / 美雪
xy平面上、x座標、y座標がともに整数となる点(m,n)を格子点と呼ぶ。各格子点を中心として半径rの円が描かれており、傾き2/5の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという。このような性質をもつ実数rの最小値を求めよ。

傾き2/5の直線をL：2x-5y-k=0とします。問題文から、kは任意の実数です。

Lが(m,n)を中心とする半径rの円と共有点をもつという条件から、

│2m-5n-k│/√29≦r

が成り立ちます。2m-5nはN=2・3N-5Nが成り立つことから、整数全体を表します。そこで、2m-5n=N(Nは全ての整数)とおきます。

任意の実数kに対して、│N-k│/√29≦rが成り立つようなrの最小値を求めるのですから、任意の実数kに対して、│N-k│の最大値を求めるということなのだと思いますが、ここから先が全然わからないです。kが任意なら絶対値はいくらでも大きくなるので、最大値は存在しないように思います。途中がおかしいのかもしれません。

わかりやすく教えてください。
No.60632 - 2019/08/13(Tue) 11:30:11
☆ Re: 最小値 / らすかる
Nは任意の整数がとれるわけですから
|N-k|/√29≦rの左辺のNはkに最も近い整数をとって
この不等式を満たせばよいということです。
Nをkに最も近い整数とすれば|N-k|≦1/2なので、
(√29)r=1/2すなわちr=1/(2√29)であれば条件を満たしますね。
No.60636 - 2019/08/13(Tue) 13:04:42
☆ Re: 最小値 / らすかる
ちなみに、各格子点に半径1/(2√29)の円を描いて
円に接する傾き2/5の直線を描くと、この図のようになります。
これを見ると、r＜1/(2√29)のときに共有点を持たない直線が引ける
ことが実感できますね。
No.60637 - 2019/08/13(Tue) 19:49:18
☆ Re: 最小値 / 黄桃
答に関してはらすかるさんの書かれている通りですので、「ここから先」の説明をします。

>任意の実数kに対して、│N-k│/√29≦rが成り立つようなrの最小値を求める
が不正確です。らすかるさんがかいているように、
kに応じて（kは直線に対応するから、直線を決めるごとに)Nを変えてよい(その直線に一番近い点は変えてよい）、
ということが書かれていません。

正確には次のようになります：
0以上の実数rに関する条件「すべての実数kに対して、kに応じて整数Nを選べば　│N-k│/√29≦rが成り立つ」
をみたす最小のrを求める。

この条件を分析します。「すべてのk」が難しくしている元なので、まず、kを定数として考えてみます（直線を1本決めてみる、ということ）。
すると、「整数Nを選べば　│N-k│/√29≦rが成り立つ」ような0以上の実数rに関する条件を考えることになります。
これは要するに、直線2x-5y-k=0と、それに一番近い格子点までの距離をR(k)とすれば、r≧R(k)ということです。

例えば、k=0の時は、N=0とすれば、│N-k│/√29=0 とできる(2x-5y=0は格子点を通る）ので、rは0以上ならなんでもよい、ことになりますから、R(0)=0です。
r=1/3 であれば、1/3に一番近い整数は0なので、│N-k│/√29は一番小さくて 1/(3√29)。
よって、rがこれ以上ならOK、つまり、R(1/3)=1/(3√29)です。

すると、k=0,k=1/3 の時どちらの場合でも交わる条件は、r≧R(0) と r≧R(1/3)　の共通部分(この場合は、r≧1/(3√29)) です。

以上をふまえれば、
「すべての実数kに対して、kに応じて整数Nを選べば　│N-k│/√29≦rが成り立つ」ようなrの条件は、
「すべての実数kに対して、r≧R(k)」となるようなrの条件であり、
これは結局 r≧[R(k)の最大値]、です。
これを満たす最小のrはもちろん、[R(k)の最大値]であり、これは (N,kを動かしたときの)│N-k│/√29 の最大値ではありません。

＃R(k)の|N-k| の部分を最小にするNは、Nが kに一番近い整数の時なので、
＃kの小数部分だけが問題で、整数と一番遠くなるのは、小数部分が 0.5の時です。
＃つまり、R(k)の最大値はR(1/2)(=R(1.5)=R(2.5)=...)と等しい、ということです。
No.60642 - 2019/08/14(Wed) 09:08:45
☆ Re: 最小値 / 美雪
らすかる様　黄桃様

失礼します。

kに応じてNを適当に取ったとき、│N-k│が取りうる最大値。

k=0.2ならN=0をとれば、│N-k│は0.2

k=1.4ならN=1をとれば、│N-k│は0.4

k=2.6ならN=3をとれば、│N-k│は0.4

k=3.8ならN=4をとれば、│N-k│は0.2

・
・
・

このようにkに応じて近い整数をとったのが│N-k│であり、すると、

k=M+0.5(Mは整数)のとき、│N-k│はN=M、M+1のとき0.5で、kがこれ以外のときはkに近い方の整数が存在し、│N-k│は0.5より小さくなるので、│N-k│は最大値が0.5になる、ということでしょうか？
No.60650 - 2019/08/14(Wed) 18:50:06
☆ Re: 最小値 / らすかる
その通りです。
No.60654 - 2019/08/14(Wed) 20:08:40
☆ Re: 最小値 / 美雪
ありがとうございました！今回もとてもわかりやすかったです！
No.60666 - 2019/08/14(Wed) 23:44:00
★ 解答がわからん！ / 蘭
この問題を見てください。

例題2です。

この、私が赤で下線を引いてるt^(n-1)が(3x)^n/nになる理由がわかりません。どーやって解いたのかわからないです。

教えてください。
毎回ごめんなさい。
No.60627 - 2019/08/13(Tue) 10:13:40
☆ Re: 解答がわからん！ / 蘭
間違えました。例題3でした。
No.60628 - 2019/08/13(Tue) 10:15:31
☆ Re: 解答がわからん！ / 蘭
解答です。
No.60629 - 2019/08/13(Tue) 10:16:08
☆ Re: 解答がわからん！ / 蘭
一応答えです。
No.60630 - 2019/08/13(Tue) 10:16:43
☆ Re: 解答がわからん！ / 蘭
t^nにt=3xを代入したとすれば、?@の最高次の項については、

n(n-1) a[n] 3^n=54a[n]x^n ？いや、積分してるから左辺の次数をあげなきゃ？？ん？だ感じで行き詰ってます。
よろしくお願いします。
No.60631 - 2019/08/13(Tue) 10:21:33
☆ Re: 解答がわからん！ / らすかる
(t-1)f''(t)=n(n-1)a[n]t^(n-1)+…なので
∫(t-1)f''(t)dt=n(n-1)a[n]t^n/n+…+C
∫[0〜3x](t-1)f''(t)dt=n(n-1)a[n](3x)^n/n+…
となりますね。
No.60635 - 2019/08/13(Tue) 12:57:06
★ (No Subject) / さとう
あと一つ質問があります。宜しくお願います。解答はaらしいのですが、どうやって求めるのか？理由？が分かりません。お時間あればまた教えて頂けると有り難いです。
No.60626 - 2019/08/13(Tue) 10:13:35
☆ Re: / らすかる
(a-b)+(b-c)+(c-d)+(d-a)=0なので
a-b＞b-c＞c-d＞d-a≧0 または
0≧a-b＞b-c＞c-d＞d-a とすると矛盾。
従ってa-b＞0,d-a＜0すなわちa＞b,a＞d
もしb-c≧0ならばa＞b≧c,a＞dとなるのでaが最大
もしb-c＜0ならばb-c＞c-dからc-d＜0なので
a＞b,a＞d＞cとなりaが最大
よっていずれにしてもaが最大。
No.60633 - 2019/08/13(Tue) 12:42:28
☆ Re: / ＩＴ
(a-b)+(b-c)+(c-d)+(d-a)=0 なので a-b,b-c,c-d,d-aの平均値は0.
これとa-b>b-c>c-d>d-a から　a-b>0>d-a が分かる。
∴　a>bかつa>d…(1)

またb-c>c-d より　b+d>2c
∴　(b+d)/2 > c
ここで(1)より　a>(b+d)/2 なので　a>c.　
No.60634 - 2019/08/13(Tue) 12:43:06
★ (No Subject) / さとう
どうしても解答にたどりつけません。カッコの外し方が間違えているのか？お時間あるときに教えてください。宜しくお願いま。
No.60623 - 2019/08/13(Tue) 08:35:47
☆ Re: / 元中3
解答が明らかに違います。
負×負÷負の計算結果が正の9/8になるはずがありません。
おそらく答えは-3(a^2)(b^2)でしょう。
No.60624 - 2019/08/13(Tue) 09:39:23
☆ Re: / さとう
やはり、そうでしたか。ありがとうございます
No.60625 - 2019/08/13(Tue) 10:10:01
★ (No Subject) / な
マークしてある必要十分条件のところなのですが、なぜ1以上なのでしょうか？0以上でもいいと思ったのですが。
No.60620 - 2019/08/13(Tue) 01:42:05
☆ Re: / らすかる
例えばx=y=1のとき不等式は2(k^2-1)≧2となりますので、
k^2-1＜1では成り立ちません。
No.60621 - 2019/08/13(Tue) 02:49:07
★ 確率と一般項の算出 / ひよっこ
■考えている内容や答え
(1)
p2=1/12+1/8=5/24
p3=5/72+1/24+1/24+1/8=5/18

(2)
Pn=P(n-1)x32/15-1/6

(3)
わからない

■特に不安な点や、確認したいこと
(1),(2)の答えは合っているか、(3)の答えは何か教えてください。

よろしくお願いします。
学年　AO入試問題
No.60616 - 2019/08/12(Mon) 23:26:08
☆ Re: 確率と一般項の算出 / ＩＴ
(1)(2) ともにまちがっていると思います。
遷移図を描いて　再計算してみてください。

途中式は
　(1/2)(1/6)+(1/2)(1/4)? = 1/12 + 1/8 などと書いた方が間違いが見つかり易いですし、部分点の可能性も出てきます。
No.60617 - 2019/08/12(Mon) 23:56:09
★ (No Subject) / 谷子
この解説だけでは理解できないので教えてもらえませんか？
No.60613 - 2019/08/12(Mon) 20:57:17
☆ Re: / ＩＴ
３つのうち何番目の＝が理解できませんか？
No.60615 - 2019/08/12(Mon) 21:32:33
★ (No Subject) / ゆいきょう
この問題で、はてなが書いてあるところがわからないのですが、どういうことですか？
No.60608 - 2019/08/12(Mon) 15:17:57
☆ Re: / らすかる
n=3kならば
1,4,7,10,…,n-2 の個数がb個
2,5,8,11,…,n-1 の個数がc個
3,6,9,12,…,n の個数がa個
で
b=n/3
c=n/3
a=n/3
となるので
a=b=c=k
です。
No.60610 - 2019/08/12(Mon) 15:23:32
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