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★ (No Subject) / 鳥
次の二次関数の最大値をaの式で表せ、aは定数
f(x)=x^2−2(a+1)x (3≦x≦7)
この問題の答えが以下のように書いてありました
?@最大値
-14a+35 (a<4)
-6a+3 (a≧4)

平方完成
f(x)={x-(a+1)}^2 −a^2-2a-1 (3≦x≦7)

疑問
これは以下の?Aの形が正しく思えるのですが何故答えは?@のようになるのでしょうか？
「aの式で表せ」の但し書きがあるからでしょうか？
であるならば「aの式で表せ」が有る場合は?@が正しい?Aが間違え、「aの式で表せ」が無い場合は?Aが正しい?@が間違えとなるのでしょうか？
?A最大値
x=7の最大値 -14a+35 (a<4のとき)
x=3,7の最大値 -21 (a=4のとき)
x=3の最大値 -6a+3 (a>4のとき)
No.61243 - 2019/09/10(Tue) 15:03:58
☆ Re: / らすかる
?@と?Aは同じ答えを違う書き方で書いているだけですから、
「aの式で表せ」があるかどうかと関係なく、?@も?Aも正しいです。
ただし、?Aの「x=7の最大値」のような書き方は正しくありません。
最大値をとるxを書くならば、例えば
　a＜4のときx=7で最大値-14a+35をとる
　a=4のときx=3またはx=7で最大値-21をとる
　a＞4のときx=3で最大値-6a+3をとる
のように書きます。
でも、「最大値をaの式で表せ」のような問題の場合は
「最大値をとるx」は書かなくてよいと思います。
No.61244 - 2019/09/10(Tue) 15:29:11
☆ Re: / 鳥
　a=4のときx=3またはx=7で最大値-21をとる
は a＞4のとき か a＜4のとき とまとめる事ができるので
　a＞4のときx=3で最大値-6a+3をとる
とまとめてしまい
　a≧4のときx=3で最大値-6a+3をとる
のように書く事ができるが、まとめてもまとめなくてもどちらも正解という事ですね

さらに、「最大値をaの式で表せ」のような問題の場合では
　a≧4のとき-6a+3
のような書き方で良いという事ですね
ありがとうございます
No.61245 - 2019/09/10(Tue) 17:22:23
★ 着想が思いつきません / てーさん
次の課題が出たのですが，着想が思いつきません。
ご教授お願いします。

問題
aを正の定数とする。f(x) = -x^3 + 6x^2 -9x +1 の 0≦x≦a における最大値をM，最小値をmとする。
(1)　mをaを使って表せ。
(2)　M=m+2となるaの値を求めよ。
(3)　∫[0，a]　( -x^3 + 6x^2 -9x +1 )dx = 0 となる
　 　有理数aは存在しないことを証明せよ。

(1)，(2)はよくあるタイプの問題なので，場合分けを考えればできました。(3)は方程式 f(x)=0 の解が出ないので，α，β，γの異なる３つの実数解を文字で置いてやろうと思いましたができず，背理法を試みましたが挫折です。

よろしくお願いします。
No.61235 - 2019/09/10(Tue) 04:23:06
☆ Re: 着想が思いつきません / らすかる
積分してa^3-8a^2+18a-4=0までは出たと思います。
a=p/q（p,qは互いに素な自然数）を代入して整理すると
p^3=q(8p^2-18pq+4q^2)
右辺はqで割り切れるので左辺もqで割り切れるが、
pとqは互いに素なのでq=1。
q=1を代入して整理し直すと
p(p^2-8p+18)=4
pは4の約数なので1,2,4
しかし左辺のpに1,2,4のいずれを代入しても4にならないので
a^3-8a^2+18a-4=0は正の有理数解を持たない。
従って∫[0〜a](-x^3+6x^2-9x+1)dx=0となる有理数aは存在しない。
No.61236 - 2019/09/10(Tue) 05:08:35
☆ Re: 着想が思いつきません / てーさん
グラフから攻めてみようと思い，aに2，3，4と代入してみましたが，なんか違う感じがして，数学的でないと思いました。

ありがとうございました。助かります。
No.61238 - 2019/09/10(Tue) 10:01:17
☆ Re: 着想が思いつきません / てーさん
代入して証明しようとしたのですが，数学的でないと思い，断念、、、。

その分，このやり方は納得できるので助かりました。ありがとうございます。
No.61239 - 2019/09/10(Tue) 10:02:43
★ (No Subject) / Huz
Z=x+yiとして解いたのですが、答えと違いました。
どこが違うのでしょうか？
No.61228 - 2019/09/09(Mon) 23:32:19
☆ Re: / Huz
(1)です
No.61229 - 2019/09/09(Mon) 23:32:57
☆ Re: / らすかる
2行目で3/2を絶対値の外に出していますが、
勝手に出すことはできません。
例えば
|1-3/2|=|-1/2|=1/2
|1|+3/2=1+3/2=5/2
のように値が変わってしまいますね。
No.61232 - 2019/09/10(Tue) 00:13:48
★ 数?T青チャート　総合演習9(3)　お茶の水女子大 / 田中一郎
以下の問題の(3)が分かりません。

a,b,c,dを定数とする。またwはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。以下の命題を考える。

命題1: x≧0かつy≧0かつz≧0 ⇒ w≧0

命題2: ｢x≧0かつz≧0｣または｢y≧0かつz≧0｣ ⇒ w≧0

命題3: z≧0 ⇒ w≧0

以下の問いに答えよ。

(1) b=0かつc=0のとき、命題1が真であれば、a≧0かつd≧0であることを示せ。

(2) 命題1が真であれば、a,b,c,dはすべて0以上であることを示せ。

(3) 命題2が真であれば、命題3も真であることを示せ。


という問題なんですが、これは青チャートの総合演習にも載っている問題です。なので答えも書かれてあるんですが、(1)と(2)は解答を見たら理解できたのですが、(3)が解答を見ても理解できません。

(3)の解答を以下に載せます。

命題2が真であるとする。
この時、「x≧0かつy≧0かつz≧0」は
　「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」
に含まれるから、命題1も真である。
よって、(2)から　a≧0,ｂ≧0,c≧0,d≧0
命題2が真であるから、
y=z=0の時
　w=ax+d≧0
この不等式は、全ての実数xに付いて成り立つ。
よって、関数w=ax+dのグラフを考えると
　a=0かつd≧0
また、命題2が真であるから、x=z=0の時・・・・(A)
　w=by+d≧0
この不等式も全ての実数yについて成り立つから
　b=0かつd≧0
ゆえに、a,b,c,dについて
　a=0,b=0,c≧0,d≧0・・・・・・・(あ)
a=b=0であるから　w=cz+d
c≧0,d≧0であるから、z≧0のとき　w=cz+d≧0
したがって、命題2が真であれば、命題3も真である。


この解答の(あ)の部分が分かりません。
(あ)の証明をする前に(A)の箇所で命題2が真と言っているので、 命題2の｢x≧0かつz≧0｣と｢y≧0かつz≧0｣の部分を言っているのだと思っています。

仮にそうだとすると、
｢x≧0かつz≧0｣・・・(い)
または
｢y≧0かつz≧0｣・・・(う)
の(い)と(う)は、それぞれ別物だと思うので、(い)(う)の結果である　a=0かつd≧0　と　b=0かつd≧0　もそれぞれ別物であり、最終的に　a=b=0かつc≧0かつd≧0　とはならないと思うんですが。
なぜ(い)と(う)の結果を「かつ」とまとめていいのでしょうか。
宜しくお願いします。
No.61224 - 2019/09/09(Mon) 21:56:29
☆ Re: 数?T青チャート　総合演習9(3)　お茶の水女子大 / らすかる
命題2が真とは
『x,y,zにどんな値を持ってきても、
　「x≧0かつz≧0」か「y≧0かつz≧0」のうち少なくとも一つを満たせば、
　必ずw≧0となる。』
という意味ですよね。
ですから、
y=z=0の場合に満たすのだからa=0かつd≧0である。
さらにx=z=0の場合も満たすのだからb=0かつd≧0である。
命題2はこのどちらの場合でも常に成り立つといっているのだから、
a=0かつb=0かつd≧0でなければならない、
ということになります。
No.61226 - 2019/09/09(Mon) 22:53:00
☆ Re: 数?T青チャート　総合演習9(3)　お茶の水女子大 / ＩＴ
a,b,c,dは、
「｢x≧0かつz≧0｣または｢y≧0かつz≧0｣ ⇒ w≧0」　を満たす。

を書き換えると

a,b,c,dは、
　「｢x≧0かつz≧0｣ ⇒ w≧0」　を満たす。
　かつ
　「｢y≧0かつz≧0｣ ⇒ w≧0」　を満たす。

という説明ではどうでしょうか？
No.61227 - 2019/09/09(Mon) 23:09:44
☆ Re: 数?T青チャート　総合演習9(3)　お茶の水女子大 / 田中一郎
＞＞ITさん
掲示板は違いますが、以前にも同じ質問をしてITさんから今回と同じ回答を貰いました。その時は分かった気になっていたのですが、改めて考えるとやはり意味が分からず今回再度質問した次第です。

＞＞らすかるさん
例えば　y=z=0　かつ　x<0　の場合はどうなるんでしょうか。
この場合、a=0かつd≧0　になりますが、 x<0　なので　b=0とは必ずしも言えない、のではないでしょうか。
そうなると、y=z=0 かつ x<0　の時、命題2は真となるが、a=0かつb=0かつd≧0　とは言えないんではないでしょうか。
No.61230 - 2019/09/09(Mon) 23:57:44
☆ Re: 数?T青チャート　総合演習9(3)　お茶の水女子大 / らすかる
> 例えば　y=z=0　かつ　x<0　の場合はどうなるんでしょうか。
命題2は
「x=z=0」でも「y=z=0」でも成り立つ命題です。
ですから「y=z=0　かつ　x<0　の場合」だけを言っても意味がありません。
「x=z=0」で成り立つからb=0かつd≧0
そのうえ「y=z=0」でも成り立つからa=0かつd≧0
つまり『「x=z=0」でも「y=z=0」でも成り立つ』ためには
a=b=0かつd≧0でなければなりません。
もしa≠0だとしたらy=z=0,x≠0のときに命題2が成り立たなくなります。
もしb≠0だとしたらx=z=0,y≠0のときに命題2が成り立たなくなります。
ですから「条件を満たす任意のx,y,zで常に命題2が成り立つ」ためには、
a=0かつb=0でなければなりません。


この論理が理解できないのでしたら、もっと簡単な例で考えてみてはどうでしょうか。

命題Aを『x=1またはy=1ならば(x-a)(y-b)=0が成り立つ』とする。
命題Aが真となるようなa,bを求めよ。
↓
x=1のときにyが何であっても成り立つのだから、a=1でなければならない。
y=1のときにxが何であっても成り立つのだから、b=1でなければならない。
よってa=1かつb=1。
これは理解できますか？
No.61231 - 2019/09/10(Tue) 00:02:26
☆ Re: 数?T青チャート　総合演習9(3)　お茶の水女子大 / ＩＴ
>掲示板は違いますが、以前にも同じ質問をしてITさんから今>回と同じ回答を貰いました。

やはりそうでしたか 。どおりで見覚えがありました。いつごろどの掲示板でしたか？
No.61234 - 2019/09/10(Tue) 03:10:37
☆ Re: 数?T青チャート　総合演習9(3)　お茶の水女子大 / 黄桃
2次元空間では第1象限、第2象限、第3象限、第4象限というのがありました。
同様のことは、3次元空間中でも考えられます。
「x≧0かつy≧0かつz≧0」
という領域は3次元空間を8つに分割したもの（以下このように分割したものの１つも「象限」と書きます）の１つです。
それに対して、
(*)「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」
という領域は、x,zが0以上yは何でもよい、という「象限」2つ分、とy,zが0以上でxは何でもよい、という「象限」2つ分、で
両者の共通部分は 「x≧0かつy≧0かつz≧0」という「象限」なので結局両方を合わせた（または、でつないだ）「象限」は合わせて3つ分です。
つまり、命題2の方が、命題１より、x,y,zがもっと広い範囲で同じ結論が得られる、といっているわけです。
そして、この範囲(*)の中に、「y=z=0, xは任意」つまり、x軸、および「x=z=0, yは任意」つまり、y軸も入っているわけです
（よくわからなければxyzの3次元空間の図をかいて、各領域がどこになるか確認してください）。
したがって、x軸上の点でも、y軸上の点でも同じ結論w≧0が得らえるのです。

＃ITさん：
＃命題論理であれば、 (P∨Q)⇒R は、(P⇒R)∧(Q⇒R)と同値ですが、高校数学での条件文は「命題」といっても、実は全称命題なので、
＃∀x((P(x)∨Q(x))⇒R(x)) からいえるのは、∀x((P(x)⇒R(x))∧(Q(x)⇒R(x)))であって、∀x(P(x)⇒R(x))∧∀x(Q(x)⇒R(x))ではありません。
＃おそらく、ITさんの言いかえを、ITさんは前者の意味で、田中一郎さんは後者の意味で解釈しているのではないでしょうか。
No.61237 - 2019/09/10(Tue) 05:39:32
☆ Re: 数?T青チャート　総合演習9(3)　お茶の水女子大 / ＩＴ
>>黄桃さん
> ＃∀x((P(x)∨Q(x))⇒R(x)) からいえるのは、∀x((P(x)⇒R(x))∧(Q(x)⇒R(x)))であって、∀x(P(x)⇒R(x))∧∀x(Q(x)⇒R(x))ではありません。

いろいろ考えましたが、
∀x((P(x)⇒R(x))∧(Q(x)⇒R(x)))と
∀x(P(x)⇒R(x))∧∀x(Q(x)⇒R(x))は同値のような気がするのですが？

なお、下記の「述語論理の恒真式」に
∀X(P(X))∧∀X(Q(X))⇔∀X(P(X)∧Q(X))も恒真となる。とあります。
http://www.sist.ac.jp/~kanakubo/research/reasoning_kr/predicate_logic.html

また、下記の３１ページに
定理42. P,Qを集合X上で定義された1変数述語とする.
そのとき, 次のことが成り立つ.
∀(xP(x))∧∀(xQ(x))⇔∀x(P(x)∧Q(x))
とあります｡ （今回は1変数ではないので違うかも知れませんし、このテキストが間違っているかも知れませんが）

http://www.code.cei.uec.ac.jp/Class/dismath/dismath2007/L200711072logp78.pdf
No.61248 - 2019/09/10(Tue) 19:44:45
☆ Re: 数?T青チャート　総合演習9(3)　お茶の水女子大 / 田中一郎
＞＞ITさん
「数学の葦」という掲示板で1年前？位に質問しました。
でもあそこのサイトは古い物から消されていくのでもう残ってないです。
メモだけは残っているのですが、それを見ても分からなかったので、今回再度質問させて頂きました。

＞＞らすかるさん、黄桃さん
回答ありがとうございます。
お二人のおかげで理解できました。
特に黄桃さんの3次元で考える発想には目から鱗でした。
なるほどそういう事かと具体的に図を書いて理解できました。
長年の疑問が漸く解けました。
No.61249 - 2019/09/10(Tue) 22:12:49
☆ Re: 数?T青チャート　総合演習9(3)　お茶の水女子大 / 田中一郎
すみません、やっぱり理解できません。

＞＞黄桃さん
(*)「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」
なので、
「x=z=0, yは任意」つまりy軸
「y=z=0, xは任意」つまりx軸
になるのは理解出来るんですが、
「x=z=0, yは任意」の時、b=0かつd≧0　になるがa=0とは必ずしも言えない
「y=z=0, xは任意」の時、a=0かつd≧0　になるがb=0とは必ずしも言えない
のではないかと思うんですが。
それぞれ別々の事でこれらをまとめていい理由が分かりません。

＞＞らすかるさん
>つまり『「x=z=0」でも「y=z=0」でも成り立つ』ためにはa=b=0かつd≧0でなければなりません。
これは、A⇒Bという命題があるとしたら、B⇒Aが真という事になってしまわないでしょうか。
No.61250 - 2019/09/10(Tue) 22:49:33
☆ Re: 数?T青チャート　総合演習9(3)　お茶の水女子大 / 田中一郎
そして分からないとは言ったんですが、らすかるさんの

>命題Aを『x=1またはy=1ならば(x-a)(y-b)=0が成り立つ』とする。
>命題Aが真となるようなa,bを求めよ。
>↓
>x=1のときにyが何であっても成り立つのだから、a=1でなければならない。
>y=1のときにxが何であっても成り立つのだから、b=1でなければならない。
>よってa=1かつb=1。

という説明は理解出来るんです。
だから・・・あー今何か分かった気がします。
らすかるさんの簡単な例題のおかげで理解できそうです。
No.61251 - 2019/09/10(Tue) 23:00:56
☆ Re: 数?T青チャート　総合演習9(3)　お茶の水女子大 / 田中一郎
色々分からない所はあるのですが、らすかるさんの簡単な例題と同じように考えると理解はできます。
ただまだ自分の中で完全に理解できていないので、先に進めて何度か復習してからモノにしていこうと思います。
今回はありがとうございました。
No.61252 - 2019/09/11(Wed) 00:20:41
★ 近似 / 美雪
0≦a<bとする。a≦x≦bで定義された滑らかな関数f(x)が、f(x)≧0を満たすならば、曲線y=f(x)とx軸、および2直線x=a、x=bで囲まれる部分をy軸のまわりに1回転して得られる立体の体積Vは

V=∫[a,b]2π・x・f(x)dx

で与えられることを導け。

xの増分Δxに対するVの増分ΔVとしますと、

ΔV≒π・f(x)・(x+Δx)の2乗-π・f(x)・xの2乗=π・{2xΔx+(Δx)の2乗}

高位の微小量(Δx)の2乗は無視できますので、

ΔV≒2π・x・f(x)・Δx

あとはΔx→として、積分して示したのですが、解答のΔV≒…の部分に、『≒の定義なし、論理不備』と書かれていて、×になってます。

≒の定義がないとはどういうことでしょうか。確かに≒の定義を質問されたら、答えられませんが、化学や物理で用いる≒は数学では使用できないのでしょうか。ちなみに高位の微小量という用語は物理で習いました。

でも極限自体が曖昧な感じがしますのに、極限をとる場合でも近似値が用いられないというのがちょっと納得できないです。

数学では≒(近似値)はどういう扱いになるのでしょうか。
No.61222 - 2019/09/09(Mon) 19:55:20
☆ Re: 近似 / らすかる
> ≒の定義がないとはどういうことでしょうか。
解答内で「≒」の意味を定義せずに使っているということです。

> 確かに≒の定義を質問されたら、答えられませんが、
> 化学や物理で用いる≒は数学では使用できないのでしょうか。
数学では曖昧なものは許されませんので、
定義されていないものは定義しない限り使えません。

> でも極限自体が曖昧な感じがしますのに、
曖昧ではありません。

> 極限をとる場合でも近似値が用いられないというのがちょっと納得できないです。
近似値を使っていけないわけではありません。
しかし、近似値を使うのであれば、その近似値が厳密値とどれだけ差があるのかを
きちんと評価しないとダメです。ただ「近い値」といっても、
それは数学的ではありませんので証明には使えません。

> 数学では≒(近似値)はどういう扱いになるのでしょうか。
未定義であり、定義しなければ使えない記号です。
No.61240 - 2019/09/10(Tue) 12:15:58
☆ Re: 近似 / 黄桃
それは物理屋さん（物理を専門とし、数学は計算道具と考える人）の計算方法です。物理屋さんは答が現実と辻褄があっていればそれでいい、と考えます。

数学では、定義に従って（それまで証明されていることだけを使って）、dV/dx=2π・x・f(x)を示すなどする必要があり、そのような解法では数学の答案としてはダメです。
No.61242 - 2019/09/10(Tue) 14:55:12
☆ Re: 近似 / 美雪
≒は数学では使用できないのですね。よくわかりました。

お二人の方々、ありがとうございました！

ところで解答がないので、ちょっと見て頂きたいのですが、評価という言葉をヒントに、次のように解答を修正してみました。

微小量Δxに対して、区間[x,x+Δx]におけるf(x)の最小値をm、最大値をMとします。xの増分Δxに対するVの増分ΔVとします。

π・m・(x+Δx)の2乗-π・m・xの2乗<ΔV<π・M・(x+Δx)の2乗-π・M・xの2乗が成り立ちますので、これを整理して、

π・m・(2x+Δx)<ΔV/Δx<π・M・(2x+Δx)

Δx→0としますと、m→f(x)、M→f(x)ですので、はさみうちの定理により、

dV/dx→2πxf(x)

としてみました。これならいかがでしょうか。
No.61259 - 2019/09/11(Wed) 20:17:27
☆ Re: 近似 / らすかる
その解答で大丈夫かどうかは状況によると思いますが、
> Δx→0としますと、m→f(x)、M→f(x)ですので
これを無条件に断定しているという点で
減点される可能性があると思います。
（「滑らかな」関数が使われていませんのでそう思いました）

また、最後は
ΔV/Δx→2πxf(x)
と書けば正しいですが、dV/dxならば
dV/dx=2πxf(x)
としないといけないと思います。
No.61263 - 2019/09/11(Wed) 23:11:23
☆ Re: 近似 / 美雪
最後は誤りでしたね。

Δx→0のとき、m、M→f(x)はやっぱりまずかったですか。自分でも感覚的にそうなるんじゃないかなと、ちょっと曖昧に考えてしまいました。

どのように修正すべきでしょうか？
No.61300 - 2019/09/13(Fri) 01:04:36
☆ Re: 近似 / らすかる
「Δx→0のとき、m、M→f(x)」は間違いではないので
それを証明すれば問題ないと思いますが、
証明するぐらいなら次のようにした方が簡単です。

f(x)は「滑らかな関数」なので微分可能です。
そこでa≦x≦bにおける|f'(x)|の最大値をMとおけば
（ただし端点は片側微分係数とする）
x≦t≦x+Δxに対するf(t)の範囲は
f(x)-MΔx≦f(t)≦f(x)+MΔxとなりますので
π(x+Δx)^2・{f(x)-MΔx} - πx^2・{f(x)-MΔx} ＜ΔV
＜π(x+Δx)^2・{f(x)+MΔx} - πx^2・{f(x)+MΔx}
が言えますね。
No.61302 - 2019/09/13(Fri) 03:04:16
☆ Re: 近似 / 美雪
ありがとうございました！
No.61324 - 2019/09/15(Sun) 00:15:54
★ (No Subject) / アブドゥル
この問題の(1)を解いてみました。
あっていますか？
No.61218 - 2019/09/09(Mon) 18:06:49
☆ Re: / アブドゥル
こちらが私が作った解答です。
No.61219 - 2019/09/09(Mon) 18:07:20
☆ Re: / らすかる
間違っています。
Aの方が移動距離が大きいので、
最大になるのは2回目以降すべてAの場合です。
No.61220 - 2019/09/09(Mon) 18:32:44
☆ Re: / アブドゥル
> 間違っています。
> Aの方が移動距離が大きいので、
> 最大になるのは2回目以降すべてAの場合です。

その通りでした。ありがとうございます。
これであっていますか？
No.61223 - 2019/09/09(Mon) 20:50:57
☆ Re: / らすかる
問題ないと思います。
No.61225 - 2019/09/09(Mon) 22:41:06
☆ Re: / アブドゥル
いありがとうございます。助かりましたm(_ _)m
No.61233 - 2019/09/10(Tue) 02:00:33
★ 代数学 / 代数学
Kを体としƒ(x)∈K[x]とする。LがKの拡大体でa∈Lがƒ(x)=0の根とする。このとき、aがƒ'(a)=0ならばƒ(x)=0の重根であることを示せ。

答えもなく、解法の方法も検討がつかず、困っています。
分かる方、切実に解説をよろしくお願いいたします。
No.61216 - 2019/09/09(Mon) 17:58:15
☆ Re: 代数学 / ＩＴ
「抽象代数への入門（永田雅宜）」から　抜粋

Kの拡大体の元αがf(x)の重根⇔αがf(x)とf'(x)の共通根
（証明）
f(x)=cΠ(x-α[i])(α[i]∈L,c∈K)としてみると
f'(x)=c??(f(x)/(x-α[i])) である。…#

α[1]=α[2]ならば,
　右辺のどの項f(x)/(x-α[i])もx-α[1]で割り切れる。
　したがって、α[1]はf(x)とf'(x)の共通根。

α[1]がf(x)の重根でないならば,
　f(x)/(x-α[i])=g[i](x)について、g[1](α[1])≠0、g[i](α[1])＝0（i≧2）
　したがって、α[1]はf'(x)の根でない｡
（証明終わり）

（注）Π、?狽ﾌ添え字範囲は省略しています。
＃を示す必要があるかもしれませんね。（積の微分の公式を使って数学的帰納法で証明します。）
原著で、　f(a)=0 のとき 「aはf(x)の根」と表現しています。
No.61221 - 2019/09/09(Mon) 19:22:25
★ 極限の証明問題 / YUKI
aを任意の正の数として、この証明を教えて下さいませんか？
No.61211 - 2019/09/08(Sun) 20:56:40
☆ Re: 極限の証明問題 / X
n→∞を考えるのでa+1≦nとしても問題ありません。
このとき
(a^n)/n!={(a^a)/a!}{a^(n-a)}/(n!/a!)
≦{(a^a)/a!}{a^(n-a)}/(a+1)^(n-a)
={(a^a)/a!}{a/(a+1)}^(n-a)}
∴0＜(a^n)/n!≦{(a^a)/a!}{a/(a+1)}^(n-a)}
よってはさみうちの原理により
問題の等式は成立します。
No.61212 - 2019/09/08(Sun) 21:38:57
☆ Re: 極限の証明問題 / らすかる
＞Xさん

aは整数とは言っていないので「a!」はまずいと思います。

aより大きい適当な整数をmとすればn＞mで
a^n/n!=(a^m/m!){a^(n-m)/(n!/m!)}
≦(a^m/m!){a^(n-m)/(m+1)^(n-m)}
=(a^m/m!){a/(m+1)}^(n-m)
から
0≦lim[n→∞]a^n/n!≦(a^m/m!)lim[n→∞]{a/(m+1)}^(n-m)=0
なのでlim[n→∞]a^n/n!=0
のようにすればいいですね。
No.61213 - 2019/09/08(Sun) 23:15:32
☆ Re: 極限の証明問題 / X
>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>YUKIさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
No.61215 - 2019/09/09(Mon) 04:28:41
☆ Re: 極限の証明問題 / YUKI
一点だけわからないところがあるので教えて下さいますか？

n!/m!≧(m+1)^(n-m)になる理由が分からないです。すみません、ご教授願いたいです。

> ＞Xさん
>
> aは整数とは言っていないので「a!」はまずいと思います。
>
> aより大きい適当な整数をmとすればn＞mで
> a^n/n!=(a^m/m!){a^(n-m)/(n!/m!)}
> ≦(a^m/m!){a^(n-m)/(m+1)^(n-m)}
> =(a^m/m!){a/(m+1)}^(n-m)
> から
> 0≦lim[n→∞]a^n/n!≦(a^m/m!)lim[n→∞]{a/(m+1)}^(n-m)=0
> なのでlim[n→∞]a^n/n!=0
> のようにすればいいですね。
No.61253 - 2019/09/11(Wed) 02:37:32
☆ Re: 極限の証明問題 / らすかる
n!/m!=n・(n-1)・(n-2)・…・(m+2)・(m+1)
≧(m+1)・(m+1)・(m+1)・…・(m+1)・(m+1)=(m+1)^(n-m)

# 等号はn=m+1のときですが、nは大きいときを考えますのでなくても構いません。
# ただし、limを付けた時は等号は必要です。
No.61254 - 2019/09/11(Wed) 03:39:13
☆ Re: 極限の証明問題 / YUKI
お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。
No.61266 - 2019/09/12(Thu) 00:51:21
★ (No Subject) / かい
三角形ABCにおいて、∠A=3∠B,ABのながさは√3、ＢＣのながさはa,ACのながさはb,でありa,bは共に整数のときa,bの値を求めてください
No.61210 - 2019/09/08(Sun) 19:33:40
☆ Re: / らすかる
∠A=3∠Bからa＞b
三角形の成立条件からa-b＜√3
よって0＜a-b＜√3でa,bは整数なのでa-b=1
a=b+1とおくと∠B,∠Aに関する余弦定理により
cosθ=(3+(b+1)^2-b^2)/(2(b+1)√3)=(b+2)/{(b+1)√3}
cos3θ=(3+b^2-(b+1)^2)/(2b√3)=(1-b)/(b√3)
cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθに代入して整理すると
(b-1)(b+3)(2b^2+2b-1)=0
bは正の整数なのでb=1
a=b+1=2
∴(a,b)=(2,1)
No.61214 - 2019/09/09(Mon) 00:08:21
★ (No Subject) / Huz
この問題の解き方は何が間違っていますか？
No.61203 - 2019/09/08(Sun) 00:33:56
☆ Re: / らすかる
例えばn=10のときどんなグラフになるか考えてみて下さい。
No.61204 - 2019/09/08(Sun) 00:57:25
★ 確率漸化式 / さわ
解き方を教えてください
No.61197 - 2019/09/07(Sat) 21:19:07
☆ Re: 確率漸化式 / ヨッシー
ｎ回目の試行で、
　Ａが１点になっている確率を ｒ[n]
　２点になっている確率を　ｑ[n]
　３点になっている確率を　ｐ[n]
とします。偶数と奇数は同確率なので、Ｂが、１点、２点、３点に
なっている確率も、ｒ[n]、ｑ[n]、ｐ[n] です。
　ｒ[n+1]＝(r[n]＋q[n])/２　・・・(1)
　ｑ[n+1]＝r[n]/２　　　　　・・・(2)
　ｐ[n+1]＝q[n]/２　　　　　・・・(3)
ｒ[1]＝1/2、ｑ[1]＝０、ｐ[1]＝０
順に　
　r[2]＝1/4、q[2]＝1/4、p[2]＝０
　r[3]＝1/4、q[3]＝1/8、p[3]＝1/8
　r[4]＝3/16、q[4]＝1/8、p[4]＝1/16
　r[5]＝5/32、q[5]＝3/32、p[5]＝1/16
　r[6]＝1/8、q[6]＝5/64、p[6]＝3/64
　r[7]＝13/128、q[7]＝1/16、p[7]＝5/128
よって、p[5]＝1/16, p[6]＝3/64, p[7]＝5/128

(2)(3) より
　q[n]＝2・p[n+1]
　r[n]＝4・p[n+2]
(1) に代入して
　4・p[n+3]＝(4・p[n+2]＋2・p[n+1])/２
整理して
　4・p[n+3]＝2・p[n+2]＋p[n+1]
よって、
　p[n+2]＝(1/2)p[n+1]＋(1/4)p[n]　　・・・(4)

これが
　p[n+2]−ｓp[n+1]＝ｔ(p[n+1]−ｓp[n])
と書けたとして展開すると
　p[n+2]＝(ｓ＋ｔ)p[n+1]−ｓｔp[n]
(4) と係数を比較すると
　ｓ＋ｔ＝1/2、ｓｔ＝−1/4
であり、解と係数の関係より、ｓ、ｔは、２次方程式
　ｘ^2−(1/2)ｘ−1/4＝0
の解、すなわち　αとβであり、これを使って、
　p[n+2]−αp[n+1]＝β(p[n+1]−αp[n])
　p[n+2]−βp[n+1]＝α(p[n+1]−βp[n])
さらに (4) の漸化式は n=2 でも成り立つので、
　p[n+1]−αp[n]＝β^(n-2)(p[3]−αp[2])
　p[n+1]−βp[n]＝α^(n-2)(p[3]−βp[2])
と書けます。差をとって
　(β−α)p[n]＝β^(n-2)(p[3]−αp[2])−α^(n-2)(p[3]−βp[2])
　　　　　　　＝β^(n-2)/8−α^(n-2)/8
ここで、ｘ^2−(1/2)ｘ−1/4＝0 を解いて
　ｘ＝(1±√5)/4
α＜β より β−α＝√5/2
　p[n]＝β^(n-2)/4√5−α^(n-2)/4√5
以上より
　ａ＝−１/4√5、　ｂ＝１/4√5

p[1]＝p[2]＝0 より、求める確率は
　Σ[n=3〜∞]p[n]
|α|＜１　|β|＜１ より
　Σ[n=3〜∞]β^(n-2)＝β/(1−β)＝(1＋√5)/(3−√5)
　Σ[n=3〜∞]α^(n-2)＝α/(1−α)＝(1−√5)/(3＋√5)
にそれぞれ収束するので、
　Σ[n=3〜∞]p[n]＝{(1＋√5)/(3−√5)−(1−√5)/(3＋√5)}/4√5
　　　＝1/2
No.61241 - 2019/09/10(Tue) 14:01:37
★ (No Subject) / あ
詳しい解き方を教えて下さい。
No.61194 - 2019/09/07(Sat) 20:02:26
☆ Re: / らすかる
大人1000円、大学生500円、子ども0円にすると
180000-110×1000=70000円
大人を10人減らすと60000円
これで大人と大学生が同じ人数なので
60000÷(1000+500)=40人ずつ
従ってCが正しい
No.61196 - 2019/09/07(Sat) 20:23:42
☆ Re: / GandB
　計算は方程式立てるより簡単なんだなあ。
　しかし・・・考え方は難しい（笑）。
No.61207 - 2019/09/08(Sun) 08:52:06
★ (No Subject) / aaaaaaaaaa
a,bは 0<a<b<1 を満たす実数定数、{nx}をnxの小数部分とすると
0<x<1 を満たす任意の実数xに対し a<{nx}<b
を満たす自然数nが存在することを示せ。

a<x<b のときは自明なのでその他の場合についてお願いします。
No.61192 - 2019/09/07(Sat) 19:01:20
☆ Re: / ＩＴ
例えば　a=0.1,b=0.2,x=0.5 のとき　ダメでは？

x は無理数という条件では？
No.61193 - 2019/09/07(Sat) 19:28:20
☆ Re: / aaaaaaaaaa
すいません、xは無理数という条件を追加してください。
No.61198 - 2019/09/07(Sat) 21:29:07
☆ Re: / ＩＴ
概略だけ

xは無理数なので　n≠m　のとき　、{nx}≠{mx}

{1x},{2x},...,{nx} はすべて互いに異なる。
したがって　0<|{ix}-{jx}|<1/n となる1≦i<j≦n が存在。
k=j-i とおく
このとき0<{kx}<1/n

nを十分大きくとると　0<{kx}<1/n<b-a と出来る。（これを先に書くほうがいいかも）

a<m{kx}<b となるmが存在する。
このとき {mkx}=m{kx} となり　a<{mkx}<b である。

大学１年程度の問題ですか？　それによって行間は適切に埋めてください。

n,m などの命名は紛れがないように適切に変えた方がいいかも知れません。
No.61200 - 2019/09/07(Sat) 21:54:47
☆ Re: / ＩＴ
＞k=j-i とおく
＞　このとき0<{kx}<1/n
はまちがい. 1-1/n<{kx}<1 の場合がある.

方針としては、上のやり方でいけると思うので　やってみてください。
No.61201 - 2019/09/07(Sat) 22:12:06
☆ Re: / aaaaaaaaaa
高校程度の論証問題で、途中で必要になった命題です。

a,b,xは元はlogがらみの数でいずれも無理数です。

ご回答ありがとうございます。
No.61202 - 2019/09/07(Sat) 22:39:11
☆ Re: / ＩＴ
「無理数 稠密」　（ちゅうみつ）で検索すると、いろいろ出てきます。
高校レベル（大学入試対策）で　適当なのは下記などがあります。
https://mathtrain.jp/tyumitsu

私の最初間違えた場合についても考慮してあります。↓
https://mathtrain.jp/kronecker
No.61208 - 2019/09/08(Sun) 10:52:52
★ (No Subject) / アブドゥル
この問題の(2)の解答の仕方ついて質問です。
No.61188 - 2019/09/07(Sat) 17:36:51
☆ Re: / アブドゥル
この画像の解説のq_n=…のところを見てください。
ここから先を計算せず、このまま解答にするのはNGですか？

求めたいのはq_nなのでこれでも良いと思うのですが、やはり計算するのが普通なのでしょうか。(この式にnに3以上の自然数を代入すればいろんな場合の確率を求められることができますし。)

個人的な見解を教えてください。
No.61189 - 2019/09/07(Sat) 17:42:32
☆ Re: / アブドゥル
質問の意図がわかりづらいと思ったので、補足しました。
よろしくお願いします。
No.61190 - 2019/09/07(Sat) 17:48:36
☆ Re: / ＩＴ
?狽ｪ残っている式と、その次の?狽?無くした式では、得点が違うでしょうね。

?狽ｪ残っている式では、満点という採点はないと思います。
No.61191 - 2019/09/07(Sat) 18:07:28
☆ Re: / らすかる
> (この式にnに3以上の自然数を代入すればいろんな場合の確率を求められることができますし。)

Σのついた式でnに10を代入して計算するのは大変です。
n=10でも簡単に計算できるのはΣをとって整理した式ですね。
No.61195 - 2019/09/07(Sat) 20:19:04
☆ Re: / アブドゥル
みなさまありがとうございます。
たしかにn=10だと大変そうです。
代入するnがたくさんあっては確かに気持ち悪いです。

回答では、しっかりシグマを外して行こうと思います。
No.61217 - 2019/09/09(Mon) 18:06:08
★ (No Subject) / あきら
244の問題なのですが場合分けをした後の、最小値がゼロより大きいという条件の不等号を利用すると思うのですが、等号を入れるのか入れないのかの区別がつきません。
No.61186 - 2019/09/07(Sat) 10:56:00
☆ Re: / らすかる
t=2^xとおくとt＞0で
不等式は4t^2+at+1-a＞0となる。
f(t)=4t^2+at+1-aとおくと
y=f(t)は下に凸な放物線なので
t＞0のときf(t)＞0となるためには
「(頂点のy座標)＞0」または
「(頂点のx座標)≦0かつf(0)≧0」
であればよい。
f(t)=4(t+a/8)^2-(a^2+16a-16)/16なので
「-(a^2+16a-16)/16＞0」または
「-a/8≦0かつ1-a≧0」
これを解いて
-8-4√5＜a≦1

この解答で場合分けは出てきませんでしたので、
具体的に場合分けをする解答を書いて頂かないと
質問の内容がわかりません。
No.61187 - 2019/09/07(Sat) 11:27:25
☆ Re: / あきら
頂点のＸ座標≦0かつf(0)≧0の部分がわからないのですが、どうしてこの条件が必要なのですか？また、なぜf(0)>0ではないのですか？
No.61205 - 2019/09/08(Sun) 07:36:58
☆ Re: / らすかる
軸がx≦0の範囲にあるとき、x軸の負の部分または原点と2点で交わっていても
「t＞0のときf(t)＞0」という条件を満たすからです。
t＞0のときにf(t)＞0であればよいので、t=0のときf(t)=0でも構いません。
よってf(0)≧0とする必要があります。
No.61206 - 2019/09/08(Sun) 08:25:03
★ (No Subject) / デルタ
ｘの4次方程式
(x^2-3x+2)(x^2+1)=0・・?@がある。このとき、次の条件を満たす実数a,bの値の組を全て求めよ。
条件）x^2+ax+b=0を満たす全てのｘは?@を満たす

このa,bの組は（−３，２）と（０，１）で合っていますか？
No.61180 - 2019/09/06(Fri) 21:35:07
☆ Re: / ＩＴ
まちがっています。

途中の考え方が大切です。書き込んでみてください。
No.61181 - 2019/09/06(Fri) 22:03:53
☆ Re: / ＩＴ
（基本事項）
a,bは実数なので　x^2+ax+b=0の解は
　２つの異なる実数
　１つの実数（重解）
　２つの虚数解（互いに共役）
の場合があります。
No.61182 - 2019/09/06(Fri) 22:36:41
☆ Re: / デルタ
なるほどです！ありがとうございます
x^2+ax+b=0の解が

重解のときの（−２，１）（−４，４）が抜けているいうことでよいでしょうか
No.61183 - 2019/09/06(Fri) 23:02:59
☆ Re: / ＩＴ
そうですね。
No.61184 - 2019/09/06(Fri) 23:05:58
★ (No Subject) / アブドゥル
解説でわからない部分(画像の赤線)があります。
画像は、問題(1)と、解答の一部です。

なぜ、k(k-1)が偶数である必要があるんですか？
分母が残ってる状態だと何が不都合なのですか？

(1/2)*p^3という数があったとして、この数は、p^3で割り切れますよね。
No.61175 - 2019/09/05(Thu) 21:02:21
☆ Re: / らすかる
(1/2)p^3はp^3で割り切れません。
この問題の「○がp^3で割り切れる」は「○÷p^3=(整数)」という意味です。
例えばp=2のとき「(1/2)p^3はp^3で割り切れる」は
「4は8で割り切れる」という意味になりますが、
普通、「4は8で割り切れる」とは言いませんよね。
No.61176 - 2019/09/05(Thu) 21:13:28
☆ Re: / アブドゥル
あ、ほんとでした。反例があったので納得しました。
ありがとうございます。
No.61177 - 2019/09/05(Thu) 22:26:11
★ (No Subject) / 鳥
定義域が与えられた二次関数で
例えば最大値が 6 より小さい数の定義域のときは 最大値なし
とする理由がわかりません
やさしく教えてくれませんでしょうか？
No.61171 - 2019/09/05(Thu) 15:56:37
☆ Re: / ヨッシー
これだけでは伝わりません。
具体的に、こういう問題で、こんなふうに書いてありますが、それはなぜですか？
と書いてください。

多分、その問題のときは「最大値なし」でも、それ以外の問題ではそうはならないと思います。
No.61172 - 2019/09/05(Thu) 16:00:50
☆ Re: / らすかる
例えばf(x)=x^2+xで定義域が1＜x＜2のとき3＜f(x)＜6
このような場合に「f(x)は最大値なし」の理由ですか？
それは、「f(x)の最大値はMである」と言えるようなMが存在しないからです。
No.61173 - 2019/09/05(Thu) 16:01:09
☆ Re: / 鳥
ヨッシー さん
失礼しました
以下の?Aの二次関数で 最大値がなし となる理由が知りたいです。
?@y=x^2 定義域0≦x≦6 の 最大値は36
?Ay=x^2 定義域0≦x<6 の 最大値はなし

らすかる さん
「f(x)の最大値はMである」と言えるようなMが存在しないから
最大値なし とするのは分かりましたありがとうございます。
要は 最大値M は 値 なので範囲で答えるのは駄目だよと言う事ですよね。

たんに決まりとして覚えてしまえば簡単なのですが、
最大値 36より小さい数 と言えなくもないような気がするのがなんとなく
喉につっかえるので何か明確な理由付けが出来ればよりよいなと思ったのです。
No.61178 - 2019/09/06(Fri) 14:49:45
☆ Re: / らすかる
> 何か明確な理由付けが出来ればよりよいなと思ったのです。
「最大値はM」と具体的な値を言えるものかどうかで決まります。
36より少し小さいどんな数をMとしても、
Mと36の数の間に別の数がありますので、
Mは最大値ではありません。
従って「最大値はM」と言えるような具体値Mが存在しませんので、
「最大値なし」となります。
0≦y＜36 の36は「最大値」ではありませんが「上限」であり、
これは大学数学で習います。
（最大値が存在する場合はそれが上限です）
No.61179 - 2019/09/06(Fri) 19:47:07
☆ Re: / 鳥
らすかる さん
なるほど、「0≦y<36の値域の上限」 のような言い方が用意されているのですね
すっきりしました ありがとうございます
No.61185 - 2019/09/07(Sat) 01:42:56
★ (No Subject) / 太田
⑵で、全場合の数から女子が隣り合う場合の数を引く方法を考えて、5040-2×6！=3600となったのですが何が違うのでしょうか。
No.61168 - 2019/09/05(Thu) 14:25:56
☆ Re: / らすかる
女子が隣り合う場合の数は2×6!ではありません。
3人かたまるのが5!×3!=720通り
2人と1人に分かれるのが4!×5P2×3P2=2880通りなので
隣り合う場合の数は720+2880=3600通りです。
No.61170 - 2019/09/05(Thu) 14:56:34
★ 行列 整数 / もーちゃん
高校範囲ではない行列の問題です。
行列の計算方法などは教わっているので、この問題は整数の問題である事はわかりました。しかし、(3)がどうしてもわかりません。(1) (2)の結果をどのように使えば良いのでしょうか。よろしくお願いします。
No.61166 - 2019/09/05(Thu) 07:33:31
☆ Re: 行列 整数 / らすかる
とりあえず(1)(2)を無視すると

X=
(a b)
(c d)
Y=
(e f)
(g h)
とすると、YX=Aから
ae+cf=9 … (a)
be+df=4 … (b)
ag+ch=3 … (c)
bg+dh=2 … (d)
XY=Bから
ae+bg=10 … (e)
af+bh=2 … (f)
ce+dg=2 … (g)
cf+dh=1 … (h)

c,d,f,hが全て1以上とすると(h)が成り立たないので、c,d,f,hのうち少なくとも一つは0
c=0のとき(c),(g)からag=3,dg=2なのでg=1,d=2だが、(h)からdh=1なので不適
d=0のとき(h)からc=f=1、(g)からe=1、(b)からb=4となるが、(d)からbg=2なので不適
f=0のとき(a),(b)からae=9,be=4なのでe=1,b=4だが、(f)からbh=2なので不適
h=0のとき(c),(d)からag=3,bg=2なのでg=1,a=3だが、(f)からaf=2なので不適
よってどの場合も不適なので、条件を満たすX,Yは存在しない。
No.61169 - 2019/09/05(Thu) 14:49:55
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