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★ 代数学 / 代数学
Kを体としƒ(x)∈K[x]とする。LがKの拡大体でa∈Lがƒ(x)=0の根とする。このとき、aがƒ'(a)=0ならばƒ(x)=0の重根であることを示せ。

答えもなく、解法の方法も検討がつかず、困っています。
分かる方、切実に解説をよろしくお願いいたします。
No.61216 - 2019/09/09(Mon) 17:58:15
☆ Re: 代数学 / ＩＴ
「抽象代数への入門（永田雅宜）」から　抜粋

Kの拡大体の元αがf(x)の重根⇔αがf(x)とf'(x)の共通根
（証明）
f(x)=cΠ(x-α[i])(α[i]∈L,c∈K)としてみると
f'(x)=c??(f(x)/(x-α[i])) である。…#

α[1]=α[2]ならば,
　右辺のどの項f(x)/(x-α[i])もx-α[1]で割り切れる。
　したがって、α[1]はf(x)とf'(x)の共通根。

α[1]がf(x)の重根でないならば,
　f(x)/(x-α[i])=g[i](x)について、g[1](α[1])≠0、g[i](α[1])＝0（i≧2）
　したがって、α[1]はf'(x)の根でない｡
（証明終わり）

（注）Π、?狽ﾌ添え字範囲は省略しています。
＃を示す必要があるかもしれませんね。（積の微分の公式を使って数学的帰納法で証明します。）
原著で、　f(a)=0 のとき 「aはf(x)の根」と表現しています。
No.61221 - 2019/09/09(Mon) 19:22:25
★ 極限の証明問題 / YUKI
aを任意の正の数として、この証明を教えて下さいませんか？
No.61211 - 2019/09/08(Sun) 20:56:40
☆ Re: 極限の証明問題 / X
n→∞を考えるのでa+1≦nとしても問題ありません。
このとき
(a^n)/n!={(a^a)/a!}{a^(n-a)}/(n!/a!)
≦{(a^a)/a!}{a^(n-a)}/(a+1)^(n-a)
={(a^a)/a!}{a/(a+1)}^(n-a)}
∴0＜(a^n)/n!≦{(a^a)/a!}{a/(a+1)}^(n-a)}
よってはさみうちの原理により
問題の等式は成立します。
No.61212 - 2019/09/08(Sun) 21:38:57
☆ Re: 極限の証明問題 / らすかる
＞Xさん

aは整数とは言っていないので「a!」はまずいと思います。

aより大きい適当な整数をmとすればn＞mで
a^n/n!=(a^m/m!){a^(n-m)/(n!/m!)}
≦(a^m/m!){a^(n-m)/(m+1)^(n-m)}
=(a^m/m!){a/(m+1)}^(n-m)
から
0≦lim[n→∞]a^n/n!≦(a^m/m!)lim[n→∞]{a/(m+1)}^(n-m)=0
なのでlim[n→∞]a^n/n!=0
のようにすればいいですね。
No.61213 - 2019/09/08(Sun) 23:15:32
☆ Re: 極限の証明問題 / X
>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>YUKIさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
No.61215 - 2019/09/09(Mon) 04:28:41
☆ Re: 極限の証明問題 / YUKI
一点だけわからないところがあるので教えて下さいますか？

n!/m!≧(m+1)^(n-m)になる理由が分からないです。すみません、ご教授願いたいです。

> ＞Xさん
>
> aは整数とは言っていないので「a!」はまずいと思います。
>
> aより大きい適当な整数をmとすればn＞mで
> a^n/n!=(a^m/m!){a^(n-m)/(n!/m!)}
> ≦(a^m/m!){a^(n-m)/(m+1)^(n-m)}
> =(a^m/m!){a/(m+1)}^(n-m)
> から
> 0≦lim[n→∞]a^n/n!≦(a^m/m!)lim[n→∞]{a/(m+1)}^(n-m)=0
> なのでlim[n→∞]a^n/n!=0
> のようにすればいいですね。
No.61253 - 2019/09/11(Wed) 02:37:32
☆ Re: 極限の証明問題 / らすかる
n!/m!=n・(n-1)・(n-2)・…・(m+2)・(m+1)
≧(m+1)・(m+1)・(m+1)・…・(m+1)・(m+1)=(m+1)^(n-m)

# 等号はn=m+1のときですが、nは大きいときを考えますのでなくても構いません。
# ただし、limを付けた時は等号は必要です。
No.61254 - 2019/09/11(Wed) 03:39:13
☆ Re: 極限の証明問題 / YUKI
お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。
No.61266 - 2019/09/12(Thu) 00:51:21
★ (No Subject) / かい
三角形ABCにおいて、∠A=3∠B,ABのながさは√3、ＢＣのながさはa,ACのながさはb,でありa,bは共に整数のときa,bの値を求めてください
No.61210 - 2019/09/08(Sun) 19:33:40
☆ Re: / らすかる
∠A=3∠Bからa＞b
三角形の成立条件からa-b＜√3
よって0＜a-b＜√3でa,bは整数なのでa-b=1
a=b+1とおくと∠B,∠Aに関する余弦定理により
cosθ=(3+(b+1)^2-b^2)/(2(b+1)√3)=(b+2)/{(b+1)√3}
cos3θ=(3+b^2-(b+1)^2)/(2b√3)=(1-b)/(b√3)
cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθに代入して整理すると
(b-1)(b+3)(2b^2+2b-1)=0
bは正の整数なのでb=1
a=b+1=2
∴(a,b)=(2,1)
No.61214 - 2019/09/09(Mon) 00:08:21
★ (No Subject) / Huz
この問題の解き方は何が間違っていますか？
No.61203 - 2019/09/08(Sun) 00:33:56
☆ Re: / らすかる
例えばn=10のときどんなグラフになるか考えてみて下さい。
No.61204 - 2019/09/08(Sun) 00:57:25
★ 確率漸化式 / さわ
解き方を教えてください
No.61197 - 2019/09/07(Sat) 21:19:07
☆ Re: 確率漸化式 / ヨッシー
ｎ回目の試行で、
　Ａが１点になっている確率を ｒ[n]
　２点になっている確率を　ｑ[n]
　３点になっている確率を　ｐ[n]
とします。偶数と奇数は同確率なので、Ｂが、１点、２点、３点に
なっている確率も、ｒ[n]、ｑ[n]、ｐ[n] です。
　ｒ[n+1]＝(r[n]＋q[n])/２　・・・(1)
　ｑ[n+1]＝r[n]/２　　　　　・・・(2)
　ｐ[n+1]＝q[n]/２　　　　　・・・(3)
ｒ[1]＝1/2、ｑ[1]＝０、ｐ[1]＝０
順に　
　r[2]＝1/4、q[2]＝1/4、p[2]＝０
　r[3]＝1/4、q[3]＝1/8、p[3]＝1/8
　r[4]＝3/16、q[4]＝1/8、p[4]＝1/16
　r[5]＝5/32、q[5]＝3/32、p[5]＝1/16
　r[6]＝1/8、q[6]＝5/64、p[6]＝3/64
　r[7]＝13/128、q[7]＝1/16、p[7]＝5/128
よって、p[5]＝1/16, p[6]＝3/64, p[7]＝5/128

(2)(3) より
　q[n]＝2・p[n+1]
　r[n]＝4・p[n+2]
(1) に代入して
　4・p[n+3]＝(4・p[n+2]＋2・p[n+1])/２
整理して
　4・p[n+3]＝2・p[n+2]＋p[n+1]
よって、
　p[n+2]＝(1/2)p[n+1]＋(1/4)p[n]　　・・・(4)

これが
　p[n+2]−ｓp[n+1]＝ｔ(p[n+1]−ｓp[n])
と書けたとして展開すると
　p[n+2]＝(ｓ＋ｔ)p[n+1]−ｓｔp[n]
(4) と係数を比較すると
　ｓ＋ｔ＝1/2、ｓｔ＝−1/4
であり、解と係数の関係より、ｓ、ｔは、２次方程式
　ｘ^2−(1/2)ｘ−1/4＝0
の解、すなわち　αとβであり、これを使って、
　p[n+2]−αp[n+1]＝β(p[n+1]−αp[n])
　p[n+2]−βp[n+1]＝α(p[n+1]−βp[n])
さらに (4) の漸化式は n=2 でも成り立つので、
　p[n+1]−αp[n]＝β^(n-2)(p[3]−αp[2])
　p[n+1]−βp[n]＝α^(n-2)(p[3]−βp[2])
と書けます。差をとって
　(β−α)p[n]＝β^(n-2)(p[3]−αp[2])−α^(n-2)(p[3]−βp[2])
　　　　　　　＝β^(n-2)/8−α^(n-2)/8
ここで、ｘ^2−(1/2)ｘ−1/4＝0 を解いて
　ｘ＝(1±√5)/4
α＜β より β−α＝√5/2
　p[n]＝β^(n-2)/4√5−α^(n-2)/4√5
以上より
　ａ＝−１/4√5、　ｂ＝１/4√5

p[1]＝p[2]＝0 より、求める確率は
　Σ[n=3〜∞]p[n]
|α|＜１　|β|＜１ より
　Σ[n=3〜∞]β^(n-2)＝β/(1−β)＝(1＋√5)/(3−√5)
　Σ[n=3〜∞]α^(n-2)＝α/(1−α)＝(1−√5)/(3＋√5)
にそれぞれ収束するので、
　Σ[n=3〜∞]p[n]＝{(1＋√5)/(3−√5)−(1−√5)/(3＋√5)}/4√5
　　　＝1/2
No.61241 - 2019/09/10(Tue) 14:01:37
★ (No Subject) / あ
詳しい解き方を教えて下さい。
No.61194 - 2019/09/07(Sat) 20:02:26
☆ Re: / らすかる
大人1000円、大学生500円、子ども0円にすると
180000-110×1000=70000円
大人を10人減らすと60000円
これで大人と大学生が同じ人数なので
60000÷(1000+500)=40人ずつ
従ってCが正しい
No.61196 - 2019/09/07(Sat) 20:23:42
☆ Re: / GandB
　計算は方程式立てるより簡単なんだなあ。
　しかし・・・考え方は難しい（笑）。
No.61207 - 2019/09/08(Sun) 08:52:06
★ (No Subject) / aaaaaaaaaa
a,bは 0<a<b<1 を満たす実数定数、{nx}をnxの小数部分とすると
0<x<1 を満たす任意の実数xに対し a<{nx}<b
を満たす自然数nが存在することを示せ。

a<x<b のときは自明なのでその他の場合についてお願いします。
No.61192 - 2019/09/07(Sat) 19:01:20
☆ Re: / ＩＴ
例えば　a=0.1,b=0.2,x=0.5 のとき　ダメでは？

x は無理数という条件では？
No.61193 - 2019/09/07(Sat) 19:28:20
☆ Re: / aaaaaaaaaa
すいません、xは無理数という条件を追加してください。
No.61198 - 2019/09/07(Sat) 21:29:07
☆ Re: / ＩＴ
概略だけ

xは無理数なので　n≠m　のとき　、{nx}≠{mx}

{1x},{2x},...,{nx} はすべて互いに異なる。
したがって　0<|{ix}-{jx}|<1/n となる1≦i<j≦n が存在。
k=j-i とおく
このとき0<{kx}<1/n

nを十分大きくとると　0<{kx}<1/n<b-a と出来る。（これを先に書くほうがいいかも）

a<m{kx}<b となるmが存在する。
このとき {mkx}=m{kx} となり　a<{mkx}<b である。

大学１年程度の問題ですか？　それによって行間は適切に埋めてください。

n,m などの命名は紛れがないように適切に変えた方がいいかも知れません。
No.61200 - 2019/09/07(Sat) 21:54:47
☆ Re: / ＩＴ
＞k=j-i とおく
＞　このとき0<{kx}<1/n
はまちがい. 1-1/n<{kx}<1 の場合がある.

方針としては、上のやり方でいけると思うので　やってみてください。
No.61201 - 2019/09/07(Sat) 22:12:06
☆ Re: / aaaaaaaaaa
高校程度の論証問題で、途中で必要になった命題です。

a,b,xは元はlogがらみの数でいずれも無理数です。

ご回答ありがとうございます。
No.61202 - 2019/09/07(Sat) 22:39:11
☆ Re: / ＩＴ
「無理数 稠密」　（ちゅうみつ）で検索すると、いろいろ出てきます。
高校レベル（大学入試対策）で　適当なのは下記などがあります。
https://mathtrain.jp/tyumitsu

私の最初間違えた場合についても考慮してあります。↓
https://mathtrain.jp/kronecker
No.61208 - 2019/09/08(Sun) 10:52:52
★ (No Subject) / アブドゥル
この問題の(2)の解答の仕方ついて質問です。
No.61188 - 2019/09/07(Sat) 17:36:51
☆ Re: / アブドゥル
この画像の解説のq_n=…のところを見てください。
ここから先を計算せず、このまま解答にするのはNGですか？

求めたいのはq_nなのでこれでも良いと思うのですが、やはり計算するのが普通なのでしょうか。(この式にnに3以上の自然数を代入すればいろんな場合の確率を求められることができますし。)

個人的な見解を教えてください。
No.61189 - 2019/09/07(Sat) 17:42:32
☆ Re: / アブドゥル
質問の意図がわかりづらいと思ったので、補足しました。
よろしくお願いします。
No.61190 - 2019/09/07(Sat) 17:48:36
☆ Re: / ＩＴ
?狽ｪ残っている式と、その次の?狽?無くした式では、得点が違うでしょうね。

?狽ｪ残っている式では、満点という採点はないと思います。
No.61191 - 2019/09/07(Sat) 18:07:28
☆ Re: / らすかる
> (この式にnに3以上の自然数を代入すればいろんな場合の確率を求められることができますし。)

Σのついた式でnに10を代入して計算するのは大変です。
n=10でも簡単に計算できるのはΣをとって整理した式ですね。
No.61195 - 2019/09/07(Sat) 20:19:04
☆ Re: / アブドゥル
みなさまありがとうございます。
たしかにn=10だと大変そうです。
代入するnがたくさんあっては確かに気持ち悪いです。

回答では、しっかりシグマを外して行こうと思います。
No.61217 - 2019/09/09(Mon) 18:06:08
★ (No Subject) / あきら
244の問題なのですが場合分けをした後の、最小値がゼロより大きいという条件の不等号を利用すると思うのですが、等号を入れるのか入れないのかの区別がつきません。
No.61186 - 2019/09/07(Sat) 10:56:00
☆ Re: / らすかる
t=2^xとおくとt＞0で
不等式は4t^2+at+1-a＞0となる。
f(t)=4t^2+at+1-aとおくと
y=f(t)は下に凸な放物線なので
t＞0のときf(t)＞0となるためには
「(頂点のy座標)＞0」または
「(頂点のx座標)≦0かつf(0)≧0」
であればよい。
f(t)=4(t+a/8)^2-(a^2+16a-16)/16なので
「-(a^2+16a-16)/16＞0」または
「-a/8≦0かつ1-a≧0」
これを解いて
-8-4√5＜a≦1

この解答で場合分けは出てきませんでしたので、
具体的に場合分けをする解答を書いて頂かないと
質問の内容がわかりません。
No.61187 - 2019/09/07(Sat) 11:27:25
☆ Re: / あきら
頂点のＸ座標≦0かつf(0)≧0の部分がわからないのですが、どうしてこの条件が必要なのですか？また、なぜf(0)>0ではないのですか？
No.61205 - 2019/09/08(Sun) 07:36:58
☆ Re: / らすかる
軸がx≦0の範囲にあるとき、x軸の負の部分または原点と2点で交わっていても
「t＞0のときf(t)＞0」という条件を満たすからです。
t＞0のときにf(t)＞0であればよいので、t=0のときf(t)=0でも構いません。
よってf(0)≧0とする必要があります。
No.61206 - 2019/09/08(Sun) 08:25:03
★ (No Subject) / デルタ
ｘの4次方程式
(x^2-3x+2)(x^2+1)=0・・?@がある。このとき、次の条件を満たす実数a,bの値の組を全て求めよ。
条件）x^2+ax+b=0を満たす全てのｘは?@を満たす

このa,bの組は（−３，２）と（０，１）で合っていますか？
No.61180 - 2019/09/06(Fri) 21:35:07
☆ Re: / ＩＴ
まちがっています。

途中の考え方が大切です。書き込んでみてください。
No.61181 - 2019/09/06(Fri) 22:03:53
☆ Re: / ＩＴ
（基本事項）
a,bは実数なので　x^2+ax+b=0の解は
　２つの異なる実数
　１つの実数（重解）
　２つの虚数解（互いに共役）
の場合があります。
No.61182 - 2019/09/06(Fri) 22:36:41
☆ Re: / デルタ
なるほどです！ありがとうございます
x^2+ax+b=0の解が

重解のときの（−２，１）（−４，４）が抜けているいうことでよいでしょうか
No.61183 - 2019/09/06(Fri) 23:02:59
☆ Re: / ＩＴ
そうですね。
No.61184 - 2019/09/06(Fri) 23:05:58
★ (No Subject) / アブドゥル
解説でわからない部分(画像の赤線)があります。
画像は、問題(1)と、解答の一部です。

なぜ、k(k-1)が偶数である必要があるんですか？
分母が残ってる状態だと何が不都合なのですか？

(1/2)*p^3という数があったとして、この数は、p^3で割り切れますよね。
No.61175 - 2019/09/05(Thu) 21:02:21
☆ Re: / らすかる
(1/2)p^3はp^3で割り切れません。
この問題の「○がp^3で割り切れる」は「○÷p^3=(整数)」という意味です。
例えばp=2のとき「(1/2)p^3はp^3で割り切れる」は
「4は8で割り切れる」という意味になりますが、
普通、「4は8で割り切れる」とは言いませんよね。
No.61176 - 2019/09/05(Thu) 21:13:28
☆ Re: / アブドゥル
あ、ほんとでした。反例があったので納得しました。
ありがとうございます。
No.61177 - 2019/09/05(Thu) 22:26:11
★ (No Subject) / 鳥
定義域が与えられた二次関数で
例えば最大値が 6 より小さい数の定義域のときは 最大値なし
とする理由がわかりません
やさしく教えてくれませんでしょうか？
No.61171 - 2019/09/05(Thu) 15:56:37
☆ Re: / ヨッシー
これだけでは伝わりません。
具体的に、こういう問題で、こんなふうに書いてありますが、それはなぜですか？
と書いてください。

多分、その問題のときは「最大値なし」でも、それ以外の問題ではそうはならないと思います。
No.61172 - 2019/09/05(Thu) 16:00:50
☆ Re: / らすかる
例えばf(x)=x^2+xで定義域が1＜x＜2のとき3＜f(x)＜6
このような場合に「f(x)は最大値なし」の理由ですか？
それは、「f(x)の最大値はMである」と言えるようなMが存在しないからです。
No.61173 - 2019/09/05(Thu) 16:01:09
☆ Re: / 鳥
ヨッシー さん
失礼しました
以下の?Aの二次関数で 最大値がなし となる理由が知りたいです。
?@y=x^2 定義域0≦x≦6 の 最大値は36
?Ay=x^2 定義域0≦x<6 の 最大値はなし

らすかる さん
「f(x)の最大値はMである」と言えるようなMが存在しないから
最大値なし とするのは分かりましたありがとうございます。
要は 最大値M は 値 なので範囲で答えるのは駄目だよと言う事ですよね。

たんに決まりとして覚えてしまえば簡単なのですが、
最大値 36より小さい数 と言えなくもないような気がするのがなんとなく
喉につっかえるので何か明確な理由付けが出来ればよりよいなと思ったのです。
No.61178 - 2019/09/06(Fri) 14:49:45
☆ Re: / らすかる
> 何か明確な理由付けが出来ればよりよいなと思ったのです。
「最大値はM」と具体的な値を言えるものかどうかで決まります。
36より少し小さいどんな数をMとしても、
Mと36の数の間に別の数がありますので、
Mは最大値ではありません。
従って「最大値はM」と言えるような具体値Mが存在しませんので、
「最大値なし」となります。
0≦y＜36 の36は「最大値」ではありませんが「上限」であり、
これは大学数学で習います。
（最大値が存在する場合はそれが上限です）
No.61179 - 2019/09/06(Fri) 19:47:07
☆ Re: / 鳥
らすかる さん
なるほど、「0≦y<36の値域の上限」 のような言い方が用意されているのですね
すっきりしました ありがとうございます
No.61185 - 2019/09/07(Sat) 01:42:56
★ (No Subject) / 太田
⑵で、全場合の数から女子が隣り合う場合の数を引く方法を考えて、5040-2×6！=3600となったのですが何が違うのでしょうか。
No.61168 - 2019/09/05(Thu) 14:25:56
☆ Re: / らすかる
女子が隣り合う場合の数は2×6!ではありません。
3人かたまるのが5!×3!=720通り
2人と1人に分かれるのが4!×5P2×3P2=2880通りなので
隣り合う場合の数は720+2880=3600通りです。
No.61170 - 2019/09/05(Thu) 14:56:34
★ 行列 整数 / もーちゃん
高校範囲ではない行列の問題です。
行列の計算方法などは教わっているので、この問題は整数の問題である事はわかりました。しかし、(3)がどうしてもわかりません。(1) (2)の結果をどのように使えば良いのでしょうか。よろしくお願いします。
No.61166 - 2019/09/05(Thu) 07:33:31
☆ Re: 行列 整数 / らすかる
とりあえず(1)(2)を無視すると

X=
(a b)
(c d)
Y=
(e f)
(g h)
とすると、YX=Aから
ae+cf=9 … (a)
be+df=4 … (b)
ag+ch=3 … (c)
bg+dh=2 … (d)
XY=Bから
ae+bg=10 … (e)
af+bh=2 … (f)
ce+dg=2 … (g)
cf+dh=1 … (h)

c,d,f,hが全て1以上とすると(h)が成り立たないので、c,d,f,hのうち少なくとも一つは0
c=0のとき(c),(g)からag=3,dg=2なのでg=1,d=2だが、(h)からdh=1なので不適
d=0のとき(h)からc=f=1、(g)からe=1、(b)からb=4となるが、(d)からbg=2なので不適
f=0のとき(a),(b)からae=9,be=4なのでe=1,b=4だが、(f)からbh=2なので不適
h=0のとき(c),(d)からag=3,bg=2なのでg=1,a=3だが、(f)からaf=2なので不適
よってどの場合も不適なので、条件を満たすX,Yは存在しない。
No.61169 - 2019/09/05(Thu) 14:49:55
★ 高校数学 確率 / もーちゃん
確率の問題で、(3) 以降がわかりません。どなたかよろしくお願いします。
No.61162 - 2019/09/04(Wed) 23:27:06
☆ Re: 高校数学 確率 / らすかる
(3)
どちらかが2回多く勝てば終了ですから、
ちょうど2n回でAが金貨4枚を手にするためには
最初の2回で1勝1敗、次の2回も1勝1敗、その次の2回も1勝1敗、…
で2n-1回目と2n回目がAの勝利となっていなければなりません。
2回の対戦で1勝1敗になる確率は2p(1-p)ですから、
P[2n]={2p(1-p)}^(n-1)・p^2となります。
(4)
S[n]=Σ[k=1〜n]P[2k]
=Σ[k=1〜n]{2p(1-p)}^(k-1)・p^2
=(p^2)Σ[k=0〜n-1]{2p(1-p)}^k
=(p^2){1-(2p(1-p))^n}/{1-2p(1-p)}
=(p^2){1-(2p(1-p))^n}/(1-2p+2p^2)
(5)
S=lim[n→∞]S[n]
=lim[n→∞](p^2){1-(2p(1-p))^n}/(1-2p+2p^2)
=p^2/(1-2p+2p^2)
p-S=p-p^2/(1-2p+2p^2)=p(1-p)(1-2p)/(1-2p+2p^2)
条件からp＞0,1-p＞0,1-2p+2p^2＞0なので
1-2p=0すなわちp=1/2のときp-S=0すなわちp=S
1-2p＜0すなわちp＞1/2のときp-S＜0すなわちp＜S
1-2p＞0すなわちp＜1/2のときp-S＞0すなわちp＞S

# 計算は御確認下さい。
No.61164 - 2019/09/05(Thu) 00:27:01
☆ Re: 高校数学 確率 / もーちゃん
ありがとうございます！理解できました！
No.61165 - 2019/09/05(Thu) 07:16:46
★ 高校2数学B / 龍
78番の問題です。2枚目の解説の赤線を引いた部分なのですが、
なぜこの2つを比べたのかがよくわかりません。この2つを比べるときの式がなぜ2(3k +1)が前に来るとわかるのかがわかりません。解説をわかりやすくお願いします🥺
No.61154 - 2019/09/04(Wed) 20:35:20
☆ Re: 高校2数学B / 龍
解説です
No.61155 - 2019/09/04(Wed) 20:35:54
☆ Re: 高校2数学B / ＩＴ
> なぜこの2つを比べたのかがよくわかりません

2^(k+1)>3(k+1)+1 を示したい。

数学的帰納法の仮定から
　2^(k+1)>2(3k+1) が分かっているので、

2(3k+1)>3(k+1)+1 が示せればいいからです｡
No.61156 - 2019/09/04(Wed) 21:05:48
☆ Re: 高校2数学B / ＩＴ
>この2つを比べるときの式がなぜ2(3k +1)が前に来るとわかるのかがわかりません

質問の意味が明確には分からないので、的外れな回答かも知れませんが、

どちらが前でも構いません。両者の差を調べて大小関係が分かります。
No.61157 - 2019/09/04(Wed) 21:14:10
☆ Re: 高校2数学B / 龍
ありがとうございます。もう一度よく考えてます
No.61209 - 2019/09/08(Sun) 15:44:52
★ 質問お願いします。 / しょう
3番なのですが、CとPを同時に使って解く考えが分かりにくいです。解説お願いします。
No.61146 - 2019/09/04(Wed) 17:52:44
☆ Re: 質問お願いします。 / ＩＴ
> 3番なのですが、CとPを同時に使って解く考えが分かりにくいです。解説お願いします。

どんな解答ですか？　その解答が分からなければその解答の解説も出来ませんし、その解法より分かり易い解法の提案も出来ません。　
No.61159 - 2019/09/04(Wed) 22:13:40
☆ Re: 質問お願いします。 / ＩＴ
1つの解法は

１枚ずつ(元に戻さず）順に３枚引くと考えてもよい。

１枚目は　どのカードでもいい。
２枚目は　残り１９枚のうち　１枚目と色も数字も異なるカードが　４×３＝１２枚ある
　このどれかを引いたとして
３枚目は、残り１８枚のうち　１枚目２枚目とも色も数字も異なるカードが３×２＝６枚ある。

よって求める確率は　(12/19)(6/18)=4/19
No.61160 - 2019/09/04(Wed) 22:26:34
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
なるほど、ありがとうございます。

ちなみに解答の答えは5C3 × 4P3 / 20C3 となっています。

組み合わせは選ぶだけ、順列は選んで並べるという事なんですよね？
No.61167 - 2019/09/05(Thu) 10:55:07
☆ Re: 質問お願いします。 / らすかる
5C3は「5色から3色選ぶ組合せの数」
4P3は「4つの数から3つを選んで3色にあてはめる場合の数」
例えば5C3で選んだ3色を
左←赤、青、黄、緑、黒→右
の順に並べることにしたとき、青、緑、黒が選ばれた場合は
一番左が青、真ん中が緑、右が黒となるわけですが、
4つの数から3つを選んだときにその3つの数を
左の色から順にあてはめて並べる、と考えられますので
4P3になります。
もしこれを4C3にしてしまうと、「3色」と「3つの数」を
選ぶだけですから色と数の対応が決まりません。
色と数の対応は3!通りありますので、
5C3×4P3 は 5C3×4C3×3! としてもOKです。
No.61174 - 2019/09/05(Thu) 16:50:49
★ 規則性の問題 / 太郎
2019 岐阜県の入試の問題ですが、
（4)の、問題が、わかりません。
3番までは、初項➕交差（n−1)で、できるのですが、
どのように考えたらいいのか、どうかご指導お願いします。
No.61143 - 2019/09/04(Wed) 16:08:23
☆ Re: 規則性の問題 / 太郎
追記 こたえは、2n二乗−3n＋1
No.61144 - 2019/09/04(Wed) 16:10:40
☆ Re: 規則性の問題 / らすかる
1段の時は境目0個
2段目を追加したことで境目は3個増える
3段目を追加したことで境目は7個増える
4段目を追加したことで境目は11個増える
（以降1段追加するごとに境目の増える数が4ずつ増えていく）
・・・
となっていますが
3+7+11+…+(4n-5)
は求められますか？
No.61145 - 2019/09/04(Wed) 16:56:10
☆ Re: 規則性の問題 / 太郎


> ・・・
> となっていますが
> 3+7+11+…+(4n-5)
> は求められますか？

すみません。よくわかりません。
No.61147 - 2019/09/04(Wed) 18:07:31
☆ Re: 規則性の問題 / らすかる
(3)の図でひっくり返した図形をくっつけて
「6枚ずつ3段」と求めていますよね。
これを数式で書くと、
左側の図形が上から順に1+3+5
右側の図形が上から順に5+3+1
なのでそれぞれ縦に足すと6+6+6
になって、6×3=18、18÷2=9
という計算で出しています。
これと同様に、
3+7+11+…+(4n-5)
をひっくり返して
(4n-5)+(4n-9)+(4n-13)+…+3
これをそれぞれ足すと
(4n-2)+(4n-2)+(4n+2)+…+(4n+2)
これが全部でn-1個なので、
求める個数は
(4n-2)×(n-1)÷2=2n^2-3n+1
となります。
No.61149 - 2019/09/04(Wed) 18:36:22
☆ Re: 規則性の問題 / ＩＴ
（カードの枚数×４-境目でない辺の数）／２でも出ますね。
No.61150 - 2019/09/04(Wed) 18:39:53
☆ Re: 規則性の問題 / らすかる
前に誘導があるので、ＩＴさんのおっしゃる通りで
{(3)×4-(2)の(イ)}÷2
で出すのが正解ですね。
No.61153 - 2019/09/04(Wed) 20:12:06
☆ Re: 規則性の問題 / 太郎
ありがとうございました。規則性の問題は、難しいです
No.61158 - 2019/09/04(Wed) 21:19:11
★ 数3 / るんるん
実数x、自然数nに対して
Fn(x)=cosx/2cosx/4cosx/8cosx/16••••cosx/2^n
とする。
⑴xの値を決めると2^nFn(x)sinx/2^nの値はnと無関係な定数であることを証明せよ。
⑵log|Fn(x)|をxで微分してΣ(n=2、∞)1/2^ntanπ/2^n=1/πを示せ
No.61128 - 2019/09/03(Tue) 03:01:04
☆ Re: 数3 / らすかる
F[n](x)={cos(x/2)}{cos(x/4)}{cos(x/8)}{cos(x/16)}…{cos(x/2^n)}
のようにカッコを付けましょう。
cosx/2cosx/4cosx/8cosx/16 だと
(cosx)÷(2cosx)÷(4cosx)÷(8cosx)÷16
のように見えます。

(1)
(2^n)F[n](x)sin(x/2^n)
=(2^n){cos(x/2)}{cos(x/4)}{cos(x/8)}{cos(x/16)}…{cos(x/2^n)}{sin(x/2^n)}
={2^(n-1)}{cos(x/2)}{cos(x/4)}{cos(x/8)}{cos(x/16)}…{cos(x/2^(n-1))}
　・2{sin(x/2^n)}{cos(x/2^n)}
={2^(n-1)}F[n-1](x)sin{x/2^(n-1)}
={2^(n-2)}F[n-2](x)sin{x/2^(n-2)}
={2^(n-3)}F[n-3](x)sin{x/2^(n-3)}
=…
=(2^1)F[1](x)sin(x/2^1)
=2・cos(x/2)・sin(x/2)
=sinx
なのでnと無関係な定数。

(2)
{log(cos(x/t))}'={cos(x/t)}'/cos(x/t)=-(1/t)tan(x/t)
と
log|F[n](x)|
=log|cos(x/2)|+log|cos(x/4)|+log|cos(x/8)|+…+log|cos(x/2^n)|
から
{log|F[n](x)|}'=-Σ[k=1〜n](1/2^k)tan(x/2^k)
(1)からF[n](x)=sinx/{(2^n)sin(x/2^n)}なので
log|F[n](x)|=log|sinx/{(2^n)sin(x/2^n)}|
{log|F[n](x)|}'={sinx/{(2^n)sin(x/2^n)}}'/{sinx/{(2^n)sin(x/2^n)}}
={{(2^n)cosxsin(x/2^n)}-sinxcos(x/2^n)}/{(2^n)sin(x/2^n)}^2
∴lim[n→∞]{log|F[n](x)|}'
=lim[n→∞]{{cosx/x(2^n/x)sin(x/2^n)}-(sinx/x)cos(x/2^n)/x}/{(2^n/x)sin(x/2^n)}^2
=(cosx-1)/x
よって
lim[n→∞]Σ[k=1〜n](1/2^k)tan(x/2^k)=-lim[n→∞]{log|F[n](x)|}'=(1-cosx)/x
lim[n→∞]Σ[k=2〜n](1/2^(k-1))tan(x/2^(k-1))=(1-cosx)/x
lim[n→∞]Σ[k=2〜n](1/2^k)tan(x/2^(k-1))=(1-cosx)/(2x)
x=π/2を代入して
lim[n→∞]Σ[k=2〜n](1/2^k)tan(π/2^k)=1/π
∴Σ[n=2〜∞](1/2^n)tan(π/2^n)=1/π
No.61132 - 2019/09/03(Tue) 04:02:29
☆ Re: 数3 / るんるん
わかりやすい解答ありがとうございます。僕は少し道筋が違っていて、x=π/2を代入することに気がつきませんでした。早い段階でx=πを代入して、極限を定められませんでした。ラスカルさんのようにxに値を代入するのは最後の方が良いのでしょうか？
No.61136 - 2019/09/03(Tue) 13:20:26
☆ Re: 数3 / らすかる
私も最初はπを代入することを考えましたが、
そうするとtan(π/2)が出てきて不都合なので
「ではπ/2ではどうだろう？」と考えました。
代入は、あまり早く代入して整理してしまうと
式が簡単に出来る部分に気づけなかったりする
可能性もありますので、なるべく先延ばしに
した方がよいと思います。
（それでも後で代入することを念頭において変形します）

# 必ず最後に代入、というわけではありません。
# これ以上は代入しないと面倒、という状態に
# なったら途中で代入することはあります。
No.61137 - 2019/09/03(Tue) 14:08:08
☆ Re: 数3 / るんるん
代入を先延ばしにすることにより、ポイントに気がつけるというのは初めて知りました。質問して良かったです。
No.61138 - 2019/09/03(Tue) 19:01:07
★ 専門学校の問題です / 社会人受験生
はじめまして。よろしくお願いいたします。
写真の２番の答えが合っているのか分からないので答え合わせをお願いします。
y=0.5(x-8)＋20
=0.5x+16
No.61127 - 2019/09/03(Tue) 02:17:06
☆ Re: 専門学校の問題です / るんるん
合ってます。
No.61130 - 2019/09/03(Tue) 03:16:38
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