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★ (No Subject) / しょう
順列の問題です。2番なのですがオカキはJJを１つの文字とみなして6!/2！となっているのですがサシスではJJとKKをそれぞれ１つの文字とみなして考えているのに答えは5！となってます。なぜオカキのように割らないので
すか？
No.60361 - 2019/07/31(Wed) 16:18:38
☆ Re: / らすかる
オカキはJJを1つの文字とみなしてもKが2個あるので2!で割る必要があります。
サシスはJJもKKも1つの文字とみなしますので同じ文字が2つあるものがありません。
No.60364 - 2019/07/31(Wed) 19:20:10
☆ Re: / しょう
なるほど！よく分かりました！ありがとうございます！
No.60366 - 2019/07/31(Wed) 19:43:16
★ (No Subject) / kochi
a(n)={(n+3)/n(n+1)}(2/3)^n
に対して
Σ(n=1,∞)a(n)
を求めよ。
全く分かりません。解法の糸口をご教授下されば
助かります。
No.60348 - 2019/07/31(Wed) 02:11:53
☆ Re: / kochi
解けました！
a(n)=b(n)-b(n+1)
の形に変形するのがポイントですね
No.60349 - 2019/07/31(Wed) 03:04:30
★ 全くわかりません。 / 教えてください。
1から教えていただけるとありがたいです。
No.60347 - 2019/07/31(Wed) 00:24:52
☆ Re: 全くわかりません。 / ＩＴ
何年生の問題ですか？　分野は？

（ａ）
定義に従って計算すると
1/2=0.111111.... なので　M(1/2)=1
よってf(1/2)= 2^(-M)=2^(-1)=1/2

1/4=0.020202.... なので　M(1/4)=∞
よって　f(1/4)= 2*2^(-3)+2*2^(-5)+2*2^(-7)+... =1/3

(b) 3x は、xを１ｹﾀ上にシフトした無限小数なので、 f の定義により、f(3x) ＝　2f(x)　が云えると思います。

(c) x の近傍をどう表現するかが難しいですね。
No.60367 - 2019/07/31(Wed) 20:28:25
★ (No Subject) / さいとう
2の(C)ですが、どう解いたら√2-√2iになりますか？あと、2の(a)と(b)は自力で解いたのですが何か簡単に解く方法はありますか？
No.60343 - 2019/07/30(Tue) 21:35:35
☆ Re: / さいとう
すみません、分かったので大丈夫です。
No.60344 - 2019/07/30(Tue) 21:38:12
★ (No Subject) / しょう
61の1番の4の上位20パーセントの人の記録というのはどこから分かるのでしょうか？
No.60333 - 2019/07/30(Tue) 17:52:38
☆ Re: / ヨッシー
100 が 4 の倍数なので、ちょっと幅を持った言い方になりますが、
記録の低い人から　１，２，３・・・１００　とすると、
　１の人の記録は２４ｍ　（たぶんｍでしょう）
　100の人の記録は４６ｍ
　50の人と51の人の間あたりに３５ｍがある。
　25の人と26の人の間あたりに２８ｍがある。
　75の人と76の人の間あたりに４２ｍがある。
ということがわかり、上位20% は81から100までの人なので、
４２ｍ以上となります。(76の人がすでに42ｍ以上なので)

No.60335 - 2019/07/30(Tue) 19:09:02
☆ Re: / しょう
なるほど。よく分かりました。ありがとうございます！ちなみになのですが今回は100人なので上位20パーセントと言われて下から80番目とピンときたのですが100人でない場合は単に人数に0.8を掛ければいいのでしょうか？
No.60360 - 2019/07/31(Wed) 16:16:41
☆ Re: / ヨッシー
>単に人数に0.8を掛ければいいのでしょうか？
その通りですが、今回の問題も別に「ピンときた」わけではなく
　100×0.8＝80　→ 1〜80 より上の人
とか
　100×0.2＝20　→　81〜100 の20人
というふうにやりますよ。
No.60384 - 2019/08/01(Thu) 09:11:20
★ OED / 朱
y´=a^2-y^2の常微分方程式が解けません。
解き方自体は分かりますが、積分がいまいち解けません。よろしくお願いします。
答えは、y=(1＋Ce^-2ax)a/(1-Ce^-2ax)です。
No.60329 - 2019/07/30(Tue) 16:30:09
☆ Re: OED / 関数電卓
変数分離形で、
　y'/(a^2−y^2)＝1
左辺を変形
　(1/2a){1/(a＋y)＋1/(a−y)}y'＝1
両辺に 2a を掛けて積分
　log(a＋y)−log(a−y)＝log{(a＋y)/(a−y)}＝2a(x＋C)　C：定数
log を消して、
　(a＋y)/(a−y)＝exp{2a(x＋C)}　∴ a＋y＝(a−y)exp{2a(x＋C)}
　∴ [exp{2a(x＋C)})＋1]y＝a[exp{2a(x＋C)}−1]
　∴ y＝a[exp{2a(x＋C)}−1]/[exp{2a(x＋C)}＋1] …(1)

上の(1)が一般解ですが、分母子を exp{a(x＋C)} で割って、

　y＝a[exp{a(x＋C)}−exp{−a(x＋C)}]/[exp{a(x＋C)}＋exp{−a(x＋C)}]＝a･tanh{a(x＋C)} …(2)

が形としては美しく、私は好みです。朱さんが書いた形も正解ですし他の形もあり、微分方程式は初期条件を与えなければ解の表記は定まりません。
No.60377 - 2019/08/01(Thu) 00:05:19
☆ Re: OED / 朱
意外と難しいんですね。ありがとうございました。
No.60379 - 2019/08/01(Thu) 01:47:24
★ 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
三角関数の加法定理に関してなのですが、
cosや sinの加法定理は座標ではなく長さ(常に正)や変化量(正や負の値)を知るための公式でしょうか？
だとしたら、cosや sinの加法定理の公式に代入する情報は座標ではなく長さや変化量のみになるのでしょうか？
長さを求めるにしても、変化量の場合は答えが負になることはありますが。

そしてtan の加法定理は傾きを求めると思うので座標ではなく、 cosθや sinθの長さの変化量を求めるための式なのでしょうか？

三角関数を再び勉強しているのですが、座標を求めるのか、長さや変化量を求める式なのか混乱しました。
No.60326 - 2019/07/30(Tue) 15:25:18
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / らすかる
> cosや sinの加法定理は座標ではなく長さ(常に正)や
> 変化量(正や負の値)を知るための公式でしょうか？
違います。

> cosや sinの加法定理の公式に代入する情報は
> 座標ではなく長さや変化量のみになるのでしょうか？
違います。

> そしてtan の加法定理は傾きを求めると思うので
違います。

> 座標ではなく、cosθや sinθの長さの変化量を求めるための式なのでしょうか？
違います。

> 三角関数を再び勉強しているのですが、座標を求めるのか、長さや変化量を求める式なのか混乱しました。
数学の公式は具体的に何かを求めることを目的としていません。
汎用で使いたい時にいろいろな目的で使うものです。
ですから、具体的に「長さや変化量を知るため」や
「座標を求める」のような目的があるわけではありません。
加法定理の公式は、「角度が和の形式になっている時に和を分解する」ことや
その逆方向などに使える便利な公式です。

例えば、「二次方程式の解の公式」は何を求めるものですか？
「長さを求める」とか「角度を求める」などの目的は決まっていませんよね？
それと同じことです。
No.60330 - 2019/07/30(Tue) 16:57:38
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
ありがとうございます。
確かに決まった使い方はないかもしれません。
ただどうしても負に落ちないのはなぜ負の値が使えるのかです。
長さの変数から導いたのに負の値が使えることへの疑問が残ります。
No.60331 - 2019/07/30(Tue) 17:25:45
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / らすかる
マーク42さんは「長さの変数から導いた」かも知れませんが、
一般にはそんな条件に制限のある導き方はしません。
「加法定理の証明」で検索していろいろなページを見て研究して下さい。
No.60332 - 2019/07/30(Tue) 17:41:38
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
なるほど、先程、 dθは正で、負の座標のまま計算したら、長さで求めた場合と同じ式になりました。
すなわち、この負の座標から長さの場合と同じ式であるため、負の値を長さから導いた式に代入しても正しい値が導けるとわかりました。
No.60334 - 2019/07/30(Tue) 18:04:56
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
らすかるさん、60334は間違っていました。
負の値が入る理由として正しいか確認してほしいのですが、今回は加法定理を長さから求めたとはいえ、長さ-cosθのcosは負の座標を表すcosθであるため、θやdθの値がわからなかったとしても、加法定理の式は負の値が入っても正しい答えが導けるわけでしょうか？
ただ少し違和感があるのは、長さ-cosθからできた式に座標cosθを代入していいのか疑問に思いました。
まあ、数学的には長さ-cosθのcosθは座標のcosθと同じ値なのでいいのかもしれませんが。
No.60351 - 2019/07/31(Wed) 13:53:58
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
また、今回は長さで解きましたが、座標で解く場合はどのように解くのでしょうか？
座標から長さを求めるのでしょうか。
No.60352 - 2019/07/31(Wed) 14:00:41
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / らすかる
> 長さ-cosθのcosは負の座標を表すcosθであるため、
> θやdθの値がわからなかったとしても、
> 加法定理の式は負の値が入っても正しい答えが導けるわけでしょうか？
「長さ-cosθのcosは負の座標を表すcosθ」と関係なく、
「θやdθの値がわか」るかどうかとも関係なく、
「加法定理の式は負の値が入っても正しい答えが導け」ます。

> ただ少し違和感があるのは、長さ-cosθからできた式に
> 座標cosθを代入していいのか疑問に思いました。
どの式の何に「座標cosθを代入」する話ですか？
加法定理で代入するのはθであって「cosθ」を代入することは
基本的にないと思いますが。

> 今回は長さで解きましたが、座標で解く場合はどのように解くのでしょうか？
何を解く話ですか？
tan(θ+dθ)なら終わっているはずですが。

> 座標から長さを求めるのでしょうか。
tan(θ+dθ)で私が書いた回答から考えて下さい。
その後のコメントでも考え方を書いたはずです。

# 数学の基本がきちんとできていれば、
# このような的外れな質問はほとんど出てこないはずです。
# 加法定理とか微分とか考える前に、それ以前の基礎をきちんと
# 勉強し直した方がいいです。
# 基礎が出来ていない上に自力で考えようとしないために
# 質疑応答をいくら繰り返してもほとんど身に付かず、
# 似たような問題で同じところをずっとループしている印象です。
# このスレも私が答えている限り延々と続くのでしょうね。
# 自分の知識をはるかに超えたものを独学で勉強するのは
# 構いませんが、そういうものは人に聞かずに
# 自分で調べて勉強するものです。
# 特に数学は暗記科目ではありませんので
# 「かたっぱしから質問」しても決して身に付かず、
# 自分であれこれ考えることによって実力がついていく学問です。
# 他掲示板にも「かたっぱしから何でもかんでも質問」する人が
# いますが、案の定その人の数学の実力は向上していません。
No.60353 - 2019/07/31(Wed) 14:49:50
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
ありがとうございます！
今回はtanの加法定理は90°＜θ＜180°の時、（負の座標から）長さを求めてからtan(θ+dθ)を求めました。
そこで次は座標から求めてみようと考えたわけです。
というのも過去のスレを読み直すとらすかるさんの画像のコメントがあったためです。
なので今回はtanの加法定理を図形的に長さで求めたので、次はtanの加法定理を座標的に求めようと考えました。
No.60354 - 2019/07/31(Wed) 15:06:33
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / らすかる
> 今回はtanの加法定理は90°＜θ＜180°の時、（負の座標から）
> 長さを求めてからtan(θ+dθ)を求めました。
> そこで次は座標から求めてみようと考えたわけです。

また「既に終わってること」を繰り返すのですか？
「90°＜θ＜180°」の時の「tan(θ+dθ)」を「座標から求め」る解答は、
既に私が60264に（ほとんど完全解答の形で）書きましたが、
見なかったのですか？
No.60355 - 2019/07/31(Wed) 15:14:41
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
本当にすいません、読み直します。
No.60356 - 2019/07/31(Wed) 15:17:41
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
度々すいません、dθが負の値ではいけないとのことですが、dθは正で、—dθとしてはいいのでしょうか？
No.60357 - 2019/07/31(Wed) 15:38:11
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / らすかる
意味がよくわかりませんが、もしdθ＞0で
図形上に描いた角度を「-dθ」にしようとしているのなら、
それは「負の角度」を作っていますので大間違いです。
No.60358 - 2019/07/31(Wed) 15:47:38
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
ごめんなさい。幅を正にして、もう一度やってみます。
—dθ＞0として、正で幅として計算します。
ありがとうございます！
No.60359 - 2019/07/31(Wed) 16:00:35
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
図形の方で幅としてdθが負の場合と正の場合で4つの式を作ったところすべて正しい式になりました。
どうもありがとうございます。
No.60362 - 2019/07/31(Wed) 16:54:22
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
なるほど、長さを経由しながら座標を求めていき、最終的に(1/tanθ-dθ,1+dθ/tanθ)と座標を求めてtan(θ+dθ)=として求めたことがわかりました。
座標から作れたため負の値が入っても、正しい答えが導けるのですね。やっと理解できました。
No.60363 - 2019/07/31(Wed) 17:44:33
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / 関数電卓
> やっと理解できました。
大変失礼ながら、本当に理解されたのなら、もう蒸し返すことがないように、切に希望します。
No.60378 - 2019/08/01(Thu) 00:15:55
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
はい。すいませんでした。
No.60396 - 2019/08/01(Thu) 14:26:50
★ (No Subject) / 太田
線を引いたところが分かりません。
No.60325 - 2019/07/30(Tue) 14:13:30
☆ Re: / マーク42
多分、3行目の円の接線を表す式が円上にある異なる2点を通る際に
同じ座標(x,y)から円上の異なる座標を取るため(x1,y1)と(x,y)、(x2,y2)と(x,y)の二つが出来、
それぞれ直線の式を作ると円の式を微分して得られた傾きは円上の傾きを表す変数であるため、二つの円上の点を通る直線の傾きはどちらも同じ傾きとなる。なのでx-x1/y-y1=3行目の直線の傾き
として?@'が作れたわけです。?Aも同じやり方で求まりました。
No.60327 - 2019/07/30(Tue) 15:36:50
☆ Re: / 太田
なんかしっくりこないです
No.60336 - 2019/07/30(Tue) 19:45:56
☆ Re: / X
(1/2)x+ty=1 (A)
に
(x,y)=(x[1],y[1])
を代入すると、既に成立することが
分かっている?@'と等価になるのは
よろしいですか？
これは点(x[1],y[1])が直線(A)上の点
であることを示しています。
点(x[2],y[2])についても同様です。
No.60340 - 2019/07/30(Tue) 21:06:24
☆ Re: / マーク42
説明が下手ですいませんね。
でもまずは礼儀としてお礼を言うのが先ですよ。
何がしっくりこないのですか？
No.60345 - 2019/07/30(Tue) 21:54:23
☆ Re: / 太田
>Xさん
?@'と?A'がともに点であることは分かりましたがその2つの点から直線の式が求まることがよく分かりません。
No.60350 - 2019/07/31(Wed) 06:45:59
☆ Re: / GandB
　「ココがポイント」も含め、これ以上わかりやすい解説はないと思う。
　直線を陽関数以外で表すことに違和感があるのかなあ。

　以下蛇足。建設的な解法とはいいがたいのでホントに蛇足（笑）。

　質問者は2点を通る直線の方程式
　　y - y1 = ( (y2-y1)/(x2-x1) )(x-x1)･････(#1)
は当然知っているだろうから、これからなんとか
　　(1/2)x + ty = 1･････?B
を導くことを考える。

　　(1/2)x1 + ty1 = 1･････?@'
　　(1/2)x2 + ty2 = 1･････?A'
より
　　?A' - ?@' = (1/2)(x2-x1) + t(y2-y1) = 0.
　　(y2-y1)/(x2-x1) = -1/2t.
　これを(#1)に代入すると
　　y - y1 = (-1/2t)(x-x1).
　さらに変形して
　　-2t(y-y1) = x - x1.
　　x + 2ty = x1 + 2ty1.･････(#2)
　(#2)の右辺は?@'の両辺を2倍した
　　x1 + 2ty1 = 2
に等しいから
　　x + 2ty = 2.
　両辺を2で割って?Bを得る。
No.60365 - 2019/07/31(Wed) 19:34:10
☆ Re: / マーク42
二つの点から直線が求まる理由は
A(X,Y)、B(x,y)があるとして、
(ワイ軸の変化量)/(x軸の変化量)=(y- Y)/(x- X)=a(x,yにおいて差分を導くため傾きとなります。)となるため、これを整理すると
y=a(x- X)+ Yと以上の2点A,Bを通る直線が導けます。
No.60399 - 2019/08/01(Thu) 17:58:28
★ 複素数 / さいとう
1.の問題ですがいまいち問題の意味が分かりません。(a)の答えはxになるらしいですが、どうやって解けばよいのでしょうか？
また、2.の(b)の解き方も教えて頂けると助かります。
No.60324 - 2019/07/30(Tue) 13:12:06
☆ Re: 複素数 / ＩＴ
x,y に条件はないですか？

複素数ｚについて、Re(ｚ）の定義は、どうなっていますか？教科書に書いてあるのでは？
No.60338 - 2019/07/30(Tue) 20:12:38
☆ Re: 複素数 / さいとう
教科書にはx=Re(z)、y=Im(z)と書かれていました。
No.60339 - 2019/07/30(Tue) 20:21:50
☆ Re: 複素数 / X
＞＞教科書にはx=Re(z)、y=Im(z)と書かれていました。
それは
z=x+iy
のときですよね？

そうではなくて、ITさんの仰っているのは
教科書の該当の項目を見て
複素数zに対して
Re(z)
が何を表しているのかを復習しましょう、
という意味です。
No.60341 - 2019/07/30(Tue) 21:10:39
☆ Re: 複素数 / さいとう
完全に自分の勉強不足でした。
Re(z)というのは実部を意味するから、(1)ならRe(z)=xになるんですね。
ありがとうございました。
No.60342 - 2019/07/30(Tue) 21:24:42
★ (No Subject) / たぬき
行列の余因子展開と逆行列を使って解く問題です。
ここまでは理解できたのですが、ここからx2を求めるやり方が分かりません。教えて下さい！
No.60317 - 2019/07/30(Tue) 09:40:51
☆ Re: / たぬき
授業の解説によると答えはX2= 1/3 になるのですが、どうしたら1/3がでますか。
No.60320 - 2019/07/30(Tue) 11:22:05
☆ Re: / GandB
　あ〜ぁ（笑）。
　上の画像で印刷している部分と手書き部分では A と b↑ がぜんぜん違うではないか。
　行列の積の計算ができるのなら、黒板の説明で何の疑問もないはずだが。
　いったい何がわからないのだ？
No.60321 - 2019/07/30(Tue) 12:10:07
☆ Re: / GandB
画像を貼り忘れた。
No.60322 - 2019/07/30(Tue) 12:29:33
☆ Re: / たぬき
ありがとうございます。 テスト前という事で焦ってしまい、冷静に考えたらただの積の計算ですね。
何度も教えてくださり本当に感謝してます！
ありがとうございました！
No.60323 - 2019/07/30(Tue) 12:41:06
★ デルタ関数のフーリエ変換 / aibo
デルタ関数のフーリエ変換についてなのですが、赤で囲った部分でxとωを入れ替える式変形の意味がわかりません。どうしてxとωを入れ替えると2π倍されてeの指数が-1倍されるのですか？教えていただきたいです。
No.60302 - 2019/07/30(Tue) 01:19:59
☆ Re: デルタ関数のフーリエ変換 / X
式の形をよく見ましょう。
(6.121)は「逆」Fourier変換
(6.122)はFourier変換
です。

式の形に対応関係があるのであって
式の形が同じ、ということでは
ありません。
No.60305 - 2019/07/30(Tue) 06:04:08
☆ Re: デルタ関数のフーリエ変換 / GandB
　投稿画像の本が
　　「フーリエ解析」と題された応用数学の参考書･････?@
　　「信号処理」系の参考書･････?A
のどちらのタイプなのか気になるところ。
　?@ならば複素フーリエ級数展開からフーリエ変換を導く説明が必ずあるはず。?Aも、本によってはきちんと説明しているだろうから、そこをじっくり読む。

　私の手元にある「信号処理」系の参考書は、離散フーリエ変換や、線形応答システムの説明にページを割いているためか、フーリエ変換の公式についてはきちんとした導出がない。したがって、この手の本で初めてフーリエ変換を学んだとしたら

> どうしてxとωを入れ替えると2π倍されてeの指数が-1倍されるのですか？

という疑問が生じても不思議ではない。そのときは?@のタイプを併読すればよい。
　ネット上では
　http://www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/yaruodsp/ft.html
が参考になるだろう。
No.60310 - 2019/07/30(Tue) 07:26:11
☆ Re: デルタ関数のフーリエ変換 / aibo
逆フーリエ変換を意味していたのですね。理解できました、ありがとうございます。
No.60318 - 2019/07/30(Tue) 10:02:00
★ (No Subject) / さいとう
続けて質問してすみません。
画像の問題も解き方が分かりません。
お願いします。
No.60290 - 2019/07/29(Mon) 22:54:22
☆ Re: / ＩＴ
z[1]z[2]を計算して　その結果の共役複素数を求めます。

a,b,c,d は実数のとき
(a+bi)(c+di) の計算
a+biの共役複素数がどうなるかは、分かりますか？

わからなければ教科書で確認して下さい｡
No.60299 - 2019/07/30(Tue) 00:31:22
☆ Re: / さいとう
(-2-5i)(3+i)にして計算すれば求められますか？
No.60306 - 2019/07/30(Tue) 06:32:13
☆ Re: / らすかる
それでも求められますが、
問題が
(z1の共役複素数)×(z2の共役複素数)
ではなく
(z1×z2)の共役複素数
ですから、
掛けてから虚数部の符号を反転した方が良いと思います。
もし(-2-5i)(3+i)で計算するならば、最初に
「(z1z2)~=(z1)~・(z2)~なので」などの注釈を書いておかないと
減点されるかも知れません。
No.60309 - 2019/07/30(Tue) 06:45:28
☆ Re: / さいとう
たしかにそうですね。教えて頂きありがとうございました！
No.60312 - 2019/07/30(Tue) 07:41:40
★ (No Subject) / さいとう
画像の問題ですが、答えがいまいち分かりません。
1以外の答えの求め方を教えてください。お願いします。
No.60289 - 2019/07/29(Mon) 22:44:23
☆ Re: / ＩＴ
x^4=1 すなわち　x^4-1=0 を複素数の範囲で解けば良いのでは？
No.60292 - 2019/07/29(Mon) 22:55:27
☆ Re: / さいとう
(X^2+1)(x^2-1)=0
X=1,-1
ということですか？
No.60307 - 2019/07/30(Tue) 06:33:47
☆ Re: / らすかる
複素数範囲では、(x^2+1)(x^2-1)は
(x+i)(x-i)(x+1)(x-1)と因数分解できます。
No.60308 - 2019/07/30(Tue) 06:39:15
☆ Re: / さいとう
なるほど！ありがとうございました！
No.60311 - 2019/07/30(Tue) 07:40:55
★ ドモアブルについての展開の仕方 / テレタビー
z=r(cosθ+isinθ) (r＞0)とおくとド・モアブルの定理より
z^8=r^8(cos8θ+isin8θ)とできるそうなのですが、z=r(cosθ+isinθ) (r＞0)からz^8=r^8(cos8θ+isin8θ)と幾何学的に導けないでしょうか？

No.60286 - 2019/07/29(Mon) 21:23:08
★ クラメール / たぬき
この連立方程式の解X2をクラメールの公式を使って解いて下さい。
No.60274 - 2019/07/29(Mon) 19:41:16
☆ Re: クラメール / GandB
　成分に間違いがあったので訂正
No.60298 - 2019/07/30(Tue) 00:30:58
☆ Re: クラメール / たぬき
ありがとうございます。
とても助かりました！
No.60315 - 2019/07/30(Tue) 09:15:35
★ 無限級数 / Po
極限値lim(n→∞)1/nΣ(k=1→n)cos(sin1/k)
を求めよ。

よろしくお願いします。
No.60273 - 2019/07/29(Mon) 19:36:19
☆ Re: 無限級数 / らすかる
x＞0のときx＞sinxなので
1/k＞sin(1/k)
cosxは0＜x＜πで単調減少なので
cos(1/k)＜cos(sin(1/k))
cos(2x)=1-2(sinx)^2なので
cos(1/k)=1-2(sin(1/(2k)))^2
1/(2k)＞sin(1/(2k))＞0なので
1-2(1/(2k))^2＜1-2(sin(1/(2k)))^2
また
1-2(1/(2k))^2=1-1/(2k^2)
1/(2k^2)＜1/(2k^2-1/2)=1/{2(k-1/2)(k+1/2)}=1/(2k-1)-1/(2k+1)
なので
1-1/(2k-1)+1/(2k+1)＜1-1/(2k^2)
よって
1-1/(2k-1)+1/(2k+1)＜1-1/(2k^2)＜1-2(sin(1/(2k)))^2=cos(1/k)＜cos(sin(1/k))
なので
1-1/(2k-1)+1/(2k+1)＜cos(sin(1/k))
ところで
Σ[k=1〜n]1-1/(2k-1)+1/(2k+1) = n-1+1/(2n+1)
またcos(sin(1/k))＜1なので
n-1+1/(2n+1)＜Σ[k=1〜n]cos(sin(1/k))＜n
従って
lim[n→∞]{n-1+1/(2n+1)}/n≦lim[n→∞](1/n)Σ[k=1〜n]cos(sin(1/k))≦lim[n→∞](1/n)n
で(左辺)=(右辺)=1なので
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1〜n]cos(sin(1/k))=1
No.60280 - 2019/07/29(Mon) 20:18:25
★ 平方数 / 初学者
ある問題を解いていて、A,Bが自然数で、
２A^2-B^2=-1を満たし、さらにBの候補がB=１，３，５、、、２３という奇数だと判明したとします。
（絞り込みの部分は不等式で評価したのですが、割愛します）
このとき、A^2＝（B^2-1)/2より、さらに絞り込もうとしましたが、良い方法が思いつかず、結局、B^2-1=(B+1)(B-1)とみてB^2-1の素因数２の個数をが奇数かどうかで判断し、答えを出しました。
何か自然な良い方法はあるのでしょうか？
No.60272 - 2019/07/29(Mon) 19:06:28
☆ Re: 平方数 / らすかる
B=2b-1,1≦b≦12として代入して整理するとA^2=2b(b-1)
bとb-1は互いに素なのでb=2m^2,b-1=n^2またはb=m^2,b-1=2n^2
b=2m^2を満たすのはb=2,8でこのときb-1=1,7なのでb=2のみ条件を満たす。
b-1=2n^2を満たすのはb-1=2,8なのでb=9のみ条件を満たす。
従って条件を満たすbは1,2,9なので、B=1,3,17が適解
それぞれに対してAを求めると(A,B)=(0,1),(2,3),(12,17)

# 元の問題を書かれれば、「Bの候補がB=1,3,5,…,23」となるよりも
# 効率のよい方法があるかも知れません。
No.60278 - 2019/07/29(Mon) 19:51:43
☆ Re: 平方数 / ＩＴ
らすかるさんの方法がきれいですね。

有限の問題になっていますから　間違いにくく計算が楽な方法ということで
単純に計算して、下記のような表を作って確認する方法もありかと思います。

Aは偶数で16以下なので　
A 　　＝２,４,６,８,１０,１２,１４,１６
A^2 　＝４,16,36,64,100,144,196,256
2A^2+1＝９,33,73,129,201,289,393,513

289が平方数であることに気が付く必要があるのが難点です。
No.60283 - 2019/07/29(Mon) 20:44:52
★ 空間図形 / Qちゃん
1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。この立方体の中心をOとする、半径rの球面をSとする。

(1)Sが平面BDEに接するときのrを求めよ。

(2)S上の点で、Aが見えるようなすべての点から、3頂点B、D、Eのうち少なくとも1点が見えるようなrの条件を求めよ。

ただしS上の点Pから頂点Aが見えるとは、AがSの外部にあり、線分PAとSの共有点Pのみであることである。

(1)、(2)とも教えてください。よろしくお願いします。
No.60270 - 2019/07/29(Mon) 17:55:20
☆ Re: 空間図形 / らすかる
ちょっと問題文が不自然な気がしますが、
途中飛ばしてないですか？
No.60271 - 2019/07/29(Mon) 18:27:08
☆ Re: 空間図形 / Qちゃん
いつも回答ありがとうございます。

問題はそのまま写しました。省略はありません。
No.60328 - 2019/07/30(Tue) 16:25:57
☆ Re: 空間図形 / らすかる
省略とは思っていないのですが、
「この立方体の中心をOとする、半径rの球面をSとする。」の部分が
かなり日本語的に不自然で意味がよくわからない文になっています。
「この立方体の中心をOとする半径rの球面」と考えると意味不明で、
「この立方体の中心をOとする。」「半径rの球面をSとする。」
の2文に分けると半径rの球面がどこにあるのかわからず…
「この立方体の中心Oを中心とする、半径rの球面」ぐらいなら
意味がわかるんですけどね。
なので、この文の途中が何か抜けているのではないかと思いました。
再度確認して貰えませんか？

# もしかして
# 「この立方体の中心をOとし、Oを中心とする半径rの球面をSとする。」
# ぐらいではありませんか？
No.60337 - 2019/07/30(Tue) 19:51:09
☆ Re: 空間図形 / Qちゃん
すみません、先生に確認しましたら、らすかる様の仰るように、『立方体の中心をOとする。Oを中心とする半径rの球面をSとする。』だそうです。これなら問題として成立しているとのことです。これで解説して頂けないでしょうか。
No.60444 - 2019/08/02(Fri) 20:16:03
★ (No Subject) / たけまる
この問題の（I）4！/2！ではないんですか？
No.60260 - 2019/07/29(Mon) 09:11:01
☆ Re: / らすかる
エオなら4!/2!で合ってます。
No.60261 - 2019/07/29(Mon) 11:13:21
★ お願いします。どうやってやるんですか / なぐも
自然数列{a_n} (n=1,2,3,…,13)は隣接する連続5項をどう選んでも和が100以上になり,a_i=a_j⇔i=jが成立するという.
Σ[k=1→13](a_k)の最小値を求めよ.
No.60249 - 2019/07/28(Sun) 22:36:09
☆ Re: お願いします。どうやってやるんですか / らすかる
a[1]〜a[13]を
a[1]+a[2]+a[3]
a[4]+a[5]
a[6]+a[7]+a[8]
a[9]+a[10]
a[11]+a[12]+a[13]
の5ブロックに分けて考えます。
(a[1]+a[2]+a[3])+(a[4]+a[5])≧100
(a[6]+a[7]+a[8])+(a[9]+a[10])≧100
なので、a[11]+a[12]+a[13]をなるべく小さくする必要があります。
(a[1]+a[2]+a[3])+(a[4]+a[5])≧100
(a[9]+a[10])+(a[11]+a[12]+a[13])≧100
なので、a[6]+a[7]+a[8]もなるべく小さくする必要があります。
(a[4]+a[5])+(a[6]+a[7]+a[8])≧100
(a[9]+a[10])+(a[11]+a[12]+a[13])≧100
なので、a[1]+a[2]+a[3]もなるべく小さくする必要があります。
つまり
(総和)≧(a[1]+a[2]+a[3],a[6]+a[7]+a[8],a[11]+a[12]+a[13]の最大値)+200
となります。
従ってa[1]+a[2]+a[3],a[6]+a[7]+a[8],a[11]+a[12]+a[13]の最大値を
最も小さくし、その値+200が総和になるようにできれば、それが最小です。
a[1]+a[2]+a[3],a[6]+a[7]+a[8],a[11]+a[12]+a[13]の最大値を最も
小さくした場合、その値は15です。
(1〜9の和が45ですから、15未満にはできません)
実際、1〜9の数字で(1+6+8)=(2+4+9)=(3+5+7)のように3数の和が
15になる組合せが3つ作れます。
a[4]+a[5]=a[9]+a[10]=100-15=85として
しかも連続5項の和が100を下回らないように適当に配置すると
例えば
1, 6, 8, 40, 45, 2, 9, 4, 41, 44, 7, 5, 3
のようにできて、このとき総和は15+85+15+85+15=215となりますので
これが総和の最小値です。
No.60253 - 2019/07/28(Sun) 23:46:35
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