xy平面上の2点P、Qに対し、PとQをx軸またはy軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値をd(P,Q)で表す。
実数a≧0に対し、点Q(a,aの2乗+1)を考える。
次の条件(☆)を満足する点P(x,y)の範囲をxy平面上に図示せよ。
(☆)原点O(0,0)に対し、d(O,P)=d(P,Q)となるようなa≧0が存在する。
│x│+│y│=│x-a│+│y-(aの2乗+1)│から、
│x│-│x-a│=│y-(aの2乗+1)│-│y│…(1)
左辺は、x≦0のとき-a、0≦x≦aのとき2x-a、x≧aのときaです。
右辺は、y≦0のときaの2乗+1、0≦y≦aの2乗+1のとき-2y+(aの2乗+1)、y≧aの2乗+1のとき-(aの2乗+1)です。
aの2乗+1>aですから、(1)が成り立つのは0≦y≦aの2乗+1のときだけで、
x≦0のとき、aの2乗+a-2y+1=0…(2)
0≦x≦aのとき、aの2乗+a-(2x+2y)+1=0…(3)
x≧aのとき、aの2乗-a-2y+1=0…(4)
です。
(2)を満たすa≧0が存在するためのyの条件は(2)の左辺をf(a)とおくと、f(0)≦0であり、y≧1/2です。
(3)を満たすa≧0が存在するためのxとyの条件は(3)の左辺をg(a)とおくと、x≧0>-1/2に留意すると、g(x)≦0であり、y≧(xの2乗-x+1)/2です。
(4)を満たすa≧0が存在するためのyの条件は(4)の左辺をh(a)とおくと、x≦1/2のときはh(0)≧0であり、y≦1/2で、x≧1/2のときはh(1/2)≦0で、y≧3/8です。
以上のように考えたのですが、微妙に答えと合いません。
答えではx≦0のとき、y≧1/2、0≦x≦1/2のとき、y≧(xの2乗-x+1)/2、x≧1/2のとき、y≧3/8となっています。
なぜy=(xの2乗-x+1)/2とy=3/8のつなぎ目がx=aではなく、x=1/2になっているのかわからないです。x≦1/2のときy≦1/2という条件がないのもわからないです。
詳しく教えてください。
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No.61828 - 2019/10/13(Sun) 22:27:19
| ☆ Re: 曲線の通過範囲 / ＩＴ | | | > なぜy=(xの2乗-x+1)/2とy=3/8のつなぎ目がx=aではなく、
解いていませんが、a が残ってはおかしいですよね。
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No.61831 - 2019/10/14(Mon) 07:38:37 |
| ☆ Re: 曲線の通過範囲 / 美雪 | | | >aが残ってはおかしい
aをどのように消去すればよいでしょうか。
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No.61845 - 2019/10/14(Mon) 19:23:08 |
| ☆ Re: 曲線の通過範囲 / ＩＴ | | | (3) 0≦x≦a かつ a^2+a-(2x+2y)+1=0
0≦xかつ f(a)=a^2+a-(2x+2y)+1=0 がx以上の解を持つ。
0≦xかつ f(x)≦0
0≦xかつ x^2-x+1≦2y
・・・
(4) x≧a≧0 かつ a^2-a-2y+1=0
0≦xかつ g(a)=a^2-a-2y+1=0 が x≧a≧0の解を持つ。
判別式8y-3≧0 すなわち y≧3/8 が必要で
さらに
g(a)のグラフの軸はa=1/2なので
0≦x≦1/2 のとき g(0)≧0かつg(x)≦0
x≧1/2 のとき g(0)≧0 または g(x)≧0
・・・・・・・・
(2)(3)(4) の領域の和が求める領域。
こんな感じでどうしょう？
途中、接続詞を省略していますので、適当に補足して読んでください。
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No.61847 - 2019/10/14(Mon) 21:26:00 |
| ☆ Re: 曲線の通過範囲 / ＩＴ | | | > x≦1/2のときy≦1/2という条件がないのもわからないです。
(2)(3)(4) の領域の和 ですから。
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No.61850 - 2019/10/14(Mon) 22:01:48 |
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