座標平面上でx座標とy座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点Pを考える。
(1)最初に、点Pは原点Oにある。
(2)ある時刻で点Pが格子点(m,n)にあるとき、その1秒後の点Pの位置は、隣接する格子点(m+1,n)、(m,n+1)、(m-1,n)、(m,n-1)のいずれかであり、また、これらの点に移動する確率は、それぞれ1/4である。
点Pが、最初から2k秒後に直線y=x上にある確率を求めよ。ただし、kは3以上の整数とする。
(k,k)にいる確率、(k-1,k-1)にいる確率、(k-2,k-2)にいる確率、…などを求めて和を取るのだとは思いますが、規則性が見えず、よくわからないのです。よろしくお願いします。
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No.60950 - 2019/08/25(Sun) 21:35:07
| ☆ Re: 確率 / らすかる | | | (k,k)にいる確率、(k-1,k-1)にいる確率、…のように考えると
場合が多くて大変ですので、単純化します。
直線y=x+tのうちPがある直線のtを考えます。
Pが原点にあるとき、t=0です。
y=x+t上にいて(m,n)から(m+1,n)または(m,n-1)に動いた時、
y=x+(t-1)上に移動します。
またy=x+t上にいて(m,n)から(m,n+1)または(m-1,n)に動いた時、
y=x+(t+1)上に移動します。
つまり1秒ごとにtが増える確率が1/2、減る確率が1/2です。
2k秒後にy=x上にいるためにはtが増えた回数と減った回数が同じ
すなわちk回ずつであればよいので、
求める確率は(2k)C(k)・(1/2)^k・(1/2)^k=(2k)C(k)/2^(2k)
となります。
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No.60954 - 2019/08/25(Sun) 22:48:27 |
| ☆ Re: 確率 / Qちゃん | | | 解説をしてくださって、ありがとうございました。とてもよくわかりました。またしても鮮やかな解法ですね。
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No.60984 - 2019/08/27(Tue) 16:25:36 |
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