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★ (No Subject) / な
高3で数?Vです
dy/dx , d^2y/dx^2をx,yを用いて表せ

x^2-y^2=4

答えはdy/dx=x/y, d^2y/dx^2=-4/y^3です

どう微分すればいいのかわかりません、よろしくお願いします。
No.60046 - 2019/07/22(Mon) 21:07:14
☆ Re: / 関数電卓
　x^2−y^2＝4 …(1)

両辺を x で微分して、
　2x−2y･dy/dx＝0 ∴ dy/dx＝x/y …(2)

(2)を再度 x で微分して
　d^2y/dx^2＝(y−x･dy/dx)/y^2＝(y−x･x/y)/y^2＝(y^2−x^2)/y^3＝−4/y^3 (∵(1)(2))

No.60047 - 2019/07/22(Mon) 21:38:17
☆ Re: / な
ありがとうございます！
No.60055 - 2019/07/23(Tue) 08:11:35
★ (No Subject) / 柵
x=a+b
y=b+c
z=c+a
0≦a≦2 0≦b≦2 0≦c≦2 で表される点(x,y,z)の存在範囲の体積をs,t,uを消去することから、x,y,zの不等式を得て、求めよ。

答えは16です。
よろしくお願いします。
No.60041 - 2019/07/22(Mon) 16:41:15
☆ Re: / らすかる
s,t,uとは何ですか？
No.60042 - 2019/07/22(Mon) 16:48:24
☆ Re: / 柵
打ち損じです。
すいません。 s,t,u→a,b,c
No.60043 - 2019/07/22(Mon) 17:59:58
☆ Re: / X
質問を二つほど。

1:
問題文に書かれている通りにx,y,zの不等式を
求めることはできましたか？

2:
問題の出典は何ですか？
(大学受験の範囲か、それを超える範囲かを知りたいので)
No.60044 - 2019/07/22(Mon) 19:15:06
☆ Re: / 関数電卓
いろいろ計算した結果、図の立体の境界面および内部になるようです。体積は、z 軸に垂直な断面 (y＝±x に平行な 2 辺をもつ長方形) を積分し 16 になりました。
No.60083 - 2019/07/24(Wed) 09:22:36
☆ Re: / らすかる
体積は、(簡単ではありませんが)積分を使わずに変形で求めることもできますね。

出てくる不等式は
0≦x-y+z≦4
0≦x+y-z≦4
0≦-x+y+z≦4
回転移動で体積は変わらないので
z軸に関して45°回転することにして
X=(x-y)/√2, Y=(x+y)/√2, Z=zとおいて整理すると
0≦(√2)X+Z≦4
0≦(√2)Y-Z≦4
0≦-(√2)X+Z≦4
今度はY軸に関してα(sinα=-√(2/3))回転することにして
x={X+(√2)Z}/√3, y=Y, z={-(√2)X+Z}/√3とおき直して整理すると
（以前のx,y,zとは無関係）
0≦(2√6)x-(√3)z≦12
0≦(3√2)y-(√6)x-(√3)z≦12
0≦(√3)z≦4
この立体は等積変形によって
0≦(2√6)x≦12
0≦(3√2)y≦12
0≦(√3)z≦4
すなわち
0≦x≦√6
0≦y≦2√2
0≦z≦4√3/3
となり、これは直方体なので、体積は(√6)(2√2)(4√3/3)=16
No.60087 - 2019/07/24(Wed) 13:32:55
★ (No Subject) / 馬肉
複素数cは

c^2= -(c_)を満たすcはどのような図形を描くか？

_は共役を表します
No.60036 - 2019/07/22(Mon) 12:13:10
☆ Re: / らすかる
共役の符号反転ということは実部のみの符号反転なので
c=x+iyとおけば(x+iy)^2=-x+iy
これよりx^2+x-y^2=0,y-2xy=0
これを解いて(x,y)=(0,0),(-1,0),(1/2,±√3/2)なので
c=0,-1,(1±i√3)/2
No.60038 - 2019/07/22(Mon) 13:40:14
☆ Re: / 馬肉
ありがとうございました！
困ったらa+biとおくのですね！
No.60106 - 2019/07/24(Wed) 22:44:39
★ (No Subject) / フィード
|AB→•(u→×v→)l と

√(|AB→|^2-(AB→•v→)^2-(AB→•u→)^2

は等しいですか？
等しいならばそれを確かめる過程を教えてください
(高校生です)
No.60032 - 2019/07/21(Sun) 17:52:05
☆ Re: / らすかる
2番目の式はカッコが合っていませんので等しいかどうか調べようがありませんが、
もし√{|AB→|^2-(AB→・v→)^2-(AB→・u→)^2}ならば等しくありません。
例えばAB→=(1,0,0),u→=(0,0,0),v→(0,0,0)のとき
|AB→・(u→×v→)|=0
√{|AB→|^2-(AB→・v→)^2-(AB→・u→)^2}=1
です。
No.60033 - 2019/07/21(Sun) 18:56:28
★ (No Subject) / べえ
答えが分からないです
途中式もお願いしたいです
No.60030 - 2019/07/21(Sun) 17:14:56
★ 平均値の定理とテイラー展開を使った問題 / Michi
B14-2の1番をお願いします
答えは1/2です
No.60029 - 2019/07/21(Sun) 13:54:23
★ 周期関数 / 美雪
次の関数は周期関数はであるか否かを理由をつけて答えよ。
また周期関数である場合にはその基本周期を求めよ。

(1)f(x)=sin(πsinx)

(2)f(x)=cos(πsinx)

(3)f(x)=sinπ(xの3乗)

3問とも詳しく教えてください。
No.60023 - 2019/07/20(Sat) 21:44:27
☆ Re: 周期関数 / らすかる
(1)
sin(x)=sin(x-2π)なので周期2π/m（mはある自然数）の周期関数
f(x)=1となるxを0≦x＜2πの範囲で求めると
sin(πsinx)=1
πsinx=π/2　（∵-π≦πsinx≦π）
sinx=1/2
∴x=π/6,5π/6
従ってf(x)=1となるxは0≦x≦πの範囲すなわち
0≦x≦2πの前半にしかないので、基本周期は2π

(2)
sin(x)=sin(x-2π)なので周期2π/m（mはある自然数）の周期関数
f(x)=cos(πsinx)=cos(-πsinx)=cos(πsin(x-π))=f(x-π)なので周期はπ/m（mはある自然数）
f(x)=-1となるxを0≦x＜πの範囲で求めると
cos(πsinx)=-1
πsinx=π　（∵0≦πsinx≦π）
sinx=1
∴x=π/2
従ってf(x)=-1となるxは周期π中に1箇所しかないので、基本周期はπ

(3)
sinπ(xの3乗)は(sinπ)(x^3)のようにも見えますが
これでは問題にならないのでsin(πx^3)と考えます。
f(x)=0となるxを求めると
sin(πx^3)=0
πx^3=nπ
x^3=n
∴x=n^(1/3)
つまりf(x)=0となるxはx=0,±1^(1/3),±2^(1/3),±3^(1/3),…
しかし数列1^(1/3),2^(1/3),3^(1/3),…は隣項の差分が
小さくなり続け、周期性がないのでf(x)は周期関数ではない。
No.60025 - 2019/07/20(Sat) 22:23:17
☆ Re: 周期関数 / 美雪
ありがとうございました！
No.60061 - 2019/07/23(Tue) 19:56:07
★ アイゼンシュタインの定理について / mana
アイゼンシュタインの規約判定定理において
3つの条件を満たす場合、k次以上の因数が出てくることはわかったのですが、この3つの条件の導出法がわからないです。
教えていただけませんか？よろしくお願いします。
　参考　https://mathtrain.jp/eisenstein
No.60021 - 2019/07/20(Sat) 20:03:48
☆ Re: アイゼンシュタインの定理について / ＩＴ
> この3つの条件の導出法
とはどういう意味ですか？
逆は成り立たないので「３つの条件を導出する」ということにはならないと思います。

なぜ、このような条件を思いつくかという意味ですか？
No.60022 - 2019/07/20(Sat) 21:29:24
☆ Re: アイゼンシュタインの定理について / mana
はい、思いつき方がわからなくて・・・
No.60028 - 2019/07/21(Sun) 09:53:11
☆ Re: アイゼンシュタインの定理について / ＩＴ
いくつかの代数学の書籍やネットを調べましたが、いずれも３条件がいきなり出てきますね。
No.60035 - 2019/07/21(Sun) 21:48:13
☆ Re: アイゼンシュタインの定理について / mana
そうですよね、ありがとうございました。
No.60040 - 2019/07/22(Mon) 16:40:25
★ (No Subject) / けいおん
f(x, y) = x^3 - y^3 について

（１）最大値、最小値は存在するか確認せよ
（２）x^2 + y^2 = 1 の制限では、最大値、最小値は存在するか？また、あるならそれを求めよ

という問題です。

──────────────────────────────
（２）は、ラグランジュの未定乗数法を用いると思うのですが、（１）がよくわかりません。
よろしくおねがいします。
No.60019 - 2019/07/20(Sat) 18:38:16
☆ Re: / X
(1)
よく似た関数にx^3というものがありますが
これには最大値、最小値が存在しません。
それの証明から類推します。

lim[(x,y)→(∞,0)]f(x,y)=∞
lim[(x,y)→(0,∞)]f(x,y)=-∞
∴f(x,y)に最大値、最小値は存在しません。

(2)
これは適当な置き換えにより
高校数学の範囲でも解けます。

x^2+y^2=1
より
(x,y)=(cosθ,sinθ)
(0≦θ＜2π (A))
と置くことができます。
後はdf/dθを求めて(A)の範囲で
θに関するfの増減表を書きます。
No.60020 - 2019/07/20(Sat) 18:58:50
☆ Re: / けいおん
Xさん
ありがとうございます！
納得しました。。。
No.60024 - 2019/07/20(Sat) 21:48:26
★ (No Subject) / sprite
x^2+y^2+z^2=S^2の時、(ただしx,y,zは全て0以上の数)
x+y+zの最大値と最小値の値は？

<自分の考え>
x^2+y^2+z^2=S^2と、平面x+y+z=kが共有点を持つ(ただし、x,y,z>=0で)ような、kの最大値、最小値を求める。

<答え>
k[max]=√3* S k[min]=S

<質問>
この方針でこの問題を解きたいのですが、
途中で詰まってしまいました。
どなたか解き方を教えていただけませんか？
No.60012 - 2019/07/20(Sat) 16:18:32
☆ Re: / らすかる
最大値は(√3)|S|、最小値は|S|では？
No.60013 - 2019/07/20(Sat) 16:48:50
☆ Re: / sprite
ラスカルさん すいません、S>0という条件もありました。
No.60014 - 2019/07/20(Sat) 16:54:37
☆ Re: / らすかる
(x+y+z)^2=3S^2-{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≦3S^2　(等号はx=y=zのとき)なので
x+y+zの最大値はx=y=zのときで(x+y+z)^2=3S^2からx+y+z=(√3)S
(x+y+z)^2=S^2+2(xy+yz+zx)≧S^2　(等号はxy+yz+zx=0のとき)なので
x+y+zの最小値はx,y,zのうち二つが0のときで(x+y+z)^2=S^2からx+y+z=S
No.60016 - 2019/07/20(Sat) 17:14:59
★ (No Subject) / z
ありがとうございます。
No.60011 - 2019/07/20(Sat) 15:21:24
★ (No Subject) / z
ベクトルaの大きさが9だとすると、絶対値記号を外すと、ベクトルaは±9になりますか？
No.60009 - 2019/07/20(Sat) 14:23:45
☆ Re: / らすかる
(一般には)なりません。
No.60010 - 2019/07/20(Sat) 15:14:22
★ (No Subject) / 大学生
積分の極限値を求める問題なのですが, 解法の筋道が分からず困っています. 答えでなくても, 道筋を教えていただけるだけでも嬉しいです.
No.60006 - 2019/07/20(Sat) 13:37:18
☆ Re: / s
(1) のみ

積分範囲 1≦xでは
exp(-nx^2) ≦ exp(-nx)
が成り立つので、積分は次のように、上から抑えられます。
∫_1^∞exp(-nx^2)dx ≦ ∫_1^∞exp(-nx)dx = exp(-n)/n

n→∞でexp(-n)/n→0なので・・・
No.60008 - 2019/07/20(Sat) 13:53:34
☆ Re: / X
では(2)(3)を。
(2)
(与式)=lim[ε→0]∫[x:0→∞]{(sinεx)/(εx)}{x/(1+x^4)}dx
=∫[x:0→∞]{x/(1+x^4)}dx
=… (二項積分を使います)

(3)
log{1+1/{n(1+x^2)}}={1/(1+x^2)}log{[1+1/{n(1+x^2)}]^{n(1+x^2)}}
→1/(1+x^2)(n→∞)
∴(与式)=∫[x:-∞→∞]dx/(1+x^2)=π


但し、上記の方針は
lim[t→α]∫[x:0→∞]f(x,t)dx=∫[x:0→∞]{lim[t→α]f(x,t)}dx
が成立することを前提としていますので、間違っていたらごめんなさい。
No.60018 - 2019/07/20(Sat) 17:23:48
★ (No Subject) / aibo
この級数の収束、発散を求める問題なのですが、どのようにして解けば良いのですか？教えていただきたいです。
No.60000 - 2019/07/20(Sat) 11:27:18
☆ Re: / ＩＴ
(ポイントだけ）
十分小さい正数δについて　ｋがmπのδ近傍にあるとき　k+1 は任意の整数m'についてm'πのδ近傍外なので（ここを証明する）
（k,mは正整数)

元の級数は発散だと思います。
No.60004 - 2019/07/20(Sat) 12:56:26
☆ Re: / らすかる
6＜2π＜7かつπ/6-(-π/6)＞1なので、連続する7自然数すなわち
n+k（k=0,1,2,3,4,5,6）の中に
必ず2mπ-π/6＜n+k＜2mπ+π/6を満たすkが存在する。
このときcos(n+k)＞√3/2なので発散。
No.60007 - 2019/07/20(Sat) 13:39:07
★ 角度と座標の値について。 / マーク42
画像の?@と?@を-90°移動した後の?Aの図に関して質問があります。
質問1.なぜ?@のθの90°<θ<180°なのに、-90°移動した後の図ではθは90°<θ<180°の範囲を表していないにも関わらず?Aの図のようにθが置けるのでしょうか？
?Aでのθの範囲は-90°<θ<30°に見えます。

質問2.?Aでの座標- cosθの値を求めるのに、なぜ?@の時のθでの座標 cosθが?Aの時のθの時とθの位置は異なるのに- cosθに?@の時の cosθが代入できるのでしょうか？

とりあえず、正しい値は導けたので矛盾はなかったのですが、気になりました。
No.59989 - 2019/07/19(Fri) 19:20:10
☆ Re: 角度と座標の値について。 / X
?Aの点の座標は
(cos(θ-90°),sin(θ-90°))
ですが、加法定理により
cos(θ-90°)=sinθ
sin(θ-90°)=-cosθ
となります。
No.59990 - 2019/07/19(Fri) 20:32:23
☆ Re: 角度と座標の値について。 / らすかる
> ?Aでのθの範囲は-90°<θ<30°に見えます。
これは「x軸の正方向を0°、そこから反時計回りが正の角度」と
考えた時にy軸の負の方向が-90°、(sinθ,-cosθ)の方向が30°だから
「-90°＜θ＜30°」と考えているんですよね？
であれば、左の図に同じ考え方をあてはめると
「x軸の正の方向が0°、(cosθ,sinθ)の方向が120°だから
「0°＜θ＜120°」となりますよね？
『?@のθの90°<θ<180°』は矛盾していると思いませんか？
No.59998 - 2019/07/20(Sat) 08:03:19
☆ Re: 角度と座標の値について。 / マーク42
たしかに矛盾しています。
どうもありがとうございます。
No.60175 - 2019/07/27(Sat) 17:53:07
☆ Re: 角度と座標の値について。 / マーク42
最初の方でθは90°<θ<180°と定義したので、矛盾しています。
No.60179 - 2019/07/27(Sat) 19:14:57
★ 図形と方程式 / ぽんぽん
この2問が難しくて困っています！解答と出来たら解説もお願いします！
No.59986 - 2019/07/19(Fri) 17:09:02
☆ Re: 図形と方程式 / らすかる
(1)
円(x-1)^2+(y-2)^2=4の右端は(3,2)だから
明らかに直線x=3は(3,2)で接し条件を満たす接線。
円の中心(1,2)と点(3,6)を通る直線の傾きは2だから
2接点を通る直線の傾きは-1/2。
よって2接点を通る直線はy=(-1/2)(x-3)+2なので
これと円の式からyを消去してもう一つのxを求めるとx=-1/5となり
もう一つの接点は(-1/5,18/5)。
よってもう一つの接線は(3,6)と(-1/5,18/5)を通る直線なので
y=(3/4)(x+5)
従って
接線はx=3とy=(3/4)(x+5)
「xの値」が「接点のx座標の値」の意味ならば
接線がx=3のときx=3、接線がy=(3/4)(x+5)のときx=-1/5

(2)
2円の交点を通る円の式は
k{(x-2)^2+(y-2)^2-5}+(1-k){x^2+(y+1)^2-2}=0
と表せる。
整理してx^2-4kx+y^2-2(3k-1)y+4k-1=0
これに(x,y)=(1,2)を代入してkを求めるとk=2/3となるので
代入して整理すると(x-4/3)^2+(y-1)^2=(√10/3)^2
従って条件を満たす円の中心は(4/3,1)、半径は√10/3
No.59987 - 2019/07/19(Fri) 18:02:01
☆ Re: 図形と方程式 / ぽんぽん
非常にわかりやすい解説ありがとうございます。
再度解き直しして頑張りたいと思います。
No.59988 - 2019/07/19(Fri) 18:06:56
★ 数3 / 文系大学生
水色のアンダーラインの部分が何を言ってるかわかりません
説明お願いします
No.59982 - 2019/07/19(Fri) 13:20:36
☆ Re: 数3 / らすかる
2x^4+1をuとおいたらy=√u=u^(1/2)となりますので、
これを普通にuで微分してdy/du=(1/2)u^(-1/2)となります。
No.59985 - 2019/07/19(Fri) 15:37:56
★ (No Subject) / まな
1+e^(-jkdcosΦ)+e^(-j2kdcosΦ)+・・・+e^(-j(m-1)kdcosΦ)=sin(mπ/λ*cosΦ)/sin(π/λ*cosΦ)
の計算過程を教えてください

k=2π/λです。等比数列の和を求める式を使うんだとおもうんですが、うまくいきません、、、、
No.59975 - 2019/07/19(Fri) 01:26:43
☆ Re: / X
jは虚数単位と仮定して回答します。

左辺は初項1,公比e^(-jkdcosΦ)の等比数列の
初項から第m項までの和になっていますので
(左辺)={1-e(-jmkdcosΦ)}/{1-e(-jkdcosΦ)}
={1/(2j)}{e((1/2)jmkdcosΦ)-e(-(1/2)jmkdcosΦ)}{e((1/2)jkdcosΦ)}/[{1/(2j)}{e((1/2)jkdcosΦ)-e(-(1/2)jkdcosΦ)}e((1/2)jmkdcosΦ)]
=[{sin((1/2)mkdcosΦ)}/{sin((1/2)kdcosΦ)}]・{e((1/2)(1-m)jkdcosΦ)}
=[{sin((mdπ/λ)cosΦ)}/{sin((dπ/λ)cosΦ)}]・{e((1-m)j(dπ/λ)cosΦ)}

他に条件は何かありませんか？
そうでないと問題の等式は成立しません。
No.59977 - 2019/07/19(Fri) 05:29:32
★ -90°移動した後の図に関して。 / マーク42
図は間違っていますか？
θを-90°移動させるために、右のような図になったのですが、座標などはあっているでしょうか？
No.59974 - 2019/07/19(Fri) 01:26:37
☆ Re: -90°移動した後の図に関して。 / らすかる
「座標など」と書かれていますが
図の中に「座標」は一つも書かれていません。
「座標」と「長さ」の区別はついていますか？
No.59976 - 2019/07/19(Fri) 04:56:17
☆ Re: -90°移動した後の図に関して。 / マーク42
描き方が悪かったです。
No.59980 - 2019/07/19(Fri) 12:28:13
☆ Re: -90°移動した後の図に関して。 / X
間違えてますね。
回転移動後の点の座標は
(sinθ,-cosθ)
です。
No.59981 - 2019/07/19(Fri) 13:19:35
☆ Re: -90°移動した後の図に関して。 / マーク42
解答ありがとうございますXさん。
cosθが90°回転して、sinθになり、回転することで横が高さになるのでcosθがsinθになると思っていたのですが、
なぜ違うのでしょうか。
どのように計算して回転後の座標を導いたか教えて頂けますか。
No.59983 - 2019/07/19(Fri) 13:28:19
☆ Re: -90°移動した後の図に関して。 / らすかる
計算は不要です。
左の図をそのまま90°右回転すれば、
左の図の縦点線の長さであるsinθが
そのまま右の図で横点線の長さとなり、
左の図の横点線の長さ-cosθが
右の図で縦点線の長さになりますので、
右図の座標は(sinθ,-cosθ)です。

θを135°近辺で描いているからわかりにくいのであって、
θを100°ぐらいにすればわかりやすいと思います。
θを100°にしてそれぞれの具体的な値を計算してみて下さい。
No.59984 - 2019/07/19(Fri) 14:10:28
☆ Re: -90°移動した後の図に関して。 / マーク42
理解できました。
らすかるさん、Xさんどうもありがとうございます。
No.59995 - 2019/07/20(Sat) 05:45:28
★ 確率 すうA / 高1
丸がついてるところを教えてください。
(9)が36通りで(10)が15通りであってますか？(8)はわかりません。
No.59971 - 2019/07/18(Thu) 20:37:46
☆ Re: 確率 すうA / 元中3
(9)と(10)はあっています。
余裕があれば大問3の追加で、｢PもQも通らない経路の数｣も考えてみるといいと思います。
No.59973 - 2019/07/18(Thu) 21:55:13
☆ Re: 確率 すうA / 高1
ありがとうございます！
やってみます。
No.59978 - 2019/07/19(Fri) 11:59:15
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