半径1の球面が存在する。この球面の中心が4点O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3)を頂点とする四面体の表面およびその内部を自由に動くとき、球面が通過しうる部分の体積を求めよ。
という問題が分からなくて困っています。
まず四面体OABCの内部は確実に含まれていて、四面体の面に三角柱が存在していて、四面体の辺に円柱の一部分が存在していて、四面体の頂点に球の一部分が存在しているような図形になると思うのですが、
分割すると、
四面体OABC
球の1/8の体積のものが1個
球の9/32のものが3個
高さ3・半径1の円柱の1/4のものが3個、
高さ3√2・半径1の円柱の1/4のものが3個、
3×3×1の三角柱が3個
1辺の長さが3√2の三角形で高さが1の三角柱が1個
のような気がするのですが、
おそらく円柱の部分がうまく把握できていなくて計算が合わないです。
積分を使わずに求められそうですが分かりません。
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No.86422 - 2023/09/15(Fri) 14:36:21
| ☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / X | | | 積分を使う方針を使うのであれば
以下のようになります。
問題の立体を
平面α:z=0(xy平面)
平面β:z=3
で3分割し、
αから下の部分、αとβの間、βより上の部分
の体積をそれぞれV[1],V[2],V[3]
と置きます。
(i)V[1]について
これは
(I)半径3の半球
(II)半径3、高さ3の半円柱
(III)半径3、高さ3√2の1/4円柱
(IV)底面が辺の長さ3の直角二等辺三角形である
高さ3の三角柱
を組み合わせた立体の体積ですので
V[1]=(1/2)(4π/3)・3^3+(1/2)(π・3^2)・3+(1/4)(π・3^2)・3√2
=18π+27π/2+(27π/4)√2
={63/2+(27/4)√2}π
(ii)V[3]について
これは半径3の半球の体積となり
V[3]=(1/2)(4π/3)・3^3=18π
(iii)V[2]について
これに対応する立体の平面z=t(0≦t≦3)による
断面は
(I)辺の長さが3-tの二等辺三角形
(II)半径3の円
(III)縦3、横3-tの長方形2つ
(IV)縦(3-t)√2,横3の長方形
を組み合わせた図形となるので、断面積S(t)は
S(t)=(1/2)(3-t)^2+9π+6(3-t)+3(3-t)√2
=(1/2)(3-t)^2+9π+(6+3√2)(3-t)
∴V[2]=∫[0→3]S(t)dt
=∫[0→3]{(1/2)(3-t)^2+9π+(6+3√2)(3-t)}dt
=[-(1/6)(3-t)^3+9πt-(1/2)(6+3√2)(3-t)^2][0→3]
=(1/6)・3^3+27π+(1/2)(6+3√2)・3^2
=9/2+27π+(27/2)(2+√2)
=27π+(63+27√2)/2
以上から求める体積をVとすると
V=V[1]+V[2]+V[3]
={63/2+(27/4)√2}π+{27π+(63+27√2)/2}+18π
={153/2+(27/4)√2}π+(63+27√2)/2
(計算間違いがあるかもしれません。間違っていたらごめんなさい。)
注)
V[2]についてですが、対応する立体を適当な形に
分解すれば、等積変形により
積分を使わなくても計算できるようです(形の上では、ですが)。
只、その等積変形の裏付けが、積分に基づくものですので
積分を使っていないことにはなりませんが。
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No.86423 - 2023/09/15(Fri) 21:18:46 |
| ☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / 大西 | | | Xさんご返信＆ご回答ありがとうございます。
積分を使う方が機械的に求められますね。
この1つ前に
半径1の球面の中心が三角形OABの周とその内部を自由に動くとき、球面が通過しうる部分の体積を求めるときは、
3×3×2の三角柱が1個
半径1の球の1/4のものが1個
半径1の球の3/8のものが2個
底面の半径が1で高さが3の半円柱が2個
底面の半径が1で高さが3√2の半円柱が1個
に分けられたので、同じような感じで分けられると考えました。
四面体になると角の部分のイメージがなかなかできませんでした。
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No.86424 - 2023/09/15(Fri) 22:20:21 |
| ☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / 大西 | | | No.86425 - 2023/09/16(Sat) 00:24:51 |
| ☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / X | | | ごめんなさい。球の半径を3と間違えていました。
改めて回答をアップしておきます。
問題の立体を
平面α:z=0(xy平面)
平面β:z=3
で3分割し、
αから下の部分、αとβの間、βより上の部分
の体積をそれぞれV[1],V[2],V[3]
と置きます。
(i)V[1]について
これは
(I)半径1の半球
(II)半径1、高さ3の半円柱
(III)半径1、高さ3√2の1/4円柱
(IV)底面が辺の長さ3の直角二等辺三角形である
高さ1の三角柱
を組み合わせた立体の体積ですので
V[1]=(1/2)(4π/3)+(1/2)π・3+(1/4)π・3√2+(1/2)・3^2
=2π/3+3π/2+(3π/4)√2+9/2
={13/6+(3/4)√2}π+9/2
(ii)V[3]について
これは半径1の半球の体積となり
V[3]=(1/2)(4π/3)=2π/3
(iii)V[2]について
これに対応する立体の平面z=t(0≦t≦3)による
断面は
(I)辺の長さが3-tの二等辺三角形
(II)半径1の円
(III)縦1、横3-tの長方形2つ
(IV)縦(3-t)√2,横1の長方形
を組み合わせた図形となるので、断面積S(t)は
S(t)=(1/2)(3-t)^2+π+2(3-t)+(3-t)√2
=(1/2)(3-t)^2+π+(2+√2)(3-t)
∴V[2]=∫[0→3]S(t)dt
=∫[0→3]{(1/2)(3-t)^2+π+(2+√2)(3-t)}dt
=[-(1/6)(3-t)^3+πt-(1/2)(2+√2)(3-t)^2][0→3]
=(1/6)・3^3+3π+(1/2)(2+√2)・3^2
=9/2+3π+(9/2)(2+√2)
=3π+(27+9√2)/2
以上から求める体積をVとすると
V=V[1]+V[2]+V[3]
={13/6+(3/4)√2}π+9/2+{3π+(27+9√2)/2}+2π/3
={35/6+(3/4)√2}π+(36+9√2)/2
(計算間違いがあるかもしれません。間違っていたらごめんなさい。)
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No.86429 - 2023/09/16(Sat) 05:41:03 |
| ☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / 大西 | | | Xさんご返信＆ご修正していただきありがとうございます。
私もV[3]が半径1の球面の半分の体積だと思ったのですが、
下手な図で申し訳ございませんが、
xy平面で切った図を描いた時に赤色の部分が存在するような気がします。
私が何か勘違いしているのでしょうか？
![]() |
No.86430 - 2023/09/16(Sat) 08:57:08 |
| ☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / X | | | その図において
P(0,3),Q(3,0)
D(-1,3),E(-1,0),F(0,-1),G(3,-1)
H(3+1/√2,1/√2),I(1/√2,3+1/√2)
とすると、私のV[3]の計算の方針では
この図形を
△OPQ,長方形DEOP,長方形OFGQ,長方形QHIP
に分割して角柱と考えた上で、残った扇形を組み合わせて
半径1の円として半球と考え、V[3]を計算しています。
従って、大西さんの言う赤い領域は
長方形QHIP
に含まれています。
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No.86436 - 2023/09/16(Sat) 12:56:58 |
| ☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / 大西 | | | Xさんご返信＆ご回答ありがとうございます。
3/16の球2個と1/8の球1個で1/2の球1個分ということですね。
体積はもう少し大きな値になりそうな気がしていたのですが、
思っていたよりも小さな値でした。
ありがとうございます。
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No.86437 - 2023/09/16(Sat) 13:47:17 |
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