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★ (No Subject) / しょう
215の群数列の問題です。エオで456項目の数字が30区画内にあるのは分かっているのですがなぜa456＝30となるのでしょうか？
No.60607 - 2019/08/12(Mon) 14:10:19
☆ Re: / らすかる
第1区画の数字は1
第2区画の数字は2つとも2
第3区画の数字は全部3
第4区画の数字は全部4
・・・
第30区画の数字は全部30
だからです。
No.60609 - 2019/08/12(Mon) 15:19:56
☆ Re: / しょう
そういうことですか！ありがとうございます！
No.60611 - 2019/08/12(Mon) 15:37:52
★ 積分 / 蘭
この発展例題1の問題を見てください。

この解き方として、位相ズレを用いてやるらしいのですが、
私が下線をひいたところについて、

??0→π { xsinx/(1+cos^2x)}dxと??0→π {(π-x)sinx/(1+cos^2x)} dxが同じ値(解いている時にIと置いています。）になるのかわかりません。

sinxの前の係数が、問題ではx 自分で作り出したのではπ-xですよね？？

ここを同じ値とみなしていい理由を教えてください、
よろしくお願いします。

(定積分の区間の表し方がわかんなかったです。0→πは区間のことです。)
No.60602 - 2019/08/12(Mon) 12:37:22
☆ Re: 積分 / 蘭
解答です。
No.60603 - 2019/08/12(Mon) 12:38:00
☆ Re: 積分 / 蘭
解答のつづきです
No.60604 - 2019/08/12(Mon) 12:38:33
☆ Re: 積分 / らすかる
解答で正しく置換できているのに、何がわからないのですか？
もしかして
∫[0→π]{(π-t)sint/(1+(cost)^2)}dtを
∫[0→π]{(π-x)sinx/(1+(cosx)^2)}dxにしてよいのはなぜか
という質問ですか？
もしそういう質問でしたら、
定積分の中にある変数で定積分の計算の結果消えてしまうものは
結局どういう文字であっても全く同じ結果になりますので、
どんな文字に変えても構いません。
（積分の外で別の意味で使っている変数でも構いません）
∫[0→π]{(π-x)sinx/(1+(cosx)^2)}dx
∫[0→π]{(π-a)sina/(1+(cosa)^2)}da
∫[0→π]{(π-N)sinN/(1+(cosN)^2)}dN
∫[0→π]{(π-α)sinα/(1+(cosα)^2)}dα
∫[0→π]{(π-Σ)sinΣ/(1+(cosΣ)^2)}dΣ
∫[0→π]{(π-甲)sin甲/(1+(cos甲)^2)}d甲
は全て同じです。

納得しにくければ、例えば
∫[0〜1]{f(x)+g(x)}dx
=∫[0〜1]f(x)dx + ∫[0〜1]g(x)dx
=∫[0〜1]f(x)dx + ∫[0〜1]g(t)dt
のような計算を逆向きにやっているものと考えれば、
少しは納得できるのではないかと思います。

Σの変数も同じですね。
例えば
Σ[k=1〜10]k
=1+2+3+…+10
=10+9+8+…+1
=Σ[k=1〜10](11-k)
は最初のkと後のkは意味が違っていますが、問題ないですよね。
No.60606 - 2019/08/12(Mon) 13:02:36
☆ Re: 積分 / GandB
　らすかるさんの丁寧な説明で理解できたのならいいのだけど、本人がわざわざ赤字で
　　「定積分だから積分変数は何でもよい」
と書いているので、ホントに疑問が解けたのかちょっと気になる（笑）。
No.60614 - 2019/08/12(Mon) 21:29:07
☆ Re: 積分 / 蘭
すみません！ちょっと色々勘違いしてました！

積分変数について悩んでいたのではなくて、Iがなんなのかよくわかってなかったです。自分最近ほんと能力に合わないもんだいをやりすぎて基礎までできなくなってて………。

大変ありがとうございました！
No.60618 - 2019/08/13(Tue) 00:24:40
★ (No Subject) / し
(3)の一番下の行でシグマを使っているのですが
7^n-1 −1/6 ＋ 3^n-1 -1/2ではないのですか？
No.60599 - 2019/08/11(Sun) 18:54:50
☆ Re: / X
教科書の等比数列の和の公式の項目を調べ、
等比数列の和の公式
と
等比数列の一般項
との対応関係を復習しましょう。
No.60600 - 2019/08/11(Sun) 20:10:35
★ 線形代数　べき零行列 / papurika
（１）の A+Bの証明のところで m=r+s-1となぜおけるのかわかりません。
右に書いてある不等式の意味も分かりません。
解説もしくは参考になるサイトなどありましたらよろしくお願いします。
No.60592 - 2019/08/11(Sun) 11:25:40
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
mはr以上、ｓ以上でしょう（ｒ、ｓともに1以上なので）
よってA^mの項は0になります。

積の可換の証明よりr<=sと一時的に仮定します。

k番目の項を　A^(m-k)*B^k トスルと（A^mから数えてｋ番目）
0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

s<= k < mの時は
B^k=B^(s+正数）
　 =B^s * （何か）
　 =0 * (何か)
=0
よって、ｋの存在範囲0からｍで
A^(m-k)*B^k　の項は必ず0になることが示された
よってＡ＋Ｂはべきゼロ
No.60593 - 2019/08/11(Sun) 12:02:03
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
最初の部分は必要ありませんでした。後表示がおかしいので連投します

k番目の項を　A^(m-k)*B^k トスルと（A^mから数えてｋ番目）
0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

s<= k < mの時は
B^k=B^(s+正数）
　 =B^s * （何か）
　 =0 * (何か)
=0
よって、ｋの存在範囲0からｍで
A^(m-k)*B^k　の項は必ず0になることが示された
よってＡ＋Ｂはべきゼロ
No.60594 - 2019/08/11(Sun) 12:03:29
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
最初の部分は必要ありませんでした。後表示がおかしいので連投します。いろいろおかしいので訂正しました

k番目の項を　A^(m-k)*B^k トスルと（A^mから数えてｋ番目）

0＜=ｋ＜ｓの時
m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 より
r+s+1 >= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=でないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

s<= k < mの時は
B^k=B^(s+正数）
　 =B^s * （何か）
　 =0 * (何か)
=0
よって、ｋの存在範囲0からｍで
A^(m-k)*B^k　の項は必ず0になることが示された
よってＡ＋Ｂはべきゼロ
No.60595 - 2019/08/11(Sun) 12:09:22
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
ｍが　r+s-1となぜおけるかというと
べきゼロであると言うことはある回数以上かければそこでゼロになるという状態なので。以上であるので別に
(A+B)^m=0となるのはm=r+s-1だとうまく証明できるだけで
50回掛ければ０になりそうだと思えばｍ=50でやってみるでしょう。
そう思った流れは、少なくともｒ回以上且つｓ階以上掛けないとABは0にならないのでr+sにしたんじゃないかな,,,
私にはこういった発想力はないので良く引っかかってしまいますが
No.60596 - 2019/08/11(Sun) 12:17:43
★ (No Subject) / パンチ
すみません。以前にも同じ問題を投稿させていただいたのですが、まだ自分の中で上手く解決できていません。詳しく解説をしていただけないでしょうか？また、参考文献？となるようなhqがあればURLなどを教え欲しいです。

添付図の解説をお願いします。
答えはエ=1,オ=-,カ=1です。
解説をお願いします。
No.60585 - 2019/08/10(Sat) 23:54:38
☆ Re: / 黄桃
数列で、a[n]=p*a[n-1]+q　で表されるようなものの一般項や極限を求める問題がありますが、それと同じにできます。

det(E-A)≠0 なので、
(E-A)x=e ...(*)
となるベクトルxが存在します。すなわち、
x=Ax+e となっています。
u[n]=Au[n-1]+e から、x=Ax+e を引くと
u[n]-x=A(u[n-1]-x)
となりますから、
u[n]-x=A^n(u[0]-x)
となります。
Aの固有値を計算すると２つとも絶対値が１より小さいので、
(Aの対角化をD=PAP^(-1)とすれば、A^n=P^(-1)D^nP^n で、D^n→0になるから）
A^n→0
になります。
したがって、
u[n]-x→0 (n→∞)
となり、lim u[n]=x です。xは(*)をとけばOKです。

なお、A=(1/√2)R(-π/4) (R(-π/4) は -π/4 の回転行列）
と見えれば、2次の行列の演算は複素数の掛け算に帰着できて、
もとの漸化式は複素数で書けば
v[n]=((1-i)/2) *v[n-1]+1
ですから、数列の場合と同様に計算できます。

あるいは、素朴にやるなら、
u[n]=Au[n-1]+e
=A(A u[n-2]+e)+e
=A^2 u[n-2]+Ae+e
=...
=A^n u[0]+(A^(n-1)+A^(n-2)+...+A+E)e
として、A^n→0 より u[n]→(Σ_[n=0,∞]A^n)e となります(和が収束すれば、ですが）。
Aを対角化してA^nを求め、それから和が計算できるでしょう
（最初の解法はこれを求めるのに、両辺に E-A を掛けた、とみることもできます）。

＃いずれの解法でもA^n→0 になるところが重要です。
No.60590 - 2019/08/11(Sun) 08:13:31
☆ Re: / パンチ
ここまで考えてみました！
ここからどう考えたら良いでしょうか？
No.60679 - 2019/08/15(Thu) 13:58:09
☆ Re: / 黄桃
なぜ、わざわざ一番面倒くさい方法を選ぶのかよくわかりませんが、そこまでわかっているなら、(A')^(4n+1)=(A')^(4n)*A' などと計算できるので、n=4k,4k+1,4k+2,4k+3 の場合に分けて部分和を求めることができるのではないでしょうか。

この先、専門分野で線型代数を使わないのならこの解法でもいいですが、そうでないなら、将来は nxn　行列を扱うことになるので、こうした考え方（成分表示で展開する）しかできないと困ると思います。
No.60729 - 2019/08/17(Sat) 08:38:19
☆ Re: / パンチ
n=4k,4k+1,4k+2,4k+3 の場合に分けて部分和を求めることができるとありますが、どのように考えますか？

あと、出来れば高校数学の範囲で解きたいです。
No.60789 - 2019/08/20(Tue) 18:53:50
☆ Re: / 黄桃
すみません、返事があると思ってませんでした。失礼しました。

A^(4k)=(-1/4)^k*E なら、
A^(4k+1)=(-1/4)^k*A
A^(4k+2)=(-1/4)^k*A^2
A^(4k+3)=(-1/4)^k*A^3

より、
Σ_[n=1,4k-1] A^n
=Σ_[n=0,k-1] (A^(4k)+A^(4k+1)+A^(4k+2)+A^(4k+3))
=Σ_[n=0,k-1] ((-1/4)^k*E+(-1/4)^k*A+(-1/4)^k*A^2+(-1/4)^k*A^3)
=(Σ_[n=0,k-1] (-1/4)^k)(E+A+A^2+A^3)
=(1-(-1/4)^k)/(1+1/4)(E+A+A^2+A^3)
=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)

同様に、
Σ_[n=1,4k] A^n=Σ_[n=1,4k-1] A^n+A^(4k)=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)+(-1/4)^k*E
Σ_[n=1,4k+1]A^n=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)+(-1/4)^k*E+(-1/4)^k*A
Σ_[n=1,4k+2]A^n=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)+(-1/4)^k*E+(-1/4)^k*A+(-1/4)^k*A^2
となるので、nが 4k,4k+1,4k+2, 4k+3(=4(k+1)-1) のいずれであっても、n→∞とすれば、残るのは、
(4/5)(E+A+A^2+A^3)
の部分です。


>あと、出来れば高校数学の範囲で解きたいです。
今の高校では行列はやらないのでは？
その代わりに複素数平面をやっているので、高校数学の範囲にするのなら、
このような2x2行列を掛けることと複素数平面で複素数(1/2)-(1/2)i をかけることは同じ、
ベクトル(1,0)を足すことは複素数平面では1を足すことに対応する、
ことから、
a[n]=(1-i)/2*a[n-1]+1
という漸化式で定まる複素数平面上の点a[n]とベクトルv[n]が対応します（a[n]=x+iy に対して、v[n]=(x,y))。
なので、これで計算するのが高校数学らしいのではないでしょうか。
No.60899 - 2019/08/24(Sat) 12:01:37
★ (No Subject) / たけまる
この問題で、y'≧0と置いた後に解説では判別式を使って解いているのですが、よくわからないので他の解き方があればそれか、判別式を使った解き方について詳しく教えて欲しいです。
No.60583 - 2019/08/10(Sat) 22:41:33
☆ Re: / らすかる
ここに「判別式を使った解き方について詳しく」書いたとしても、
解説と同じ説明になってしまってわからない可能性がありますので、
解説の内容をここに書いて、そのどの部分がわからないかを
具体的に質問した方がよいと思います。

というわけで「判別式を使った解き方」の説明は無駄になる可能性がありますので
他の解き方を書きます。
x^3+(p+1)x^2+p^2x+1でt=x+(p+1)/3とおいて
x=t-(p+1)/3を代入して整理すると
t^3+{(2p^2-2p-1)/3}t-(7p^3+3p^2-6p-29)/27
つまり
x^3+(p+1)x^2+p^2x+1
を((p+1)/3,(7p^3+3p^2-6p-29)/27)平行移動すると
y=x^3+{(2p^2-2p-1)/3}x
という、点対称の中心が原点である三次関数のグラフになります。
このときx＞0で下に凸、x＜0で上に凸ですから、
x=0における微分係数が0以上であれば単調増加になります。
y'=3x^2+(2p^2-2p-1)/3にx=0を代入すると(2p^2-2p-1)/3なので、
(2p^2-2p-1)/3≧0が問題の条件を満たすpの式となり、
これを解いて p≦(1-√3)/2, (1+√3)/2≦p が答えとなります。
No.60584 - 2019/08/10(Sat) 23:18:48
★ Parrotの問題の可解条件の証明 / 石
この掲示板を使うのが初めてで失礼があったら申し訳ありません。
線形行列不等式（LMI）の勉強をしているのですが、引っかかってしまったので質問させていただきます。

与えられた行列A,B,Cとスカラーrに対し次の条件は等価である。
(1）exist K s.t. ||A+BKC||<r
(2) ||APc||<r,||PbA||<r
(ただし、Pc=I-(C+)C , Pb=I-B(B+)とする。）

次の過程は必要ないみたいですが、この過程は必要な気がします。
B+は行フルランクとみたムーアペンローズ逆行列
B+=(BtB)(-1)Bt
C+は列フルランクとみたムーアペンローズ逆行列
C+=Ct(CCt)(-1)

この仮定の下で添付した画像の下から2つ目までの式は理解できたのですが、

||A+BKoC||<1
と(かけ算が見にくいので＊を挟みました)
(I-Pb*A*At*Pb)+(B*B+*A*Pc*(I-PC*At*A*Pc)(-1)*Pc*At*B*B+>0
が同値である事がどう変形させてもできませんでした。
かなりめんどくさい問題ですが、どなたか教えていただけると幸いです。

参考にしている本は
LMIと制御　岩崎徹也　（絶版しています）　です。
No.60577 - 2019/08/10(Sat) 10:46:20
☆ Re: Parrotの問題の可解条件の証明 / 石
訂正します
次の仮定は必要ないみたいですが、この仮定は必要な気がします。
B+は列フルランクとみたムーアペンローズ逆行列
B+=(BtB)(-1)Bt
C+は行フルランクとみたムーアペンローズ逆行列
C+=Ct(CCt)(-1)

列と行を間違えました
No.60578 - 2019/08/10(Sat) 10:59:37
★ (No Subject) / なす
∫[0→π/4]xdx/（sin2x+cos^2x） これ計算してほしい
No.60573 - 2019/08/10(Sat) 00:08:50
☆ Re: / なす
すみませんcos^2xではなく、2cos^xでした。cos^2xの係数に2がつきます
No.60574 - 2019/08/10(Sat) 00:25:44
☆ Re: / らすかる
∫[0〜π/4]x/(sin2x+2(cosx)^2) dx
=∫[0〜π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
=(1/2)∫[0〜π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
　+(1/2)∫[0〜π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
=(1/2)∫[0〜π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
　+(1/2)∫[π/4〜0](π/4-t)/(sin(π/2-2t)+cos(π/2-2t)+1) (-dt)
　（t=π/4-xとおいた）
=(1/2)∫[0〜π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
　+(1/2)∫[0〜π/4](π/4-x)/(sin2x+cos2x+1) dx
=(π/8)∫[0〜π/4]1/(sin2x+cos2x+1) dx … (※)
=(π/8)[log(tanx+1)/2][0〜π/4]
=πlog2/16

(※)の不定積分は
∫1/(sin2x+cos2x+1) dx
=∫1/(2sinxcosx+2(cosx)^2) dx
=(1/2)∫1/{(cosx)(sinx+cosx)} dx
=(1/2)∫{1/(cosx)^2}/{(sinx+cosx)/(cosx)} dx
=(1/2)∫{1/(cosx)^2}/(tanx+1) dx
=(1/2)∫{tanx+1}'/(tanx+1) dx
=log|tanx+1|/2+C
No.60576 - 2019/08/10(Sat) 02:35:19
★ 定積分の不等式の証明問題 / YUKI
定積分の不等式の証明問題について教えてほしいです。

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
∫[1,n]log(x) dx＜log1＋log2＋…＋logn＜logn＋∫[1,n]log(x) dx を証明せよ。（大阪大学 改）

という問題なのですが、この問題って中辺はn-1個の長方形の面積の和で

ｙ＝log(x)とｙ＝log(x+1)のグラフを書けば図より明らかになってしまいます。

しかし、グラフはイメージなので分かりやすい反面、限りがある範囲しか図示できず、正確性に欠けると思います。


もっと良い証明方法が分かる方おられましたら、何卒ご教授いただけないでしょうか？よろしくお願いします。
No.60569 - 2019/08/09(Fri) 22:40:38
☆ Re: 定積分の不等式の証明問題 / ＩＴ
logx は　x＞0で狭義単調増加なので
自然数i、実数xについて、i＜x＜i+1 ならば　logi ＜ logx ＜ log(i+1)
よって,　log(i)=∫[i,i+1]log(i) dx＜∫[i,i+1]log(x) dx＜∫[i,i+1]log(i+1) dx=log(i+1)
・・・
・・・

のように記述すれば良いのでは。
No.60570 - 2019/08/09(Fri) 23:04:45
☆ Re: 定積分の不等式の証明問題 / X
横から失礼します。

間に平均値の定理を挟む方針でもできます。
自然数kに対して平均値の定理により
logc=∫[k→k+1]logxdx (A)
k＜c＜k+1 (B)
なるcが存在します。
ここでxの関数logxは単調増加ですので
(B)より
logk＜logc＜log(k+1)
これに(A)を代入して
logk＜∫[k→k+1]logxdx＜log(k+1)
つまり
logk＜∫[k→k+1]logxdx (C)
∫[k→k+1]logxdx＜log(k+1) (D)

(C)より
Σ[k=1〜n-1]logk＜Σ[k=1〜n-1]∫[k→k+1]logxdx
∴
Σ[k=1〜n-1]logk＜∫[1→n]logxdx
となるので
Σ[k=1〜n]logk＜logn+∫[1→n]logxdx (C)'

(D)より
Σ[k=1〜n-1]∫[k→k+1]logxdx＜Σ[k=1〜n-1]log(k+1)
∴∫[1→n]logxdx＜Σ[k=2〜n]logk=Σ[k=1〜n]logk (D)'
(∵)log1=0

(C)'(D)'より
∫[1→n]logxdx＜Σ[k=1〜n]logk＜logn+∫[1→n]logxdx
No.60571 - 2019/08/09(Fri) 23:47:40
☆ Re: 定積分の不等式の証明問題 / YUKI
お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。　
No.60622 - 2019/08/13(Tue) 04:20:59
★ (No Subject) / モンゴル
(s-t)^2=1-2vとしないのですか？(s+t=u, st=vとします。)
問題は次レスではります。
No.60566 - 2019/08/09(Fri) 19:33:07
☆ Re: / モンゴル
こちらの問題です。
No.60567 - 2019/08/09(Fri) 19:33:28
☆ Re: / ＩＴ
数学の問題を解くには、いろいろな道筋があります。

(s-t)^2=1-2v として、やれるところまで御自分でやってみられたらどうですか？
No.60568 - 2019/08/09(Fri) 20:38:02
☆ Re: / モンゴル
実は1-2vとしてやってもうまくいきませんでした。どっかで間違えたなかもしれません。

こう考えること自体が間違いではないですか？
No.60579 - 2019/08/10(Sat) 12:55:05
☆ Re: / らすかる
u^2-4vでも1-2vでも同じ値なのですから、
1-2vとしたことで遠回りすることはあっても
「1-2vとすると間違い」ということはないと思います。
（結局どこかで1-2vをu^2-4vにすれば、解説と同じように解けるはずです）
No.60582 - 2019/08/10(Sat) 17:57:14
☆ Re: / モンゴル
ありがとうございます。
個人的には文字を2つ使って表すより、1-2vの方が楽だと感じたので、1-2vで表しました。

しかし、同じ値のはずなのに、答えが最後まで導けないのです。

回答のやり方は、最終的にはすべての条件をuの式にして、xの条件を求めます。

この方針では、1-2vとしたとしても、vをuの式で表せば正答は導けますよね。計算が合わないのはどこか違うところにミスがあると思いたいのですがわかりません。
No.60589 - 2019/08/11(Sun) 07:55:42
☆ Re: / らすかる
> どこか違うところにミスがあると思いたいのですがわかりません。
途中計算を書いて頂かないと、どこが悪いのかは誰にもわかりません。
No.60591 - 2019/08/11(Sun) 08:59:29
★ 質問お願いします。 / しょう
72番のエオについてです。解答ではa215は第21区画の項であるからa215＝21とあるのですが、21区画の項であるというのはどこから分かるのでしょうか？
No.60564 - 2019/08/09(Fri) 18:25:11
☆ Re: 質問お願いします。 / X
a[215]が第n区画の項であるとすると、条件から
Σ[k=1〜n-1]k=(1/2)n(n-1)＜215≦(1/2)n(n+1)=Σ[k=1〜n]k
∴
(1/2)n(n-1)＜215 (A)
215≦(1/2)n(n+1) (B)
(A)(B)をnについての連立不等式として解きます。
No.60572 - 2019/08/09(Fri) 23:50:50
☆ Re: 質問お願いします。 / ast
直前で20区画までのアイウ項を数えてるのに, その数項後であるa[215]が21区画目にあると見当つかないのはまずいのでは……??
No.60575 - 2019/08/10(Sat) 01:19:44
☆ Re: 質問お願いします。 / X
>>astさんへ
確かにその通りですね。

>>しょうさんへ
ごめんなさい。この問題に関してはastさんの
仰る通りです。
直前のアイウが210と分かっており、次の21区画の
末項の項数が
210+21=221
つまり
210＜215＜221
ですのでa[215]は第21区画だと分かります。

ちなみにNo.60572での私の方針は、この問題
のような誘導がない場合の方針です。
No.60580 - 2019/08/10(Sat) 15:49:30
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
あ、そうですね！簡単な事でしたね！すみません！ありがとうございます！
No.60601 - 2019/08/12(Mon) 11:53:11
★ 高3駿台 / りょ
よろしくお願いします
No.60563 - 2019/08/09(Fri) 17:46:06
☆ Re: 高3駿台 / ＩＴ
tan∠POQ　をk,p で表し、それの最大値を求め
sin∠POQ　の最大値を求めれば良いのでは？
No.60565 - 2019/08/09(Fri) 18:49:27
★ 集合と論証 / 蘭
東京工業大学の過去問だと思うのですが…

nを自然数、P(x)をn次の多項式とする。P(0)、P(1)……、P(n)が全て整数ならば、全ての整数kに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。


と言う問題がわかりません、よろしくお願いします。
No.60560 - 2019/08/09(Fri) 10:28:58
☆ Re: 集合と論証 / らすかる
問題文をそのまま検索すると
↓こういうページが見つかります。
http://kubojie.net/PDF/titech1993A-4Ans.pdf
No.60561 - 2019/08/09(Fri) 12:24:47
☆ Re: 集合と論証 / 蘭
ありがとうございました！
No.60619 - 2019/08/13(Tue) 00:25:02
★ 二直線 / kitano
識者の方に質問です。

私の解法のどこに間違いがあるのか教えて下さい。

問題

10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0 が二直線を表すときのkの値を求めよ
ただしkは整数とする

私の考え方

https://imgur.com/a/5ZHxRMk

※ 完全平方数を考える策は知っています。

何卒宜しく御願い致します。
No.60558 - 2019/08/09(Fri) 07:56:09
☆ Re: 二直線 / らすかる
4行目までしか読んでいませんが
ac'=-9は違いますね。
xの項の係数はac'+ca'です。
同様にbc'=-4も誤りで、
正しくはbc'+cb'=-4ですね。
No.60559 - 2019/08/09(Fri) 09:32:11
★ (No Subject) / クレープ
お願いします。

積分しようにも、交点の座標がでず、どうにもできません。
No.60550 - 2019/08/08(Thu) 21:37:12
☆ Re: / ＩＴ
y=ax+3 は、定点A(0,3)を通ります｡
y=e^-x とy=ax+3との2つの交点を P(s,as+3),Q(t,at+3) (s<t)とすると、直観的にはPA=AQ のときに 面積は最小になりそうですね.
（ aが変化してy=ax+3が回転すると
　増える部分の面積＜減る部分の面積　のとき　面積減少
　増える部分の面積＞減る部分の面積　のとき　面積増加
　　となります。）

PA=AQ のとき s=-t なので　e^t=a(-t)+3,e^(-t)=at+3
∴e^t+e^(-t)=6 ∴　e^t=3+√8 ,t=log(3+√8)
a=-(e^t-3)/t=-√8/log(3+√8)
No.60552 - 2019/08/08(Thu) 22:23:52
☆ Re: / 関数電卓
交点の座標が出なくても計算できるのですよ！！！

交点座標をα, β(α＜0＜β) とすると、α,βは方程式 e^(-x)＝ax＋3 の解で、a の関数 ……(1) です。
また、囲まれた面積 S は
　S＝∫[α,β](ax＋3−e^(-x))dx ……(2)
です。さらに、S は a の関数で、S を最小にする a に対し、dS/da＝0 (必要条件) です。

(1)に注意し(2)の dS/da を作ると、ア！ と驚くことが起きます。

もったいぶるわけではありませんが、この後ご自分でやってみてください。IT さんのコメントが納得できるはずです。
No.60554 - 2019/08/08(Thu) 23:04:21
☆ Re: / らすかる
> a=-(e^t-3)/t=-√8/log(3+√8)

3+√8=(1+√2)^2, 1/(1+√2)=√2-1なので
-√8/log(3+√8)=-2√2/{2log(1+√2)}=-√2/log(1+√2)=√2/log(√2-1)
と少し綺麗な形にできますね。
No.60556 - 2019/08/09(Fri) 00:18:44
★ (No Subject) / なす
x^2/(2^x+1)の区間-1から1までの定積分ってどうするんですか？
No.60546 - 2019/08/08(Thu) 19:53:57
☆ Re: / X
I=∫[-1→1]{(x^2)/(2^x+1)}dx
とします。
ここで
x=-t
と置くと
I=-∫[1→-1]{(t^2)/(1/2^t+1)}dt
=∫[-1→1]{(2^t)(t^2)/(2^t+1)}dt
=∫[-1→1]{t^2-(t^2)/(2^t+1)}dt
=∫[-1→1](t^2)dt-I
∴I=(1/2)∫[-1→1](t^2)dt=1/3
となります。
No.60551 - 2019/08/08(Thu) 22:14:13
☆ Re: / X
別解)
∫[-1→1]{(x^2)/(2^x+1)}dx
=∫[-1→0]{(x^2)/(2^x+1)}dx+∫[0→1]{(x^2)/(2^x+1)}dx (A)
(A)の第一項においてx=-tと置くと
(A)=-∫[1→0]{(t^2)/(1/2^t+1)}dt+∫[0→1]{(x^2)/(2^x+1)}dx
=∫[0→1]{(2^t)(t^2)/(2^t+1)}dt+∫[0→1]{(x^2)/(2^x+1)}dx
=∫[0→1]{(2^x)(x^2)/(2^x+1)}dx+∫[0→1]{(x^2)/(2^x+1)}dx
=∫[0→1]{(2^x)(x^2)/(2^x+1)+(x^2)/(2^x+1)}dx
=∫[0→1](x^2)dx
=1/3
No.60562 - 2019/08/09(Fri) 14:31:00
★ (No Subject) / モンゴル
この問題の解説の、「ORの傾きが-1/√2」という記述がよくわかりません。なぜですか？解説は次のレスで載せます。
No.60543 - 2019/08/08(Thu) 19:19:54
☆ Re: / モンゴル
解答はこちらです。
No.60544 - 2019/08/08(Thu) 19:20:17
☆ Re: / らすかる
PQ⊥ORだからです。
傾きがaの直線に直交する直線の傾きは-1/aです。
No.60545 - 2019/08/08(Thu) 19:47:13
☆ Re: / モンゴル
理解できました。ありがとうございます。
No.60557 - 2019/08/09(Fri) 06:11:14
★ 数学lについての質問です。 / qqqqq777jt
「３乗根の２+１１i」は「２+i」である。
その計算方法を教えてください。よろしくお願いします。

ただしサインコサインタンジェントを使わずにです。
ではよろしくお願いします
No.60537 - 2019/08/08(Thu) 15:07:17
☆ Re: 数学lについての質問です。 / qqqqq777jt
> 「３乗根の２+１１i」は「２+i」である。
> その計算方法を教えてください。よろしくお願いします。
>
> ただしサインコサインタンジェントを使わずにです。
> ではよろしくお願いします

大至急よろしくお願いします。
No.60538 - 2019/08/08(Thu) 15:08:26
☆ Re: 数学lについての質問です。 / らすかる
(x+iy)^3=2+11i（x,yは実数）とおくと明らかにxy≠0
この式を展開して整理すると
(x^3-3xy^2-2)+(3x^2y-y^3-11)i=0なので
x^3-3xy^2-2=0 … (1)
3x^2y-y^3-11=0 … (2)
(1)から y^2=(x^3-2)/(3x) … (3)
(2)から
y^2(3x^2-y^2)^2=121
(3)を代入して整理すると
(x-2)(x^2+2x+4)(4x^2+8x+1)(16x^4-32x^3+60x^2-8x+1)=0 … (4)
x-2=0の実数解はx=2
x^2+2x+4=(x+1)^2+3=0は実数解を持たない
4x^2+8x+1=0の実数解はx=(-2±√3)/2
16x^4-32x^3+60x^2-8x+1=16x^2(x-1)^2+28x^2+(4x-1)^2=0は実数解を持たない
従って(4)の実数解はx=2,(-2±√3)/2
(1)から
x=2のときy=±1
x=(-2+√3)/2のときy=±(1+2√3)/2
x=(-2-√3)/2のときy=±(1-2√3)/2
(x,y)=(2,1),(2,-1),((-2+√3)/2,(1+2√3)/2),((-2+√3)/2,-(1+2√3)/2),
((-2-√3)/2,(1-2√3)/2),((-2-√3)/2,-(1-2√3)/2)
のうち、(x+iy)^3=2+11iを満たすのは
(x,y)=(2,1),((-2+√3)/2,-(1+2√3)/2),((-2-√3)/2,-(1-2√3)/2)の3組
まとめると
(x,y)=(2,1),((-2±√3)/2,-(1±2√3)/2)　（複号同順）
従って「3乗根の2+11i」は
2+i, {(-2±√3)-(1±2√3)i}/2　（複号同順）
の3つ。

# 問題が「３乗根の２+１１iは？」ならば
# 「2+i」では不正解です。
# 解は3個ありますので3個とも答えなければいけません。
No.60539 - 2019/08/08(Thu) 16:35:15
☆ Re: 数学lについての質問です。 / らすかる
別解
x=2+11iとすると
x-2=11i
(x-2)^2=-121
x^2-4x+125=0
となるので2+11iはx^2-4x+125=0の解
従って2+11iの3乗根はx^6-4x^3+125=0の解
もしx^6-4x^3+125が(x^2+ax+5)(x^2+bx+5)(x^2+cx+5)
という形に因数分解できたとすると
(x^2+ax+5)(x^2+bx+5)(x^2+cx+5)
=x^6+(a+b+c)x^5+(ab+bc+ca+15)x^4+(10(a+b+c)+abc)x^3
　+(75+5(ab+bc+ca))x^2+25(a+b+c)x+125
なので
a+b+c=0, ab+bc+ca+15=0, 10(a+b+c)+abc=-4
よってa+b+c=0,ab+bc+ca=-15,abc=-4なので
a,b,cはt^3-15t+4=0の3解
t^3-15t+4=(t+4)(t^2-4t+1)=0から
t=-4,2±√3なので
x^6-4x^3+125=0は実数範囲で
(x^2-4x+5)(x^2+(2-√3)x+5)(x^2+(2+√3)x+5)=0
のように因数分解できることがわかる。
x^2-4x+5の解はx=2±i
x^2+(2-√3)x+5=0の解はx=(-2+√3)±i√(13+4√3)=(-2+√3)±(1+2√3)i
x^2+(2+√3)x+5=0の解はx=(-2-√3)±i√(13-4√3)=(-2-√3)±(1-2√3)i
この6解をそれぞれ3乗すると、3乗して2+11iになるのは
2+i, {(-2+√3)-(1+2√3)i}/2, {(-2-√3)-(1-2√3)i}/2
の3つ。
従って2+11iの3乗根は
2+i, {(-2±√3)-(1±2√3)i}/2　（複号同順）
の3個。
No.60548 - 2019/08/08(Thu) 20:11:27
★ 整数問題 / 蘭

( a+b√x )^n がAn+Bn√x と表せるとしたら、
( a+b√x )^nがAn−Bn√x になる

と言う証明を数学的帰納法でやる答えを教えてください！
No.60535 - 2019/08/08(Thu) 14:14:14
☆ Re: 整数問題 / らすかる
> ( a+b√x )^n がAn+Bn√x と表せるとしたら、
> ( a+b√x )^nがAn−Bn√x になる
ではなく
> ( a+b√x )^n がAn+Bn√x と表せるとしたら、
> ( a−b√x )^nがAn−Bn√x になる
ですよね？

(略解)
n=1のとき(a+b√x)^1=a+b√x, (a-b√x)^1=a-b√xなので成り立つ。
n=kのとき成り立つとすると
(a+b√x)^k=A[k]+B[k]√x
(a-b√x)^k=A[k]-B[k]√x
このとき
(a+b√x)^(k+1)=(a+b√x)^k・(a+b√x)
=(A[k]+B[k]√x)(a+b√x)=(aA[k]+bxB[k])+(aB[k]+bA[k])√x
(a-b√x)^(k+1)=(a-b√x)^k・(a-b√x)
=(A[k]-B[k]√x)(a-b√x)=(aA[k]+bxB[k])-(aB[k]+bA[k])√x
となりk+1のときも成り立つ。
No.60536 - 2019/08/08(Thu) 15:06:10
☆ Re: 整数問題 / 蘭
そうです！
問題の意図汲み取ってもらってすみません！
助かりました(*☻-☻*)ありがとうございました！
No.60540 - 2019/08/08(Thu) 16:36:55
★ 数列の極限値 / 美雪
区間[a,b]において

f’’(x)>0かつf(a)<0かつf(b)

ならば、

x_1=b

x_(n+1)=x_n-f(x_n)/f’(x_n) (n=1,2,3,…)

で定められる数列{x_n}は単調減少数列で、f(x)=0の解αに収束することを示せ。必要なら、『有界な単調列は収束する』という事実を用いよ。

よろしくお願いします。
No.60528 - 2019/08/07(Wed) 22:44:29
☆ Re: 数列の極限値 / らすかる
> f’’(x)>0かつf(a)<0かつf(b)
この行がおかしいです。
もしf(b)の直後に半角の「＜」を使われているようでしたら
全角に直せば正しく表示されると思います。
No.60529 - 2019/08/07(Wed) 22:50:00
☆ Re: 数列の極限値 / 美雪
らすかる様

大変失礼しました。

正しくは

f’’(x)>0かつf(a)<0かつf(b)>0

です。

これでよろしくお願いします。
No.60547 - 2019/08/08(Thu) 20:01:55
☆ Re: 数列の極限値 / らすかる
x[n]-f(x[n])/f'(x[n])とは
「y=f(x)上の点(x[n],f(x[n]))におけるf(x)の接線とx軸の交点のx座標」
という意味になりますが、
条件から区間(α,b)でf'(x)＞0、f''(x)＞0であるため、
α＜x[n]-f(x[n])/f'(x[n])＜x[n]となります。
よってこの数列は任意のkに対してx[k]＞αすなわち下に有界である
単調減少数列なので収束します。
収束値は、x[n+1]=x[n]-f(x[n])/f'(x[n])でx[n]=x[n+1]とすれば
f(x[n])=0となることから、f(x)=0の解αに収束することが言えます。
No.60549 - 2019/08/08(Thu) 20:25:18
☆ Re: 数列の極限値 / 美雪
ありがとうございました！
No.60581 - 2019/08/10(Sat) 17:32:52
☆ Re: 数列の極限値 / 美雪
らすかる様

失礼します。改めて読み返したらよくわからないところがありました。

4行目の(a,b)でf’(x)>0はなぜいえるのでしょうか？

5行目のα<x_n-f(x_n)/f’(x_n)の部分もよくわからないです。4行目とのつながりがわからないです。

詳しく教えていただけないでしょうか？
No.60587 - 2019/08/11(Sun) 04:08:37
☆ Re: 数列の極限値 / らすかる
> 4行目の(a,b)でf’(x)>0はなぜいえるのでしょうか？
「(a,b)でf’(x)＞0」は言えません。
私が書いたのは
「(α,b)でf’(x)＞0」です。
つまり「エーからビーの区間」ではなく「アルファからビーの区間」です。
これならば次の質問も含めて理解できるのではありませんか？
No.60588 - 2019/08/11(Sun) 07:34:43
☆ Re: 数列の極限値 / 美雪
らすかる様

失礼します。

f’(α)≦0とすると、f’(x)は単調増加なので、a≦x<αのとき、f’(x)<0となりますが、すると区間[a、α]で、f(x)は減少しますが、f(a)<0=f(α)であり、矛盾します。したがって、f’(α)>0なので、α<x<bではf’(x)>0になる、ということでしょうか？

α<x_n-f(x_n)/f’(x_n)の部分がいくら考えてもわからないです。4行目とどうつながるのですか？
No.60597 - 2019/08/11(Sun) 18:27:40
☆ Re: 数列の極限値 / らすかる
> したがって、f’(α)>0なので、α<x<bではf’(x)>0になる、ということでしょうか？
その通りです。

> α<x_n-f(x_n)/f’(x_n)
f(x)は下に凸ですから、(x[n],f(x[n]))における接線を引くと
接線は(x[n],f(x[n]))以外ではf(x)より下にありますよね。
ということは、その接線とx軸の交点のx座標である
x[n]-f(x[n])/f’(x[n])においても、接線よりf(x)の方が上にあり、
αはその交点よりも左側にあります。
4行目とのつながりは、
f’(x)＞0かつf’’(x)＞0 という条件によって
「αが接線とx軸との交点よりも左側にある」と言えるためです。
もしf’(x)＜0かつf’’(x)＞0だとしたら、αは接線とx軸との交点よりも
右側にあることになり、α＞x[n]-f(x[n])/f’(x[n])となりますので、
「α＜x[n]-f(x[n])/f’(x[n])」と言うためには「f’(x)＞0」という条件が必要です。
No.60598 - 2019/08/11(Sun) 18:53:27
☆ Re: 数列の極限値 / 美雪
ありがとうございました！今度こそ本当にわかりました！
No.60612 - 2019/08/12(Mon) 20:26:14
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