ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ お願いします。 / 千秋11

放物線C:y=x^2-x上に2つの動点P,Qがあり、POQ=90度を満たしてる時、原点Oから直線PQに下ろした垂線の足Hの軌跡の求め方を教えてください。
→OP=(a , a^2-a)
→OQ=(b , b^2-b)
a>bとする。
→OP×→OQ=0より
ab(a+b-2)=0なので
a+b-2=0

また、→PQ=→PO+→OQ
((b-a,(b^2-b)-(a^2-a))
と考えていったのですが、
この道筋で解くことってできますか？
よく分からなくなってしまいました。
教えていただけると嬉しいです。

No.61345 - 2019/09/16(Mon) 19:20:47

☆ Re: お願いします。 / らすかる

> →OP×→OQ=0より
> ab(a+b-2)=0
「→OP×→OQ」はどういう意味で書いていますか？
またab(a+b-2)=0はどのように導かれますか？

No.61362 - 2019/09/17(Tue) 00:18:29

☆ Re: お願いします。 / 千秋11

返信ありがとうございます。
→OP×→OQ＝0は直角から式が作れたかな？
と思い、
a(b^2-b)+b(a^2-a)=0
ab(b-1)+ab(a-1)=0となり、
ab(a+b-2)=0
aとbは0でないので、
a+b-2=0になりました。

No.61364 - 2019/09/17(Tue) 07:33:29

☆ Re: お願いします。 / らすかる

計算式を見ても「→OP×→OQ＝0」の意味がわかりませんが、
「→OP×→OQ」はどういう意味で書いているのですか？
普通「×」は「外積」の意味ですが、「外積」は三次元ベクトルに
使うものなので違いますよね。
直角ということで「＝0」と考えているということは、「内積」でしょうか？
内積には「・」を使います。「×」は外積の意味になってしまいますので
内積に「×」を使ってはいけません。
また、内積の成分計算は
a=(ax,ay), b=(bx,by)のときa・b=axbx+ayby
なので、a(b^2-b)+b(a^2-a)にはなりません。
もし「内積」で演算子と計算の間違いならば
→OP・→OQ=ab+(a^2-a)(b^2-b)=ab(ab-a-b+2)
となります。

No.61365 - 2019/09/17(Tue) 08:18:30

☆ Re: お願いします。 / 千秋11

御回答ほんとうにありがとうございます。
勘違いしていました。
内積のつもりで、×を使用していました。
その式を使用するとしたら、
この問題を解くにはどうしたらいいでしょうか…。
よろしくお願いします…。

No.61366 - 2019/09/17(Tue) 13:02:48

☆ Re: お願いします。 / らすかる

とりあえず求まりました。

→OP・→OQ=ab+(a^2-a)(b^2-b)=ab(ab-a-b+2)
ab≠0なのでab-a-b+2=0
a≠1なのでb=1-1/(a-1)
a＜bなのでa＜1＜b（ただしa≠0）
b=1-1/(a-1)からb=(a-2)/(a-1)
→OQ=(b,b^2-b)に代入すると
→OQ=((a-2)/(a-1),-(a-2)/(a-1)^2)
→QP=(a-(a-2)/(a-1),(a^2-a)+(a-2)/(a-1)^2)
=((a^2-2a+2)/(a-1),(a^2-2a+2)(a^2-a-1)/(a-1)^2)
→QP・→OH=0から
→OH=t(a^2-a-1,-(a-1))
直線PQは
y={(a^2-a-1)/(a-1)}(x-a)+(a^2-a)
これにx=t(a^2-a-1), y=-t(a-1)を代入してtを求めると
t=a(a-2)/(a^4-2a^3+2)
これをx=t(a^2-a-1),y=-t(a-1)に代入して整理すると
(x,y)=(a(a-2)(a^2-a-1)/(a^4-2a^3+2),-a(a-1)(a-2)/(a^4-2a^3+2))
x+y=a(a-2)/(a^4-2a^3+2)・{(a^2-a-1)-(a-1)}
=a^2(a-2)^2/(a^4-2a^3+2)
x^2+y^2=a^2(a-2)^2/(a^4-2a^3+2)^2・{(a^2-a-1)^2+(a-1)^2}
=a^2(a-2)^2/(a^4-2a^3+2)^2・(a^4-2a^3+2)
=a^2(a-2)^2/(a^4-2a^3+2)
∴x^2+y^2=x+yすなわち(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2
a＜1,a≠0から(0,0)と(1,0)が除外点
従って求める軌跡は中心(1/2,1/2)半径1/√2の円から(0,0)と(1,0)を除いた図形

No.61368 - 2019/09/17(Tue) 15:12:56

★ (No Subject) / 月曜日（休日）

（２）aは実数の定数である。実数ｘ、ｙがx^2+y^2≦１、x+ay≦０を共に満たしている。lxl＋ｙの最大値、最小値を求めよ。

（１）でa=-2のときという問題がありましたが、これは最大値、最小値はそれぞれ√２、０というのは出ましたが（２）がわからないです。教えてもらえると幸いです。

No.61340 - 2019/09/16(Mon) 00:06:05

☆ Re: / らすかる

x+ay≦0は原点を通る直線x=-ayの左側です。
|x|+y=kとおくとy=-|x|+kなので
／＼という形で左右の斜線(傾き1と-1)の交点が(0,k)である折れ線です。
y=-|x|+kとx^2+y^2=1が共有点を持つkの範囲は-1≦k≦√2であり、
k=-1のとき共有点は(0,-1)、k=√2のとき
共有点は(-1/√2,1/√2)と(1/√2,1/√2)となります。
よってx+ay≦0が点(-1/√2,1/√2)を含むときすなわちa≦1のときは
kの最大値は√2となり、x+ay≦0が点(0,-1)を含むときすなわちa≧0のときは
kの最小値は-1となります。
x+ay≦0が点(-1/√2,1/√2)を含まないときすなわちa＞1のとき、
kの最大値はy=-|x|+kがx^2+y^2=1とx=-ayの第2象限の交点を通る場合です。
x^2+y^2=1とx=-ayの第2象限の交点は(-a/√(a^2+1),1/√(a^2+1))ですから、
最大値はy=x+k（∵x＜0）からk=y-x=(a+1)/√(a^2+1)となります。
x+ay≦0が点(0,-1)を含まないときすなわちa＜0の場合は、
a≦-1のときはy=-|x|+kが原点を含むk=0となり、-1＜a＜0のときは
kの最小値はy=-|x|+kがx^2+y^2=1とx=-ayの第3象限の交点を通る場合となります。
x^2+y^2=1とx=-ayの第3象限の交点は(a/√(a^2+1),-1/√(a^2+1))ですから、
-1≦a＜0のときの最小値はy=x+k（∵x＜0）からk=y-x=-(a+1)/√(a^2+1)となります。
従ってまとめると
最大値はa≦1のとき√2、1＜aのとき(a+1)/√(a^2+1)
最小値はa≦-1のとき0、-1＜a＜0のとき-(a+1)/√(a^2+1)、0≦aのとき-1
となります。

No.61341 - 2019/09/16(Mon) 06:02:11

★ (No Subject) / ブラッシング

点A(1,0)、点B(1,1)、C(0,1)。BCを6等分する点のうちCに最も近い点をP１、点Bに最も近い点をQ１とする。さらに、台形P1P2Q2Q1が台形OP1Q1Aと上下逆向きで相似になるようにP2とQ2を台形OP1Q1Aの内部にとる。以下同様に自然数ｎについて台形Pn+1Pn+2Qn+2Qn+1が台形PnPn+1Qn+1Qnと上下逆向きの掃除になるように点Pn+2とQn+2を台形PnPN+1Qn+1Qnの内部にとる。

PnQn=（2/3)^nは求められました（たぶん）
１）点Pnの座標を求めよ。
２）点P1,P2、・・・、P100,Q100,Q99,・・・Q1を順に結んでできる折れ線P1P2・・・P100Q100Q99・・・Q1と直線OBの交点の個数を求めよ

まず問題文が長く、読んでもらうのが恐れ多いですが、
よくわからないので教えてもらえると助かります。

No.61337 - 2019/09/15(Sun) 22:20:36

☆ Re: / らすかる

1)
相似比が2/3であることから
P[n]のx座標Px[n]は
Px[1]=1/6、Px[n+1]=Px[n]+(1/6)(2/3)^n
なので
Px[n]=(1/6)Σ[k=1～n](2/3)^(n-1)={1-(2/3)^n}/2
y座標Py[n]は
Py[1]=1、Py[n+1]=Py[n]+(-2/3)^n
なので
Py[n]=Σ[k=1～n](-2/3)^(n-1)=3{1-(-2/3)^n}/5
よってP[n]の座標は({1-(2/3)^n}/2,3{1-(-2/3)^n}/5)

2)
P[2n]の座標は({1-(2/3)^(2n)}/2,3{1-(2/3)^(2n)}/5)であり
3{1-(2/3)^(2n)}/5=(6/5){{1-(2/3)^(2n)}/2}だから
y=(6/5)x上にある。
そしてP[2n-1]はP[2n]の左上方にあるから、
P[1]～P[100]までの折れ線はOBと交わらない。

Q[n]の座標はP[n]をx=1/2に関して対称移動したものだから
({1+(2/3)^n}/2,3{1-(-2/3)^n}/5)
Q[2n-1]の座標は
({1+(2/3)^(2n-1)}/2,3{1+(2/3)^(2n-1)}/5)となり
3{1+(2/3)^(2n-1)}/5=(6/5){{1+(2/3)^(2n-1)}/2}だから
P[2n]と同様、y=(6/5)x上にある。
従ってQ[2n]の座標がOBより下側にあるかどうかを調べれば
交点の個数がわかる。
Q[2]は(13/18,1/3)で1/3＜13/18だからOBより下側にある。
Q[4]は(97/162,13/27)で13/27＜97/162だからOBより下側にある。
Q[6]は(793/1458,133/243)で133/243＞793/1458だからOBより上側にある。
Q[8],Q[10],Q[12],…,Q[100]はQ[6]の左上方にあるからすべてOBより上側にある。
従ってOBと交わる線分は
Q[1]Q[2]、Q[2]Q[3]、Q[3]Q[4]、Q[4]Q[5]の4つなので交点は4個。

No.61338 - 2019/09/15(Sun) 22:56:26

☆ Re: / ブラッシング

よくわかりました。回答ありがとうございました。

No.61339 - 2019/09/15(Sun) 23:47:32

★ (No Subject) / どこが間違ってますか？

この画像の式変形で同地でないのは1-2段目の変形ですよね？
なぜこれが成り立たないのですか？

普段無意識にルートの中身を分解していましたが、いつもの(
√ab=√b*√aみたいなの)は abがどのような場合に成り立つのでしょうか。

No.61319 - 2019/09/14(Sat) 21:23:58

☆ Re: / GandB

「負の数の平方根でよくある間違い」で検索

No.61321 - 2019/09/14(Sat) 22:06:27

☆ Re: / どこが間違ってますか？

Gandさんありがとうございます。

－1 の平方根の1つ(2つあるが)をあらかじめ指定しておき、それを i で表すところで、
一意性が崩れるから、この式は成り立たないということであってますか？

正の実数(0も含む)に対して正の平方根(0のときは0)がただ一つに定まるということが成り立つから、a>=0∧b>=0→√ab=√b*√a
ということですか？

No.61323 - 2019/09/14(Sat) 22:27:37

☆ Re: / 数学好きの高校生

中学三年生の教科書に、正の数a,bに対して成り立つ、と記されています。

例えば、対数についてもlog6=log(2×3)=log2+log3ですが、
log6=log{(-2)×(-3)}≠log(-2)+log(-3)ですよね？

因みにですが、-1の平方根は±iですが、根号√は、二乗して中身になる数のうち符号が正であるものをあらわすので√(-1）=iであり、この定義以外は式変形で用いることはできません。もしiがルートの中身に自由に入ったり出て行ったりできるならば、√1=-1という等式が成り立ってしまい、演算に支障をきたします。

No.61326 - 2019/09/15(Sun) 10:37:23

☆ Re: / らすかる

> 根号√は、二乗して中身になる数のうち符号が正であるものをあらわすので
> √(-1）=iであり

「二乗して中身になる数のうち符号が正であるものをあらわす」のは
中身が負でない実数の場合だけです。
虚数に符号はありませんので、iは「符号は正」とは言えません。
2乗して-1になる二つの虚数のうちの一つに「i」という名前を
付けているだけであり、「符号が正の方をiとしている」わけではありません。

No.61328 - 2019/09/15(Sun) 12:31:08

☆ Re: / 数学好きの高校生

らすかるさん

ご指摘ありがとうございます。私の理解不足でした。二乗して-1になる2数をα，βとするとα+β=0であり、二次方程式を解く上でα=iであってもβ=iであっても(iと-iが出てくるので)問題なく、あくまで-1の平方根の1つをiと表記しているだけなんですね。
1の三乗根の２つの虚数のうちの1つをωと表すのと同じようなものと解釈できました。

-1の平方根の1つをiと定めたところで-1の平方根は±iと表されますが、√-1=iとするのは√-1が二乗して-1になる数のうちiの係数(虚部)が正のものだから、ととらえてよろしいでしょうか？同様に、√-a=(√a)i(a>0)とするのは、√-aが二乗して-aになる数のうち虚部が正のものを表すから、ということでよろしいでしょうか？

No.61342 - 2019/09/16(Mon) 13:10:22

☆ Re: / らすかる

> √-1=iとするのは√-1が二乗して-1になる数のうちiの係数(虚部)が
> 正のものだから、ととらえてよろしいでしょうか？
それは順番が違うと思います。
『-1の平方根がiと-iの二つあり、そのうち一つを選んで√(-1)とする』
のではなく、√(-1)は虚数単位の定義段階の話ですから
『√(-1)を-1の平方根のうちの一つとして、それをiという文字で書くことにする』
（その結果残りの平方根は-iになる）
ということだと思いますので、「係数が正」という考え方にはなりませんね。
1の虚数三乗根の一つを「ω」とおくときも「係数が正」などとは
考えていませんよね。それと同じです。

No.61344 - 2019/09/16(Mon) 16:42:48

☆ Re: / 数学好きの高校生

√(-1)=iが定義段階での話ということはよくわかりました。
-1の平方根の一つを√(-1)と表記し、それをiと置くことが最初であって、そこから-iがもう一つの平方根だといえるのですね。
くどいようで申し訳ないですが、√(-a)=(√a)i(以下a>0)というのも、定義段階での話ということでよろしいですか？
√(-a)=√(-1)×√aという計算則はなさそうですし、-aの平方根のひとつを√(-a)と表記し、それを(√a)iと表すという順番で正しいですか？

チャート式には
√(-a)＝(√a)i 特に√(-1)=i

その下段の解説には
-3の平方根は±(√3)iだが、√(-3)はそのうち(√3)iを表すことにする
一般に、√(-a)=(√a)iと定める

と書かれています。

i~2=-1という定義から-aの平方根が±(√a)iであることを導き(定義し)、√(-a)=(√a)iと表すと定義して、a=1の場合に特に√(-1)=iとなる、という順番で定義されたか、
もしくは√(-a)=(√a)iと√(-1)=iは別々に定義された
と解釈してよろしいですか？

定義だからそもそも導くものではありませんが、
√(-a)=(√a)i⇒√(-1)=iは演繹によって真であるのに対し
√(-1)=i⇒√(-a)=(√a)iは真偽が判定できません。

つまり、√(-a)=(√a)iという定義(ここでは定義ではなく等式としたほうがよい)は、√(-1)=iという定義のみに基づいて示すことは不可能ですよね？、といった趣旨の疑問です。

長くて申し訳ありません。定義だからそれにいちいち拘るのはおかしいのは承知です。

No.61346 - 2019/09/16(Mon) 19:22:24

☆ Re: / らすかる

> √(-a)=(√a)i(以下a>0)というのも、定義段階での話ということでよろしいですか？
√(-1)=iは定義段階だとしても√(-a)=(√a)iは別でしょうね。

> √(-a)=√(-1)×√aという計算則はなさそうですし、-aの平方根のひとつを
> √(-a)と表記し、それを(√a)iと表すという順番で正しいですか？
ここらへんは√(-a)がどういうふうに定義されるかによって変わると思いますが、
普通に（それまでに決まっていて使って良いものを使って）求めるとしたら
x^2=-a
x^2/a=-1
(x/√a)^2=-1
x/√a=±√(-1)=±i
x=(√a)・±i
なので、√(-a)と書いた場合はa=1のときにつじつまが合うように
√(-a)=(√a)iとする
のようにするぐらいかと思います。

> i~2=-1という定義から-aの平方根が±(√a)iであることを導き(定義し)、√(-a)=(√a)iと表すと定義して、a=1の場合に特に√(-1)=iとなる、という順番で定義されたか、
> もしくは√(-a)=(√a)iと√(-1)=iは別々に定義された
> と解釈してよろしいですか？
そうですね。このへんは本によって定義の細かい順番は違う可能性がありますので、
その本の書き方に合うような解釈を考えればよいと思います。

> つまり、√(-a)=(√a)iという定義(ここでは定義ではなく等式としたほうがよい)は、
> √(-1)=iという定義のみに基づいて示すことは不可能ですよね？、といった趣旨の疑問です。
そうですね。√(-a)の定義がない以上、「示す」のは不可能だと思いますが、
他のいろいろなものの定義であるように、
「今まで定義されたものと矛盾しないように定義を拡張している」
と考えればよいと思います。

No.61354 - 2019/09/16(Mon) 21:50:35

★ 全然答えにたどり着きません / おざいく

よろしくお願いします🥺

No.61301 - 2019/09/13(Fri) 02:41:05

☆ Re: 全然答えにたどり着きません / らすかる

(その1)
y=x/(x^2-1) … (1)
y'=-(x^2+1)/(x^2-1)^2 … (2)
y''=2x(x^2+3)/(x^2-1)^3 … (3)
(1)から
x=±1で定義されず
lim[x→-1-0]y=-∞
lim[x→-1+0]y=+∞
lim[x→1-0]y=-∞
lim[x→1+0]y=+∞
また
lim[x→±∞]y=0
x軸との交点はx=0のみ
(2)から
(x^2+1)＞0,(x^2-1)^2＞0（∵x≠±1）なのでy'＜0
よって定義される全区間で減少なので
極値は存在しない。
またx=0のときy'=-1なので原点における接線はy=-x
(3)から
x＜-1のときy''＜0なので上に凸
-1＜x＜0のときy''＞0なので下に凸
x=0のときy''=0でx=0の前後で符号が変わるので変曲点
0＜x＜1のときy''＜0なので上に凸
1＜xのときy''＞0なので下に凸
従ってグラフは
x＜-1では
y=0とx=-1が漸近線となるように
y＜0かつx＜-1の領域に上に凸な曲線
（y=1/xの第3象限のような曲線）
描く目安としてx=-3のときy=-3/8、
x=-2のときy=-2/3、x=-3/2のときy=-6/5
-1＜x≦0では
x=-1が漸近線となるように
y＞0かつ-1＜x≦0の領域に下に凸な曲線で
原点を通り、原点でy=-xに接する
描く目安としてx=-3/4のときy=12/7、x=-1/2のときy=2/3、
x=-1/4のときy=4/15、そしてx=0のときy=0
yは奇関数なので
x≧0の範囲のグラフはx≦0の範囲のグラフと
原点に関して点対称に描けばよい。

No.61307 - 2019/09/13(Fri) 05:17:02

☆ Re: 全然答えにたどり着きません / らすかる

(その2)
y=x-2√x … (1)
y'=1-1/√x … (2)
y''=1/(2x√x) … (3)
(1)から
yはx＜0で定義されず
lim[x→∞]y=+∞
また
x-2√x=0を解くとx=0,4なので
x軸との交点はx=0,4の2点
(2)から
0＜x＜1のときy'＜0
x=1のときy'=0
1＜xのときy'＞0
よって0＜x＜1で減少、1＜xで増加なので
x=1のとき極小値-1（(1)より）をとる
また
lim[x→+0]y'=-∞でx=0のときy=0なので
原点でy軸に接する
x=4のときy'=1/2なので
(4,0)でy=(1/2)x-2に接する
(3)から
x＞0のときy''＞0なので
定義される全区間で下に凸であり
変曲点は存在しない。
従ってグラフは
0≦x≦1では
原点でy軸に接し、(1,-1)でx=-1に接する下に凸な曲線
描く目安としてx=0のときy=0、x=1/4のときy=-3/4、
x=1/2のときy=1/2-√2≒-0.914、x=1のときy=-1
1≦x≦4では
(1,-1)でx=-1に接し、(4,0)でy=(1/2)x-2に接する下に凸な曲線
描く目安としてx=1のときy=-1、x=2のときy=2-2√2≒-0.828、
x=3のときy=3-2√3=-0.464、x=4のとき0
4≦xでは
(4,0)でy=(1/2)x-2に接し、+∞に発散する下に凸な曲線
ただしx→+∞のときy''→+0なのでxが大きいとき直線に近く、
またx→+∞でもy=xより下にある
描く目安としてx=4のとき0、x=9のとき3、x=16のとき8

No.61308 - 2019/09/13(Fri) 05:41:22

★ 質問お願いします。 / しょう

117の2番なのですがこのような問題はどのように考えればいいのでしょうか？作図がごちゃごちゃしてしまってうまく解けない感じです。

No.61282 - 2019/09/12(Thu) 19:20:39

☆ Re: 質問お願いします。 / ヨッシー

(0) ＡＢ//ＣＦといえるか？
(1) ＣＢ＝ＣＦといえるか？
(2) ∠ＢＦＣと ∠ＢＡＣは共通の弦ＢＣに立つ円周角なので等しい。
(3) ∠ＡＦＣ＝π－∠ＡＢＣなので、
　　cos∠ＡＦＣ＝－cos∠ＡＢＣ　　・・・正しい
(4) (3) が正しい上に cos∠ＡＦＣ＝sin∠ＡＢＣが成り立つのは、
　－cos∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＢＣ
　sin∠ＡＢＣ＋cos∠ＡＢＣ＝０
　√2sin(∠ＡＢＣ＋π/4)＝０
　∠ＡＢＣ＝3π/4　これがいえるか？

(2) が間違いなのは明らか、(3) が正しいのは明らかですが、
その他のものは、吟味しないとわかりませんが、一つ選べということなら、
(3) で決まりでしょう。

No.61285 - 2019/09/12(Thu) 19:36:32

☆ Re: 質問お願いします。 / しょう

なるほど！よく分かりました！

ちなみに2の2なのですがこれはどのように考えればいいのでしょうか？解答には5は円の外部、6は円の内部、7は円の周上と書いているのですが円周角に関する知識は同じ弧なら角度が同じ、直径を含む半円が弧になる場合は直角くらいの知識しかないのですがこの問題はどのように考えるのでしょうか？

No.61310 - 2019/09/13(Fri) 10:12:42

☆ Re: 質問お願いします。 / ヨッシー

図の２つの●は、同じ弦に立つ円周角で等しい、つまり
　∠ＢＦ₁Ｃ＝∠ＢＡＣ
∠ＢＦＣはこれらより大きいか小さいかを考えます。
　

No.61336 - 2019/09/15(Sun) 19:23:59

★ 数学A / さかす

写真の部分の合同式の変換がどのようになされているのかわかりません。どなたかご教授お願いします。

No.61279 - 2019/09/12(Thu) 18:55:17

☆ Re: 数学A / ヨッシー

81≡10　(mod 71) なので、
8乗しても等しくなります。

No.61280 - 2019/09/12(Thu) 19:03:14

☆ Re: 数学A / ヨッシー

↑このあたりがすっと理解できない場合は、合同式は一旦忘れて、
　81^8＝(10＋71)^8
これを展開して、
　10^8＋8・71・10^7＋・・・
ですが、第２項より後は全部 71 が掛けられているので、
81^8 を 71 で割った余りを調べるなら、 10^8 を調べるだけで十分、
と考えてはどうでしょう？
　
　

No.61281 - 2019/09/12(Thu) 19:06:11

☆ Re: 数学A / さかす

ありがとうございます。やっと理解できました！

No.61283 - 2019/09/12(Thu) 19:21:32

☆ Re: 数学A / さかす

> ありがとうございます。やっと理解できました！

ごめんなさい、また続いてよくわからなくなってしまいました。

条件: 7^66≡1(mod67)

7^16(mod67)≡？　

というのが出てきたのですが、先ほどと同じようにやろうとしてもできません・・・。考えてみたのですが詰まってしまい進めません、どなたか解説をお願いいたします。

No.61284 - 2019/09/12(Thu) 19:33:46

☆ Re: 数学A / らすかる

上の問題も同じですが、「条件: 7^66≡1(mod67)」って何のためにあるのですか？
使わない（使えない）気がするのですが。

以下「≡」は全てmod67
7^2=49
7^3=343=67×5+8≡8
7^4≡8×7=56=67-11≡-11
7^8≡(-11)^2=121=67×2-13≡-13
7^16≡(-13)^2=169=67×2+35≡35

No.61288 - 2019/09/12(Thu) 21:21:48

★ (No Subject) / t

x^3+y^3+z^3-3xyzを基本対称式の整式で表すとどうなるでしょうか？

No.61271 - 2019/09/12(Thu) 15:40:17

☆ Re: / らすかる

x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z){(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)}
となります。

No.61273 - 2019/09/12(Thu) 15:59:38

☆ Re: / t

右辺になる過程を詳しく教えていただけませんか？どうしてそうなるか分かりません。

No.61275 - 2019/09/12(Thu) 16:13:07

☆ Re: / らすかる

x^3+y^3+z^3-3xyzの因数分解はできますか？

No.61277 - 2019/09/12(Thu) 18:45:02

☆ Re: / t

教えてください。

No.61303 - 2019/09/13(Fri) 04:06:59

☆ Re: / X

もしかしたら演習問題としては解いていても
教科書、参考書には載っていないかもしれません。
割と有名な公式ですので頭に入れておいた方が
よいと思います。

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

となります。

No.61304 - 2019/09/13(Fri) 04:40:08

☆ Re: / らすかる

やり方はいろいろありますが、オーソドックスな方法としては
(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=(x^3+y^3)+3xy(x+y)から
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)なので
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz
=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)
=(x+y+z){(x+y)^2-(x+y)z+z^2}-3xy(x+y+z)
=(x+y+z){(x+y)^2-(x+y)z+z^2-3xy}
=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-zx-yz+z^2-3xy)
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) … (1)
そして
(x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)から
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)なので
(1)=(x+y+z){(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)-(xy+yz+zx)}
=(x+y+z){(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)}
となります。

No.61305 - 2019/09/13(Fri) 04:46:27

☆ Re: / sy

-3 x^5 y^3-9 x^5 y^2 z-9 x^5 y z^2-3 x^5 z^3+x^5-6 x^4 y^4-33 x^4 y^3 z-54 x^4 y^2 z^2-33 x^4 y z^3+5 x^4 y-6 x^4 z^4+5 x^4 z-3 x^3 y^5-33 x^3 y^4 z-93 x^3 y^3 z^2-93 x^3 y^2 z^3+10 x^3 y^2-33 x^3 y z^4+20 x^3 y z-3 x^3 z^5+10 x^3 z^2-9 x^2 y^5 z-54 x^2 y^4 z^2-93 x^2 y^3 z^3+10 x^2 y^3-54 x^2 y^2 z^4+30 x^2 y^2 z-9 x^2 y z^5+30 x^2 y z^2+10 x^2 z^3-9 x y^5 z^2-33 x y^4 z^3+5 x y^4-33 x y^3 z^4+20 x y^3 z-9 x y^2 z^5+30 x y^2 z^2+20 x y z^3+5 x z^4-3 y^5 z^3+y^5-6 y^4 z^4+5 y^4 z-3 y^3 z^5+10 y^3 z^2+10 y^2 z^3+5 y z^4+z^5
も　お願い!

No.61320 - 2019/09/14(Sat) 21:59:08

☆ Re: / t

遅くなりましたが、Xさん、らすかるさんありがとうございます。

No.61613 - 2019/10/02(Wed) 02:39:24

★ (No Subject) / 鳥

a>0 とする。関数 y=x^2-2x-1(0≦x≦a) について最大値を求めよう。
平方完成 y=(x-1)^2-2 頂点(1,-2)
この問題の解が
　[i]0<a<2のとき x=0のとき最大値-1
　[ii]a=2のとき x=0,2のとき最大値-1
　[iii]a>2のとき x=aのとき最大値a^2-2a-1
となっています
この場合分けの[ii]を[i]や[iii]とまとめてしまって
　(i)0<a≦2のとき x=0のとき最大値-1
　(ii)a>2のとき x=aのとき最大値a^2-2a-1
としたり、
　(i)0<a<2のとき x=0のとき最大値-1
　(ii)a≧2のとき x=aのとき最大値a^2-2a-1
としても正解として問題無いでしょうか？

No.61270 - 2019/09/12(Thu) 14:07:21

☆ Re: / X

最大値を取るときのxの値を問題にするのであれば
模範解答のような場合分けが必要です。
そうでなければ、鳥さんの挙げた
>>　(i)0<a≦2のとき x=0のとき最大値-1
>>　(ii)a>2のとき x=aのとき最大値a^2-2a-1
とか
>>　(i)0<a<2のとき x=0のとき最大値-1
>>　(ii)a≧2のとき x=aのとき最大値a^2-2a-1
でも問題ありません。

No.61278 - 2019/09/12(Thu) 18:47:34

☆ Re: / 鳥

なるほど！
問題が
　最大値をとるときを求めよ
や
　最大値をとるときの xの値を求めよ
では
?@
　[i]0<a<2のとき x=0のとき最大値-1
　[ii]a=2のとき x=0,2のとき最大値-1
　[iii]a>2のとき x=aのとき最大値a^2-2a-1
でなければいけなくて、
問題が
　最大値を求めよ
では?@の他に
?A
　(i)0<a≦2のとき x=0のとき最大値-1
　(ii)a>2のとき x=aのとき最大値a^2-2a-1
や
?B
　(i)0<a<2のとき x=0のとき最大値-1
　(ii)a≧2のとき x=aのとき最大値a^2-2a-1
も正解として認められる訳ですね

ここで疑問が出てきたのですが、
最大値を求めよのような問いでは解に
　x=ほにゃららのとき
は書かない方が良いのでしょうか？
書いてしまうと誤りでしょうか？
書いても問題ないでしょうか？

そしてもう１つ疑問というか確認なのですが、
もし問題が
　最大値を「aの式で表わせ」
となっていたら
　?@も?Aも?Bも正解として認められる
ということで良いでしょうか？
(ここでも解に x=ほにゃららのときは
書かない方が良い？書くと誤り？書いても問題なし？)

よろしくおねがいします

No.61298 - 2019/09/12(Thu) 23:29:16

☆ Re: / X

＞＞ここで疑問が出てきたのですが、～
模範解答の書き方であれば問題ないのですが
鳥さんの書き方であれば、最大値を取るときの
xの値は書いてはいけません。
(正確ではありませんので。)

＞＞そしてもう～
?@も?Aも?Bも正解として認められます
が、xの値については上記と同じく
?A?Bの場合は書いてはいけません。

No.61306 - 2019/09/13(Fri) 05:05:36

☆ Re: / 鳥

だいぶスッキリしました
ありがとうございます

No.61309 - 2019/09/13(Fri) 09:58:49

★ 代数 / 代数

可換環Z/54Z＝{0.1.2.….53}について聖域ではないことを示し、１７の逆元を求めよ。

解法がわかりません。解説できる方よろしくお願いいたします。

No.61267 - 2019/09/12(Thu) 10:09:03

☆ Re: 代数 / ＩＴ

「整域」の定義は分かりますか？

No.61268 - 2019/09/12(Thu) 12:20:27

☆ Re: 代数 / 代数

> 「整域」の定義は分かりますか？

零元以外に零因子を持たない。ですね。

No.61269 - 2019/09/12(Thu) 13:17:20

☆ Re: 代数 / ＩＴ

（前半）
零因子があることを示せば良いですから、
例えば　2*27 を計算すれば示せます。

（後半）
零因子でない　5,7,11,.... などと17との積を計算して探せば見つかります。

No.61287 - 2019/09/12(Thu) 21:12:48

☆ Re: 代数 / 代数

前半は理解できました！

後半は、自身の逆元の理解としての回答としては

5×17=17×5＝85　となるから、５は１７の逆元であるといえる。という回答でよいのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.61289 - 2019/09/12(Thu) 21:29:14

☆ Re: 代数 / ＩＴ

> 後半は、自身の逆元の理解としての回答としては
>
> 5×17=17×5＝85　となるから、５は１７の逆元であるといえる。という回答でよいのでしょうか？
間違っていると思います。
「逆元」の定義は、どうなっていますか？

No.61290 - 2019/09/12(Thu) 21:48:22

☆ Re: 代数 / 代数

逆元の定義は

「a・x=x・a=1を満たすｘ」　です。

つまり17の逆元は

17・1/17=1/17・17=1　となるから、1/17は17の逆元といえる。という回答になる？のでよいのでしょうか？

No.61291 - 2019/09/12(Thu) 22:02:47

☆ Re: 代数 / ＩＴ

>
> 17・1/17=1/17・17=1　となるから、1/17は17の逆元といえる。という回答になる？のでよいのでしょうか？
ダメです。

可換環Z/54Z＝{0.1.2.….53} の元でなければなりません。

例題などでもう少し簡単な場合の説明がありませんでしたか？

No.61292 - 2019/09/12(Thu) 22:15:10

☆ Re: 代数 / 代数

例題はそもそもないですね・・・。テキストのみしか配られないので。

ネットでも一日中調べつくしているのですが確信的な理解に至れず。。。でもやらなくてはならずで。。。

索引からみても「逆元」の該当ページには写真のような解説しかないです。

定義からするとあっているとは思うのですが、なぜだめなのでしょうか？１７は元に含まれていないということなのでしょうか？

No.61294 - 2019/09/12(Thu) 22:30:40

☆ Re: 代数 / ＩＴ

> 例題はそもそもないですね・・・。テキストのみしか配られないので。

授業で説明があったのではないですか？
特に、「可換環Z/54Z」が（類似の環での演算についての）説明なしにいきなり出題されることはないと思います。
>
> 定義からするとあっているとは思うのですが、なぜだめなのでしょうか？１７は元に含まれていないということなのでしょうか？
「1/17 」（という表現）が　問題で対象となっている環の元（を表現するもの）でないということです。

繰り返しになりますが

零因子でない　5,7,11,.... などと17との積を計算して探せば見つかります。

「可換環Z/54Z」での演算が分かっておられないなら　この問題を解くことは無理だと思います。

No.61295 - 2019/09/12(Thu) 22:36:59

☆ Re: 代数 / 代数

ちょっと特殊なのですが...授業というものはなく、テキストとテストのみなので自力で頑張るしかないです。

一つ一つの言葉を理解しつつやっていますが。理解しきれない部分や認識が異なってる場合もあるとは思います。（お手数をかけさせてすみません）

例えば　5×17＝85　の積があるとしたら

1から５３の中で　８５が１になるような値を探すということなのでしょうか？？

No.61296 - 2019/09/12(Thu) 22:51:52

☆ Re: 代数 / ＩＴ

>
> 例えば　5×17＝85　の積があるとしたら
>
> 1から５３の中で　８５が１になるような値を探すということなのでしょうか？？
>

違います。（意味不明です）

「可換環Z/54Z」の（類似含むの）説明はテキストにないのですか？
ないのなら「剰余環」で検索して　その性質を勉強されることをお勧めします。

https://nakano.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2016/07.pdf

No.61297 - 2019/09/12(Thu) 23:17:43

☆ Re: 代数 / 代数

ＩＴさん！ありがとうございます！

またよろしければよろしくお願いします！

No.61299 - 2019/09/13(Fri) 00:16:08

★ (No Subject) / 高校2年

全く関係ないのですが、質問、？相談してもいいですか。真剣に悩んでます。来年から大学受験が控えているのですが、勉強に取り組むことが全くできません。帰宅部で学校が終わったらまっすぐ帰ってきます。その後勉強に取り組もうとしてもネットをしてしまい、寝る時間になってしまいます。何かいい勉強法はありませんか？電車の中で単語を覚えるなども試してみましたが、やはり書かないと覚えることができません。オススメの勉強法、勉強に集中できる方法、などがありましたら、お願いします。自分が学生の頃やっていた勉強法などでも構いませんので、回答よろしくお願いします🥺

No.61261 - 2019/09/11(Wed) 22:39:38

☆ Re: / 数学好きの高校生

回答すべきでないような気もしますが、同学年ということもあり回答します。

まず
「帰宅部で学校が終わったらまっすぐ帰ってきます。その後勉強に取り組もうとしてもネットをしてしまい、寝る時間になってしまいます。」
という箇所についてですが、ネットであてもなくこのような掲示板に勉強法を聞くぐらいならネットを今すぐ断ちましょう。自覚しているようですが、この掲示板は数学の質問をするためのものであって、勉強法を聞くためのものではありません。どうしても勉強法が知りたいということであれば、調べればいくらでも見つかると思います(メンタリストdaigoさんの書籍がおすすめです)が、質問文を読む限りそもそも勉強習慣が身についていないように思われます。これは勉強方法以前の問題です。

経験上、勉強に取り組めない原因としては周囲の環境が主たるものです。スマホやパソコン、散乱した教科書などは集中力を低下させるのできれいに片づけ、机上は勉強に最低限必要なもののみにしましょう。
私も帰宅部ですが、どうしても勉強する気が起こらないときがあります。そんなときは、外に出て軽く運動しましょう。気分がリフレッシュされて勉強しやすくなります。逆に、ネットやゲームはいったん始めると歯止めが利かなくなるので絶対にやめましょう。

最後に繰り返しになりますが、ネットやゲームは時間を制限できないようなら今すぐ縁を切り、適切な勉強習慣を身につけてください。辛辣に感じるかもしれませんが、同い年として忠告しておきます。

金輪際この掲示板にこのような質問はしないでください。

No.61286 - 2019/09/12(Thu) 20:58:51