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★ 離散数学 / 米
はじめまして。今日の講義で反射律、対称律、反対称律、推移率を学んだのですが、考え方がよくわかりません。大問3のR1、R2、R3に対し、反射律、対称律、反対称律、推移率のどれが成り立つか考え方を教えて頂きたいです。お忙しいとは思いますが、よろしくお願いします。
No.61584 - 2019/09/30(Mon) 19:24:53
☆ Re: 離散数学 / 米
答えです
No.61585 - 2019/09/30(Mon) 19:25:37
☆ Re: 離散数学 / ＩＴ
問題の画像が上下逆さまです。見難いので答えが付き難いと思います。

R[1],R[2],R[3]のそれぞれについて　
　反射律、対称律、推移律、反対称律　がそれぞれ成り立つかどうか？　
１２個のうち１つも御自分で分かりませんか？

反射律が成り立つかどうかは、容易に分かるのでは？
（まったく分からない。というのでは回答が付き難いと思います）

そのほかも、成り立たない場合は、反例を一つ見つければ良いので少し考えれば、いくつかの答えは分かると思うのですが。

答えがあるので、成り立つものは証明し、成り立たないものは反例を見つければ良いです。

まずは、具体的なa,b について aR[1]a,aR[2]a,aR[3]a,　aR[1]b,bR[1]a,aR[2]b,bR[2]a,aR[3]b,bR[3]a かどうかを調べるところからでしょうか。

R[1]：反対称律が成り立つ。が分かり難いかも知れません。
No.61586 - 2019/09/30(Mon) 20:15:55
★ 質問お願いします。 / しょう
QHの大きさを求める際に単にy座標から大きさを求めればよかったのですが座標間の距離の公式を使って大きさを出そうとしたのですがQHの大きさがa^2 − 4a − 5となってしまい符号がそれぞれ逆でした。なにがまずかったのでしょうか？
No.61579 - 2019/09/30(Mon) 12:11:36
☆ Re: 質問お願いします。 / ヨッシー
a^2 − 4a − 5 が負であることに気づかなかったことがまずいです。

たぶん
　√(a^2 − 4a − 5)^2
みたいな式が出てきて、それをそのまま
　a^2 − 4a − 5
としたのでしょうが、√（−２)^2 を −２ としてはいけないのと
同じように、a^2 − 4a − 5 が負なら、
　√(a^2 − 4a − 5)^2＝−(a^2 − 4a − 5)
です。
No.61580 - 2019/09/30(Mon) 13:09:07
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
なるほど！ちなみにですがなぜそれが負と分かるのでしょうか？
No.61581 - 2019/09/30(Mon) 15:17:52
☆ Re: 質問お願いします。 / ヨッシー
ｙ＝x^2−4x−5 のグラフの -1＜x＜5 の部分を見れば一目瞭然ですし、
a^2−4a−5 の a に、-1＜a＜5 に該当する、0 とか 1 を代入すればわかります。
No.61582 - 2019/09/30(Mon) 15:29:14
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
なるほど！ありがとうございました！
No.61594 - 2019/10/01(Tue) 18:32:27
★ 文字と式 / 中1数学
1からnまでのすべての自然数を4で割ったときの余りの和をa、1からnまでのすべての自然数を5で割ったときの余りの和をbとする。このときa+bが925をこえるような最小の自然数nを求めなさい。

という問題なのですが、

a=0+1+2+3=6 b=0+1+2+3+4=10

となるのはわかるのですが、その先のがどのように考えたら最小の自然数ｎが求められるのかがわかりません。

答えは624だそうです。

解説よろしくお願いします。
No.61576 - 2019/09/30(Mon) 06:34:33
☆ Re: 文字と式 / らすかる
> a=0+1+2+3=6 b=0+1+2+3+4=10
> となるのはわかるのですが、
違います。これだと
aは1から4までのすべての自然数を4で割ったときの余りの和
bは1から5までのすべての自然数を5で割ったときの余りの和
です。
a,bは「1から『n』までの…」ですから、例えばn=13ならば
n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13のそれぞれを4で割った余りは
1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1なので
a=1+2+3+0+1+2+3+0+1+2+3+0+1=19
n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13のそれぞれを5で割った余りは
1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,3なので
a=1+2+3+4+0+1+2+3+4+0+1+2+3=26
のようになります。
従ってn=13の場合はa+b=19+26=45です。
この仕組みがわかれば答えを出せるのではないでしょうか。

あと、答えは624と書かれていますが264の間違いですね。
No.61577 - 2019/09/30(Mon) 06:46:23
★ 質問お願いします。 / しょう
200の3番の場合分けの仕方の解説をお願いします。
No.61571 - 2019/09/29(Sun) 15:02:47
☆ Re: 質問お願いします。 / X
C[2]とx軸との交点をx座標が小さい順に
Q,Rとします。つまり
Q(a,0),R(3a,0)
このとき、
直線x=3 (A)
と点Q,Rとの位置関係について、
以下のように場合分けします。
(i)(A)に関し、点Qが原点の反対側にあるとき
(ii)(A)に関し、点Qが点Rの反対側にあるとき
(iii)(A)に関し、点Rが原点と同じ側にあるとき
No.61572 - 2019/09/29(Sun) 16:09:08
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
I、II、?Vの所をもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか？よろしくお願いします。
No.61573 - 2019/09/29(Sun) 18:16:02
☆ Re: 質問お願いします。 / X
違いは面積を求めるべき図形の下側の境界線です。

(i)のとき
下の境界線はx軸のみ

(ii)のとき
下の境界線は
0≦x≦aのときx軸
a≦x≦3のときC[2]

(iii)のとき
下の境界線は
0≦x≦aのときx軸
a≦x≦3aのときC[2]
3a≦x≦3のときx軸


(i)(ii)(iii)いずれの場合もまずは
C[1],C[2],(A)のグラフを描いてみましょう。
No.61574 - 2019/09/29(Sun) 19:17:36
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
解答のグラフはこうなっているのですが図形の下側とはどの点を見ているのでしょうか？何度も申し訳ないです。

あと、解答の3<aの時のグラフですが、この部分の面積はC2の直前の3までで範囲が終わっていますがこの場合もC2に囲まれていると解釈できるのはなぜなのでしょうか？
No.61583 - 2019/09/30(Mon) 18:26:59
☆ Re: 質問お願いします。 / X
問題文をよく読みましょう。

面積を求める領域は
R「の中でy≧0を満たす〜領域」
であってRそのものではありません。

その点を踏まえてもう一度考えてみて下さい。
No.61587 - 2019/09/30(Mon) 20:25:18
★ 積分 / ブッキー
写真のように答えがなるようなのですが、アークサインー１は3/4πになると思います。なぜ答えのようになるのでしょうか？
No.61568 - 2019/09/29(Sun) 10:57:52
☆ Re: 積分 / ＩＴ
> アークサインー１は3/4πになると思います。
まちがいです。
sin((3/4)π),sin((1/2)π) ),sin(-(1/2)π) の値を確認してください。
No.61569 - 2019/09/29(Sun) 11:03:09
☆ Re: 積分 / GandB
　それにしても、なんで(3/4)πになると思ったのだろうか？
No.61575 - 2019/09/30(Mon) 00:18:23
☆ Re: 積分 / らすかる
多分πが360°と勘違いしたのでしょう。
No.61578 - 2019/09/30(Mon) 08:15:28
★ (No Subject) / まーるん
この問題なのですが、はてなの書いてあるところがなぜそうなるのかわかりません。
No.61566 - 2019/09/29(Sun) 08:41:32
☆ Re: / X
例えば
m-2＜m
m-3＜m
これらを踏まえてもう一度考えてみましょう。
No.61567 - 2019/09/29(Sun) 09:06:12
★ 整数行列 / 整数行列
整数行列を単因子標準形に変換する問題です。

計算過程は写真のようになりました。ですが変換する順番によって回答が異なってしまいます。

正しい変換はどのように行うのでしょうか。

よろしくお願いいたします。
No.61565 - 2019/09/29(Sun) 06:49:56
☆ Re: 整数行列 / ＩＴ
>ですが変換する順番によって回答が異なってしまいます。
どんな解答ですか？
No.61570 - 2019/09/29(Sun) 13:06:18
★ (No Subject) / メ
この問題で、Cpの方を考えるときに、指定の準線と焦点より、頂点の座標を(0 , p/2)。よってこれは、x²=4pyを、y方向に+p/2平行移動した物。として式を出し、点(3 , 3)を代入してpを出したのですが間違いでした。具体的にどこがいけないのか知りたいです…
No.61561 - 2019/09/29(Sun) 02:05:49
☆ Re: / らすかる
その方針自体は間違っていないと思いますので、
pを出すまでの過程で何か他の問題が
あったのではないかと思います。
具体的な指摘が必要でしたら、
あなたの解答を書いて下さい。
No.61563 - 2019/09/29(Sun) 04:25:32
☆ Re: / メ
返信ありがとうございます。解答の答えから逆算して確認してみたら確かに合ってました。ありがとうございました
No.61564 - 2019/09/29(Sun) 04:29:56
★ 整数問題の解説 / forex
2019年北海道大学理系第2問です。
nを自然数としてanを画像のように定めたとき、anとan+3の最大公約数dnは偶数であることを示す問題です。
私はユークリッドの互除法を用いて画像のように解きましたが、解説では画像の点線以下のような解き方がされていました。
なぜanとan+3の差が偶数であれば最大公約数が偶数であるといえるのか教えてください。
No.61557 - 2019/09/28(Sat) 21:34:27
☆ Re: 整数問題の解説 / らすかる
問題も点線以下の解説も変ですね。
「差が偶数」からd[n]は偶数とは言えませんので
その解説がその3行だけなら誤りです。
d[n]が偶数と言えるためには差をとった2項が偶数である必要が
ありますが、差をとった2項が偶数ならば、差をとるまでもなく
明らかに最大公約数は偶数です。

例えば
a[n]=n(n+1)は連続2自然数の積なので偶数。
全項が偶数だからa[n]とa[n+3]の最大公約数も偶数。
の2行で終わりだと思います。
No.61558 - 2019/09/28(Sat) 22:23:54
☆ Re: 整数問題の解説 / forex
ご回答ありがとうございます。
解説を確認しましたが、画像の点線以下の記述とa[n]とa[n+3]を書き下した式がありましたのでa[n]もa[n+3]もともに偶数だということを暗に示していたのだと思われます。
そうであるならば、そもそも差をとって偶数ということを式で示した記述は不要であるように感じます。
とにかく、自分自身納得できたので良しとします。
No.61559 - 2019/09/28(Sat) 22:47:21
☆ Re: 整数問題の解説 / ＩＴ
これは、元の問題のごく一部ですね。
全体は、
ｎを自然数とし、a[n]=n(n+1)とする。さらに、a[n]とa[n+3]の最大公約数をd[n]とする。
（１）d[n]は偶数であることを示せ。
（２）d[n]は８で割り切れないことを示せ。
（３）ｐを５以上の素数とするとき,d[n]はｐで割り切れないことを示せ。
（４）d[n]≦12を示せ、また、d[n]＝12となるnを１つ求めよ。

となっています。
（１）は、大問２の中での比重はごく小さいので、どこまでていねいに証明するかはありますが、「示せ」というからには、簡単な事項だからこそ「明らかに・・」ではダメで、ていねいに証明する必要があると思います。

ｎが偶数のときと奇数のときに分けてa[n]が偶数であることを示すのが良いかも知れません。

forexさんの解答では、各a[n]が偶数といえる根拠を明記していないので不十分ですね。（ユークリッドの互除法は無用ですし、ポイントが書いてないのでほぼ０点と思います。）

それにしても、解説のa[n+3]とa[n]の差をとる方法は意味不明ですね。ちゃんとした問題集ですか？
No.61562 - 2019/09/29(Sun) 03:22:46
★ (No Subject) / 高校2年
224番の1番なのですが、解答の水色線部分のところが何故こうなるかがわかりません。1と2をまとめたものがなぜ0より下になるのかが理解できません。解説よろしくお願いします。p.s.先日解答していただいた、らすかるさん返信できなくて申し訳ございません。わかりやすい説明ありがとうございました😊
No.61549 - 2019/09/27(Fri) 20:49:27
☆ Re: / 高校2年
解答1です
No.61550 - 2019/09/27(Fri) 20:49:57
☆ Re: / 高校2年
解答2のです
No.61551 - 2019/09/27(Fri) 20:50:28
☆ Re: / らすかる
「ab＜0」をバラすと
「a＜0かつb＞0」または「a＞0かつb＜0」ですから、
『「a＜0かつb＞0」または「a＞0かつb＜0」』と「ab＜0」は同値です。
従って
「x-3y+2＞0かつx-y＜0」または
「x-3y+2＜0かつx-y＞0」は
「(x-3y+2)(x-y)＜0」とまとめられます。
No.61552 - 2019/09/27(Fri) 21:00:17
★ 不等式 / むむむ
次のxについて不等式を解け、但しaは定数とする
ax>7

解は
a<0 : x<7/a
a=0 : 解なし
a>0 : x>7/a
となっております

自分で合わせた範囲を求めた結果では、
a<0 : x<7/a
a>0 : x>7/a
となったのですがこれも正解としてよいですか？
No.61541 - 2019/09/27(Fri) 13:42:26
☆ Re: 不等式 / らすかる
a=0のときが抜けていますので不正解です。
No.61543 - 2019/09/27(Fri) 14:42:14
☆ Re: 不等式 / むむむ
それでは
a<0 : x<7/a
a=0 : 解なし
a>0 : x>7/a
により、
「a<0のとき x<7/a, a>0のとき x>7/a」
とするのはありですか？
No.61544 - 2019/09/27(Fri) 15:00:12
☆ Re: 不等式 / らすかる
なしです。
a=0の場合も書かないと正解にはなりません。
No.61545 - 2019/09/27(Fri) 15:15:42
☆ Re: 不等式 / むむむ
問題がxについて不等式ax>7を解け
だとxが不適のときも含めた全ての場合を求めている
と考えなくてはいけないとすると

たとえば問題が
ax>7を満たすｘの範囲を求めよ
のような問題であれば場合分け
a<0 : x<7/a
a=0 : 解なし
a>0 : x>7/a
のa=0のときはxの範囲を満たさないので不適のため
「a<0のとき x<7/a, a>0のとき x>7/a」
が解として正解となるのでしょうか？
No.61547 - 2019/09/27(Fri) 16:51:34
☆ Re: 不等式 / らすかる
そういう問題文でもa=0の場合は書く必要があると思います。
場合分けしている場合はすべての場合を尽くしていないとダメです。
No.61548 - 2019/09/27(Fri) 19:23:07
☆ Re: 不等式 / むむむ
自分の頭がバカ過ぎて何だか泣けてきました
場合分けは全ての場合を書かなければいけない事はわかりますが、
問題式でa=0か成り立たない事は明らかなので
隠れた実数条件？として最初からa=0を除外して場合分けしたり、
解にするときに合わせた範囲にして不適を外して考えたりしていけない理由は何故なのかいまいち分かりません
No.61553 - 2019/09/28(Sat) 02:10:59
☆ Re: 不等式 / らすかる
「問題式でa=0か成り立たない事は明らかなので
　隠れた実数条件？として最初からa=0を除外」してよいのは、
aが変数扱いの場合です。
例えば
　aを定数とするとき、不等式a(x-1)(x-2)＜0を解け。
という問題ならば
　a＜0のとき、x＜1またはx＞2
　a＝0のとき、解なし
　a＞0のとき、1＜x＜2
のように答えなければなりませんが、
　不等式a(x-1)(x-2)＜0を満たすa,xの条件を調べよ。
という問題の場合は
　a＜0かつ(x＜1またはx＞2) または
　a＞0かつ1＜x＜2
が答えになります。
つまり、「変数」扱いならば「解」ですから不適解は書く必要がありませんが、
与える「定数」扱いならば「解」ではなく「解を導くための条件」ですから
すべての場合を尽くしていなければいけません。
No.61554 - 2019/09/28(Sat) 02:30:15
☆ Re: 不等式 / むむむ
こんなのにお付き合い下さりありがとうございます
2次不等式がまだ未習のため取り敢えずの理解としては、
xy>7を満たす実数xと実数yの条件を求めよ
のような問題であればxを変数として場合分けして
x<0 : y<7/x
x=0 : 解なし
x>0 : y>7/x
のx=0の条件はyの範囲を満たさないので不適のため
合わせた範囲である
「x<0のとき y<7/x, x>0のとき y>7/x」
が解となる？
こんな感じでしょうか？
No.61555 - 2019/09/28(Sat) 15:54:42
☆ Re: 不等式 / らすかる
そんな感じではありますが、
x＜0は解の一部ですから「x＜0のとき」のように書くのはおかしいです。
修正すると
(x＜0かつy＜7/x)または(x＞0かつy＞7/x)
ぐらいですね。

# つまり「x＜0のとき」という書き方がある場合は自動的に
# 「x＝0のとき」も必要になるということです。
No.61556 - 2019/09/28(Sat) 18:25:54
☆ Re: 不等式 / むむむ
本当にありがとうございます
何がいけなかったのかがだいぶわかりました
まだ少し疑問があるのですがそこは
とりあえず二次不等式まで勉強してからもう一度向き合う必要があると感じたので勉強を進めます
No.61560 - 2019/09/29(Sun) 01:07:10
★ コンデンサ / あ
コンデンサ直列で充電してから並列にし、端子電圧を求める問題です。
直列の電荷量は120μCなのに並列すると240μCになるのはなぜですか？
No.61540 - 2019/09/27(Fri) 13:34:39
☆ Re: コンデンサ / るー
コンデンサの特性として、コンデンサを直列接続したとき、各コンデンサに等しい電荷が蓄えられる。電荷量120μCのとき、20μのコンデンサ、30μのコンデンサ双方とも120μCの電荷量があるため、並列につないだ場合240μCの電荷量となる。
No.61542 - 2019/09/27(Fri) 14:31:46
★ 質問お願いします。 / しょう
ケコサについてです。Rの座標をx、yと置きaを消去して得られる放物線と解答には書かれているのですが、処理の仕方は分かるのですがなぜこの処理をするとaの値によらずこの放物線上にあると言えるのでしょうか？
No.61529 - 2019/09/26(Thu) 17:51:08
★ (No Subject) / 高1
[2]
(i)のcosAは余弦定理で1/3 まで求めましたが、それ以降の解き方がわかりません。

よろしくお願いします。
No.61528 - 2019/09/26(Thu) 16:43:54
☆ Re: / X
方針を。

(i)
公式
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1
により
sin∠A=√{1-(cos∠A)^2}=…
よって△ABHに注目すると…

(ii)
(i)の結果を使い、△BCHに注目すると
cos∠CBH=BH/BC=…
ここで点Pから辺BCに下ろした垂線の足をI
とすると条件から
BI=(1/2)BC=…
よって△BIPに注目することにより
BP=BI/cos∠CBH=…
No.61537 - 2019/09/26(Thu) 20:38:15
★ (No Subject) / セレクト
(1)n(n-1)/2
(2)n(n-1)(n-2)(3n-5)/24
(3)2^(n-1)-1
(4)S[n+1](k)=S[n](k-1)+kS[n](k)

なのですが、プロセスが分かりません。
No.61522 - 2019/09/26(Thu) 09:30:24
☆ Re: / らすかる
(1)
1〜nの数字をn-1個の空でない部分に分割するということは、
n-1個のうちどれか1個に数字が2個入り、残りの数字は単独です。
従って分割する方法の数はn個の数字から2個選ぶ組合せですから、
S[n](n-1)=nC2=n(n-1)/2となります。

(2)
1〜nの数字をn-2個の空でない部分に分割するということは、
n-2個のうちどれか1個に数字が3個入り、残りの数字が単独であるか、
もしくはn-2個のうちのどれか2個に数字が2個ずつ入り、残りの数字が
単独であるかのいずれかです。
前者はnC3=n(n-1)(n-2)/6通り
後者は{nC2×(n-2)C2}/2=n(n-1)(n-2)(n-3)/8通り
従って
S[n](n-2)=n(n-1)(n-2)/6+n(n-1)(n-2)(n-3)/8
={n(n-1)(n-2)/24}{4+3(n-3)}
=n(n-1)(n-2)(3n-5)/24
となります。

(3)
1〜nの数字を2個の空でない部分に分割するということは、
n個の数字を2グループに分ける方法なので
グループに区別があるとき2^n-2通り、
よって区別がなければ
S[n](2)=(2^n-2)/2=2^(n-1)-1
となります。

(4)
1〜n+1の数字をk個の空でない部分に分割するとき、
n+1という数字がどこに入っているか考えると、
n+1が単独のときはそれを除けば1〜nがk-1個の空でない部分に
分割されている状態になるのでS[n](k-1)通り
n+1が他の数字と一緒のときは1〜nがk個の空でない部分に
分割されている状態からkグループのどれかにn+1を追加した
状態なのでkS[n](k)通り
従って合わせて
S[n+1](k)=S[n](k-1)+kS[n](k)
となります。
No.61526 - 2019/09/26(Thu) 10:17:34
★ 息子の算数 / ブンタの父
小学1年の息子が足し算で、10+3を息子の頭の中では、6+4+3みたいに計算するみたいです。

親的には、数学が得意とかではないので、もしかすると、こんな計算のやり方は、実は深かったりするのでしょうか？それとも、10は10って教えたほうが良いのか、数学的な答えをお願いします。
No.61514 - 2019/09/25(Wed) 23:36:15
☆ Re: 息子の算数 / ヨッシー
他の場合、たとえば 10＋8 はどうしているのかなど、もう少し詳しく聞いてみる必要はあると思います。

これだけの情報では、「意味の無い分解」と思えてしまいますし、むしろ、「本当に頭の中でそうしているの？」とさえ思えてしまいます。

6＋7 を 6＋4＋3 とすることには、大いに意味があります。
No.61515 - 2019/09/26(Thu) 05:56:38
☆ Re: 息子の算数 / ＩＴ
なぜ、そうしているのか聞いて　まちがいを直してあげた方がいいとおもいます。
No.61517 - 2019/09/26(Thu) 07:35:45
☆ Re: 息子の算数 / ブンタの父
ヨッシーさん ITさんこんな変な疑問に、親切にご返答頂きありがとうございます。

今日、やっぱり息子に聞いたら、10+3のやり方が、10は、5+5だから、5+3=8 8+5=13みたいです。
数字遊びをしてるのか、答えがあってるから、まぁいいかと思ってます。
数学的には、特に深く無いのですね。
ありがとうございます
No.61527 - 2019/09/26(Thu) 16:42:25
☆ Re: 息子の算数 / ＩＴ
柔軟な発想は大切ですし、遠回りになっていますが、「まちがい」ではないので　いいかも知れませんね。　
No.61531 - 2019/09/26(Thu) 18:26:26
★ おそらく帰納法です。 / セレクト
おそらく帰納法の問題ですが、どうやるか
分からないので、教えてください。
No.61508 - 2019/09/25(Wed) 17:52:32
☆ Re: おそらく帰納法です。 / らすかる
n=1のときp[1](x)=x, q[1](x)=1で与式が成り立つ。
n=kのときsinkθ=p[k](tanθ)(cosθ)^k, coskθ=q[k](tanθ)(cosθ)^kが成り立つとすると
sin(k+1)θ=sinkθcosθ+coskθsinθ
=sinkθcosθ+coskθtanθcosθ
=(sinkθ+coskθtanθ)cosθ
={p[k](tanθ)(cosθ)^k+q[k](tanθ)(cosθ)^k・tanθ}cosθ
={p[k](tanθ)+q[k](tanθ)・tanθ}(cosθ)^(k+1)
cos(k+1)θ=coskθcosθ+sinkθsinθ
=coskθcosθ+sinkθtanθcosθ
=(coskθ+sinkθtanθ)cosθ
={q[k](tanθ)(cosθ)^k+p[k](tanθ)(cosθ)^k・tanθ}cosθ
={q[k](tanθ)+p[k](tanθ)・tanθ}(cosθ)^(k+1)
なので
p[k+1](x)=p[k](x)+q[k](x)・x
q[k+1](x)=q[k](x)+p[k](x)・x
とすればn=k+1のときも成り立つ。
No.61510 - 2019/09/25(Wed) 18:16:03
☆ Re: おそらく帰納法です。 / セレクト
ありがとうございました!!
No.61530 - 2019/09/26(Thu) 18:00:09
★ 関数の列 / ポム
未修の分野で分かりません。お願いします。
No.61502 - 2019/09/25(Wed) 06:18:23
☆ Re: 関数の列 / らすかる
Σ[k=1〜n](k+2)(cost)^(k+1)-k(cost)^(k-1)
=Σ[k=1〜n](k+2)(cost)^(k+1)
　-Σ[k=1〜n]k(cost)^(k-1)
=Σ[k=3〜n+2]k(cost)^(k-1)
　-Σ[k=1〜n]k(cost)^(k-1)
=(n+2)(cost)^(n+1)+(n+1)(cost)^n-2cost-1
なので
f[n](x)=∫[0〜x]{Σ[k=1〜n](k+2)(cost)^(k+1)-k(cost)^(k-1)}sintdt
=∫[0〜x]{(n+2)(cost)^(n+1)+(n+1)(cost)^n-2cost-1}sintdt
=-∫[1〜cosx]{(n+2)u^(n+1)+(n+1)u^n-2u-1}du　（cost=uとおいた）
=-[u^(n+2)+u^(n+1)-u^2-u][1〜cosx]
=-{(cosx)^(n+2)+(cosx)^(n+1)-(cosx)^2-cosx}
={1-(cosx)^n}(1+cosx)cosx
x=2nπのときcosx=1なのでf[n](x)=0
x=(2n+1)πのときcosx=-1なのでf[n](x)=0
それ以外のとき|cosx|＜1なのでlim[n→∞](cosx)^n=0
よって
lim[n→∞]f[n](x)=
0　（x=nπのとき）
(1+cosx)cosx　（それ以外のとき）

lim[x→2π]{f(x)-f(2π)}
=lim[x→2π]f(x)
={1+cos(2π)}cos(2π)
=2

# 計算はご確認下さい。
No.61504 - 2019/09/25(Wed) 12:35:57
★ 大小関係 / kitano
kitano です、名古屋大学 理系 過去問

宜しく御願いします。

問題

https://imgur.com/a/HB6hu2o

何卒、宜しく御願い致します。
kitano
No.61500 - 2019/09/25(Wed) 06:09:55
☆ Re: 大小関係 / らすかる
例えばa=1,b=2のとき
(a^3+b^3)/2=9/2
{(a+b)/2}^3=27/8
9/2＞27/8
なので
(a^3+b^3)/2＜{(a+b)/2}^3
は成り立ちません。
従って問題不備で解答不可能です。
No.61503 - 2019/09/25(Wed) 12:12:11
☆ Re: 大小関係 / kitano
らすかる様

大変申し訳ありません、問題ミスでした。

正しくは

https://imgur.com/a/q7GPUQX

になります。

何卒、宜しく御願い致します。

kitano
No.61505 - 2019/09/25(Wed) 13:01:54
☆ Re: 大小関係 / らすかる
([3]√12/12)^3=1/144＜1/125=(1/5)^3なので[3]√12/12＜1/5
よってa=[3]√12-[3]√12/12, b=2+1/5とすると
a+b=[3]√12+2+(1/5-[3]√12/12)＞[3]√12+2
このa,bを与不等式の左辺に代入すると
(a^3+b^3)/2={([3]√12-[3]√12/12)^3+(2+1/5)^3}/2
=(1331/144+1331/125)/2=1331(1/144+1/125)/2
=358039/36000＜10
なので
10＞(a^3+b^3)/2≧{(a+b)/2}^3＞{([3]√12+2)/2}^3={[3]√(3/2)+1}^3
∴[3]√10＞[3]√(3/2)+1

# もう少し良い解き方がありそうな気がします。
No.61506 - 2019/09/25(Wed) 15:43:38
☆ Re: 大小関係 / ＩＴ
(a^3+b^3)/2＞{(a+b)/2}^3　（等号なし）　を使ってなら、ストレートで[3]√10＞[3]√(3/2)+1が示せますね。
No.61512 - 2019/09/25(Wed) 20:35:36
☆ Re: 大小関係 / らすかる
最後の「但し、a=[3]√(3/2),b=1での解法は除く」がない場合は、
そのようにストレートに示して[3]√10≠[3]√(3/2)+1であることを
別に示すのが簡単そうですね。
No.61513 - 2019/09/25(Wed) 22:00:42
☆ Re: 大小関係 / ＩＴ
解法制限がありましたね。
いつの　名古屋大学 理系 過去問　か分かりませんが、意味不明の解法制限ですね。
No.61516 - 2019/09/26(Thu) 07:28:53
☆ Re: 大小関係 / kitano
らすかる様、

ご返信頂き有難うございます。

一つ質問なのですが、

回答の　始め

>([3]√12/12)^3

12 を持ち出せた(持ち出した)理由を教えて下さい

何卒、宜しく御願い致します

kitano
No.61518 - 2019/09/26(Thu) 07:49:37
☆ Re: 大小関係 / らすかる
どちらの12ですか？
No.61519 - 2019/09/26(Thu) 09:06:02
☆ Re: 大小関係 / kitano
らすかる様

何度も申し訳ありません

>([3]√12/12)^3　の


√12　の12 です。

何卒宜しく御願い致します

kitano
No.61520 - 2019/09/26(Thu) 09:28:44
☆ Re: 大小関係 / らすかる
[3]√(3/2)+1を2倍すると[3]√12+2なので12が出てきますね。
No.61524 - 2019/09/26(Thu) 09:44:23
☆ Re: 大小関係 / らすかる
多少ましな解法を思い付きました。

[3]√10 と [3]√(3/2)+1 の大小関係は双方を2倍して3乗しても変わらない。
(2[3]√10)^3=80
{2([3]√(3/2)+1)}^3=([3]√12+2)^3=20+12[3]√18+12[3]√12
80 と 20+12[3]√18+12[3]√12 の大小関係は双方から20を引いて12で割っても変わらない。
(80-20)÷12=5
(20+12[3]√18+12[3]√12-20)÷12=[3]√18+[3]√12
よって
「5と[3]√18+[3]√12の大小関係」＝「[3]√10と[3]√(3/2)+1の大小関係」。
与不等式の両辺を8倍して
4(a^3+b^3)≧(a+b)^3
a=[3]√18,b=[3]√12を代入すると
120≧([3]√18+[3]√12)^3
125＞([3]√18+[3]√12)^3
5＞[3]√18+[3]√12
となるので[3]√10の方が大きい。
No.61525 - 2019/09/26(Thu) 09:56:16
☆ Re: 大小関係 / kitano
らすかる様

早速のご返信にすぐに出来ませんでしたこと

申し訳ありません。

今から、じっくり頂いた回答を理解するつもりです。

何卒宜しく御願い致します。

kitano
No.61538 - 2019/09/27(Fri) 02:13:13
☆ Re: 大小関係 / kitano
らすかる様

今回も本当に有難うございました

別解　感動しました。

尊敬いたします


本当に有難う御座いました

kitano
No.61539 - 2019/09/27(Fri) 04:17:36
★ 積分 / あつ
写真のシャーペンで、下線引いてるところなんですが、
これは1/2n＋3から逆算するのですか？
No.61497 - 2019/09/24(Tue) 22:57:54
☆ Re: 積分 / らすかる
上の行のx^(2n+2)/(1+x^2)は
x=0のとき(分子)=0,(分母)=1
0＜x≦1のとき(分子)＞0,(分母)＞1
なので、分母を消すと積分結果は大きくなりますね。
ただそれだけのことです。
No.61499 - 2019/09/24(Tue) 23:54:14
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