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★ (No Subject) / 互いに素
a,b( これらは互いに素)
の時、aと a+2bも互いに素である。

合っていますか？
合っているなら証明を教えていただけませんか？
No.60524 - 2019/08/07(Wed) 19:44:26
☆ Re: / ＩＴ
たとえば　a=2,b=1（奇数） が反例では？

反例は　a=6（偶数）,b=5（aと互いに素） などもあります。
No.60525 - 2019/08/07(Wed) 20:17:42
★ 高3 対象高3 卒業生 / りょ
よろしくお願いします。
No.60521 - 2019/08/07(Wed) 17:12:28
☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / らすかる
3つ投稿された問題に何か違いがあるのですか？
No.60522 - 2019/08/07(Wed) 17:17:01
☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / りょ
> 3つ投稿された問題に何か違いがあるのですか？

すみませんミスです。
No.60523 - 2019/08/07(Wed) 17:32:19
☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / らすかる
(1)
a=bのとき2式はx^2+ax+a=0, y^2+ay+a=0となるが
「x^2+ax+a=0が整数解をもつ」と「y^2+ay+a=0が整数解をもつ」は同値なので
x^2+ax+a=0が整数解をもつ条件を考えればよい。
x={-a±√(a^2-4a)}/2なのでa^2-4aが平方数でなければならない。
a^2-4a＜a^2-4a+4=(a-2)^2なので
(a-3)^2＜a^2-4aのとき平方数にならない。
これを解くとa＞9/2なので、平方数になるためには少なくともa≦4
またa^2-4a≧0でなければならず、これを解くとa≦0またはa≧4なので
a＞0という条件と合わせるとa^2-4aが平方数になる可能性があるのはa=4のみ。
a=4のときx^2+ax+a=x^2+4x+4=(x+2)^2なので
x=-2という整数解を持つ。
従って条件を満たすaはa=4。

(2)
x^2+ax+b=0の2解をα,β（α≦β）とすると、解と係数の関係から
α+β=-a＜0, αβ=b＞0なのでα≦β＜0
もしβ＜-2とすると
β＜-2の両辺にαを掛けてαβ＞-2α … (a)
またα≦βから-α≧-βで両辺からαを引くと-2α≧-(α+β) … (b)
(a)(b)からb=αβ＞-2α≧-(α+β)=aとなりa＞bという条件に反する。
従ってβ=-1,-2

β=-1のとき
a=-α+1,b=-α
y^2+bx+a=0はy^2-αx+(-α+1)となり
解はy=(α±√(α^2+4α-4))/2なので
少なくともα^2+4α-4が平方数にならなければいけない。
α^2+4α-4≧0の解はα≦-2-2√2,-2+2√2≦α
α≦β=-1なのでα≦-5 … (c)
α^2+4α-4＜α^2+4α+4=(α+2)^2なので
(α+3)^2＜α^2+4α-4のとき平方数にならない。
これを解くとα＜-13/2なので、平方数になるためには少なくともα≧-6 … (d)
(c)(d)からα=-5,-6
α=-5のときy^2+bx+a=y^2+5x+6=(y+2)(y+3)なので条件を満たす。
α=-5,β=-1のときa=6,b=5でこれは条件を満たす解の一つ。… (e)
α=-6のときy^2+bx+a=y^2+6x+7で整数解を持たないので不適。

β=-2のとき
a=-α+2,b=-2α
y^2+bx+a=0はy^2-2αx+(-α+2)となり
解はy=α±√(α^2+α-2)なので
少なくともα^2+α-2が平方数にならなければいけない。
α^2+α-2≧0の解はα≦-2,1≦α
α≦β=-2なのでα≦-2 … (f)
α^2+α-2＜α^2+α+1/4=(α+1/2)^2なので
(α+1)^2＜α^2+α-2のとき平方数にならない。
これを解くとα＜-3なので、平方数になるためには少なくともα≧-3 … (g)
(f)(g)からα=-2,-3
しかしα=-2のときa=4,b=4、α=-3のときa=5,b=6なので
いずれもa＞bという条件を満たさない。

以上により、条件を満たす整数の組(a,b)は(e)だけなので
(a,b)=(6,5)のみ。

# 内容は御確認下さい。
No.60526 - 2019/08/07(Wed) 22:07:57
☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / ＩＴ
(2)
x^2+ax+b=0…(i),y^2+by+a=0…(ii) を満たす整数x,y があったとき
a>b>0 から　x<0,y<0
x=y=-1 のとき　1-a+b=0,1-b+a=0 となり不適。よって　xy>1

a=y(y-x^2)/(xy-1)…(ア),b=x(x-y^2)/(xy-1)…(イ)

a>b より　(y(y-x^2)-x(x-y^2))/(xy-1)≧1
　∴y(y-x^2)-x(x-y^2)≧xy-1
∴-(x+1)(xy+x-y^2-1)≧0
x＝-1のとき (i)より　1-a+b=0 ∴　b=a-1
x＜-1のとき　xy+x-y^2-1≧0　すなわち　xy-1≧y^2-x > 0　（イより）
　　（イ）においてxとxy-1は互いに素なのでy^2-xはxy-1で割り切れる。
　　　　したがって　xy-1＝y^2-x　∴　b=-x
　　　　(i) より　b^2-ab+b=0 ∴　b-a+1=0 ∴b=a-1

いずれの場合も　b=a-1
これを(ii)に代入 y^2+(a-1)y+a=0
yは整数なので (a-1)^2-4a=a^2-6a+1 が平方数
　　a^2-6a+1＝n^2 をaについて解くと　n^2+8 が平方数、
このとき　n≧1なので n^2+8＝(n+1)^2 or (n+2)^2
∴ n=1 ∴　a=6,b=5　たしかにこれは条件を満たす。

# けっこうごちゃごちゃしてるので、計算間違いや論理の飛躍があるかもしれません。確認してください。
No.60531 - 2019/08/08(Thu) 00:30:15
☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / ＩＴ
(1) x^2+ax+a=0 の２つの整数解をα、βとおくと
解と係数の関係から　-a=α+β、a=αβ.
a＞0なので　α＜0、β＜0
また　αβ+α+β＝0　∴　（α+1)(β+1）＝1
∴（α+1)＝(β+1）＝-１
∴α＝β＝-２　
∴a=4　たしかにこれは条件を満たす。
No.60532 - 2019/08/08(Thu) 00:49:57
☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / らすかる
> りょさん
ＩＴさんの解答の方が簡単で良いと思いますので、
私の回答は参考程度にお考え下さい。
No.60534 - 2019/08/08(Thu) 06:40:58
★ 駿台数学 / リョ
高3生です。式などもろもろよろしくお願いいたします
No.60520 - 2019/08/07(Wed) 17:11:08
★ 駿台数学 / リョ
式などもろもろよろしくお願いいたします。
No.60519 - 2019/08/07(Wed) 17:09:51
★ (No Subject) / ヌル
センターを改題してみたんですけど解けますか？
No.60516 - 2019/08/07(Wed) 12:16:04
☆ Re: / らすかる
各□に入るものが1桁の負でない整数かつ
エ≠1（1x^2とは普通書かないから）
オ≠1（1xとは普通書かないから）
カ≠0（普通、定数項が0のとき書かないから）
キ≠0（0のとき分数にしないから）
ク≠1（普通、分母が1のとき分数にしないから）
と考えると
エ＞0からx=0で最大値をとることはないからコ=1
f(-1),f(0)は整数なので最小値をとるxは-1でも0でもなく、
軸はx＜0の範囲にあるので軸は-1＜x＜0の範囲にあって
頂点が最小値となる。
f(x)=エ(x+オ/(2エ))^2-オ^2/(4エ)+カなので
軸はx=-オ/(2エ)、最小値は-オ^2/(4エ)+カ
最小値をとるx=-オ/(2エ)が分数、最小値の-オ^2/(4エ)+カが整数であることから
オ^2は4エで割り切れる偶数で、オは2エで割り切れない。
これを満たすエとオの組は
(エ,オ)=(4,4),(9,6),(8,8),(16,8)
の4組だが、エ+オ＜f(1)≦10であることから
(エ,オ)=(4,4)しかあり得ない。
このとき最大値が1桁の自然数になるような自然数カは1なので
f(x)=4x^2+4x+1と決まり、このとき
x=-1/2で最小値0をとり、x=1のとき最大値9をとるから
サは9。
No.60518 - 2019/08/07(Wed) 14:33:14
★ これ教えてください / むなはま
お願いします
できれば法線ベクトルを使って示していただきたい
No.60515 - 2019/08/07(Wed) 12:15:23
☆ Re: これ教えてください / X
方針を。

点(t,logt)を点Qとします。
y=logx
より
y'=1/x
∴点Qにおける接線の方向ベクトルを↑uとすると
↑u=(1,1/t) (A)
又
↑u⊥↑P[t]Q
により
↑u・↑P[t]Q=0 (B)
更に
↑P[t]Q=(t-f(t),logt-g(t)) (C)
(A)(B)(C)から
{t-f(t)}+(1/t){logt-g(t)}=0 (D)
さて、問題の円は点P[t]を中心とし、線分P[t]Qを
半径としてy軸に接するので、円の半径について
f(t)=√{{t-f(t)}^2+{logt-g(t)}^2} (E)
(D)(E)をf(t),g(t)についての連立方程式として解きます。
(条件からt-f(t)＞0に注意して、まずは(D)を使って
(E)からg(t)を消去することを考えます。)
No.60530 - 2019/08/07(Wed) 23:54:21
☆ Re: これ教えてください / X
敢えて法線ベクトルを使うのであれば以下の通り
の方針になります。

点(t,logt)を点Qとします。
y=logx
より
y'=1/x
∴点Qにおける法線の方向ベクトルを↑nとすると
↑n=(1,-t) (A)
又
↑n//↑P[t]Q
により
↑P[t]Q=k↑n (B)
(kは実数)
更に
↑P[t]Q=(t-f(t),logt-g(t)) (C)
(A)(B)(C)から
t-f(t)=k (D)
logt-g(t)=-kt (D)'
さて、問題の円は点P[t]を中心とし、線分P[t]Qを
半径としてy軸に接するので、円の半径について
f(t)=√{{t-f(t)}^2+{logt-g(t)}^2} (E)

(D)(D)'(E)をf(t),g(t),kについての連立方程式
として解きます。
(条件からt-f(t)＞0に注意して、まずは(D)(D)'
を使って
(E)からf(t)をkで表すことを考えます。)
No.60533 - 2019/08/08(Thu) 04:43:18
★ 空間図形 / Qちゃん
1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。立方体の中心をOとする。Oを中心とする半径rの球面をSとする。

(1)Sが平面BDEに接するときのrを求めよ。

(2)S上の点で、Aが見えるようなすべての点から、3頂点B、D、Eのうち少なくとも1点が見えるようなrの条件を求めよ。

ただしS上の点Pから頂点Aが見えるとは、AがSの外部にあり、線分PAとSの共有点Pのみであることである。

以前の質問が流れてしまったので再質問です。(1)、(2)とも教えてください。よろしくお願いします。
No.60513 - 2019/08/07(Wed) 04:29:54
☆ Re: 空間図形 / らすかる
(1)
横から見た図をxy平面上に
A(-1/√2,1/2),B=D=(0,1/2),C=(1/√2,1/2),
E(-1/√2,-1/2),F=H=(0,-1/2),G=(1/√2,-1/2),
O(0,0)
となるように描くと、平面BDEは直線BE(y=(√2)x+1/2)となり
原点からこの直線までの距離は点と直線の距離の公式により√3/6
∴r=√3/6

(2)
対称性から、A,O,Bを含む平面とA,O,Dを含む平面で区切られた4領域のうちで
Cを含む領域だけ考えれば十分。
線分BOとSの交点付近は必ずBから見え、線分DOとSの交点付近は
必ずDから見えるので、BとDから最も遠い、BDの垂直二等分面
（A,O,Cを含む平面）とSの交線上の点について考えればよい。
r=√3/6のとき、△BDEがSに接し、接点は線分AO上にあるので
r＞√3/6のときこの点はAから見えるがB,D,Eから見えず、
r≦√3/6のときB,D,Eから見える。
BDの垂直二等分面上でB,Dから見える範囲でAから最も遠い点は
BDを通りSに接する平面のうちAから遠い方の平面とSとの接点だが、
この点はAから見えないので、r≦√3/6のときにAから見えて
B,Dから見えない点はない。
従ってr≦√3/6が必要十分条件となる。
No.60517 - 2019/08/07(Wed) 14:07:27
☆ Re: 空間図形 / Qちゃん
今回も助けていただき、ありがとうございました。
No.60586 - 2019/08/11(Sun) 03:42:46
★ 不等式の文章題 / 美雪
参加者全員を60人乗りのバスに乗せると最後の1台は空席が24席になる。当日の参加者は70人少なかった。51人ずつ乗せるとバスの台数が足りなくなり、52人ずつ乗せると最後のバスの乗客数は48人未満になる。参加者数とバスの台数を求めよ。

参加者数x人、バスの台数y台とおきます。

第一文より、x=60(y-1)+(60-24)です。

第二文前半より、x-70>51yです。

ここから先がわかりません。詳しく教えてください。
No.60510 - 2019/08/06(Tue) 22:36:15
☆ Re: 不等式の文章題 / らすかる
x=60(y-1)+(60-24)からx=60y-24…(1)
x-70＞51yに代入して
60y-24-70＞51y
9y＞94
∴y＞10…(2)
第二文後半からx-70-48＜52(y-1)
整理してx＜52y+66
(1)を代入して
60y-24＜52y+66
8y＜90
∴y＜12…(3)
(2)(3)から y=11
(1)に代入してx=636
No.60511 - 2019/08/06(Tue) 22:54:23
☆ Re: 不等式の文章題 / 美雪
ありがとうございました！
No.60527 - 2019/08/07(Wed) 22:27:07
★ ベクトル / ア行
3番の問題全部バツなんですけど答えだけで解説が載ってないので
教えてください
No.60509 - 2019/08/06(Tue) 21:18:31
☆ Re: ベクトル / GandB
　ネタかではないかと思ったが（笑）
　ベクトル方程式の理解不足なのかな。

　平行四辺形 OACB なのだから
　　OA↑= BC↑, AC↑= OB↑.

　以下 t は適当な実数とする。

(1)直線 AB
　線分 AB 上の任意の点を P とし、AP:PB = t:(1-t) とすると
　　OP↑ = (1-t)OA↑+ tOB↑= (1-t)a↑+ tb↑.

(2)直線 MB
　線分 MB 上の任意の点を P とし、MP:PB = t:(1-t) とすると
　　OP↑ = (1-t)OA↑/2+ tOB↑= (1/2)(1-t)a↑+ tb↑.

(3)点 C を通り直線 AB に平行な直線。
　点 C を通り直線 AB に平行な直線と、辺 OB を延長した直線との交点を E とする。このとき
　　AB↑= CE↑.
　線分 CE 上の任意の点を P とし、CP:PE = t:(1-t) とすると
　　OP↑= (1-t)OC↑+ tOE↑
　　　　= (1-t)(OA↑+ AC↑)+ t*2OB↑
　　　　= (1-t)(OA↑+ OB↑) + 2tb↑
　　　　= (1-t)(a↑+ b↑) + 2tb↑
　　　　= a↑+ b↑- ta↑- tb↑+ 2tb↑
　　　　= a↑- ta↑+ b↑+ tb↑
　　　　= (1-t)a↑+ (1+t)b↑.
No.60514 - 2019/08/07(Wed) 11:09:38
☆ Re: ベクトル / ア行
ありがとうございます！
No.60553 - 2019/08/08(Thu) 22:27:35
★ 因数分解したとき(ｘ−１)が現れる条件 / てんぽら
高次方程式を因数分解したとき、
必ず因数の中に(ｘ−１)が現れる事になる
高次方程式の式の形の条件があるとどこかで聞いたのですが
その条件が思い出せません教えて下さい
No.60504 - 2019/08/06(Tue) 10:00:00
☆ Re: 因数分解したとき(ｘ−１)が現れる条件 / らすかる
係数の合計が0。
No.60505 - 2019/08/06(Tue) 15:03:11
☆ Re: 因数分解したとき(ｘ−１)が現れる条件 / てんぽら
らすかるさん すっきりしました ありがとう御座います
No.60506 - 2019/08/06(Tue) 16:55:30
★ わかりません。解き方お願いします / 神城夜空
xの連立不等式
x＋b＞3xー5、x＋3＜ax＋2（ただしa＞1とする）の解が1＜3となるのはa＝□、b＝□の時である
□に当てはまる数値をそれぞれ求めよ
No.60498 - 2019/08/05(Mon) 22:24:19
☆ Re: わかりません。解き方お願いします / らすかる
「1＜3」は「1＜x＜3」の誤りと判断します。

x+b＞3x-5 を解いて x＜(b+5)/2
x+3＜ax+2 を解いて x＞1/(a-1)
よって(b+5)/2=3,1/(a-1)=1となればよいので、
これらを解いてa=2,b=1
No.60499 - 2019/08/05(Mon) 23:53:57
☆ Re: わかりません。解き方お願いします / 神城夜空
ありがとうございます！ミスに気付きませんでした
とてもわかりやすかったです。
No.60508 - 2019/08/06(Tue) 19:16:36
★ 連立方程式で / 50才
10x+3=15y+5=21z+8

x、y、zの求め方を教えて下さい
No.60490 - 2019/08/05(Mon) 18:04:40
☆ Re: 連立方程式で / 50才
すいません
問題が誤っていました

10x+3=15y+21z+5

です。
よろしくお願いします。
No.60491 - 2019/08/05(Mon) 18:15:39
☆ Re: 連立方程式で / 50才

スマートフォンからで何度も誤ってすみません。

10x+3=15y+8=21z+5

です。
No.60492 - 2019/08/05(Mon) 18:17:53
☆ Re: 連立方程式で / 元中3
x,y,zは整数ですか？実数や有理数なら解は無数にあって、定まりません。
x,y,zが整数という仮定のもとで回答します。
まず10x+3=15y+8についてですが、両辺に7を加えれば左辺が10,右辺が15でそれぞれ割り切れますので両辺は30で割りまれ切れます
10x+3=15y+8=30k-7(kは整数)...(＊)と表されます。
よって10x+3=21z+5から
30k-7=21z+5
整理して10k-7z=4...?@
(k,z)=(-1,-2)は?@の特殊解だからすべての整数解は(k,z)=(7t-1,10t-1)(tは整数)と表される
k=7t-1から30k-7=210t-37となり、与えられた等式と(＊)より
10x+3=15y+8=21z+5=210t-37
よって与えられた等式を満足する整数x,y,zは(x,y,z)=(21t-4,14t-3,10t-2)(tは整数)

このような等式は連立方程式というよりは、一次不定方程式と呼ぶのではないかと思います。或いは等差数列の共通解とか。
私の知識が浅いだけかも知れませんが...
No.60493 - 2019/08/05(Mon) 19:31:19
☆ Re: 連立方程式で / らすかる
10x+3=15y+8=21z+5=kとおくと
x=(k-3)/10, y=(k-8)/15, z=(k-5)/21 なので
一般解は(x,y,z)=((k-3)/10,(k-8)/15,(k-5)/21)
整数の場合は
10x+3=15y+8=21z+5
辺々7足して 10(x+1)=15(y+1)=21z+12
辺々30足して 10(x+4)=15(y+3)=21(z+2)
この式の値は210tとおけるので
10(x+4)=15(y+3)=21(z+2)=210t
x+4=21t, y+3=14t, z+2=10t
∴(x,y,z)=(21t-4,14t-3,10t-2)
（これを一般解としてもよい）
No.60497 - 2019/08/05(Mon) 21:47:27
☆ Re: 連立方程式で / 50才
質問主の５０才です。
お二方ご説明ありがあとうございます。
ここまで難しい問題だとは思いませんでした。
社会人の一般教養問題集の中にあった問題で
実は問題文には前提がもう少し詳しく書いてあります。
（後出しですみません）

問題文は下記の通りです（要点だけ掻い摘んで）
?@会場におよそ６００人くらいの人がいる（正確な人数は分からない）
?A１０人グループを作ると３人余る
?B１５人グループを作ると８人余る
?C２１人グループを作ると５人余る
では、６人グループを作ると何人余るか？

自分は、?A?B?Cの条件のみから会場の正確な人数を求めることが出来ると思い
いろいろと計算しましたが収集が付かなくなり諦めました。
結果的には、６００前後で１０で割って３余る数を
適当に何個かピックアップして
条件?Aも?Bも満たす数を見つけ、最終的な解答を導きました。

ここで改めて質問なのですが
（教養問題そのものの解に対する質問ではなく
自分が疑問に思ったことに対する質問です）
仮にこの問題で?@の条件が示されなかった場合
会場にいる人数を条件?A?B?Cのみから求めることは可能なのでしょうか？
問題から解は正の整数のみとなります。
解が複数存在し得る場合、そのうちのひとつだけでも求められれば結構です。

もう一度質問をまとめます。

会場に人が沢山いる
１０人グループを作ると３人余る
１５人グループを作ると８人余る
２１人グループを作ると５人余る
会場には何人いるか？
（解が複数あればどれか一つで結構）

これは簡単に解くことができるのでしょうか？
No.60500 - 2019/08/06(Tue) 00:13:10
☆ Re: 連立方程式で / らすかる
解き方は上に書いてある通りでほとんど変わりません。

10x+3=15y+8=21z+5
辺々7足して 10(x+1)=15(y+1)=21z+12
辺々30足して 10(x+4)=15(y+3)=21(z+2)
この式の値は210tとおけるので 10(x+4)=15(y+3)=21(z+2)=210t
足した37を元に戻すと 10x+3=15y+8=21z+5=210t-37
よって会場の人数は
210×1-37=173, 210×2-37=383, 210×3-37=593, 210×4-37=803, …
のいずれかとなり、
「600前後」ならば593人となります。

上の計算式を文章で書くと、もっと簡単に感じられると思います。
10人グループなら3人余り、15人グループなら8人余り、21人グループなら5人余る
ということは、7人追加すれば
10人グループでピッタリ、15人グループでもピッタリ、21人グループなら12人余る
この後は「10人グループでピッタリ、15人グループでもピッタリ」を
崩さないように30人ずつ追加することにすると
たまたま最初に30人足しただけで21人グループの余り12+30=42=21×2なので
「21人グループでもピッタリ」になります。
つまり最初の状態
「10人グループなら3人余り、15人グループなら8人余り、21人グループなら5人余る」
に37人追加すれば10でも15でも21でも割り切れる人数になるということです。
実際、
10人グループで3人余っているところに37人追加すると余りが40人
→4グループ増えてちょうど
15人グループで8人余っているところに37人追加すると余りが45人
→3グループ増えてちょうど
21人グループで5人余っているところに37人追加すると余りが42人
→2グループ増えてちょうど
となります。
従って10と15と21の最小公倍数は210なので、
「37人追加すると210人の倍数」となり、
結局「人数は210人の倍数から37人引いた数」となります。
No.60501 - 2019/08/06(Tue) 02:01:54
☆ Re: 連立方程式で / らすかる
しかし

> 問題文は下記の通りです（要点だけ掻い摘んで）
> ?@会場におよそ６００人くらいの人がいる（正確な人数は分からない）
> ?A１０人グループを作ると３人余る
> ?B１５人グループを作ると８人余る
> ?C２１人グループを作ると５人余る
> では、６人グループを作ると何人余るか？

この問題文ならば、上のような計算は一切不要で、かなり簡単に解けます。
「10人グループを作ると3人余る」ということは、人数は奇数です。
「15人グループを作ると8人余る」ということは、
3人グループにするとグループ数が5倍+2グループとなって2人余りますので、
「3人グループを作ると2人余る」ということがわかります。
（「21人グループを作ると5人余る」からも同じ結果が導けます。）
「3人グループを作ると2人余る」ならば、
6人グループを作った場合は2人余るか5人余るかのどちらかですが、
人数が奇数ですから「5人余る」が答えとなります。
No.60502 - 2019/08/06(Tue) 02:07:58
☆ Re: 連立方程式で / 50才
ご説明ありがとうございました。
会場の人数の求め方、私には到底考えが及ばない解法でした。
また、会場の人数が未知のままでも余りが求まるということには驚きました。
自分の数学教養がどの程度なのか改めて知ることができました。
そして数学が美しいと言われる理由が私のレベルなりに感じれました。
ありがとうございます。
No.60503 - 2019/08/06(Tue) 07:52:00
★ (No Subject) / 太田
?@と?Aをそのまま円C x^2+y^2=1に代入したらダメなのでしょうか？
No.60487 - 2019/08/05(Mon) 14:13:44
☆ Re: / らすかる
Qは円C上の点ではないのでダメです。
No.60488 - 2019/08/05(Mon) 15:23:52
☆ Re: / 太田
つまり、Qのx、yと円Cのx,yは同じではないということでしょうか？
No.60489 - 2019/08/05(Mon) 17:25:00
☆ Re: / らすかる
その通りです。
円Cのx,yは円をxy平面上に表すための変数
Qのx,yはQの座標を表す定数扱いの変数
で無関係です。
No.60495 - 2019/08/05(Mon) 20:05:27
★ (No Subject) / うらら
すみません。計算する順番がわからなくなってしまいました。。解説お願いします。
No.60485 - 2019/08/05(Mon) 10:30:38
☆ Re: / らすかる
3×(2/3+0.5)-(3/5-□)÷9/10×0.75=3+5/12
3×(2/3+1/2)-(3/5-□)÷9/10×3/4=41/12
3×7/6-(3/5-□)÷9/10×3/4=41/12
7/2-(3/5-□)÷9/10×3/4=41/12
-(3/5-□)÷9/10×3/4=41/12-7/2
-(3/5-□)÷9/10×3/4=-1/12
-(3/5-□)=-1/12÷3/4×9/10
-3/5+□=-1/12×4/3×9/10
-3/5+□=-(1×4×9)/(12×3×10)
-3/5+□=-1/10
□=-1/10+3/5
□=1/2
となります。
No.60486 - 2019/08/05(Mon) 11:10:32
★ ベクトル解析 面積分 / かい
(2)を教えて下さい
No.60481 - 2019/08/04(Sun) 19:45:25
☆ Re: ベクトル解析 面積分 / X
これはヒントを見る限り、面積分の式に
誤植がありますね。
問題の面積分が
∬[F]↑f・d↑S=∬[F](↑f・↑n)dS (A)
の誤植であるとみて方針を。

(1)の結果から↑nのz成分は0ですので
↑f・↑n=(z+y^2)↑i・↑n+(x-2)↑j・↑n
∴ヒントにより
(A)=∬[F](z+y^2)dxdz+∬[F](x-2)dydz
ここで
F={(x,y,z)|x=4cosθ,y=4sinθ,0≦θ≦π/2,0≦z≦3}
∴
(A)=-∫[z:0→3]∫[θ:0→π/2]{z+16(sinθ)^2}・4sinθdθdz
+∫[z:0→3]∫[θ:0→π/2](4cosθ-2)・4cosθdθdz
=…
No.60483 - 2019/08/05(Mon) 00:02:31
★ (No Subject) / 大学数学 微分
A={2,4,b}{3,1,b}{1,4,a}
左から1行、2行、3行です
3×3の行列です
があるとき
AとAの逆行列の成分がすべて整数となるようなa,bの条件を求めてください
No.60480 - 2019/08/04(Sun) 19:13:53
☆ Re: / 関数電卓
A の逆行列 A-1 は こちら のとおりです。
A-1 の第 3 行 11, 4 は互いに素だから、A と A-1 の成分が全て整数となるための a, b の条件は、a, b が整数、かつ 10a−7b＝±1。
No.60482 - 2019/08/04(Sun) 21:17:25
★ (No Subject) / A
xyz空間について
x^2+y^2+z^2≦1,z≧0を満たす部分の体積は
平面z=2sin(π/18)によって二等分されることを示せ
証明お願いします。
No.60473 - 2019/08/03(Sat) 23:24:21
☆ Re: / X
問題の立体が平面
z=k(0＜k＜1)
で二等分されるとすると
体積について
π∫[0→k](1-z^2)dz=π∫[k→1](1-z^2)dz
これより
k-(1/3)k^3=1-k-1/3+(1/3)k^3
1-3k+k^3=0 (A)
ここで
f(k)=1-3k+k^3
として0＜k＜1でf(k)の増減表を書くことにより
0＜k＜1なる(A)の解はただ一つ (P)
であることに注意します。

一方
l=2sin(π/18)
と置くと
sin(π/18)=l/2
∴3倍角の公式により
sin(π/6)=3(l/2)-4(l/2)^3
これより
1/2=3(l/2)-4(l/2)^3
1-3l+l^3=0 (B)
(A)(B)(P)より問題の命題は成立します。
No.60474 - 2019/08/04(Sun) 00:14:01
☆ Re: / A
ありがとうございます
No.60477 - 2019/08/04(Sun) 09:15:14
★ 大学数学 積分 / お
広義積分だと思うのですが、求め方がさっぱり分かりません
No.60467 - 2019/08/03(Sat) 20:23:57
☆ Re: 大学数学 積分 / 関数電卓
t＝0 を除くという意味では広義積分ですが、
　与式＝∫[0,2]√(t^4−2t^3＋4t^2−2t＋1)dt …(*)
ですから、通常の積分です。ですが、√ の中は実数の範囲では因数分解できないようです。

特別な形を除く積分 ∫√(tの4次式 or 3次式)dt　は 楕円積分 と呼ばれ、解析的に計算を続行することができません。問題の出典は何ですか？ たとえば こちら の13ページ 1.3節の解説をお読み下さい。

(*)の積分値がどうしても欲しければ、近似計算 をするしかありません。
No.60496 - 2019/08/05(Mon) 21:35:11
★ (No Subject) / みじんこ
lim[n→∞] {(n^9-n^6)^(1/3) - n^3} この極限値を求めてください
No.60466 - 2019/08/03(Sat) 20:10:24
☆ Re: / ＩＴ
(n^9-n^6)^(1/3) - n^3 = (n^3)((1-1/n^3)^(1/3)-1)
　h=1/n^3 とおくと
= -((1-h)^(1/3)-1)/(-h)　なので　あとはx^(1/3)の微分の定義を使えばいいとおもいます。
No.60468 - 2019/08/03(Sat) 21:01:44
☆ Re: / みじんこ
そこから微分の定義でやる計算過程を教えていただきたい
No.60472 - 2019/08/03(Sat) 22:09:19
☆ Re: / X
横から失礼します。

f(x)=x^(1/3)
と置くとITさんの計算と微分係数の定義により
(与式)=-f'(1)
となる、ということです。
No.60475 - 2019/08/04(Sun) 00:17:41
☆ Re: / ＩＴ
微分を使う方法は Xさんの説明のとおりです。

微分を使わない方法
　こちらがx^a の微分を使わず計算出来て良いかも知れません｡

m=n^3とおくと
(n^9-n^6)^(1/3) - n^3 = m((1-1/m)^(1/3)-1)
　x=(1-1/m)^(1/3) とおくと　m=1/(1-x^3) なので
＝(x-1)/(1-x^3)=-1/(x^2+x+1) →　-1/3 (n→∞のときx→1）

（途中、分母≠0などを暗黙で使っています。）
No.60476 - 2019/08/04(Sun) 08:02:06
☆ Re: / X
ITさんの方針に似ていますが、こんな方針でも
できます。
(与式)=lim[n→∞]{(n^9-n^6)^(1/3)-n^3}{(n^9-n^6)^(2/3)+(n^3)(n^9-n^6)^(1/3)+n^6}/{(n^9-n^6)^(2/3)+(n^3)(n^9-n^6)^(1/3)+n^6}
=lim[n→∞]{(n^9-n^6)-n^9}/{(n^9-n^6)^(2/3)+(n^3)(n^9-n^6)^(1/3)+n^6}
=lim[n→∞]{(-n^6)/{(n^9-n^6)^(2/3)+(n^3)(n^9-n^6)^(1/3)+n^6}
=lim[n→∞]{(-1)/{(1-1/n^3)^(2/3)+(1-1/n^3)^(1/3)+1}
=-1
No.60479 - 2019/08/04(Sun) 13:48:21
★ 変形 / 赤間
(4)どうやればsinθ≦・・・の形にできますか
No.60462 - 2019/08/03(Sat) 16:48:49
☆ Re: 変形 / らすかる
両辺を2で割ればできます。
No.60463 - 2019/08/03(Sat) 17:05:46
☆ Re: 変形 / 赤間
ありがとうございます
No.60464 - 2019/08/03(Sat) 18:00:26
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