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★ (No Subject) / サイ
ある細胞Aがある。
この細胞は1分ごとに分裂し、2コの細胞となる。
細胞A1コをコップに入れると、1時間で、コップは細胞Aでいっぱいとなった。

では、細胞Aを2ココップに入れた時、何分でいっぱいになるか。

お願いします
No.61039 - 2019/08/29(Thu) 20:16:02
☆ Re: / らすかる
1個のとき1分後が2個なので、2個から一杯までは59分です。
No.61040 - 2019/08/29(Thu) 20:18:57
★ 数?@ 集合の包含関係関係・相等の証明 / health-p
問1 と 問2 の記述を書きました。合っていますか？お願いします。
No.61036 - 2019/08/29(Thu) 18:25:12
☆ Re: 数?@ 集合の包含関係関係・相等の証明 / ＩＴ
問１　まちがっています。
解答の２行目の最初の「B={3m-1|n∈Z} となる。」は、これ単独で見てもおかしいです。Bがどんな集合か分かりません。
じっくり眺めて見てください。
No.61038 - 2019/08/29(Thu) 19:01:51
☆ Re: 数?@ 集合の包含関係関係・相等の証明 / health-p
それではどのように書き直したらいいですか？
No.61041 - 2019/08/29(Thu) 20:54:43
☆ Re: 数?@ 集合の包含関係関係・相等の証明 / ＩＴ
お使いのテキストの例題ではどんな記述になっていますか？
それを真似るといいと思います。


私は、A⊃Bを示すときには　Ｂの任意の元xについてx∈Ａとなることを示します。
No.61042 - 2019/08/29(Thu) 21:18:56
★ y=x√(2-x^2)no / ポメラニアン
連投すみません。

y=x√(2-x^2)
ｙ'=1・(2-x^2)^1/2+{x(2-x^2)^1/2}'
y'=(2-x^2)^1/2+{x・-x/(2-x^2)^1/2}
y'=(2-x^2)^1/2-x^2/(2-x^2)^1/2
No.61032 - 2019/08/29(Thu) 03:03:04
☆ Re: y=x√(2-x^2)の微分 / ポメラニアン
この解き方が分かりません。
自力で解いたのですが、合っている気がしません。

よろしくお願いします。
No.61033 - 2019/08/29(Thu) 03:04:34
☆ Re: y=x√(2-x^2)no / らすかる
そこまでは合っていますので
もう少しまとめれば終わりです。
y'=√(2-x^2)-x^2/√(2-x^2)
={(2-x^2)-x^2}/√(2-x^2)
=(2-2x^2)/√(2-x^2)
=2(1-x^2)/√(2-x^2)
No.61034 - 2019/08/29(Thu) 04:05:55
☆ Re: y=x√(2-x^2)no / ポメラニアン
よく理解できました。
らすかるさん、ありがとうございます！
No.61035 - 2019/08/29(Thu) 09:40:36
★ (No Subject) / Hzuzu
(2)の式変形で4行目から5行目はどのように変形したのかよくわかりません。
教えてください
No.61027 - 2019/08/29(Thu) 02:36:56
☆ Re: / らすかる
{(tanx)^n}'=n(tanx)^(n-1)・{tanx}' から
{(tanx)^(n+1)}'=(n+1)(tanx)^n・{tanx}' となりますね。
従ってこの両辺をn+1で割れば
{1/(n+1)}{(tanx)^(n+1)}'=(tanx)^n・{tanx}' ですから、
(tanx)^n・{tanx}' を積分すると{1/(n+1)}{(tanx)^(n+1)}になります。
（積分定数省略）
No.61030 - 2019/08/29(Thu) 02:54:32
★ 極限値を求める / ポメラニアン
lim(x→∞)log[2]x/log[2](x+1)

答えは1ですか？計算過程をご教授願いたいです。
No.61026 - 2019/08/29(Thu) 02:21:22
☆ Re: 極限値を求める / らすかる
lim[x→∞]log[2]x/log[2](x+1)
=lim[x→∞]1-{log[2](x+1)-log[2]x}/log[2](x+1)
=lim[x→∞]1-log[2]{(x+1)/x}/log[2](x+1)
=lim[x→∞]1-log[2](1+1/x)/log[2](x+1)
=1
となりますね。
No.61028 - 2019/08/29(Thu) 02:48:11
☆ Re: 極限値を求める / ポメラニアン
ありがとうございます！
よく分かりました。
No.61031 - 2019/08/29(Thu) 03:01:53
★ (No Subject) / 谷子
このような問題で、解き方はわかるんですけど、対数自体をあまり理解できなくて、サイトや教科書をみてもいまいちわかりません。
この問題でいうと、log10の1/30の範囲が-30かは-29と分かったらなぜ、初めてゼロでない数字があらわれる少数の位が出てくるのががわかりません。わかりやすく教えていただきたいです。
No.61025 - 2019/08/29(Thu) 00:41:42
☆ Re: / らすかる
対数自体をあまり理解できていないのでしたら、
こういう掲示板で聞くよりも、「対数」で検索して
自分が理解できる解説サイトを見つける方が良いと思います。
基本的な事項は丁寧に解説しているサイトがいくらでもあります。
No.61029 - 2019/08/29(Thu) 02:50:26
☆ Re: / GandB
> 対数自体をあまり理解できなくて、サイトや教科書をみてもいまいちわかりません。

　サイトには似たような問題はいっぱいあるけどね。

> log10の1/30の範囲が-30から-29と分かったらなぜ、初めてゼロでない数字があらわれる
> 少数の位が出てくるのががわかりません。

　　-30 = log10( 10^(-30) )
であるから
　　-30 < log10( (1/30)^20 ) < -29
とは
　　log10( 10^(-30) ) < log10( (1/30)^20 ) < log10( 10^(-29) )
のことであり、log10(x) は単調増加関数なので
　　10^(-30) < (1/30)^20 < 10^(-29).
　10^(-30) は小数第 30 位に初めて 0 でない数字が表れる。
　10^(-29) は小数第 29 位に初めて 0 でない数字が表れる。
　したがって (1/30)^20 は小数第 30 位に初めて 0 でない数字が表れる。
No.61045 - 2019/08/30(Fri) 00:01:05
★ 整数の証明問題 / 美雪
実数xの小数部分を0≦y<1、かつx-yが整数となる実数yのこととし、これを記号〈x〉で表す。実数aに対して、無限数列{a_n}の各項a_n(n=1、2、3、…)を次のように順次定める。

a_1=〈a〉

a_n=≠0のとき、a_(n+1)=〈1/a_n〉

a_n=0のとき、a_(n+1)=0

aが有理数であるとする。aを整数pと自然数qを用いてa=p/qと表すとき、q以上のすべての自然数nに対して、a_n=0であることを示せ。

pをqで割った商r_1、余りをs_1とします。q>s_1です。

a_1=s_1/qで、s_1=1なら、a_2以降はすべての項が0になり、題意は成立します。s_1≠1とします。

qをs_1で割った商r_2、余りをs_2とします。s_1>s_2です。

a_2=s_2/s_1で、s_2=1なら、a_3以降はすべての項が0になり、題意は成立します。s_2≠1とします。

s_1をs_2で割った商r_3、余りをs_3とします。s_2>s_3です。

a_3=s_3/s_2で、s_3=1なら、a_4以降はすべての項が0になり、題意は成立します。s_3=1とします。

以下同様に、s_(n-2)をs_(n-1)で割った商r_n、余りをs_nとします。

a_n=s_n/s_(n-1)

a_nの分子に着目しますと、s_nは、q>s_1>s_2>…>s_nで、nの単調減少数列です。自然数qに対して、s_1、s_2、…s_(q-2)までに1であるものが存在しますと、それ以降はすべての項が0になり、題意は成立します。s_1からs_(q-2)までで1になるものがないと仮定します。

すると、s_1は最大でもq-1で、s_1、s_2、…s_(q-1)はすべて異なる自然数ですので、仮定から、s_(q-1)は1です。よってa_qは0になり、以降はすべての項が0ですので、題意は成立します。

後半部分に大きな×がついていますので、おそらく後半がだめなのだと思います。どこをどのように修正すれば正答になりますでしょうか。わかりやすく教えてください。
No.61024 - 2019/08/28(Wed) 23:37:40
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
論理展開が分かりづらいです。

> pをqで割った商r_1、余りをs_1とします。q>s_1です。

> a_1=s_1/qで、s_1=1なら、a_2以降はすべての項が0になり、題意は成立します。s_1≠1とします。

（中略）

>以下同様に、s_(n-2)をs_(n-1)で割った商r_n、余りをs_nとします。

ここまでの「s_1≠1とします。・・・s_3=1とします。（s_3≠1とします。の間違い？）」という記述と

これ以降の
「自然数qに対して、s_1、s_2、…s_(q-2)までに1であるものが存在しますと、それ以降はすべての項が0になり、題意は成立します。s_1からs_(q-2)までで1になるものがないと仮定します。」の記述の関係が分かりづらいです。

前段が具体的な例示的記述で、後段が一般的な記述（証明の本体）なら明確に分けて書いた方がいいとおもいます。


> a_n=s_n/s_(n-1)

分母が0になるのを避けないといけないと思います。

> q>s_1>s_2>…>s_nで、nの単調減少数列です。
各s_i が０（１？）以上の整数であることを明記した方がいいとおもいます。

> すると、s_1は最大でもq-1で、s_1、s_2、…s_(q-1)はすべて異なる自然数ですので、仮定から、s_(q-1)は1です。
「仮定」とは何ですか？

s_1 がq-1より小さいときはどうなりますか？
No.61055 - 2019/08/30(Fri) 21:28:53
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
s_i=1 かどうかに着目するより、s_i=0かどうかに着目した方が良いのでは？

pとqは互いに素とは限らないので、途中どこでもs_i=1 にならないことがあると思います。（pとqが互いに素な場合に帰着させる方法はありますが）

ここが根本的なまちがいの元だと思われます。

例えば、a=2/4 のとき a_1=2/4 ,a_2=0
No.61056 - 2019/08/30(Fri) 21:56:31
☆ Re: 整数の証明問題 / 黄桃
今までの質問もこの質問も、考え方は合っているので、邪推なら申し訳ないですが、

実は、この問題は類題（あるいは同じ問題）を先生が授業で解いていた

という疑いを持ちました。

その時に、先生が

ここは重要と強調したポイントが抑えらえていない、とか、
ここは自分できちんとした証明にしなさい、

とかいった部分ができてない、ということではないか、と疑心暗鬼になりました。

＃はっきり言えば、授業で先生が書いたことを丸写ししているだけで
＃理解できているかどうかがわからない答案ではないか、という可能性がある、ということ。

この邪推が正しいとすると、
解法が理解できているのに書き方が悪い
のではなくて、
そもそも解答が理解できていない、
ということになるので、回答者としては敬遠したくなります。

大きな×の趣旨としては、おそらく、

* 一般のkについて、漸化式 a[k]=s[k]/s[k-1] が導かれる過程をきちんと書く(以下同様に、ではダメ）
* その過程で、s[k]とは何か、きちんと定義する。
* 後で使うs[k]の性質もきちんと示す。

ができてないということでしょう。

この解法を理解しているのなら、ご自分で修正できるはずです。
No.61058 - 2019/08/31(Sat) 09:18:48
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
2011東大理系入試問題　のようですね。
https://www.densu.jp/tokyo/11tokyospass.pdf

先生は、お忙しいのか　これも採点が乱暴ですね。
０点にしても、単なる×ではなく少しは添削指導して欲しいものですね。
No.61059 - 2019/08/31(Sat) 09:34:51
☆ Re: 整数の証明問題 / 美雪
IT様、回答ありがとうございました。
修正するところがよくわかりました！

黄桃様、大変恐縮ですが、そのようなことはございません。一応テスト中に自分で考えた解答です。授業で扱った問題ではありません。
No.61076 - 2019/09/01(Sun) 00:47:20
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
aが有理数であるとする。aを整数pと自然数qを用いてa=p/qと表すとき

先にも書きましたが、p/qは一意ではないことに注意が必要です。　「pとqは互いに素」とすると一意です。

各a[n]は一意に決まっています。
>修正するところがよくわかりました！

直されたら書き込んでみて下さい。出来れば手書きの方が読み安いかも知れません。


> 一応テスト中に自分で考えた解答です.
考え方は良いところまで行っているので、記述力と細部の点検（例外処理）を訓練されると良いとおもいます。

本番では、模範解答のような綺麗な答案が書けるわけではありません。書けなくてもポイントを押さえていれば、あるていど得点できます。

練習では、推敲して綺麗な（簡潔で論理に漏れや飛躍がなく読み易い）答案を作る訓練をしておかれるといいとおもいます。

特に、数学的帰納法、背理法は訓練されておいた方が良いと思います。

例えば
>a_2以降はすべての項が0になり、題意は成立します。
ここでは「題意は成立します。」は記述不要だと思います。
「a_2以降はすべての項が0になる。」の方が良いと思います。
「題意は成立します。」を書くより　a_2=0 となる理由を書くほうが大切です。

中央文庫の「数学受験術指南（森毅）」の２章入試採点の内幕、６章数学答案の書き方、などを読んで見られるのもいいかも知れません。
No.61079 - 2019/09/01(Sun) 06:53:56
☆ Re: 整数の証明問題 / 黄桃
失礼しました。そういうことなら、安心しました。かなり優秀だと思うので、自信をもってください。
個人的にはこのような解答でも90-95%くらいはOKだと思います。

この問題は、ユークリッドの互除法のいいかえにすぎないので、教科書や参考書のその付近の記述を参考にするといいでしょう。

>pをqで割った商r_1、余りをs_1とします。q>s_1です。
>a_1=s_1/qで、

とあるのですから、これを一般化していきます。
自分で発見した順に書くよりは、いきなり結論を述べて証明する方が書きやすいこともあり、この問題はそういうものでしょう。

以下、参考にしてください。

s[0]=q, s[1]を pをqで割った余り、とします(qは1以上ですからs[1]は0かも知れませんが、存在します）。
そして、s[k](k≧2)を、s[k-1] が0なら0、そうでないなら、s[k-2]をs[k-1]で割ったあまり(0≦s[k]<s[k-1]) と定義します。
なお、
(*) 0≦a<1 に対して、=a
(**) nが整数なら、<n+a>=
が成立します（後で使うので名前をつけておきます；この証明までは要求されないでしょう）。

すると、次のことが言えます。
命題
kを自然数とすると、
(1) s[k]は0以上の整数
(2) s[k]が0でないなら、a[k]=s[k]/s[k-1], s[k]が0なら a[k]=0
(3) {s[k]}は単調減少(s[k+1]≦s[k])で、s[k]>0 なら、s[k+1]<s[k]
証明
(1),(2)は数学的帰納法で証明します。
s[k]の定義が3項間漸化式みたいなので、(1),(2)は、最初の2つを示す必要があります。
(1)について。
k=1,2の時
s[1]=q は仮定により自然数だから正しい。s[2]はs[1]>0なので、s[0]をs[1](>0)で割った余りだからやはり0以上の整数なので正しい。
一般のk
s[k](k≧2)まで正しいとする。s[k]が0ならs[k+1]も0だから正しい。
s[k]>0なら、、s[k+1]はs[k-1]をs[k]で割ったあまりだから、やはり正しい。

(2)について
k=1の時。
a[1]==<p/q>=<p/s[0]>
=<(s[0]*Q+s[1])/s[0]> (Qはpをq=s[1]で割った商)
=<s[1]/s[0]> ((**)による)
=s[1]/s[0] ((*)による)
k=2の時。
a[1]=0 なら{a[n]}の定義よりa[2]=0。一方a[1]=0なら、s[1]=0 で、s[2]の定義より、s[2]=0 なので、正しい。
a[1]>0ならa[2]=<1/a[1]>=<s[0]/s[1]>=<(s[1]*Q+s[2])/s[1]> (Qはs[0]をs[1]で割った商、s[2]は定義によりそのあまり）
=<s[2]/s[1]>((**)による)
=s[2]/s[1] ((*)による)
だから正しい。
s[k](k≧2) まで正しいとする。a[k]=0なら、a[k+1]=0であり、a[k]=0より、s[k]=0よりs[k+1]=0だから正しい。
a[k]>0とすると、s[k]>0であって、
a[k+1]=<1/a[k]>=<s[k-1]/s[k]>=<(s[k]*Q+s[k+1])/s[k]> (Qはs[k-1]をs[k]で割った商)
=<s[k+1]/s[k]> ((**)による)
=s[k+1]/s[k] ((*)による）
だから正しい。

(3)について。
s[k]=0であれば、s[k+1]=0なので、s[k]≧s[k+1]である。
s[k]>0であれば、定義よりs[k+1]はs[k-1]をs[k]で割ったあまりなので、s[k+1]<s[k]である。（命題の証明終わり）

＃(1),(3)は明示的にかかなくても大丈夫だと思います。
＃(2)だけ示して、使うときに、上で示したように、とか、{s[n]}の定義より、でも通じると思います。

あとは、s[q]=0 を示せば、{s[k]}の定義より、s[q+1]以降はすべて0であるから、上記(2)よりa[n]=0 (n≧q)がいえる。
(1)よりs[q]≧0だから、s[q]>0として矛盾を導けばよい。
(3)より、s[0]=q>s[1]≧s[2]≧...≧s[q]>0 であり、すべての1以上q以下のk について、s[k]は0より大きいので、(3)の後半より
q>s[1]>s[2]>...>s[q]>0
となる。これは0より大きくqより小さい整数がq個あることになり矛盾。
以上より、s[q]=0、よって、a[q]=0となり、q以降のnについて、a[n]=0であることがいえた（証明終わり）。

＃あくまでも書き方の一例としてご理解ください。
No.61082 - 2019/09/01(Sun) 11:41:10
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
すべて模範的答案というわけではないですが、難関大学入試の答案例として
大学への数学「入試の軌跡　東大」、「入試の軌跡　京大」などを参考にされるのもいいと思います。

ただし、これまでどおり自力でできるところまでやること、自分の答案を元に改善することをお勧めします。

（参考）「入試の軌跡　東大」の解説と答案

（解説）
実験すると｛a[n]}（を既約分数で表したときの）分母は減るらしい。
<1/a[n]>を捉えるために、商と余りを設定しましょう。

＃（を既約分数で表したときの）は、IT補足。

（答案）
帰納的に、a[n]は有理数で0≦a[n]＜1…(1)
a[n]≠0のとき、
　a[n]＝p[n]/q[n]　(p[n],q[n]は互いに素な自然数でp[n]＜q[n]）とおけ、
　q[n]をp[n]で割った商をs[n],余りをr[n]とすると、
　a[n+1]=<1/a[n]>=<q[n]/p[n]>=<s[n]+r[n]/p[n]>=r[n]/p[n]　
　よって、(a[n+1]の分母）≦(a[n]の分母）-1

これとa[1]の分母がqであることから、a[q]より前にa[n]＝0となるか、a[q]の分母が１.
　後者のとき(1)よりa[q]の分子は0だから、いずれにせよa[q]＝0

したがってa[q+1]以降も0となり、題意は示された。

＃少し飛ばしている感はありますが、本番の限られた時間ではこの程度で良いかも知れません。
　試験時間１５０分で大問が６問あります。この問題は[大問２]の小問３つの内の１つです。
No.61083 - 2019/09/01(Sun) 14:24:59
☆ Re: 整数の証明問題 / 美雪
修正解答です。

ある自然数mに対して、a_m=0であれば、m以上の任意の自然数nに対してa_n=0です。ある自然数mに対してa_m≠0ならば、m以下の任意の自然数nに対してa_n≠0です。したがって、a_q=0を示すことになります。

a=p/qにおいて、pとqが互いに素ではないとき、qより小さい自然数vと整数uを用いて、a=u/vと表せて、q>vですので、a_v=0ならば、a_q=0を示せたことになりますので、結局pとqが互いに素の場合を調べればよいです。

q=1のとき、a_1=0ですので、q≧2とします。

ここで、n≧2に対して、s_(n-2)をs_(n-1)で割った商をr_n、余りをs_nと定義します。s_0=qとします。s_1、s_2、…、s_(n-1)の中に0であるものがないとします。このとき、s_(n-1)とs_nは互いに素で、s_0>s_1>…>s_n≧0です。

a_n=s_n/s_(n-1)です。

任意の自然数nに対してs_nは整数ですので、

s_0≧s_1+1≧s_2+2≧…≧s_n+n

です。したがって、n=qとすると、q≧s_q+qより、s_q≦0ですので、s_q≧0とあわせて、s_q=0です。

これにより、a_q=0が成り立ちます。

これでいかがでしょうか。
No.61102 - 2019/09/01(Sun) 21:34:11
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
> ここで、n≧2に対して、s_(n-2)をs_(n-1)で割った商をr_n、余りをs_nと定義します。s_0=qとします。
s_1 が定義されていませんね。
s_n の出現が唐突な感じがします。先にs_0=q、s_1=を書いた方が分かり易いと思います。

>s_1、s_2、…、s_(n-1)の中に0であるものがないとします。
0であるものがあった場合は？

>このとき、s_(n-1)とs_nは互いに素で、
「s_(i-1)とs_i」は互いに素 の書き間違い？

> a_n=s_n/s_(n-1)です。

なぜこう云えるかをa_n の定義とs_nの定義などを使って説明すべきと思います。

最初の答案の　前段の実験結果も書いておくと答案の意味が分かり易いかも知れませんね。

No.61133 - 2019/09/03(Tue) 07:05:17
★ 数?@ 絶対値を含む1次方程式 / health-p
記述が合っていますか？答えは合っています。
No.61020 - 2019/08/28(Wed) 22:15:39
☆ Re: 数?@ 絶対値を含む1次方程式 / らすかる
「x=-4はx＜1を満たしている。」だけだと
x=2はどうなのかについての言及がありませんので
「このうちx＜1を満たしているのはx=-4」
と書いた方が良いと思います。
（iiも同じ）
あと
「x=6はx≧0を満たしている。」は
「x=6はx≧1を満たしている。」の間違いですね。
それから、解は
x=-4　(x＜1のとき)
x=6　（x≧1のとき）
という書き方はおかしいです。
解は
x=-4,6
と書きましょう。

また、（このように直す必要はないですが）参考までに
||x-1|-2|=3 の次で、|x-1|-2≧-2なので右辺の-3は省略できます。
つまり
||x-1|-2|=3
|x-1|-2≧-2から|x-1|-2=-3となることはないので
|x-1|-2=3
のようにすると、その後が
|x-1|=5
x-1=±5
x=1±5
x=-4,6
のように場合分けせずに終わりますね。
No.61023 - 2019/08/28(Wed) 22:33:39
☆ Re: 数?@ 絶対値を含む1次方程式 / health-p
ありがとうございます！
No.61037 - 2019/08/29(Thu) 18:27:01
★ (No Subject) / delegation
帰納法ではできませんでした。
もう打つ手がありません。どなたか助けてください。
自分、数3まで学習しています。

-1≦(sinx)^n+(cosx)^n≦1
(n≧2,n∈N,x∈R) であることを示せ。
No.61012 - 2019/08/28(Wed) 18:11:11
☆ Re: / らすかる
(sinx)^2+(cosx)^2=1なので
n=2のとき0≦|(sinx)^2|+|(cosx)^2|≦1が成り立つ。
0≦|sinx|≦1、0≦|cosx|≦1から
0≦|(sinx)^(n+1)|≦|(sinx)^n|、0≦|(cosx)^(n+1)|≦|(cosx)^n|だから
n=kのとき0≦|(sinx)^k|+|(cosx)^k|≦1が成り立つとすると
n=k+1のとき0≦|(sinx)^(k+1)|+|(cosx)^(k+1)|≦|(sinx)^k|+|(cosx)^k|≦1なので
n≧2のとき0≦|(sinx)^n|+|(cosx)^n|≦1が成り立つ
∴n≧2のとき-1≦(sinx)^n+(cosx)^n≦1。
No.61013 - 2019/08/28(Wed) 18:25:14
☆ Re: / ＩＴ
らすかるさんの証明と本質は同じですが、下記のような書き方もあります。

0≦|sinx|≦1,0≦|cosx|≦1　なので
任意の非負整数kについて
0≦|sinx|^k≦1,0≦|cosx|^k≦1　…（１）　（実はここで数学的帰納法を使用）

n=2+k について
　|(sinx)^n+(cosx)^n|≦|(sinx)^n|+|(cosx)^n|=|(sinx)^2||(sinx)^k|+|(cosx)^2||(cosx)^k|
（１）より　
　≦|(sinx)^2|+|(cosx)^2|＝(sinx)^2+(cosx)^2＝1
No.61015 - 2019/08/28(Wed) 19:35:54
★ 数?@ 連立2次不等式が整数解をもつ条件 / health-p
練習111 の１枚目の写真の部分はわかりますが、２枚目の写真は最初からわかりません。 具体的にはどのように(?@) (?A)で場合分けされているかなどです。 教えてくださいお願いします。

１枚目
No.61009 - 2019/08/28(Wed) 14:01:13
☆ Re: 数?@ 連立2次不等式が整数解をもつ条件 / health-p
２枚目です
No.61010 - 2019/08/28(Wed) 14:02:04
☆ Re: 数?@ 連立2次不等式が整数解をもつ条件 / 元中3
解答では若干省略されてますが、2枚目の最初からは、［1］a＞-3の条件の下で-2と-aの大小関係について場合分けしています。
(数直線上の?@の-2と?Aの-aの大小関係です。)
例えば、(i)では-2＜-a＜3の場合を考えているので-3＜a＜2となっています。
No.61011 - 2019/08/28(Wed) 18:06:24
☆ Re: 数?@ 連立2次不等式が整数解をもつ条件 / health-p
ありがとうございます！
No.61018 - 2019/08/28(Wed) 21:26:06
★ 数?@ 2次不等式の解法 / health-p
練習110 (1) の解き方が分かりません。教えてくださいお願いします。
No.61006 - 2019/08/28(Wed) 11:31:24
☆ Re: 数?@ 2次不等式の解法 / ヨッシー
(1)
x^2−ax≦5(a−x)
展開して整理して
　x^2＋(5−a)x−5a≦0
因数分解して
　(x−a)(x＋5)≦0
あとは
　−5≦x≦a
となるか
　a≦x≦−5
となるか、他の解になるかは、a の値によります。
No.61007 - 2019/08/28(Wed) 12:54:41
☆ Re: 数?@ 2次不等式の解法 / health-p
ありがとうございます！ わかりました！
No.61008 - 2019/08/28(Wed) 13:39:12
★ (No Subject) / 天P
点A(a, b) は中心 O(0, 0), 半径1の円の内部およびその周上を動き,
点P(p,q)は中心O’(4,0), 半径1の円の内部およびその周上を動くとする.
K=(a+b-p-q)/(a-b-p+q)
とおく.次の問に答えよ.
(1) 直線 AP の傾きを m とする. kをm を用いて表せ.
(2) kの値の取り得る範囲を求めよ.
No.60992 - 2019/08/27(Tue) 20:51:24
☆ Re: / らすかる
(1)
m=(b-q)/(a-p)
(a-p)m=(b-q)
k={(a-p)+(b-q)}/{(a-p)-(b-q)}
={(a-p)+(a-p)m}/{(a-p)-(a-p)m}
=(1+m)/(1-m)　（∵a-p≠0）

(2)
2円の半径が等しいので、2円に接する
傾きが最大・最小の直線は
2円の中心の中点(2,0)を通る。
(2,0)を通る傾きmの直線はy=m(x-2)
原点からこの直線の距離が1となるmは
点と直線の距離の公式により
|2m|/√(m^2+1)=1からm=±1/√3
従ってmは-1/√3≦m≦1/√3の範囲をとる。
k=(1+m)/(1-m)=2/(1-m)-1なので
kはm=-1/√3のとき最小値2-√3をとり、
m=1/√3のとき最大値2+√3をとる。
よってkの値の取り得る範囲は2-√3≦k≦2+√3
No.61001 - 2019/08/27(Tue) 23:07:55
☆ Re: / 天P
らすかるさん ありがとうございました。

早稲田大学の過去問なのですが、1980年代のもののため、回答がなく、質問させていただきました。
No.61019 - 2019/08/28(Wed) 21:57:54
★ 確率 / 数学A
写真の問題がどうゆう風に解くのか分かりません。御指南お願いします。
No.60987 - 2019/08/27(Tue) 18:38:38
☆ Re: 確率 / らすかる
2箇所にぬる色の選び方が4通り
その1色をどことどこに塗るかが5C2-5=5通り
残りの3箇所に残りの色を塗るのが3!=6通り
よって全部で 4×5×6=120通り
No.60990 - 2019/08/27(Tue) 18:51:52
☆ Re: 確率 / 数学A
> 2箇所にぬる色の選び方が4通り
まずは色を選ぶ4通りがあることは理解できました。

> その1色をどことどこに塗るかが5C2-5=5通り
なぜ5C2-5になるのでしょうか？ここだけ分かりません。

なにの5箇所から2つ選び、どの場合の数の5が引かれているのでしょうか？

よろしくお願いいたします。
No.60993 - 2019/08/27(Tue) 21:34:15
☆ Re: 確率 / ＩＴ
同じ色が隣り合う場合５通りが除かれます。
（AB,BC,... など）

（２つの部分が隣接する線分が５本あることからも５通りであることが分かります）
No.60996 - 2019/08/27(Tue) 21:58:38
☆ Re: 確率 / 数学A
皆々様ありがとうございました。無事理解できました！
No.61003 - 2019/08/27(Tue) 23:20:26
★ 対数の利用 / Qちゃん
2⌒555は10進法で表すと何桁の数で、その最高位の数字はいくつであるか。

次に集合{2⌒n│nは整数で1≦n≦555}の中に、10進法で表したとき最高位の数字が4となるものは全部で何個あるか。

前半は、2⌒555は168桁で、最高位の数字は1になると思います。

後半が全然わからないです。1から始めて、2倍していくと、最高位は1→2→4→8→1→3→6→1→2→5→1→2→4→8→1→3→6→1と移っていきますが、特に規則らしい規則は見つかりません。1→2→4の並びのときにしか4は現れないことくらいしかわからないです。よろしくお願いします。
No.60985 - 2019/08/27(Tue) 16:46:28
☆ Re: 対数の利用 / らすかる
2倍して1桁増えた時、必ず最高位の数字が1になりますので
2^1〜2^555の中に最高位が1である数は167個あります。
最高位の数字が1である数を2倍すると最高位は2か3になりますので、
2^1〜2^555の中に最高位が2か3である数は167個あります。
(2^555の2倍はなく、代りに2^1があるので167-1+1=167個)
2倍して1桁増えた時、増える前の数の最高位は5〜9ですから、
2^1〜2^555の中に最高位が5〜9である数は167個あります。
従って最高位が4である数は
555-167-167-167=54個です。
No.60989 - 2019/08/27(Tue) 18:45:15
☆ Re: 対数の利用 / ＩＴ
らすかるさんの解答を見ての　二番煎じですが
---------------------------------------------
最高位の桁の遷移は
　1→2→4→(8,9)→1
　1→2→5→1
　1→3→(6,7)→1

最高位が１の数から１桁あがるのは　2^3倍の場合と2^4倍の場合がある。
途中最高位の桁が4になるのは2^4倍の場合である。（必要十分条件）

１から2^555までの167回の桁上がりで　2^3倍の場合がa回、2^4倍の場合がｂ回あったとする。

a+b=167,3a+4b=555　∴b=54
No.60991 - 2019/08/27(Tue) 19:21:46
☆ Re: 対数の利用 / Qちゃん
ありがとうございました。とてもよくわかりました。
No.61044 - 2019/08/29(Thu) 23:59:58
★ 整数の証明問題 / 美雪
nを2以上の整数とする。自然数のn乗になる数をn乗数と呼ぶことにする。連続するn個の自然数の積はn乗数ではないことを示せ。

背理法で示します。

連続するn個の自然数の積をNとして、N=m(m+1)(m+2)…(m+n-1)とします。mは自然数です。

Nはn乗数であると仮定します。明らかにmのn乗<N<(m+n-1)のn乗です。

そこで、N=(m+k)のn乗となるkが1≦k≦n-2にとれることになります。

m+kとm+k+1はともに2以上の自然数ですので、m+k+1の任意の素因数pとしますと、Nはpで割り切れることになりますが、この事実は次の理由でm+kとm+k+1が互いに素であることに矛盾します。

(m+k+1)-(m+k)=1ですので、m+kとm+k+1は互いに素です。

以上から、Nはn乗数ではありえません。

どこをどのように修正すれば正答になりますでしょうか。わかりやすく教えてください。
No.60982 - 2019/08/27(Tue) 10:26:06
☆ Re: 整数の証明問題 / らすかる
> 連続するn個の自然数の積をNとして、N=m(m+1)(m+2)…(m+n-1)とします。mは自然数です。
> Nはn乗数であると仮定します。明らかにmのn乗<N<(m+n-1)のn乗です。
> そこで、N=(m+k)のn乗となるkが1≦k≦n-2にとれることになります。

ここまではよいとして、この後は以下のようにするとよいと思います。

しかし、m+kとm+k+1は互いに素なのでN=(m+k)^nはm+k+1で割り切れず、
N=m(m+1)(m+2)…(m+n-1)と矛盾します。
従ってNはn乗数ではありません。
No.60983 - 2019/08/27(Tue) 14:54:23
☆ Re: 整数の証明問題 / 黄桃
個人的には元のままでもいいと思いますが、いずれにせよ、

n=2の場合にはこのようなkは取れない、つまり、矛盾となるから、以下 n>2 の場合を考える

という類のことは（重箱の隅ですが）述べておくべきでしょう。
No.60994 - 2019/08/27(Tue) 21:53:17
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
(私の改善案) できるだけ元の流れを残すとして

>明らかにmのn乗<N<(m+n-1)のn乗です。
あっても間違いではないですが「明らかに」は不要だと思います。時間と答案紙面のロスです。

>そこで、N=(m+k)のn乗となるkが1≦k≦n-2にとれることになります。

黄桃さんの指摘のとおりn=2のときのことを記述しないといけませんね。

>m+kとm+k+1はともに2以上の自然数ですので、m+k+1の任意の素因数pとしますと、Nはpで割り切れることになりますが、

→｢・・・・m+k+1の任意の素因数pとしますと、Nはpで割り切れ、
N=(m+k)^n なのでm+kがpで割り切れることになりますが｣

>この事実は次の理由でm+kとm+k+1が互いに素であることに矛盾します。
→「これは、m+kとm+k+1が互いに素であることに矛盾します。」

「この事実」は、事実ではないし、表現も重い感じがします。
「次の理由で」は、どこに掛かるか分かり難い。


>(m+k+1)-(m+k)=1ですので、m+kとm+k+1は互いに素です。
これは不要だと思います。

> どこをどのように修正すれば正答になりますでしょうか。
だれかに採点してもらい、「不正解」とされたのでしょうか？

＃国語の勉強ではないので数学的、論理的に正しければ良いですが、できるだけ紛れのないようスッキリ書かれるほうがいいと思います。
No.60997 - 2019/08/27(Tue) 22:41:17
☆ Re: 整数の証明問題 / 美雪
やはり最後の部分の記述が×の原因だったのですね。細かい部分の見落としもあったようですね。

三人の方々、ありがとうございました！
No.61016 - 2019/08/28(Wed) 20:25:59
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
明らかな間違いは、黄桃 さん　ご指摘の部分かなと思いますが、
それでまったくの×（０点）ですか？　だとすると乱暴な採点ですね。


2012年の東大入試問題のようですね。

模試や通信添削などで採点者が答案を読み取る能力が低く、
模範解答と異なる解法や記述の場合、×にしてしまうこともあり得るでしょうね。
https://math.nakaken88.com/problem/tokyo-u-r-2012-4/2/
No.61017 - 2019/08/28(Wed) 20:43:57
☆ Re: 整数の証明問題 / 美雪
IT様が仰るよう、20点の配点で、0点でした(泣)

ちなみに上でもう1問質問させていただいてる問題も0点でした(大泣)

どこがどうまずいのかよくわからないです。

問題は学校の実力テストの問題です。
No.61049 - 2019/08/30(Fri) 02:17:13
☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ
私なら20点中10点は付けると思いますが、
書き込んでおられるのとは異なる致命的なミスがあるのでは？（答案そのものを見ると分かるかもしれません）

どこが致命的なミスかは、採点した先生に確認するのが一番だと思います。
No.61052 - 2019/08/30(Fri) 07:13:09
★ (No Subject) / Huz
一番下の注のとこがよくわかりません。一意性とはなんですか？
また、なぜ左辺が奇数で右辺が偶数になるのかわかりません
No.60978 - 2019/08/27(Tue) 00:31:37
☆ Re: / らすかる
「素因数分解の一意性」は
「(素因数の順番の入れ替えを同一視して)素因数分解はただ一通りしかない」
という意味です。
例えば77は7×11としか素因数分解されず、
7,11以外の素数p,qを用いて77=p×qなどと表すことは不可能です。

二つ目の質問は
p=2^P×(奇数), q=2^Q×(奇数)　（P,Qは0以上の整数）
とおくと
p^2=2^(2P)×(奇数), q^2=2^(2Q)×(奇数)であり
6=2×3なので
(左辺)=2^(2P+1)×(奇数), (右辺)=2^(2Q)×(奇数)
となり、左辺の2の指数は2P+1なので奇数、
右辺の2の指数は2Qなので偶数ですね。
No.60980 - 2019/08/27(Tue) 01:09:56
★ 確率 / オリバー
この問題の(3)ですが、なにかスッキリとした解答はないものでしょうか？
No.60975 - 2019/08/26(Mon) 21:21:23
☆ Re: 確率 / オリバー
写真はどうやれば真っ直ぐに？
No.60976 - 2019/08/26(Mon) 21:23:52
☆ Re: 確率 / らすかる
制限がある動きだとなかなかスッキリ簡単には求まらないと思います。

4回振った後(2,2)にいるような目の組合せは
1回目が4の場合は残り3回が1,2,2でなければならない→1通り
1回目が5の場合は残り3回が2,2,2でなければならない→1通り
1回目が6の場合は残り3回が3,2,2でなければならない→1通り
1回目が1の場合に残り3回で(2,2)にいる組合せを考えると
(1,1,3,3)(1,2,3,2)(1,3,1,3)(1,3,2,1)(1,3,2,2)(1,3,2,3)
(1,3,3,1)(1,4,2,2)(1,5,3,2)の9通り
1回目が2の場合に残り3回で(2,2)にいる組合せを考えると
(2,1,1,3)(2,1,2,3)(2,1,3,1)(2,1,3,2)(2,1,3,3)(2,1,4,2)
(2,1,5,3)(2,2,1,1)(2,2,1,2)(2,2,1,3)(2,2,2,1)(2,2,2,2)
(2,2,2,3)(2,2,3,1)(2,2,3,2)(2,2,3,3)(2,2,4,1)(2,2,5,2)
(2,2,6,3)(2,3,1,1)(2,3,1,2)(2,3,1,3)(2,3,2,1)(2,3,3,1)
(2,3,5,1)(2,3,6,2)(2,4,1,2)(2,5,2,2)(2,6,3,2)の29通り
1回目が3の場合は1回目が1のときと同じなので9通り
よって全部で1+1+1+9+29+9=50通り
対称性から(-2,-2)も50通り
4回振った後(2,-2)にいるような目の組合せは4C2=6通り
対称性から(-2,2)も6通り
従って全部112通りなので、求める確率は112/6^4=7/81
No.60977 - 2019/08/26(Mon) 22:17:31
☆ Re: 確率 / オリバー
ありがとうございます。
とても参考になりました。

でも、こんなに整然と数えるのは難しそうです。
No.60979 - 2019/08/27(Tue) 00:35:08
☆ Re: 確率 / らすかる
ではスッキリしているわけではありませんが、こういうのはどうでしょうか。

4回振った後(2,2)にいるような目の組合せは
1回目が4の場合は残り3回が1,2,2でなければならない→1通り
1回目が5の場合は残り3回が2,2,2でなければならない→1通り
1回目が6の場合は残り3回が3,2,2でなければならない→1通り
(ここまでは上と同じ)
それ以外のとき
1回振った後(1,0),(0,1),(1,1)が1通りずつ
2回振った後は
(0,0)：(0,1),(1,1),(1,0)からくる1通りずつなので3通り
(1,0)：(1,1)から1通りと、(1,0)から動かないのが2通りで計3通り
(2,0)：(1,0)からくる1通り
(0,1)：対称性から(1,0)と同じく3通り
(1,1)：(1,0),(0,1)からくる2通り
(2,1)：(1,1)からくる1通り
(0,2)：対称性から(2,0)と同じく1通り
(1,2)：対称性から(2,1)と同じく1通り
(2,2)：(1,1)からくる1通り
他に(1,-1)と(-1,1)に行く2通りがありますが、
この2箇所は残り2回で(2,2)に到達できませんので除外します。
この除外分も合わせて3+3+1+3+2+1+1+1+1+2=18=3×6なので数え落としはありません。
そしてこの続きを考えると多くて面倒なので、
今度は終点から逆方向に考えます。
A(2,2)の一つ前は
(1,1),(2,1),(1,2)が1通りずつ、(2,2)が3通り
(3回目に(2,2)にいて1か2か3が出た場合の3通りという意味です)
よって二つ前は
(0,0)：(1,1)の前の1通り
(1,0)：(1,1)の前の1通り
(2,0)：(2,1)の前の1通り
(0,1)：対称性から(1,0)と同じく1通り
(1,1)：(2,1),(1,2)の前の2通りと(2,2)の前の1×3=3通りで計5通り
(2,1)：(1,1)の前の1通りと(2,1)から動かない3通りと(2,2)の前1×3=4通りで計8通り
(0,2)：対称性から(2,0)と同じく1通り
(1,2)：対称性から(2,1)と同じく8通り
(2,2)：(1,1),(2,1),(1,2)の前の1通りずつと(2,2)から動かない3×3通りで計10通り
検算：1+1+1+1+5+8+1+8+10=36=6×6なので数え落としなし
これで
前2回 (0,0)=3,(1,0)=3,(2,0)=1,(0,1)=3,(1,1)=2,(2,1)=1,(0,2)=1,(1,2)=1,(2,2)=1
後2回 (0,0)=1,(1,0)=1,(2,0)=1,(0,1)=1,(1,1)=5,(2,1)=8,(0,2)=1,(1,2)=8,(2,2)=10
となったので、それぞれを掛けて足せば
3×1+3×1+1×1+3×1+2×5+1×8+1×1+1×8+1×10=47通り
最初の3個を加えて50通り
対称性から(-2,-2)も50通り
4回振った後(2,-2)にいるような目の組合せは4C2=6通り
対称性から(-2,2)も6通り
従って全部112通りなので、求める確率は112/6^4=7/81
No.60981 - 2019/08/27(Tue) 03:11:22
☆ Re: 確率 / オリバー
ありがとうございました😊
とても安心して読むことができました。
No.60998 - 2019/08/27(Tue) 22:45:58
★ 解析学 / 解析学
二重積分について質問です。

解答は写真のようになるらしいのですが、領域Aについて疑問です。

青文字のようなｘ、ｙの範囲で答えを求めてはだめなのでしょうか？また、青文字の範囲がダメなのなら解答のような範囲で示す理由はなぜなのでしょうか？

よろしくお願いいたします。
No.60970 - 2019/08/26(Mon) 14:10:50
☆ Re: 解析学 / nyaa
初心者でわかりづらいかもしれないですが、回答させていただきます。

まず領域Aですが、原点中心で半径1の円内部を示しているのは大丈夫でしょうか？
質問者さんの示した領域では、四角形でもOKになってしまいませんか？
つまりxの値が変化したとき、yの値も変化するわけなのですが、円なのでx=0の時はyは
-1<=y<=1
の範囲で動くことができますよね。
ですが、x=1のとき（x=-1も同様ですが)
y=0になるはずです。

では、x=0.5のときはどの範囲で動けるでしょうか？
それが青線で囲まれているときの範囲で表せるということです。
No.60971 - 2019/08/26(Mon) 15:07:44
★ 線形写像 / meow
以前のリベンジをお願いしたいです。

(1)
縦ベクトルを横で示します。
f(e1) = (1/2,1/2,0)
f(e2) = (1/2,1/2,0)
f(e3) = (0,0,1)
xy平面で図示した際に、y=xへ写すような変換を考える。という認識でよろしいでしょうか。

(2)
{{1/2,1/2,0},{1/2,1/2,0},{0,0,1}}

(3)
<(1,1,0),(0,0,1)>

(4)
(-1,1,0)
No.60968 - 2019/08/26(Mon) 12:27:29
☆ Re: 線形写像 / 黄桃
とりあえずいえることは、答は合っています、です。

ただ、
> xy平面で図示した際に、y=xへ写すような変換を考える。という認識
がどういう認識だか私にはさっぱりわかりませんので、よろしいかどうかはわかりません。

＃例えば、平面の方程式が x-y+z=0 でも同じ答になるのなら、
＃その認識は誤りです。

なお、普通の記述式テストであれば、答だけでは点数はもらえません。
No.60995 - 2019/08/27(Tue) 21:57:41
☆ Re: 線形写像 / meow
毎度回答ありがとうございます。

平面Lをxyz空間のz軸正の方向から見たとき、(xy平面としてみたとき)y=xに写すような変換を考えれば良いという認識なのですが...
誤っているでしょうか。
No.60999 - 2019/08/27(Tue) 22:47:00
☆ Re: 線形写像 / ast
例えば f(e_3) が (0,0,0) ではなく (0,0,1) = e_3 であることの理由をその図を使って説明できますか?
No.61004 - 2019/08/28(Wed) 05:01:31
☆ Re: 線形写像 / 黄桃
>普通の記述式テストであれば、答だけでは点数はもらえません。

言い方を変えます。
数学の答案を書くということは、きちんと理由を述べることです。
私はこう思う、誤っていますか？と書かれても、なぜそれが正しいと思うのか（なぜその認識が問題に書かれている射影になるのか）説明してない以上、本人がいいならいいんではないですか、としかいいようがありません。

＃根拠が書かれていれば、それが誤りかどうかは議論できます。
No.61005 - 2019/08/28(Wed) 08:55:50
☆ Re: 線形写像 / GandB
　とりあえずは(1)を導いた過程を知りたい。解法は前回のスレで ast さんが明記している。

　あと平面Lは工夫次第で簡単に描けると思うが。
No.61014 - 2019/08/28(Wed) 18:54:46
★ 解析学 / 解析学
解答が収まりが悪く、方針はあっているとは思いますが、正答なのかわかりません。

よろしくお願いいたします。
No.60965 - 2019/08/26(Mon) 07:22:54
☆ Re: 解析学 / らすかる
2行目→3行目の(3x+2)/√2の微分が間違っています。
分数の微分公式を使った場合は分子の第2項は0ですので
3√2/2となりますが、
そもそも(3x+2)/√2はxの一次式で
(3x+2)/√2=(3/√2)x+√2ですから、
微分すると3/√2=3√2/2であることはただちにわかります。

また、もし3行目の右項が合っていたとしても
3行目→4行目の変形も違います。
3行目の右項の分子の最後の部分の 1/2・2^(-1/2)=1/(2√2)を
消すために分子分母に2√2を掛けているようですが、
3√2にも掛けないといけません。
つまり
{3√2-(3x+2)・(1/2)・2^(-1/2)}/2
={12-(3x+2)}/(4√2)
となります。
（しかし3行目が既に違いますのでこの計算は不要です）

答え合わせは↓こちらのサイトで出来ます。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%29%28acos%28%283x%2B2%29%2Fsqrt%282%29%29%29
No.60966 - 2019/08/26(Mon) 07:59:52
☆ Re: 解析学 / 解析学
ラスカル様
何度も計算してやっと正答までたどり着くことができました！

ご指摘と答え合わせのサイトを教えていただきありがとうございます。
No.60969 - 2019/08/26(Mon) 14:02:16
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