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★ (No Subject) / 鳥
定義域が与えられた二次関数で
例えば最大値が 6 より小さい数の定義域のときは 最大値なし
とする理由がわかりません
やさしく教えてくれませんでしょうか？
No.61171 - 2019/09/05(Thu) 15:56:37
☆ Re: / ヨッシー
これだけでは伝わりません。
具体的に、こういう問題で、こんなふうに書いてありますが、それはなぜですか？
と書いてください。

多分、その問題のときは「最大値なし」でも、それ以外の問題ではそうはならないと思います。
No.61172 - 2019/09/05(Thu) 16:00:50
☆ Re: / らすかる
例えばf(x)=x^2+xで定義域が1＜x＜2のとき3＜f(x)＜6
このような場合に「f(x)は最大値なし」の理由ですか？
それは、「f(x)の最大値はMである」と言えるようなMが存在しないからです。
No.61173 - 2019/09/05(Thu) 16:01:09
☆ Re: / 鳥
ヨッシー さん
失礼しました
以下の?Aの二次関数で 最大値がなし となる理由が知りたいです。
?@y=x^2 定義域0≦x≦6 の 最大値は36
?Ay=x^2 定義域0≦x<6 の 最大値はなし

らすかる さん
「f(x)の最大値はMである」と言えるようなMが存在しないから
最大値なし とするのは分かりましたありがとうございます。
要は 最大値M は 値 なので範囲で答えるのは駄目だよと言う事ですよね。

たんに決まりとして覚えてしまえば簡単なのですが、
最大値 36より小さい数 と言えなくもないような気がするのがなんとなく
喉につっかえるので何か明確な理由付けが出来ればよりよいなと思ったのです。
No.61178 - 2019/09/06(Fri) 14:49:45
☆ Re: / らすかる
> 何か明確な理由付けが出来ればよりよいなと思ったのです。
「最大値はM」と具体的な値を言えるものかどうかで決まります。
36より少し小さいどんな数をMとしても、
Mと36の数の間に別の数がありますので、
Mは最大値ではありません。
従って「最大値はM」と言えるような具体値Mが存在しませんので、
「最大値なし」となります。
0≦y＜36 の36は「最大値」ではありませんが「上限」であり、
これは大学数学で習います。
（最大値が存在する場合はそれが上限です）
No.61179 - 2019/09/06(Fri) 19:47:07
☆ Re: / 鳥
らすかる さん
なるほど、「0≦y<36の値域の上限」 のような言い方が用意されているのですね
すっきりしました ありがとうございます
No.61185 - 2019/09/07(Sat) 01:42:56
★ (No Subject) / 太田
⑵で、全場合の数から女子が隣り合う場合の数を引く方法を考えて、5040-2×6！=3600となったのですが何が違うのでしょうか。
No.61168 - 2019/09/05(Thu) 14:25:56
☆ Re: / らすかる
女子が隣り合う場合の数は2×6!ではありません。
3人かたまるのが5!×3!=720通り
2人と1人に分かれるのが4!×5P2×3P2=2880通りなので
隣り合う場合の数は720+2880=3600通りです。
No.61170 - 2019/09/05(Thu) 14:56:34
★ 行列 整数 / もーちゃん
高校範囲ではない行列の問題です。
行列の計算方法などは教わっているので、この問題は整数の問題である事はわかりました。しかし、(3)がどうしてもわかりません。(1) (2)の結果をどのように使えば良いのでしょうか。よろしくお願いします。
No.61166 - 2019/09/05(Thu) 07:33:31
☆ Re: 行列 整数 / らすかる
とりあえず(1)(2)を無視すると

X=
(a b)
(c d)
Y=
(e f)
(g h)
とすると、YX=Aから
ae+cf=9 … (a)
be+df=4 … (b)
ag+ch=3 … (c)
bg+dh=2 … (d)
XY=Bから
ae+bg=10 … (e)
af+bh=2 … (f)
ce+dg=2 … (g)
cf+dh=1 … (h)

c,d,f,hが全て1以上とすると(h)が成り立たないので、c,d,f,hのうち少なくとも一つは0
c=0のとき(c),(g)からag=3,dg=2なのでg=1,d=2だが、(h)からdh=1なので不適
d=0のとき(h)からc=f=1、(g)からe=1、(b)からb=4となるが、(d)からbg=2なので不適
f=0のとき(a),(b)からae=9,be=4なのでe=1,b=4だが、(f)からbh=2なので不適
h=0のとき(c),(d)からag=3,bg=2なのでg=1,a=3だが、(f)からaf=2なので不適
よってどの場合も不適なので、条件を満たすX,Yは存在しない。
No.61169 - 2019/09/05(Thu) 14:49:55
★ 高校数学 確率 / もーちゃん
確率の問題で、(3) 以降がわかりません。どなたかよろしくお願いします。
No.61162 - 2019/09/04(Wed) 23:27:06
☆ Re: 高校数学 確率 / らすかる
(3)
どちらかが2回多く勝てば終了ですから、
ちょうど2n回でAが金貨4枚を手にするためには
最初の2回で1勝1敗、次の2回も1勝1敗、その次の2回も1勝1敗、…
で2n-1回目と2n回目がAの勝利となっていなければなりません。
2回の対戦で1勝1敗になる確率は2p(1-p)ですから、
P[2n]={2p(1-p)}^(n-1)・p^2となります。
(4)
S[n]=Σ[k=1〜n]P[2k]
=Σ[k=1〜n]{2p(1-p)}^(k-1)・p^2
=(p^2)Σ[k=0〜n-1]{2p(1-p)}^k
=(p^2){1-(2p(1-p))^n}/{1-2p(1-p)}
=(p^2){1-(2p(1-p))^n}/(1-2p+2p^2)
(5)
S=lim[n→∞]S[n]
=lim[n→∞](p^2){1-(2p(1-p))^n}/(1-2p+2p^2)
=p^2/(1-2p+2p^2)
p-S=p-p^2/(1-2p+2p^2)=p(1-p)(1-2p)/(1-2p+2p^2)
条件からp＞0,1-p＞0,1-2p+2p^2＞0なので
1-2p=0すなわちp=1/2のときp-S=0すなわちp=S
1-2p＜0すなわちp＞1/2のときp-S＜0すなわちp＜S
1-2p＞0すなわちp＜1/2のときp-S＞0すなわちp＞S

# 計算は御確認下さい。
No.61164 - 2019/09/05(Thu) 00:27:01
☆ Re: 高校数学 確率 / もーちゃん
ありがとうございます！理解できました！
No.61165 - 2019/09/05(Thu) 07:16:46
★ 高校2数学B / 龍
78番の問題です。2枚目の解説の赤線を引いた部分なのですが、
なぜこの2つを比べたのかがよくわかりません。この2つを比べるときの式がなぜ2(3k +1)が前に来るとわかるのかがわかりません。解説をわかりやすくお願いします🥺
No.61154 - 2019/09/04(Wed) 20:35:20
☆ Re: 高校2数学B / 龍
解説です
No.61155 - 2019/09/04(Wed) 20:35:54
☆ Re: 高校2数学B / ＩＴ
> なぜこの2つを比べたのかがよくわかりません

2^(k+1)>3(k+1)+1 を示したい。

数学的帰納法の仮定から
　2^(k+1)>2(3k+1) が分かっているので、

2(3k+1)>3(k+1)+1 が示せればいいからです｡
No.61156 - 2019/09/04(Wed) 21:05:48
☆ Re: 高校2数学B / ＩＴ
>この2つを比べるときの式がなぜ2(3k +1)が前に来るとわかるのかがわかりません

質問の意味が明確には分からないので、的外れな回答かも知れませんが、

どちらが前でも構いません。両者の差を調べて大小関係が分かります。
No.61157 - 2019/09/04(Wed) 21:14:10
☆ Re: 高校2数学B / 龍
ありがとうございます。もう一度よく考えてます
No.61209 - 2019/09/08(Sun) 15:44:52
★ 質問お願いします。 / しょう
3番なのですが、CとPを同時に使って解く考えが分かりにくいです。解説お願いします。
No.61146 - 2019/09/04(Wed) 17:52:44
☆ Re: 質問お願いします。 / ＩＴ
> 3番なのですが、CとPを同時に使って解く考えが分かりにくいです。解説お願いします。

どんな解答ですか？　その解答が分からなければその解答の解説も出来ませんし、その解法より分かり易い解法の提案も出来ません。　
No.61159 - 2019/09/04(Wed) 22:13:40
☆ Re: 質問お願いします。 / ＩＴ
1つの解法は

１枚ずつ(元に戻さず）順に３枚引くと考えてもよい。

１枚目は　どのカードでもいい。
２枚目は　残り１９枚のうち　１枚目と色も数字も異なるカードが　４×３＝１２枚ある
　このどれかを引いたとして
３枚目は、残り１８枚のうち　１枚目２枚目とも色も数字も異なるカードが３×２＝６枚ある。

よって求める確率は　(12/19)(6/18)=4/19
No.61160 - 2019/09/04(Wed) 22:26:34
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
なるほど、ありがとうございます。

ちなみに解答の答えは5C3 × 4P3 / 20C3 となっています。

組み合わせは選ぶだけ、順列は選んで並べるという事なんですよね？
No.61167 - 2019/09/05(Thu) 10:55:07
☆ Re: 質問お願いします。 / らすかる
5C3は「5色から3色選ぶ組合せの数」
4P3は「4つの数から3つを選んで3色にあてはめる場合の数」
例えば5C3で選んだ3色を
左←赤、青、黄、緑、黒→右
の順に並べることにしたとき、青、緑、黒が選ばれた場合は
一番左が青、真ん中が緑、右が黒となるわけですが、
4つの数から3つを選んだときにその3つの数を
左の色から順にあてはめて並べる、と考えられますので
4P3になります。
もしこれを4C3にしてしまうと、「3色」と「3つの数」を
選ぶだけですから色と数の対応が決まりません。
色と数の対応は3!通りありますので、
5C3×4P3 は 5C3×4C3×3! としてもOKです。
No.61174 - 2019/09/05(Thu) 16:50:49
★ 規則性の問題 / 太郎
2019 岐阜県の入試の問題ですが、
（4)の、問題が、わかりません。
3番までは、初項➕交差（n−1)で、できるのですが、
どのように考えたらいいのか、どうかご指導お願いします。
No.61143 - 2019/09/04(Wed) 16:08:23
☆ Re: 規則性の問題 / 太郎
追記 こたえは、2n二乗−3n＋1
No.61144 - 2019/09/04(Wed) 16:10:40
☆ Re: 規則性の問題 / らすかる
1段の時は境目0個
2段目を追加したことで境目は3個増える
3段目を追加したことで境目は7個増える
4段目を追加したことで境目は11個増える
（以降1段追加するごとに境目の増える数が4ずつ増えていく）
・・・
となっていますが
3+7+11+…+(4n-5)
は求められますか？
No.61145 - 2019/09/04(Wed) 16:56:10
☆ Re: 規則性の問題 / 太郎


> ・・・
> となっていますが
> 3+7+11+…+(4n-5)
> は求められますか？

すみません。よくわかりません。
No.61147 - 2019/09/04(Wed) 18:07:31
☆ Re: 規則性の問題 / らすかる
(3)の図でひっくり返した図形をくっつけて
「6枚ずつ3段」と求めていますよね。
これを数式で書くと、
左側の図形が上から順に1+3+5
右側の図形が上から順に5+3+1
なのでそれぞれ縦に足すと6+6+6
になって、6×3=18、18÷2=9
という計算で出しています。
これと同様に、
3+7+11+…+(4n-5)
をひっくり返して
(4n-5)+(4n-9)+(4n-13)+…+3
これをそれぞれ足すと
(4n-2)+(4n-2)+(4n+2)+…+(4n+2)
これが全部でn-1個なので、
求める個数は
(4n-2)×(n-1)÷2=2n^2-3n+1
となります。
No.61149 - 2019/09/04(Wed) 18:36:22
☆ Re: 規則性の問題 / ＩＴ
（カードの枚数×４-境目でない辺の数）／２でも出ますね。
No.61150 - 2019/09/04(Wed) 18:39:53
☆ Re: 規則性の問題 / らすかる
前に誘導があるので、ＩＴさんのおっしゃる通りで
{(3)×4-(2)の(イ)}÷2
で出すのが正解ですね。
No.61153 - 2019/09/04(Wed) 20:12:06
☆ Re: 規則性の問題 / 太郎
ありがとうございました。規則性の問題は、難しいです
No.61158 - 2019/09/04(Wed) 21:19:11
★ 数3 / るんるん
実数x、自然数nに対して
Fn(x)=cosx/2cosx/4cosx/8cosx/16••••cosx/2^n
とする。
⑴xの値を決めると2^nFn(x)sinx/2^nの値はnと無関係な定数であることを証明せよ。
⑵log|Fn(x)|をxで微分してΣ(n=2、∞)1/2^ntanπ/2^n=1/πを示せ
No.61128 - 2019/09/03(Tue) 03:01:04
☆ Re: 数3 / らすかる
F[n](x)={cos(x/2)}{cos(x/4)}{cos(x/8)}{cos(x/16)}…{cos(x/2^n)}
のようにカッコを付けましょう。
cosx/2cosx/4cosx/8cosx/16 だと
(cosx)÷(2cosx)÷(4cosx)÷(8cosx)÷16
のように見えます。

(1)
(2^n)F[n](x)sin(x/2^n)
=(2^n){cos(x/2)}{cos(x/4)}{cos(x/8)}{cos(x/16)}…{cos(x/2^n)}{sin(x/2^n)}
={2^(n-1)}{cos(x/2)}{cos(x/4)}{cos(x/8)}{cos(x/16)}…{cos(x/2^(n-1))}
　・2{sin(x/2^n)}{cos(x/2^n)}
={2^(n-1)}F[n-1](x)sin{x/2^(n-1)}
={2^(n-2)}F[n-2](x)sin{x/2^(n-2)}
={2^(n-3)}F[n-3](x)sin{x/2^(n-3)}
=…
=(2^1)F[1](x)sin(x/2^1)
=2・cos(x/2)・sin(x/2)
=sinx
なのでnと無関係な定数。

(2)
{log(cos(x/t))}'={cos(x/t)}'/cos(x/t)=-(1/t)tan(x/t)
と
log|F[n](x)|
=log|cos(x/2)|+log|cos(x/4)|+log|cos(x/8)|+…+log|cos(x/2^n)|
から
{log|F[n](x)|}'=-Σ[k=1〜n](1/2^k)tan(x/2^k)
(1)からF[n](x)=sinx/{(2^n)sin(x/2^n)}なので
log|F[n](x)|=log|sinx/{(2^n)sin(x/2^n)}|
{log|F[n](x)|}'={sinx/{(2^n)sin(x/2^n)}}'/{sinx/{(2^n)sin(x/2^n)}}
={{(2^n)cosxsin(x/2^n)}-sinxcos(x/2^n)}/{(2^n)sin(x/2^n)}^2
∴lim[n→∞]{log|F[n](x)|}'
=lim[n→∞]{{cosx/x(2^n/x)sin(x/2^n)}-(sinx/x)cos(x/2^n)/x}/{(2^n/x)sin(x/2^n)}^2
=(cosx-1)/x
よって
lim[n→∞]Σ[k=1〜n](1/2^k)tan(x/2^k)=-lim[n→∞]{log|F[n](x)|}'=(1-cosx)/x
lim[n→∞]Σ[k=2〜n](1/2^(k-1))tan(x/2^(k-1))=(1-cosx)/x
lim[n→∞]Σ[k=2〜n](1/2^k)tan(x/2^(k-1))=(1-cosx)/(2x)
x=π/2を代入して
lim[n→∞]Σ[k=2〜n](1/2^k)tan(π/2^k)=1/π
∴Σ[n=2〜∞](1/2^n)tan(π/2^n)=1/π
No.61132 - 2019/09/03(Tue) 04:02:29
☆ Re: 数3 / るんるん
わかりやすい解答ありがとうございます。僕は少し道筋が違っていて、x=π/2を代入することに気がつきませんでした。早い段階でx=πを代入して、極限を定められませんでした。ラスカルさんのようにxに値を代入するのは最後の方が良いのでしょうか？
No.61136 - 2019/09/03(Tue) 13:20:26
☆ Re: 数3 / らすかる
私も最初はπを代入することを考えましたが、
そうするとtan(π/2)が出てきて不都合なので
「ではπ/2ではどうだろう？」と考えました。
代入は、あまり早く代入して整理してしまうと
式が簡単に出来る部分に気づけなかったりする
可能性もありますので、なるべく先延ばしに
した方がよいと思います。
（それでも後で代入することを念頭において変形します）

# 必ず最後に代入、というわけではありません。
# これ以上は代入しないと面倒、という状態に
# なったら途中で代入することはあります。
No.61137 - 2019/09/03(Tue) 14:08:08
☆ Re: 数3 / るんるん
代入を先延ばしにすることにより、ポイントに気がつけるというのは初めて知りました。質問して良かったです。
No.61138 - 2019/09/03(Tue) 19:01:07
★ 専門学校の問題です / 社会人受験生
はじめまして。よろしくお願いいたします。
写真の２番の答えが合っているのか分からないので答え合わせをお願いします。
y=0.5(x-8)＋20
=0.5x+16
No.61127 - 2019/09/03(Tue) 02:17:06
☆ Re: 専門学校の問題です / るんるん
合ってます。
No.61130 - 2019/09/03(Tue) 03:16:38
★ 小学五年生の問題です。 / オウスケ
すいません。どうしてもわからない部分があって質問します。
添付の正方形の問題ですが、塾では
小さな正方形の一辺をアとし、大きな正方形の辺をイとする。
大正方形の中に小正方形を入れ、イ−アの辺を作る。
そのイ−ア、アの四角形を大正方形の右におく。
するとイ−アは100÷20＝5 となる。
よって和差算により(20+5)÷2により大正方形の一辺は12.5となる。と教わったのですが、この100÷20をする意味がわからないです。
お手数ですが、わかりやすい説明をよろしくお願いします。
No.61120 - 2019/09/02(Mon) 22:48:03
☆ Re: 小学五年生の問題です。 / オウスケ
すいません。自分で解けました。ありがとうございました！
No.61123 - 2019/09/02(Mon) 23:11:34
★ 質問お願いします。 / しょう
2番の解説をお願いします。
No.61115 - 2019/09/02(Mon) 19:15:22
☆ Re: 質問お願いします。 / るんるん
このような問題は実際に数字で書き並べると素早く解けます。
(i)p: m=1、2、3… n=2、3、4… のときかm=2、3、4… n=1、2、3…のときかm=2、3、4… m=2、3、4…です。
q: m=1 n≧2のときか、n=1 m≧2のときか、m≧2 n≧2 のとき
説明なので丁寧に書きましたが、実際では横に軽く書き並べるくらいで良いです。範囲を考えるより捉えやすいですよ。答えは⓪ですね。
(ii)も同様にできるはずです。
(ウ)必要条件
(エ)十分条件
No.61131 - 2019/09/03(Tue) 03:49:13
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
すみません。最初の方からよく理解できないのでもう少し教えてもらえないでしょうか？
No.61148 - 2019/09/04(Wed) 18:26:53
★ マイナスの積 / TOM
無理な場合は、どちらかの質問だけでもいいので教えてくさい。


[質問１]

数直線で
（＋６）×（＋２）は「０から６に向かった矢印同じ方向に２倍にする」
と定義して、-は反対の意味だから
（＋６）×（-２）「０から６に向かった矢印を反対方向に２倍にする」
と定義して
（＋６）×（−２）＝−１２
数直線を見て正しいのはわかりますが、



（＋６）×（＋２）は「０から６に向かった矢印同じ方向に２倍に拡大する」
と定義して、-は反対の意味だから
（＋６）×（-２）「０から６に向かった矢印を同じ方向に1/2倍に縮小する」
と定義して
（＋６）×（−２）＝＋３としてはなぜいけないのですか。

つまり、定義の仕方で（プラス）×（マイナス）＝（マイナス）とは限らず、
（プラス）×（マイナス）＝（プラス）になります。


[質問２]

数直線で東をプラス、時間が増えていくことをプラスと定義すると、
（＋６）×（-２）＝-１２は「毎時６ｋｍで東に歩き、２時間前の位置は-１２ｋｍである。」
で式は理解できましたが、
[質問１]と[質問２]で（＋６）は数直線でプラスに６移動することですが、
「×（−２）が反対向きに２倍にする」「×（−２）が２時間前」
のように向きと時間はまったく別ものなのに（＋６）×（−２）＝−１２
が同じ結果に絶対正しいと言える理由がわかりません。
No.61109 - 2019/09/02(Mon) 13:22:03
☆ Re: マイナスの積 / TOM
（＋６）×（＋２）は「０から６に向かった矢印同じ方向に２倍に拡大する」
と定義して、-は反対の意味だから
（＋６）×（-２）「０から６に向かった矢印を同じ方向に1/2倍に縮小する」
のどこがいけないのですか。
No.61117 - 2019/09/02(Mon) 20:49:29
☆ Re: マイナスの積 / らすかる
a×b=cのときc÷a=bなので
もし(+6)×(-2)=(+3)だとすると(+3)÷(+6)=(-2)
となりますが、（普通の乗除算の定義から考えて）
これはおかしいですね。
よって、もし(+6)×(-2)=(+3)が成り立つとするならば
普通の乗除算の規則が成り立たなくなりますので
乗除算の定義も変えなければなりません。
No.61119 - 2019/09/02(Mon) 22:47:02
☆ Re: マイナスの積 / るんるん
+6を0から6に向かう矢印だと考えることが間違ってます。+6の地点にその点があるだけでありそれ自体に方向はありません。掛け算という演算に方向が含まれてます。そう考えればプラスでは符号はそのままで、マイナスでは反対の符号となることは自然ではありませんか？
No.61129 - 2019/09/03(Tue) 03:10:22
☆ Re: マイナスの積 / TOM
+6を0から6に向かう矢印だと考えることが間違ってます。
+6の地点にその点があるだけでありそれ自体に方向はありません。


実際にそうかもしれませんが、教科書に（数字はちがいましたが）
数直線で
（＋６）×（＋２）は「０から６に向かった矢印同じ方向に２倍にする」
と定義して、-は反対の意味だから
（＋６）×（-２）「０から６に向かった矢印を反対方向に２倍にする」
と定義して
（＋６）×（−２）＝−１２
と書いてありますが、この考えはだめなのでしょうか。
No.61134 - 2019/09/03(Tue) 07:09:36
☆ Re: マイナスの積 / TOM
[質問３］
数直線で０にあるものをプラス（右）の方向に６ｋｇで引っ張る。（０から６までの右向きの矢印をひく）
ここで、力を反対方向に２倍の力で引っ張ると、
（＋６）×（-２）ｋｇと書くことができる。
６ｋｇの２倍の力は６×２＝１２ｋｇで反対方向だから
-１２ｋｇになるので、０から-１２まで左向きの矢印をひいて
（＋６）×（-２）＝-１２
と考えましたが、このように＋６を０から６に向かう矢印（右向きに６ｋｇの力）で
考えるのは正しいですか。

あるいは、
すごろくで、数直線で０にあるものをプラス（右）の方向に６進む。（０から６までの右向きの矢印をひく）
ここで、今の進み方を反対方向に２倍で進むと、
（＋６）×（-２）と書くことができる。
６の２は６×２＝１２で反対方向だから
進んだ位置は-１２になるので、０から-１２までの左向きの矢印をひいて
（＋６）×（-２）＝-１２
と考えましたが、このように＋６を０から６に向かう矢印（右向きに６個進む）で
考えるのは正しいですか。
No.61135 - 2019/09/03(Tue) 07:34:09
★ 合同式 / Qちゃん
f(x)=x⌒3+ax⌒2+bx+cは係数が整数で、f(0)、f(1)、f(2)を3で割った余りはすべて1であるとする。このとき、方程式f(x)=0は整数の解を持たないことを証明せよ。

合同式の勉強をしているので、合同式を使った解法を教えてください。よろしくお願いします。
No.61105 - 2019/09/01(Sun) 23:06:52
☆ Re: 合同式 / らすかる
(剰余は全てmod3)
条件から
c≡1
1+a+b+c≡1
8+4a+2b+c≡1
これより
a≡0,b≡2,c≡1
よってxが整数のとき
f(x)≡x^3-x+1=(x-1)x(x+1)+1≡1
なので、f(x)≠0。
No.61106 - 2019/09/01(Sun) 23:18:38
☆ Re: 合同式 / らすかる
上記のような計算をするまでもなかったですね。
f(x+3)=(x+3)^3+a(x+3)^2+b(x+3)+c=f(x)+3(3x^2+9x+9+2ax+3a+b)から
f(x+3)≡f(x) (mod 3)なので
x≡yのときf(x)≡f(y)
よって
x≡0のときf(x)≡f(0)≡1
x≡1のときf(x)≡f(1)≡1
x≡2のときf(x)≡f(2)≡1
となり、任意の整数に対してf(x)≡1なので
f(x)=0となることはない。
No.61108 - 2019/09/02(Mon) 03:10:53
☆ Re: 合同式 / Qちゃん
ありがとうございました。よくわかりました。

ところで合同式でわからないことなんですが、x≡yのとき、一般にf(x)≡f(y)は成り立ちますか？つまり、合同な二つの整数は関数変換してもやはり合同になると言えるんでしょうか？
No.61139 - 2019/09/03(Tue) 22:38:34
☆ Re: 合同式 / らすかる
一般には言えません。
例えばf(x)=|x|のときx=-1,y=2とすると
x≡y(mod3)ですがf(x)≡1(mod3),f(y)≡2(mod3)です。

整数係数多項式ならばx≡y (mod p)⇒f(x)≡f(y) (mod p)は言えますが、
この問題はそれを示すのと近いので、この問題で
「整数係数多項式ならばx≡y (mod p)⇒f(x)≡f(y) (mod p)が成り立つ」
を使うのはおそらくまずいでしょうね。

また、多項式かどうかにかかわらず、
任意の整数xでf(x+p)≡f(x) (mod p) が成り立つならば
明らかにx≡y (mod p)⇒f(x)≡f(y) (mod p)は言えますね。
No.61140 - 2019/09/03(Tue) 23:55:49
☆ Re: 合同式 / Qちゃん
最後の部分がよくわからないです。

どうしてf(x+p)≡f(x)のとき、x≡yならば、f(x)≡f(y)(modp)が言えるんでしょうか？
No.61161 - 2019/09/04(Wed) 23:14:36
☆ Re: 合同式 / らすかる
任意の整数xでf(x+p)≡f(x)が成り立つということは
当然
…≡f(x-2p)≡f(x-p)≡f(x)≡f(x+p)≡f(x+2p)≡…
が成り立つわけですよね。
そしてx≡yならばy=x+npなので
f(y)=f(x+np)≡f(x)
が成り立ちますね。
No.61163 - 2019/09/04(Wed) 23:56:12
☆ Re: 合同式 / Qちゃん
ありがとうございました。よくわかりました。
No.61199 - 2019/09/07(Sat) 21:42:32
★ 双曲線 / 子犬ちゃん
xy平面上に双曲線H:x^2/a^2-y^2/b^2=1 (a,b,>0)がある。
H上に点Pをとるとx軸、H、線分OPで囲まれる部分の
面積がsであった。(ただしOは原点でPは第一象限の点)
点Pの座標を求めるのはどうしたらいいのでしょうか？
No.61104 - 2019/09/01(Sun) 22:30:21
☆ Re: 双曲線 / らすかる
解析的には求まらない気がしますが、自作問題ですか？
No.61107 - 2019/09/02(Mon) 01:11:55
☆ Re: 双曲線 / 子犬ちゃん
ひとつ確認してもよいでしょうか。
P(a＊cosh(2s/ab), b＊sinh(2s/ab))
のとき問題の箇所の面積の値って何になりますか？
No.61116 - 2019/09/02(Mon) 20:17:17
☆ Re: 双曲線 / 子犬ちゃん
本当ですか？
下を見るとなんとなくsになりそうな気がするのですが

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%28cosh%282%29*sinh%282%29%29%2F2+-+%E2%88%AB%5B1%2Ccosh%282%29%5D+%E2%88%9A%28x%5E2-1%29+dx

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%28cosh%284%29*sinh%284%29%29%2F2+-+%E2%88%AB%5B1%2Ccosh%284%29%5D+%E2%88%9A%28x%5E2-1%29+dx

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%28cosh%286%29*sinh%286%29%29%2F2+-+%E2%88%AB%5B1%2Ccosh%286%29%5D+%E2%88%9A%28x%5E2-1%29+dx
No.61121 - 2019/09/02(Mon) 22:54:31
☆ Re: 双曲線 / 子犬ちゃん
もしこの座標が正しいとすると、
この点がただ一つであること
(たとえばPのx座標が増えるとき面積も単調増加であるなどのこと)
を示せば、一応は点Pを確定したことになるのでしょうか？

本当は天下りではなくNo.61104の状態からPを導く方法が知りたいのです。
無から有をといいいますか・・・
No.61122 - 2019/09/02(Mon) 23:00:22
☆ Re: 双曲線 / らすかる
計算間違いしていました。
計算を見直したら、ちゃんとsになりました。
まずHとy軸で挟まれる領域の面積を計算します。
P((a/b)√(t^2+b^2),t)とおくと、条件から
∫[0〜t](a/b)√(b^2+y^2)dy
y=btanθ（0≦θ＜π/2）と置換すると
ab∫[0〜arctan(t/b)]1/(cosθ)^3 dθ
=ab∫[0〜arctan(t/b)]cosθ/(cosθ)^4 dθ
=ab∫[0〜arctan(t/b)]cosθ/{1-(sinθ)^2}^2 dθ
sinθ=u（0≦u＜1）と置換すると
ab∫[0〜t/√(t^2+b^2)]1/(1-u^2)^2 du
=(ab/4)∫[0〜t/√(t^2+b^2)]{1/(1-u)+1/(1+u)+1/(1-u)^2+1/(1+u)^2} du
=(ab/4)[log{(1+u)/(1-u)}+1/(1-u)-1/(1+u)][0〜t/√(t^2+b^2)]
=(ab/4){log{(√(t^2+b^2)+t)/(√(t^2+b^2)-t)}+2t√(t^2+b^2)/b^2}
これから直角三角形の面積(at/2b)√(t^2+b^2)を引くと
s=(ab/4)log{(√(t^2+b^2)+t)/(√(t^2+b^2)-t)}
=(ab/2)log{(√(t^2+b^2)+t)/b}
と出せました。
（計算間違いでここの式がtで逆算できない形になっていました）
従ってこの式をtの式にすることで
t=b{e^(4s/ab)-1}/{2e^(2s/ab)}=bsinh(2s/ab)
と出せましたので、
Pのy座標はbsinh(2s/ab)（→x座標はacosh(2s/ab)）となります。

# 積分は思いつくままにやったので、遠回りしているかも知れません。
No.61124 - 2019/09/02(Mon) 23:30:08
☆ Re: 双曲線 / 子犬ちゃん
ありがとうございます。
確認出来ました。
No.61125 - 2019/09/03(Tue) 00:51:39
☆ Re: 双曲線 / らすかる
再度見たら積分は思いっきり遠回りしていますね。
∫[0〜t](a/b)√(b^2+y^2)dyでy=bsinhuとおけば
∫[0〜t](a/b)√(b^2+y^2)dy
=∫[0〜arcsinh(t/b)]ab(coshu)^2 du
=(a/2){barcsinh(t/b)+(t/b)√(t^2+b^2)}
なので直角三角形の面積(at/2b)√(t^2+b^2)を引いて
s=(ab/2)arcsinh(t/b)
∴t=bsinh(2s/ab)
No.61126 - 2019/09/03(Tue) 01:15:17
★ 質問お願いします。 / しょう
アイウの解説をお願いします。よろしくお願いします。
No.61097 - 2019/09/01(Sun) 18:00:14
☆ Re: 質問お願いします。 / X
アについて)
rなるnに対し
n=12k+2
=3・4k+2
(kは0又は自然数)
∴r⇒pかつq
は成立。
一方、pかつqなるnに対し
n=3l+2=4m+2
(l,mは0又は自然数)
∴3l=4m
となるので
lは4の倍数
mは3の倍数
となり、
pかつq⇒r
も成立。
よってアは必要十分条件。

イについて)
以下、例えばpの否定を
\p
と書くことにします。
さて
\qなるnには4で割り切れる自然数
も含まれるため
\q⇒\r
は成立しません。
一方、奇数を4で割った余りは
偶数である2にはなり得ませんので
\r⇒\q
は成立します。
よってイは必要条件となります。
No.61098 - 2019/09/01(Sun) 19:19:57
☆ Re: 質問お願いします。 / X
ウについて)
rなるnは偶数ですので問題は
rはpかつsであるための何条件か
を求めることと同じです。
さて
rなるnについて
n=12k+2
=3・(4k)+2
(kは0又は自然数)
∴r⇒pかつs
は成立。
一方、例えば
n=8
はpかつsを満たすnですが
このときrは成立しません。
∴pかつs⇒r
は成立しませんので
ウは十分条件
となります。
No.61099 - 2019/09/01(Sun) 19:27:44
★ (No Subject) / アブドゥル
この問題の(3)の解説がどうして、画像のようになるのですか？
5x+yの最後が、3^2n+1
5x-yの最後が、3^2n-1になる理屈を教えてください。
No.61092 - 2019/09/01(Sun) 16:44:06
☆ Re: / アブドゥル
以下が解説の画像になります。

画像の表の
5x+yの最後が、3^2n+1
5x-yの最後が、3^2n-1になる理屈を教えてください。
No.61093 - 2019/09/01(Sun) 16:45:02
☆ Re: / ＩＴ
yは正の整数なので5x+y > 5x-y ですから
　5x+y=5x-y=3^2n はダメです。
No.61095 - 2019/09/01(Sun) 17:17:18
☆ Re: / アブドゥル
> yは正の整数なので5x+y > 5x-y ですから
> 　5x+y=5x-y=3^2n はダメです。

最後の3の累乗が2n+1、2n-1なんですか？なぜ2nのあとに1が来るのですか？ほかの数字、例えば、
2n+3、2n-3とかでもいいのですか？
No.61111 - 2019/09/02(Mon) 15:11:29
☆ Re: / らすかる
5x+y＞5x-yを満たし
(5x+y)(5x-y)=3^(4n)を満たすのは
3^(4n)×3^0、3^(4n-1)×3^1、3^(4n-2)×3^2、…、
3^(2n+3)×3^(2n-3)、3^(2n+2)×3^(2n-2)、3^(2n+1)×3^(2n-1)
ですから、最後は3^(2n+1),3^(2n-1)でなければなりません。
もし表の最後を3^(2n+3),3^(2n-3)にしてしまうと、
条件を満たす
5x+y=3^(2n+2), 5x-y=3^(2n-2)
5x+y=3^(2n+1), 5x-y=3^(2n-1)
の二つが表から漏れていますのでダメです。
No.61113 - 2019/09/02(Mon) 17:02:07
☆ Re: / アブドゥル
詳しい回答本当にありがとうございました。
よく分かりました。
No.61114 - 2019/09/02(Mon) 17:42:36
★ (No Subject) / コーンスープ
丸のついている問題を教えてください
No.61090 - 2019/09/01(Sun) 16:20:53
☆ Re: / らすかる
RP=1から
(p-r)^2+(p^2-r^2)^2=1
(p-r)^2+{(p+r)(p-r)}^2=1
1+(p+r)^2=1/(p-r)^2
(p+r)^2=1/(p-r)^2-1 … (1)

面積は(p-r)(p^2-r^2)なので
面積の2乗は
{(p-r)(p^2-r^2)}^2
={(p-r)(p+r)(p-r)}^2
={(p-r)^2・(p+r)}^2
=(p-r)^4・(p+r)^2
=(p-r)^4・{1/(p-r)^2-1}
見やすいようにp-r=tとおくと
t^4・(1/t^2-1)
=t^2-t^4
=1/4-(t^4-t^2+1/4)
=1/4-(t^2-1/2)^2
よってt^2-1/2=0すなわちt^2=1/2のとき最大で
最大面積の2乗は
t^4・(1/t^2-1)=1/4なので
最大面積は1/2
p-r=t=√2/2 … (2)
(1)から
(p+r)^2=1/(p-r)^2-1=1なので
p+r=±1 … (3)
(2)(3)から
(p,r)=((±2+√2)/4,(±2-√2)/4)　（複号同順）
No.61096 - 2019/09/01(Sun) 17:19:29
★ (No Subject) / たけまる
△AFCと△ABCの面積比を出したい時に、AF/AB・AE/ACで出せるのはなぜですか？
No.61080 - 2019/09/01(Sun) 10:57:21
☆ Re: / ＩＴ
>△AFCと△ABCの面積比

これはまちがいで△AFEと△ABCの面積比　では？
No.61081 - 2019/09/01(Sun) 11:16:40
☆ Re: / たけまる
> >△AFCと△ABCの面積比
> 間違えました！そうです
> これはまちがいで△AFEと△ABCの面積比　では？
No.61085 - 2019/09/01(Sun) 14:57:33
☆ Re: / ＩＴ
補助線CFを引きます。

△ABCの面積:△AFCの面積　＝　AB：AF
△AFCの面積:△AFEの面積 ＝　AC：AE
です。
No.61087 - 2019/09/01(Sun) 15:21:24
★ 接平面，法線 / meow
添付してある画像の（3）の解法がわかりません．

(1)
f_{x},f_{y}(偏微分)を求め，点(1,1,13/3)を代入
z-4x-4y+(11/3)=0

(2)
f_{x},f_{y}=0から停留点を求め，ヘッシアンで条件確認．
f_{xx}が2なることより，極大値が存在しない．
極小を取る座標は，(-1,1),(1/2,-1/2),極値はそれぞれ1/3,43/48

(3)
ここの問題の解き方がよく分かりませんでした．
曲面のx，yの法線ベクトルが2になるように考えていたのですが，うまく解けません．助言いただけると嬉しいです．

よろしくお願いします．
No.61078 - 2019/09/01(Sun) 03:00:05
☆ Re: 接平面，法線 / X
これは(1)の過程と逆のことを行えばよいわけです。
つまり、

問題の平面のx,yの係数に注目すると
接点のx,y座標に対し
∂f/∂x=2 (A)
∂f/∂y=2 (B)
(A)(B)をx,yについての連立方程式として解き、
接点のx,y座標を求めます。
その結果をf(x,y)に代入し、接点のz座標を求めます。
No.61084 - 2019/09/01(Sun) 14:39:24
☆ Re: 接平面，法線 / meow
回答ありがとうございます．
その方法で自分も解いているのですが，
x,yを求めた際に，(1,0),(3/2,-1/2),(0,1)が接点のxy座標として出てきます．そこでf(x,y)へ代入したところ，それぞれz=2,91/48,-2/3が求まります．
そのときのxyzを平面の式へ代入してbを求めると
b=0,-5/48,-8/3となります

ですがこれをgrapher等でプロットするとまったく接平面ではありません．
どこが間違っているのかわからないです...
No.61089 - 2019/09/01(Sun) 15:47:04
☆ Re: 接平面，法線 / X
もしかして接平面の理解を間違えていませんか？

例えば３次関数のグラフでの接線はその接点以外に
接点でない交点を持つ場合がありますよね。
それと同様に曲面に対する接平面は
接点以外に(接点でない)交点、又は交線を持つ
ことがあります。

そうではなくて、求められた3点
(1,0,2),(3/2,-1/2,91/48),(0,1,-2/3)
が得られた接平面の接点になっていない
ということでしょうか？
No.61100 - 2019/09/01(Sun) 19:37:57
☆ Re: 接平面，法線 / X
確認のため、計算をしてみましたが
３つの接点のうち
点(0,1,-2/3)
は
点(0,1,4/3)
の誤りでは？。
No.61101 - 2019/09/01(Sun) 20:43:36
☆ Re: 接平面，法線 / meow
確認までありがとうございます．
その通りでした．(0,1,4/3)が正しいです．

＞例えば３次関数のグラフでの接線はその接点以外に
＞接点でない交点を持つ場合がありますよね。
＞それと同様に曲面に対する接平面は
＞接点以外に(接点でない)交点、又は交線を持つ
＞ことがあります。

勘違いをしていました．根本からの理解が足りませんでした．
解決していただき感謝しています．
No.61103 - 2019/09/01(Sun) 22:01:16
★ (No Subject) / あああ
解き方を教えてください
No.61077 - 2019/09/01(Sun) 01:17:34
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