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★ 微分方程式？ / Eラン大学生
(問) 曲線y=f(x)上の任意の点における接線が常に、定点(− 2、3)を通りf(4 )= 1を満たすf(x)を求めなさい。

(質問) この問題なんですが、もしf(x)が直線ならy= −1/3x +7/3と分かるのですが、
どうやって曲線f(x)を求めるのか教えて下さい。
宜しくお願い致します。
No.86331 - 2023/08/31(Thu) 14:34:57
☆ Re: 微分方程式？ / X
＞＞微分方程式？
微分方程式ですね。

条件から
3=f'(x)(-2-x)+f(x) (A)
ここで
f(x)-3=g(x)
と置くと(A)は
g(x)=g'(x)(x+2)
この微分方程式を解くと
g(x)=C(x+2)
(Cは任意定数)
g(x)を元に戻して
f(x)=C(x+2)+3
(Cは任意定数)
ここでf(4)=1ゆえ
6C+3=1
∴C=-1/3
よって
f(x)=-1/3(x+2)+3
=-(1/3)x+7/3
No.86332 - 2023/08/31(Thu) 17:08:10
☆ Re: 微分方程式？ / Eラン大学生
Xさん、ご回答ありがとうございます。
問題文の「曲線」という言葉はひっかけ？あるいは、表記不適切ということでいいのでしょうか？
No.86334 - 2023/08/31(Thu) 17:34:33
☆ Re: 微分方程式？ / X
いいえ、直線を曲線の特別な場合と考えれば
ひっかけでも表現不適切でもありません。
No.86335 - 2023/08/31(Thu) 18:58:56
★ 面積と移動距離の関係 / 町子(中学3年生)
理科の話ではあるのですが、数学が関わると思えるので、質問です。

時間を横軸、速さを縦軸とするときに、速さと時間の関係を表すグラフと横軸の囲む面積が移動距離を表すと教わりました。

でもこれって、小学校で教わるみはじ(道のり=速さ×時間)をグラフに見立てたものですよね？

つまり、速さが一定なら、速さ×時間が縦×横の長方形の面積を求める計算に対応しているってことですよね？

でも、時間により、速さが一定にならない場合でも面積と移動距離が対応するらしいのですが、なぜでしょうか？

速さをy、時間をxとします。yがxの関数である場合、関数によって当然にはグラフは長方形になるわけではないでしょうに、なぜこの場合にも面積が移動距離になると言えるのでしょうか？

この場合のyxは面積ではあるまいし、一体何を表すのでしょうか？
No.86330 - 2023/08/31(Thu) 01:20:28
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / 黄桃
今の時代、スマホでもタブレットでもPCの画面でもいいですが、画面上に
>速さをy、時間をxとします。yがxの関数である場合、関数によって当然にはグラフは長方形になるわけではないでしょうに
と書いているグラフを描かせてみてください（イメージするだけでもOKです）。

見た目には曲線（や斜めの直線）に見えても、実はたくさんのドット（点）の集まりだということはご存知でしょう。
x方向の1ドット単位でみれば（1ドットは0.1秒とか0.001秒とかかもしれませんが）、その間に進んだ距離はその時の速さyと時間(0.1秒とか0.001秒とか)の積で、それは細長い長方形の面積になるでしょう。
スマホだと拡大していくとどこかでそれ以上拡大できなくなるかもしれませんが、理想的なグラフならいくらでも拡大できますから、いくらでも細かい時間に分割できます。
これを全部の区間に渡って足し合わせると全体の距離になるでしょう。

中学生の私は、この説明を聞いても「そうはいっても、結局長方形でギザギザに近似しているだけでしょ？正確じゃないのでは」と思ってました。

なのでもう少し細かく説明してみます（それには極限という概念が必要で、それは、将来高校で区分求積というのを習ったり、大学までいって実解析（微積分）を習ったりしてやっとわかるようになるかも、というものですから今理解できなくても当たり前です）。
時間をものすごく細かく区切れば、その区間での速さはほぼ一定で、違っても 0.00001m/秒以下にすることはできるでしょう。
どの区間でも0.00001m/秒以下にできれば、各区間ですべて 0.00001m/秒だけ速い速度で進んだ場合と 0.00001m/秒だけ遅い速度で進んだ場合との間に真実があるでしょう。
全体の時間が100秒なら、距離の誤差は0.00001x100=0.001m=1mm だから、±1mm以内です。
区間をもっと細かくしてどの区間でも速度の差が0.00000001m/秒以下、にすればもっと正確な数字がでてくるでしょう。

理科的な言い方をすれば、メートル単位で小数点以下2桁まで求めるには、誤差を0.005m 以下にすればいいでしょうから、100秒間の移動なら各区間の中で速度が最大でも 0.00005m/秒しか変化しないように細かく区切れば答が出せるでしょう。
実際するかどうかは別にして、小数点以下何桁であっても、区間さえ細かくすれば、必ず計算できます。
こうして求めた計算結果は、グラフが y=-x+5 のような直線の場合でも、三角形の面積として計算したもの（の小数点以下）と同じになるのです。
No.86336 - 2023/08/31(Thu) 23:28:29
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / 町子(中学3年生)
どうしても気になったので、学校を休んで定積分について調べました。意味不明な記号の羅列で、ちんぷんかんぷんなのですが、何となくこうではないかと思ったことを質問させてください。

f(x)という記号は、yと同じで、xの関数であることを表す記号ですよね？

面積を求めるにあたって、f(x)は縦、dxは横を表しているんですよね？

このとき、dxはとても短いですが、この短い横の左端の高さと右端の高さの平均を取って、それをf(x)、つまり高さに見立ててみると、等積変形の要領で、長方形ではないものを長方形に直して、その長方形をかき集めると考えてみたのですが、これは見当外れでしょうか？

添付画像は反比例の場合です。

面積が移動距離を表すって考え方がとても面白くて気になって、できるだけ勉強してみたいです。

f(x)dxの考え方を使えば、移動距離に限らず、いろいろなものを面積で求められるような気がするのですが、こう考えてみると面積って、すごく応用範囲が広いような気がするのですが、これは間違ってますか？
No.86337 - 2023/09/01(Fri) 23:44:22
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / GandB
　今のところは

　　区分求積法

で検索し、気に入ったサイトを拾い読みする程度でいいのでは。たとえば

http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/kubun.htm

　曲線で囲まれた面積を微小な幅の長方形に分割し、それを足し合わせれば、
　・曲線で囲まれた面積のよい近似が得られそうなこと
　・分割数が多いほど近似の精度がよくなること
は直感的にわかるだろう。
No.86342 - 2023/09/02(Sat) 07:31:01
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / 黄桃
>f(x)という記号は、yと同じで、xの関数であることを表す記号ですよね？
そうです。

>面積を求めるにあたって、f(x)は縦、dxは横を表しているんですよね？
そういうイメージから来ていますので、そう思ってもかまいません。

>等積変形の要領で、長方形ではないものを長方形に直して、その長方形をかき集めると考えてみた
そう考えてもいいですが、それはどちらかというと、面積を近似して求める方法、です。

厳密な話には、極限という概念が必要です。詳しくは説明できませんが、次の2つを満たす数は5しかない、という考え方が基本です。
1. 5より大きいどんな数よりも小さい
2. 5より小さいどんな数よりも大きい

これから面積が5であることをいうには、その面積は５より大きいどんな面積よりも小さく、5より小さいどんな面積よりも大きい、というのです（ちょうど円の面積が内接正n角形よりも大きく、外接正n角形よりも小さい、というようなものです）。
細かく区切っていくことにより、このことがいえます。

その具体的な計算方法が区分求積であり、積分法です。

>面積が移動距離を表す
x軸が時間、y軸が時間と共に増えたり減ったりするもの、として、それらのある時間の合計、は面積になります。
y軸が速さ、面積が距離、以外にもy軸がある地点の各時刻（瞬間）の降水量、とすれば、例えば24時間降水量も面積です。

x軸が時間以外でもxとyを掛けたものを足し合わせるような場合も同様に面積になるはずです。いろいろな場合を考えてみるのも面白いと思います。
No.86346 - 2023/09/02(Sat) 15:20:49
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / 町子(中学3年生)
ありがとうございました！！
No.86353 - 2023/09/03(Sun) 08:45:30
★ (No Subject) / アイス
Xyz空間における8点O(0,0,0)，A(1,0,０)，B(1,1,0),C(0,1,0),D(0.0.1),E(1.0.1)F(1,1,1),G(0.1.1)を頂点とする立方体OABC-DEFGを考える。またpとqはp>1，q>1を満たす実数とし3点P,Q,RをP(p,0，0)，Q(0，q，0)，R(0，0,3/２)とする

(1) a,bを実数としベクトル→n(a,b,1)は2つのベクトル→PQ，→PRの両方に垂直であるとする。A,bをp,qを用いて表せ(解a=3/2p,b=3/2q)
以下では3点P,Q，Rを通る平面αとし点Fを通り平面αに垂直な直線をℓとする。またxy平面と直線ℓの交点がx座標軸が2/3であるとし点Bは線分PQ上にあるとする
(2) pおよびqの値を求めよ(p=9/2,q=9/7)
(3) 平面αと線分EFの交点Mの座標及び平面αと直線FGの交点Nの座標を求めよ

平面α上の任意の点Tは点Rを通りPQに平行な直線上の点をSとすると
→OT=→OR+→RS+ｋ→ＳＱ=→OS+→k→SQ

→ＯＳ=→ＯＲ+→RS=→OR+ℓ→PQ=(-9ℓ/2，9ℓ/7，3/2)

→SQ＝→OQ-→OS=(9ℓ/2,9(1-ℓ)/7,−3/2)より
→OT＝{(9ℓ/2)-(9ℓk/2)，9ℓ/7-9(1-ℓ) k/7,3/2-3k/2}と表せる。

点M，Nともにz座標は1であることからk=1/3である。また点Mのx座標は必ず１であること，点Nのy座標は必ず1であることからそれぞれℓの値を求めることが出来る…っというやり方はいけないのでしょうか。模範解答見たらもっと簡単なやり方で求めていたんですがこれはやり方としては間違っているのでしょうか(ちなみにこのやり方で解いた答えと模範解答の答えは一致しませんでしょう。模範解答の答え→M(1,1/7.1),N((-2,1,1))
No.86328 - 2023/08/29(Tue) 17:50:58
☆ Re: / ast
別にそのやり方で問題ありません (ケアレスミスで何カ所か符号がおかしいのを直せば, 実際に模範解答の結果と一致します).
No.86329 - 2023/08/30(Wed) 18:06:42
★ 三角関数 / 山田山
4-12の問題でグラフの図示までは分かりましたが、示された領域がどのような場合分けでなされたのか分かりません。回答よろしくお願いします。
No.86325 - 2023/08/27(Sun) 22:48:07
☆ Re: 三角関数 / X
添付写真の解説は読みましたか？
まず、場合分けしなければ領域を得られない、
という考え方は脇に置いて下さい。

まず押さえなければならないのは、
2cos{(y+x)/2}sin{(y-x)/2}=0
を満たす直線で区切られた最も小さい四角形の内部の各領域
(添付写真の４−１２の解説の最も後ろの方にある
求める領域を図示したグラフを参照のこと)
において
2cos{(y+x)/2}sin{(y-x)/2} (P)
の符号は正負いずれかの一定の符号になっている、つまり
このような四角形の内部の領域の一つをDとすると
Dの内部の点の(P)の符号は
(i)全て正
(ii)全て負
のどちらかということです。

ですので、Dに含まれる適当な点Pに対し、条件となる不等式
2cos{(y+x)/2}sin{(y-x)/2}≧0 (A)
が成立しているのであれば、D内の任意の点に対し、やはり(A)が成立する
(つまりDは求める領域に含まれる)
逆に
Pにおいて(A)が成立しないのであれば、D内の任意の点に対し、やはり(A)が成立しない
(つまりDは求める領域に含まれない)
ということです。

その上で次に押さえることは
Dに隣り合った、Dと同様な四角形の内部の領域(Eとします)の
2cos{(y+x)/2}sin{(y-x)/2}
の符号が異なるということ、つまり
(i)Dにおいて(A)が成立するのであれば、Eにおいて(A)は成立しない
(ii)Dにおいて(A)が成立しないのであれば、Eにおいて(A)は成立する
言い換えれば
(i)Dが求める領域に含まれているなら、Eは求める領域に含まれない
(ii)Dが求める領域に含まれていないなら、Eは求める領域に含まれる
ということです。

以上を踏まえて、添付写真の解説の４−１２の解説をご覧下さい。
No.86327 - 2023/08/28(Mon) 22:23:43
★ 中三　二次関数 / 出来名杉くん
yをxの式で表し、yがxの2乗に比例するものを探す問題です。
縦と横の長さの比が2:3で、周の長さがx?pの長方形の面積がyc?uである。

解答は、y＝3x^2/50　となっているのですが、そこまでたどり着けません。
解説をお願いします。
No.86321 - 2023/08/25(Fri) 12:39:44
☆ Re: 中三　二次関数 / 出来名杉くん
周の長さがxセンチ、面積がy平方センチです
No.86322 - 2023/08/25(Fri) 12:42:10
☆ Re: 中三　二次関数 / X
問題の長方形の縦、横の長さをそれぞれa[cm],b[cm]
と置くと、条件から
2a+2b=x (A)
a:b=2:3 (B)
y=ab (C)
(B)より
b=(3/2)a
これを(A)(C)に代入すると
x=5a (A)'
y=(3/2)a^2 (C)'
(A)'を使って(C)'からaを消去します。
No.86323 - 2023/08/25(Fri) 16:55:47
☆ Re: 中三　二次関数 / 出来名杉くん
xさん、解説ありがとうございます。
ずっと分からなかったのが理解できてスッキリしました。
No.86324 - 2023/08/25(Fri) 18:29:47
★ この問題の(4)を教えてください / るい
(1)は(-2,4)
(2)は3/2
(3)は21/4です。
(4)の答えは最終9:25になるのですがP,Q,Rの値を出してからの過程がわかりません。解説よろしくお願いします。
No.86319 - 2023/08/24(Thu) 18:24:13
☆ Re: この問題の(4)を教えてください / ポテトフライ
> P,Q,Rの値を出してからの過程がわかりません。解説よろしくお願いします。

OB//AC（これは少し計算すればすぐにわかると思う）なので△OBRと△PQRは相似になりますので面積比は相似比の2乗になります。
よってOR:RQが求まればよいです。
No.86320 - 2023/08/25(Fri) 01:07:12
★ 高校　二次不等式 / あき
どなたか教えていただけますでしょうか
No.86314 - 2023/08/24(Thu) 11:53:34
☆ Re: 高校　二次不等式 / あき
> どなたか教えていただけますでしょうか
No.86315 - 2023/08/24(Thu) 11:54:29
☆ Re: 高校　二次不等式 / ヨッシー
2x^2−3x−2≦0 の解は　-1/2≦x≦2　・・・(i)
x^2−2ax−2≦0 の解は　α≦x≦β　・・・(ii)
　ただし、α＝a−√(a^2＋2)、β＝a＋√(a^2＋2)
(i) の範囲が (ii) に完全に含まれればいいので、
　−1/2≦α　かつ　β≦2
これより a の範囲を求めます。
No.86316 - 2023/08/24(Thu) 13:25:11
☆ Re: 高校　二次不等式 / X
既にヨッシーさんの回答がアップされていますが、
別解の方針としてアップしておきます。

2x^2-3x-2≦0
より
(2x+1)(x-2)≦0
∴-1/2≦x≦2 (A)
よって条件を満たすためには
f(x)=x^2-2ax-2
としたときの
y=f(x)
のグラフが(A)の範囲でx軸より下側
にあればよいので
f(-1/2)≦0 (B)
f(2)≦0 (C)
(B)(C)をaについての連立不等式として解きます。
No.86318 - 2023/08/24(Thu) 14:09:06
★ (No Subject) / アイス
次の数列の和を求めよ

2×Σ(k=1〜(n-1))[(3/7)^k・(4/7)^k]=？
(数列An＝(3/7)^ｎ・（4/7)^nの初項A1からAn-1までの総和を2倍した値)

答え　(6・4^n-8・3＾ｎ)/7^n

等比数列×等差数列の総和とか等比数列のみの総和とかはよく見る問題だけど等比数列((3/7)^n）×等比数列((4/7)^n)の総和なんてどうやって求めるんだ？って思ったのですがこうやればよいのでしょうか。ただ答えだけしか書いてなくて困っています。

この数列の初項は(3/7)・(4/7)^n-1である。
また第n+1項と第n項には次の関係が成り立つ
An×(3/7)×(4/7)^(-1)=An+1
An×(3/4)=An+1

よってこの等比数列((3/7)^n）×等比数列((4/7)^n)の数列は初項(3/7)・(4/7)^n-1　公比3/4の等比数列と言える

よって
Σ(k=1〜(n-1))[(3/7)^k・(4/7)^k]
=Σ(k=1〜(n-1))[(3/7)・(4/7)^n-1・(3/4)^n-1](→上記の数列は初項(3/7)・(4/7)^n-1　公比3/4の等比数列であることが分かるように書き換えた)
={((3/7)・(4/7)^n-1・(3/4)^n-1)-(3/7)・(4/7)^n-1}/(3/4-1)→{(An-A1)/(3/4-1)}
=(-4・3^n+3・４＾n)/7^n

よって
2Σ(k=1〜(n-1))[(3/7)^k・(4/7)^k]
=(-8・3^n+6・４＾n)/7^n
No.86309 - 2023/08/23(Wed) 16:47:26
☆ Re: / アイス
誤り(k=1〜(n-1))[(3/7)^k・(4/7)^k
→正しい(k=1〜(n-1))[(3/7)^k・(4/7)^(n-k)　

数列An＝(3/7)^ｎ・（4/7)^n→
数列An＝(3/7)^ｎ・（4/7)^(n-k)(正)

等比数列((3/7)^n）×等比数列((4/7)^n)の総和
→等比数列((3/7)^n）×等比数列((4/7)^n-k)の総和　(正)
No.86310 - 2023/08/23(Wed) 16:53:07
☆ Re: / ヨッシー
公比 3/4 の等比数列と考える方向でいいと思います。
No.86311 - 2023/08/23(Wed) 17:17:39
☆ Re: / ast
蛇足とは思いますが (あと, どこが悪いとかそういう話ではないですが), 各項
　(3/7)^k (4/7)^(n-k) = 3^k 4^(-k) 4^n/7^n
において 4^n/7^n は (k に依らないという意味で) 定数なので括り出して, 最初から和が (2*4^n/7^n) Σ_[k=1,…,n-1] (3/4)^k として与えられていると見なせば多少見通しがよいのではないかと愚考します.

また, 結果からわかる話ではありますが, 因数分解
　a^(n+1) - b^(n+1) = (a-b)(a^n+a^(n-1)b+…+ab^(n-1)+b^n)
を知っていると,
　a^(n-1)b + … + ab^(n-1) = (a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) - (a^n+b^n) = (ba^n - ab^n)/(a-b)
が平易に導けます. 本問では, a=3/7, b=4/7 (対称なので a=4/7,b=3/7 でも同じ) あるいは 7^n を別に処理して a=3, b=4 (あるいは a=4,b=3) を扱っていることになります.
No.86313 - 2023/08/23(Wed) 19:29:07
★ 積分応用問題 / neo
1/2∫[下0:上x^2]sin(√(t)+π/4)dtのとき0≦x≦πの最大値と最小値を教えてください。
増減表もお願い致します。

出来れば、紙に書いて画像添付して頂けると、とても助かります。

答えは、
x=3π/4で最大値3π/4-√2/2
x=0で最小値0
No.86302 - 2023/08/22(Tue) 17:24:57
☆ Re: 積分応用問題 / 関数電卓
　∂/∂x[∫{0,φ(x)}f(t)dt]＝f(φ(x))φ’(x)
ですから
　∂/∂x(質問式)＝xsin(x＋π/4)
です。
No.86306 - 2023/08/22(Tue) 20:38:05
★ 高校　無理不等式 / あき
この不等式を、グラフを使わずに解くにはどうすればいいでしょうか
No.86298 - 2023/08/22(Tue) 11:47:19
☆ Re: 高校　無理不等式 / ヨッシー
ｙ＝√ｘ とおくと、
　ｙ^2−２≦ｙ
　ｙ^2−ｙ−２≦０
　(ｙ＋１)(ｙ−２)≦０
これをｙ≧０ の条件下で解くと、
　０≦ｙ≦２

　０≦√x≦２
各辺２乗して、
　０≦ｘ≦４
No.86299 - 2023/08/22(Tue) 12:04:13
☆ Re: 高校　無理不等式 / X
場合分けを使うのであれば、以下のような別解も
考えられます。

(i)x-2＜0かつ0≦x、つまり0≦x＜2のとき
問題の不等式は成立。
(ii)0≦x-2、つまり2≦xのとき
問題の不等式は
(x-2)^2≦x
と同値。
これより
x^2-5x+4≦0
∴1≦x≦4
となるので
2≦x≦4

(i)(ii)をまとめて、求める解は
0≦x≦4
No.86307 - 2023/08/23(Wed) 15:28:57
★ 中学　1次関数 / ささ
一次関数です。
こちらの⑶の求め方がわかりません。
答えは26x/56です。
どなたか解説よろしくお願いします！
No.86291 - 2023/08/22(Tue) 05:01:33
☆ Re: 中学　1次関数 / いく
答えは26x/56ではなくて、25x/56では？？
No.86292 - 2023/08/22(Tue) 06:55:15
☆ Re: 中学　1次関数 / いく
まず、三角形ABCの座標を出します。
Ｂ（-1,0）、Ｃ（9,0）は、MとLの式からでます。
AはMをLに代入して解くと、（4,5）というのが分かります。

すると、三角形ABCは、底辺10高さ5の三角形だということが分かります。
面積は10✕5÷2＝25です。

原点Oを通る線をNとします。
NとMの交点をTとします。
三角形OTCの面積が三角形ABCの面積の1/2になればいいので、三角形OTCの面積は、25/2となります。
三角形OTCの底辺は原点O〜C点までなので長さは9です。三角形OTCの高さは、T座標のyの数値となるので、三角形OTCの面積は、9✕y÷2＝9y/2となります。
よって9y/2＝25/2
y＝25/9

T座標のxの数値は、y＝25/9をMの式へ代入して、x＝56/9

求める式は原点Oを通り、座標Tを通る点なので、傾きを求めると、y＝（25/9）/（56/9）x
y＝25/56xが解答になると思われます。
No.86293 - 2023/08/22(Tue) 08:02:41
☆ Re: 中学　1次関数 / いく
図で表すとこんな感じです。
No.86294 - 2023/08/22(Tue) 08:14:42
☆ Re: 中学　1次関数 / ささ
いくさん、丁寧な解説ありがとうございます。

解答については25x/56でした。
図もつけてくださったおかげでイメージしやすく、ちゃんと理解できました！！
直線を直接だすのではなく、三角形を使えば良いんですね
本当にありがとうございます、助かりました！勉強頑張ります。
No.86303 - 2023/08/22(Tue) 18:12:52
★ 中学夏の宿題 / K
求め方が見当もつきません。教えてください。
No.86286 - 2023/08/21(Mon) 16:00:26
☆ Re: 中学夏の宿題 / IT
できてませんが、
まず各直線上の４つの数の和を求める。
ことから始めるのでしょうか。（これはできますか？）

１つの数はどこに置いても同じことなので、例えば１をどこかに固定して置きます。後は、試行錯誤で見つけるのでしょうか？

追記）「変形魔法陣」で検索すると見つかると思います。
No.86288 - 2023/08/21(Mon) 21:36:22
☆ Re: 中学夏の宿題 / らすかる
> １つの数はどこに置いても同じことなので
同じではないのでは？
という疑問を持ちましたのでプログラムを作って調べてみたのですが、
72通りのうちで例えば「3」の位置が外側の7箇所のいずれかであるものが
27通り、内側の7箇所のいずれかであるものが45通りとなりましたので、
「どこに置いても同じ」ではないようです。

例えば外側の7箇所を1〜7にする場合は、時計回り・反時計回りの
どちらでも構いませんが、回り順に
「1,2,6,7,5,3,4」または「1,2,6,7,4,5,3」の
順に置けば、それぞれ1通りできます。
（少し前に間違いを投稿してました。それを見られていたらすみません）
No.86289 - 2023/08/21(Mon) 22:49:42
☆ Re: 中学夏の宿題 / IT
らすかるさんご指摘ありがとうございます。外側と内側では違いますね。
No.86290 - 2023/08/21(Mon) 23:53:37
★ 電気一般 / S
解答合っているか教えてもらいたいです。
間違っていたら解説してもらえると助かります。
No.86283 - 2023/08/21(Mon) 10:05:39
☆ Re: 電気一般 / ヨッシー
左側２行目
　左右合成抵抗＝・・・
のところ、片方は６Ωです。

これが直ったら、右側も合うかと思いきや、
６Ω側の電力を求めるのに８を掛けたり、
３Ωの電力を求めるのに６を掛けたり、
何かおかしいですね。
No.86284 - 2023/08/21(Mon) 11:22:03
★ (No Subject) / ちゃん
次の問題の解説をお願いします。
答えは次の通りです。
(1)ア:2,イ:2,ウ:5
(2)エ:-,オ:1,カ:2
No.86276 - 2023/08/20(Sun) 18:12:51
☆ Re: / X
(1)
Q(t,logt)と置き、点Qと問題の円((A)とします)
の中心と距離の二乗をf(t)と置くと
f(t)=(t+1)^2+(logt-2)^2
∴f'(t)=2(t+1)+2(logt-2)/t
=2(t^2+t+logt-2)/t
更に
g(t)=t^2+t+logt-2
と置くと
g'(t)=2t+1+1/t=(2t^2+t+1)/t
={2(t+1/4)^2+7/8}/t＞0
で
lim[t→+0]g(t)=-∞
lim[t→∞]g(t)=∞
g(1)=0
以上からf(t)の増減表を書くと
f(t)はt=1のときに最小値8を取ることが
分かります。
∴このときの点Qと円(A)との中心を結ぶ線分と
円(A)との交点をPに取れば、線分PQの長さは
最小になるので、求める線分PQの最小値は
√8-√5=2√2-√5
No.86277 - 2023/08/20(Sun) 20:15:11
☆ Re: / X
(2)
2X^3-X^2+4X+7E=O (A)
とします。
さて、ケーリー＝ハミルトンの定理により
X^2-(1-a)X+(3-a)E=O (B)
ここで
(2x^3-x^2+4x+7)÷(x^2-(1-a)x+3-a)
の余りが
(2a^2-5a+3)x-(2a^2-7a-4)
であることに注意して、(B)を使って
(A)の左辺のXの次数を落とすと
(2a^2-a-1)X-(2a^2-7a-4)E=O (A)'
両辺の(1,2)成分を比較して
2a^2-a-1=0
これより
a=-1/2,1
このうち(A)'を満たす値を求めて
a=-1/2
No.86279 - 2023/08/20(Sun) 20:29:32
☆ Re: / ちゃん
(1)このときの点Qと円(A)との中心を結ぶ線分と
円(A)との交点をPに取れば、線分PQの長さは
最小になるので、求める線分PQの最小値は
√8-√5=2√2-√5

上記の部分の計算過程を詳しく知りたいです。


(2)ですが、
x^2になっていない？ようですがあっていますでしょうか？
No.86280 - 2023/08/20(Sun) 22:15:27
☆ Re: / X
(1)について
円(A)の中心をCとすると、PQが最小のとき
PQ=CP-CQ=CP-(円(A)の半径)
=√8-√5
(＞＞∴このときの点Qと〜をPに取れば
に従って図を描いて下さい。)

＞＞(2)ですが、〜
ごめんなさい。単なる誤記です。
No.86279を修正しましたので再度ご覧下さい。
No.86287 - 2023/08/21(Mon) 16:49:03
☆ Re: / ちゃん
(1)
上記の件、解決できました。ありがとうございます。
因みにf(t)の増減表はどのように書けますでしょうか？
No.86296 - 2023/08/22(Tue) 10:01:09
☆ Re: / ちゃん
(2)
余りが(2a^2-a-1)x+(-2a^2+7a-3)になったのですが間違っていますでしょうか？

また下記の部分の計算過程の詳細を教えていただきたいです。

(B)を使って
(A)の左辺のXの次数を落とすと
-(2a^2-a-1)X-(2a^2-7a-4)E=O (A)'
両辺の(1,0)成分を比較して
-(2a^2-a-1)=0
これより
a=-1/2,1
このうち(A)'を満たす値を求めて
a=-1/2
No.86297 - 2023/08/22(Tue) 10:53:27
☆ Re: / X
(1)の増減表について
g'(t)=2t+1+1/t=(2t^2+t+1)/t
={2(t+1/4)^2+7/8}/t＞0
より、g(t)は単調増加
で
lim[t→+0]g(t)=-∞
lim[t→∞]g(t)=∞
g(1)=0
∴
t＜1のときg(t)＜0
1＜tのとき0＜g(t)
ここで
f(t)=2g(t)/t
ですから…
No.86304 - 2023/08/22(Tue) 18:31:52
☆ Re: / X
＞＞(2)
＞＞余りが〜
ごめんなさい。No.86279で誤りがありましたので
修正しました。
再度ご覧下さい。
但し、余りは
＞＞(2a^2-a-1)x+(-2a^2+7a-3)
とはなりません。
No.86305 - 2023/08/22(Tue) 18:40:35
☆ Re: / ast
(2) について口をはさみますが,
　2x^3-x^2+4x+7 = (x^2-(1-a)x+(3-a))(2x-2a+1) + ((2a^2-a-1)x-(2a^2-7a-4))
だから
> ここで
> (2x^3-x^2+4x+7)÷(x^2-(1-a)x+3-a)
> の余りが
> -(2a^2-5a+3)x-(2a^2-7a-4)
> であることに注意して、
の部分は (いまでもまだ) 間違っているけれど, そもそもこの部分を抜かした
> X^2-(1-a)X+(3-a)E=O (B)
> (B)を使って(A)の左辺のXの次数を落とすと
> -(2a^2-a-1)X+(2a^2-7a-4)E=O (A)'
自体は (私が見かけたときからずっと変わらず) 正しいようなので, 余計なことを書いたために余計な質疑が発生しているだけだと思います.
(おそらく X さんは "B を適当に変形したものを使って次数を下げる答案" をまず作ったうえで, その操作の見通しを立てやすくするためと思って「多項式の割り算」と「多項式に行列を (形式的に) 代入」という道具立てを紹介したかったので付け加えることにした, といったあたりなのではないでしょうか.)

# なお, 誤記や計算間違いなどのケアレスミスは, 特に質問者が自ら訂正して正答が得られているなら,
# いちいち回答者に訂正を求める必要はない部分だと思います (したり顔で「間違ってるぞ」と指摘すれば十分).
## 本件も論法は正しいので, 質問者自身で修正しつつ最後まで論をなぞりきれる範疇だと思います.
# もし, 自ら修正しつつ追ってみたが結果が芳しくなかった, という場合にはその趣旨と実際に試したこと
# およびそれでうまくできなかった部分や齟齬だと感じる部分などを具体的に明示して再質問する
# ということであれば, それはじゅうぶん適正だと思います.

> 両辺の(1,2)成分を比較して
どのみちすべての成分を確認する必要があるとはいえ, (1,1)-成分は (私の計算間違いでないなら) a の一次式になる (したがって, a の候補はひとつに絞られる) とおもうので, なぜわざわざ二次式から調べようとしているのかちょっと疑問です…….
No.86308 - 2023/08/23(Wed) 16:04:40
☆ Re: / X
＞＞astさんへ
計算間違いのご指摘ありがとうございます。
＞＞どのみちすべての成分〜
(A)'とXの成分を見た段階で、成分をいちいち整理するより
必要条件として、解としても高々2個である
Xの係数=0
とできる(1,2)成分の比較を計算した上で、場合分けして
十分性を確かめた方が早いと考えました。

＞＞ちゃんさんへ
astさんのご指摘通り、まだ計算が間違っていましたので
No.86279を直接修正しました。
申し訳ありませんが、再々度ご覧下さい。
No.86312 - 2023/08/23(Wed) 17:58:55
☆ Re: / ちゃん
難しいですね。ありがとうございます
No.86326 - 2023/08/28(Mon) 07:39:11
★ (No Subject) / ちゃん
次の問題の解説をお願いします。
答えは次の通りです。
(1)
?@ア:2,イ:3
?Aウ:1,エ:9
(2)
オ:2,カ:4,キ:8,ク:3,ケ:5,コ:2,サ:7,シ:4
No.86257 - 2023/08/19(Sat) 10:44:48
☆ Re: / X
(1)
○1
条件から
sin2α=(4/3)cosα
これより
2sinαcosα=(4/3)cosα
(2sinα-4/3)cosα=0
0＜α＜π/2よりcosα≠0ゆえ
sinα=2/3

○2
○1のαを使うと、y=f(x),y=g(x)のグラフの位置関係から
S=∫[α→π/2]{f(x)-g(x)-}dx
=∫[α→π/2]{sin2x-(4/3)cosx}dx
=[-(1/2)cos2x-(4/3)sinx][α→π/2]
=(1/2-4/3)+(4/3)sinα+(1/2){1-2(sinα)^2}
これに○1の結果を代入して
S=-5/6+8/9+(1/2)(1-8/9)
=-5/6+17/18
=1/9
No.86259 - 2023/08/19(Sat) 19:39:59
☆ Re: / X
(3)
y^2=(x^2)(3-|x|) (A)
とします。
さて
f(x)=(x^2)(3-|x|)
とすると
f(-x)=f(x)
∴(A)のグラフCはy軸に関し対称。
よって0≦xについてのみ考えれば問題ありません、
このとき
f(x)=(x^2)(3-x)
f'(x)=6x-3x^2=-3x(x-2)
∴(A)より
0≦x≦3
となることに注意してf(x)の増減表を書くと
f(x)は最大値
f(2)=4
を取ることが分かります。
∴Cのy座標の最大値は2

又(A)よりCはx軸に関しても対称ですので
Cによって囲まれる面積をSとすると
S=4∫[0→3]√{(x^2)(3-|x|)}dx
=4∫[0→3]x√(3-x)dx
ここで3-x=tと置くと
S=4∫[0→3](3-t)√tdt
=4[2t^(3/2)-(2/5)t^(5/2)][0→3]
=4{6√2-(18/5)√2}
=(48/5)√2

更にDをx軸の周りに回転させてできる回転体の
体積をVとすると、
V=π∫[0→3](y^2)dx
=π∫[0→3](x^2)(3-|x|)dx
=π[x^3-(1/4)x^4][0→3]
=27π/4
No.86260 - 2023/08/19(Sat) 20:35:24
☆ Re: / ちゃん
ありがとうございます♪
No.86275 - 2023/08/20(Sun) 17:38:48
☆ Re: / ちゃん

又(A)よりCはx軸に関しても対称ですので
Cによって囲まれる面積をSとすると
S=4∫[0→3]√{(x^2)(3-|x|)}dx
=4∫[0→3]x√(3-x)dx

なぜ、ここの部分でSは×4されているのでしょうか？
No.86300 - 2023/08/22(Tue) 14:36:44
☆ Re: / ちゃん
自己解決しました。
グラフの形が∞のような形になるからですね。
No.86301 - 2023/08/22(Tue) 14:56:11
★ 確率の問題 / choma
袋の中に15個の白玉と1個の赤玉が入っています。
この袋から3回一つの玉をとりだします。
取り出した玉はその都度袋にもどします。
その結果３回連続赤玉をひきました。
さてその試行における素事象は４０９６個で確率分布のかたちは一様分布でいいのでしょうか？
よろしくおねがいします。
No.86254 - 2023/08/18(Fri) 22:14:32
☆ 補足です / choma
補足いたします。
実は私には高校生の可愛い孫がいましてその孫がある日私に奇跡が起こったか、そうでなきゃ誰かがズルしたに違いないと言い出したのです。
それはある競技の対戦相手の組み合わせで、A選手とB選手のふたりが数ヶ月の間に一回戦で3回も当たってしまったのです。
そのドローの方法は上記の問題のボールを16個にして、それぞれのボールに名前が書かれているとしたほうがわかりやすいかもしれません。そして16個のボールの一つにＡ選手の名前が書かれていてそれをＢ選手が引くというものです。
そして孫が言うには、それはあり得ないほど確率が小さくまるで奇跡だと言うのです。
勿論私はそれは奇跡でもなくましてズルなんかしていないというのですが、孫は納得しません。
確かに確率的には１/4096かもしれませんがそういうことも起こりえるという事を数学的に説明してやりたいのです。以上補足ですが、よろしくお願いします。
No.86261 - 2023/08/20(Sun) 03:32:48
☆ Re: 確率の問題 / らすかる
もし16人のトーナメント戦で1回戦で当たったということでしたら、
「16個のボールから1個引く」のとは確率が異なります。
また、「数ヶ月の間に一回戦で3回も」というのも、
数ヶ月でトーナメント戦が全部で3回しかなく、3回とも当たったのなら
3乗ですが、そうでなく例えば10回のトーナメント戦があってそのうち
3回当たったということならば、また確率が（大きく）変わってきます。
No.86262 - 2023/08/20(Sun) 06:58:19
☆ Re: 確率の問題 / choma
すみません。
実はトーナメントは32名でおこなわれました。
そして、16人がシードですでにドローの場所は決まってます。
だからシードのA選手はすでに場所が決まっていてまたシード選手同士は1回戦ではあたりません。
そしてB選手はシードではないので、残った16か所を引いたボールで決めます。
またトーナメント戦は3大会連続おこなわれました。
ややしくてもうしわけありません。
No.86263 - 2023/08/20(Sun) 07:13:06
☆ Re: 確率の問題 / choma
つまり、シードではない16名の選手は1回戦においてシード選手の誰とでも同じ1/16の確率で当たるということです。
よろしくお願いします。
No.86264 - 2023/08/20(Sun) 07:23:52
☆ Re: 確率の問題 / らすかる
試合の条件に関してはわかりましたが、あと
(1)「A選手が3回連続で1回戦でB選手と当たる確率」
(2)「A選手が3回連続で1回戦で同じ選手と当たる確率」
(3)「3回のトーナメント戦を行ったとき、その中に3回連続で同じ人と1回戦で当たった人がいる確率」
はそれぞれ確率が異なります。
例えばA選手とB選手が自分と弟で、その最初から特別な関係である2人が
3回連続で1回戦で当たる確率であれば(1)となりおっしゃる通り1/4096ですが、
1回目のトーナメントで1回戦で自分と当たったのがたまたまB選手という人であり、
2回目と3回目のトーナメントでも1回戦の対戦相手が同じであったというだけなら
(2)となり確率は1/256となります。
さらに、A選手もB選手も自分か特別な関係者というわけでなく、たまたま
3回連続で同じ選手と当たった人がいたということでしたら、(3)となり
確率はもっと上がります（計算はそれほど簡単ではありませんが）。
No.86265 - 2023/08/20(Sun) 07:48:49
☆ Re: 確率の問題 / choma
A選手は有名な選手でB選手は若手の有望株とでもしておきましょう。つまりA,B選手ともにランダムに選ばれたわけではありません。
つまり（１）に相当するとおもいますが？
そして私は孫にこのような低確率な事象がおきても不思議じゃないと納得させなければなりません。
問題の主眼はそこにあります。
どう説明すればいいのかよろしくおねがいします。
No.86266 - 2023/08/20(Sun) 08:17:34
☆ Re: 確率の問題 / らすかる
そういう条件であれば、(1)ですね。
それなら私も「あり得ないほど確率が小さくまるで奇跡」というお孫さんの意見に同意します。
対戦組合せを決める場が非公開なら「ズル」も疑われますが、
公開抽せんでくじを引くという形式なら「奇跡」と思います。
「奇跡」は確率は低いながら起こり得ることですから「不思議」ではなく、
特に「数学的に説明」するようなことでもないと思います。
もし「奇跡でも何でもない、当然のように起こり得る」と言いたい、ということでしたら、
もっと確率の低い宝くじなどと比較するのがよいと思います。
（何かと比較せずに「1/4096という確率は低くない」と言うのは無理があると思います。）
No.86267 - 2023/08/20(Sun) 08:48:54
☆ Re: 確率の問題 / choma
ありがとうございました。
そのうえで図々しいお願いですが、確率の分母である４０９６とはどういう意味か、もしかして素事象の数と考えてよいのか、あと確率分布はさいころを振るときに出る目の確率のように一様でつまり一様分布と考えてよいのか？です。
もしそうなら、孫もある程度納得するのではないかと考えたしだいです？
よろしくお願いいたします。
No.86268 - 2023/08/20(Sun) 10:59:09
☆ Re: 確率の問題 / IT
> 確率の分母である４０９６とはどういう意味か、もしかして素事象の数と考えてよいのか、

横から失礼します。確率が得意という訳ではないので間違っているかも知れませんが、今回の想定では

シードではない16名の選手がどのシード選手に当たるかの　３回分なので、
素事象の数＝(16!)^3 となるのではないかと思います。
No.86269 - 2023/08/20(Sun) 13:59:07
☆ Re: 確率の問題 / らすかる
「素事象」の意味は存じませんが、4096の意味は、
単に1回の確率が1/16で(1/16)^3=1/4096という計算なので
「16の3乗」というだけのことだと思います。
あえて意味を言うとするならば「3回のトーナメント戦の1回戦でA選手と対戦する選手の組み合わせ数」ぐらいですね。
No.86270 - 2023/08/20(Sun) 14:34:03
☆ Re: 確率の問題 / choma
ラスカルさん、ITさんありがとうございます。
なにせ我々の時代では受験勉強の数学といっても、代数では微分積分に三角関数や対数がメインで確率統計はほとんど無視の状態でした。
ITさんに恥をしのんで申し上げますが、(16!)^3というのは１６の階乗の3乗という意味でしょうか？
それとラスカルさん、素事象というのはそれ以上もう分割できない事象のことです。
つまり４０９６の素事象ということは、言い換えると４０９６通りの事象があってその事象のそれぞれがそれ以上分割できずまた同様に確からしいという意味です。
私は今年で70歳になりましたが、孫娘のために一夜漬けで確率を勉強しました。だから誰かに教えを請わないと、自分の考えがまちがってるのか正しいのか、判断できないのです。
もし素事象の数がある値をとれば、それらの生起する確率は一緒になると考えて、いくら確率が小さくても、さいころをふるような確率分布になるから、どの素事象も起こりうるし
それは素事象レベルではみんな同様に確からしいと孫娘に説明できるかなと思いました。
間違いがあれば、ご指摘お願いして、孫娘が納得のいく計算過程を教えたいと思っています。
ながくなりましたが、どうかよろしくお願いします。
No.86271 - 2023/08/20(Sun) 15:21:20
☆ Re: 確率の問題 / IT
>(16!)^3というのは１６の階乗の3乗という意味でしょうか？
そのとおりです。
「これ以上分割できない」ということであれば
A選手、B選手以外の16名のシード選手　シードではない16名の選手も区別するのが、自然かなと考えました。

なお、数研出版の高等学校数学Aの教科書では、
「・・・１つの試行において、起こりうる結果全体を集合Ｕで表すとき、・・・、Ｕ自身で表される事象を"全事象"、Ｕのただ一つの要素からなる集合で表される事象を"根元事象"という。」
・・・
「一般に、ある試行において、どの根元事象が起こることも同程度に期待できるとき、これらの根元事象は、"同様に確からしい"という。このような試行で、起こりうるすべての場合の数をＮ、事象Ａの起こる場合の数をａとするとき、ａ／Ｎを事象Ａの"確率"といい・・・」

とありますので、chomaさんが"素事象"とおっしゃておられるのは、高校数学の教科書では"根元事象"というものと思います。（ネット検索の結果でも"素事象"と"根元事象"は同義のようです）
No.86272 - 2023/08/20(Sun) 16:45:11
☆ Re: 確率の問題 / IT
確率の問題を抜きにすると
ＢさんがＡさんとぜひ対戦したかった。
主催者側の誰かがＡさんとＢさんをぜひ対戦させたかった。
などの理由で、
Ａさんと当たるボールに触ると分かる印をつけてＢさんに最初に引かせたか、Ｂさん以外は引かなかったなども考えらますね。
No.86273 - 2023/08/20(Sun) 16:55:02
☆ Re: 確率の問題 / choma
この事象は東京オリンピック選考の過程で実際に起こりました。私としては、そのような作為的なドローは行われず、たまたま以上のような事象が起こったものだとかんがえています。
それにしても、確率論は奥が深くておもしろそうですね。
ITさんのお話も私にはとても参考になったと思っています。
それと素事象という言葉を使ったのは、最初に出会った言葉をつい使った結果で、根源事象を使わなかった理由は別段ありません。
これからもよろしくお願いします。
No.86274 - 2023/08/20(Sun) 17:33:53
☆ Re: 確率の問題 / IT
No.86273 ということではなさそうですね。
A選手とB選手以外にも注目して、
らすかるさんの（３）「3回のトーナメント戦を行ったとき、その中に3回連続で同じ人と1回戦で当たった人がいる確率」を考えるのが実感に近いと思います。
No.86278 - 2023/08/20(Sun) 20:27:08
☆ Re: 確率の問題 / らすかる
(3)の確率を計算してみました。
「3回のトーナメント戦を行ったとき、その中に3回連続で同じ人と1回戦で当たった人が1人以上いる確率」は
417664587305521997729/6907505115540750336000≒6%
となりました。
No.86282 - 2023/08/21(Mon) 02:43:22
☆ Re: 確率の問題 / choma
らすかるさん、ありがとうございました。
計算ご苦労さまでし。
この出来事をどう考えるべきか、少し考えたいと思います。
値がおおきいのか、小さいのか、判断って主観がはいるから難しいですね。
No.86285 - 2023/08/21(Mon) 15:39:52
★ (No Subject) / ちゃん
(1),(3)の解説をお願いします。
答えは次の通りです。
(1)2<a<3
(3)96通り
No.86244 - 2023/08/17(Thu) 17:37:39
☆ Re: / IT
(3) ４人が円形の４人席のテーブルに座るとき、その座り方が何通りか分かりますか？
No.86246 - 2023/08/17(Thu) 19:51:32
☆ Re: / ちゃん
(4-1)！=6通り
No.86248 - 2023/08/17(Thu) 21:48:15
☆ Re: / ちゃん
です。
No.86249 - 2023/08/17(Thu) 21:48:38
☆ Re: / IT
各親子を１固まりと考えて　４組の親子を円形に並べる方法は６通り

各親子ごとに、（親子）、（子親）の２通りの並び方があるので、　求める座り方の総数は、６×２^4=96　通り
No.86250 - 2023/08/17(Thu) 22:17:41
☆ Re: / ちゃん
ありがとうございます。(1)もお願いします。
No.86252 - 2023/08/18(Fri) 06:59:22
☆ Re: / IT
(1)は、この掲示板のNo.86221 - 2023/08/15(Tue)に同様の問題がありますので参考にしてください。

まず「２つの解がともに１より大きい」ので「２つの解はともに実数解」です。
No.86255 - 2023/08/19(Sat) 08:22:21
☆ Re: / ちゃん
ありがとうございます
No.86256 - 2023/08/19(Sat) 10:39:36
★ (No Subject) / ちゃん
次の問題の解説をお願いします。
答えは次の通りです。
(1)x≦-1/5,0≦x
(2)k=1/4,cos2θ=-√(15)/4
(3)a_n=2^(n+1)+(-1)^n/3,n=12
No.86239 - 2023/08/16(Wed) 22:43:17
☆ Re: / ヨッシー
(1)
　(x^2−x＋3ab)＋(2x＋b−a/2)ｉ＝0
より
　x^2−x＋3ab＝0　・・・(i)
　2x＋b−a/2＝0　・・・(ii)
(ii) より
　x＝b/2−a/4
(i) に代入して
　(b/2−a/4)^2−(b/2−a/4)＋3ab＝0
　b^2/4＋a^2/16−ab/4−b/2＋a/4＋3ab＝0
　4b^2＋a^2−8b＋4a＋44ab＝0

(ii) より
　b＝a/2−2x
(i) に代入して
　x^2−x＋3a(a/2−2x)＝0
　(3/2)a^2−6xa＋x^2−x＝0
a が実数を持つためには、
　D/4＝9x^2−(3/2)(x^2−x)
　　＝(−3/2)x^2＋3x/2＋9x^2
　　＝(15/2)x^2＋3x/2
　　＝(3x/2)(5x＋1)≧0
よって、ｘ≦−1/5 または 0≦x
a が実数の時、b(＝a/2−2x) も実数となります。

(2)
２解をα、β とすると、解と係数の関係より
　α＋β＝√3/2、αβ＝−k/2
α、βが sinθ, cosθ(0＜θ＜π) となるためには、
α^2＋β^2＝1 かつ α, βの少なくとも一方が正であること
　α^2＋β^2＝(α＋β)^2−2αβ＝3/4＋k＝1
よって
　ｋ＝1/4
このとき、２解は
　ｘ＝{√3±√(3＋2)}/4＝(√3±√5)/4
であるので、
　sinθ＝(√3＋√5)/4, cosθ＝(√3−√5)/4
となり、
　cos(2θ)＝cos^2θ−sin^2θ＝(8−2√15)/16−(8＋2√15)/16
　　＝−√15/4

(3)
　a[n+2]−αa[n+1]＝β(a[n+1]−αa[n])
と書けたとします。展開して移項すると
　a[n+2]＝(α＋β)a[n+1]−αβa[n]
係数比較して、
　α＋β＝１，αβ＝−２
１つの解として、
　ｘ^2−ｘ−２＝０
の解、α＝−１,β＝２ を得ます。よって、
　a[n+2]＋a[n+1]＝２(a[n+1]＋a[n])
と書けます。ここで
　b[n]＝a[n+1]＋a[n]
とおくと、b[n] は、初項が ４，公比２の等比数列となり、一般項は
　b[n]＝2^(n+1)

　a[n+1]＋a[n]＝2^(n+1)
が、
　a[n+1]＋ｔ・2^(n+1)＝−(a[n]＋ｔ・2^n)
と書けたとします。整理して、
　a[n+1]＋a[n]＝−ｔ・2^(n+1)−ｔ・2^n＝−3t・2^n＝2^(n+1)
より、ｔ＝−2/3
　c[n]＝a[n]−(2/3)・2^n
　　　＝a[n]−(1/3)・2^(n+1)
とおくと、c[n] は初項 -1/3、公比 −1 の等比数列となり、一般項は
　c[n]＝(-1/3)・(-1)^(n-1)＝(1/3)・(-1)^n
よって、
　a[n]＝c[n]＋(1/3)・2^(n+1)
　　　＝{2^(n+1)＋(-1)^n}/3

{2^(n+1)＋(-1)^n}/3＞1500　より
　2^(n+1)＋(-1)^n＞4500
(-1)^n は -1 か 1 なので、2^(n+1) が4500 を超えるあたりを調べます。
　2^12＝4096、2^13＝9192
よって、n=12 で、a[n]は 1500 を超えます。
No.86242 - 2023/08/17(Thu) 15:59:43
☆ Re: / ちゃん
ありがとうございます♪
No.86243 - 2023/08/17(Thu) 17:33:26
☆ Re: / ちゃん
(1)ですが、

(ii) より
　x＝b/2−a/4
(i) に代入して
　(b/2−a/4)^2−(b/2−a/4)＋3ab＝0
　b^2/4＋a^2/16−ab/4−b/2＋a/4＋3ab＝0
　4b^2＋a^2−8b＋4a＋44ab＝0

上の過程は必要なのでしょうか？？
No.86245 - 2023/08/17(Thu) 17:52:36
☆ Re: / ヨッシー
あ、消し忘れですね。
必要ありません。
失礼しました。
No.86281 - 2023/08/20(Sun) 22:24:50
☆ Re: / ちゃん
ありがとうございます。
No.86295 - 2023/08/22(Tue) 08:58:22
★ トランプ　確率 / こーこーせい
ジョーカーを抜いた52枚のトランプ中、18枚引いて同じ数字のペアが1組できる確率を教えてください。解き方もお願いします
No.86236 - 2023/08/16(Wed) 20:25:25
☆ Re: トランプ　確率 / IT
「18枚引いて同じ数字のペアが1組できる」
とは、例えばどういう状態を意味しますか？
18枚の各数字（マークは不要）を書いてみてください。
No.86238 - 2023/08/16(Wed) 20:32:42
★ (No Subject) / あ
a^4+b^4=10^2016となるような非負整数(a,b)の組を求めよという問題、どなたか分かったら教えてください。
No.86234 - 2023/08/16(Wed) 15:49:57
☆ Re: / IT
どのレベルの問題ですか？　高校数学A？

まず　a,b を10で割った余りで分類すると絞られるのでやってみてください。
No.86237 - 2023/08/16(Wed) 20:28:31
☆ Re: / あ
高校数学Aだと思います。
IT様のアドバイスのおかげで解き方が何となくわかりました。
与式を満たすa,bは10の倍数だからa=10k,b=10gとおけて、代入したら同じような操作が繰り返しおこなえて最終的にs^4+t^4=1を満たすstは(s,t)=(1,0),(0,1)しかないのであとは操作を逆にたどって(a,b)=（10^504,0）(0,10^504)ですね！ありがとうごぞいました。
No.86240 - 2023/08/17(Thu) 11:03:48
☆ Re: / IT
ともに余りが5の場合が不適であることを示すのが、少し面倒かも知れませんね
No.86241 - 2023/08/17(Thu) 12:57:52
☆ Re: / らすかる
余りが5の数を4乗すると下2桁が25になることを使えば、不適と言えますね。
No.86251 - 2023/08/17(Thu) 22:51:11
☆ Re: / らすかる
あ、4で割った余りを考える方が簡単ですね。
a,bが奇数ならばmod4で左辺が2右辺が0なので不適
a,bが10で割り切れない偶数ならば4乗すると一の位が6になり不適
No.86253 - 2023/08/18(Fri) 17:18:57
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